Ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis procrustes

UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI
ANALISIS PROCRUSTES

SARI RAHAYU

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

ABSTRAK
SARI RAHAYU. Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes.
Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.
Analisis korespondensi merupakan bagian analisis peubah ganda yang mempelajari hubungan
dua atau lebih variabel dengan memeragakan baris dan kolom secara serempak dari tabel
kontingensi dalam ruang berdimensi rendah dengan menggunakan jarak khi-kuadrat. Dari analisis
korespondensi diperoleh matriks koordinat profil baris dan kolom. Studi ini bertujuan menghitung
ukuran kesesuaian analisis korespondensi melalui analisis Procrustes dan mengaplikasikan analisis
korespondensi pada dua contoh data yaitu hubungan antara kelompok pegawai dengan kebiasaan
merokok dan hubungan antara provinsi dengan lapangan pekerjaan utama. Ukuran kesesuaian

melalui analisis Procrustes ditentukan dari nilai perbedaan minimum ketiga transformasi geometri
yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Ukuran kesesuaian dalam analisis korespondensi melalui analisis
Procrustes untuk matriks koordinat profil baris dan kolom perlu dilakukan ketiga transformasi.
Hasil analisis untuk hubungan kategori perokok dengan kelompok pegawai menghasilkan ukuran
kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan 99.53%. Sedangkan
hasil analisis Procrustes untuk hubungan provinsi dengan lapangan pekerjaan utama menghasilkan
ukuran kesesuaian masing-masing untuk profil baris dan kolom masing-masing sebesar 91.83%
dan 88.25%.
Kata kunci: analisis korespondensi, ukuran kesesuaian, analisis Procrustes

ABSTRACT
SARI RAHAYU. Goodness-of-fit of Correspondence Analysis via Procrustes Analysis. Under
supervision of SISWADI and TONI BAKHTIAR.

Correspondence analysis is a part of multivariate analysis studying the relationship of two
or more variables which are displayed in rows and columns simultaneously from contingency
table in low dimensional space using the Chi-square distance. From correspondence analysis,
it is obtained row and column profiles co-ordinate matrix. This study aims to calculate the
goodness-of-fit of correspondence analysis via Procrustes analysis and applied to two
examples of data, i.e. the relationships between categories of smokers and groups of

employees and the relationship between the province and the main jobs. To obtain the
Procrustes analysis, we need to determine minimum difference through three geometric
transformations, i.e. translation, rotation, and dilation. In correspondence analysis, we need to
do three transformations on Procrustes analysis to obtain goodness-of-fit in row and column
profiles co-ordinate matrix. The result of Procrustes analysis for relationship between
employee groups and smoking habits to row and column profiles is 98.64% and 99.53%
respectively. While the result of Procrustes analysis for relationship between province and the
main jobs to row and column profiles is 91.83% and 88.25% respectively.
Keywords: correspondence analysis, goodness-of-fit, Procrustes analysis

UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI
ANALISIS PROCRUSTES

SARI RAHAYU

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

Judul Skripsi
Nama
NIM

: Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis
Procrustes
: Sari Rahayu
: G54070055

Menyetujui,
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Prof Dr Ir Siswadi, MSc
NIP 19490609 197412 1 001

Dr Toni Bakhtiar, MSc
NIP 19720627 199702 1 002

Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika,

Dr Toni Bakhtiar, MSc
NIP 19720627 199702 1 002

Tanggal Lulus : ………………………………

Judul Skripsi
Nama
NIM

Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis
Procrustes

Sari Rahayu
G54070055

Menyetujui,
Pembimbing I,

Pembimbing II,

Prof Dr If Siswadi, MSc
NIP 19490609 197412 1 001

Dr Toni Bakhtiar, MSc
NIP 19720627 199702 1 002

Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika,

Bakhtiar, MSc
627 199702 1 002

a
0 2 JAN 2014
Tangoal
Lulus ......................
. .............. .

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala limpahan rahmat dan
karuniaNya, sehingga karya ilmiah berjudul Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui
Analisis Procrustes ini dapat penulis selesaikan. Shalawat dan salam tak lupa penulis curahkan
kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta seluruh keluarga, sahabat, dan para pengikutnya
sampai akhir zaman.
Ucapan terima kasih penulis haturkan kepada Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen
pembimbing I dan Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, serta motivasi yang telah diberikan selama penulisan karya ilmiah ini. Ucapan terima
kasih juga penulis haturkan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku dosen penguji
yang telah banyak memberi saran. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh
dosen di Departemen Matematika atas semua ilmu yang diberikan, serta staf dan pegawai di
Departemen Matematika atas semua bantuan dan pelayanannya selama ini.
Karya ilmiah ini penulis persembahkan untuk Bapak, Ibu, Adik tersayang dan Dzulkarnain.

Penulis mengucapkan terima kasih atas doa, kesabaran, dukungan, motivasi, dan kasih sayang
yang tiada henti kepada penulis. Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada teman-teman
Matematika 44, adik-adik Matematika Angkatan 45 dan 46, serta seluruh pihak yang telah
membantu penulis dalam penulisan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Desember 2013

Sari Rahayu

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 21 September 1989 dari pasangan bapak
Jumadi dan ibu Sudarini. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 2007,
penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cibinong dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa
IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, dengan minor Statistika Terapan sebagai mata
kuliah penunjang. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus
pada semester ganjil tahun akademik 2009-2010. Penulis mendapatkan beasiswa Perhimpunan
Orang Tua Mahasiswa (POM) pada semester ganjil tahun akademik 2007-2008 sampai dengan
semester genap tahun akademik 2009-2010 dan beasiswa Pengembangan Prestasi Akademik

(PPA) pada semester ganjil tahun akademik 2010-2011 sampai dengan semester genap tahun
akademik 2011-2012. Penulis juga pernah menjadi panitia dalam Pesta Sains Nasional 2009 dan
2010, Welcome Ceremony Mathematica, Math Expo, Reuni Akbar Matematika dan kegiatan
kepanitian lainnya.

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................

viii

DAFTAR GAMBAR ..............................................................................................................

viii

PENDAHULUAN ...................................................................................................................
Latar Belakang ................................................................................................................
Tujuan .............................................................................................................................

1

1
1

LANDASAN TEORI ..............................................................................................................
Dekomposisi Nilai Singular .............................................................................................
Analisis Korespondensi ..................................................................................................
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi ..................................................................
Analisis Procrustes...........................................................................................................
Translasi ...................................................................................................................
Rotasi ........................................................................................................................
Dilasi.........................................................................................................................

1
1
3
5
5
5
6
6

PEMBAHASAN .....................................................................................................................
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi Melalui Analisis Procrustes ..................
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Baris .................................................
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat Profil Kolom .............................................
Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi ................................................................

8
8
8
9
9

SIMPULAN ............................................................................................................................

13

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................

14

DAFTAR TABEL
Halaman
1 Bentuk umum tabel kontingensi... ...........................................................................................

3

2 Bentuk umum matriks korespondensi .....................................................................................

