Model Perencanaan Produksi Terpadu Dengan Adanya Ketidakpastian

MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh
ANA UZLA BATUBARA
097021002/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
ANA UZLA BATUBARA
097021002/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU
DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN

Nama Mahasiswa : Ana Uzla BatuBara
Nomor Pokok
: 097021002
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 16 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 16 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Drs. Sawaluddin, MIT

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Dalam tesis ini dibahas mengenai perencanaan produksi stokastik pada suatu
manufaktur yang sedang berkembang dan memperoleh keuntungan dengan meminimumkan biaya. Dalam perencanaan produksi ada beberapa ketidakpastian
yang dapat menghambat perkembangan seperti: permintaan, bahan baku, peralatan, tenaga kerja dan waktu. Metode yang digunakan adalah skenario dengan
dua tahap, yaitu tahap pertama dengan adanya ketidakpastian pada setiap variabel dan pada tahap kedua memberikan keputusan perencanaan produksi. Tahap
pertama dan tahap kedua memiliki skenario yang berbeda, ke dua skenario digabungkan sehingga menghasilkan model matematika total biaya yang memiliki
batas atas dan batas bawah. Sehingga memberikan hasil keseluruhan yang terbaik dan membantu pengambilan keputusan akibat ketidakpastian, baik dalam
hal lembur dan biaya persediaan
Kata kunci: Program stokastik, Model program stokastik, Perencanaan produksi,
Program stokastik dua tahap.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

In this thesis, the stochastic production planning in an emerging manufacturing
and earn profits by minimizing costs. In production planning there are several
uncertainties that could inhibit the development such as: demand, raw materials,
equipment, labor and time. The method used is a generation based with two stages:
the first stage with the uncertainty on each variable and the second stage provides

production planning decisions. The first stage and second stage have a different
scenario, the two scenarios are combined to produce a mathematical model the
total cost of having the upper and lower bounds. Thus providing the best overall
results and help make decisions due to uncertainty, either in terms of overtime
and inventory costs.

Keyword: Stochastic programming, Stochastic programming models, Production
planning, Two-stage stochastic programming

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT dan tidak lupa saya panjatkan shalawat dan beriring salam kepada baginda Rasulullah Muhammad SAW, sehingga
penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul : MODEL PERENCANAAN
PRODUKSI TERPADU DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya
kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)

selaku Rektor Universitas Sumatera Utara
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk
mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera
Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang juga menjadi pembimbing utama yang telah memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis
dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembimbing kedua yang banyak memberikan bimbingan dan arahan serat motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Bapak Prof. Dr.

Opim Salim S, M.Sc sebagai penguji tesis yang juga

memberikan bimbingan, arahan dan saran dalam penyempurnaan penulisan tesis
ini.
Bapak Drs. Sawaluddin, MIT sebagai penguji tesis yang juga memberikan
bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Bapak/Ibu Dosen pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang sudah membimbing, mengajar dan membagi sebagian
ilmunya kepada penulis.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang memberikan pelayanan yang
baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Orang tua tercinta Muhammad Djein Batubara dan Masliana Pohan
dan mertua tersayang Lili Suhairi Saragih dan Siti Meisarah Damanik yang
telah mencurahkan kasih sayang dan memberikan dukungan baik moril dan materi
kepada penulis dan semua keluarga yang senantiasa mendoakan selama penulis
menjalankan perkuliahan.
Suami tercinta Muhammad Suprianto Saragih, SE yang telah mencurahkan cinta, kasih sayang, pengertian, dan perhatian kepada penulis selama
perkuliahan dan penulisan tesis ini. Anak ku tersayang, Alm Yazda Shah
Saragih dan Muhammad Alzamil Saragih yang menemani penulis mengakhiri
perkuliahan, terima kasih anak ku tersayang.
Rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara tahun 2009 dari Politeknik Negeri Medan dan terkhusus
: Pak Djakaria, Pak Miduk, Pak David, Pak Mizan, Pak Rusli, Eriek, Kak Susi,
Astri, Nunik, Eva, dan Vita. Semoga pertemanan kita tak lekang oleh waktu.
Kepada Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis
ini, terima kasih atas segala bantuan yang diberikan. Semoga Allah SWT membalas segala kebaikan dan bantuan yang diberikan.
Medan, Juni 2011

Penulis,

Ana Uzla BatuBara
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Medan tanggal 24 Juni 1985, anak tunggal dari Muhammad Djein Batubara dan Masliana Pohan. Pendidikan yang ditempuh penulis :
1. SD Swasta Tri Bakti Kec. Hamparan Perak
2. SLTP PGRI 3 Medan
3. SMA Raksana Medan
4. Jurusan Matematika Universitas Sriwijaya Palembang
Pada tahun 2007 sampai tahun 2011, penulis menjadi guru di SMA Negeri
7 Binjai, tahun 2009 hingga sekarang, penulis menjadi guru di YP Shafiyyatul
Amaliyyah dan Dosen IAIN Sumatera Utara.
Penulis menikah dengan Muhammad Suprianto Saragih, SE pada tanggal 07
Maret 2009 dan telah dikarunia anak Alm Yazda Shah Saragih dan Muhammad
Alzamil Saragih.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Kontribusi Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK DAN PERENCANAAN PRODUKSI

9

3.1 Program Stokastik

9

3.2 Model Dasar Program Stokastik

9

3.2.1 Model Antisipatif

10

3.2.2 Model Adaptif

10

3.2.3 Model Recourse

11

3.3 Klasifikasi

12

3.4 Pengertian Program Stokastik Dua Tahap

13

3.5 Perencanaan Produksi

16

vi
Universitas Sumatera Utara

3.6 Model Perencanaan Produksi Stokastik Dua Tahap
BAB 4 MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU

18
20

4.1 Definisi Keputusan Tahap Pertama dan Tahap Kedua

20

4.2 Model Perencanaan Produksi Dua Tahap

21

4.3 Pembentukan Model Perencanaan Produksi Dua Tahap

23

BAB 5 KESIMPULAN

29

DAFTAR PUSTAKA

30

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Dalam tesis ini dibahas mengenai perencanaan produksi stokastik pada suatu
manufaktur yang sedang berkembang dan memperoleh keuntungan dengan meminimumkan biaya. Dalam perencanaan produksi ada beberapa ketidakpastian
yang dapat menghambat perkembangan seperti: permintaan, bahan baku, peralatan, tenaga kerja dan waktu. Metode yang digunakan adalah skenario dengan
dua tahap, yaitu tahap pertama dengan adanya ketidakpastian pada setiap variabel dan pada tahap kedua memberikan keputusan perencanaan produksi. Tahap
pertama dan tahap kedua memiliki skenario yang berbeda, ke dua skenario digabungkan sehingga menghasilkan model matematika total biaya yang memiliki
batas atas dan batas bawah. Sehingga memberikan hasil keseluruhan yang terbaik dan membantu pengambilan keputusan akibat ketidakpastian, baik dalam
hal lembur dan biaya persediaan
Kata kunci: Program stokastik, Model program stokastik, Perencanaan produksi,
Program stokastik dua tahap.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

