Penentuan Jalur Alternatif untuk Menghindari Kemacetan Lalu Lintas dengan Menggunakan Algoritma Dijkstra (Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

(1)

PENENTUAN JALUR ALTERNATIF UNTUK MENGHINDARI

KEMACETAN LALU LINTAS DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA DIJKSTRA

(Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

SKRIPSI

DIKY LAMHOT FRANS FELI SIAHAAN

100803070

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014

(2)

PENENTUAN JALUR ALTERNATIF UNTUK MENGHINDARI KEMACETAN LALU LINTAS DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA DIJKSTRA

(Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DIKY LAMHOT FRANS FELI SIAHAAN 100803070

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Penentuan Jalur Alternatif untuk Menghindari Kemacetan Lalu Lintas dengan Menggunakan Algoritma Dijkstra (Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

Kategori : Skripsi

Nama : Diky Lamhot Frans Feli Siahaan

Nomor Induk Mahasiswa : 100803070

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Februari 2015

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Esther Sorta M Nababan, M.Sc Drs. Agus Salim Harahap, M.Si NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19540828 198103 1 004

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus,M.Si

(4)

PERNYATAAN

PENENTUAN JALUR ALTERNATIF UNTUK MENGHINDARI KEMACETAN LALU LINTAS DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA DIJKSTRA

(Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Februari 2015

DIKY LAMHOT FRANS FELI SIAHAAN 100803070

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang atas limpahan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Studi Penentuan Jalur Alternatif untuk Menghindari Kemacetan Lalu Lintas dengan Menggunakan Algoritma Dijkstra (Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan).

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi ini:

1. Bapak Drs. Agus Salim Harahap, M.Si dan Ibu Dr. Esther Sorta M Nababan, M.Sc sebagai Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing penulis serta memberikan nasihat dan pengarahan yang berharga kepada penulis selama proses pengerjaan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Si sebagai Dosen Pembanding yang memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si sebagai ketua Departemen Matematika dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si sebagai Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA USU yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama masa studi.

6. Orangtua penulis Bapak Timbul Siahaan dan Ibu Almarhum P. Lubis atas doa dan motivasi yang luar biasa yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan dan menjalani perkuliahan.

7. Teman-teman seperjuangan Angkatan 2010 Matematika FMIPA USU, yaitu Junko, Erick, Anna, Huide, Jentina, Mega, Nadin, Nadya, Naomi, Yurida, dkk.

(6)

8. Sahabat penulis Junko Andika Sidabutar yang mendukung dan memberikan nasihat, motivasi, dan semangat kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

9. Dan kepada semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan yang disebabkan keterbatasan pengetahuan serta pengalaman penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun dari semua pihak. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Medan, Februari 2015

Diky Lamhot F Siahaan 100803070

(7)

PENENTUAN JALUR ALTERNATIF UNTUK MENGHINDARI KEMACETAN LALU LINTAS DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA DIJKSTRA

(Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

ABSTRAK

Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas jalan. Kemacetan ini menghabiskan waktu yang sangat banyak sehingga memerlukan biaya transportasi yang banyak, gangguan yang serius bagi pengangkutan produk, penurunan tingkat produktivitas kerja, dan pemanfaatan energi kerja yang sia-sia. Oleh karena itu diperlukan peran aktif dari pengguna jalan sendiri untuk mengatasi kemacetan tersebut. Salah satu langkah yang paling efektif adalah menemukan jalur alternatif yang dapat dilalui utuk menghindari kemacetan yang terjadi. Oleh karena itu penulis membuat suatu penelitian untuk menemukan jalur alternatif dengan menggunakan algoritma djikstra yang dapat menemukan jalur tercepat dan terpendek. Penggunaan algoritma djikstra juga akan menghasilkan gambaran permasalahan dalam suatu pemodelan matematika. Lokasi penelitian dibagi bagi dan diberikan verteks tiap persimpangannya yaitu

v1,v2,v3,…,v29 sehingga apabila disatukan akan membentuk suatu graf berarah. Lalu dengan menggunakan algoritma djikstra akan memberikan keluaran berupa jalur alternatif yaitu jalur yang menghabiskan waktu yang lebih sedikit jika dibandingkan dengan melalui jalur macet, adapun jalur tersebut adalah v1 - v2 - v7

-v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29 dengan panjang jalur 283 m dan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan kedua (kedatangan dari v26 menuju v1) yaitu v26 - v23 - v22

-v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 dengan panjang jalur 1098 m. Kata kunci : Algoritma Djikstra, Rute Alternatif

(8)

DETERMINATION OF ALTERNATIVE PATHS TO AVOID TRAFFIC

JAM BY USING DIJKSTRA’S ALGORITHM

(Case Study: Waspada Intersection Medan)

ABSTRACT

Traffic jam is the condition of the delayed traffic caused by the large number of vehicles exceeding the capacity of the road. This traffic jam can spend too much time so that it needs too much fee, a serious disturbance for product transportation, the decrease of labor productivity level, and the utilization of labor energy in vain. Because of that, the active role of drivers is needed to overcome the traffic jam. One of the most efective solutions is finding the alternative paths which can be passed over to avoid the traffic jam. So, the author make a research for finding the alternative track by using Dijkstra’s algorithm which are able to find the fastest and the shortest path. The use of Dijkstra’s algorithm can also result in the description of problems in a mathematical modelling. The location of research is divided and given a vertex in each intersection called v1, v2, ... , v29 so that it will form a directed graph if it is combined. Then by using Dijkstra’s algorithm, it will give an output of alternative path, namely the path which spend a little more time if we compare with the jammed path. The alternative path is v1

-v2 - v7 - v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29 with the length of path is 283 m. The alternative path to avoid the second traffic jam (arrival from v26 to v1) is v26 - v23 - v22 -v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 with the length of path is 1098 m.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

BAB 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 2

1.5 Kontribusi Penelitian 2

1.6 Metodologi Penelitian 3

BAB 2. Landasan Teori 2.1 Pengertian Kemacetan 4

2.2 Definisi Transportasi 5

2.3 Teknik Perlalulintasan 6

2.4 Karakteristik Volume Lalu Lintas 6

2.5 Teori Graf 7

2.5.1 Macam-macam Graf 11

2.5.2 Terminologi dalam Graf 11

2.5.3 Graf Terhubung, Graf Berbobot, dan Subgraf 12

2.6 Algoritma Dijkstra 15

BAB 3. Hasil dan Pembahasan 3.1 Pengumpulan Data 17

3.1.1 Gambaran Umum Tempat Penelitian 17

3.1.2 Peta Wilayah dan Penetapan Verteks-verteks 18

3.2 Pengolahan Data 22

BAB 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 31

4.2 Saran 31

(10)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Lokasi-lokasi Verteks 20

