PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x^2+3^m=y^n DI MANA (x,y,m,n) BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x≠0 DAN n≥3
PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x 2 3m y n
DI MANA x, y, m, n BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x 0 DAN
n3
(Skripsi)
Oleh
Deni Mulyani
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
ABSTRAK
PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x 2 3m y n
DI MANA x, y, m, n BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x 0
DAN n 3
Oleh
Deni Mulyani
Salah satu bidang kajian ilmu matematika adalah kajian teori bilangan yang
mengkaji bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)
termasuk di dalamnya persamaan Diophantine. Persamaan Diophantine
merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi berupa bilangan-bilangan
bulat. Persamaan Diophantine x 2 3m y n di mana
x, y, m, n
bilangan bulat
positif dengan x 0 dan n 3 dapat diselesaikan secara analitik. Untuk m
genap di mana 3 ∤ x , dan untuk suatu a 1 dan b 0 dari kasus 2b m
dan 4 ∤ n diperoleh solusi
x, y, m, n 46,13, 4, 3
yang solusi umumnya
dan n 3 dengan t
diberikan oleh x 46 33t , m 4 6t ,
bilangan bulat positif.
y 13 32t
Kata Kunci : persamaan Diophantine, divisibility
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 1 Januari 1993 di Desa Jatibaru, Kecamatan
Tanjung Bintang. Terlahir dari keluarga yang sederhana dari pasangan Bapak
Giatno dan Ibu Simah, merupakan anak ketiga dan adik dari Dwi Arianto dan
Yuli Astuti, serta kakak dari Yulia Anggraini.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 3 Jatibaru,
Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan sekolah menengah pertama di
SMP Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2008. Pendidikan sekolah menengah
atas di SMA Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2011. Kemudian penulis
melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tertulis pada tahun 2011.
Pada periode 2011/2012 penulis terdaftar sebagai anggota magang Unit Kegiatan
Mahasiswa Fakultas (UKMF) NATURAL yang kemudian menjadi pengurus
sebagai anggota Biro Kesekretariatan pada periode 2012/2013. Selain itu penulis
juga pernah menjadi anggota muda Himpunan Mahasiswa Matematika
(HIMATIKA) periode 2011/2012, anggota muda Rohani Islam (ROIS) peride
2011/2012, anggota biro Kesekretariatan HIMATIKA periode 2012/2013,
anggota bidang Kajian ROIS periode 2012/2013 dan sekretaris Biro
Kesekretariatan NATURAL FMIPA Universitas Lampung.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah melaksanakan
Kerja Praktik (KP) selama tiga minggu di Kantor Badan Perencanaan
Pembangunan Daerah (Bappeda) Provinsi Lampung. Dan sebagai bentuk aplikasi
bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) selama 35 hari di Desa Sumber Agung, Kecamatan Kemiling, Bandar
Lampung.
MOTTO
“Raih cita-cita bahagiakan orang tua”
(Deni Mulyani)
“Senyum adalah kekuatan terbesar dalam menjalani setiap
kesulitan dalam hidup”
(Deni Mulyani)
“Bahagia di dunia adalah hal indah yang diinginkan setiap orang,
tetapi bahagia di akhirat jauh lebih indah untuk diraih”
(Deni Mulyani)
“Cinta adalah ketika tak ada lagi kata yang bisa diungkapkan
untuk menggambarkan keindahan cinta itu sendiri”
(Deni Mulyani)
“Setiap karunia-Nya akan lebih terasa ketika kita mampu
bersyukur atas apa yang telah diberikan”
(Deni Mulyani)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang tak terhingga yang selalu dilimpahkan kepadaku
sehingga aku dapat menyelesaikan karya kecilku ini.
Mamak..., Bapak....
Kupersembahkan karya kecilku ini sebagai salah satu tanda
bakti dan cintaku, terima kasih untuk setiap do’a, kasih
sayang dan perhatian, serta semangat yang tak pernah putus
diberikan di setiap hariku.
Untuk kedua kakakku tersayang Mamas dan Yayuk, adikku
Lia juga kakak iparku Mba Cinta, serta keluarga besarku
yang selalu memberikan semangat dan dukungan serta do’a
yang tak pernah henti untukku.
Seseorang yang selalu ada di setiap hariku, Mas terimakasih
untuk semua kebahagiaan dan keceriaan yang telah
diberikan untukku. Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada,
terimakasih atas semua cerita indah yang mengisi
hari-hariku
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penyelesaian
Analitik Persamaan Diophantine x 2 3m y n di mana x, y, m, n Bilangan
Bulat Positif dengan x 0 dan n 3 ”. Shalawat serta salam kepada Nabi
Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak memperoleh bimbingan,
kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1.
Bapak Suharsono. S, M.Si., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama
yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua
yang telah memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
3.
Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si., selaku pembahas yang telah memberikan kritik
dan saran yang membangun. Serta bimbingannya selama ini kepada penulis
selaku dosen pembimbing akademik.