In this thesis, the stochastic production planning in an emerging manufacturing
and earn profits by minimizing costs. In production planning there are several
uncertainties that could inhibit the development such as: demand, raw materials,
equipment, labor and time. The method used is a generation based with two stages:
the first stage with the uncertainty on each variable and the second stage provides
production planning decisions. The first stage and second stage have a different
scenario, the two scenarios are combined to produce a mathematical model the
total cost of having the upper and lower bounds. Thus providing the best overall
results and help make decisions due to uncertainty, either in terms of overtime
and inventory costs.

Keyword: Stochastic programming, Stochastic programming models, Production
planning, Two-stage stochastic programming

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Perencanaan produksi sebagai suatu perencanaan taktis yang bertujuan untuk memberikan keputusan berdasarkan sumber daya yang dimiliki perusahaan
dalam memenuhi permintaan akan produk yang dihasilkan. Penentuan jumlah
optimal produk yang akan diproduksi menjadi kunci bagi perencanaan produksi
yang tepat. Perencanaan produksi dilakukan dengan maksud memenuhi permintaan pada tingkat biaya yang minimum. Kegiatan produksi sangat ditentukan
oleh ketersediaan bahan baku dan jumlah permintaan. Bahan baku merupakan
salah satu masukan yang akan diproses untuk menghasilkan produk. Perencanaan
dan pengendalian produksi memiliki peranan yang penting dalam pengelolahan
persediaan, kapasitas dan penjadwalan. Pengelolahan persediaan bertujuan minimisasi biaya dan kerusakan produk atau bahan, perencanaan kapasitas dimaksudkan untuk menjamin kelancaran proses produksi dan penjadwalan ditujukan
untuk menjaga kualitas dan tingkat persediaan yang minimum.
Dengan adanya banyak sumber daya yang tersedia dapat membantu secara langsung perencanaan suatu manufaktur dalam hal produksi sehingga dapat memenuhi permintaan konsumen dalam waktu tertentu. Perencanaan produksi bertujuan untuk menyesuaikan produksi dengan sumber keputusan untuk
memenuhi permintaan konsumen yang akan datang, seperti kapasitas produksi,
pembatasan tenaga kerja dan pembatasan waktu lembur yang mana permasalahan
tersebut merupakan masalah optimisasi. Tujuan lain dari perencanaan produksi
untuk meminimalkan biaya total atau memaksimalkan keuntungan.
Model matematika untuk perencanaan produksi secara luas diklasifikasikan
dalam dua kategori yaitu model deterministik dan model stokastik. Model deterministik mengasumsikan bahwa data sudah diketahui dan model stokhastik menggunakan tebakan terbaik dari nilai ketidakpastian. Dasar dari model kuantitatif
dikembangkan dengan peramalan variabel ketidakpastian seperti permintaan, mo1
Universitas Sumatera Utara

2
del deterministik akan menyelesaikan nilai rata-rata atau kejadian terburuk. Solusi
dari nilai rata rata yaitu tidak memenuhi batas eror untuk satu penyelesaian dan
kejadian terburuk dapat menghasilkan formulasi yang sederhana.
Salah satu bentuk model pemprograman stokastik adalah model pemprograman stokastik dua tahap dengan recourse. Program stokastik dua tahap dengan
recourse ini merupakan suatu bentuk model khusus yang lebih penting. Dalam
hal model seperti ini fungsi objektif biasanya bersesuaian dengan meminimumkan
biaya atau memaksimumkan keuntungan, meskipun dapat juga mengacu pada nilai absolut yang diharapkan atau penyimpangan kuadrat tujuan khusus tertentu
atau variance dari fungsi sumber tahap kedua.
Beberapa ketidakpastian yang terdapat pada manufaktur dapat dikategorikan
dalam dua kategori yaitu ketidakpastian lingkungan dan ketidakpastian sistem.
Ketidakpastian lingkungan akan mengacu pada ketidakpastian yang berada di luar cakupan pengendalian proses produksi, seperti ketidakpastian permintaan dan
ketidakpastian pasokan mengacu pada ketidakpastian yang berhubungan dengan
proses produksi, seperti ketidakpastian hasil, ketidakpastian waktu produksi, ketidakpastian kwalitas dan produksi yang gagal. Berbagai model analitik dan mensimulasi model yang dilakukan Mula et. al (2006) yaitu melakukan studi tentang
perencanaan produksi dengan setiap ketidakpastian yang pada umumnya tidak
menghasilkan solusi optimal.
Lai (2006), menyatakan bahwa masalah perencanaan produksi memegang
peranan yang sangat penting dalam jaringan manajemen persediaan. Metodologi
dari masalah perencanaan produksi dapat juga memberikan jumlah produksi dan
tenaga kerja disetiap perencanaan produksi untuk memenuhi permintaan pasar.
Dikembangkan juga suatu model pemprograman stokastik dengan penambahan
batas. Digunakan juga model dua tahap recourse untuk masalah perencanaan
produksi dengan pemprograman stokastik.
Tesis ini akan membahas perencanaan produksi dengan pendekatan yang
baik yaitu mengidentifikasi dan mengatasi beberapa ketidakpastian yang akan
muncul pada manufaktur, sehingga tidak menghambat perkembangan suatu ma-

