Asuransi Optimal dan Kebijakan Reasuransi dalam Proses Risiko

ASURANSI OPTIMAL DAN KEBIJAKAN REASURANSI DALAM
PROSES RISIKO

EKA AHMAD PERMANA PUTRA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

ii

ABSTRAK
EKA AHMAD PERMANA PUTRA. Asuransi Optimal dan Kebijakan Reasuransi dalam Proses
Risiko. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Perusahaan asuransi memiliki risiko bangkrut karena sebaran besar klaim pada umumnya memiliki
ekor yang tebal. Hal ini berarti peluang terjadinya klaim yang sangat besar relatif tinggi. Untuk
mengatasi hal ini, perusahaan asuransi mengalihkan sebagian atau seluruh risikonya ke perusahaan
lain (reasuransi) yang dapat meminimumkan nilai harapan dari kerugian maksimal. Perusahaan
asuransi dapat mengoptimumkan polis asuransi, reasuransi, atau kombinasi keduanya. Pada saat

perusahaan asuransi mengoptimumkan polis asuransi untuk meminimumkan nilai harapan dari
kerugian maksimal, perusahaan asuransi membatasi besarnya klaim yang dibayarkan kepada
tertanggung. Pada pengoptimuman reasuransi, perusahaan asuransi tidak membatasi besarnya
klaim yang diajukan oleh tertanggung tetapi perusahaan asuransi hanya membayar sebagian dari
klaim yang diajukan oleh tertanggung dan sisanya dibayarkan oleh reasuransi. Pada saat
perusahaan asuransi mengkombinasikan keduanya, perusahaan asuransi membatasi besarnya klaim
yang diajukan oleh tertanggung dan perusahaan asuransi membayar sebagian dari klaim tersebut
serta sisanya dibayarkan oleh reasuransi. Hasil dari pengoptimuman polis asuransi, reasuransi, atau
kombinasi keduanya yaitu sebuah kebijakan stop loss yang meminimumkan nilai harapan dari
kerugian maksimal.
Kata kunci: risiko, asuransi, polis asuransi, reasuransi.

iii

ABSTRACT
EKA AHMAD PERMANA PUTRA. Optimal Insurance and Reinsurance Policies in the Risk
Processes. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Insurer has a risk to bankrupt because the distribution of its claim size has a thick tail. This means
that the probability of a big claim is relatively high. For this situation, insurer divides a part or all
risk of to other insurer (reinsurance) to minimize the expected maximal losses. Insurer can

optimize insurance policies, reinsurance, or both. When insurer optimizes insurance policies for
minimizing the expected maximal losses, insurer limits its claim size to be paid by insured. When
insurer optimizes reinsurance, insurer do not limit the claim size submitted by insured but insurer
just paid a part from the claim submitted by insured and the rest being paid reinsurance. When
insurer uses the combination polices, insurer limits the claim size submitted by insured and insurer
paid a part from the claim it and the rest being paid by reinsurance. The result of optimizes
insurance policies, reinsurance, or both is a stop loss policy to minimize the expected maximal
losses.
Keywords: risk, insurance, insurance policies, reinsurance.

iv

ASURANSI OPTIMAL DAN KEBIJAKAN REASURANSI DALAM
PROSES RISIKO

EKA AHMAD PERMANA PUTRA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains

Pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

v

Judul Skripsi
Nama
NIM

: Asuransi Optimal dan Kebijakan Reasuransi dalam Proses
Risiko
: Eka Ahmad Permana Putra
: G54070016

Disetujui

Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus :

Judul Skripsi
Nama
NIM

: Asuransi Optimal dan Kebijakan Reasuransi dalam Proses

Risiko
: Eka Ahmad Permana Putra
: G54070016

Disetujui

Dr Ir I Gusti Putu Pumaba, DEA
Pembimbing I

Diketahui oleh

Tanggal Lulus:

'3 1 DEC 2013

Ir Retn I Budiarti, MS
Pembimbing II

vi

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang
dilaksanakan sejak bulan Maret 2011 ini ialah asuransi dan reasuransi, dengan judul Asuransi
Optimal dan Kebijakan Reasuransi dalam Proses Risiko.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Ibu
Ir. Retno Budiarti, MS. selaku pembimbing, serta Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. yang telah banyak
memberi saran dalam penulisan. Ungkapan terimakasih juga kepada ayah, mamah, Widya, Alan,
Syifa, serta teman-teman, atas segala doa dan kasih sayangnya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2013
Eka Ahmad Permana Putra

vii

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di DKI Jakarta pada tanggal 28 September 1989 dari ayah Iyas Saputra dan
ibu Maryani. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus SMA Negeri 36 Jakarta dan pada tahun yang sama lulus seleksi
masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi tentor Pengantar Matematika dan Kalkulus I di
Kelompok Belajar dan Privat Mahasiswa Mathematics Study Club Education pada bulan Febuari
2009 sampai Oktober 2010. Pada bulan Oktober 2010 sampai September 2012, penulis menjadi
tentor Pengantar Matematika, Kalkulus I, dan Matematika Ekonomi di Bimbingan Belajar
Statistics Centre. Pada bulan November 2012 sampai sekarang, penulis bekerja di SMK
Informatika dan Telekomunikasi Bogor sebagai guru matematika. Penulis juga menjadi tentor
matematika di Lembaga Pendidikan PRIMAGAMA Yasmin dan Loji pada bulan Febuari 2012
sampai sekarang.
Penulis juga aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah menjabat sebagai Staf
Divisi Biro Kesekretariatan di Himpunan Profesi Gugus Matematika (Gumatika) Institut Pertanian
Bogor pada tahun 2009-2010. Penulis juga pernah menjadi panitia Pesta Sains Nasional sebagai
seksi acara pada tahun 2009 dan 2010.

viii

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

ix

DAFTAR LAMPIRAN

ix

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan

1
1
1

LANDASAN TEORI
Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Peubah Acak Poisson, Seragam, dan Eksponensial
Nilai Harapan, Ragam, dan Momen
Proses Stokastik
Himpunan Terurut, Supremum, dan Infimum

1
1
2
2
3
3
4

PEMBAHASAN
Optimasi Polis Asuransi
Optimasi Reasuransi
Polis Asuransi dan Reasuransi Diterapkan

5
7
10
12

SIMPULAN

17

DAFTAR PUSTAKA

19

ix

DAFTAR TABEL
1 Nilai

optimal untuk fungsi sebaran eksponensial dengan parameter
9

dan nilai
optimal untuk fungsi sebaran eksponensial
2 Nilai awal
dengan parameter
dan

3 Nilai

dan

optimal untuk fungsi sebaran seragam pada

12

dengan
17

DAFTAR LAMPIRAN
1 Program Wolfram Mathematica 7 pada kasus optimasi polis asuransi

21

2 Program Wolfram Mathematica 7 pada kasus optimasi reasuransi

21

3 Program Wolfram Mathematica 7 pada kasus polis asuransi dan
reasuransi diterapkan

22

x

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pada hakikatnya setiap kegiatan manusia
selalu
menghadapi
berbagai
macam
kemungkinan atau dengan kata lain setiap
manusia selalu menghadapi ketidakpastian
yang dapat menimbulkan kerugian atau
keuntungan. Ketidakpastian yang dapat
menimbulkan kerugian tersebut disebut
dengan risiko. Salah satu upaya manusia
untuk menanggulangi setiap risiko yang akan
dihadapinya adalah dengan mengadakan
perjanjian pelimpahan risiko dengan pihak
lain. Perjanjian seperti itu disebut dengan
perjanjian asuransi.
Penanggung atau perusahaan asuransi
yang kegiatannya menerima pelimpahan risiko
dari pihak lain tentu saja memiliki beban
risiko yang lebih berat dibandingkan dengan
pihak tertanggung. Hal ini disebabkan selain
penanggung harus membayar kerugian apabila
terjadi klaim, penanggung juga harus
meneruskan kegiatan usahanya sendiri.
Untuk meminimumkan risiko, perusahaan
asuransi harus dapat mengoptimalkan polis
asuransi, dapat mengalihkan sebagian atau
seluruh risiko yang diterimanya kepada
perusahaan asuransi lainnya. Selain itu,
perusahaan asuransi juga dapat melakukan
investasi.
Upaya untuk mengalihkan risiko suatu
perusahaan asuransi kepada perusahaan
asuransi lain disebut dengan reasuransi. Jika