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, Mamas dan Yayuk, juga adikku Lia serta kakak
iparku Mba Cinta yang telah banyak memberikan kasih sayang, do’a dan
perhatian serta semangat yang tak terhingga kepada penulis.
8.
Seluruh keluarga besarku di Tanjung Bintang, terimakasih atas semua do’a
dan dukungannya serta kasih sayang yang telah banyak diberikan.
9.
Untuk Mas yang selalu ada untukku, terimakasih untuk kasih sayang,
kebahagiaan dan keceriaan yang telah banyak diberikan.
10. Keluarga besar UKMF Natural atas segala pembelajaran, kebersamaan,
keceriaan serta kebahagiaan yang telah diberikan kepada penulis.
11. Sahabat-sahabat di asrama safitri Andzirnie Bil Haqqi, Rusmi Purwanti, Ofi
Megariani, Dewi Oktaviani, Sri Wulandari, Eka Zuliana Sari serta Mba Nova
yang telah banyak memberikan semangat dan dukungan.
12. Sahabat seperjuangan satu bimbingan Dwi Okta Arianti dan Ita Septia
Indrawati, serta teman Kerja Praktik (KP) Inggit Puspita Ningrum.
13. Sahabat seperjuangan pada saat KKN Yeni Purnama Sari, Mega Fitri Nemara,
Yori Tirta dan Junaidi Permana, serta keluarga baru di Sumber Agung Ibu
Lina dan Bapak, Mbah juga kedua adik Lucky dan Sahara.
iv
14. Teman-teman Matematika 2011 atas kebersamaan serta keceriaan yang telah
diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di Universitas
Lampung.
15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung,
Februari 2015
Penulis
Deni Mulyani
v
DAFTAR ISI
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
Latar Belakang ...................................................................................
Batasan Masalah ...............................................................................
Tujuan Penelitian ...............................................................................
Manfaat Penelitian .............................................................................
1
2
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Persamaan .......................................................................................
2.1.1 Definisi Kalimat Terbuka .....................................................
2.2.2 Definisi Persamaan ...............................................................
Sistem Bilangan Bulat ....................................................................
2.2.1 Definisi Invers Penjumlahan ................................................
2.2.2 Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat ..........................
2.2.3 Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat ..................
2.2.4 Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat .....................
Keterbagian .....................................................................................
2.3.1 Definisi Keterbagian ............................................................
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ...............................................
2.4.1 Definisi Faktor Persekutuan .................................................
2.4.2 Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) .......................
Bilangan Prima ...............................................................................
2.5.1 Definisi Bilangan Prima .......................................................
Kekongruenan .................................................................................
2.6.1 Definisi Kekongruenan ........................................................
Persamaan Diophantine ..................................................................
2.7.1 Definisi Persamaan Linear Diophantine ..............................
2.7.2 Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine .......................
Persamaan Umum Pell ...................................................................
4
4
4
4
4
5
6
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
8
8
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................... 10
Metodologi Penelitian ..................................................................... 10
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 20
5.2 Saran ................................................................................................... 20
DAFTAR PUSTAKA
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang banyak
sekali manfaatnya. Banyak ahli matematika mencoba mendefinisikan
matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran,
ilmu tentang bentuk dan lainnya. Ciri khas ilmu matematika yang tidak
dimiliki ilmu pengetahuan lain yaitu merupakan abstraksi dari dunia nyata,
menggunakan bahasa simbol, dan menganut pola pikir deduktif.
Matematika memiliki berbagai bidang kajian salah satunya adalah kajian
teori bilangan. Teori bilangan secara umum membahas tentang bilangan dan
sifat-sifatnya (khususnya bilangan bulat). Teori bilangan elementer mengkaji
bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)
termasuk di dalamya persamaan Diophantine.
Persamaan Diophantine pertama kali dipelajari oleh matematikawan Yunani
bernama Diophnatus. Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul
Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan
yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat
persamaan.
Persamaan-persamaan
tersebut
dikenal
dengan
sebutan
2
Persamaan Diophantine (Diophnatine Equation). Persamaan Diophantine
merupakan
suatu
persamaan
yang
mempunyai
solusi
berupa
bilangan-bilangan bulat. Persamaan Diophantine terbagi menjadi dua yaitu
persamaan linear Diophantine dan persamaan taklinear Diophantine.
Bentuk umum persamaan Diophantine adalah ax by c dengan a, b
adalah koefisien dan c adalah konstanta bulat. Penyelesaian persamaan
Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat ( x, y) yang memenuhi
persamaan ax by c . Jika d adalah Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
dari a dan b , agar persamaan mempunyai solusi maka d harus dapat
membagi c . Metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan
Diophantine yaitu dengan menggunakan algoritma Euclid.
Persamaan Diophantine x 2 3m y n untuk n 2 tidak menarik untuk
dibahas karena mempunyai tak hingga banyaknya solusi. Sedangkan untuk
m 0 tidak mempunyai solusi dan untuk m 1 telah dibuktikan oleh Cohn.
