UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 ISBN: 978-979-097-142-4
40 http:www.bi.go.id
. Dari data yang diperoleh, dicocokkan dengan model yang sesuai. Dugaan awal, model yang tepat adalah AR1. Untuk membuktikan kebenaran dugaan
awal, diselidiki dengan menggunakan informasi AIC Akaike’s Information Criterion dan korelogram PACF dari data runtun waktu tersebut. Selanjutnya diselidiki estimator
ˆ
untuk parameter
dan estimator versi bootstrap
ˆ
. Semua perhitungan dan Gambar ilustrasi dalam makalah ini dikerjakan dengan menggunakan perangkat lunak
S-Plus.
2. Prinsip Metode Bootstrap
Seperti yang telah dijelaskan pada Subbab 1, ada beberapa alasan mengapa metode bootstrap diperlukan, misalnya karena ukuran sampel n kecil dan asumsi
normalitas tidak
dipenuhi. Misalkan
kita telah
memiliki data
sampel
X =
n
X X
X ,
, ,
2 1
yang diperoleh dengan cara sampling acak dari distribusi tak
diketahui F. Sampel bootstrap X =
2 1
, ,
,
n
X X
X
diperoleh dengan cara sampling
acak berukuran n dengan pengembalian, dari data asal X. Misalkan
Fˆ
adalah distribusi empirik untuk distribusi F, yang didefinisikan sebagai
, 1
ˆ
1
n i
i n
x x
I n
x F
1
dengan I{A} adalah fungsi indikator dari himpunan A. Selanjutnya kita ingin mengestimasi parameter statistik
yang merupakan fungsional t, tepatnya
F X
X X
t
n
; ,
, ,
2 1
. Dengan menggunakan prinsip plug-in,
digunakan estimator bootstrap
F X
X X
t
n
ˆ ;
, ,
, ˆ
2 1
, dengan
Fˆ
seperti pada 1. Bagaimana keakurasian estimator bootstrap
ˆ
? Untuk mengukur keakurasian tersebut, diperlukan estimator variansi bootstrap,
n i
i n
i i
n n
BOOT
x F
d y
F d
y t
x t
v
1 2
1
ˆ ˆ
UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 ISBN: 978-979-097-142-4
41
n n
n
X X
X X
X X
t ,
, ,
, ,
, var
2 1
2 1
.
Notasi
n
X X
X ,
, ,
var
2 1
menyatakan variansi bersyarat
n
X X
X ,
, ,
2 1
. Akar
kuadrat dari
BOOT
v merupakan estimasi standar error versi bootstrap. Estimasi bootstrap
dari
ˆ
F
se , standar error dari statistik
ˆ
, adalah estimasi plug-in yang menggunakan distribusi empirik
Fˆ
untuk mengganti distribusi tak diketahui F. Dengan kata lain, estimasi bootstrap
ˆ
F
se didefinisikan sebagai
ˆ
ˆ
F
se
, disebut estimasi bootstrap nonparametrik karena berasal dari distribusi empirik
Fˆ
. Standar error ini mengukur keakurasian dari estimator
ˆ
. Efron dan Tibshirani 1993 menyarankan untuk mengestimasi
ˆ
F
se digunakan ukuran sampel bootstrap B antara 50 sampai 200, untuk
menghasilkan estimasi yang cukup baik. Sementara untuk mengestimasi interval konfidensi mereka menyarankan B lebih besar dari 200. Interval konfidensi bootstrap
ini dibahas secara khusus pada Subbab 4. Hardle et.al. 2003 juga menyimpulkan bahwa estimator bootstrap memiliki tingkat keakurasian yang baik ketika metode
bootstrap diterapkan pada data runtun waktu time series. Limit dari untuk
B adalah estimasi bootstrap ideal dari
ˆ
F
se , yakni
B
lim =
F
se
ˆ
=
ˆ
ˆ
F
se
. Berikut adalah algoritma bootstrap untuk mencari estimasi standar error:
1. Kit a pilih B sam pel boot st rap independen
B
X X
X
2 1
, ,
,
, m asing-m asing
berukuran n yang diam bil secara acak t anpa pengem balian dari dat a asal X.
2. Dievaluasi replikasi boot st rap berkait an dengan m asing-m asing sam pel,
. ,
, 2
, 1
, ˆ
B b
X t
b
b
3. St andar error
ˆ
F
se
diest im asi dengan st andar deviasi B sampel replikasi
UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 ISBN: 978-979-097-142-4
42
=
2 1
1 2
1 ˆ
ˆ
B b
B b
, 2
dimana
B b
B b
1
ˆ ˆ
.
