Sistem Pengelolaan Lingkungan Dengan Adanya Ketidakpastian

SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN
ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh
ARDIANTA
087021012/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN
ADANYA KETIDAKPASTIAN

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada FMIPA
Universitas Sumatera Utara

Oleh
ARDIANTA
087021012/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: SISTEM PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN
ADANYA KETIDAKPASTIAN

Nama Mahasiswa : ARDIANTA
Nomor Pokok
: 087021012
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc. )
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang )
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc.)

Tanggal lulus: 17 Februari 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 17 Februari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

: Dr. Saib Suwilo, M.Sc.
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc.
3. Drs. Open Darnius, M.Sc.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Interval parameter pemrograman stokastik integer campuran dua tahap dikembangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya ketidakpastian, Ini adalah
pemrograman stokastik eksak dua-tahap dan dicampur metode integer linear programming. Metode ITMILP langsung dapat menangani ketidakpastian dinyatakan tidak hanya sebagai fungsi probabilitas tetapi juga sebagai interval diskrit.
Hal ini dapat digunakan untuk menganalisis skenario berbagai kebijakan yang
berkaitan dengan berbagai tingkat hukuman ekonomi bila target kebijakan yang
dijanjikan dilanggar. Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis dinamik keputusan mengenai perencanaan kapasitas perluasan dalam multi fasilitas, multi
periode, dan multi pilihan. Hasilnya akan membantu untuk menghasilkan berbagai alternatif keputusan dalam kondisi berbagai sistem, dan dengan demikian
menawarkan wawasan ke dalam tujuan lingkungan dan ekonomi. Metode ITMILP diterapkan untuk perencanaan perluasan fasilitas dan alokasi aliran limbah
dalam suatu sistem pengelolaan limbah. Hasil penelitian menunjukkan bahwa
solusi yang masuk akal telah dibuat untuk kedua variabel biner dan berkesinambungan. Solusi biner-variabel merupakan keputusan ekspansi fasilitas, sedangkan
solusi variabel kontinu terkait dengan keputusan tentang alokasi aliran limbah.

Kata kunci: Keputusan; Lingkungan Hidup; Interval; Optimasi; limbah padat;
stokastik; Ketidakpastian

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (ITMILP)
technique is developed for waste management under uncertainty. It is a hybrid
of inexact two-stage stochastic programming and mixed integer linear programming methods. The ITMILP method can directly handle uncertainties expressed
not only as probability density functions but also as discrete intervals. It can be
used to analyse various policy scenarios that are associated with different levels of
economic penalties when the promised policy targets are violated. More importantly, it can facilitate dynamic analysis of decisions on capacity expansion planning
within a multi-region, multi-facility, multi-period, and multi-option context. The
results will help to generate a range of decision alternatives under various system
conditions, and thus offer insight into the trade-offs between environmental and
economic objectives. The ITMILP method is applied to planning facility expansion
and waste flow allocation within a waste management system. The results indicate that reasonable solutions have been generated for both binary and continous
variables. The binary-variable solutions represent the decisions of facility expansion, while the continuous-variable solutions are related to decisions on waste flow
allocation.

Keyword: Decision; Environment; Optimization; Solid waste; Stochastic;
Uncertainty

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan KaruniaNya. Karena terselesaikannya penulisan tesis ini yanga
berjudul: Sistem Pengelolaan Lingkungan dengan adanya Ketidakpastian
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada :
Bapak Prof.

Dr.

dr.

Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc.

(CTM),

Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan
kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera
Utara yang sudah memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang,MSIE selaku Direktur Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang juga menjadi pembimbing yang telah memberikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. selaku Sekretaris Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku anggota komisi pembimbing yang telah memberikan saran dan bimbingan kepada penulis.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai penguji tesis ini.
Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc. selaku anggota penguji tesis ini
Serta seluru staf pengajar pada program studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang sudah membimbing dan membantu penulis mengenyan
pendidikan.
Ibu Misiani, S.Si. selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama
mengikuti pendidikan.
Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Juruiii
Universitas Sumatera Utara

san Matematika FMIPA USU antara lain Ibu Rusmini Dewi, Bapak Makmur
Tarigan, Bapak Satriawan Taruna, Bapak Benar, Bapak Bai Hotma Sitompul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, dan Ibu Sinek
Malem Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada Istri tercinta
dan tersayang Nurhasni Muluk dan teristimewa untuk anak-anakku tercinta
dan tersayang Juli Rizkia, Ridha Apriani dan Fajriani. Semoga Allah SWT
merahmati kita semua.
Kepada teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan

satu persatu, penulis ucapkan banyak terima kasih atas bantuan dan dorongan
yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu
Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan
tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai
manusia yang tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis
ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.

Medan,

17 Februari 2011

Penulis,
Ardianta

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 1 Juni 1959 , sebagai anak ke-1
(satu) dari 5 (lima) bersaudara dari orang tua Asmawi Daimin dan Rahmah Nasution. Penulis menamatkan Sekolah Dasar (SD), SD. Negeri 77 Medan, Lulus tahun

1970. Sekolah Menengah Pertama (SMP), SMP Negeri 9 Medan. Lulus tahun
1973. Sekolah Menengah Atas (SMA), SMA Swasta Sutomo Medan. Lulus tahun
1976. Pada tahun 1977 penulis melanjutkan pendidikan Sarjana di Universitas
Sumatera Utara pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan
Matematika dan Lulus pada tahun 1984. Dari tahun 1985 hingga sekarang penulis
dipercaya sebagai salah satu Staf Pengajar pada Politeknik Negeri Medan. Tahun
2008 ,penulis berkesempatan untuk melanjutkan Program Master pada Program
Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Tujuan Penelitian

2

1.4 Manfaat Penelitian

2

1.5 Metodologi Penelitian

3

BAB 2 BEBERAPA MODEL PENGELOLAAN LINGKUNGAN

4

BAB 3 PROGRAM STOKASTIK

6

3.1 Model Dasar Program Stokastik (Birge, 1988)

6

3.2 Program Stokastik Cacah-Campuran

9

3.3 Formulasi Deterministik Ekivalen

10

3.4 Klasifikasi

13

vi
Universitas Sumatera Utara

3.5 Model Tahap-Ganda

13

BAB 4 PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN ADANYA
KETIDAKPASTIAN
15
4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming
Campuran Dua Tahap

15

BAB 5 KESIMPULAN

26

DAFTAR PUSTAKA

27

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Interval parameter pemrograman stokastik integer campuran dua tahap dikembangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya ketidakpastian, Ini adalah
pemrograman stokastik eksak dua-tahap dan dicampur metode integer linear programming. Metode ITMILP langsung dapat menangani ketidakpastian dinyatakan tidak hanya sebagai fungsi probabilitas tetapi juga sebagai interval diskrit.
Hal ini dapat digunakan untuk menganalisis skenario berbagai kebijakan yang
berkaitan dengan berbagai tingkat hukuman ekonomi bila target kebijakan yang
dijanjikan dilanggar. Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis dinamik keputusan mengenai perencanaan kapasitas perluasan dalam multi fasilitas, multi
periode, dan multi pilihan. Hasilnya akan membantu untuk menghasilkan berbagai alternatif keputusan dalam kondisi berbagai sistem, dan dengan demikian
menawarkan wawasan ke dalam tujuan lingkungan dan ekonomi. Metode ITMILP diterapkan untuk perencanaan perluasan fasilitas dan alokasi aliran limbah
dalam suatu sistem pengelolaan limbah. Hasil penelitian menunjukkan bahwa
solusi yang masuk akal telah dibuat untuk kedua variabel biner dan berkesinambungan. Solusi biner-variabel merupakan keputusan ekspansi fasilitas, sedangkan
solusi variabel kontinu terkait dengan keputusan tentang alokasi aliran limbah.