Belum lama ini Arif dan Muriefah menemukan semua solusi dari persamaan
Diophantine
x 2 3m y n
dimana
m
adalah ganjil. Dari semuanya
membentuk x 10.3t , y 7.32t , m 5 6t dan n 3 .
Persamaan Diophantine x 2 3m y n , di mana
x, y, m, n
bilangan bulat
positif dengan x 0 dan n 3 untuk m genap belum diketahui apakah
mempunyai solusi atau tidak. Oleh karena itu penulis akan mencoba mencari
solusi dari persamaan tersebut secara analitik.
3
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine
x 2 3m y n dengan x 0 dan n 3 untuk m genap dimana x, y, m, n
bilangan bulat positif.
1.3 Tujuan penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Memahami secara lebih mendalam konsep persamaan Diophantine
2.
Memperoleh solusi secara analitik persamaan Diophantine x 2 3m y n ,
di mana
x, y, m, n
bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3 .
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai konsep
persamaan Diophantine secara mendalam, serta dapat menjadi motivasi bagi
mahasiswa
Matematika
FMIPA Universitas
Lampung
untuk
dapat
mengembangkan penelitian mengenai persamaan Diophantine ini dengan
sudut pandang yang berbeda.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang
terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
yang menunjang dan disajikan dalam definisi berikut:
2.1 Persamaan
2.1.1
Definisi Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum
dapat disimpulkan benar atau salah nilai kebenarannya.
2.1.2
Definisi Persamaan
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda kesamaan (=).
2.2 Sistem Bilangan Bulat
2.2.1
Definisi Invers Penjumlahan
Jika n bilangan bulat sedemikian sehingga n n n n 0 , maka n
disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n , dan 0 disebut elemen identitas
terhadap penjumlahan (Wirasto, 1972).
5
2.2.2
Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} dengan
operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Untuk a, b dan c bilanganbilangan bulat sebarang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
i.
Sifat tertutup terhadap penjumlahan, ada dengan tunggal a b dalam B .
ii.
Sifat tertutup terhadap perkalian, ada dengan tunggal a. b dalam B .
iii. Sifat komutatif penjumlahan a b b a .
iv. Sifat komutatif perkalian a.b b.a .
v.
Sifat assosiatif penjumlahan a b c a b c .
vi. Sifat assosiatif perkalian a.b.c a.b.c .
vii. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a.b c (a.b) (a.c) .
viii. Sifat
distributif
kanan
perkalian
terhadap
penjumlahan
(a b).c (a.c) (b.c) .
ix. Untuk setiap a , ada dengan tunggal elemen 0 dalam B
sehingga
a 0 0 a a . 0 adalah elemen identitas penjumlahan.
x.
Untuk setiap a , ada dengan tunggal elemen 1 dalam B
a.1 1.a a . 1 disebut elemen identitas perkalian.
(Peterson & Hashisaki, 1967)
sehingga
6
2.2.3
Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat
Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a b k jika dan hanya jika
a b k (Wirasto, 1972).
2.2.4
Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b 0 , maka a : b c jika dan
hanya jika a b.c .
Hasil bagi blangan-bilangan bulat a : b ada (yaitu suatu bilangan bulat) jika dan
hanya jika a kelipatan dari b . Sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b ,
hasil bagi a : b tidak selalu ada (merupakan bilangan bulat). Oleh karena itu,
pembagian bilangan-bilangan bulat tidak memiliki sifat tertutup (Wirasto, 1972).
2.3 Keterbagian
2.3.1
Definisi Keterbagian
Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis a b ) jka dan hanya
jika ada bilangan bulat k sehingga b a.k . Jika a tidak membagi habis b maka
ditulis a ∤ b (Dudley, 1969).
2.4 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
2.4.1
Definisi Faktor Persekutuan
Suatu bilangan bulat d adalah faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya
jika d a dan d b (Graham, 1975).
7
2.4.2
Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, d adalah faktor
persekutuan terbesar dari a dan b (ditulis a, b ) jika dan hanya jika d faktor
persekutuan dari a dan b , jika c faktor persekutuan dari a dan b maka c d .
Dari kedua definisi di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
d (a, b) jika dan hanya jika
i.
d a dan d b , dan
ii.
Jika c a dan c b maka c d .
Dengan syarat i menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b .
Sedangkan syarat ii menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terbesar
(Graham, 1975).
2.5 Bilangan Prima
2.5.1
Definisi Bilangan prima
Suatu bilangan bulat p 1 yang tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p
disebut bilangan prima. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan bukan prima
disebut bilangan komposit (tersusun).
Menurut definisi, 1 bukan bilangan prima maupun bilangan komposit. 1 disebut
unit. Jadi himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam tiga
himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan semua bilangan prima, himpunan
semua bilangan komposit dan himpunan unit (Cooper, 1975).
8
2.6 Kekongruenan
2.6.1
Definisi Kekongruenan
Jika m suatu bilangan bulat positif maka a kongruen dengan b modulo m
(ditulis a b (mod m )) jika dan hanya jika m membagi (a b) . Jika m tidak
membagi (a b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m
(ditulis
(mod m )).