perusahaan asuransi berpendapat bahwa nilai
asuransi suatu premi lebih besar daripada nilai
yang dapat ditanggungnya, maka perusahaan
dapat membagi risiko yang dihadapinya
dengan mengasuransikan kembali sebagian
nilai itu pada perusahaan asuransi. Dengan
dilakukannya reasuransi ini, pada dasarnya
perusahaan
asuransi
telah
melakukan
perlindungan terhadap kestabilan tingkat
pendapatannya karena reasuransi telah
melindunginya dari potensi kerugian yang
besar.
Pada karya ilmiah ini akan dipelajari
model risiko klasik dengan asuransi,
reasuransi, atau keduanya yang dipilih oleh
perusahaan asuransi untuk meminimumkan
risiko. Namun, pada karya ilmiah ini investasi
tidak diperbolehkan, serta optimasi dilihat dari
sudut pandang perusahaan asuransi.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini sebagai berikut :
1 menentukan nilai polis asuransi optimal
dengan kebijakan stop loss yang
meminimumkan kerugian,
2 menentukan tingkat retensi optimum yang
meminimumkan kerugian atas kebijakan
reasuransi,
3 mempelajari model risiko klasik dengan
asuransi dan reasuransi dan diterapkan
untuk meminimumkan kerugian.

LANDASAN TEORI
Untuk memahami dan menyelesaikan
permasalahan yang terdapat dalam karya
ilmiah ini, diperlukan beberapa konsep dasar
berikut.

Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan
dinotasikan dengan .
(Grimmett & Stirzaker 1992)

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang
dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan
muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat ditebak
dengan tepat.
(Hogg & Craig 1995)

Definisi 3 (Kejadian)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang
contoh  .
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 4 (Kejadian Saling Bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
P( A  B)  P( A) P( B).
Secara umum, himpunan kejadian
,
dikatakan saling bebas jika

2

P(
iJ

Ai ) =

 P( Ai )

x

FX ( x) 

iJ

untuk setiap himpunan bagian berhingga dari
I.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 5 (Kejadian Saling Lepas)
Kejadian
dan
disebut saling lepas jika
irisan dari keduanya adalah himpunan kosong
.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 6 (Ukuran Peluang)
Suatu ukuran peluang pada ( , F ) adalah
: F   0,1 yang memenuhi

suatu fungsi

syarat-syarat berikut:
1. P     0, P     1
2. Jika A1 , A2 ,  F adalah himpunan yang
saling lepas, yaitu Ai  A j
setiap pasangan


P(
i 1

  untuk

, maka


Ai ) =

Pasangan (Ω,



f (u ) du



 [0, ) yang dapat

untuk suatu fungsi f :

diintegralkan. Fungsi f  f X disebut fungsi
kepekatan peluang
function) bagi .

(probability

density

(Hogg & Craig 1995)
Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang suatu peubah acak
diskret adalah fungsi p X :   0,1 yang
diberikan oleh p X  x   P  X  x  .
(Hogg & Craig 1995)
Definisi 12 (Fungsi Kepekatan Peluang
Bersyarat)
Misalkan
dan
adalah dua peubah acak
kontinu, maka fungsi kepekatan peluang
bersyarat dari dengan syarat
, ditulis
diberikan oleh

 P ( Ai ) .
i 1

) disebut ruang peluang.
(Grimmett & Stirzaker 1992)

Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 7 (Peubah Acak)
Misalkan  adalah ruang contoh dari
percobaan acak dan F adalah suatu medandari  . Peubah acak X adalah suatu fungsi
Ω
, dengan sifat
Ω
untuk setiap
.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 8 (Fungsi Sebaran)
Misalkan adalah peubah acak dengan ruang
. Misalkan kejadian
,
maka peluang dari kejadian adalah
.
disebut fungsi sebaran dari
Fungsi
peubah acak .
(Hogg & Craig 1995)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya
hanya pada himpunan bagian yang tercacah
dari .
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 10 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi
sebarannya dapat dinyatakan sebagai

untuk sembarang

Peubah Acak
Eksponensial

asalkan
.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Poisson,

Seragam,

dan

Definisi 13 (Peubah Acak Poisson)
Peubah acak
dikatakan menyebar Poisson
dengan parameter , jika memiliki fungsi
massa peluang
;
dengan

.
(Hogg & Craig 1995)

Definisi 14 (Peubah Acak Seragam)
Peubah acak kontinu
disebut menyebar
seragam pada interval
dengan
,
jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan
oleh
 1 , jika a  x  b

f X ( x)   b  a


 0,

jika x lainnya
(Hogg & Craig 1995)

Definisi 15 (Peubah Acak Eksponensial)
Peubah acak kontinu
disebut menyebar
eksponensial dengan parameter
, jika
fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh

3

fX

 e   x , x  0
x

  
x0
 0,
(Hogg & Craig 1995)

Nilai Harapan, Ragam, dan Momen
Definisi 16 (Nilai Harapan)
(i) Jika adalah peubah acak diskret dengan
, maka nilai
fungsi massa peluang
harapan dari , dinotasikan dengan
,
adalah

E ( X )   x PX ( x)
x

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka nilai harapan X
tidak ada.
(ii) Jika adalah peubah acak kontinu dengan
, maka
fungsi kepekatan peluang
nilai harapan dari , dinotasikan dengan
, adalah


E( X ) 

xf

X

( x)dx



jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka nilai
harapan X tidak ada.
(Hogg & Craig 1995)
Definisi 17 (Ragam)
Ragam dari peubah acak
adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara peubah
acak
dengan nilai harapannya. Dapat
dituliskan
Var( X )  E[ X  E ( X )]
2
2
 E ( X )  [ E ( X )]
jika selisih di atas konvergen. Jika selisih di
atas divergen, maka ragam dari X tidak ada.
(Hogg & Craig 1995)
2

Definisi 18 (Momen)
(i) Misalkan
adalah peubah acak diskret
,
dengan fungsi massa peluang
maka momen ke- dari X , dinotasikan
k

dengan E ( X ) , adalah
k

E( X ) 

 x k PX ( x)
x

jika jumlah di atas konvergen. Jika jumlah
di atas divergen, maka momen dari X
tidak ada.
(ii) Misalkan
adalah peubah acak kontinu
,
dengan fungsi kepekatan peluang
maka momen ke- dari X , dinotasikan
k

dengan E ( X ) , adalah


k

E( X ) 

x

k

f X ( x)dx



jika integral di atas konvergen. Jika
integral di atas divergen, maka momen
dari X tidak ada.
(Grimmett & Stirzaker 1992)
Definisi 19 (Fungsi Pembangkit Momen)
Fungsi
pembangkit
momen
(moment
generating function) dari suatu peubah acak
X didefinisikan sebagai
tX

M X (t )  E (e )
untuk t 
ada.

sehingga nilai harapan di atas
(Grimmett & Stirzaker 1992)

Proses Stokastik
Definisi 20 (Proses Stokastik)
Proses stokastik
adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu
ruang state (state space) .
(Ross 1996)
Definisi 21 (Proses Stokastik dengan Waktu
Diskret dan Kontinu)
(i) Suatu proses stokastik
disebut proses
stokastik dengan waktu diskret jika
himpunan indeks
adalah himpunan
tercacah.
(ii) Suatu proses stokastik
disebut proses
stokastik dengan waktu kontinu jika
adalah suatu interval.
(Ross 1996)
Definisi 22 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik
disebut proses
pencacahan (counting process) jika
menyatakan banyaknya kejadian (events) yang
telah terjadi sampai waktu .
(Ross 1996)
Definisi 23 (Inkremen Bebas)
Suatu proses pencacahan dikatakan memiliki
inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang
terjadi pada sebarang dua interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah
bebas.
(Ross 1996)
Definisi 24 (Proses Poisson)
Suatu
proses
pencacahan
disebut proses Poisson dengan intensitas ,
jika:
1.
,
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas,