3

3 Data kategori perokok dengan kategori pekerjaan dari beberapa perusahaan ........................

9

4 Data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu
menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada 2011 .................................................... 11

DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan kelompok
pegawai dari beberapa perusahaan ..........................................................................................

10

2 Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja
selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama ........................

12

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis korespondensi diartikan sebagai
sebuah teknik analisis eksplorasi data untuk
memperlihatkan dengan grafik dari tabel
kontingensi dan data kategori peubah ganda.
Berdasarkan
kegunaannya,
analisis
korespondensi dan analisis komponen utama
memiliki kesamaan yaitu mereduksi dimensi
data menjadi yang lebih sederhana sedangkan
perbedaannya terletak pada data yang
digunakan. Analisis komponen utama
digunakan untuk data dengan skala
pengukuran kontinu sedangkan analisis
korespondensi digunakan untuk data kategori
(Abdi dan Williams 2010).
Tujuan dari analisis korespondensi ialah
untuk mengubah data tabel menjadi dua
kelompok nilai faktor yaitu satu untuk baris
dan satu untuk kolom. Nilai faktor
memberikan representasi terbaik dari struktur
kesamaan baris dan kolom dari tabel. Analisis
korespondensi memproyeksikan baris-baris
dan kolom-kolom dari matriks data sebagai
titik-titik ke dalam sebuah grafik berdimensi
rendah, biasanya dua. Baris dan kolom dalam
grafik ini diperlihatkan sebagai titik-titik di
mana koordinatnya merupakan nilai faktor
dan dimensinya disebut faktor. Nilai faktor
baris dan kolom memiliki nilai eigen yang
sama dan karena itu, kedua baris dan kolom
dapat dengan mudah diwakili dalam satu peta
tunggal (Abdi dan Williams 2010).

Ukuran kesesuaian digunakan
untuk
mengukur
seberapa
baik
analisis
korespondensi menggambarkan data asli
berdimensi tinggi melalui data pendekatan
berdimensi rendah. Metode lain untuk
mendapatkan ukuran kesesuaian ialah dengan
analisis Procrustes. Analisis Procrustes adalah
salah satu metode yang menyatakan
perbedaan dua atau lebih konfigurasi � -titik
sebagai suatu nilai numerik (Krzanowski
1990). Nilai numerik yang dihasilkan metode
ini dapat digunakan untuk memperkirakan
ukuran kesesuaian antar-konfigurasi (Sibson
1978).
Dalam analisis Procrustes, nilai perbedaan
minimum dari dua atau lebih konfigurasi
dihitung
dengan
menggunakan
tiga
transformasi geometris yaitu translasi, rotasi,
dan dilasi. Ketiga transformasi tersebut dapat
digunakan
untuk
menentukan
ukuran
kesesuaian yang optimal.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah:
1. Menghitung ukuran kesesuaian analisis
korespondensi melalui analisis Procrustes.
2. Mengaplikasikan analisis korespondensi
pada dua contoh data, yaitu hubungan
antara kategori perokok dengan kelompok
pegawai serta hubungan antara provinsi
dengan lapangan pekerjaan utama.

LANDASAN TEORI
Dekomposisi Nilai Singular
Definisi 1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
Misalkan
adalah suatu matriks � × � .
Skalar disebut sebagai nilai eigen atau nilai
karakteristik dari jika terdapat suatu vektor
taknol , sehingga
= . Vektor disebut
vektor eigen atau vektor karakteristik matriks
yang bersesuaian dengan (Leon 2001).
Definisi 2 (Nilai Singular)
Misalkan
adalah suatu matriks � × .
Nilai-nilai singular dari
adalah akar dari
nilai eigen yang positif dari matriks T atau
T
(Leon 2001).
Definisi 3 (Dekomposisi Nilai Singular)
Setiap matriks
yang berdimensi � ×
dapat dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi
Nilai Singular (DNS) sebagai berikut:

�

=

�

T

(1)

(Jolliffe 2002), di mana
dan
masingmasing dengan
kolom ortonormal,
merupakan pangkat matriks
dengan
min �, . T = T = � , dengan �
merupakan matriks identitas berpangkat
.
,
,
…
,
dengan
= diag
2
1
1
, = 1,2, …
> 0 dan
2
merupakan nilai singular dari matriks .
Matriks
adalah matriks yang kolomkolomnya terdiri atas vektor eigen
yang
berpadanan dengan nilai eigen taknol i dari
matriks T . Matriks adalah matriks yang
kolom-kolomnya merupakan vektor eigen
yang berpadanan dengan nilai eigen taknol
T
dari matriks
dalam bentuk
= �1 , �2 , … , �

2

1

=

2

,

1

2

,…,

.

(2)

Untuk membuktikan persamaan (1),
diperlukan fakta sebagai berikut:
1. T
= ↔
= , untuk sembarang
∈ℝ .
T
2. T dan
berpangkat r dan merupakan
matriks semidefinit positif dengan r nilai
eigen positif yang sama.
3. Nilai eigen matriks T dapat diurutkan
menjadi 1
> +1 = =
2
= 0 dengan vektor-vektor eigen yang
bersesuaian
adalah
,
1, 2, … ,
T
. Nilai eigen matriks
+1 , … ,
dapat diurutkan menjadi 1
2
> +1 = = � = 0 dengan vektorvektor eigen yang bersesuaian adalah
, � +1 ,
�1 = 1 , �2 = 2 , … , � =
λ2

1

λ

… , �� . Matriks
= �1 , �2 , … , � dan
merupakan matriks
= 1, 2, … ,
dengan kolom-kolom yang ortonormal.
4. Karena
merupakan
1, 2, … ,
T
= �.
matriks ortogonal, maka
=1
T
T
,
untuk
=
i i
=1 i i
=1
5.
sembarang
∈ℝ .
Bukti:
=

Misalkan

1

λ1

2

,

λ2

T

=

,

1

=

0

1

1,

2
2

,…,

2, … ,

,

0

2

0
T
1
T
2

0
0
⋱

di mana T = �� ,
diag
1,
=

T

2, … ,

�−

= � , dan

−

�−

.

−

Definisi 5 (Dekomposisi Nilai Singular
Terampat)
Jika diberikan matriks definit positif
� ( � × �) dan � ( × ) dan X merupakan
matriks data berdimensi � ×
maka
Dekomposisi Nilai Singular Terampat (DNS
Terampat) dari matriks X dapat dinyatakan
sebagai
T
(4)
=
T
T
dengan
� = � =�
dan
merupakan matriks diagonal nilai singular
dengan 1
> 0 . Matriks
dan
2
dapat dicari dengan DNS dari matriks
�1/2 �1/2 yaitu
�

1/2

�1/2 �1/2 =
T

�

1/2

T

(5)

T

=

di mana
=
= � sehingga diperoleh
= �−1/2 ,
= , dan = � −1/2 W. (6)

,
λ1 , λ2 , … , λ .