Kata kunci: Keputusan; Lingkungan Hidup; Interval; Optimasi; limbah padat;
stokastik; Ketidakpastian

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
An interval-parameter two-stage stochastic mixed integer programming (ITMILP)
technique is developed for waste management under uncertainty. It is a hybrid
of inexact two-stage stochastic programming and mixed integer linear programming methods. The ITMILP method can directly handle uncertainties expressed
not only as probability density functions but also as discrete intervals. It can be
used to analyse various policy scenarios that are associated with different levels of
economic penalties when the promised policy targets are violated. More importantly, it can facilitate dynamic analysis of decisions on capacity expansion planning
within a multi-region, multi-facility, multi-period, and multi-option context. The
results will help to generate a range of decision alternatives under various system
conditions, and thus offer insight into the trade-offs between environmental and
economic objectives. The ITMILP method is applied to planning facility expansion
and waste flow allocation within a waste management system. The results indicate that reasonable solutions have been generated for both binary and continous
variables. The binary-variable solutions represent the decisions of facility expansion, while the continuous-variable solutions are related to decisions on waste flow
allocation.

Keyword: Decision; Environment; Optimization; Solid waste; Stochastic;
Uncertainty

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Dalam sistem manajemen limbah padat perkotaan, proses yang masih harus
dipertimbangkan oleh para pengambil keputusan seperti, transportasi, pengobatan, dan pembuangan (Wilson 1985). Selain itu faktor lain yang juga harus diperhitungkan, termasuk teknik yang digunakan, tingkat jasa yang akan ditawarkan,
dan fasilitas yang akan diadopsi.
Proses-proses dan faktor-faktor yang kompleks dengan multi-periode, multilayer, dan multi-objektif fitur (Thomas et al 1990). Biaya untuk transportasi dan
pembuangan limbah merupakan faktor utama dalam sistem manajemen limbah
padat perkotaan, perlindungan lingkungan dan konservasi sumber daya terus menjadi tantangan yang dihadapi (Huang dan Chang 2003, Yeomans et al. 2003).
Jadi sistem analisis dapat digunakan untuk membantu dalam mengembangkan
rencana jangka panjang dan meminimalkan biaya dalam sistem manajemen. Anderson (1968) optimasi ekonomi pertama kali diajukan untuk perencanaan sistem
manajemen limbah padat perkotaan. Sejak itu, sejumlah model pemrograman
matematika telah dikembangkan untuk mendukung keputusan sistem manajemen
dan mengevaluasi operasional yang relevan dan investasi kebijakan (Kirca dan
Erkip 1988, Baetz 1990, Zhu dan Revelle 1990, Chang dan Wang 1994, 1995).
Namun, dalam sistem manajemen mungkin ada ketidakpastian sehubungan dengan biaya yang terkait, faktor dampak, dan tujuan, yang akan mempengaruhi
proses optimasi dan skema keputusan yang dihasilkan (Huang et al. 1993). Sebagian besar metode sebelumnya berhubungan dengan ketidakpastian dalam pengelolaan limbah termasuk pemrograman matematis fuzzy , kesempatan dibatasi
pemrograman, dan pemrograman interval-parameter (Huang et al. 1993, 1995 a,
b, 1997, 2001, Chang dan Lu 1997, Chang dan Wang 1997, Chanas dan Zielinski 2000). Teknik menarik yang dapat membantu mengatasi kekurangan di atas
1
Universitas Sumatera Utara

2
adalah dua-tahap pemrograman stokastik, efektif untuk masalah-masalah analisis
kebijakan, skenario yang diinginkan dan data yang terkait sebagian besar pasti.
Dalam aplikasi praktis beberapa ketidakpastian disajikan sebagai fungsi densitas
probabilitas dan lain-lain nilai deterministik diikuti oleh analisis pasca optimal.
Metode dua-tahap pemrograman stokastik telah luas dieksplorasi selama dekade
terakhir (Mobasheri dan Harboe 1970, Pereira dan Pinto 1991, Ruszczynski 1993,
Schultz et al. 1996, Ruszczynski dan Swietanowski 1997, Seifi dan Hipel 2001, Luo
et al. 2003). Misalnya, Huang dan Loucks (2000) mengusulkan dua tahap eksak
pemrograman model pengelolaan sumber daya air di bawah ketidakpastian, dan
Maqsood dan Huang (2003) dieksplorasi model untuk perencanaan pengelolaan
sampah. Namun metode ini tidak mampu mencerminkan kompleksitas dinamis
dalam sistem pengelolaan limbah, seperti waktu, ukuran, dan penempatan dalam
perencanaan skema ekspansi kapasitas untuk fasilitas manajemen limbah.
1.2 Perumusan Masalah
Adapun perumusan masalah yang dihadapi dalam penelitian ini adalah
dengan melakukan pendekatan dengan menggunakan interval parameter integer
stokastik dua tahap dengan menjabarkan faktor-faktor yang mempengaruhi dalam
sistem pengelolaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian menjadi sebuah model pemrograman yang nantinya dapat dikembangkan.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menerapkan model pemograman
linier interval parameter integer stokastik dua tahap untuk sistem pengelolaan
lingkungan dengan adanya ketidakpastian yang akan menghasilkan keputusan
dalam berbagai sistem.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang nantinya diperoleh dari penelitian ini yaitu di dapatkannya
model pemrograman untuk mengoptimalkan system pengelolaan lingkungan de-

Universitas Sumatera Utara

3
ngan adanya ketidakpastian.
1.5 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan adalah model pemograman interval parameter integer stokastik dua tahap untuk sistem perencanaan lingkungan dengan adanya ketidakpastian adalah dengan menggunakan studi literature dan jurnal-jurnal yang
berhubungan dengan topik dari penilitian ini.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
BEBERAPA MODEL PENGELOLAAN LINGKUNGAN

Suatu sistem manajemen limbah padat perkotaan mungkin melibatkan beberapa fasilitas untuk memenuhi keseluruhan permintaan untuk pengolahan sampah, dan pembuangan. Oleh karena itu ekspansi kapasitas fasilitas pengelolaan
limbah merupakan masalah penting dalam manajemen perencanaan limbah padat
perkotaan , dimana terkait analisis optimasi umumnya membutuhkan penggunaan
variabel integer untuk menunjukkan apakah fasilitas pengembangan atau perluasan pilihan tertentu harus dilakukan. Mixed integer linear programming (MILP)
adalah alat yang berguna untuk tujuan ini (Huang et al 1995a, 1997). Intervalparameter MILP memungkinkan ketidakpastian akan langsung dikomunikasikan
ke proses optimasi dan solusi yang dihasilkan sehingga beberapa keputusan alternatif dapat dihasilkan oleh interpretasi dari solusi.
Oleh karena itu pendekatan yang potensial yang akan memungkinkan kompleksitas dan ketidakpastian kapasitas ekspansi dan denda ekonomi menjadi lebih
baik dicatat dengan interval-parameter MILP. Ini mengarah ke sebuah MILP
dua-tahap interval-parameter (ITMILP) model. Dalam model ini, variabel keputusan yang meliputi dua kategori: yang berkelanjutan dan biner. Variabel
kontinu merupakan arus kota-ke-fasilitas limbah, dan variabel biner digunakan
untuk keputusan ekspansi kapasitas.
Oleh karena itu tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengembangkan
seperti model ITMILP dan menerapkan untuk kasus hipotetis perencanaan manajemen limbah padat perkotaan. Model ini langsung dapat menangani ketidakpastian dinyatakan sebagai salah satu fungsi kepadatan probabilitas atau interval diskrit. Hal ini dapat digunakan untuk menganalisis berbagai skenario
kebijakan yang berkaitan dengan berbagai tingkat ekonomi ketika target kebijakan yang dijanjikan dilanggar. Lebih penting lagi, dapat memfasilitasi analisis
dinamis untuk keputusan pada perencanaan kapasitas ekspansi dalam wilayah4
Universitas Sumatera Utara

