14
c. Graf Tak Berarah
Definisi 2.12 Mardiyono, 1996: 10
Graf tak berarah adalah graf yang setiap rusuk tidak mempunyai arah tertentu. Pada gambar 2.7 graf J
2
merupakan contoh graf tak berarah.
Gambar 2.7 Contoh Graf Tak Berarah
B. Optimasi
Optimasi adalah proses pencarian satu atau lebih penyelesaian layak yang berhubungan dengan nilai-nilai ekstrim dari satu atau lebih nilai objektif pada
suatu masalah sampai tidak terdapat solusi ekstrim yang dapat ditemukan. Intan Berlianty Miftahol Arifin, 2010: 9.
Optimal memiliki definisi yaitu nilai terbaik atau paling menguntungkan Wikipedia: 2013. Pencarian rute optimal pada penelitian ini adalah pencarian
rute terpendek. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah pencarian jalur terpendek yaitu metode konvensional dan metode heuristik.
1. Metode Konvensional
Metode konvensional adalah metode yang menggunakan perhitungan matematis biasa. Metode konvensional dilakukan dengan membandingkan jarak
J
2
15 masing-masing antar simpul dan kemudian mencari jarak terpendeknya. Ada
beberapa metode konvensional yang biasa digunakan untuk melakukan pencarian jalur terpendek, diantaranya : algoritma Djikstra, Algoritma Bellman-Ford, dan
algoritma Floyd-Warshall Iing Mutakhiroh, Indrato, Taufik Hidayat, 2007. 2.
Metode Heuristik Metode heuristik adalah sub-bidang dari kecerdasan buatan yang digunakan
untuk melakukan pencarian dan penentuan jalur terpendek. Iing Mutakhiroh, Indrato, Taufik Hidayat, 2007. Ada beberapa algoritma pada metode heuristik
yang biasa digunakan dalam permasalahan optimasi, diantaranya algoritma genetika, logika fuzzy, jaringan syaraf tiruan, simulated anneling, algoritma
semut, dll. Beberapa Jenis Heuristik Searching Intan Berlianty dan Miftahol Arifin,
2010:15 adalah: a.
Algoritma Immune b.
Algoritma Koloni Semut c.
Algoritma Genetika d.
Logika Fuzzy e.
Tabu Search
f. Generate and test
C. Travelling Salesman Problem TSP
Permasalahan TSP pada awalnya adalah suatu masalah yang ditemukan pedagang ketika berpergian dan singgah di beberapa kota hingga kembali ke kota
semula. Selain masalah sarana transportasi, TSP juga mencakup beberapa masalah
16 lainnya, diantaranya masalah efisiensi pengiriman surat atau barang, layanan
delivery service dari suatu tempat makan, dan efisiensi petugas bank yang melakukan pengisian Automatic Teller Machine ATM di n kota.
Penerapan awal Algoritma Semut adalah pada permasalahan TSP. TSP dipilih menjadi kasus rute terpendek pertama yang diterapkan karena TSP merupakan
suatu modifikasi perilaku koloni semut buatan yang dengan mudah diadaptasi ke dalam Algoritma Semut. Selain itu, TSP juga mudah dipahami dan penguraian
langkah-langkah algoritma tidak dikaburkan dengan banyak istilah teknis Marco Dorigo Gianni Di Caro, 1999:146.
TSP didefinisikan sebagai suatu permasalahan dalam mencari rute terpendek dengan membangun sebuah perjalanan yang masing-masing simpul dikunjungi
tepat satu kali sampai kembali ke simpul awal. Dengan kata lain, TSP bertujuan mencari rute terpendek sebuah graf menggunakan sirkuit Hamilton. TSP hanya
memiliki satu salesman dan depot tunggal sebagai simpul awal. TSP digambarkan sebagai graf lengkap berbobot
= , � dengan adalah
himpunan simpul, sedangkan � adalah himpunan rusuk yang menghubungkan
simpul. Setiap rusuk , ∈ � adalah nilai jarak yang merupakan jarak dari
kota ke kota , dengan , ∈ . Pada TSP simetris, yaitu jarak dari kota ke
kota sama dengan jarak dari ke kota , berlaku
= untuk semua rusuk
, ∈ �. Misalkan dalam graf lengkap G dengan buah simpul , maka graf tersebut mempunyai
−
buah sirkuit hamilton. Pada teorema lain, jika terdapat graf lengkap G dengan jumlah simpul
dan n ganjil, maka ada
17
−
buah Sirkuit Hamilton saling asing, sedangkan untuk jumlah simpul dan n genap terdapat
−
buah sirkuit hamilton. TSP dimodelkan sebagai graf dengan n buah simpul yang mewakili kota-kota
yang harus dikunjungi oleh sejumlah m salesman. Misalkan diberikan matriks n x n sebagai berikut.