(11)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Diagram Siklus Perluasan Ruas Jalan dan Transportasi 5

2.2 Graf G dengan Lima Simpul dan Lima Sisi 8

2.3 Graf Terhubung (Connected Graph) 12

2.4 Graf Berbobot (Weighted Graph) 13

2.5 Graf Berarah dan Berbobot 13

2.6 Graf dan Subgrafnya 14

3.1 Peta Wilayah Penelitian 18

3.2 Peta Wilayah Penelitian dengan Verteks 19

3.3 Hubungan Antara Verteks v1 dengan Verteks Lain yang Terdekat 22

3.4 Graf Hubungan Antara v1 dengan v2 dan v11 23

3.5 Hubungan Antara Verteks v11 dengan Verteks Lain yang Terdekat 23

3.6 Graf Hubungan v11 dengan v14 23

3.7 Hubungan Antara Verteks v12 dengan Verteks Lokasi Tujuan 24

3.8 Graf Akhir yang Menghubungkan v1 dengan v29 24

3.9 Graf Berbobot yang Menghubungkan v1 dengan v29 25

3.10 Hubungan Antara v26 dengan Verteks Lain yang Terdekat 26

3.11 Graf Hubungan Antara v26 dan v23 27

3.12 Hubungan Antara v23 dengan Verteks Lain yang Terdekat 27

3.13 Hubungan Antara v2 dengan Verteks Lokasi Tujuan 28

(12)

PENENTUAN JALUR ALTERNATIF UNTUK MENGHINDARI KEMACETAN LALU LINTAS DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA DIJKSTRA

(Studi Kasus: Simpang Empat Waspada Medan)

ABSTRAK

-v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29 dengan panjang jalur 283 m dan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan kedua (kedatangan dari v26 menuju v1) yaitu v26 - v23 - v22

-v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 dengan panjang jalur 1098 m. Kata kunci : Algoritma Djikstra, Rute Alternatif

(13)

DETERMINATION OF ALTERNATIVE PATHS TO AVOID TRAFFIC

JAM BY USING DIJKSTRA’S ALGORITHM

(Case Study: Waspada Intersection Medan)

ABSTRACT

(14)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas jalan. Kemacetan banyak terjadi di kota-kota besar, terutama yang tidak memiliki transportasi umum yang baik atau tidak seimbangnya kebutuhan jalan dengan kepadatan penduduk. Saat ini kemacetan bukanlah hal yang aneh lagi bagi masyarakat yang tinggal di kota besar.

Kemacetan disebabkan oleh beberapa faktor. Faktor yang pertama adalah volume kendaraan yang tidak sebanding dengan luas jalan yang ada. Tidak jarang kondisi jalan raya yang begitu kecil dilalui oleh kendaraan yang begitu banyak dan tidak sebanding. Apabila ada mobil yang parkir di bahu jalan, hal ini bisa mengakibatkan kemacetan. Faktor yang kedua adalah kurangnya kesadaran pengguna jalan. Kurangnya kesadaran pengguna jalan dapat menyebabkan jalan raya menjadi macet. Sebagai contoh, angkutan kota yang ingin menaikkan dan menurunkan penumpangnya tidak pada wilayah yang seharusnya dapat menimbulan kemacetan. Pengendara motor yang suka menyelip di sebelah kiri jalan juga dapat membuat lalu lintas menjadi kacau.

Penurunan kondisi jalan raya juga menjadi salah satu penyebab kemacetan yang merupakan dampak dari kemampuan pemeliharaan dan rehabilitasi jalan yang terbatas, laju perbaikan jalan yang lebih lambat dari laju kerusakan jalan, pertambahan volume lalu lintas maupun intensitas bahan yang terus meningkat. Banyak hal yang dapat ditimbulkan dari kemacetan, antara lain dapat meningkatkan waktu tempuh, biaya transportasi, gangguan yang serius bagi pengangkutan produk, penurunan tingkat produktivitas kerja, dan pemanfaatan energi kerja yang sia-sia. Kemacetan juga memberikan dampak yang serius bagi penurunan kualitas lingkungan perkotaan dan penurunan tingkat kesehatan.

(15)

Dengan melihat kondisi tersebut, maka penulis mengambil judul Penentuan Jalur Alternatif untuk Menghindari Kemacetan Lalu Lintas Menggunakan Algoritma Dijkstra (Studi Kasus Simpang Waspada Medan).

1.2Perumusan Masalah

Berdasaran latar belakang di atas, yang menjadi permasalahan adalah bagaimana menentukan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan lalu lintas menggunakan Algoritma Dijkstra.

1.3Batasan Masalah

Berdasarkan rumusan masalah, penulis membatasi lokasi penelitian di daerah simpang empat Waspada Medan. Penelitian dilakukan pada jam sibuk, yaitu pukul 07.00 – 08.00 WIB, pukul 11.30 – 13.00 WIB, dan pukul 17.30 – 18.30 WIB. Metode yang digunakan adalah Algoritma Dijkstra.

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menemukan rute alternatif untuk menghindari kemacetan dengan menggunakan Algoritma Dijkstra.

1.5Kontribusi Penelitian

Adapun ontribusi penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Sebagai bahan rujukan bagi dinas perhubungan dalam mengatasi permasalahan kemacetan di lokasi penelitian.

2. Melihat efektivitas Algoritma Dijkstra dalam menentukan jalur alternatif untuk menghindari emacetan lalu lintas.

(16)

1.6Metodologi Penelitian

Metodologi penelitian yang digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Studi Literatur

Tahap ini dilakukan dengan mengidentifikasi permasalahan, mengkaji, dan menganalisis Algoritma Dijkstra dalam memecahkan pemilihan rute alternatif.

2. Pengumpulan data

Pada tahap ini dilakukan penelitian di simpang Waspada, yang dilaksanakan pada jam sibuk.

3. Pengolahan data

Setelah dilaksanakan penelitian, maka data yang diperoleh akan diolah. Pengolahan data dibantu dengan menggunakan software photoshop. Data nantinya akan diformulasikan dalam bentuk model matematika sehingga diperoleh penyelesaian.

