STUDI PERSAMAAN DIOPHANTINE
STUDI PERSAMAAN DIOPHANTINE
Oleh
PRIYANTO ARIF R
ABSTRAK
Persamaan Diophantine adalah persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih
monomial yang berderajat nol atau satu.
Bentuk umum persamaan linear Diophantine dengan dua variabel adalah
ax + by = c memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika d = FPB (a,b) membagi c,
dengan derajatnya satu.
Bentuk umum persamaan linear Diophantine dengan tiga variabel ax + by + cz = d
memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika d merupakan kelipatan FPB (a,b,c),
dengan derajatnya satu.
Untuk menentukan solusi dari
menggunakan algoritma Euclidean.
persamaan
Diophantine adalah
Bentuk umum persamaan non linear Diophantine adalah
derajatnya dua.
2
+
2
=
dengan
2,
dengan
Persamaan non linear Diophantine disebut homogen jika persamaan tersebut
bernilai nol.
Kata kunci: Persamaan Diophantine, algoritma Euclidean, dan FPB.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Persamaan Diophantine adalah persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih
monomial yang berderajat nol atau satu. Persamaan Diophantine terbagi dua
yaitu persamaan linear Diophantine dan persamaan non linear Diophantine.
Persamaan linear Diophantine dengan dua variabel ax + by = c memiliki
sebuah solusi jika dan hanya jika d = FPB (a,b) membagi c. Dan jika d c,
maka semua solusi yang lain diberikan oleh
=
+
Dimana t
,
=
.
Persamaan linear Diophantine dengan tiga variabel ax + by + cz = d memiliki
sebuah solusi jika dan hanya jika d merupakan kelipatan FPB (a,b,c)
Persamaan tripel Pytagoras termasuk persamaan non linear Diophantine yang
tidak homogen. Ini dikarenakan nilai c pada persamaan tripel Pytagoras tidak
sama dengan nol. Jika n > 2 maka persamaan tripel Pytagoras tidak memiliki
solusi.
5.2. Saran
25
Pada penelitian ini hanya dibahas pada persamaan linear Diophantine dan
persamaan non linear Diophantine. Diharapkan pada penelitian selanjutnya
dibahas dengan metode lain, misalnya persamaan Diophantine dengan
bilangan irrasional atau persamaan eksponensial Diophantine.
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang dari matematika. Dalam aljabar
mempelajari fungsi dan persamaan, banyak persamaan yang dikenal seperti
persamaan linear, persamaan trigonometri, dan lainnya. Selain persamaan
tersebut dikenal juga persamaan Diophantine. Persamaan Diophantine adalah
persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih monomial yang berderajat nol
atau satu.
kawan Hellenistik (pada
abad ketiga) yaitu Diophantus dari Alexandria yang membuat sebuah
persamaan. Dia menjadi matematikawan pertama yang memperkenalkan
India juga berkontribusi dalam perkembangan persamaan Diophantine, antara
tahun 800 SM
500 SM banyak matematikawan India yang menulis tentang
persamaan Diophantine. Baudhayana (kira
kira 800 SM) menemukan dua
himpunan untuk solusi integral positif menggunakan persamaan Diophantine,
dan begitu juga dia mencoba menggunakan persamaan Diophantine dengan
empat bilangan yang tidak diketahui. Apastamba (kira
kira 600 SM)
mencoba menggunakan persamaan Diophantine dengan lima bilangan yang
2
tidak diketahui. Aryabhata (499 M) seorang matematikawan dari India yang
pertama kali mendeskripsikan secara umum bentuk untuk persamaan
Diophantine ay + bx = c yang tertulis dalam bukunya yang berjudul
Aryabhatiya. Dengan menggunakan teknik algoritma Aryabhata membuat
solusi persamaan Diophantine dengan derajat satu, tetapi penemuan ini hanya
untuk aplikasi bidang astronomi saja.