2.7 Persamaan Diophantine
2.7.1
Definisi Persamaan Linear Diophantine
Fungsi linear ax by c yang dapat diselesaikan dalam domain (himpunan
semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear
tersebut mempunyai solusi. Persamaan linear Diophantine mempunyai derajat satu
(Graham, 1975).
2.7.2
Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine
Fungsi linear ax 2 by 2 c 2 yang dapat diselesaikan dengan domain (himpunan
semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear
tersebut mempunyai solusi. Persamaan non linear Diophantine mempunyai derajat
dua (Graham, 1975).
2.8 Persamaan Umum Pell
Persamaan umum Pell berbentuk x 2 dy 2 a dengan a adalah konstanta
bilangan bulat tak nol, dan x, y, d adalah variabel. Jika a bilangan bulat positif
9
maka disebut persamaan Pell positif. Jika a bilangan bulat negatif maka
persamaan tersebut disebut persamaan Pell negatif (Andreescu, 2010).
10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015
yang bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. mengumpulkan referensi berupa jurnal, buku-buku, dan literatur dari
internet yang berhubungan dengan penelitian ini.
2. menjabarkan definisi-definisi yang digunakan dalam penelitian ini.
3. menguraikan konsep persamaan Diophantine.
4. menguraikan solusi dari persamaan Diophantine dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
Diberikan suatu persamaan Diophantine:
x 2 3m y n
di mana
x, y, m, n
(3.1)
bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3 .
11
Selanjutnya:
a. membahas persamaan (3.1) dimana 3∤ x .
Diberikan x 3b x1 dan y 3a y1 untuk suatu a 1 , b 0 , 3∤ x1 , dan
3∤ y1 , sehingga persamaan (3.1) menjadi
(3.2)
b. membedakan menjadi 3 kasus yaitu KASUS 1. 2b m , KASUS 2.
2b m , dan KASUS 3. 2b m .
c. membedakan KASUS 3. 2b m menjadi 2 kasus yaitu KASUS 3.1. 4 n
dan KASUS 3.2. 4∤ n.
d. mensubtitusikan hasil yang diperoleh sehingga diperoleh solusi umum
persamaan (3.1).
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan penguraian yang telah dikerjakan dari hasil dan pembahasan
dapat disimpulkan bahwa penyelesaian dari persamaan Diophantine
x 2 3m y n , di mana x, y, m, n bilangan bulat positif dengan x 0 dan
n 3 untuk m genap diperoleh dari KASUS 3. yang solusi umumnya
3t
diberikan oleh x 463 , m 4 6t , y 1332t dan n 3 dengan t
bilangan bulat positif.
5.2
Saran
Pada penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine
x 2 3m y n , di mana x, y, m, n bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3
untuk m genap. Diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat menyelesaikan
persamaan Diophantine dengan bentuk lain dan syarat yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Intruduction to
Diophantine Equation. Birkhauser.
Arif, S.A dan Muriefah, F.S.A. 1998. The Diophantine Equation x 2 3m y n .
International Journal Mathematical Science. 21, 619-620.
Cohn, J.H.E. 1993. The Diophantine Equation
Mathematical Journal. 35, 203-206.
x 2 3 y n . Glosgow
Cooper, C.D.H. 1975. Number : Their Personality and Properties. Jhon Murray,
London.
Dudley, Underwood. 1969. Elementary Number Theory. W.H. Freman and
Company, San Fransisco.
Graham, Malcom. 1975. Modern Elementary Mathematics. Harcort Brace
Jonanovich, Inc., New York.
Lebesgue, V.A. 1850. Sur I’impossibilite en nombres entiers de I’equation
x m y n 1 . Nouv Annalisys des Mathematics. 9, 178-181.
Luca, Florian. 2000. On a Diophantine equation. Bull. Austral. Math. Soc. 61,
241–246.
Peterson, Jhon A.Hashisaki, Joseph. 1967. Theory of Arithmetics. John Willy &
Sons, Inc., New York.
Purcell, E.J. dan Dale, V. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Edisi keempat.
Erlangga, Jakarta.
Sembiring, S.2002. Olimpiade Matematika. Yrama Widya, Bandung.
Wirasto, R.M. 1972. Pengantar Ilmu Bilangan. Yayasan Pembina Fkip-IKIP
Yogyakarta, Yogyakarta.
