Himpunan Bayangan Sederhana dan Matriks Reguler Kuat

Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 53

3.1 Himpunan Bayangan Sederhana dan Matriks Reguler Kuat

Pada penelitian ini disumsikan bahwa adalah suatu orde linear nontrivial, gup komutatif dengan elemen netral e dan adalah tak berhingga. Definisi, lema dan teorema yang digunakan pada subbab ini mengacu kepada Butkovic [3] dan Tam [10]. Pada subbab ini dibahas tentang definisi dan teorema yang terkait dengan kriteria untuk reguler kuat pada himpunan bayangan sederhana. Definisi 3.1.1. Misalkan maka adalah himpunan bayangan image set dari A. Pada suatu pemetaan , yang dituliskan dengan secara matematis dengan , himpunan dinamakan dengan himpunan bayangan sederhana. Jika pemetaan maka himpunan dituliskan sebagai . Definisi dari himpunan bayangan sederhana diberikan oleh Tam [10]. Definisi 3.1.2. Tam[10] Misalkan . Himpunan disebut himpunan bayangan sederhana simple image set dari A. Teorema 3.1.1 Untuk dan , dengan merupakan himpunan seluruh permutasi dari himpunan , didefinisikan bobot dari permutasi pada matriks adalah dan nilai permanen dari matriks dinotasikan dengan ma Definisi 3.1.3. Matriks adalah definit jika elemen-elemen selain elemen diagonalnya adalah nol dan tidak ada cycle dengan bobot positif pada digraf associated. Definisi 3.1.4. Vektor-vektor bebas linear kuat jika terdapat suatu sedemikian sehingga dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari secara tunggal. Definisi 3.1.5. Untuk vektor-vektor yang bebas linear kuat, misalkan maka matriks disebut reguler kuat. Dengan dan . Definisi 3.1.6. Jika matriks , maka didefinisikan . Definisi 3.1.7. Diberikan matriks reguler kuat dan definit, maka penutup dari himpunan bayangan sederhana matriks adalah Teorema 3.1.2. Misalkan . Matriks A adalah matriks reguler kuat jika dan hanya jika B adalah matriks reguler kuat. Bukti: Ambil matriks diagonal dan . Berdasarkan definisi telah diketahui jika matriks A dan B memiliki orde yang sama maka matriks pada permutasi matriks P dan Q. karena B adalah matriks reguler kuat Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 54 maka matriks B memiliki solusi tunggal, sehingga terdapat satu permutasi maksimum, misalkan id, yang lebih besar daripada permutasi yang lain. Karena id adalah permutasi maksimum, maka untuk setiap diperoleh Karena diketahui bahwa , maka Terbukti bahwa matriks A adalah reguler kuat jika dan hanya jika B adalah matriks reguler kuat. Lema 3.1.1. Misalkan . Jika maka apA = apB Bukti: Ambil matriks diagonal dan . Berdasarkan definisi telah diketahui jika matriks A dan B memiliki orde yang sama maka matriks pada permutasi matriks P dan Q. berarti Karena yang memenuhi perA sama dengan yang memenuhi perB maka apA = apB. Teorema 3.1.3. Diberikan , maka dan pada sejumlah kasus tertentu A adalah reguler kuat Definisi 3.1.8. Diberikan , Matriks adalah matriks dengan semua elemen diagonalnya diganti dengan . Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 55 Teorema 3.1.4. Misalkan definit, maka . Teorema 3.1.5. Misalkan adalah matriks definit. Matriks A memiliki permanen kuat jika dan hanya jika setiap bobot cycle di adalah negatif. Bukti: Setiap permutasi yang berbeda dri identitas merupakan perkalian dari cycle terkecil. Salah satu cycle terebut memiliki panjang duat atau lebih. Oleh karena A memiliki permanen kuat jika dan hanya jika semua cycle di dengan panjang dua atau lebih, memiliki bobot negatif jika dan hanya jika semua cycle di memiliki bobobt negatif. Teorema 3.1.6 Misalkan dan tidak ada cycle positif di maka adalah matriks yang sama untuk setiap dinotasikan dengan . Lebih lanjut, jika semua elemen dari matriks A adalah 0, maka untuk setiap . Persoalan ini benar, terutama untuk matriks normal. Bukti: Suatu elemen i,j dari adalah maksium r1, r2,…,rk1 dan dapat ditafsirkan sebagai panjang dari path yang terpanjang dari node i ke node j dengan menggunakan intermediate node. Elemen yang sama di adalah panjang dari path yang terpanjang dari node i ke node j dengan menggunakan intermediate node. Misalkan maka panjang maksimum dari path tidak dapat ditambah dengan menggunkan lebih dari intermediate node. Hal ini karena dapat mengakibatkan pengulangan node. Jadi agar panjang maksimum dari path dapat ditambah dengan menggunakan kurang dari intermediate node, cycle yang dipakai harus berbobot nol atau negatif. Jika maka elemen i,j di semua matiks adalah panjang dari suatu cycle nonpositif dan di semua adalah nol, akibat matriks identitas I. jika semua elemen diagonal dari A sama dengan e, maka berakibat , . Jadi untuk setiap k berlaku untuk setiap . Definisi 3.1.9. disebut dense jika interval terbuka untuk setiap dan . Definisi 3.1.10. disebut sparse jika tidak dense. Definisi 3.1.11. disebut radicable jika dalam setiap dan setiap bilangan bulat positif k terdapat suatu elemen dari yang memenuhi syarat ukup untuk , dengan merupakan simbol untuk iterasi , sedemikian sehingga suatu elemen b adalah tunggal dan dituiskan sebagai . Definisi 3.1.12. siklik jika untuk sejumlah , dinamakan dengan pembangkit generator dari . Teorema 3.1.7. Misalkan adalah radicable, maka dan berlaku 1. 2. jika A adalah matriks nonpositif pada kasus tertentu, A adalah matriks normal. Bukti: Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UMS 2015 56 1. Untuk sembarang dan 2. Berdasarkan definisi dari matriks normal, diketahui bahwa suatu matriks adalah normal jika elemen-elemennya adalah nonpositif dan semua elemen diagonalnya adalah nol. Karena elemen-elemen dari matriks A adalah nonpositif secara otomati nilai eigen simbol juga nonpositif. 3.2 PENUTUP HIMPUNAN BAYANGAN SEDERHANA Teorema 3.2.1. Jika