Universitas Sumatera Utara

3
nufaktur dan manufaktur memiliki solusi yang optimal dengan meminimalkan terjadinya kemungkinan yang buruk dan memaksimalkan keuntungan dengan membentuk model matematika. Untuk pembentukan model matematika, akan dibentuk bagaimana model matematika sebelum adanya ketidakpastian dan setelah
adanya ketidakpastian.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah yang akan muncul pada suatu manufaktur adalah adanya ketidakpastian permintaan, ketidakpastian produksi dan ketidakpastian banyaknya tenaga kerja sehingga menghambat perkembangan sebuah manufaktur, sehingga perlu
di bentuk model stokastik untuk perencanaan produksi yang dapat memberikan
solusi yang optimal.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah membentuk model perencanaan produksi
terpadu dengan meminimalkan biaya pada suatu manufaktur yang sedang berkembang sehingga memberikan solusi yang optimal.
1.4 Kontribusi Penelitian
Kontribusi dari penelitian ini adalah membantu suatu manufaktur menjadi
lebih baik di waktu yang akan datang, dapat meminimalkan ketidakpastian yang
akan terjadi setiap tahun dan tidak menghambat perkembangan manufaktur.
1.5 Metode Penelitian
Adapun metode penilitian yang akan dilakukan pada tesis ini yaitu:
1. Mendefinisikan pengertian tahap pertama dan tahap kedua
2. Menentukan variabel variabel yang digunakan dalam perencanaaan produksi stokastik, yang meliputi antara lain :

Universitas Sumatera Utara

4
a. Menentukan dan mendefinisikan parameter dengan tebakan terbaik.
b. Menentukan dan mendefinisikan parameter di waktu yang akan datang.
c. Menentukan variabel keputusan.
3. Membentuk model perencanaan produksi dua tahap sesuai dengan skenario
perencanaan.
4. Mengembangkan model pada langkah ke tiga dengan menambah beberapa
variabel, yaitu :
a. Batas atas dan batas bawah dari skenario
b. Probabilitas dari perencanaan skenario
5. Pembentukan biaya total dari model perencanaan produksi sesuai dengan
skenario.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Masalah yang sering dihadapi dalam perencanaan produksi yaitu penjadwalan, lokasi, transformasi, keuangan, dan teknik pemasaran. Metode yang digunakan dengan ketidakpastian untuk pengambilan keputusan ini dengan optimisasi,
setiap keputusan dalam ketidakpastian lebih sulit akibat variabel pengambilan keputusan. Variabel keputusan logis dengan model diskrit diatur dengan beberapa
tahap dan program stokastik, probabilistik pemprograman, dan program stokastik
dinamis (Sahinidis, 2004). Salah satu pendekatan untuk masalah dengan ketidakpastian ini menggunakan program stokastik yaitu memecahkan permasalahan
perencanaan produksi dimana kuantitas produksi dibatasi oleh kapasitas penyimpanan persediaan (Liu dan Tu (2008)). Permasalaha lebih lanjut mengasumsikan
bahwa kehabisan stok dan kapasitas penyimpanan persediaan bersifat konstan,
model perencanaan produksi yang digunakan untuk mengembangkan jadwal produksi yang optimal (Lee et. al (2005)).
Menurut Prajapati (2008), model matematika untuk perencanaan produksi
permintaan deterministik dapat diformulasikan sebagai berikut :
Minimum
Xn

t=1

Kendala

CpP (t) +

Xn

t=1

f(t)y(t) +

Xn

Ch (t)I(t)

(2.1)

∀ t = 1, ..., n

(2.2)

t=1

a. Keseimbangan persediaan
I(t − 1) + P (t) = D(t) + I(t)
b. Kapasitas
P (t) ≤ Cy (t)

∀ t = 1, ..., n

(2.3)

c. Non negatif dan integer
P (t) ≥ 0,

y(t) ∈ [0.1]

∀ t = 1, ..., n

(2.4)
5

Universitas Sumatera Utara

6
Persamaan (2.1) yaitu untuk meminimalkan biaya, termasuk biaya tenaga kerja,
biaya produksi dan biaya penyediaan. Persamaan (2.2) memberikan kepastian
persediaan pada setiap waktu ditambah dengan permintaan sama dengan jumlah
persediaan dari waktu sebelumnya dan produksi terus menerus. Persamaan (2.3)
menyatakan keterbatasan kapasitas dan persamaan (2.4) menunjukkan variabel
keputusan P (t) adalah non-negatif dan y(t) adalah biner.
Model program linier untuk bermacam jenis yang terpadu, banyaknya perencanaan produksi yang terus menerus dan masalah distribusi dinamik. Hal ini
juga diangap pengamanan persediaan dan agragasi kapasitas untuk meminimalkan pengaruh dari ketidakpastian dalam permintaan dan penawaran.

Model

perencanaan produksi deterministik dan solusinya sangat tergantung pada keakuratan dari perkiraan permintaan yang sulit dilakukan akibat informasi yang tidak
pasti, sehingga model ketidakpastian perencanaan produksi stokastik perlu dikembangkan.
Alonso et. al (2003) menggunakan permodelan stokastik 0 - 1 dan pendekatan algoritma untuk ketidakpastian manajemen rantai pemasokan, yang bertujuan untuk menentukan produksi, tingkat perencanaan , pemilhan produk, alokasi
perencanaan dan pemilihan bahan baku. Tujuan yang diharapkan dari pemodelan
stokastik 0 - 1 ini keuntungan yang maksimal dari produk yang dihasilkan dengan
keuntungan bersih, yang telah dikurangi dengan penyusutan investasi dan biaya
operasional. Pada pemodelan stokastik 0-1 ini menggunakan parameter ketidakpastian adalah harga dan permintaan, biaya bahan baku dan biaya produksi.
Permodelan stokastik 0-1 ini menggunakan dua tahap, yaitu pada tahap pertama
termasuk keputusan strategis dan tahap kedua termasuk keputusan taktis dari
model deterministik. Model yang dihasilkan yaitu :
X
ZIP = max ax +
wω (by ω + cω z ω )
ω∈Ω