Diperoleh

1

λ

2, … ,

= 1,
= iag
�

,…,

Definisi 4 (Dekomposisi Nilai Singular
Bentuk Lengkap)
Setiap matriks berdimensi � × dapat
dinyatakan sebagai bentuk Dekomposisi Nilai
Singular Bentuk Lengkap (DNSBL) sebagai
berikut:
T
(3)
= � �
�

T
1
T
2
T

T

T
= =1
T
=
=1
T
+
=
=1
T
T
+
=
=1
= +1
T
=
=1
= �
= .
Dekomposisi nilai singular tidak bersifat
tunggal. Jika vektor-vektor kolom matriks
dan
ingin dilengkapi sehingga
dan
menjadi matriks-matriks ortogonal yang
masing-masing memiliki dimensi � × � dan
× , maka DNS dapat dituliskan ke dalam
bentuk DNS Bentuk Lengkap (DNSBL).

T

T

Definisi 6 (Jarak Euclid)
Jarak Euclid antara dan dari matriks
= 1 , 2 , … , n T didefinisikan sebagai
�
,

=

i

(Jolliffe 2002).

−

T

j

i

−

j

(7)

Definisi 7 (Jarak Mahalanobis)
Jarak Mahalanobis antara
dan
dari
matriks � = 1 , 2 , … , � T didefinisikan
sebagai
�

,

=

−

T

−1

−

, (8)

dengan S adalah matriks koragam yang
diperoleh dari . Diasumsikan berpangkat
sehingga −1 ada (Jolliffe 2002).
Definisi 8 (Teras)
Misalkan adalah suatu matriks � × � .
Teras dari matriks
atau ditulis tr
merupakan jumlah elemen-elemen diagonal
utama dari :
tr = �=1 y
(Leon 2001).

3

Definisi 9 (Jarak khi-kuadrat)
Jarak khi-kuadrat didefinisikan sebagai
�2 =

�
=1

=1

� −

2

(9)

dengan
� = nilai frekuensi pengamatan pada baris
ke-i dan kolom ke-j (� = � ),
= nilai frekuensi harapan di mana
� . �.
=
�..
� . = jumlah frekuensi pada baris ke-i,
�. = jumlah frekuensi pada kolom ke-j,
� = banyaknya baris,
= banyaknya kolom
(Daniel 1990).
Analisis Korespondensi
Analisis korespondensi ditemukan dan
dikembangkan pertama kali tahun 1960-an di
Perancis
(Benzecri
1969).
Analisis
korespondensi merupakan bagian analisis
peubah ganda yang memelajari hubungan
antara dua atau lebih variabel dengan
memeragakan baris dan kolom secara
serempak dari tabel kontingensi dalam ruang
berdimensi rendah dengan menggunakan jarak
khi-kuadrat.
Analisis
korespondensi
digunakan untuk mereduksi dimensi variabel
dan menggambarkan profil vektor baris dan
profil vektor kolom suatu matriks data dari
tabel kontingensi (Greenacre 1984).
Tujuan yang ingin dicapai dalam analisis
korespondensi antara lain mengetahui
hubungan antara satu kategori variabel baris
dengan satu kategori kolom serta menyajikan
setiap kategori variabel baris dan kolom dari
tabel kontingensi sehingga dapat ditampilkan
secara bersama-sama pada satu ruang vektor
berdimensi kecil secara optimal.
Andaikan N merupakan matriks data yang
unsur-unsurnya
bilangan
tak
negatif
berukuran � × , di mana n menunjukkan
banyaknya baris dan p menunjukkan
banyaknya kolom. Tabel kontingensi dari N
adalah tabel yang mencatat data hasil
pengamatan dengan melibatkan dua variabel,
variabel I dan variabel II. Variabel I sebagai
variabel baris terdiri dari i kategori dan
variabel II sebagai variabel kolom terdiri dari j
kategori. Sel yang dibentuk baris ke-i dan
kolom ke-j memunyai frekuensi pengamatan
� yang ditunjukkan seperti pada Tabel 1.

Tabel 1 Bentuk umum tabel kontingensi
Variabel
Variabel 2
Total
1
1
2
...
p
1
�11 �12 ... �1
�1.
2
�21 �22 ... �2
�2 .
...
...
...
...
...
...
n
��1 ��2 ... ��
�� .
Total
�.1 �.2 ... �.
�..
(Greenacre 1984)
dengan
� . = =1 �

�. =

�.. =

�
=1 �
�
=1
=1 �

(10)

di mana i = 1, 2, ..., n dan j = 1, 2, ..., p.
Matriks Korespondensi
Matriks korespondensi P didefinisikan
sebagai matriks yang unsur-unsurnya adalah
unsur matriks N yang telah dibagi dengan
jumlah total unsur matriks N.
=

1

(11)

� .. .

dengan �.. = T
. Dari Tabel 1 diperoleh
matriks korespondensi seperti pada Tabel 2
berikut.
Tabel 2 Bentuk umum matriks korespondensi
Variabel
Variabel 2
1
1
2
...
p
1
...
1
11
12
2
...
2
21
22
...
...
...
...
...
n
...
�
n1
n2
Total
...
.
.1
.2
(Greenacre 1984)
Vektor jumlah baris matriks P ialah
�=
= 1. , 2. , … , � . T

= ( 1 , 2 , … , � )T .
Vektor jumlah kolom matriks P ialah
� = T = .1 , .2 , … , .
=

1, 2, … ,

.

Total
1.
2.

...
�.

1

(12)

(13)
Matriks diagonal dari elemen-elemen vektor
jumlah baris r adalah
yang berukuran
� × � dan
adalah matriks diagonal dengan
ukuran
×
dari elemen-elemen vektor
jumlah kolom c dengan
0 … 0
1.
… 0 (14)
0
2.
= diag � =
⋱
�.
0 0 …
dan

4

… 0
… 0 (15)
.
⋱
.
0 …
0

.1

0

= diag � =

.2

0

Matriks Profil Baris dan Kolom
Matriks profil baris dan profil kolom dari
P diperoleh dengan cara membagi vektor baris
dan vektor kolom dengan masing-masing
massanya. Matriks profil baris (R) dan profil
kolom (C) dinyatakan dengan:
=

−1

12

1

1.

1.

1.

�1

�2

=
�.

dan
=

11

−1

T

�.

11

21

.1

.1

1

2

.

.

=

⋱

�1T

=
�.

⋱

(16)

��T

�

�1

�1T

.1

�

=

�T

.

.
(17)

Pemilihan Jarak
Untuk menghitung jarak profil baris atau
kolom dalam kategori yang sama digunakan
jarak khi-kuadrat yang didefinisikan:
jarak antara profil baris � dan profil baris �
adalah
d2 � , �

= � −�

T

d2 � , �

= � −�

T

−1

� −�

(18)

−1

� −�

(19)

jarak antara profil kolom � dan profil kolom
� adalah
Jika jarak khi-kuadrat antara dua baris atau
kolom adalah nol, maka kedua baris atau
kolom tersebut memiliki sebaran frekuensi
sama. Semakin besar jarak antarkedua baris
atau kolom, semakin besar pula perbedaan
sebaran frekuensi relatif kedua baris atau
kolom tersebut.