Brahmagupta (628 M) mencoba persamaan Diophantine yang sulit
persamaan ini diselidiki oleh Pell
Samasabhavana
membuat
prosedur
nantinya
dalam bukunya yang berjudul
untuk
memecahkan
persamaan
2
Diophantine dengan derajat dua, dengan persamaannya adalah 61
+1=1
Pada abad ketujuh seorang matematikawan Inggris Jhon Pell menemukan
persamaan
umumnya
ia meneruskan persamaan dari Brahmagupta
2
+
2
yang bentuk
= ±1, persamaan ini diberi nama persamaan Pell.
Tahun 1637, Pierre de Fermat seorang matematikawan Perancis menemukan
persamaan Diophantine dengan bentuk umumnya
+
=
dimana
persamaan tersebut tidak mempunyai solusi untuk n lebih dari dua, persamaan
ini juga dikenal dengan persamaan tripel Pytagoras.
Persamaan Diophantine terbagi menjadi dua yaitu persamaan linear
Diophantine dan persamaan non linear Diophantine.
Bentuk umum persamaan Diophantine adalah ax + by = c dengan a,b,c adalah
bilangan
bilangan bulat dan a,b keduanya bukan nol jika solusinya dicari
untuk bilangan
bilangan bulat, dengan derajatnya satu.
3
Untuk menentukan solusi dari persamaan Diophantine adalah dengan
menggunakan algoritma Euclidean.
Sedangkan bentuk umum persamaan non linear Diophantine adalah
2
+
2
=
2,
dengan derajatnya dua. Persamaan non linear Diophantine
disebut homogen jika persamaan tersebut bernilai nol. Sebagai contoh
2
= 0 disebut homogen, sedangkan
2
+
2
2
+
= 1 bukan homogen.
1.2. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai melalui penelitian ini adalah mengkaji konsep
persamaan linear Diophantine dan persamaan non linear Diophantine yang
berlaku didalamnya.
1.3. Manfaat Penelitian
Dari
hasil
penelitian ini
diharapkan dapat
memberikan kontribusi
pengetahuan mengenai konsep persamaan Diophantine yang lebih dalam,
serta memberikan sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Matematika FMIPA
Universitas Lampung untuk mengembangkan penelitian ini dengan sudut
pandang yang berbeda.
Oleh
PRIYANTO ARIF R
ABSTRAK
Persamaan Diophantine adalah persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih
monomial yang berderajat nol atau satu.
Bentuk umum persamaan linear Diophantine dengan dua variabel adalah
ax + by = c memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika d = FPB (a,b) membagi c,
dengan derajatnya satu.
Bentuk umum persamaan linear Diophantine dengan tiga variabel ax + by + cz = d
memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika d merupakan kelipatan FPB (a,b,c),
dengan derajatnya satu.
Untuk menentukan solusi dari
menggunakan algoritma Euclidean.
persamaan
Diophantine adalah
Bentuk umum persamaan non linear Diophantine adalah
derajatnya dua.
2
+
2
=
dengan
2,
dengan
Persamaan non linear Diophantine disebut homogen jika persamaan tersebut
bernilai nol.
Kata kunci: Persamaan Diophantine, algoritma Euclidean, dan FPB.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Persamaan Diophantine adalah persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih
monomial yang berderajat nol atau satu. Persamaan Diophantine terbagi dua
yaitu persamaan linear Diophantine dan persamaan non linear Diophantine.
Persamaan linear Diophantine dengan dua variabel ax + by = c memiliki
sebuah solusi jika dan hanya jika d = FPB (a,b) membagi c. Dan jika d c,
maka semua solusi yang lain diberikan oleh
=
+
Dimana t
,
=
.
Persamaan linear Diophantine dengan tiga variabel ax + by + cz = d memiliki
sebuah solusi jika dan hanya jika d merupakan kelipatan FPB (a,b,c)
Persamaan tripel Pytagoras termasuk persamaan non linear Diophantine yang
tidak homogen. Ini dikarenakan nilai c pada persamaan tripel Pytagoras tidak
sama dengan nol. Jika n > 2 maka persamaan tripel Pytagoras tidak memiliki
solusi.
5.2. Saran
25
Pada penelitian ini hanya dibahas pada persamaan linear Diophantine dan
persamaan non linear Diophantine. Diharapkan pada penelitian selanjutnya
dibahas dengan metode lain, misalnya persamaan Diophantine dengan
bilangan irrasional atau persamaan eksponensial Diophantine.