Kendala
A1 x = q
A2x + By ω + cz ω = pω

∀ω∈Ω

x ∈ {0, 1}, y ω ∈ {0, 1}, z ω ≥ 0

Universitas Sumatera Utara

7
Permasalahan keputusan dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika, tujuannya adalah untuk menentukan nilai maksimum atau minimum.
Keputusan yang dihasilkan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber
dana dan persyaratan minimum. Keputusan yang dinyatakan oleh peubah berupa
bilangan cacah atau non-negatif. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk
biaya per unit, rata rata produksi, penjualan atau kapasitas.
Andaikan keputusan dinyatakan dengan peubah (x1, x2 , ..., xn), sebagai contoh xi menyatakan produksi ke i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah :
Maksimum
Z = f(x)
Kendala
fi (x) ≥ bi

i = 1, 2, ..., n

(2.5)

x ≥ 0, x ∈ X
Dimana X adalah himpunan real non negatif.
Ada dua model dalam permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse models (Model rekursif)
2. Probabilistically constrained models (Model kendala berpeluang)
Dalam permasalahan program stokastik adalah membuat sebuah keputusan
sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata sebagai konsekuensi dari keputusan,
paradigma ini dikenal sebagai model recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan
aksi terbaru atau konsekuensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah :
Minimum
h1 (x) + E[h2(y(w), w)]
Kendala
g1 (x) ≤ 0, ..., gm(x) ≤ 0

Universitas Sumatera Utara

8
f1 (x, y(w)) ≤ 0,

∀; w ∈ W

fk (x, y(w)) ≤ 0,

∀; w ∈ W

(2.6)

x ∈ X, y(w) ∈ Y
Dimana himpunan kendala f1, f2 , ..., fk menggambarkan hubungan antara
keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Dicatat bahwa
dipersyaratan tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap
w ∈ W yang mungkin. Fungsi h2 merupakan penyelesaian yang sering muncul
dari permasalahan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang
berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat
korelasi yang terbaik.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu model yang lebih tepat untuk
mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin
oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model
umum dengan kendala berpeluang disebut Probabilistically Constrained Models
yang dirumuskan sebagai berikut :
min Z = f(x)
Kendala
P [g1 (x) ≤ 0, ..., gm(x) ≤ 0] ≥ α

(2.7)

h1 (x) ≤ 0
h2 (x) ≤ 0
x∈X

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
PROGRAM STOKASTIK DAN PERENCANAAN PRODUKSI

3.1 Program Stokastik
Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan
menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :
a. Pada program matematik deterministik, data (koefisien) adalah bilanganbilangan yang diketahui (tertentu).
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak
diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematik dengan situasi (yang
mengandung) ketidakpastian. Program stokastik merupakan program matematik, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung
ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik
dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil yang diperoleh secara umum
digambarkan pada elemen w ∈ W . Jika data acak, maka penyelesaian dan nilai
tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
3.2 Model Dasar Program Stokastik
Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokastik.
Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam
penelitian ini.

9
Universitas Sumatera Utara

10
3.2.1 Model Antisipatif
Model ini juga disebut sebagai model statis, yang mana keputusan tidak
tergantung pada pengamatan di masa yang akan datang. Perencanaan yang baik
harus memperhitungkan semua realisasi yang mungkin dimasa yang akan datang
yang mungkin karena tidak akan ada kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.
Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik.
Misalnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis
dalam bentuk
P {w|fj (x, w) = 0,

j = 1, 2, ..., n} ≥ α

Disini x adalah vektor peubah keputusan m dimensi dan fi : Rm xΩ → R, j =
1, ..., n . Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {w|f0 (x, w) ≤ γ},
dimana f0 : Rm xΩ → R ∪ {+∞} dan γ konstanta.
Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala
yang diinginkan dan fungsi objektif.
3.2.2 Model Adaptif
Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul
secara parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam
lingkungan pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang
tersedia melalui pengamatan yang merupakan sub-gelanggang dari semua kejadian yang mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati,
dan x disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat
diformulasikan sebagai
min E[f0(x(w), w)|A]
Kendala
[fj (x(w), w)|A] = 0,
x(w) ∈ X

j = 1, 2, ..., n

(3.1)

hampir pasti

Universitas Sumatera Utara

11
Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur.
Permasalahan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program
deterministik berikut :
min E[f0(x)|A](w)
Kendala
[fj (x)|A](w) = 0,

j = 1, 2, ..., n

(3.2)

x∈X
Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama
sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif
sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling
menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
3.2.3 Model Recourse
Model ini menggabungkan dua model yang ada, untuk menentukan kebijakan tidak hanya mengantisipasi pengamatan di masa datang tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif. Misalnya,
manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham (antisipasi)
tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah (adaptasi).
Permasalahan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis sebagai
berikut
min f(x) + E[Q(x, w)]
Kendala
Ax = b

(3.3)

0
x ∈ RM
+

x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak
teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari program tak linier:
min ξ(y, w)
Kendala
W (w)y = h(w) − T (w)x

(3.4)

Universitas Sumatera Utara

12
i
y ∈ RM
+

dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor
acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan {T (w),
W (w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu. Parameterparameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi
yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber daya tahap
kedua.
Secara umum model recourse dua tahap dapat diformulasikan sebagai berikut
"
#
min f(x) + E

min {ξ(y, w) |T (w)x + W (w)y = h(w) }
M

y∈R+ 1

Kendala
Ax = b
0
x ∈ RM
+

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang
ekivalen sehingga mudah terselesaikan.
3.3 Klasifikasi
Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse
dikatakan mempunyai
1. Recourse tetap (fix) jika untuk recourse w tetap untuk semua hasil wi .
2. Recourse lengkap jika untuk semua v ∈ Rm , terdapat y ≥ 0 sehingga wy = v.
3. Recourse relatif lengkap jika untuk semua x ≥ 0 sehingga Ax = b dan untuk
semua w ∈ Ω ada y ≥ 0 sehingga W(w) y = h(w) − V(w) x.
4. Recourse sederhana jika W dapat dinyatakan sebagai [I − I] .