DI MANA x, y, m, n BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x 0 DAN
n3
(Skripsi)
Oleh
Deni Mulyani
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2015
ABSTRAK
PENYELESAIAN ANALITIK PERSAMAAN DIOPHANTINE x 2 3m y n
DI MANA x, y, m, n BILANGAN BULAT POSITIF DENGAN x 0
DAN n 3
Oleh
Deni Mulyani
Salah satu bidang kajian ilmu matematika adalah kajian teori bilangan yang
mengkaji bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)
termasuk di dalamnya persamaan Diophantine. Persamaan Diophantine
merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi berupa bilangan-bilangan
bulat. Persamaan Diophantine x 2 3m y n di mana
x, y, m, n
bilangan bulat
positif dengan x 0 dan n 3 dapat diselesaikan secara analitik. Untuk m
genap di mana 3 ∤ x , dan untuk suatu a 1 dan b 0 dari kasus 2b m
dan 4 ∤ n diperoleh solusi
x, y, m, n 46,13, 4, 3
yang solusi umumnya
dan n 3 dengan t
diberikan oleh x 46 33t , m 4 6t ,
bilangan bulat positif.
y 13 32t
Kata Kunci : persamaan Diophantine, divisibility
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 1 Januari 1993 di Desa Jatibaru, Kecamatan
Tanjung Bintang. Terlahir dari keluarga yang sederhana dari pasangan Bapak
Giatno dan Ibu Simah, merupakan anak ketiga dan adik dari Dwi Arianto dan
Yuli Astuti, serta kakak dari Yulia Anggraini.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 3 Jatibaru,
Tanjung Bintang pada tahun 2005. Pendidikan sekolah menengah pertama di
SMP Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2008. Pendidikan sekolah menengah
atas di SMA Negeri 1 Tanjung Bintang pada tahun 2011. Kemudian penulis
melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur SNMPTN tertulis pada tahun 2011.
Pada periode 2011/2012 penulis terdaftar sebagai anggota magang Unit Kegiatan
Mahasiswa Fakultas (UKMF) NATURAL yang kemudian menjadi pengurus
sebagai anggota Biro Kesekretariatan pada periode 2012/2013. Selain itu penulis
juga pernah menjadi anggota muda Himpunan Mahasiswa Matematika
(HIMATIKA) periode 2011/2012, anggota muda Rohani Islam (ROIS) peride
2011/2012, anggota biro Kesekretariatan HIMATIKA periode 2012/2013,
anggota bidang Kajian ROIS periode 2012/2013 dan sekretaris Biro
Kesekretariatan NATURAL FMIPA Universitas Lampung.
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis telah melaksanakan
Kerja Praktik (KP) selama tiga minggu di Kantor Badan Perencanaan
Pembangunan Daerah (Bappeda) Provinsi Lampung. Dan sebagai bentuk aplikasi
bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata
(KKN) selama 35 hari di Desa Sumber Agung, Kecamatan Kemiling, Bandar
Lampung.
MOTTO
“Raih cita-cita bahagiakan orang tua”
(Deni Mulyani)
“Senyum adalah kekuatan terbesar dalam menjalani setiap
kesulitan dalam hidup”
(Deni Mulyani)
“Bahagia di dunia adalah hal indah yang diinginkan setiap orang,
tetapi bahagia di akhirat jauh lebih indah untuk diraih”
(Deni Mulyani)
“Cinta adalah ketika tak ada lagi kata yang bisa diungkapkan
untuk menggambarkan keindahan cinta itu sendiri”
(Deni Mulyani)
“Setiap karunia-Nya akan lebih terasa ketika kita mampu
bersyukur atas apa yang telah diberikan”
(Deni Mulyani)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT atas nikmat
yang tak terhingga yang selalu dilimpahkan kepadaku
sehingga aku dapat menyelesaikan karya kecilku ini.
Mamak..., Bapak....
Kupersembahkan karya kecilku ini sebagai salah satu tanda
bakti dan cintaku, terima kasih untuk setiap do’a, kasih
sayang dan perhatian, serta semangat yang tak pernah putus
diberikan di setiap hariku.
Untuk kedua kakakku tersayang Mamas dan Yayuk, adikku
Lia juga kakak iparku Mba Cinta, serta keluarga besarku
yang selalu memberikan semangat dan dukungan serta do’a
yang tak pernah henti untukku.
Seseorang yang selalu ada di setiap hariku, Mas terimakasih
untuk semua kebahagiaan dan keceriaan yang telah
diberikan untukku. Sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada,
terimakasih atas semua cerita indah yang mengisi
hari-hariku
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin serta ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Penyelesaian
Analitik Persamaan Diophantine x 2 3m y n di mana x, y, m, n Bilangan
Bulat Positif dengan x 0 dan n 3 ”. Shalawat serta salam kepada Nabi
Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak memperoleh bimbingan,
kritik dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan.
Untuk itu, penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada :
1.
Bapak Suharsono. S, M.Si., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing utama
yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
2.
Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua
yang telah memberikan bimbingan serta saran yang membantu penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
3.
Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si., selaku pembahas yang telah memberikan kritik
dan saran yang membangun. Serta bimbingannya selama ini kepada penulis
selaku dosen pembimbing akademik.
4.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5.
Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.
6.
Seluruh dosen, staff dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Untuk kedua orang tuaku, Mamas dan Yayuk, juga adikku Lia serta kakak
iparku Mba Cinta yang telah banyak memberikan kasih sayang, do’a dan
perhatian serta semangat yang tak terhingga kepada penulis.
8.
Seluruh keluarga besarku di Tanjung Bintang, terimakasih atas semua do’a
dan dukungannya serta kasih sayang yang telah banyak diberikan.