Dekomposisi Inersia
Keseluruhan perbedaan tiap ruang dari
setiap himpunan baris/kolom diukur dari total
inersianya. Total inersia adalah jumlah
kuadrat jarak terbobot dari titik-titik
(baris/kolom) terhadap sentroidnya. Total
inersia untuk titik baris ialah
in
= �=1 � − � T c −1 � − � . (20)
Total inersia untuk titik kolom ialah
T −1
� − � . (21)
� −�
in
= =1

Total inersia untuk titik baris dan titik kolom
secara bersamaan adalah
Inersia total =

−

2

=

χ2

�..

.

(22)

Dekomposisi Nilai Singular Terampat
Untuk
mereduksi
dimensi
data
berdasarkan keragaman data (nilai eigen/
inersia) terbesar dengan mempertahankan
informasi
yang
optimum
diperlukan
dekomposisi nilai singular. Dekomposisi nilai
singular terampat dari matriks adalah
T
(23)
− �� T =
di mana dan diperoleh dari penguraian
−1/2
nilai singular matriks −1/2 − �� T
dan berlaku
−1
T
= T −1 = �;
>0
1
2
dengan
merupakan matriks diagonal yang
berukuran
× dari nilai singular
dari
− �� T , dan masing-masing merupakan
sumbu utama dari baris dan kolom.
Dengan demikian, matriks koordinat profil
baris dan matriks koordinat profil kolom
dinyatakan sebagai
(24)
= −1
dan
(25)
.
= −1
Penggambaran dalam ruang berdimensi
rendah, misalnya s, maka koordinat yang
digunakan untuk menggambarkan profil-profil
tersebut adalah s unsur pertamanya.
Hubungan antarkategori ditelusuri melalui
formula transisi, yaitu
−1
=
(26)
dan
−1
(27)
.
=
Jumlah kuadrat terbobot dari titik-titik
koordinat sekitar sumbu utama ke-s di setiap
himpunan sama dengan 2 , yang dinotasikan
oleh dan disebut inersia utama ke-s. Inersia
utama baris dan kolom adalah
2
T
(28)
≡
r =
2
T
(29)
≡
c =
(Greenacre 1984).
Kontribusi mutlak memberikan informasi
mengenai proporsi inersia yang dapat
diterangkan oleh masing-masing kategori
terhadap pembentukan sumbu utama. Rumus
untuk menghitung kontribusi mutlak (KM)
untuk baris dan kolom yaitu sebagai berikut:
KM =

2

×
2

(30)

dan
KM =

2

×
2

(31)

dengan :
KM = kontribusi mutlak kategori baris ke-i
terhadap pembentukan sumbu ke-s
KM = kontribusi mutlak kategori kolom ke-j

5

terhadap pembentukan sumbu ke-s
= koordinat baris ke-i pada sumbu ke-s
2
= koordinat kolom ke-j pada sumbu ke-s
= nilai singular ke-s.
Kontribusi relatif atau koordinat kosinus
digunakan untuk melihat proporsi inersia dari
setiap kategori yang diterangkan oleh sumbu
utama yang terbentuk. Rumus untuk
menghitung masing-masing kontribusi relatif
untuk baris dan kolom adalah
2

2

KR =

2

(32)

dan
2

KR =

2

(33)

di mana KR dan KR
adalah kontribusi
relatif kategori ke-i dan kategori ke-j yang
dijelaskan oleh sumbu ke-s.
Kontribusi relatif yang tinggi pada suatu
titik untuk sumbu utama ke-s, menunjukkan
bahwa sumbu utama ke-s menjelaskan inersia
titik tersebut dengan baik. Secara umum
tingginya kontribusi titik terhadap inersia
sumbu utama berimplikasi pada tingginya
kontribusi relatif sumbu utama tersebut.
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi
dapat
Besaran
�12 , … , � 2
diinterpretasikan
sebagai
besarnya
kontribusi yang diberikan pada total inersia
oleh dimensi pertama, kedua, dan seterusnya,
sehingga besaran relatif untuk mengukur
besarnya
kehilangan
informasi
dapat
dirumuskan sebagai berikut :
GFAK

,

=

=1 �

=1 �

2
2

× 100%

(34)

dengan � merupakan nilai singular dari
matriks X dan maka konfigurasi
1, 2, … ,
kedua berada dalam subruang dari ruang
berdimensi . Perbedaan dimensi ruang ini
dapat diselesaikan dengan
memasangkan
− kolom nol di kolom mana saja termasuk

memasangkan − di kolom terakhir dari
sehingga menjadi matriks berukuran � ×
(Siswadi et al. 2012). Dengan demikian, tanpa
mengurangi keumuman dapat diasumsikan
bahwa = .
Untuk menentukan nilai perbedaan dari
konfigurasi
dan
, analisis Procrustes
menggunakan jumlah kuadrat jarak antartitik
yang bersesuaian, yaitu
2
, = �=1 =1
−
(35)
= tr − T − .
Nilai perbedaan minimum dihitung dengan
menggunakan tiga transformasi geometris
yaitu translasi, rotasi, dan dilasi yang
diberikan oleh Bakhtiar dan Siswadi (2011).
1. Translasi
Definisi 10 (Sentroid)
Misalkan
=
, maka sentroid
kolom dari matriks dinotasikan sebagai
= ( ∙1 , ∙2 , … , ∙ ), di mana
1

=

∙

�

�
=1

= 1,2, … .

,

Dalam analisis Procrustes, translasi
diartikan sebagai proses pemindahan
seluruh titik dengan jarak yang tetap dan
arah yang sama. Penguraian persamaan
(34) menghasilkan:
,
=
2
∙

�
=1
�
=1

−

=1
=1
∙

+�

−
−

−
−

∙

∙

−

∙

−
−

2
∙

.

2
∙

∙

−

(36)
Penguraian persamaan (36) menghasilkan
, =
(37)
� , � + � �XY
di mana
=
−
,
�
� X
− � Y,
� =
=1

2

�XY = =1 ∙ − ∙ .
dan
� merupakan konfigurasi
�
dan
setelah ditranslasi. X dan Y
masing-masing adalah sentroid kolom dari
dan , � merupakan vektor kolom
berukuran � × 1 yang semua unsurnya
bernilai 1, sedangkan �XY merupakan jarak
kuadrat dari kedua sentroid kolom dan
. Penyesuaian optimal dengan translasi
dapat dilakukan dengan menghimpitkan
sentroid kolom dan sehingga �XY = 0.
Dengan demikian, nilai perbedaan
minimum dari konfigurasi dan setelah
dilakukan penyesuaian optimal dengan
translasi adalah
, =
�, �
�
=

�
=1

=1

−

∙

−

−

2

∙

.