Universitas Sumatera Utara

13
Recourse sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang selanjutnya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap. Recourse relatif
lengkap mengakibatkan semua x layak terhadap kendala tahap I problema recourse mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi keadaan ini dapat
terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelumnya.
3.4 Pengertian Program Stokastik Dua Tahap
Banyaknya permasalahan sederhana yang berupa perencanaan dan manajemen sering tidak data digambarkan dengan model stasis, untuk model bertujuan.
Metode program stokastik dua tahap sering digunakan. Model program stokastik
dua tahap bergantung pada informasi nilai parameter dari kondisi permasalahan,
dimana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Permasalahan
dinamik dari tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan realisasi permasalahan dan pembuat keputusan
tercepat dari tahap sebelumnya.
Permasalahan dinamik memiliki salah satu bentuk yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilitas atau kendala statistik. Untuk permasalahan dinamik
dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari
kondisi setiap tahap.
Pada permasalahan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala data dibedakan menjadi :
a. Pada pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap
sebelumnya yang dianggap diketahui
b. Pada pembuatan keputusan melengkapi informasi yang ada mengenai realisasi parameter acak yang dinyatakan dengan tahapan, tetapi nilai dari
parameter acak tidak diketahui pada tahapan berurutan .
Penyelesaian optimal untuk permasalahan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir dari

Universitas Sumatera Utara

14
penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam permasalahan.
Untuk perhitungan dalam analisis program stokastik dua tahap, didefinisikan dengan mengandaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi , i = 0, 1, ..., n untuk beberapa ruang kejadian elementer wi , dimana Ωi berisi satu elemen Ω0 . Andaikan
Ωk adalah descartian product Ωi , i = 1, 2, ..., k : wk = (w1 , ..., wk); Ωn = Ω dan
andaikan Ω diberikan ukuran probabilistic p yang didefinisikan dengan cara : jika
P
a ⊂ Ωk maka pk (A) = p(a×Ωk+1 ×...×Ωn ). Dengan ruang probabilistik (ω, , P )
P
dengan
berkaitan dengan σ-algebra, definisi Pk sebagai ukuran probabilistik
pada Ωk

Pk (A|wk+1 ∈ B) =

Pk (A × B)
Pk (Ωk × B)

Untuk sebarang A ⊂ Ωk , B ⊂ Ωk−1 .
X k dinyatakan sebagai descartian produk Xi untuk setiap i = 1, 2, ..., k ,
dan X k = (xi , ..., xk) ∈ X k .Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada
ϕk (wk , X k ) berdimensi untuk setiap wk ∈ Ωk , X k ∈ χk , k = 0, 1, 2, ..., n dan juga
untuk setiap w ∈ Ω pada himpunan χ fungsi ϕ0 (wn , χn ). Masukkan himpunan
acak G0k = G0k (wk ) dan bk (wk−1 )mk , fungsi vektor Bk dinyatakan sebagai ruang
P
Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimensi bk (wk ) ki=1 mi . Akhirnya
Ewk (U(wk )|wk−1 ) menyatakan kondisi ekspektasi matematika U(wk ) dibawah perkiraan realisasi wk−1 yang diketahui.
Andaikan dibahas model berbeda pada permasalahan program stokastik dua
tahap dengan menggunakan notasi yang dapat dilihat di atas. Misalkan terdapat
permasalahan program stokastik tahap ganda :
Eφ0 = (wn , χn ) → inf

(3.5)

Eφ0 = (wn , χn ) ≥ bk

(3.6)

X k ∈ Gk ,

k = 0, 1, 2, ..., n

(3.7)

Untuk formula secara lengkap, diperlukan titik luar jika kendala tidak konditional, apakah peyelesaian ditentukan dengan strategi murni atau strategi cam-

Universitas Sumatera Utara

15
puran, dan di dalam fungsi akan mendapatkan penyelesaian. Permasalahan praktisnya akan tergantung pada penyelesaian pada tiap-tiap tahap yang dapat di
hitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian
dari realisasi parameter acak yang observasi dari kondisi atau sebagai distribusi
menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan data yang diperlukan tentang
nilai acak sehingga dieroleh model konkrit dan struktur informasi ditentukan oleh
keputusan selanjutnya.
Permasalahan stokastik dua tahap dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan adalah:

Z

ϕn (wn , X n )dFwn ,X n→inf

(3.8)

ϕk (wk , X k )dFwk ,X k

(3.9)

Ωn ×X n

Z

Ωk ×X k

X k ∈ Gk ,

k = 0, 1, 2, ..., n

(3.10)

Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah
struktur informasi yang merupakan persyaratan permasalahan program dua tahap
dengan kendala kondisional. Model yang kongkrit dari (3.6)-(3.8) pada kasus
permasalahan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran
adalah :

Z

Z

ϕ0 (wn , X n )dFwn ,X n→inf

(3.11)

ϕk (wk , X k )dFwk |w dFwk |wk−1 ≥ bk (wk−1 )

(3.12)

X k ∈ Gk (wk ),

(3.13)

Ωn ×X n

Ωk ×X k

k = 0, 1, 2, ..., n

Penyelesaian permasalahan menjadi himpunan distribusi FX k|wk biasanya
untuk menyelesaikan masalah dengan distribusi yang ditentukan, kemudian FX k|wk
didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak wk , distribusi yang
ditentukan kemudian bergantung pada X k−1 dan wk . Dikatakan bahwa permasalahan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika FX k|wk didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan X k−1 , tetapi sebelum
pengamatan wk , distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada X k−1
dan wk−1 .

Universitas Sumatera Utara

16
Jika permasalahan dua tahap dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.6)-(3.8) akan menjadi :
Z
ϕ0 (wn , X n )dFwn ,X n→inf

(3.14)

Ωn ×X n

Z

ϕk (wk , X k )dFwk |wk−1 ≥ bk (wk−1 )

(3.15)

Ωk ×X k

X k ∈ Gk (wk ),

k = 0, 1, 2, ..., n

(3.16)

Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari masalah penyelesaian. Permasalahan diselesaikan dengan aturan yang
ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan wk .
Aturan yang ditentukan untuk menyelesaikan X k = X k (wk ). Jika keputusan
dibuat setelah realisasi dan pengamatan wk−1 , tetapi sebelum pengamatan wk ,
pada kasus aturan sebelumnya:
X k = wk−1
Persamaan (3.12)-(3.14) atau (3.15)-(3.17) dikenal sebagai permasalahan
stokastik dua tahap dengan rigid model, jika kondisi (3.13) atau (3.16) tidak ada,
keputusan tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap
sebelumnya.
3.5 Perencanaan Produksi
Perencanaan produksi adalah pernyataan rencana produksi ke dalam bentuk
agregat. Perencanaan produksi ini merupakan alat komunikasi antara manajemen
teras (top management) dan manufaktur. Di samping itu juga, perencanaan produksi merupakan pegangan untuk merancang jadwal induk produksi. Beberapa
fungsi lain perencanaan produksi adalah :
1. Menjamin rencana penjualan dan rencana produksi konsisten terhadap rencana strategis perusahaan