5
multi, multi-fasilitas, multi-periode, dan konteks multi-opsi. Hasil akan membantu untuk menghasilkan berbagai keputusan alternatif dalam kondisi berbagai
sistem, dan dengan demikian menawarkan wawasan ke dalam trade-offs antara
lingkungan dan ekonomi tujuan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
PROGRAM STOKASTIK

Program stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan
menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :
a. Pada program matematik deterministik, data (koefisien) adalah bilanganbilangan yang diketahui (tertentu).
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak
diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematik dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematik,
dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik
dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan
nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
3.1 Model Dasar Program Stokastik (Birge, 1988)
Model antisipatif dan adaptif merupakan kasus khusus dari program stokastik.
Kombinasi keduanya menghasilkan model rekursif yang menjadi fokus dalam
penelitian ini.
a. Model Antisipatif
Model ini juga disebut sebagai model statis, dalam mana keputusan tidak ter6
Universitas Sumatera Utara

7
gantung pada pengamatan masa datang. Perencanaan yang baik harus memperhitungkan semua realisasi masa datang yang mungkin karena tidak akan ada
kesempatan untuk memperbaharui keputusan nantinya.
Dalam model antisipatif kelayakan dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalnya, tingkat keandalan α dengan 0 < α ≤ 1, dinyatakan dan kendala ditulis
dalam bentuk
P {w|fj (x, w) = 0, j = 1, 2, . . . , n} ≥ α
Disini x adalah vektor peubah keputusan dan fj : Rm xΩ → R, j = 1, . . . , n.
Fungsi objektif juga dapat bertipe keandalan seperti P {w|f0 (x, w) ≤ γ}, dimana
f0 : Rm xΩ → R ∪ {+∞} dan γ konstanta.
Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik kendala yang
diinginkan dan fungsi objektif.
b. Model Adaptif
Dalam model ini, informasi yang dikaitkan dengan ketidakpastian muncul secara
parsial sebelum pengambilan keputusan, jadi optimisasi terjadi dalam lingkungan
pembelajaran. Andaikan A koleksi dari semua informasi relevan yang tersedia
melalui pengamatan yang merupakan subgelanggang dari semua kejadian yang
mungkin. Keputusan x tergantung pada kejadian yang dapat diamati, dan x
disebut A teradaptasi atau A terukur. Program stokastik adaptif dapat diformulasikan sebagai
min
kendala

E [f0 (x(w), w) |A]
E [fj (x(w), w) |A] , j = 1, 2, . . . , n
x(x) ∈ X,

(3.1)

hampir pasti

Pemetaan x : Ω → X adalah sedemikian hingga x(w) merupakan A terukur.
Persoalan ini dapat disajikan dengan menyelesaikan untuk setiap w program deterministik berikut :
min
kendala

E [f0 (x, .) |A] (w)
E [fj (x, .) |A] (w) = 0, j = 1, 2, . . . , n

(3.2)

x(x) ∈ X

Universitas Sumatera Utara

8
Ada dua kasus ekstrim yaitu informasi lengkap dan tidak ada informasi sama
sekali. Kasus pertama mengakibatkan model menjadi bentuk model antisipatif
sedangkan untuk kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Yang paling
menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia.
Model Recourse
Model ini menggabungkan dua model yang diutarakan terdahulu, yang ingin
menentukan kebijakan yang tidak hanya mengantisipasi pengamatan masa datang
tapi juga memperhitungkan informasi yang ada untuk membuat keputusan rekursif. Misalnya, manajer portofolio memperhatikan gerak masa datang agar saham
(antisipasi) tetapi juga menyeimbangkan posisi portofolio ketika harga berubah
(adaptasi). Persoalan program stokastik dua tahap dengan rekursif dapat ditulis
sebagai
min

f(x) + E [Q(x, w)]

kendala

(3.3)

Ax = b
0
x ∈ RM
+

x adalah keputusan antisipatif tahap pertama yang diambil sebelum peubah acak
teramati dan Q(x, w) merupakan nilai optimalnya, untuk sembarang Ω, dari program tak linier:
min
kendala

ξ(y, w)
(3.4)

W (w)y = h(w) − T (w)x
1
y ∈ RM
+

Dengan y keputusan adaptif tahap kedua yang tergantung pada realisasi vektor
acak tahap pertama, ξ(y, w) merupakan fungsi biaya tahap kedua, dan
{T (w), W (w), h(w)|w ∈ Ω} adalah parameter model dengan dimensi tertentu.
Parameter-parameter ini merupakan fungsi dari vektor acak w dan karena itu
merupakan parameter acak. T adalah matriks teknologi yang mengandung koefisien teknologi yang mengubah keputusan tahap pertama x menjadi sumber daya
untuk persoalan tahap kedua. W adalah matriks recourse dan h vector sumber
daya tahap kedua.

Universitas Sumatera Utara

9
Secara umum model recourse dua tahap dapat di formulasikan sebagai
#
"
min

f(x) + E

min {ξ(y, w)|T (w)x + W (w)y = h(w)}
M

y∈R+ 1

kendala

Ax = b

(3.5)

0
x ∈ RM
+

Dari bentuk program stokastik perlu dibentuk model deterministik yang ekivalen
sehingga mudah terselesaikan.
3.2 Program Stokastik Cacah-Campuran
Model Program Stokastik Cacah Campuran (PSCC) dua-tahap merupakan
model dalam mana himpunan bagian dari peubah tahap pertama dan kedua
dipersyaratkan bernilai cacah. Untuk penyajian problemanya, andaikan w
¯ suatu
peubah acak yang dipakai untuk memodelkan data dalam model dua-tahap. Karena model program stokastik ditujukan untuk pengambilan keputusan, suatu vektor keputusan x harus dipilih sedemikian hingga konsekuensi dari keputusan (yang
dievaluasi terhadap beberapa hasil alternatif dari w)
¯ diakomodasi dalam model
pilihan optimal. Konsekuensi dari keputusan tahap pertama diukur melalui problema optimisasi yang disebut problema recourse yang memperbolehkan pengamatan (peubah acak). Andaikan bahwa suatu pengamatan dari w
¯ dinyatakan
dengan w. Maka konsekuensi memilih x terhadap hasil w dapat dimodelkan sebagai
h(x, w) =min g(w)T y
W (w)y ≥ r(w) − T (w)x
y ≥ 0, yi cacah =; j ∈ J 2
Dengan J 2 himpunan indeks yang dapat mencakup beberapa atau semua peubah
dalam y ∈ Rn2 . Disini diandaikan bahwa semua realisasi W (w) merupakan matriks yang berukuran m2 × n2 .