4

3. Banyaknya kejadian pada sebarang
interval waktu dengan panjang , memiliki
sebaran Poisson dengan nilai harapan
(mean) . Jadi, untuk semua
dan
, maka

P ( N (t  s )  N ( s )  n )  e

 t

( t )

n

n!
untuk
(Ross 1996)
Definisi 25 (Proses Compound Poisson)
Suatu proses
disebut proses
compound Poisson jika proses tersebut dapat
dinyatakan sebagai
Y t  

N t 

 Xi

,t  0

i 0

dengan
adalah suatu proses
Poisson dengan laju
dan
adalah
suatu barisan peubah acak independent and
identically distribution (i.i.d) dengan suatu
fungsi sebaran F , yang juga bebas
terhadap
.
(Ross 1996)
Definisi 26 (Rantai Markov)
(i) Proses
stokastik
dengan ruang state
, disebut
rantai Markov dengan waktu diskret jika
untuk setiap
berlaku
P  X n 1  j | X n  i , X n 1  in 1 ,  ,

X 1  i1 , X 0  i0   P  X n 1  j | X n  i 
untuk semua kemungkinan nilai dari
.
(ii) Suatu proses stokastik dengan waktu
kontinu
dengan ruang state
diskret
disebut suatu rantai
Markov dengan waktu kontinu jika untuk
setiap
dan
,
berlaku
P  X  t  s   j | X  s   i, X  u   x  u  ;

0  u  s   P  X t  s   j | X  s   i  .
(Ross 1996)
Definisi 27 (Rantai Markov Homogen)
(i) Rantai Markov dengan waktu diskret
disebut homogen jika

P  X n1  j | X n  i   P  X1  j | X 0  i   Pi , j .
untuk semua dan semua
.
(ii) Rantai Markov dengan waktu kontinu
disebut homogen jika
peluang transisi
adalah bebas terhadap nilai
,
sehingga dapat ditulis sebagai

P  X  s  t   j | X  s   i   Pi , j  t 
 Pij  t  .
(Ross 1996)
Himpunan
Infimum

Terurut,

Supremum,

dan

Definisi 28 (Himpunan Terurut)
Himpunan bilangan
dengan relasi
yang
memenuhi sifat :
1. Untuk setiap
, berlaku tepat satu
relasi berikut :
atau
atau
.
2. Jika
,
, dan
maka
.
(Bartle & Sherbert 1982)
Definisi 29 (Batas Bawah, Batas Atas, dan
Terbatas)
Misalkan
adalah himpunan terurut dan
.
1. Jika terdapat
, sehingga
, untuk
setiap
, maka dikatakan terbatas di
bawah dan disebut batas bawah dari .
2. Jika terdapat
, sehingga
, untuk
setiap
, maka dikatakan terbatas di
atas dan disebut batas atas dari .
3.
dikatakan terbatas, jika terbatas di atas
dan terbatas di bawah.
(Golberg 1976)
Definisi 30 (Supremum)
Misalkan
adalah himpunan terurut,
dan
terbatas di atas. Jika terdapat
yang memenuhi:
1. adalah batas atas dari .
2. Jika
adalah batas atas dari , maka
,
maka
disebut batas atas terkecil atau
supremum dari , dan ditulis
  sup E .
(Golberg 1976)
Definisi 31 (Infimum)
Misalkan
adalah himpunan terurut,
dan terbatas di bawah. Jika terdapat
yang memenuhi:
1. adalah batas bawah dari .
2. Jika
adalah batas bawah dari , maka
,
maka
disebut batas bawah terbesar atau
infimum dari , dan ditulis
  inf E .
(Golberg 1976)