(38)

6

2. Rotasi
Rotasi merupakan proses pemindahan
seluruh konfigurasi titik dengan sudut
yang tetap tanpa mengubah jarak setiap
titik terhadap sentroidnya. Rotasi
terhadap dilakukan dengan mengalikan
matriks
dengan matriks ortogonal ,
yaitu
, =
,
dengan T =
T
= �.
Nilai perbedaan minimum dari
konfigurasi
dan
setelah dilakukan
penyesuaian dengan rotasi adalah
(39)
, = inf
,
.
Berdasarkan persamaan (35), nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
dapat dituliskan sebagai
,
= tr

−

= tr

T

= tr

T

= tr

T

= tr
tr(

T

−

T

= tr
= tr

T

−

T
T

−

T

) − tr

T

T

T

T

T

−

T

= tr
tr(

T

) − tr

−

−

T

T

) − 2 tr
+ tr T
T

T

−

T

T

T

− tr

− tr

T

+
T

+
T

T

+ tr( T
− 2 tr T

T
T

T
T

+

+

. (40)

Nilai tr
yang semakin besar
akan meminimumkan
,
. Jadi,
harus dipilih matriks ortogonal
yang
memaksimumkan tr T
.
Teorema
Jika ,
dan
matriks ortogonal
dengan ∈ ℝ�× , ∈ ℝ�× , dan
∈
ℝ ×
maka nilai tr T
akan
maksimum bila dipilih = ��T dengan
���T merupakan hasil Dekomposisi
Nilai Singular Bentuk Lengkap (DNSBL)
dari matriks T .
Bukti:
Misalkan ���T merupakan hasil
T
DNSBL dari matriks
, sehingga
T
T
= � � � . � = (σ ) adalah
matriks diagonal dengan σ ∈ ℝ, � dan
� masing-masing merupakan matriks
ortogonal, sehingga
T
tr T
= tr

Karena
ortogonal,

= tr ���T
= tr �T �� .
merupakan
matriks
akibatnya �T � juga

ortogonal. Misalkan �T � = =
maka berlaku −1
1, sehingga
tr T
= tr �
(σ )
= �=1

,

tr � .
Jadi, tr � akan maksimum jika
� = �T �� = � . Kondisi ini dapat
terpenuhi jika = ��T (Bakhtiar 1995).
Berdasarkan
teorema
tersebut,
penyesuaian optimal dengan rotasi dapat
dilakukan dengan memilih matriks
ortogonal
= ��T . Nilai perbedaan
minimum setelah penyesuaian optimal
dengan rotasi dapat dituliskan menjadi
, = tr T ) + tr( T − 2 tr � .
(41)

3. Dilasi
Dilasi merupakan proses penskalaan
data melalui pembesaran/pengecilan jarak
setiap titik dalam konfigurasi terhadap
sentroidnya. Dilasi terhadap dilakukan
dengan cara mengalikan konfigurasi
dengan suatu skalar , yaitu
, =
,
. Nilai perbedaan minimum dari
dua konfigurasi dan setelah dilakukan
penyesuaian dengan dilasi adalah
(42)
, = inf
,
.
Berdasarkan persamaan (35), nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan dilasi
dapat dituliskan sebagai
,
T
= tr −
−
= tr

T

= tr

T

= tr

T

= tr

T

2

T

−

−

T

tr
T

= tr
2

−

T

tr

T

T

− tr

− tr

−

−

−

T

T

T

T

+

T

− tr

− tr

2

T

+

2
T

T

T
T

+

+

= tr T − 2 tr T + 2 tr T . (43)
Persamaan (43) merupakan bentuk
fungsi kuadrat dengan variabel sehingga
untuk meminimumkan nilai
,
,
turunan pertamanya harus sama dengan
nol dan turunan keduanya lebih besar dari
nol.
= −2 tr T + 2 tr T
0

2 tr

�

= −2 tr T
= 2 tr �
tr T
=
.
tr T

+ 2 tr

T

(44)

7

2
2

= −2 tr
= 2 tr

T
T

+ 2 tr

T

> 0.

Dari (a) dan (b), diketahui bahwa
nilai
,
minimum pada saat
memiliki nilai seperti pada persamaan
(44). Dengan menyubstitusikan nilai ,
nilai
perbedaan
minimum
setelah
penyesuaian optimal dengan dilasi
menjadi:
,
= tr T − 2c tr T + 2 tr T
tr T
tr T +
= tr T − 2
tr T
2
tr T
tr T
tr T
tr 2 T
tr 2 T
+
= tr T − 2
tr T
tr T
2
T
tr
(45)
= tr T −
.
tr T

Dengan menggunakan aljabar sederhana,
secara analitik telah dibuktikan bahwa dalam
analisis Procrustes, urutan pengerjaan yang
menghasilkan jarak paling minimum adalah
translasi-rotasi-dilasi. Bukti dapat dilihat di
Bakhtiar dan Siswadi (2011).
Secara umum, ukuran kesesuaian analisis
korespondensi dan analisis Procrustes
diberikan sebagai berikut:
1. Analisis korespondensi
,

GFAK

=

=1 �

2

2
=1 �

× 100%,

(46)

dengan � merupakan nilai singular dari
matriks X.
2. Analisis Procrustes
GFP

,

=1−

�

tr

,
T

,

(47)

,
merupakan nilai
dengan
�
perbedaan minimum translasi, rotasi dan
dilasi dari matriks X terhadap matriks Y.

8

PEMBAHASAN
Ukuran Kesesuaian Analisis Korespondensi
melalui Analisis Procrustes
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi
untuk tampilan gambar (representasi) tanpa
memperhitungkan massa akan dicari masingmasing menggunakan matriks koordinat profil
baris dan kolom sebagai matriks data yang
didefinisikan dengan F dan G dengan matriks
pendekatannya masing-masing yaitu M dan N
melalui
analisis
Procrustes
dengan
menentukan nilai perbedaan minimum yang
dilakukan menggunakan tiga transformasi
geometri, yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Ukuran kesesuaian analisis korespondensi
untuk setiap matriks menggunakan analisis
Procrustes melalui transformasi geometri
translasi, rotasi dan dilasi diberikan pada
pembahasan berikut.
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat
Profil Baris
Penyesuaian dengan Translasi
Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika
jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama
dengan nol � = 0 . Nilai perbedaan
minimum melalui proses translasi adalah
,
=
(48)
�,
� +�� .
Pada matriks data F diperoleh
≠ T
dan
≠ T sehingga � ≠ 0 . Dengan
demikian
transformasi
translasi
perlu
dilakukan. Ilustrasi bahwa
≠ T dan
≠ T diberikan pada Lampiran 3.

Penyesuaian dengan Rotasi
Misalkan F � merupakan matriks F yang
telah ditranslasi dan M � merupakan matriks
M yang telah ditranslasi sebagai matriks
pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan
translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan
matriks M� dengan matriks ortogonal . Nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
sesuai dengan persamaan (40) menjadi
F� , M�
= tr F� T F� + tr M � T M � − tr F � T M � .
(49)

Nilai
F� , M�
tersebut akan minimum
dengan
memaksimumkan
tr F � T M �
dengan
= ��T yang diperoleh dari
DNSBL F� T M� = ���T . Jika = � maka
F� , M� = F � , M� . Karena
≠�
sehingga perlu dicari matriks ortogonal Q
F� , M � . Oleh karena
untuk memperoleh

itu, transformasi rotasi perlu dilakukan.
Ilustrasi bahwa
≠ � diberikan pada
Lampiran 4.