Universitas Sumatera Utara

10
3.3 Formulasi Deterministik Ekivalen
Pandang model program stokastik linier berikut

min
kendala




˜
g0 x, ξ
 
gi x, ξ˜ , i = 1, . . . , m,

(3.6)

x ∈ XcRn ,

Dengan ξ˜ vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ ⊂ Rk . Lebih tepat
lagi, diandaikan bahwa keluarga (family) F dari ”kejadian”, yaitu himpunan
bagian dari Ξ, dan sebaran peluang P pada F diketahui. Jadi untuk setiap
himpunan bagian A ⊂ Ξ yang merupakan kejadian-kejadian, yaitu A ∈ F , peluang P (A) diketahui. Selanjutnya, diandaikan bahwa fungsi gi (x, ξ) : Ξ → R∀x, i
merupakan peubah acak dan sebaran peluang P adalah bebas.
Namun, problema (3.6) tidak ”well defined” karena pengertian ”min” dan juga kendala tidak jelas, jika yang diperhitungkan adalah nilai keputusan x sebelum
˜ Karena itu revisi terhadap proses pemodelan perlu
mengetahui realisasi dari ξ.
dilakukan, yang akan menghasilkan model deterministik ekivalen untuk (3.6).
Pembentukan model analogi terhadap program stokastik linier dengan recourse,
untuk problema (3.6) dilakukan dengan cara berikut.

0
jika gi (x, ξ) 6 0,
+
gi (x, ξ) =
selainnya,
gi (x, ξ)
Kendala ke i dari (3.6) dilanggar jika dan hanya jika gi+ (x, ξ) > 0 untuk su˜ Di sini dapat diberikan untuk setiap
atu keputusan x dan realisasi ξ dari ξ.
kendala suatu recourse atau aktivitas tahap-kedua yi (ξ),setelah mengamati realisasi ξ, dipilih sehingga mengantisipasi pelanggaran kendala jika ada dengan
memenuhi gi (x, ξ) − yi (ξ) ≤ 0. Usaha tambahan ini diandaikan mengakibatkan
penambahan biaya atau penalti qi per unit, jadi biaya tambahan ini (disebut
fungsi recourse) berjumlah

Universitas Sumatera Utara

11

Q(x, ξ) = min
y

( m
X

)

qi yi (ξ)|yi(ξ) > gi+ (x, ξ), i = 1, · · · , m

i=1

(3.7)

Yang menghasilkan biaya total -tahap pertama dan biaya recourse
f0(x, ξ) = g0 (x, ξ) + Q(x, ξ)

(3.8)

Selain (3.7), dapat dipikirkan suatu program linier recourse yang lebih umum
dengan suatu recourse vektor y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯ , (Y himpunan polyhedral, seperti
{y|y ≥ 0}), suatu sembarang fixed m× n
¯ matrix W ( matriks recourse ) dan vektor
unit biaya q ∈ Rn¯ , menghasilkan untuk (3.8) fungsi recourse


Q(x, ξ) = min q T y|W y > g + (x, ξ), y ∈ Y
y

(3.9)


T
+
(x, ξ) .
Dengan g + (x, ξ) = g1+ (x, ξ), · · · , gm

Perhatikan suatu pabrik menghasilkan m produk, gi (x, ξ) dapat dipahami

sebagai perbedaan {permintaan}-{output} produk i. Maka gi+ (x, ξ) > 0 berarti
bahwa terdapat kekurangan dalam produk i, relatif terhadap permintaan. Dengan mengandaikan bahwa pabrik komit untuk memenuhi permintaan, problema
(3.7) misalnya dapat diinterpretasikan sebagai membeli kekurangan produk i di
pasar. Problema (3.9) dapat dihasilkan dari program produksi tahap-kedua atau
emergency, yang dilaksanakan dengan faktor input y dan teknologi disajikan oleh
matriks W . Jika dipilih W = I, m × m identitas matriks, (3.7) menjadi kasus
khusus dari (3.9).
Akhirnya juga dapat dipikirkan program recourse nonlinier untuk mendefinisikan fungsi recourse terhadap (3.8); misalnya, Q(x, ξ) dapat dipilih sebagai


Q(x, ξ) = min q(y) + Hi (y) ≥ gi+ (x, ξ), i = 1, . . . , m; y(ξ) ∈ Y ⊂ Rn¯
(3.10)

dengan q : Rn¯ → R dan Hi : Rn¯ → R diandaikan diketahui. Dalam kasus

terapan, pengambil keputusan yang ingin meminimumkan nilai ekspektasi biaya
total (yaitu, tahap pertama dan biaya recourse), cukup memandang formulasi
deterministik ekivalen, program stokastik dua-tahap dengan recourse
n
o
˜ + Q(x, ξ)
˜ .
˜ = min E ˜ g0 (x, ξ)
min Eξ˜f0 (x, ξ)
ξ
x∈X

x∈X

(3.11)

Universitas Sumatera Utara

12
Problema dua-tahap di atas dapat diperluas terhadap program recourse tahapganda sebagai berikut: di samping dua keputusan x dan y, harus diambil ditahap 1 dan 2, sekarang problema dihadapkan dengan K + 1 keputusan sequensial
x0 , x1, . . . , xk (xτ ∈ Rnτ τ ), yang harus diambil pada tahap τ = 0, 1, . . . , K. Kata
”tahap” dapat, tapi tidak perlu, diartikan sebagai ”periode waktu”.
Andaikan untuk penyederhanaan bahwa objectif dari (3.6) deterministik,
yaitu, g0 (x, ξ) = g0 (x). Pada tahap τ (τ ≥ 1) diketahui realisasi ξ1 , . . . , ξτ dari
vektor acak ξ˜1 , . . . , ξ˜τ dan keputusan sebelumnya x0, . . . , xτ −1, harus diputuskan
terhadap xτ sehingga kendala (dengan fungsi kendala gτ )
gτ (x0 , · · · , xτ , ξ1, · · · , ξτ 6 0)
Dipenuhi, yang pada tahap ini hanya dapat dicapai oleh pemilihan tepat xτ , yang
didasarkan pada pengetahuan keputusan dan realisasi sebelumnya. Jadi, dengan
mengandaikan fungsi biaya qτ (xτ ), pada tahap τ ≥ 1 diperolah fungsi recourse
Qτ = (x0 , x1, . . . , xτ −1 , ξ1, . . . , ξτ ) = min {qτ (xτ )|gτ (x0, x1 , . . . , xτ −1, ξ1 , . . . , ξτ ) 6 0}
xτ

Yang mengidentifikasikan tindakan optimal recourse x
ˆτ pada waktu τ tergantung
pada keputusan sebelumnya dan realisasi yang diamati hingga tahap τ , yaitu,
x
ˆτ = x
ˆτ (x0 , · · · , xτ −1, ξ1 , · · · , ξτ ), τ > 1
Jadi, untuk tahap ganda, diperoleh sebagai total biaya untuk problema tahapganda
f0 (x0, ξ1 , · · · , ξK ) = g0 (x0) +

K
X

Eξ˜1,··· ,ξ˜τ Qτ (x0, x
ˆ1, · · · , x
ˆτ −1, ξ1 , · · · , ξτ ) (3.12)

τ =1

menghasilkan deterministik ekivalen for problema program stokastik tahap ganda
dengan recourse
"

min g0 (x0 ) +

x0 ∈X

K
X

#

Eξ˜1 ,··· ,ξ˜τ Qτ (x0 , x
ˆ 1, · · · , x
ˆτ −1 , ξ˜1, · · · , ξ˜τ )

τ =1

(3.13)

Persamaan (3.13) merupakan generalisasi langsung dari program stochastik dua
tahap dengan recourse (3.11).