Universitas Sumatera Utara

17
2. Sebagai alat ukur performansi proses perencanaan produksi
3. Menjamin kemampuan produksi konsisten terhadap rencana produksi
4. Memonitor hasil produksi aktual terhadap rencana produksi dan membuat
penyesuaian.
5. Mengatur persediaan produk jadi untuk mencapai target produksi dan rencana startegis
6. Mengarahkan penyusunan dan pelaksanaan Jadwal induk Produksi.
Tujuan perencanaan produksi adalah :
1. Sebagai langkah awal untuk menentukan aktivitas produksi yaitu sebagai
referensi perencanaan lebih rinci dari rencana agregat menjadi item dalam
jadwal induk produksi.
2. Sebagai masukan rencana sumber daya sehingga perencanaan sumber daya
dapat dikembangkan untuk mendukung perencanaan produksi.
3. Meredam (stabilisasi) produksi dan tenaga kerja terhadap fluktuasi permintaan.
Perencanaan produksi mempunyai waktu perencanaan yang cukup panjang,
biasanya 5 tahun. Rencana ini digunakan untuk perencanaan sumber daya seperti ekspansi, pembelian mesin. Proses peramalan telah memberikan informasi
mengenai besarnya permintaan akan produk yang direncanakan. Langkah selanjutnya adalah membuat rencana produksinya itu sendiri. Dalam hal ini tidak
semua permintaan dari hasil peramalan mungkin bisa diproduksi karena kapasitas
produksi yang dimiliki tidak mencukupi. Pada dasarnya perencanaan produksi
adalah upaya menjabarkan hasil peramalan menjadi rencana produksi yang layak
dilakukan dalam bentuk jadwal rencana produksi. Perencanaan produksi harus
mempunyai sifat: berjangka waktu, berjenjang, terpadu, berkelanjutan, terukur,
realistis, akurat dan menantang.

Universitas Sumatera Utara

18
Perencanaan produksi akan melibatkan banyak faktor, seperti bahan baku,
mesin atau peralatan, tenaga kerja dan waktu, dimana semua faktor tersebut
sesuai dengan kebutuhan yang direncanakan dalam mencapai target produksi tertentu yang didasarkan atas perkiraan masing-masing faktor tersebut tidak harus
direncanakan sendiri-sendiri sesuai dengan keterbatasan yang ada masing-masing
faktor yang dimiliki perusahaan, tetapi rencana tersebut harus dibuat dengan
mengacu pada satu rencana terpadu untuk produksi. Rencana produksi tersebut
juga harus terkait dengan rencana-rencana lain yang berpengaruh langsung terhadap rencana produksi, seperti pemeliharaan, tenaga kerja, pengadaan material
dan sebagainya. Keterpaduan ini tidak hanya horisontal saja, tetapi juga secara
vertikal. Hal ini berarti rencana jangka pendek harus mengacu pada rencana jangka menengah, terpadu dengan rencana jangka panjang, begitu juga sebaliknya.
3.6 Model Perencanaan Produksi Stokastik Dua Tahap
Untuk setiap pengambilan keputusan dan pelaksanaannya dapat dibagi dalam beberapa tahap sehingga permasalahan stokastik akan menggambarkan suatu multi-stage permasalahan optimisasi. Model stokastik dua tahap membuat
keputusan dengan menggunakan dua tahap. Tahap pertama variabel keputusan adalah optimal sebelum adanya kepastian dari variabel yang acak dan tidak
pasti. Setelah adanya kepastian dari bariabel acak, variabel pada tahap kedua
yang dioptimalkan.
Variabel keputusan tahap pertama disebut komponen struktural yang tetap
pada tahap kedua dan tidak adanya ketidakpastian dalam data yang ada. Variabel
keputusan tahap kedua disebut komponen kontrol yang merupakan subjek dari
ketidakpastian data yang ada. Variabel x dan y akan mendefinisikan dua tahap
model stokastik yaitu :

x

: menunjukkan vektor variabel keputusan nilai yang optimal pada parameter yang tidak pasti.

y

: menunjukkan vektor variabel keputusan kontrol yang sesuai dengan parameter yang pasti.

Universitas Sumatera Utara

19
Bentuk umum dari dua tahap model program stokastik dapat dinyatakan
sebagai berikut :
minx

cT x + E[Q(x, ξ)]

(3.17)

Ax = b

(3.18)

x≥0

(3.19)

Kendala

Dimana Q(x, ξ) merupakan nilai optimal dari tahap kedua

miny

q(ω)T y

(3.20)

Kendala
T (ω)x + Wy = h(ω)

(3.21)

y≥0

(3.22)

Tahap kedua tergantung pada data ξω = (q(ω), h(ω), T (ω)) yang merupakan
elemen acak, dimana matriks W diasumsikan diketahui. Mariks T (ω) dan W
merupakan matriks teknologi dan sumberdaya. Ekspektasi E[Q(x, ξ)] yaitu vektor
acak dari ξ = ξ(ω) dengan asumsi bahwa distribusi peluang diketahui.
Persamaan (3.20) dinotasikan sebagai kendala struktural yang mana koefisien nya ada dan bebas dari ketidakpastian. Persamaan (3.21) dinotasikan sebagai kendala kontrol yang prosesnya pada tahap kedua. Sehingga persamaan
(3.18)-(3.20) merupakan model tahap pertama dan persamaan (3.21)-(3.22) merupakan model tahap kedua, c adalah vektor dari koefisien biaya pada tahap pertama. A merupakan koefisien matriks pada tahap pertama dan b merupakan vektor
perbandingan sebelah kanan. T (ω) merupakan matriks penghubung dua tahap
secara bersamaan. Pada model tahap kedua, kendala didefinisikan acak pada
(3.21), h(ω) − T (ω)x merupakan kendala tujuan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
MODEL PERENCANAAN PRODUKSI TERPADU