4. Membuat kesimpulan

Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan hasil analisis data sekaligus memberikan saran yang berkaitan dengan pengembangan penelitian sebelumnya.

(17)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Kemacetan

Kemacetan adalah situasi atau keadaan tersendatnya atau bahkan terhentinya lalu lintas yang disebabkan oleh banyaknya jumlah kendaraan melebihi kapasitas jalan. Kemacetan banyak terjadi di kota-kota besar, terutamanya yang tidak mempunyai transportasi publik yang baik atau memadai ataupun juga tidak seimbangnya kebutuhan jalan dengan kepadatan penduduk, misalnya Jakarta.

Kemacetan lalu lintas menjadi permasalahan sehari-hari di Jakarta, Surabaya, Bandung, Medan, Semarang, Makassar, Palembang, Denpasar, Jogjakarta, dan kota-kota besar lainnya di Indonesia. Jika arus lalu lintas mendekati kapasitas, kemacetan mulai terjadi. Kemacetan semakin meningkat apabila arus begitu besarnya sehingga kendaraan sangat berdekatan satu sama lain. Kemacetan total terjadi apabila kendaraan harus berhenti atau bergerak lambat.

Kemacetan adalah kondisi dimana arus lalu lintas yang lewat pada ruas jalan yang ditinjau melebihi kapasitas rencana jalan tersebut yang mengakibatkan kecepatan bebas ruas jalan tersebut mendekati atau melebihi 0 km/jam sehingga menyebabkan terjadinya antrian. Pada saat terjadinya kemacetan, nilai derajat kejenuhan pada ruas jalan akan ditinjau dimana kemacetan akan terjadi bila nilai derajat kejenuhan mencapai lebih dari 0,5.

Sudradjat, Tony Sumartono, Asropi (2011) dalam jurnalnya menyebutkan bahwa kemacetan lalu lintas biasanya meningkat sesuai dengan meningkatnya mobilitas manusia pengguna transportasi, terutama pada saat-saat sibuk. Kemacetan terjadi karena berbagai sebab diantaranya disebabkan oleh kelemahan sistem pengaturan lampu lalu lintas, banyaknya persimpangan jalan, banyaknya kendaraan yang turun ke jalan, musim, kondisi jalan, dan lain-lain. Berbagai usaha untuk menanggulangi kemacetan lalu lintas yang dilakukan adalah dengan

(18)

penambahan sarana jalan, pembangunan jalan tol, jalan layang, terowongan, sistem pengaturan lampu ATCS (Area Traffic Control System), dan lain-lain. Transportasi sangat erat kaitannya dengan perluasan lahan tanah. Drewe menggambarkan hubungan antara perkembangan transportasi dengan perluasan lahan tanah yang digambarkan seperti pada gambar.

Gambar 2.1 Diagram Siklus Perluasan Ruas Jalan dan Transportasi

2.2 Definisi Transportasi

Menurut Morlok (1991), transportasi adalah memindahkan atau mengangkut barang atau penumpang dari suatu tempat ke tempat lain. Transportasi dikatakan baik, apabila perjalanan cukup cepat, tidak mengalami kemacetan, frekuensi pelayanan cukup, aman, bebas dari kemungkinan kecelakaan dan kondisi pelayanan yang nyaman. Untuk mencapai kondisi yang ideal seperti, sangat ditentukan oleh berbagai faktor yang menjadi komponen transportasi ini, yaitu kondisi prasarana (jalan), sistem jaringan jalan, kondisi sarana (kendaraan) dan sikap mental pemakai fasilitas transportasi tersebut (Budi D.Sinulingga, 1999).

Perluasan ruas jalan

Perjalanan

Perlu transportasi Fasilitas

transportasi Kemampuan

(19)

2.3 Teknik Perlalulintasan (Traffic Technique)

Suatu transportasi dikatakan baik, apabila waktu perjalanan cukup cepat tidak mengalami kemacetan, frekuensi pelayanan cukup, aman bebas dari kemungkinan kecelakaan dan kondisi pelayanan yang nyaman. Untuk mencapai kondisi yang ideal seperti itu sangat ditentukan oleh berbagai faktor yang menjadi komponen transportasi, yaitu kondisi prasarana (jalan) serta sistem jaringannya dan kondisi sarana (kendaraan),serta yang tak kalah pentingnya ialah sikap mental pemakai fasilitas transportasi tersebut.

Untuk mengetahui tentang transportasi kota dalam aspek perencanaan dan pelaksanaannya, maka penting sekali untuk memahami aspek teknik perlalulintasan (traffic technique). Teknik lalu lintas angkutan darat meliputi: karakteristik volume lalu lintas, kapasitas jalan, satuan mobil penumpang, asal dan tujuan lalu lintas, dan pembangkit lalu lintas (Sinulingga, 1999).

2.4 Karakteristik Volume Lalu Lintas

Di dalam suatu perlalulintasan dikenal lalu lintas harian atau AADT (Average

Annual Daily Traffic) yaitu jumlah kendaraan yang lewat secara rata-rata dalam

sehari (24 jam) pada suatu ruas jalan tertentu, besarnya lalu lintas harian akan menentukan dimensi penampang jalan yang akan di bangun. Volume lalu lintas ini bervariasi besarnya, tidak tetap, tergantung waktu, variasi dalam sehari, seminggu maupun sebulan dan setahun. Di dalam satu hari biasanya terdapat dua waktu jam sibuk, yaitu pagi dan sore hari. Tapi ada juga jalan-jalan yang mempunyai variasi volume lalu lintas agak merata. Volume lalu lintas selama jam sibuk dapat digunakan untuk merencanakan dimensi untuk menampung lalu lintas. Semakin tinggi volumenya, semakin besar dimensi yang diperlukan. Suatu volume yang over estimate akan membuat perencanaan menjadi boros, sedangkan volume yang under estimate akan membuat jaringan jalan cepat mengalami kemacetan, sehingga memerlukan pengembangan pula.

(20)

2.5 Teori Graf

Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Di ilmu matematika dan komputer teori graf adalah himpunan benda-benda yang disebut verteks (vertex atau node) yang terhubung oleh jalur-jalur (edges). Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau verteks, sedangkan hubungan di antara objek dinyatakan dengan garis (jalur).

Banyak sekali struktur yang bisa direpresentasikan dengan graf, dan banyak masalah yang bisa diselesaikan dengan bantuan graf. Jaringan jalan raya pada sebuah wilayah bisa direpresentasikan dengan graf. Verteks-verteksnya adalah kota-kota yang terdapat pada wilayah tersebut dan ada jalur antara kota A dan kota B dihubungkan oleh sebuah jalan.