Penyesuaian dengan Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan setelah
transformasi translasi dan rotasi dilakukan.
Dilasi F � terhadap M � dilakukan dengan
mengalikan konfigurasi M� dengan suatu
skalar . Nilai perbedaan setelah penyesuaian
dengan dilasi dapat ditulis sebagai:
F � , M�
= tr F� T F� + 2 tr M� T M�
(50)
−2 tr F� T M� .
Persamaan (50) merupakan bentuk dari
fungsi kuadrat dengan variabel , sehingga
nilai
yang
meminimumkan
nilai
F � , M� yaitu
tr F� T M�
.
=
tr M� T M�
Dengan menyubstitusikan nilai
ke
persamaan (50), diperoleh nilai perbedaan
minimum:
, 
�

= tr F� T F� −

tr 2 F� T M�

tr M� T M�

.

(51)

Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
perhitungan berikut:
,
�
GFP F,M = 1 −
2
=1−

tr F � T F � −

tr F � T F�

=1− 1−

=

tr 2 F� T M�
tr M� T M �

tr 2 F � T M�

tr F � T F� tr M� T M �

tr 2 F� T M�

tr F� T F� tr M� T M�

.

(52)

Dengan demikian, ketiga transformasi
perlu dilakukan dalam analisis Procrustes
untuk mendapatkan ukuran kesesuaian
analisis korespondensi matriks profil baris
dengan pendekatannya.

9
Ukuran Kesesuaian Matriks Koordinat
Profil Kolom
Penyesuaian dengan Translasi
Nilai perbedaan minimum diperoleh ketika
jarak kedua sentroid dari kedua matriks sama
dengan nol � = 0 . Nilai perbedaan
minimum melalui proses translasi adalah
,
=
(53)
�, � + � � .
Pada matriks data G diperoleh
≠ T
T
dan
≠
sehingga � ≠ 0 . Dengan
demikian
transformasi
translasi
perlu
dilakukan. Ilustrasi bahwa
≠ T dan
≠ T diberikan pada Lampiran 5.

Penyesuaian dengan Rotasi
Misalkan G � merupakan matriks G yang
telah ditranslasi dan N � merupakan matriks
yang telah ditranslasi sebagai matriks
pendekatannya. Setelah penyesuaian dengan
translasi, dilakukan rotasi dengan mengalikan
matriks N� dengan matriks ortogonal . Nilai
perbedaan pada penyesuaian dengan rotasi
sesuai dengan persamaan (40) menjadi
G � , N�
= tr G� T G � + tr N � T N�
−2 tr G � T N � .
(54)

Nilai G� , N� tersebut akan minimum
dengan
memaksimumkan
tr G � T N �
dengan
= ��T yang diperoleh dari
DNSBL G � T N� = ���T . Jika = � maka
≠ � seG � , N� = G � , N � . Karena
hingga perlu dicari matriks ortogonal Q untuk
G � , N� . Oleh karena itu,
memperoleh
transformasi rotasi perlu dilakukan. Ilustrasi
bahwa ≠ � diberikan pada Lampiran 6.
Penyesuaian dengan Dilasi
Transformasi dilasi dilakukan setelah
transformasi translasi dan rotasi dilakukan.
Dilasi G � terhadap N � dilakukan dengan
mengalikan konfigurasi N� dengan suatu
skalar . Nilai perbedaan setelah penyesuaian
dengan dilasi dapat ditulis sebagai:
G� , N�
= tr G� T G � + 2 tr N � T N � −
(55)
2 tr G � T N � .

Nilai
G � , c N�

yang meminimumkan
ialah
tr G � T N �
=
.
tr N� T N�

nilai

Dengan menyubstitusikan nilai
ke
persamaan (55), diperoleh nilai perbedaan
minimum:

�

= tr G � T G � −

,

tr 2 G� T N�
tr N� TN�

.

(56)

Ukuran kesesuaian berdasarkan nilai
perbedaan minimum diperoleh dengan
perhitungan berikut:
GFP ,
,
�
=1−
2
=1−

tr G � T G� −

tr 2 G � T N �
tr N � T N �

tr G � T G�

tr 2 G� T N�

=1− 1−

tr G � T G � tr N � T N �
tr G � T N �
=
.
tr G � T G � tr N� T N�
2

(57)

Dengan demikian, untuk mendapatkan
ukuran kesesuaian analisis korespondensi
diperlukan ketiga tahapan dalam analisis
Procrustes yaitu translasi, rotasi dan dilasi.
Contoh Aplikasi Analisis Korespondensi
Data yang digunakan untuk contoh
pertama aplikasi analisis korespondensi
adalah data hasil pengamatan kategori
perokok dengan kelompok pegawai dari
beberapa perusahaan yang bersumber pada
Greenacre (1984). Kategori perokok dari hasil
pengamatan dibedakan menjadi empat
kategori, yaitu kategori tidak merokok,
perokok ringan yang merokok 1 s.d 10 batang
perhari, perokok sedang yang merokok 11 s.d
20 batang perhari dan perokok berat yang
merokok lebih dari 20 batang perhari. Untuk
kelompok pegawai, dibedakan menjadi lima
yaitu manager senior, manager yunior,
pegawai senior, pegawai yunior dan
sekretaris. Banyaknya sampel yang diamati
adalah 193 orang (Tabel 3).
Tabel 3 Banyaknya
perokok
dengan
kelompok pegawai dari beberapa
perusahaan
Kelompok
Pegawai
Manager
Senior (1)
Manager
Yunior (2)
Pegawai
Senior (3)
Pegawai
Yunior (4)
Sekretaris
(5)

Kategori Perokok
TIDAK RINGAN SEDANG BERAT
4

2

3

2

4

3

7

4

25

10

12

4

18

24

33

13

10

6

7

2

10

Gambar 1 Plot analisis korespondensi data hasil pengamatan kategori perokok dengan
kelompok pegawai dari beberapa perusahaan
Berdasarkan plot analisis korespondensi
(Gambar 1) terlihat bahwa masing-masing
kelompok pegawai memiliki letak yang relatif
berjauhan, hal ini memberikan keterangan
bahwa masing-masing kelompok tidak
memiliki kemiripan dalam mengkonsumsi
jumlah rokok.
Perhitungan
analisis
korespondensi
menghasilkan total inersia sebesar 0.08519.
Dua dimensi pertama mampu menerangkan
99.5% dari total inersia (Lampiran 1).
Kontribusi baris yang paling besar dalam
pembentukan sumbu utama pertama diberikan
oleh pegawai senior sebesar 51.2%.
Sementara untuk sumbu utama kedua
diberikan oleh manager yunior sebesar 55.1%
(Lampiran 1). Kontribusi kolom yang paling
besar dalam pembentukan sumbu utama
pertama diberikan oleh kategori tidak pernah
merokok sebesar 65.4% dan untuk sumbu
utama kedua diberikan oleh kategori perokok
berat sebesar 50.6% (Lampiran 1).
Nilai kontribusi relatif baris kelompok
manager yunior, pegawai senior, pegawai
yunior, dan staf sekretaris lebih besar
diterangkan oleh sumbu utama pertama,
sementara kelompok manager senior lebih
besar diterangkan oleh sumbu utama kedua.
Kontribusi relatif kolom untuk kategori tidak
merokok, perokok sedang dan perokok berat
lebih besar diterangkan oleh sumbu utama
pertama dan perokok ringan oleh sumbu
utama kedua.
Ukuran kesesuaian untuk data kategori
perokok dengan kelompok pekerjaan dari
beberapa perusahaan yang dihitung melalui
analisis Procrustes masing-masing untuk

