METODE MAKSIMUM LIKEHOOD DISTRIBUSI NORMAL TERPOTONG ATAS

54 Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan model regresi terpotong atas, yang sebelumnya telah diperoleh mean terpotong dari distribusi normal terpotong. Setelah model regresi terpotong atas ditetapkan, tujuan selanjutnya adalah membentuk estimasi model regresi dengan nilai estimasi parameter-parameternya yang diperoleh melalui metode maksimum likelihood.

2. METODE MAKSIMUM LIKEHOOD

Misalkan X variabel random distribusi probabilta fx| θ, dengan parameter tunggal θ tidak diketahui. Misalkan X 1 , X 2 , …, X n adalah sampel random dari populasi dengan densitas fx i | θ 1 , θ 2 ,...,θ k . Maka fungsi Likelihood didefinisikan sebagai berikut: L θ 1 , θ 2 ,...,θ k |X = ∏ = n i k i | fx 1 2 1 , , , θ θ θ L … Misalkan Y 1 , Y 2 , …, Y n adalah sampel random dari distribusi normal dengan mean µ dan varian σ 2 , maka fungsi densitasnya adalah : 2 1 2 2 1 Y | , 2 i y i f e µ σ µ σ σ π − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = Fungsi Likelihood untuk fungsi densitas diatas sebagai berikut [3] : 2 2 2 2 1 1 , | Y 2 exp 2 n n n i i L σ y µ σ π µ σ − − = ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ Dari Persamaan model regresi linier berganda : Y = X + ε Karena ε ~ N 0, σ 2 dan X fixed maka EY = X , sehingga Y ~ N X , σ 2 . Dengan substistusi µ = EY = X , maka fungsi Likelihood diatas berubah menjadi : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − X Y X Y Y , 2 2 2 2 1 exp 2 | σ π σ n n σ L Dengan demikian parameter yang semula hendak diestimasi adalah µ dan σ 2 berubah menjadi dan σ 2 . Selanjutnya diperoleh log dari fungsi Likelihood yaitu : X Y X Y 2 1 2 log 2 log X Y X Y 2 1 exp 2 log Y | , log 2 2 2 2 − − − − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − σ π σ σ π σ n n σ L n n Estimasi parameter 2 ˆ σ dan ˆ sebagai berikut: 55 Y X X X ˆ X X Y X ˆ X X ˆ Y X X X ˆ 2 Y X 2 2 1 X X Y X X Y Y Y 2 1 2 log 2 log X Y X Y 2 1 2 log 2 log Y | , log 1 2 2 2 2 2 2 − = = = − = + − − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − − − − ∂ ∂ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − − − ∂ ∂ = ∂ ∂ σ σ σ σ π σ σ π σ n n n n σ L X - Y X - Y 1 ˆ X - Y X - Y 1 X - Y X - Y 1 X - Y X - Y 2 1 2 log 2 log Y | , log 2 3 3 2 2 n n n n n σ L = = = + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − − − ∂ ∂ = ∂ ∂ σ σ σ σ σ σ π σ σ σ

3. DISTRIBUSI NORMAL TERPOTONG ATAS

Distribusi normal terpotong adalah distribusi normal dengan nilai variabel random X terbatas pada interval [b , a] atau b ≤ X ≤ a. Titik a adalah titik terpotong di sebelah kanan disebut juga titik terpotong atas dan titik b adalah titik terpotong kiri disebut juga titik terpotong bawah. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan standar deviasi σ, maka [1] : | a x b P x f a x b x f = dimana 2 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ µ π σ x e x f adalah fungsi densitas normal, φz = 2 2 1 2 1 z e − π dengan substitusi σ µ − = x z diperoleh ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ µ φ x = 2 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − σ µ π x e 2 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = σ µ π σ x e x f = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ µ φ σ x 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = σ µ σ µ 1 2 2 1 c c c X c P 56 maka : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = σ µ σ µ b a a X b P . Sehingga : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = σ µ σ µ σ µ φ σ b a x a x b P x f a x b x f 1 | dengan φ. dan Φ. adalah fungsi densitas probability density function dan fungsi distribusi cumulative distribution function dari distribusi normal baku. Dari definisi [1] : | f x f x b x a P b x a = Karena pemotongan hanya dilakukan pada titik x a , maka titik b dianggap bernilai negatif tak berhingga, sehingga persamaan diatas menjadi : Jika X ~ N µ , σ 2 dan a konstanta, maka mean dan varian dari distribusi normal terpotong atas adalah : ] 1 [ | 2 α α σ a X | X Var σλ µ a X X E − = + = dengan : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = −∞ = σ µ σ µ a x f a x P x f a x x f | ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ≤ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = ∞ Φ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = σ µ σ µ φ σ σ µ σ µ σ µ a x a x P x f a x f a x f a x f 1 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ Φ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ − Φ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ = σ µ σ µ σ µ σ µ 1 a x f a x f 57 ] [ α λ λ α Φ λα σ µ a α − = − = − = α α α α φ Fungsi Hazard dari distribusi normal 4. MODEL REGRESI TERPOTONG ATAS Model regresi berganda dalam bentuk matriks sebagai berikut : Y = X + ε mean dan varian dari distribusi Y i tersebut adalah: EY i | Y i a = X i + σλ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ X i a VarY i | Y i a = σ 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − σ δ X i a 1 dengan : a a a φ σ λ σ σ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ Φ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i X X X ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ σ λ σ λ σ δ X X X X i i i i a a a a Dengan demikian diperoleh model regresi terpotong atas sebagai berikut : Y i | Y i a = EY i | Y i a + i = X i + σλ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ X i a + ε i dengan : a a a φ σ λ σ σ − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ = ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ Φ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i i X X X i = 1, 2, …, n observasi Adanya penambahan suku σλ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − σ X i a menyebabkan model regresi terpotong berbentuk nonlinier dalam dan X i . 58 2 1 2 1 1 1 2 , | , i i Y -X i Y Y X n i i i n i e L a a σ σ π σ σ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ − ⎛ ⎞ Φ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∏ ∏ 2 2 1 log , | , 1 log2 log 2 2log i i i Y Y Y -X X i i n i L a a σ π σ σ σ = = ⎡ ⎛ ⎞ − + + ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎤ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞ + Φ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ∑

5. ESTIMASI PARAMETER