Sebuah struktur graf dikembangkan dengan memberi bobot pada tiap jalur. Graf berbobot dapat digunakan untuk melambangkan berbagai konsep. Sebagai contoh jika suatu graf melambangkan jaringan jalan maka bobotnya bisa berarti panjang jalan maupun batas kecepatan tertinggi jalur tertentu. Ekstensi lain pada graf adalah dengan membuat jalurnnya berarah, yang secara teknis disebut graf berarah atau digraph (directed graph). Digraf dan jalur berbobot disebut jaringan. Jaringan banyak digunakan pada cabang praktis teori graf yaitu analisis jaringan. Pada analisis jaringan, definisi kata jaringan bisa berbeda dan sering berarti graf sederhana (tanpa bobot dan arah).

Graf G didefinisikan sebagai pasangan terurut (V, E) dan dilambangkan dengan G = (V, E) dimana:

(21)

1. V = {v1, v2, ... , vn} adalah himpunan tak kosong yang terbatas dan anggota-anggotanya dinamakan simpul

2. E = {e1, e2, ... , en}adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2003).

Definisi diatas menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E

boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu. Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah jalur dinamakan graf trivial. Jumlah simpul pada suatu graf dinyatakan dengan V dan jumlah sisi dinyatakan dengan E .

Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,..., v, w, ..., dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., 3 atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan lambang �1, �2… Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang

menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat ditulis sebagai e = (u,

v). Nama suatu jalur dapat dituliskan dengan pasangan simpulnya, misalnya dari gambar graf dibawah jalur �2.

�3 c

�2 �4

�1

e �₅ d

Gambar 2.2 Graf G dengan Lima Simpul dan Lima Sisi

Suatu graf dapat disajikan dalam bentuk diagram seperti pada gambar 2.2 di atas. Selain itu graf dapat juga disajikan dalam bentuk matriks yaitu matriks berelasi dan matriks berisisian seperti berikut ini.

Andaikan G = (V, E) adalah graf sederhana dengan banyak simpul di V

(22)

dari suatu graf G adalah matriks nol satu n  n dengan 1 sebagai entri dari aij jika

vi dan vj berelasi artinya (vi, vj)  E, dan 0 sebagai entri dari aij jika vi dan vj tidak berelasi artinya

 

v_i,v_j E. Dengan kata lain jika matriks berdekatan, maka entrinya adalah:

1, jika vi, vjE

0, jika vi, vj E

Matriks berdekatan dari graf sederhana adalah simetrik, yaitu a_ij a_ji. Kedua entri itu sama dengan 1 bila v_i dan v_jberdekatan dan keduanya sama dengan 0 bila v_idan v_jtidak berdekatan. Selanjutnya karena matriks dari graf sederhana tidak mempunyai loop, maka setiap entri aij untuk i = j adalah 0. Matriks berdekatan dapat juga digunakan untuk menyajikan graf tidak berarah yang mempunya loop dan jalur ganda. Suatu loop pada simpul v_i atau v_jdiwakili oleh 1 pada posisi v_i ke v_jdengan i = j sehingga aij = 1 untuk = pada matriks

berdekatan. Untuk jalur ganda bahwa entri aij pada matriks berdekatan adalah sama dengan banyaknya jalur yang berhubungan v_i dengan v_jdengan i = . Semua graf tidak berarah yang mempunyai jalur ganda dan pseudograf mempunyai matriks berdekatan yang simetris.

Contoh matriks berdekatan untuk menyajikan graf pada gambar 2.2. Kalau urutan simpul-simpulnya adalah a, b, c, d, e maka dapat dianggap v₁ a, v₂ b,

v₃  , v₄ d, v₅ e. Dari gambar 2.2 diperoleh E = {ac, ae, be, dc, de} berarti 13

a = 1, a₁₅ = 1, a₂₅ = 1, a₄₃= 1, dan a451, sedang selainnya entrinya 0. Matriks yang menyajikan graf tersebut adalah sebagai berikut:

0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

(23)

Jika matriks bersisian digunakan untuk merepresentasikan hubungan antara simpul-simpul graf, maka untuk menunjukkan hubungan antara simpul-simpul dan jalur-jalur pada graf digunakan matriks berelasi. Definisi dari matriks berelasi disajikan sebagai berikut.

Misalkan G = (V, E) adalah graf tidak berarah dengan V 



v₁,v₂,,v_k



dan



e e ek



E ₁, ₂,, maka matriks bersisian yang berkenaan dengan urutan V dan E

adalah matriks m  n, dengan entrinya adalah :

1, jika jalur ei berinsiden dengan vi 0, jika jalur ei tidak berinsiden dengan vi

Selain untuk menyajikan graf sederhana, matriks bersisian dapat juga digunakan pada jalur-jalur ganda dan loop. Untuk mewakili jalur-jalur ganda pada matriks bersisian menggunakan kolom sebagai jalur dan baris sebagai simpul. Kalau jalurnya ganda berarti jalur-jalur ini bersisian dengan pasangan simpul yang sama. Kalau terdapat loop berarti jalur itu bersisian dengan tepat satu simpul sehingga entrinya sama dengan 1.

Matriks bersisian dari graf pada gambar 2.2. simpul vi bersisian dengan jalur

e1 dan e1 maka m11 = 1, dan m13 = 1, simpul v2 bersisian dengan jalur e2 maka, m22 = 1, simpul v3 bersisian dengan jalur e3 dan e4 maka m33 = 1,dan e4 =1, simpul v4 bersisian dengan jalur e4 dan e5 maka m44 =1 dan m45 = 1, simpul v5 bersisian dengan jalur e1, e2, dan e5 maka m51 = 1, m52 = 1, dan m55 = 1. Jadi matriks bersisian dari graf pada gambar 3.1 tersebut adalah

0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

Setiap garis pada graf berhubungan dengan satu atau dua titik. Titik-titik tersebut dinamakan titik ujung. Garis yang hanya berhubungan dengan satu titik ujung disebut loop. Dua garis berbeda yang menghubungkan titik yang sama

(24)

disebut garis paralel. Perlu diketahui bahwa panjang garis, kelengkungan garis, dan letak titik tidak berpengaruh dalam suatu graf.

Menurut teori graf, persoalan lintasan terpendek (the shortest path

problem) adalah suatu persoalan untuk mencari lintasan antara dua buah simpul

pada graf berbobot yang memiliki gabungan nilai jumlah bobot pada sisi graf yang dilalui dengan jumlah yang paling minimum.