Universitas Sumatera Utara

13
3.4 Klasifikasi
Ada beberapa klasifikasi dari program recourse. Suatu program recourse
dikatakan mempunyai
1. Recourse tetap (fix) jika untuk recourse w tetap untuk semua hasil wi .
2. Recourse lengkap jika untuk semua v ∈ Rm , terdapat y ≥ 0 sehingga wy = v.
3. Recourse relatif lengkap jika untuk semua x ≥ 0 sehingga Ax = b dan untuk
semua w ∈ Ω ada y ≥ 0 sehingga W(w) y = h(w) − V(w) x
4. Recourse sederhana jika W dapat dinyatakan sebagai W = [I − I]
Recourse sederhana merupakan kasus khusus dari recourse lengkap yang selanjutnya merupakan kasus khusus dari recourse relatif lengkap. Recourse relatif
lengkap mengakibatkan bahwa untuk semua x yang layak terhadap kendala tahap I problema recourse mempunyai daerah layak tak kosong. Secara ilustrasi
keadaan ini dapat terlihat dari contoh yang dikemukakan sebelumnya.
3.5 Model Tahap-Ganda
Persoalan rekursif tidak dibatasi pada formulasi dua-tahap. Mungkin saja
pengamatan dibuat pada T tahap berbeda dan terungkap dalam kumpulan in

formasi At|Tt=1 dengan A1 ⊂ A2 ⊂ · · · AT . Tahap berhubungan dengan waktu

ketika beberapa informasi terungkap dan suatu keputusan dapat diambil (Perhatikan bahwa T adalah indeks waktu, sedangkan T (w) matriks)
Program stokastik tahap-ganda dengan recourse akan mempunyai persoalan
recourse pada tahap τ yang dikondisikan pada informasi yang diberikan oleh Aτ ,

yang mencakup semua informasi berasal dari himpunan informasi dalam At, untuk
t = 1, 2, . . . , τ . Program ini juga mengantisipasi informasi dalam At, untuk t =
τ + 1, . . . , T .
Andaikan Vektor acak w memiliki support Ω = Ω1 × Ω2 × . . . , ×Ωτ , yang
merupakan himpunan perkalian dari semua himpunan support individu Ωt , t =

Universitas Sumatera Utara

14
1, 2, . . . , T . w ditulis secara komponen-komponen w = (w1 , . . . , wτ ). Nyatakan
vektor peubah tahap-pertama dengan y0. Untuk setiap tahap t = 1, 2, . . . , T
definisikan vektor peubah recourse yt ∈ RMn , fungsi biaya acak q(yt, wt) dan
parameter acak {Tt(wt ), Wt (wt), ht (wt )|wt ∈ Ωt }.
Program tahap ganda yang memperluas model dua-tahap , diformulasikan
sebagai persoalan optimasi terkelompok berikut
"
min

f(y0 ) ∗ E

min ξ(y1 , w1) + · · · + E
M

y1 ∈R+ 1

kendala

"

#

min ξ(yT , wT ) · · ·
M

yT ∈R+ T

#

T1 (w1)y0 + W1(w1 )y1 = h1 (w1)
..
.
TT (wT )yT −1 + WT (wT )yT = hk (wT )
0
y0 ∈ RM
+

Untuk kasus distribusi peluang diskrit dan tersebar berhingga model tahap ganda
dapat diformulasikan menjadi program tak linier berskala besar deterministik yang
ekivalen.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMODELAN PENGELOLAAN LINGKUNGAN DENGAN
ADANYA KETIDAKPASTIAN

Pertimbangkan sebuah sistem pengelolaan limbah, dimana manajer bertanggung jawab untuk mengalokasikan limbah mengalir dari beberapa kabupaten ke
beberapa fasilitas dalam beberapa periode. Pilihan pembuangan limbah termasuk
penimbunan, insinerasi, pengomposan, dan daur ulang.

4.1 Pemodelan Interval-Parameter Stokastik Integer Programming
Campuran Dua Tahap
Berdasarkan pada kebijakan pengelolaan sampah lokal, aliran limbah dari
masing-masing tingkat kabupaten standar. Jika tidak melebihi dikenakan biaya
biasa (normal) ke sistem. Namun, jika limbah melebihi harus dibuang dan dikenakan biaya tambahan (denda) ke system. Ini berarti biaya operasi dan transportasi meningkat. Dalam situasi seperti itu, jumlah total aliran limbah akan
tetap diperbolehkan. Jadi manajer dapat merumuskan masalah sebagai meminimalkan biaya dalam sistem.
Untuk mengakomodasi perencanaan sistem seperti itu, MILP dapat dimasukkan dalam kerangka TSP, yang mengarah ke model mixed integer linear programming dua tahap (TMILP). Tujuannya adalah untuk mencapai perencanaan
yang optimal ekspansi fasilitas dan alokasi aliran limbah yang relevan dengan
diharapkan biaya minimal dalam sistem. Dimana komponen biaya terdiri dari:
a. Biaya transportasi limbah
b. Biaya operasional limbah yang diizinkan
c. Biaya transportasi residu
d. Biaya operasional residu
15
Universitas Sumatera Utara

16
e. Biaya transportasi kelebihan limbah
f. Biaya operasional kelebihan limbah
g. Biaya pembuangan residu ke tempat pembuangan akhir
h. Biaya untuk memperluas fasilitas pembuangan.
i. Biaya expansi tempat pembuangan akhir.
Pemodelan interval parameterstokastikinteger programming campuran dua tahap
dapat dituliskan :
Minimum :
P P P
f = ui=1 vj=1 Pk=1 Lk Xijk (T Rijk + OPik )
+

Pu Pv

PP

+

Pu Pv

PP

Lk Xijk F Ei (F Tik + OP1k )
i
h
P P P
(w)
+ ui=1 vj=1 Pk=1 E Mijk (DRijk + DPik )

+

i=2

i=2

Pq

j=1

j=1

Pp

k=1

i
h
(w)
k=1 Lk E Mijk F Ei (DTik + DP1k )
Pu Pq

Pp

F T Cimk Zimk
i
h
P P
P P
(w)
− ui=2 pk=1 Lk Xijk REik − ui=2 pk=1 Lk E Mijk RMik
m=1

k=1

F LCmk Ymk +

i=2

m=1

k=1

Batasan Kendala

′

k
v X
X

Lk

j=1 k=1

6 LC +

(

(X1jk +

(w)
M1jk )

+

u
X

F Ei(Xijk +

(w)
Mijk )

i=2

′

q
k
X
X

)

(4.1)

Lk ∆LCmk Ymk , k ′ = 1, 2, ..., k

m=1 k=1

Kendala kapasitas Tempat Pembuangan Akhir
q
v 
k′

X
X
X
(w)
∆T Cimk Zimk
Xijk + Mijk 6 T C i +
j=1

m=1 k=1

(4.2)

i = 1, 2, ..., u ; k ′ = 1, 2, ..., k

Universitas Sumatera Utara

17
Kendala fasilitas pengolahan limbah
u h
i
X
(w)
Xijk + Mijk > W Gjk , ∀j, k

(4.3)

i=1

Kendala permintaan pembuangan limbah
(w)