Dalam perencanaan produksi akan melibatkan banyak faktor, seperti bahan
baku, mesin, tenaga kerja, permintaan, biaya dan waktu. Semua faktor harus
sesuai dengan kebutuhan yang direncanakan dalam pencapai target produksi.
Untuk pencapaian produksi yang baik diperlukan model yang sesuai dengan permintaan, dalam pembentukan model perencanaan produksi faktor faktor yang
ada saling mempengaruhi, apa lagi dengan adanya ketidakpastian dari permintaan konsumen di pasar. Persediaan produksi harus sesuai dengan permintaan,
sehingga suatu manufaktur dapat merencanakan berapa banyak yang harus diproduksi.
Penentuan keputusan dan pelaksanaan dalam memproduksi akibat ketidakpastian membuat manufaktur yang sedang berkembang sulit untuk menentukan
keputusan untuk berapa banyak yang diproduksi. Akibat dari ketidakpastian
tersebut diperlukan perencanaan yang baik, sehingga diperlukan model stokastik
yang dapat memberikan solusi yang optimal dalam hal pembiayaan. Untuk pembentukan model tersebut diperlukan perencanaan dengan adanya ketidakpastian
dan selanjutnya setelaha adanya kepastian. Maka pada bab ini, akan diberikan
dua tahap dalam membuat model perencanaan produksi yang baik untuk manufaktur dalam perencanaan yang akan dibuat. Model stokastik yang akan dibuat
untuk meminimalkan banyaknya biaya yang akan dikeluarkan dalam produksi dan
memberikan solusi akibat ketidak konsistenan semua faktor.
4.1 Definisi Keputusan Tahap Pertama dan Tahap Kedua
Definisi variabel untuk tahap pertama dan kedua tergantung bagaimana
hubungan dari permasalahan, oleh karena itu model stokastik dua tahap dapat
dilakukan dengan beberapa cara. Misalkan tahap pertama dapat menggabungkan
variabel yang saling berhubungan, seperti lokasi dan banyaknya fasilitas. Tahap
kedua memberikan keputusan perencanaan produksi dengan adanya permintaan.
20
Universitas Sumatera Utara

21
Pada tahap pengoprasian lingkungan perusahaan dengan kapasitas tetap,
pembelian dan juga keputusan produksi. Pengambilan keputusan pembelian dan
produksi pada tahap pertama dibuat selama (3-4) bulan sebelum terjadi perubahan permintaan, dan tahap kedua memberikan keputusan. Dengan mengasumsikan kapasitas produksi bernilai maksimal, banyaknya barang untuk satu periode dan sisa barang tidak berubah. Pada tahap pertama, banyaknya pembelian
material untuk memproduksi selama 4 bulan mendatang sebagai persediaan permintaan yang akan datang.
Untuk mengembangkan model perencanaan produksi menggunakan :
1. Lembur
Dengan adanya lembur bagi karyawa, maka dapat menimbulkan kenaikan
sementara persediaan tanpa adanya penambahan karyawan.
2. Kelengkapan
Untuk mengatasi adanya permintaan yang tinggi, sehingga menghasilkan
produksi yang baik.
3. Pemberhentian karyawan
Dengan adanya pemberhentian karyawan saat permintaan menurun, tidak
mempengaruhi strategi keputusan karena memiliki pekerja yang terlatih.
4. Backlog
Backlog pesanan dan subkontrak tidak dipertimbangkan dalam penelitian
ini

4.2 Model Perencanaan Produksi Dua Tahap
Model perencanaan produksi dua tahap termasuk pada multi-skenario model
perencanaan produksi stokastik dua tahap. Tujuannya adalah untuk menentukan
rencana produksi yang optimal untuk meminimalkan produksi secara keseluruhan,
persediaan dan biaya lembur dalam memenuhi permintaan pasar setiap periode
waktu t = 1, 2, ..., T , dalam hal ini tiap periode sama dengan satu bulan. Model

Universitas Sumatera Utara

22
parameter yang akan digunakan pada model perencanaan produksi stokastik dua
tahap dapat didefinisikan sebagai berikut :
Parameter :
Indeks :
s : indeks dari skenario
t : indeks dari periode waktu
Himpunan :
S : himpunan dari skenario
T : banyaknya periode
Parameter yang digunakan untuk mengembangkan model program stokastik
dua tahap dengan mengasumsikan data diketahui dengan tebakan terbaik, dan
penambahan parameter dimasa yang akan datang, sebagaimana berikut ini :
Parameter deterministik :
d(s, t) : perkiraan permintaan produksi dalam periode t
Cr

: biaya pekerja pertahun

C0

: biaya lebur bagi tenaga kerja

Ch

: biaya tahunan perunit dari produk

Cb

: biaya pembelian

N

: rata-rata jumlah hari dalam periode

I0

: persediaan awal

t

: produksi harian perorang

α

: rasio lembur

β

: rata- rata biaya produksi

d

: kuantitas minimal produksi dalam periode waktu t

w

: banyak tenaga kerja

ρ

: efisiensi tenaga kerja (ρ = 0, 9)

Parameter recourse :
p(s)

: peluang terjadinya skenario

SS(s, t): persediaan stok produksi pada periode t dalam skenario s

Universitas Sumatera Utara

23
Variabel keputusan :
P (s, t)

: banyak unit yang dihasilkan secara terus menerus setiap jam

O(s, t)

: banyaknya unit yang dihasikan setiap lembur

I(s, t)

: persediaan produksi di akhir periode

B(s, t)

: banyaknya unit yang harus dibeli

y(s, t)

: 1 jika ada lembur, 0 yang lainnya

4.3 Pembentukan Model Perencanaan Produksi Dua Tahap
Pada awal dari perencanaan produksi suatu manufaktur harus membuat rancangan atau skenario, untuk membuat skenario produksi banyak faktor yang mempegaruhi kemungkinan, pengaruh dari kemungkinan tersebut brsifat tidak pasti
untuk setiap skenario yang di buat. Segala kemungkinan yang akan terjadi perlu
diminimalisasikan untuk meminimalkan biaya total produksi. Dalam hal ini peluang yang akan diminimalkan yaitu biaya tenaga kerja sesuai dengan banyaknya
tenaga kerja, jika terjadi peningkatan permintaan tidak perlu adanya penambahan karyawan tetapi terjadi lembur pada tenaga kerja, sehingga banyaknya unit
yang dihasilkan pada saat lembur akan sesuai dengan biaya yang dikeluarkan saat
lembur. Biaya persediaan untuk setiap unit pertahun harus diminimumkan untuk setiap tahunnya, dan dalam skenario juga harus dihitung berapa banyak unit
yang akan dibeli oleh konsumen.
Untuk setiap skenario yang dibuat memiliki kendala yang mungkin terjadi,
seperti :
a. Bangaimana keseimbangan persediaan produk yang dihasilkan dengan perkiraan permintaan produksi.
b. Kapasitas produksi yang dihasilkan oleh tenaga kerja.
c. Produksi yang dihasilkan pada saat lembur haruslah lebih banyak dari tidak
lembur.
d. Produksi unit memiliki keterbatasan.