3
. Estimasi Parameter Bootstrap pada Proses AR1
Misal }
, ,
2 ,
1 ,
{ n
t X
t
adalah barisan data runtun waktu yang memenuhi proses autoregresif orde satu atau disingkat AR 1, yakni apabila
} ,
, 2
, 1
, {
n t
X
t
memenuhi persamaan
t t
t
X X
1
dengan }
{
t
adalah barisan variabel acak white noise ~ iid
2
,
N . Estimasi dari parameter
2
adalah
2 2
1 2
ˆ 1
ˆ s
, dengan
2
s adalah variansi sampel
n
X X
X ,
, ,
2 1
. Asumsikan
} ,
, 2
, 1
, {
n t
X
t
adalah Gaussian stasioner. Syarat kestasioneran untuk proses AR1 adalah
1
. Pembahasan lengkap tentang runtun waktu dapat berkonsultasi pada buku Wei1990 dan Brockwell dan
Davis 1991. Misal diberikan data realisasi
n
X X
X ,
, ,
2 1
yang memenuhi proses AR1.
Untuk mencocokkan model AR1 dari data yang dimiliki, digunakan kriteria informasi AIC, yang dirumuskan sebagai
AICk =
. 2
ˆ ln
2 ,
k n
k
Order autoregresif p yang sesuai merupakan nilai k - 1 yang menyebabkan AIC minimum. Dengan kata lain hubungan antara lag k dan order proses autoregresif p
adalah p = k - 1 [Venables dan Ripley 1996]. Selain itu, untuk menguatkan pencocokan model dilihat dari korelogram fungsi autokovariansi parsial partial
autocorrelation function = PACF. Untuk proses AR1, PACF cut-off pada lag kedua dan seterusnya.
UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 ISBN: 978-979-097-142-4
43 Pada proses AR1, estimasi Yule-Walker untuk
adalah
1
ˆ ˆ
dengan
1
ˆ
adalah estimasi autokorelasi lag pertama yang dirumuskan sebagai
n t
t n
t t
t
X X
X
1 2
2 1
1
ˆ
. 3
Menurut Wei 1990 dan Brockwell dan Davis 1991, estimasi standar error dari parameter
adalah
=
n
2
ˆ 1
. Sementara itu, estimator versi bootstrap
ˆ
dari parameter
dikerjakan sebagai berikut [lihat Efron dan Tibshirani 1986, Bose 1988, dan Shao dan Tu 1995]:
1. Dari dat a
n
X X
X ,
, ,
2 1
yang diberikan, dilakukan pem usat an, yakni gant i
i
X
dengan
X X
i
. 2.
Kit a cocokkan dat a dengan m odel AR1 dengan m enggunakan AIC dan ident ifikasi korelogram PACF. Set elah pencocokkan m odelnya sesuai, diperoleh est im at or Yule-
Walker
ˆ
dengan m enggunakan 3.1 3.
M endefinisikan residu
1
ˆ ˆ
t t
t
X X
unt uk
n t
, ,
3 ,
2
. Sam pel boot st rap
2 1
, ,
,
n
X X
X
diperoleh dengan cara sam pling acak t anpa pengem balian dari residu
3 2
, ,
,
n
. Tet apkan
1 1
X X
sebagai sam pel
inisial boot st rap
dan
1
ˆ
t t
t
X X
,
n t
, ,
3 ,
2
. 4.
Dari sam pel boot st rap
2 1
, ,
,
n
X X
X
dilakukan pem usat an kem bali, yakni
i
X
digant i dengan
X X
i
dim ana
n t
t
X n
X
1
1
. Dari sini diperoleh est im at or
boot st rap
1
ˆ ˆ
n t
t n
t t
t
X X
X
1 2
2 1
dengan m enggunakan prinsip plug-in pada 3 dengan sam pel
2 1
, ,
,
n
X X
X
. Selanjut nya dihit ung est im asi st andar error boot st rap
∗
dengan m enggunakan 2 unt uk m enyat akan keakurasian est im at or.
UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 ISBN: 978-979-097-142-4
44 Freedman 1985 dan Bose 1988 menyelidiki kekonsistenan distribusi dari
ˆ
ˆ ˆ
n
. Seperti yang telah kita ketahui,
ˆ
n 1
, N
d
. Dengan
menggunakan ekspansi Edgeworth, Bose 1988 menunjukkan bahwa metrik Kolmogorov
., .
sup
2 1
s a
n o
x H
x H
n BOOT
x
dimana
x
n P
x H
BOOT
ˆ
ˆ ˆ
dan
x
n P
x H
n
ˆ . Dengan kata
lain,
. .
ˆ
s a
dengan laju konvergensi orde pertama
2 1
n o
. Notasi
P
menyatakan probabilitas dibawah distribusi empirik bootstrap.
4. Simulasi Monte Carlo