Xijkmax > Xijk > Mijk > 0

(4.4)

Non-negatif dan kendala teknis
Ymk

zimk

(

(

≤1
≥0
integer, ∀m,k

≤1
≥0
integer, i = 1, 2, 3, . . . , u,

(4.5)

∀m,k

(4.6)

Non-negatif dan kendala biner
p
q
X
X

Ymk 6 1

(4.7)

m=1 k=1

Perluasan TPA hanya dapat terjadi sekali dalam perencanaan
q
X

Zimk 6 1 , i = 1, 2, ..., u ; ∀k

(4.8)

m=1

Fasilitas pengolahan limbah hanya dapat diperluas dalam setiap periode k. Untuk mengatasi masalah ini dengan menggunakan metode pemograman linier, distribusi W Gjk harus dikonversi menjadi nilai diskrit (Huang dan Loucks 2000).
Andaikan setiap W Gjk mengambil nilai Wjkh dengan probabilitas Pjh (untuk
h = 1, 2, . . . , s), di mana h didefinisikan sebagai tingkat limbah di kabupaten
j. Kemudian masalah di atas dapat dituliskan:
Minimum :
P P P
f = ui=1 vj=1 pk=1 Lk Xijk (T Rijk + OPik )
+

+

Pu Pv
i=2

j=1

Pu Pv
i=1

j=1

Pp

k=1

Pp

k=1

Lk Xijk F Ei (F Tik + OP1k )
Ps

h=1

Pjh Mijkh (DRijk + DPik )

Universitas Sumatera Utara

18
+
+
−
−

Pu Pv

j=1

i=2

Pq

m=1

Pp

k=1

Ps

h=1

Lk Pjh Mijkh F Ei (DTik + DP1k )

k=1 F LCmk Ymk +

Pu Pv
i=2

Pp

j=1

p
s
v X
X
X

Pp

k=1

Pu Pq
i=2

m=1

Lk Xijk REik

Pp

k=1

F T Cimk Zimk

Lk Pjh Mijkh RMik

(4.9)

j=1 k=1 h=1

Kendala

′

k
v X
X

Lk

j=1 k=1

6 LC +

(

(X1jk + M1jkh ) +

u
X

F Ei(Xijk + Mijkh )

i=2

′

q
k
X
X

)

(4.10)

Lk ∆LCmk Ymk , ∀h, k ′ = 1, 2, ..., k

m=1 k=1
v
X
j=1




Xijk + Mijkh 6 T C i +

′

q
k
X
X

∆T Cimk Zimk , ∀h, i = 1, 2, ..., u ; k ′ = 1, 2, ..., k

m=1 k=1
u
X

i=1

(4.11)


Xijk + Mijkh > wjkh , ∀j, k, h

(4.12)

Xijkmax > Xijk > Mijkh > 0 ∀i, j, k, h
(
≤1
≥0
Ymk
integer, ∀m,k
(
≤1
≥0
zimk
integer, i = 1, 2, 3, . . . , u, ∀m,k
p
q
X
X

Ymk 6 1

(4.13)
(4.14)

(4.15)

(4.16)

m=1 k=1
q
X

Zimk 6 1 i = 1, 2, ..., u ; ∀k

(4.17)

m=1

Secara efektif model dapat menangani masalah-masalah ekspansi pengelolaan
fasilitas limbah dan ketidakpastian inwaste tingkat generasi disajikan sebagai
fungsi densitas probabilitas. Sebuah pertimbangan berdasarkan model ini adalah ketidakpastian parameter lain, seperti biaya transportasi limbah , fasilitas

Universitas Sumatera Utara

19
operasi, pendapatan dari pengelolaan limbah , dan kapasitas pembuangan limbah.
Namun dalam masalah-masalah praktis, informasi yang dapat diperoleh untuk
ketidakpastian tersebut umumnya tidak cocok untuk presentasi sebagai distribusi
probabilistik (Yeomans dan Huang 2003). Selain itu, jika distribusi yang tersedia, representasi dalam model TSP skala besar bisa sangat menantang (Birge dan
Louveaux 1988). Akibatnya, parameter interval dapat diperkenalkan ke dalam
kerangka TSP untuk memfasilitasi penggabungan ketidakpastian dalam proses
optimasi. Ini mengarah ke model ITMILP berikut:
Minimum :
p
u P
v P


P
±
±
Lk Xijk
T R±
f± =
ijk + OPik
i=1 j=1 k=1

p
u P
v P
P

+

+
+

±
±
Lk Xijk
F Ei±i F Tik± + OP1k

i=2 j=1 k=1
p P
u P
v P
s
P

i=2 j=1 k=1 h=1
p P
u P
v P
s
P

±
±
Lk Pjh Mijkh
DR±
ijk + DPik

−




±
±
Lk Pjh Mijkh
F Ei± DTik± + DP1k

i=2 j=1 k=1 h=1
q P
p
P
±
±
F LCmk
Ymk
+
m=1 k=1
p
v X
u X
X




+

p
q P
u P
P

i=2 m=1 k=1

±
±
Lk Xijk
REik

−




±
±
F T Cimk
Zimk

p
v X
s
u X
X
X

±
±
Lk Pjh Mijkh
RMik

i=2 j=1 k=1 h=1

i=2 j=1 k=1

(4.18)

Batasan kendala
′

k
v X
X

Lk

j=1 k=1

(

±
±
(X1jk
)+
+ M1jkh

±
±
F Ei± (Xijk
+ Mijkh

i=2

k′

6 LC +

u
X

q
X
X

)

(4.19)

±
′
Lk ∆LC ±
mk Y mk , ∀h, k = 1, 2, ..., k

m=1 k=1
v
X
j=1

′

±
Xijk

±
+ Mijkh




6

T C±
i

+

q
k
X
X

±
′
∆T C ±
imk Z imk , ∀h, i = 1, 2, ..., u; k = 1, 2, ..., k

m=1 k=1
u
X

i=1

(4.20)

±
±
±
Xijk + Mijkh > wjkh , ∀j, k, h



(4.21)

Universitas Sumatera Utara

20
±
±
±
Xijkmax > Xijk > Mijkh > 0, ∀i, j, k, h
(
≤1
±
≥0
Ymk
integer, ∀m,k
(
≤1
±
≥0
Zmk
integer, i = 1, 2, . . . , u, ∀m,k
p
q
X
X

±
Ymk
≤1

(4.22)
(4.23)

(4.24)

(4.25)

m=1 k=1
q

X

±
≤1
Zmk

i = 2, 3, . . . , u,

∀k

(4.26)

m=1

Yang mana tanda ± menunjukkan sebuah tolok ukur interval, superscript − menunjukkan sebuah batas bawah kuantitas, dan superscript + menunjukkan batas
atas kuantitas.
Model ITMILP dapat ditransformasikan menjadi dua submodels deterministik
yang sesuai ke atas dan bawah batas-batas tujuan yang diinginkan. Menurut
Huang et al. (1992), yang submodel sesuai dengan batas bawah dari nilai fungsi
objektif (f − ). Dapat dituliskan :
Minimum:
p
u P
v P