5

PEMBAHASAN
Fungsi utama dari asuransi adalah sebagai
mekanisme untuk mengalihkan risiko, yaitu
mengalihkan risiko dari satu pihak
(tertanggung) ke pihak lain (penanggung/
perusahaan asuransi). Pengalihan risiko tidak
berarti menghilangkan kemungkinan kerugian,
melainkan perusahaan asuransi menyediakan
pengamanan finansial serta ketenangan bagi
tertanggung. Sebagai imbalannya, tertanggung
membayar premi dengan jumlah tertentu
sesuai dengan perjanjian.
Perusahaan asuransi akan membayar klaim
kepada tertanggung, apabila tertanggung
mengalami kerugian dan melakukan klaim.
Sebuah
perusahaan asuransi
biasanya
menangani banyak sekali klaim yang besarnya
berbeda-beda dalam rentang waktu tertentu.
Oleh karena itu, perusahaan asuransi harus
dapat meminimumkan risiko agar dapat
membayar klaim dan meneruskan usahanya.
Dalam model proses risiko klasik untuk
menghitung suatu surplus perusahaan asuransi
yaitu jumlah dari besarnya modal awal dengan
total premi yang didapat dikurangi dengan
total besarnya klaim dari seluruh nasabah.
Masalah tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
Nt

X t  x  ct   Yi ,
i 1

dengan
adalah banyaknya klaim sampai
waktu
yang merupakan proses Poisson
dengan laju .
merupakan besarnya klaim
yang diajukan oleh nasabah ke- yang
. Harga premi dihitung
memiliki sebaran
dari rata-rata besarnya klaim dikalikan dengan
banyaknya rata-rata klaim ditambahkan
dengan koefisien loading dikali dengan
besaran tersebut, yang dapat ditulis
dengan koefisien loading
. Dengan demikian, harga premi lebih
besar dari total besarnya klaim nasabah
.
Agar perusahaan asuransi terhindar dari
kebangkrutan maka diperlukan reasuransi,
sehingga premi bersih yang diterima
perusahaan asuransi yaitu premi yang didapat
dari nasbah dikurangi premi yang dibayarkan
ke perusahaan reasuransi. Pada karya ilmiah
ini, akan diminimumkan nilai harapan dari
kerugian maksimal pada selang waktu
,
dengan asumsi perusahaan asuransi dapat
memilih polis asuransi atau reasuransi, namun
investasi tidak diperbolehkan.

Sekarang, dimisalkan besarnya klaim
nasabah
maka besarnya klaim yang
dibayar perusahaan asuransi kepada nasabah
. Apabila besarnya klaim yang
ialah
diajukan oleh nasabah lebih kecil atau sama
dengan besarnya klaim yang dibayarkan pada
perjanjian sebesar , maka perusahaan akan
membayarkan semua klaim yang diajukan
oleh nasabah. Sebaliknya, apabila besarnya
klaim yang diajukan oleh nasabah lebih besar
dari pada besarnya klaim yang dibayarkan
pada perjanjian sebesar , maka perusahaan
asuransi hanya membayar berdasarkan
perjanjian sebesar . Hal tersebut dapat ditulis
dalam fungsi berikut
{

Apabila ada kemungkinan reasuransi,
besarnya dana yang dibayarkan kepada
nasabah berasal dari perusahaan asuransi dan
perusahaan reasuransi. Jika besar dana yang
maka
dibayarkan kepada nasabah
besar dana untuk klaim yang dibayar oleh
, serta besar
perusahaan asuransi adalah
dana untuk klaim yang dibayar oleh
. Dengan
perusahaan reasuransi
demikian, harga premi yang diterima oleh
perusahaan asuransi sampai waktu ialah total
premi yang didapat dari nasabah dikurangi
kewajiban perusahaan asuransi kepada
perusahaan reasuransi. Dengan koefisien
loading untuk asuransi
dan koefisien
loading untuk reasuransi , dengan
maka harga premi yang diterima oleh
perusahaan asuransi sampai waktu
dapat
ditulis sebagai berikut:

ct  1     E  I t Y 
 1  1   E  I t Y   At  z 

   E  At  I t  Y    1 E  At  I t Y  
 1    E  I t  Y 

   E  At  I t Y    1  E  At  I t Y  




1

 