Tabel 2.1 Matriks 1
2 3
… N
1 …
2 …
3 …
… …
… …
… …
n …
adalah variabel biner dari kota i ke kota j yang bernilai sebagai berikut. = {
, ,
Selanjutnya, semua sel dalam baris dan kolom dijumlahkan satu persatu. 1.
Penjumlahan sel baris pertama. ∑
=
, untuk
= . 2.
Penjumlahan sel baris kedua. ∑
=
, untuk
= . 3.
Penjumlahan sel baris ketiga. ∑
=
, untuk
= . 2.1
18 4.
Penjumlahan sel dilakukan seterusnya hingga baris ke-n. Berikut ini penjumlahan sel untuk baris ke-n.
∑
=
, untuk
= . Persamaan-persamaan hasil penjumlahan sel dalam baris diatas dapat
diringkas sebagai berikut ∑
=
, = , , , … , .
Kemudian dilanjutkan penjumlahan sel dalam kolom pertama hingga ke-n. 1.
Penjumlahan sel kolom pertama. ∑
=
, untuk
= . 2.
Penjumlahan sel kolom kedua. ∑
=
, untuk
= . 3.
Penjumlahan sel kolom ketiga. ∑
=
, untuk
= . 4.
Penjumlahan sel dilakukan seterusnya hingga sel kolom ke-n. Berikut ini penjumlahan untuk sel kolom ke-n.
∑
=
, untuk
= . Persamaan-persamaan hasil penjumlahan sel dalam kolom diatas dapat
diringkas sebagai berikut. ∑
=
, = , , , … , .
Selanjutnya, untuk menjamin masing-masing kota hanya dikunjungi satu kali maka persamaan
∑
=
diberi nilai 1. Variabel dimasukkan dalam
19 persamaan
∑
=
agar dapat diketahui bahwa rute dari i ke j terlewati atau tidak.
adalah jarak dari kota i ke kota j. Tujuan akhir TSP adalah mencari rute minimal, sehingga persamaan tersebut menjadi:
= ∑ ∑
= =
. , = , , , … , .
dengan kendala: ∑
=
= = , , , , … ,
2.5 ∑
=
= = , , , , … ,
2.6 ∑
=
= =
2.7 Persamaan 2.5 dan Persamaan 2.6 menjamin bahwa setiap kota hanya
dikunjungi sekali oleh salesman, sedangkan persamaan 2.7 menyatakan jika jarak dari dan menuju kota yang sama adalah nol.
Sebagai contoh kasus TSP yang telah dibentuk ke dalam suatu graf yang terdiri dari 4 kota dan masing-masing kota terhubung satu sama lain dengan jarak
tertentu. Jika kasus TSP dibawa ke dalam bentuk graf, maka diperoleh graf seperti pada gambar 2.8, dengan v
1
hingga v
4
merupakan kota dan bobot merupakan jarak antar kota.
20 Gambar 2.8 Contoh Kasus TSP
Dari gambar 2.8 diketahui bahwa graf tersebut adalah graf berbobot dan tidak berarah. Berdasarkan gambar tersebut, akan ditentukan sirkuit Hamilton
terpendek �
yang harus dilalui seorang salesman dengan mengunjungi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal.
Graf lengkap dengan = simpul seperti yang ditunjukkan pada gambar
2.8 mempunyai
−
= Sirkuit Hamilton, yaitu: � =
, , , , dengan panjang rute 6+8+9+9=32.
� = , , , ,
dengan panjang rute 5 + 9 + 4 + 6 = 24. � =
, , , , dengan panjang rute 9 + 4 + 8 + 5 = 26.
Terlihat, sirkuit Hamilton terpendek dari kasus diatas adalah �
= � dengan panjang sirkuit 24.
D. Algoritma
Kategori