P
−
−
T R−
f− =
Lk Xijk
ijk + OPik
i=1 j=1 k=1

+

p
u P
v P
P

i=2 j=1 k=1

+

−
−
Lk Xijk
F Ei−i F Tik− + OP1k

p P
u P
v P
s
P

i=2 j=1 k=1 h=1

+

p P
u P
v P
s
P

i=2 j=1 k=1 h=1

+

q P
p
P

m=1 k=1

−

p
v X
X
j=1 k=1




−
−
DR−
Lk pjh Mijkh
ijk + DPik




−
−
Lk pjh Mijkh
F Ei− DTik− + DP1k

−
−
F LCmk
Ymk
+

−
+
Lk Xijk
REik

−

p
q P
u P
P

i=2 m=1 k=1




−
−
F T Cimk
Zimk

p
v X
s
u X
X
X

−
+
Lk pjh Mijkh
RMik

(4.27)

i=2 j=1 k=1 h=1

Universitas Sumatera Utara

21
Batasan kendala
:


v P
u
k
P
P
−
−
−
−
−
F Ei (Xijk + Mijkh )
Lk (X1jk + M1jkh ) +
j=1 k=1

i=2

≤ LC +

q P
k
P

m=1 k=1
v
X

−
Xijk

+

+
−
△LCmk
Ymk
, ∀h, k = 1, 2, . . . , k

−
Mijkh

j=1




≤

q
k
X
X
+
−
+
△T Cimk
Zimk
, ∀h, i
T Ci +
m=1 k=1
u
X


= 2, 3, . . . , u, k = 1, 2, . . . , k
(4.28)

−
−
−
≥ wjkh
Xijk
, ∀j, k, h
+ Mijkh



i=1

(4.29)

−
−
−
≥ Xijk
≥ Mijkh
≥0
∀i, j, k, h
Xijk
max
(
≤1
−
≥0
Ymk
integer, ∀m,k
(
≤1
−
≥0
Zmk
integer, i = 1, 2, 3, . . . , u, ∀m,k
p
q
X
X

−
Ymk
≤1

(4.30)
(4.31)

(4.32)
(4.33)

m=1 k=1
q

X

−
Zimk
≤1

i = 2, 3, . . . , u,

∀k

(4.34)

m=1
−
−
−
−
−
, Ymk
dan Zimk
adalah variabel keputusan. Misalkan Mijkhopt
, Ymkopi
Dimana Mijkh
−
dan Zimkopi
menjadi penyelesaian submodel . Menurut Huang et al. (1992),

submodel yang sesuai dengan dengan batas atas nilai fungsi objektif (f + ) Dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Minimum :
p
u P
v P


P
+
+
Lk Xijk
T R+
+
OP
f+ =
ijk
ik
i=1 j=1 k=1

+

p
u P
v P
P

i=2 j=1 k=1

+

+
+
Lk Xijk
F Ei+i F Tik+ + OP1k

p P
u P
v P
s
P

i=1 j=1 k=1 h=1

+

p P
u P
v P
s
P

i=2 j=1 k=1 h=1




+
+
Lk pjh Mijkh
DR+
ijk + DPik




+
+
Lk pjh Mijkh
F Ei+ DTik+ + DP1k



Universitas Sumatera Utara

22
+

q
p
P
P

m=1 jk=1

−

+
+
F LCmk
Ymk
+

p
v X
u X
X

q P
p
u P
P

i=2 m=1 k=1

+
−
Lk Xijk
REik

−

+
+
F T Cimk
Zimk

p
v X
s
u X
X
X

+
−
Lk pjh Mijkh
RMik

(4.35)

i=2 j=1 k=1 h=1

i=2 j=1 k=1

Batasan
kendala
:


u
v P
k′
P
P
+
+
+
+
+
Lk (X1jk + M1jkh ) +
F Ei (Xijk + Mijkh
i=2

j=1 k=1

′

−

6 LC +

q
k
X
X

+
′
Lk ∆LC −
mk Y mk , ∀h, k = 1, 2, ..., k

(4.36)

m=1 k=1
v
X

+
Xijk

j=1

+
+ Mijkh




6

T C−
i

+

′

q
k
X
X

′
+
∆T C −
imk Z imk , ∀h, i = 1, 2, ..., u; k = 1, 2, ..., k

m=1 k=1
u
X


(4.37)

+
+
+
Xijk + Mijkh > wjkh , ∀j, k, h



i=1

(4.38)

+
+
+
Xijk
≥ Xijk
≥ Mijkh
≥0
∀i, j, k, h
max
(
≤1
+
≥0
Ymk
integer, ∀m,k
(
≤1
+
≥0
Zmk
integer, i = 1, 2, 3, . . . , u,
∀m,k
p
q
X
X

+
Ymk
≤1

(4.39)
(4.40)
(4.41)
(4.42)

m=1 k=1
q

X

+
Zimk
≤1

i = 2, 3, . . . , u,

∀k

(4.43)

m=1
+
−
Mijkh
≥ Mijkhopi
+
−
Ymk
≥ Ymkopi
+
−
Zimk
≥ Zimkopi

∀i, j, k, h

(4.44)

∀m, k

(4.45)

i = 1, 2, . . . , u,

∀m, k

(4.46)

+
+
+
+
+
Dimana Mijkh
, Ymk
dan Zimk
adalah variabel keputusan. Misalkan Mijkhopi
, Ymkopi
+
dan Zimkopi
menjadi penyelesaian dari submodel. Penyelesaian dari model IT-

MILP dapat diperoleh dengan mengintegrasikan penyelesaian dari submodel submodel:

Universitas Sumatera Utara

23
 − +
±
= fopt
, fopt
fopt


±
+
−
Mijkhopt = Mijkhopt , Mijkhopt ∀i, j, k, h

 −
±
+
Ymkopt = Ymkopt , Ymkopt ∀m, k

 −
±
+
Zimkopt = Zimkopt , Zimkopt i = 1, 2, ..., u ∀m, k
Alokasi optimum dari arus limbah

±
±
±
Aijkhopt = Xijk + Mijkhopt ∀i, j, k, h

Penyelesaian di atas disajikan sebagai interval untuk fungsi objektif dan variabel keputusan. Setiap nilai interval menyiratkan beberapa tingkat resiko dalam
sistem, melanggar kendala dan dapat ditafsirkan untuk menghasilkan berbagai
alternatif keputusan. . Proses rinci penyelesaian untuk model ITMILP dengan
tujuan yang diminimalkan dapat diringkas sebagai berikut (Huang et al 1992,.
Chang dan Wang 1995, Chang et al. 1997, Maqsood dan Huang 2003).
Langkah 1 Merumuskan model ITMILP.
Langkah 2 Transformasi model ITMILP primal menjadi dua submodels, dimana
batas bawah f − diperlukan pertama karena tujuannya adalah untuk meminimalkan f ± .
Langkah 3 Merumuskan fungsi tujuan dan kendala yang relevan dari f −
−
−
Langkah 4 Mengatasi f − Submodel, dan mendapatkan solusi untuk Mijkhopt
, Ymkopi
,
−
−
Zimkopi
dan fopt
.
−
−
Langkah 5 Hitung total limbah arus A−
ijkhopt = Xijk + Mijkhopt

Langkah 6 Merumuskan fungsi tujuan dan kendala yang relevan dari f +
+
+
+
+
Langkah 7 Selesaikan Mijkhopt
, Ymkopt
, Zimkopt
dan fopt
.
+
+
Langkah 8 Hitung total limbah arus A+
ijkhopt = Xijk + Mijkhopt

Langkah 9 Mengintegrasikan solusi dari model ITMILP sebagai berikut:
 − +
±
fopt
= fopt
, fopt