9.
Untuk Mas yang selalu ada untukku, terimakasih untuk kasih sayang,
kebahagiaan dan keceriaan yang telah banyak diberikan.
10. Keluarga besar UKMF Natural atas segala pembelajaran, kebersamaan,
keceriaan serta kebahagiaan yang telah diberikan kepada penulis.
11. Sahabat-sahabat di asrama safitri Andzirnie Bil Haqqi, Rusmi Purwanti, Ofi
Megariani, Dewi Oktaviani, Sri Wulandari, Eka Zuliana Sari serta Mba Nova
yang telah banyak memberikan semangat dan dukungan.
12. Sahabat seperjuangan satu bimbingan Dwi Okta Arianti dan Ita Septia
Indrawati, serta teman Kerja Praktik (KP) Inggit Puspita Ningrum.
13. Sahabat seperjuangan pada saat KKN Yeni Purnama Sari, Mega Fitri Nemara,
Yori Tirta dan Junaidi Permana, serta keluarga baru di Sumber Agung Ibu
Lina dan Bapak, Mbah juga kedua adik Lucky dan Sahara.
iv
14. Teman-teman Matematika 2011 atas kebersamaan serta keceriaan yang telah
diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di Universitas
Lampung.
15. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung,
Februari 2015
Penulis
Deni Mulyani
v
DAFTAR ISI
Halaman
I.
PENDAHULUAN
1.1
1.2
1.3
1.4
Latar Belakang ...................................................................................
Batasan Masalah ...............................................................................
Tujuan Penelitian ...............................................................................
Manfaat Penelitian .............................................................................
1
2
3
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Persamaan .......................................................................................
2.1.1 Definisi Kalimat Terbuka .....................................................
2.2.2 Definisi Persamaan ...............................................................
Sistem Bilangan Bulat ....................................................................
2.2.1 Definisi Invers Penjumlahan ................................................
2.2.2 Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat ..........................
2.2.3 Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat ..................
2.2.4 Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat .....................
Keterbagian .....................................................................................
2.3.1 Definisi Keterbagian ............................................................
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ...............................................
2.4.1 Definisi Faktor Persekutuan .................................................
2.4.2 Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) .......................
Bilangan Prima ...............................................................................
2.5.1 Definisi Bilangan Prima .......................................................
Kekongruenan .................................................................................
2.6.1 Definisi Kekongruenan ........................................................
Persamaan Diophantine ..................................................................
2.7.1 Definisi Persamaan Linear Diophantine ..............................
2.7.2 Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine .......................
Persamaan Umum Pell ...................................................................
4
4
4
4
4
5
6
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
8
8
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
3.2
Waktu dan Tempat Penelitian .......................................................... 10
Metodologi Penelitian ..................................................................... 10
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 20
5.2 Saran ................................................................................................... 20
DAFTAR PUSTAKA
1
I.
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang banyak
sekali manfaatnya. Banyak ahli matematika mencoba mendefinisikan
matematika sebagai ilmu tentang bilangan dan ruang, ilmu tentang besaran,
ilmu tentang bentuk dan lainnya. Ciri khas ilmu matematika yang tidak
dimiliki ilmu pengetahuan lain yaitu merupakan abstraksi dari dunia nyata,
menggunakan bahasa simbol, dan menganut pola pikir deduktif.
Matematika memiliki berbagai bidang kajian salah satunya adalah kajian
teori bilangan. Teori bilangan secara umum membahas tentang bilangan dan
sifat-sifatnya (khususnya bilangan bulat). Teori bilangan elementer mengkaji
bilangan bulat dengan pendekatan dasar konsep keterbagian (divisibility)
termasuk di dalamya persamaan Diophantine.
Persamaan Diophantine pertama kali dipelajari oleh matematikawan Yunani
bernama Diophnatus. Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul
Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan
yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat
persamaan.
Persamaan-persamaan
tersebut
dikenal
dengan
sebutan
2
Persamaan Diophantine (Diophnatine Equation). Persamaan Diophantine
merupakan
suatu
persamaan
yang
mempunyai
solusi
berupa
bilangan-bilangan bulat. Persamaan Diophantine terbagi menjadi dua yaitu
persamaan linear Diophantine dan persamaan taklinear Diophantine.
Bentuk umum persamaan Diophantine adalah ax by c dengan a, b
adalah koefisien dan c adalah konstanta bulat. Penyelesaian persamaan
Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat ( x, y) yang memenuhi
persamaan ax by c . Jika d adalah Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
dari a dan b , agar persamaan mempunyai solusi maka d harus dapat
membagi c . Metode yang sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan
Diophantine yaitu dengan menggunakan algoritma Euclid.
Persamaan Diophantine x 2 3m y n untuk n 2 tidak menarik untuk
dibahas karena mempunyai tak hingga banyaknya solusi. Sedangkan untuk
m 0 tidak mempunyai solusi dan untuk m 1 telah dibuktikan oleh Cohn.