2.5.1 Macam-macam Graf

Berdasarkan arah dan bobotnya graf digolongkan atas 4 jenis, yaitu:

1. Graf berarah dan berbobot yaitu graf yang setiap sisinya memiliki orientasi arah dan bobot.

2. Graf berarah dan tak berbobot yaitu graf yang sisinya mempunyai arah dan tidak berbobot.

3. Graf tidak berarah dan berbobot yaitu graf yang setiap sisinya tidak mempunyai arah tetapi memiliki bobot.

Graf tidak berarah dan tidak berbobot yaitu graf yang setiap sisinya tidak memiliki arah dan bobot.

2.5.2 Terminologi dalam Graf

Terminologi (istilah) yang berkaitan dengan graf akan sering digunakan. Di bawah ini didefinisikan beberapa istilah yang sering dipakai dan berhubungan dengan maximum spanning tree.

1. Walk adalah suatu barisan berhingga dari verteks dan edge secara bergantian, yang diawali dari verteks dan diakhiri dengan verteks. Bentuk umum dari walk adalah:

n n n

n e v e

v v v e

v₀ ₀ ₁ ₁,, _₁ _₁

Dalam hal ini �0 merupakan verteks awal dan �� merupakan verteks akhir.

Jika verteks awal dan verteks akhir dari suatu walk adalah sama, maka walk

(25)

2. Trail adalah suatu walk dengan setiap edge-nya berlainan.

3. Path adalah suatu walk dengan setiap verteksnya berbeda.

4. Cycle adalah suatu path yang memiliki verteks awal sama dengan verteks

akhir.

5. Length (panjang) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya edge yang

muncul dalam suatu walk.

6. Edge e adalah sebuah jembatan untuk G jika G dengan e tidak terhubung. Secara umum edge e adalah jembatan untuk suatu graf G jika G dengan e

mempunyai komponen terhubung lebih dari G.

2.5.3 Graf Terhubung, Graf Berbobot, dan Subgraf

1. Graf Terhubung

Misalkan u dan v adalah titik yang berbeda pada graf G. Maka titik u dan v

dapat dikatakan terhubung (connected), jika terdapat lintasan u-v di G. Sedangkan suatu graf G dapat dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap titik u dan v di G terhubung. Keterhubungan adalah sifat yang dimiliki oleh graf. Graf terhubung dapat dilihat atau dibuktikan dari keterhubungan antara u dan v. Untuk lebih menguatkan kondisi (u, v):

Gambar 2.3 Graf Terhubung (Connected Graph) 2. Graf berbobot (weighed graph)

Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot. Bobot pada tiap sisi dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan dengan graf (Munir, 2005). Contohnya,

A E

D C

(26)

3 5 ₁

2 4 ₆ 6 3 10 7 D

Gambar 2.4 Graf Berbobot (Weighted Graph)

Graf G pada gambar 2.4 dikatakan berbobot karena pada setiap edge diberi sebuah bobot.

3. Graf berarah dan berbobot (directed graph)

Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Secara umum sisi berarah disebut dengan busur (arc). Pada graf berarah (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda, dalam arti kata bahwa (u,v) ฀ (v,u). Jadi untuk busur (u,v) simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v dinamakan simpul terminal atau simpul tujuan. Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lintas kota dan lain sebagainya. Sehingga pada graf berarah gelang atau looping diperbolehkan tetapi sisi ganda tidak diperbolehkan. Contohnya,

Gambar 2.5 Graf Berarah dan Berbobot

E _C

B 7

5 9

6 4

A D

(27)

4. Subgraf

Graf H disebut subgraf jika setiap titik dari graf H juga merupakan titik dari graf G dan setiap edge pada H juga merupakan edge pada graf G.

Contoh dari subgraf adalah:

�2

Gambar 2.6 Graf dan Subgrafnya

�4 �₅

�1

Graf G �3

�2

�1 �3

�5

�2

�1

�4

�3

�1

�4

(28)

2.6 Algoritma Dijkstra

Algoritma Dijkstra untuk menentukan rute terpendek. Algoritma Dijkstra digunakan pada graf berarah dan berbobot. Jika bobot graf > 0, maka digunakan Dijkstra dengan level satu, dan bila bobot graf ada yang negatif akan digunakan level dua. Dalam penelitian ini akan dipakai algoritma Dijkstra yang memakai bobot > 0, karena bobot graf merepresentasikan jarak antar titik sehingga bobotnya positif.

Algoritma ini diberi nama sesuai nama penemunya, Edsger Wybe Dijkstra. Algoritma Dijkstra mencari lintasan terpendek dalam sejumlah langkah. Algoritma ini menggunakan prinsip Greedy yang menyatakan bahwa pada setiap langkah kita memilih sisi yang berbobot minimum dan memasukkannya ke dalam himpunan solusi. Input algoritma ini adalah sebuah graf berarah yang berbobot

(weighted directed graph) G dan sebuah sumber verteks S dalam G dan V adalah

himpunan semua verteks dalam graf G (Munir, 2005).

Ada beberapa versi algoritma Dijkstra, salah satunya adalah sebagai berikut. Misalkan,

V(G) :



v₁,v₂,,v_n



L : himpunan titik-titik V(G) yang sudah terpilih dalam alur

path (jalur) terpendek.

D(j) : jumlah bobot path (jalur) terkecil dari vi ke vj.

W(i, j) : bobot garis dari titik vi ke titik vj.

W*(i, j): jumlah bobot path terkecil dari vi ke vj.

Secara formal, algoritma Dijkstra untuk mencari jalur terpendek adalah sebagai berikut.

1. L

 

V =



v₁,v₂,,v_n



2. Untuk j= 2, … , n, lakukan D(j)W(1,j) 3. Selama vn L lakukan :

(29)

} {v_k L

L .

b. Untuk setiap keadaan v1mempuyai edge ke vj lakukan :

Jika D(j)D(k)W(k,j) maka ganti D(j) dengan D(k) + W(k, j) 4. Untuk setiap keadaan edge dari v1ke vjadalah terkecil, maka W*(i, j) =

D(j).

Menurut algoritma tersebut, path (jalur) terpendek dari titik vi ke vn adalah melalui titik-titik dalam secara berurutan, dan jumlah bobot path (jalur) terkecilnya adalah D(n).