profil baris dan kolom sebesar 98.64% dan
99.53% (Lampiran 1).
Contoh data kedua aplikasi analisis
korespondensi adalah data penduduk berumur
15 tahun ke atas yang bekerja selama
seminggu yang lalu menurut provinsi dan
lapangan pekerjaan utama yang diolah dari
Hasil Survei Angkatan Kerja Nasional
(Sakernas) Agustus 2011 yang dilakukan oleh
Badan Pusat Statistik.
Kategori lapangan pekerjaan utama yaitu
(A)
pertanian-kehutanan-perburuanperikanan, (B) pertambangan-penggalian, (C)
industri pengolahan, (D) listrik-gas-air, (E)
bangunan, (F) perdagangan besar-eceranrumah
makan-hotel,
(G)
angkutanpergudangan-komunikasi, (H) keuanganasuransi-usaha persewaan bangunan-tanahjasa perusahaan, dan (I) jasa kemasyarakatansosial-perorangan. Untuk kelompok provinsi
dibedakan menjadi (1) Aceh, (2) Sumatera
Utara, (3) Sumatera Barat, (4) Riau, (5)
Kepulauan Riau, (6) Jambi, (7) Sumatera
Selatan, (8) Kepulauan Bangka Belitung, (9)
Bengkulu, (10) Lampung, (11) DKI Jakarta,
(12) Jawa Barat, (13) Banten, (14) Jawa
Tengah, (15) DI Yogyakarta, (16) Jawa
Timur, (17) Bali, (18) Nusa Tenggara Barat,
(19) Nusa Tenggara Timur, (20) Kalimantan
Barat, (21) Kalimantan Tengah, (22)
Kalimantan Selatan, (23) Kalimantan Timur,
(24) Sulawesi Utara, (25) Gorontalo, (26)
Sulawesi Tengah, (27) Sulawesi Selatan, (28)
Sulawesi Barat, (29) Sulawesi Tenggara, (30)
Maluku, (31) Maluku Utara, (32) Papua dan
(33) Papua Barat. Banyaknya sampel yang
diamati adalah 109.670.399 orang (Tabel 5).

11

Tabel 5 Penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama pada 2011
Lapangan Pekerjaan Utama
Total
No
Provinsi
A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
Aceh
898225
11739
72509
3966
113934
299183
69173
25040
358704
1852473
2
Sumatera Utara
2595244
30288
483988
11390
332780
1208842
246883
118250
884449
5912114
3
Sumatera Barat
813699
29824
153130
9124
127991
441786
106972
40489
347710
2070725
4
Riau
1086037
37659
145753
10151
124939
490910
95364
56332
377035
2424180
5
Kepulauan Riau
97757
15952
195368
4551
59755
193860
48580
26728
139273
781824
6
Jambi
770848
21517
48786
4525
63098
231221
57533
22822
214648
1434998
7
Sumatera Selatan
2029448
42225
168171
5949
124580
558401
129687
61203
433440
3553104
8
Kep. Bangka Belitung
152884 148549
32186
1435
26817
111897
13214
11209
91443
589634
9
Bengkulu
456467
9480
25323
2828
43567
161061
26210
14795
133988
873719
10 Lampung
1715268
27239
358572
3636
162881
605747
129625
40446
438887
3482301
11 DKI Jakarta
30404
15284
690816
15894
163033 1642120
393284
440825
1196758
4588418
12 Jawa Barat
3675713
131781
3571915
35078 1194823
4554503 1096994
494960
2699014 17454781
13 Banten
630122
62908
1140427
18050
231911
1118385
295786
201536
830535
4529660
14 Jawa Tengah
5376452
79440
3046724
29152
1097380 3402091
563144
264681
2057071
15916135
15 DI Yogyakarta
431070
12464
266768
4247
133128
480136
68200
50063
352519
1798595
16 Jawa Timur
7520067
132588
2665473
24399 1158525 3908294
709844
362314
2458836
18940340
17 Bali
556615
12635
290132
6859
185705
596527
81744
83281
391376
2204874
18 Nusa Tenggara Barat
872088
49587
169577
2508
89284
370239
85578
29560
293819
1962240
19 Nusa Tenggara Timur
1360265
23627
124697
2420
59405
147439
87407
20810
270189
2096259
20 Kalimantan Barat
1294481
78646
89493
4409
97395
277324
51545
21002
232277
2146572
21 Kalimantan Tengah
605378
60463
31277
3712
52107
157741
29409
14373
151241
1105701
22 Kalimantan Selatan
756416
74277
117126
4317
94961
390121
77729
35752
274230
1824929
23 Kalimantan Timur
454258
162640
84554
7063
85327
364266
76774
48236
307885
1591003
24 Sulawesi Utara
321121
24806
65984
4653
82431
196182
73065
22856
199622
990720
25 Gorontalo
159123
15020
44015
175
28642
65851
34590
6401
91393
445210
26 Sulawesi Tengah
654739
26254
65750
1812
57492
190410
44314
15792
204436
1260999
27 Sulawesi Selatan
1469245
29038
223246
7831
178717
654516
181214
55828
575863
3375498
28 Sulawesi Barat
315762
5629
30973
1236
20758
72203
14685
4508
70294
536048
29 Sulawesi Tenggara
467200
38159
51782
1901
54277
169917
56418
11538
175356
1026548
30 Maluku
321494
5947
45338
2425
23356
92986
36882
7928
113756
650112
31 Maluku Utara
241341
7605
10763
809
18221
55287
27740
2929
73175
437870
32 Papua
1036520
33174
19885
2910
36358
130766
52225
16483
147906
1476227
33 Papua Barat
163164
8932
11580
221
16233
56325
17010
4392
58731
336588
Total
39328915 1465376 14542081 239636 6339811 23396537 5078822 2633362 16645859 109670399

12

Hasil plot analisis korespondensi dapat dilihat pada gambar 2.