Belum lama ini Arif dan Muriefah menemukan semua solusi dari persamaan
Diophantine
x 2 3m y n
dimana
m
adalah ganjil. Dari semuanya
membentuk x 10.3t , y 7.32t , m 5 6t dan n 3 .
Persamaan Diophantine x 2 3m y n , di mana
x, y, m, n
bilangan bulat
positif dengan x 0 dan n 3 untuk m genap belum diketahui apakah
mempunyai solusi atau tidak. Oleh karena itu penulis akan mencoba mencari
solusi dari persamaan tersebut secara analitik.
3
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine
x 2 3m y n dengan x 0 dan n 3 untuk m genap dimana x, y, m, n
bilangan bulat positif.
1.3 Tujuan penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1.
Memahami secara lebih mendalam konsep persamaan Diophantine
2.
Memperoleh solusi secara analitik persamaan Diophantine x 2 3m y n ,
di mana
x, y, m, n
bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3 .
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan mengenai konsep
persamaan Diophantine secara mendalam, serta dapat menjadi motivasi bagi
mahasiswa
Matematika
FMIPA Universitas
Lampung
untuk
dapat
mengembangkan penelitian mengenai persamaan Diophantine ini dengan
sudut pandang yang berbeda.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang
terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
yang menunjang dan disajikan dalam definisi berikut:
2.1 Persamaan
2.1.1
Definisi Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum
dapat disimpulkan benar atau salah nilai kebenarannya.
2.1.2
Definisi Persamaan
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda kesamaan (=).
2.2 Sistem Bilangan Bulat
2.2.1
Definisi Invers Penjumlahan
Jika n bilangan bulat sedemikian sehingga n n n n 0 , maka n
disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n , dan 0 disebut elemen identitas
terhadap penjumlahan (Wirasto, 1972).
5
2.2.2
Definisi Sifat-Sifat Sistem Bilangan Bulat
Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} dengan
operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.). Untuk a, b dan c bilanganbilangan bulat sebarang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
i.
Sifat tertutup terhadap penjumlahan, ada dengan tunggal a b dalam B .
ii.
Sifat tertutup terhadap perkalian, ada dengan tunggal a. b dalam B .
iii. Sifat komutatif penjumlahan a b b a .
iv. Sifat komutatif perkalian a.b b.a .
v.
Sifat assosiatif penjumlahan a b c a b c .
vi. Sifat assosiatif perkalian a.b.c a.b.c .
vii. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a.b c (a.b) (a.c) .
viii. Sifat
distributif
kanan
perkalian
terhadap
penjumlahan
(a b).c (a.c) (b.c) .
ix. Untuk setiap a , ada dengan tunggal elemen 0 dalam B
sehingga
a 0 0 a a . 0 adalah elemen identitas penjumlahan.
x.
Untuk setiap a , ada dengan tunggal elemen 1 dalam B
a.1 1.a a . 1 disebut elemen identitas perkalian.
(Peterson & Hashisaki, 1967)
sehingga
6
2.2.3
Definisi Pengurangan Bilangan-Bilangan Bulat
Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a b k jika dan hanya jika
a b k (Wirasto, 1972).
2.2.4
Definisi Pembagian Bilangan-Bilangan Bulat
Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dengan b 0 , maka a : b c jika dan
hanya jika a b.c .
Hasil bagi blangan-bilangan bulat a : b ada (yaitu suatu bilangan bulat) jika dan
hanya jika a kelipatan dari b . Sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b ,
hasil bagi a : b tidak selalu ada (merupakan bilangan bulat). Oleh karena itu,
pembagian bilangan-bilangan bulat tidak memiliki sifat tertutup (Wirasto, 1972).
2.3 Keterbagian
2.3.1
Definisi Keterbagian
Bilangan bulat a membagi habis bilangan bulat b (ditulis a b ) jka dan hanya
jika ada bilangan bulat k sehingga b a.k . Jika a tidak membagi habis b maka
ditulis a ∤ b (Dudley, 1969).
2.4 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
2.4.1
Definisi Faktor Persekutuan
Suatu bilangan bulat d adalah faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya
jika d a dan d b (Graham, 1975).
7
2.4.2
Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, d adalah faktor
persekutuan terbesar dari a dan b (ditulis a, b ) jika dan hanya jika d faktor
persekutuan dari a dan b , jika c faktor persekutuan dari a dan b maka c d .
Dari kedua definisi di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
d (a, b) jika dan hanya jika
i.
d a dan d b , dan
ii.
Jika c a dan c b maka c d .
Dengan syarat i menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan dari a dan b .
Sedangkan syarat ii menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terbesar
(Graham, 1975).
2.5 Bilangan Prima
2.5.1
Definisi Bilangan prima
Suatu bilangan bulat p 1 yang tidak mempunyai faktor positif kecuali 1 dan p
disebut bilangan prima. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan bukan prima
disebut bilangan komposit (tersusun).
Menurut definisi, 1 bukan bilangan prima maupun bilangan komposit. 1 disebut
unit. Jadi himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli) terbagi dalam tiga
himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan semua bilangan prima, himpunan
semua bilangan komposit dan himpunan unit (Cooper, 1975).