Dalam jurnalnya, Deiby T. Salaki (2011) mengatakan bahwa salah satu masalah umum yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teori graf adalah Masalah Lintasan Terpendek (Shortest Path Problem atau SPP) yang mencari lintasan dengan jumlah bobot paling minimum. Algoritma Dijkstra merupakan salah satu algoritma untuk menyelesaikan masalah ini. Penelitian tersebut ditujukan untuk membuat lintasan terpendek yang dapat dilalui kendaraan roda empat dari Fakultas MIPA ke Fakultas lainnya di kampus UNSRAT dengan menggunakan Algoritma Dijkstra. Shortest Path Problem (SPP) adalah suatu persoalan untuk mencari lintasan antara dua atau lebih simpul pada graf berbobot yang gabungan bobot sisi graf yang dilalui berjumlah paling minimum. Persoalan ini juga merupakan suatu persoalan optimasi yang menggunakan graf berbobot, dimana bobot dapat menyatakan jarak antar kota, waktu pengiriman pesan, ongkos pembangunan, dan sebagainya (Pradana, 2009).

Algoritma Dijkstra adalah algoritma yang dikhususkan untuk pencarian jalan terbaik dalam sebuah graf (Willy Setiawan, 2010).

(30)

BAB 3

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data

3.1.1 Gambaran Umum Tempat Penelitian

Simpang empat Waspada Medan terletak di perpotongan jalan Pandu, jalan Pemuda, dan jalan Letjend Suprapto. Simpang empat Waspada Medan ini adalah jalur yang dilalui banyak pengendara yang berasal dari jalan Sudirman, daerah Thamrin Plaza, dan daerah jalan Brigjend Katamso. Oleh karena itu, Simpang empat Waspada Medan adalah salah satu simpang yang terpadat di Kota Medan. Dapat dilihat pada jam-jam sibuk, simpang ini sangat sibuk dilalui para pengendara, baik pengguna mobil, sepeda motor. sampai angkutan kota. Maka tidak asing lagi jika simpang ini juga salah satu simpang termacet di Kota Medan.

Setiap harinya terjadi kemacetan yang cukup panjang di simpang empat Waspada Medan ini. Hal ini juga disebabkan oleh tidak mampunya ruas jalan menampung jumlah kendaraan yang mengantre tiap lampu lalu lintas. Meskipun petugas lalu-lintas seperti polisi atau Dinas Perhubungan selalu ada untuk mengawasi dan mengatur lalu-lintas yang ada di simpang empat Waspada, tetap saja terjadi kemacetan yang cukup panjang. Akan tetapi, di sekitar simpang empat Waspada terdapat jalur-jalur lain yang tidak terlalu sibuk akan lalu-lintas kendaraan. Kemungkinan jalan ini tidak terpakai karena simpang empat Waspada sudah menjadi jalan yang biasa dilalui pengendara.

(31)

3.1.2 Peta Wilayah Penelitian dan Penetapan Verteks-verteks

Peta wilayah penelitian digambarkan seperti berikut ini.

Gambar 3.1 Peta Wilayah Penelitian

Langkah selanjutnya adalah menentukan lokasi-lokasi yang akan menjadi letak titik-titik verteks. Verteks-verteks tersebut akan saling terhubung sesuai dengan kenyataan pada wilayah penelitian. Maka peta wilayah penelitian setelah penentuan verteks adalah

(32)

(33)

Adapun wilayah yang dijadikan verteks ditunjukkan pada Tabel 3.1 berikut ini. Tabel 3.1 Lokasi-lokasi Verteks

Verteks Keterangan

v1 Simpang Jl. Letjend Suprapto – Jl. Mangkubumi

v2 Simpang Jl. Mangkubumi – Jl. Badur

v3 Simpang Jl. Mangkubumi – Jl. Cakrawati

v4 Simpang Jl. Mangkubumi – Jl. Palang Merah

v5 Simpang Jl. Palang Merah – Jl. Kolonel Soegiono

v6 Simpang Jl. Cakrawati – Jl. Kolonel Soegiono

v7 Simpang Jl. Kolonel Soegiono – Jl. Badur

v8 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Palang Merah

v9 Simpang Jl. Cakrawati – Jl. Pemuda

v10 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Badur

v11 Simpang Jl. Letjend Suprapto – Jl. Pemuda

v12 Simpang Jl. Brigjend Katamso – Jl. Pandu

v13 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Pandu

v14 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Pemuda Baru II

v15 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Pemuda Baru I

v16 Simpang Jl. Pemuda – Jl. Pemuda Baru

v17 Simpang Jl. Pegadaian – Jl. Pemuda Baru

v18 Simpang Jl. Pegadaian – Jl. Pemuda Baru I

v19 Simpang Jl. Pegadaian – Jl. Pemuda Baru II

v20 Simpang Jl. Pegadaian – Jl. Pemuda Baru III

v21 Simpang Jl. Pegadaian – Jl. Palang Merah

v22 Simpang Jl. Pandu – Jl. Pegadaian

v23 Simpang Jl. Mahkamah – Jl. Pandu

v24 Simpang Jl. Cirebon – Jl. Palang Merah

v25 Simpang Jl. Cirebon – Jl. Pandu

v26 Simpang Jl. Sisingamangaraja – Jl. Pandu

v27 Simpang Jl. Sisingamangaraja – Jl. Pandu Baru

v28 Simpang Jl. Pandu Baru – Jl. Mahkamah

(34)

Untuk jarak dan arah tiap verteks disusun dalam tabel yaitu sebagai berikut. Tabel 3.2 Jarak Antarverteks

(35)

3.2 Pengolahan Data

Pengolahan data dilakukan dengan memodelkan rute yang menjadi calon rute alternatif yang akan menghindari kemacetan. Calon rute alternatif diawali dari dua jalur kedatangan yaitu:

1. Jalur kedatangan dari jalan Letjend Suprapto yang dinotasikan dengan v1 menuju jalan Brigjend Katamso yang dinotasikan dengan v29.

2. Jalur kedatangan dari jalan Pandu yang dinotasikan dengan v26 menuju jalan Letjend Suprapto yang dinotasikan dengan v1.

Permasalahan pertama yaitu menemukan jalur alternatif dari v1 menuju v29. Permasalahan pertama dapat diselesaikan dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bentuk graf seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Terlebih dahulu ditentukan verteks-verteks yang menghubungkan v1 ke v29.