 −
±
+
Mijkhopt = Mijkhopt , Mijkhopt ∀i, j, k, h

 −
±
+
Ymkopt = Ymkopt , Ymkopt ∀m, k

 −
±
+
Zimkopt = Zimkopt , Zimkopt i = 1, 2, ..., u ∀m, k

±
±
Langkah 10 Alokasi aliran limbah yang optimal A±
ijkhopt = Xijk + Mijkhopt

Langkah 11 Berhenti

Universitas Sumatera Utara

24
Dimana perameter model adalah :
f
i

=
=

j
k
Lk
m

=
=
=
=

DPik

=

DRijk

=

DTik

=

E0
F Ei

=
=

F LCk
F Tik

=
=

F T Cimk

=

H

=

LC
△LCmk

=
=

Mijkh

=

(w)

=

Mijk

sistem biaya bersih yang diharapkan ($)
jenis fasilitas pengelolaan sampah, dimana i = 1 untuk
TPA dan i = 2, ..., u untuk fasilitas pengolahan limbah,
seperti daur ulang dan pengomposan insinerasi
nama kabupaten j = 1, 2, ...v
perencanaan dari jangka waktu k = 1, 2, ...p
panjang jangka waktu k(hari)
nama pilihan ekspansi untuk fasilitas pengelolaan limbah m = 1, 2,.
biaya operasional dari fasilitas i untuk aliran kelebihan
limbah selama periode k($/t) (tahap kedua parameter
biaya), dimana DPik ≥ OPik dan i = 1, 2, ..., u
Biaya transportasi untuk aliran kelebihan limbah dari
kabupaten j ke fasilitas i selama periode k($/t) (tahap
kedua parameter biaya), dimana DRijk ≥ T Rijk dan
i = 1, 2, ..., u
Biaya transportasi limbah residu kelebihan dari i fasilitas pembuangan sampah ke TPA selama periode k($/t)
(tahap kedua parameter biaya), dimana DTik ≥ F Tik
dan i = 1, 2, ..., u
Diharapkan nilai dari variabel acak
Residu laju aliran dari Fasilitas untuk TPA (persentase
massa yang masuk ke fasilitas i) i = 2, 3, ...u
Biaya modal ekspansi untuk TPA dalam periode k($/t)
Biaya transportasi untuk aliran residu diperbolehkan
dari fasilitas i untuk TPA selama periode k($/t), i =
2, 3, ...u
Biaya modal memperluas fasilitas pembuangan limbah
i oleh pilihan m dalam periode k($/t), i = 2, 3, ...u
Tingkat suku generasi limbah di kabupaten j, h =
1, 2, ..., s
Kapasitas TPA yang ada (t)
Tingkat ekspansi kapasitas untuk TPA dengan pilihan
m dalam periode k(t)
Jumlah yang memungkinkan aliran limbah tingkat Xijk
adalah melebihi ketika tingkat generasi limbah wjkh dengan probabilitas pjh
Jumlah yang memungkinkan aliran limbah tingkat Xijk
adalah melebihi ketika generasi limbah tingkat di kabupaten j selama periode k adalah W Gjk (t/d) (tahap kedua variabel keputusan)

Universitas Sumatera Utara

25
OPik

=

Pjh

=

REik

=

RMik

=

T Ci
△T Cimk

=
=

T Rijk

=

wjkh

=

W Gjk

=

Xijk

=

Xijkmax

=

Ymk

=

Zimk

=

Biaya operasional dari fasilitas i untuk aliran limbah
diizinkan selama periode k($/t)
Probabilitas bahwa W Gjk mengambil wjkh nilai di kabupaten j dengan tingkat limbah generasi h.
Pendapatan dari fasilitas i selama periode k($/t), i =
2, 3, ...u
Pendapatan dari fasilitas i karena limbah kelebihan aliran selama periode k($/t) (tahap kedua parameter biaya), i = 2, 3, ...u
Kapasitas yang ada fasilitas i(t/d), i = 2, 3, ...u
Tingkat pilihan ekspansi kapasitas fasilitas i pada awal
periode k(t/d), iu = 2, 3, ...
Biaya transportasi untuk aliran limbah diizinkan dari
kabupaten j ke fasilitas i selama periode k($/t) (tahap
pertama parameter biaya)
Jumlah sampah yang dihasilkan di kabupaten j dengan
probabilitas tingkat h di periode k
Variabel acak tingkat generasi limbah di kabupaten j
selama periode k(t/d)
Diperbolehkan limbah mengalir dari kabupaten j ke
fasilitas selama periode k(t/d) (tahap pertama variabel)
Maksimum Diperbolehkan limbah mengalir dari kabupaten j ke fasilitas i selama periode k(t/d)
Variabel keputusan biner untuk perluasan TPA dengan
pilihan m pada awal periode k.
Variabel keputusan biner untuk fasilitas i pengolahan
dengan pilihan ekspansi m pada awal periode k dan i =
2, 3, ...u

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN

Model interval-parameter stokastik integer programming campuran dua tahap (ITMILP) telah dikembangkan untuk pengelolaan limbah dengan adanya
ketidakpastian. ITMILP merupakan gabungan dari dua tahap yaitu pemrograman stokastik (ITSP) dan mixed integer linear programming (MILP). Metode ini
langsung dapat mencerminkan ketidakpastian, tetapi dapat juga digunakan untuk
menguji berbagai skenario kebijakan. Selain itu, metode ini dapat memfasilitasi
penyediaan lahan dan keputusan perencanaan fasilitas.
Metode ITMILP dikembangkan untuk perencanaan, fasilitasi aliran limbah dan
alokasi dalam sistem pengelolaan limbah.

26
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Anderson, L.E.(1968), A mathematical model for the optimization of a waste management system. SERL Report No.68-1, Sanitary Engineering Research Laboratory, University of California, Berkeley, CA.
Baetz, B.W.(1990), Capacity planning for waste management systems. Civil Eng.
Syst., 7, 229-235.
Birge, J.R.(1988) and Louveaux, F.V., A multicut algorithm for two-stage stochastic linear programs. Eur. J. Oper. Res.,34, 384-392.
Chanas, S. and Zielinski, P.(2000), On the equivalence of two optimization methods
for fuzzy linear programming problems. Eur. J. Oper. Res., 121, 56-63.
Chang, N-B. and Lu, H.Y.(1997), A new approach for long-term planning of solid waste management system using fuzzy global criterion. J. Environ. Sci.
Health A, 32, 1025-1047.
Chang, N-B. andWang, S.F.(1994),A location model for the site selection of solid
waste management facilities with traffic congestion constraints. Civil Eng.
Syst., 11, 287-306.
Chang, N-B. andWang, S.F.(1995), Solidwaste management system analysis by
multi-objective mixed integer programming model. J. Environ. Manage., 48,
17-43.
Chang, N-B. and Wang, S.F.(1997), A fuzzy goal programming approach for the
optimal planning of metropolitan solid waste management systems. J. Oper.
Res., 32, 303-321.
Chang, N.B., Chen, Y.L. and Wang, S.F.(1997), A fuzzy interval multiobjective
mixed integer programming approach for the optimal planning of solid waste
management systems. Fuzzy Sets Syst., 89, 35-59.
Dantzig, G. B. (1956). Recent Advances in Linear Programming, Management Sci.
2, 131-144
Efimov, V. M. (1970). Optimal Estimations under Uncertainty, Eco