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang dan Masalah
Aljabar merupakan salah satu cabang dari matematika. Dalam aljabar
mempelajari fungsi dan persamaan, banyak persamaan yang dikenal seperti
persamaan linear, persamaan trigonometri, dan lainnya. Selain persamaan
tersebut dikenal juga persamaan Diophantine. Persamaan Diophantine adalah
persamaan yang menjumlahkan dua atau lebih monomial yang berderajat nol
atau satu.
kawan Hellenistik (pada
abad ketiga) yaitu Diophantus dari Alexandria yang membuat sebuah
persamaan. Dia menjadi matematikawan pertama yang memperkenalkan
India juga berkontribusi dalam perkembangan persamaan Diophantine, antara
tahun 800 SM
500 SM banyak matematikawan India yang menulis tentang
persamaan Diophantine. Baudhayana (kira
kira 800 SM) menemukan dua
himpunan untuk solusi integral positif menggunakan persamaan Diophantine,
dan begitu juga dia mencoba menggunakan persamaan Diophantine dengan
empat bilangan yang tidak diketahui. Apastamba (kira
kira 600 SM)
mencoba menggunakan persamaan Diophantine dengan lima bilangan yang
2
tidak diketahui. Aryabhata (499 M) seorang matematikawan dari India yang
pertama kali mendeskripsikan secara umum bentuk untuk persamaan
Diophantine ay + bx = c yang tertulis dalam bukunya yang berjudul
Aryabhatiya. Dengan menggunakan teknik algoritma Aryabhata membuat
solusi persamaan Diophantine dengan derajat satu, tetapi penemuan ini hanya
untuk aplikasi bidang astronomi saja.
Brahmagupta (628 M) mencoba persamaan Diophantine yang sulit
persamaan ini diselidiki oleh Pell
Samasabhavana
membuat
prosedur
nantinya
dalam bukunya yang berjudul
untuk
memecahkan
persamaan
2
Diophantine dengan derajat dua, dengan persamaannya adalah 61
+1=1
Pada abad ketujuh seorang matematikawan Inggris Jhon Pell menemukan
persamaan
umumnya
ia meneruskan persamaan dari Brahmagupta
2
+
2
yang bentuk
= ±1, persamaan ini diberi nama persamaan Pell.
Tahun 1637, Pierre de Fermat seorang matematikawan Perancis menemukan
persamaan Diophantine dengan bentuk umumnya
+
=
dimana
persamaan tersebut tidak mempunyai solusi untuk n lebih dari dua, persamaan
ini juga dikenal dengan persamaan tripel Pytagoras.
Persamaan Diophantine terbagi menjadi dua yaitu persamaan linear
Diophantine dan persamaan non linear Diophantine.
Bentuk umum persamaan Diophantine adalah ax + by = c dengan a,b,c adalah
bilangan
bilangan bulat dan a,b keduanya bukan nol jika solusinya dicari
untuk bilangan
bilangan bulat, dengan derajatnya satu.
3
Untuk menentukan solusi dari persamaan Diophantine adalah dengan
menggunakan algoritma Euclidean.
Sedangkan bentuk umum persamaan non linear Diophantine adalah
2
+
2
=
2,
dengan derajatnya dua. Persamaan non linear Diophantine
disebut homogen jika persamaan tersebut bernilai nol. Sebagai contoh
2
= 0 disebut homogen, sedangkan
2
+
2
2
+
= 1 bukan homogen.
1.2. Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai melalui penelitian ini adalah mengkaji konsep
persamaan linear Diophantine dan persamaan non linear Diophantine yang
berlaku didalamnya.
1.3. Manfaat Penelitian
Dari
hasil
penelitian ini
diharapkan dapat
memberikan kontribusi
pengetahuan mengenai konsep persamaan Diophantine yang lebih dalam,
serta memberikan sumbangan pemikiran bagi mahasiswa Matematika FMIPA
Universitas Lampung untuk mengembangkan penelitian ini dengan sudut
pandang yang berbeda.