Universitas Sumatera Utara

24
e. Persediaan stok produksi
f. Produksi yang sama
g. Banyaknya produksi saat lebur dan persediaan di akhir priode tidak boleh
terjadi kekurangan produksi unit.
Dari kemungkinan yang ada dari skenario tersebut dapat dibentuk model
matematika sebagai berikut :
Minimum
S
X

"

p(s) Cr .w +

s=1

T
X
t=1

#
T
T
X
1 X
O(s, t).C0 +
I(s, t).Ch +
Cb .B(s, t)
12 t=1
t=1

(4.1)

Kendala
a. Keseimbangan persediaan
I(s, 0) + P (s, t) + O(s, t) − B(s, t) = d(s, t) + I(s, t) ∀ s ∈ S, t = 1 (4.2)
I(s, t − 1) + P (s, t) + O(s, t) = d(s, t) + I(s, t) ∀ s ∈ S, t = 2, ..., T (4.3)
b. Kapasitas
P (s, t) ≤ N.τ.ρ.w ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.4)

c. Lembur dan produksi
P (s, t) ≥ N.τ.ρ.w.y(s, t) ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.5)

O(s, t) ≤ α.N.τ.ρ.w.y(s, t) ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.6)

d. Batasan minimal produksi
P (s, t) ≥ N.τ.ρ.w ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.7)

e. Persediaan stok produksi
I(s, t) ≥ SS(s, t) ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.8)

Universitas Sumatera Utara

25
f. Produksi yang sama
P (s, t) = P (s + 1, t) ∀ s = 1, ..., S, t = 1, ..., 4

(4.9)

P (s, t), O(s, t), I(s, t) ≥ 0 ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.10)

y(s, t) adalah biner ∀ s ∈ S, t ∈ T

(4.11)

g. Non-negatif

Tujuan (4.1) untuk meminimalkan biaya total, termasuk biaya tenaga kerja
tahunan, biaya lembur, dan biaya persediaan. Kendala (4.2) dan (4.3) memastikan bahwa persediaan awal ditambah produksi lembur selama periode sama
dengan permintaan ditambah persediaan akhir. Kendala (4.4) menentukan total
produksi yang dihasilkan tenaga kerja rengan waktu yang reguler periode t dan
dibatasi kapasitas produksi. Kendala (4.5) dan (4.6) memastikan bahwa, lembur
terjadi jika produksi menurun pada tingkat maksimum dan lembur tidak boleh
melebihi batas maksimum dengan menetapkan α% dari produksi. Kendala (4.7)
mamastikan bahwa produksi dibawah skenario tetap lebih besar dari produksi
minimum. Kendala (4.8) menjamin bahwa persediaan akhir pada tiap periode
tidak kurang dari stok minimum. Kendala (4.9) memastikan bahwa produksi
dibawah skenario akan tetap sama pada empat bulan pertama untuk keputusan
tahap pertama. Kendala (4.10) memastikan semua variabel keputusan adalah
non-negatif dan kendala (4.11) keputusan y(s, t) adalah biner.
Program stokastik bertujuan untuk meminimalkan nilai yang diharapkan,
yang pertama biaya persediaan dan produksi tidak termasuk yang sangat mempengaruhi dalam pengambilan keputusan. Model yang baik dapat mengupayakan
untuk meminimalkan biaya persediaan dan mengurangi hasil yang tidak berbeda
antara skenario yang lain.
Untuk itu, biaya rata-rata ditambahkan pada model dengan menambahkan
notasi dan variabel yang akan digunakan untuk pengembangan model. Untuk meminimalkan biaya yang mempunyai batas pada pembiayaan untuk setiap skenario
perencanaan, sehingga memerlukan penambahan model paramerter dan variabel.

Universitas Sumatera Utara

26

Parameter :
: bobot skala

λ

ε1 : batas bawah
ε1 : batas atas
Variabel :
ξs : variabel dengan probabilitas ps dalam skenario s
Pengembangan model perencanaan produksi dapat dirumuskan seperti dibawah
ini :
Minimum
XS

s=1

dimana

ps ξs + λ

XS

s=1

ξs = C T x +
Kendala
ε1 6

P

S
s=1


XS ′
ps ξs −
′

s =1

XK

ps ξs −
PS

k=1

PS ′

p′s ξs′

pk qkT yk

s′ =1

p′s ξs′

s=1 ps ξs



2

(4.12)

(4.13)

6 ε2

(4.14)

Langkah pertama dari fungsi objektif yaitu model stokastik sama dengan
P
biaya total yang diharapkan. Langkah kedua dari fungsi objektif λ Ss=1 ps (ξs −
PS ′
′ ′ 2
s′ =1 ps ξs ) digunakan untuk memberikan perbedaan biaya rencana produksi

dalam berbagai skenario. Kendala (4.14) digunakan untuk membedakan biaya
antara skenario dalam ε1 dan ε2. Fungsi objektif disini untuk memimalkan ke-

salahan dan mendapatkan solusi yang kurang sesitif terhadap data permintaan
disetiap skenario.
Fungsi Objektif
a. Biaya produksi reguler
P C = Cr .W

(4.15)

Universitas Sumatera Utara

27
b. Biaya lembur produksi
OC(s) =
c. Biaya persediaan
IC(s) =

XT

t=1

(4.16)

O(s, t).C0

1 XT
I(s, t).Chβ
t=1
12

(4.17)

Selanjutnya dari fungsi objektif yang dibentuk model akibat dari perbedaan
skenario dapat di bentuk seperti dibawah ini:
Minimum
PS
PS
s=1 p(s)[P C + OC(s) + IC(s)] + λ
s=1 p(s)[P C + OC(s) + IC(s)−
XS

s′ =1

p(s′ )[P C +OC(s)+IC(s)]]2

(4.18)

Kendala
Perbedaan skenario

ε1 ≤

S
P

p(s)[P C + OC(s) + IC(s)] −

S
P

p(s′ )[P C + OC(s) + IC(s)]

s′ =1

s=1
S
P

≤ ε2

p(s)[P C + OC(s) + IC(s)]

s=1

(4.19)

Pada bagian pertama fungs