Gambar 2 Plot analisis korespondensi data penduduk berumur 15 tahun ke atas yang bekerja
selama seminggu yang lalu menurut provinsi dan lapangan pekerjaan utama
Berdasarkan plot analisis korespondensi
(Gambar 2) diketahui bahwa penduduk di
provinsi 32, 19 dan 20 memiliki posisi yang
relatif berdekatan, hal ini memberikan
keterangan bahwa penduduk di provinsi
tersebut
memiliki
kemiripan
dalam
menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu
di bidang pertanian-kehutanan-perburuanperikanan. Penduduk di provinsi 5, 11 dan 13
memiliki karakteristik yang sama dalam
menentukan lapangan pekerjaan utama yaitu
di bidang keuangan-asuransi-usaha persewaan
bangunan-tanah-jasa perusahaan, hal ini
terlihat dari posisi yang relatif berdekatan.
Penduduk di provinsi 8 dan 23 memiliki
karakteristik yang berbeda dengan penduduk
di provinsi lainnya dalam menentukan bidang
pekerjaan
utama
yaitu
di
bidang
pertambangan-penggalian, hal ini terlihat dari
posisi provinsi yang terletak berjauhan dengan
provinsi lainnya.
Perhitungan
analisis
korespondensi
menghasilkan inersia sebesar 0.16876. Dua
dimensi pertama mampu menerangkan
85.80% dari total inersia (Lampiran 2).
Kontribusi
baris
yang
besar
dalam
pembentukan sumbu utama pertama diberikan
oleh provinsi 11 sebesar 22.6 % dan untuk
sumbu utama kedua diberikan oleh provinsi 8
sebesar 53.7 % (Lampiran 2). Kontribusi
kolom yang paling besar dalam pembentukan
sumbu utama pertama diberikan oleh lapangan
pekerjaan utama di bidang pertanian-

kehutanan-perburuan-perikanan (A) sebesar
55.1 % dan untuk sumbu utama kedua
diberikan oleh lapangan pekerjaan utama di
bidang pertambangan-penggalian (B) sebesar
86 % (Lampiran 2).
Dari hasil perhitungan, nilai kontribusi
relatif baris untuk provinsi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 26,
27, 28, 29, 30, 31, 32 dan 33 lebih besar
diterangkan oleh sumbu utama pertama,
sementara provinsi 8, 14, 16, 22, 23, 24 dan
25 lebih besar diterangkan oleh sumbu utama
kedua. Pada hasil perhitungan kontribusi
relatif kolom, kategori lapangan pekerjaan
utama di bidang pertanian-kehutananperburuan-perikanan (A), industri pengolahan
(C), bangunan (E), perdagangan besar-eceranrumah
makan-hotel
(F),
angkutanpergudangan-komunikasi (G), keuanganasuransi-usaha persewaan bangunan-tanahjasa perusahaan (H) dan jasa kemasyarakatansosial-perorangan (I) lebih besar diterangkan
oleh sumbu utama pertama dan lapangan
pekerjaan utama di bidang pertambanganpenggalian (B) dan listrik-gas-air (D) oleh
sumbu utama kedua.
Ukuran kesesuaian untuk data penduduk
berumur 15 tahun ke atas yang bekerja selama
seminggu yang lalu menurut provinsi dan
lapangan pekerjaan utama yang dihitung
melalui analisis Procrustes untuk profil baris
dan kolom masing-masing sebesar 91.83%
dan 88.25% (Lampiran 2).

13

SIMPULAN
Dalam analisis korespondensi, untuk
mendapatkan
ukuran
kesesuaian
bagi
pendekatan matriks data F dan G untuk profil
baris dan kolom dengan menggunakan analisis
Procrustes, ketiga transformasi yaitu translasi,
rotasi dan dilasi perlu dilakukan. Ukuran
kesesuaian analisis korespondensi melalui
analisis Procrustes diterapkan pada dua contoh
data. Pertama yaitu data hasil pengamatan
kategori perokok dengan kelompok pegawai
dari beberapa perusahaan yang bersumber

pada Greenacre (1984) yang menghasilkan
ukuran kesesuaian melalui analisis Procrustes
untuk setiap matriks profil baris dan kolom
sebesar 98.64% dan 99.53%. Kedua yaitu data
penduduk berumur 15 tahun ke atas yang
bekerja selama seminggu yang lalu menurut
provinsi dan lapangan pekerjaan utama
menghasilkan ukuran kesesuaian melalui
analisis Procrustes untuk setiap matriks profil
baris dan kolom sebesar 91.83% dan 88.25%.

DAFTAR PUSTAKA
Abdi, H. 2007. Singular Value Decomposition
(SVD) and Generalized Singular Value
Decomposition (GSVD). In N.J. Salkind
(Ed.): Encyclopedia of Measurement and
Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage.
Abdi H, Williams LJ. 2010. Correspondence
Analysis. In Neil Salkind (Ed.):
Encyclopedia of Research Design.
Thousand Oaks (CA): Sage.
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2012.
Statistik Indonesia 2012. Jakarta: BPS.
Bakhtiar T. 1995. Tinjauan terhadap Urutan
Pengerjaan Transformasi Geometris pada
Analisis Procrustes untuk Mencari Norma
Kuadrat Perbedaan Minimum [Skripsi].
Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal
Procrustes Analysis: Its Transformation
Arrangement and Minimal Distance.
International
Journal
of
Applied.
Mathematics and Statistics 20:16  24.
Benzécri JP. (1969). Statistical analysis as a
tool to make patterns emerge from data. In
Watanabe(Ed.): Methodologies of Pattern
Recognition. New York: Academic Press.
Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric
Statistics. 2nd Ed. Boston: PWS-KENT.

.

Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications
of Correspondence Analysis. London:
Academic Press.
Greenacre MJ. 2007. Correspondence
Analysis in Practice. 2nd Ed. London:
Chapman and Hall.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component
Analysis. 2nd Ed. Berlin: Springer-Verlag.
Krzanowski WJ. 1990. Principles of
Multivariate
Analysis,
A
User’s
Perspective. New York: Oxford University
Press.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah; Hardani HW, editor. Jakarta:
Erlangga. Terjemahan dari: Linear
Algebra with Applications. 5th Ed.
Sibson R. 1978. Studies in the Robustness of
Multidimensional Scaling: Procrustes
Statistics. J. Roy. Statist. Soc. B 40(2):
234–238.
Siswadi, Bakhtiar T, Maharsi R. 2012.
Procrustes Analysis and the Goodness-offit of Biplots: Some Thoughts and
Findings. Applied Mathematical Sciences
6(72): 3579 – 3590.
Siswadi, Suharjo B. 1999. Analisis Eksplorasi
Data Peubah Ganda. Bogor: Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor.

LAMPIRAN

Lampiran 1 Hasil analisis korespondensi untuk data hasil pengamatan kategori perokok dengan
kategori pekerjaan
Matriks Korespondensi
0.0207 0.0104 0.0155
0.0207 0.0155 0.0363
= 0.1295 0.0518 0.0622
0.0933 0.1244 0.1710
0.0518 0.0311 0.0363

0.0104
0.0207
0.0207
0.0674
0.0104

Profil Baris

1
2
3
4
5
Margin

1
Tidak
0.364
0.222
0.490
0.205
0.400
-------0 .316

2
Ringan
0.182
0.167
0.196
0.273
0.240
-------0.233

3
4
Sedang Berat
0.273 0.182
0.389 0.222
0.235 0.078
0.375 0.148
0.280 0.080
-------- -------0.321
0.130

Margin
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000

Profil Kolom
1
0.066
0.044
0.048
0.080
-------0.057

Tidak
Ringan
Sedang
Berat
Margin

2
0.066
0.067
0.113
0.160
-------0.093

Dimensi Singular Value
1
0.27342
2
0.10009
3
0.02034
Total

3
0.410
0.222
0.194
0.160
-------0.264

Ine