Gambar 3.3 Hubungan Antara Verteks v1 dengan Verteks Lain yang Terdekat Hubungan v1 yang terdekat adalah verteks v1 v2 dan v11 yang dapat digambarkan dalam bentuk graf seperti pada Gambar 3.5 di bawah ini.

(36)

Gambar 3.4 Graf Hubungan Antara v1 dengan v2 dan v11

Setelah itu, akan diselesaikan lintasan dari v11 terlebih dahulu. Perhatikan Gambar 3.5 di bawah ini. Verteks v11 dihubungkan ke verteks selanjutnya untuk membangun lintasan menuju v29.

Gambar 3.5 Hubungan Antara Verteks v11 dengan Verteks Lain yang Terdekat Didapatkan v14 sebagai verteks selanjutnya. Maka dapat digambarkan kelanjutan bentuk graf seperti pada Gambar 3.6 berikut ini.

Gambar 3.6 Graf Hubungan v11 dengan v14

Setelah itu v14 dihubungkan ke verteks selanjutnya untuk membangun lintasan menuju v29, verteks selanjutnya mencari verteks yang sesuai dan dapat membangun lintasan menuju v29. Begitu selanjutnya sampai verteks verteks ini

(37)

tarhubung dan mebangun suatu lintasan yang menghubungkan v1 dan v29. Maka didapatkan hasil akhir seperti model dibawah ini.

Gambar 3.7 Hubungan Antara Verteks v12 dengan Verteks Lokasi Tujuan Keterangan : pemberian warna berbeda pada panah penunjuk arah adalah untuk

membedakan proses pengerjaan yang ada yaitu warna merah adalah pencarian verteks selanjutnya dari v1 yang mencabang ke v11 sedangkan yang biru adalah pencarian verteks selanjutnya dari v1 yang mencabang ke v2

Maka lintasan yang tersebut dapat digambarkan dalam bentuk graf di bawah ini

(38)

Selanjutnya, masuk ke tahap pengolahaan data dengan menggunakan algoritma Dijkstra.

1. L = {}

2. Untuk j= 2,3,4,5,…,29 dilakukan D(j) = W(1, j)

Menentukan hubungan antara v1 dengan semua verteks (v2,v3,v4,…,v29) dan mengubahnya dalam bentuk graf yang dapat dilihat pada Gambar 3.3 di atas. Diperoleh bentuk graf yang sesuai dengan permasalahan

menghubungkan v1 ke v29, dan dilakukan D(j) = W(1, j) yaitu memberikan bobot pada tiap edge

Gambar 3.9 Graf Berbobot yang Menghubungkan v1 dengan v29 3. Selama vnL lakukan:

Pilih titik vk V - L dengan D(k) terkecil, yaitu pilih vk (jalur yang menghubungkan v1 dengan v29) yang paling kecil. Dapat diperlihatkan jalur-jalur lintasan yang menghubungkan v1 dengan v29. Dari hasil pencarian jalur di atas, diperoleh beberapa jalur yang menghubungkan v1 ke v29, yaitu sebagai berikut.

a. v1 - v11 - v14 - v19 - v20 - v22 - v12 - v29

Dengan panjang jalur: 243 + 93 + 114 + 53 + 48 + 54 + 88 = 693 m b. v1 - v11 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29

(39)

c. v1 - v2 - v7 - v10 - v14 - v19 - v20 - v22 - v12 - v29

Dengan panjang jalur: 85 + 97 + 109 + 20 + 114 + 53 + 48 + 54 + 88 = 668 m

d. v1 - v2 - v7 - v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29

Dengan panjang jalur: 85 + 97 + 109 + 20 + 160 + 48 + 54 + 88 = 661 m Jalur alternatif terpendek untuk menghindari kemacetan dari titik v1 ke titik v29 adalah jalur v1 - v2 - v7 - v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29 yaitu jalan Alimin – jalan Badur – jalan Badur – jalan Pemuda – jalan Pemuda Baru II – jalan Pegadaian – jalan Pandu – jalan Brigjen Katamso dengan panjang jalur 661 m.

Permasalahan kedua yaitu menemukan jalur alternatif dari v26 menuju v1. Permasalahan kedua dapat diselesaikan dengan memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bentuk graf seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Pertama-tama dicari verteks-verteks yang menghubungkan v26 ke v1. Dapat dilihat seperti pada gambar di bawah ini.

(40)

Didapatkan v23 sebagai verteks selanjutnya. Maka dapat digambarkan ke dalam bentuk graf, yaitu

Gambar 3.11 Graf Hubungan Antara v26 dan v23

Setelah itu v23 dihubungkan ke verteks selanjutnya untuk membangun lintasan menuju v1, yaitu

Gambar 3.12 Hubungan Antara v23 dengan Verteks Lain yang Terdekat Didapatkan v19 dan v20 sebagai verteks selanjutnya. Setelah itu v20 dihubungkan ke verteks selanjutnya untuk membangun lintasan menuju v1, verteks selanjutnya mencari verteks yang sesuai dan dapat membangun lintasan menuju v1. Begitu selanjutnya sampai verteks verteks ini tarhubung dan mebangun suatu lintasan yang menghubungkan v26 dan v1. Maka didapatkan hasil akhir seperti model dibawah ini.

(41)

Gambar 3.13 Hubungan Antara v2 dengan Verteks Lokasi Tujuan Keterangan : diberikan warna berbeda pada tanda panah adalah untuk

membedakan langkah pengerjaan yaitu warna hijau adalah verteks melakukan pencarian dan menemukan 1 verteks berikutnya

sedangkan merah dan biru adalah pengerjaan dimana ada 2 verteks sekaligus mencari dan menemukan verteks berikutnya yang sesuai untuk masing masing verteks awal.

Selanjutnya masuk kepada tahap pengolahaan data dengan menggunakan algoritma Dijkstra.