8
2.6 Kekongruenan
2.6.1
Definisi Kekongruenan
Jika m suatu bilangan bulat positif maka a kongruen dengan b modulo m
(ditulis a b (mod m )) jika dan hanya jika m membagi (a b) . Jika m tidak
membagi (a b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b modulo m
(ditulis
(mod m )).
2.7 Persamaan Diophantine
2.7.1
Definisi Persamaan Linear Diophantine
Fungsi linear ax by c yang dapat diselesaikan dalam domain (himpunan
semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear
tersebut mempunyai solusi. Persamaan linear Diophantine mempunyai derajat satu
(Graham, 1975).
2.7.2
Definisi Persamaan Tak Linear Diophantine
Fungsi linear ax 2 by 2 c 2 yang dapat diselesaikan dengan domain (himpunan
semesta) berupa bilangan bulat, jika domainnya bilangan bulat maka fungsi linear
tersebut mempunyai solusi. Persamaan non linear Diophantine mempunyai derajat
dua (Graham, 1975).
2.8 Persamaan Umum Pell
Persamaan umum Pell berbentuk x 2 dy 2 a dengan a adalah konstanta
bilangan bulat tak nol, dan x, y, d adalah variabel. Jika a bilangan bulat positif
9
maka disebut persamaan Pell positif. Jika a bilangan bulat negatif maka
persamaan tersebut disebut persamaan Pell negatif (Andreescu, 2010).
10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2014/2015
yang bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. mengumpulkan referensi berupa jurnal, buku-buku, dan literatur dari
internet yang berhubungan dengan penelitian ini.
2. menjabarkan definisi-definisi yang digunakan dalam penelitian ini.
3. menguraikan konsep persamaan Diophantine.
4. menguraikan solusi dari persamaan Diophantine dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
Diberikan suatu persamaan Diophantine:
x 2 3m y n
di mana
x, y, m, n
(3.1)
bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3 .
11
Selanjutnya:
a. membahas persamaan (3.1) dimana 3∤ x .
Diberikan x 3b x1 dan y 3a y1 untuk suatu a 1 , b 0 , 3∤ x1 , dan
3∤ y1 , sehingga persamaan (3.1) menjadi
(3.2)
b. membedakan menjadi 3 kasus yaitu KASUS 1. 2b m , KASUS 2.
2b m , dan KASUS 3. 2b m .
c. membedakan KASUS 3. 2b m menjadi 2 kasus yaitu KASUS 3.1. 4 n
dan KASUS 3.2. 4∤ n.
d. mensubtitusikan hasil yang diperoleh sehingga diperoleh solusi umum
persamaan (3.1).
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan penguraian yang telah dikerjakan dari hasil dan pembahasan
dapat disimpulkan bahwa penyelesaian dari persamaan Diophantine
x 2 3m y n , di mana x, y, m, n bilangan bulat positif dengan x 0 dan
n 3 untuk m genap diperoleh dari KASUS 3. yang solusi umumnya
3t
diberikan oleh x 463 , m 4 6t , y 1332t dan n 3 dengan t
bilangan bulat positif.
5.2
Saran
Pada penelitian ini penulis hanya menyelesaikan persamaan Diophantine
x 2 3m y n , di mana x, y, m, n bilangan bulat positif dengan x 0 dan n 3
untuk m genap. Diharapkan untuk peneliti selanjutnya dapat menyelesaikan
persamaan Diophantine dengan bentuk lain dan syarat yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Intruduction to
Diophantine Equation. Birkhauser.
Arif, S.A dan Muriefah, F.S.A. 1998. The Diophantine Equation x 2 3m y n .
International Journal Mathematical Science. 21, 619-620.
Cohn, J.H.E. 1993. The Diophantine Equation
Mathematical Journal. 35, 203-206.
x 2 3 y n . Glosgow
Cooper, C.D.H. 1975. Number : Their Personality and Properties. Jhon Murray,
London.
Dudley, Underwood. 1969. Elementary Number Theory. W.H. Freman and
Company, San Fransisco.
Graham, Malcom. 1975. Modern Elementary Mathematics. Harcort Brace
Jonanovich, Inc., New York.
Lebesgue, V.A. 1850. Sur I’impossibilite en nombres entiers de I’equation
x m y n 1 . Nouv Annalisys des Mathematics. 9, 178-181.
Luca, Florian. 2000. On a Diophantine equation. Bull. Austral. Math. Soc. 61,
241–246.
Peterson, Jhon A.Hashisaki, Joseph. 1967. Theory of Arithmetics. John Willy &
Sons, Inc., New York.
Purcell, E.J. dan Dale, V. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Edisi keempat.
Erlangga, Jakarta.
Sembiring, S.2002. Olimpiade Matematika. Yrama Widya, Bandung.
Wirasto, R.M. 1972. Pengantar Ilmu Bilangan. Yayasan Pembina Fkip-IKIP
Yogyakarta, Yogyakarta.