4. L = {}

5. Untuk j= 2,3,4,5,…,29 dilakukan D(j) = W(1, j)

Tentukan hubungan antara v1 dengan semua verteks (v2, v3, v4, … , V29) Dan bentuk dalam bentuk graf. Sudah dikerjakan sebelumnya . didapatkan bentuk graf yang sesuai dengan permasalahan menghubungkan v26 ke v1, dan dilakukan D(j) = W(1, j) yaitu memberikan bobot pada tiap edge

(42)

Gambar 3.14 Graf Berbobot yang Menghubungkan v26 dengan v1 6. Selama vn L lakukan :

Pilih titik vk V - L dengan D(k) terkecil, yaitu pilih vk (jalur yang menghubungkan v26 dengan v1) yang paling kecil. Dapat diperlihatkan jalur jalur lintasan yang menghubungkan v26 dengan v1 yaitu :

a. v26 - v23 - v22 - v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v7 - v2 - v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 53 + 114 + 328 + 38 + 92 + 182 + 97 + 85 = 1199 m

b. v26 - v23 - v22 - v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 53 + 114 + 328 + 38 + 92 + 97 + 136 + 85 = 1153 m

c. v26 - v23 - v22 - v19 - v14 - v8 - v5 - v4 - v3 - v2 - v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 53 + 114 + 328 + 38 + 38 + 232 + 85 = 1098 m

d. v26 - v23 - v22 - v20 - v14 - v8 - v5 - v6 - v7 - v2- v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 160 + 328 + 38 + 38 + 92 + 182 + 97 + 85 = 1192 m

e. v26 - v23 - v22 - v20 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 160 + 328 + 38 + 92 + 97 + 136 + 85 = 1146 m

f. v26 - v23 - v22 - v20 - v14 - v8 - v5 - v4 - v3 - v2 - v1

Dengan panjang jalur = 120 + 42 + 48 + 160 + 328 + 38 + 38 + 232 + 85 = 1192 m

(43)

Maka W*(i, j)atau jalur terpendek adalah v26 - v23 - v22 - v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 dengan panjang jalur 1098 m. Jadi, jalur alternatif terpendek untuk menghindari kemacetan dari titik v26 ke titik v1 adalah jalur v26 - v23 - v22 - v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 yaitu dengan panjang jalur 1098 m.

Dari penggunaan algoritma Dijkstra telah didapatkan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan pertama (kedatangan dari v1 menuju v29) yaitu v1 - v2 - v7

-v10 - v14 - v20 - v22 - v12 - v29 dengan panjang jalur 283 m dan jalur alternatif untuk menghindari kemacetan kedua (kedatangan dari v26 menuju v1) yaitu v26 - v23 - v22

-v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 yatu jalan Pandu – jalan Pegadaian – jalan Pemuda Baru II – jalan Pemuda – jalan Palang Merah – jalan Kolonel Sugiono – jalan Cakrawati – jalan dengan panjang jalur 1098 m.

Simpang Waspada Medan adalah persimpangan yang sangat macet pada jam sibuk, untuk melalui jalan Suprapto saja memaka waktu sampa 30 menit maka akan sangat membuang waktu jika masuk dalam antrian kedaraan dan mengikuti alur yang macet ini. Maka diharapkan hasil yang didapat ini adalah jalur alternatif yang diharapkan dapat digunakan untuk menghindari kemacetan. Jalur alternatif ini dapat digunakan oleh beragam kendaraan seperti motor, becak sampai mobil karena jalur jalur yang dipakai adalah jalur jalur yang cukup lebar dan jarang di lalui kendaraan lain.

(44)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan perumusan masalah dan serangkaian penelitian yang telah penulis lakukan, maka dapat disimpulkan bahwa kemacetan pada lokasi penelitian, yaitu simpang Waspada dapat dihindari dengan menemukan jalur alternatif sebagai jalur pengganti. Kendaraan yang sebelumnya harus melewati jalur kemacetan ini dapat menggunakan jalur alternatif yang menghabiskan waktu lebih sedikit. Adapun jalur jalur alternatif tersebut adalah jalur v1 - v2 - v7 - v10 - v14 - v20 - v22

-v12 - v29 yaitu jalan Alimin – jalan Badur – jalan Badur – jalan Pemuda – jalan Pemuda Baru II – jalan Pegadaian – jalan Pandu – jalan Brigjen Katamso dengan jarak tempuh 283 mdan jalur v26 - v23 - v22 -v19 - v14 - v8 - v5 - v6 - v3 - v2 - v1 yaitu jalan Pandu – jalan Pegadaian – jalan Pemuda Baru II – jalan Pemuda – jalan Palang Merah – jalan Kolonel Sugiono – jalan Cakrawati – jalan Alimin dengan jarak tempuh 1098 m. Jalur alternatif yang didapatkan diharapkan menjadi jalur yang dapat digunakan untuk mengindari kemacetan di simpang Waspada Medan.

4.2 Saran

Berikut ini beberapa saran yang dapat dipergunakan untuk pengembangan penelitian dalam mencari jaur alternatif yaitu :

1. Memperluas cakupan wilayah penelitian seperti meliputi kota medan, sehingga jalur alternatif yang aka di pilih semakin banyak dan juga dapat menjangkau kepentingan masyarakat luas.

2. Menentukan lokasi penelitian yang kondusif yaitu kondisi dimana para pengguna jalan menuruti rambu lalu-lintas dan terdapat polisi lalu-lintas yang mengatur lalu-lintas sehingga hasil penelitian dapat diaplikasikan. 3. Perlu diadakannya penelitian lebih lanjut untuk meneliti penyebab

kemacetan ini, agar definisi kemacetan tidak berpatok kepada panjang antrian mobil saja tetapi agar di soroti juga masalah lebar jalan dan atau faktor faktor yang lainnya.

(45)

DAFTAR PUSTAKA

Budayasa, I.K. 2007. Teori Graf dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Press.

Morlok, E.K. 1991. Pengantar Teknik dan Perencanaan Transportasi. Erlangga. Jakarta

Munir, R. 2003. Matematika Dskrit. Informatika. Bandung Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Informatika. Bandung Munir, R. 2008. Matematika Diskrit. Informatika. Bandung

Pradhana, B.A. 2009. Studi Dan Implementasi Persoalan Lintasan Terpendek Suatu Graf Dengan Algoritma Dijkstra Dan Algoritma Bellman-Ford Salaki, Deiby T. 2011. Jurnal FMIPA Sam Ratulangi. Penentuan Lintasan

Terpendek dari FMIPA ke Rektorat dan Fakultas Lain di UNSRAT Manado dengan Menggunakan Algoritma Dijkstra

Sarwoko, E. A. 2003. Perancangan Arsitektur Pemaralelan untuk mencari Shortest Path dengan Algoritma Djikstra. Jurnal Matematika dan Komputer. 6: 137-143

Setiawan, Willy. 2010. Pembahasan Pencarian Lintasan Terpendek Menggunakan Algoritma Dijkstra dan A*. Jurnal Matematika ITB. Bandung

Sinulingga, Budi D. 1999. Pembangunan Kota Tinjauan Regional dan Lokal. Pustaka Sinar Harapan. Jakarta