1



E  I t  Y  



   E  At  I t Y    1  E  At  I t Y  
 E  I t  Y  ,

6

⁄ , sehingga harga
dengan
premi yang diterima oleh perusahaan asuransi
sampai waktu ialah

tambahan bahwa rata-rata besarnya klaim
yang dibayar perusahaan asuransi kepada
nasabah lebih besar dari ,

ct    E  At  I t Y  

E  I t (Y )   M ,

1  E  At  I t Y     E  I t Y  ,

(1)

dengan reasuransi loading
, perbedaan
relatif antara reasuransi dan tingkat risiko
⁄ .
asuransi
Jadi, untuk menghitung suatu surplus
perusahaan asuransi yaitu jumlah dari modal
awal dengan harga premi yang diterima
perusahaan asuransi sampai waktu dikurangi
dengan besarnya dana yang riil dikeluarkan
perusahaan asuransi untuk klaim sebesar .
Persamaan surplus perusahaan asuransi
sampai waktu dapat ditulis
t



X t  x  cs ds 
0

 Ati  Iti Yi  ,
Nt

(2)

i 1

.
dan
dengan
Perusahaan asuransi kemungkinan akan
mengalami kerugian. Oleh karena itu,
perusahaan asuransi harus meminimumkan
nilai harapan dari kerugian maksimal. Nilai
harapan dari kerugian maksimal adalah nilai
harapan dari supremum kerugian pada waktu
. Supremum kerugian pada waktu
yaitu supremum dari besarnya dana yang riil
dikeluarkan perusahaan asuransi untuk klaim
sebesar
dikurangi modal awal dan harga
premi yang diterima perusahaan asuransi
sampai waktu . Persamaan tersebut dapat
ditulis,
t
  Nt

E  L   E sup  At I t Yi   x   cs ds  .

0
 t 0  i 1 i i





(3)
Karena nilai kerugian maksimal pada waktu
sebesar negatif dari modal awalnya dan
nilai kerugian maksimal pada waktu
lebih besar dari pada nilai kerugian maksimal
.
pada waktu
, maka
Sehingga peluang nilai kerugian maksimal
sama dengan satu. Nilai minimum
dari nilai harapan kerugian maksimal
dapat dicapai jika besarnya klaim yang
dibayar perusahaan asuransi
.
Berarti, tidak ada kontrak asuransi yang dibuat
oleh perusahaan asuransi. Untuk menghindari
hal tersebut, maka diberlakukan kendala

dengan
konstanta diberikan yang
memenuhi
. Karena tidak
mungkin rata-rata besarnya klaim yang
dibayar perusahaan asuransi kepada nasabah
lebih besar dari rata-rata besarnya klaim
nasabah. Kendala tersebut mendefinisikan
harga premi yang dibayar oleh tertanggung
minimal
.
Masalah kontrol optimum akan kita
pelajari untuk meminimumkan nilai harapan
dari kerugian maksimal
atas kebijakan
asuransi dan reasuransi , dengan
.
Dengan
pengambilan
dan
keputusan kebijakan yang dipilih
dan
hanya bergantung pada saat keadaan
bukan pada proses masa lalu. Karena
meminimumkan nilai harapan kerugian
maksimal
, maka

V ( x)  inf E  L .
I ,A

(4)

Dari persamaan (3), nilai harapan dari
kerugian maksimal sama dengan nilai harapan
kerugian pada saat surplus perusahaan
asuransi waktu awal sama dengan nol
dikurangi dengan modal awal,
,
sehingga
. Oleh karena itu, kebijakan yang
mencapai infimum dari nilai harapan kerugian
maksimal tidak tergantung pada modal awal
. Oleh sebab itu, kebijakan konstan
dan
.
Untuk kasus kebijakan konstan, dapat
digunakan hasil Browers et al (1997):
⁄
, sehingga nilai dari
harapan kerugian maksimal pada karya ilmiah
ini menjadi
E  L 

E  A  I  Y  

2

2  E  I  Y   1 E  I  Y   A  I  Y  
x
E  A  I  Y  

2



21  E  A  I Y     E  I Y 

 x,

(5)
dengan
terdefinisi

maka

⁄

. Agar
ditambahkan kendala

7

[ (
)]
. Selain itu, karena
modal awal
tidak memengaruhi kebijakan
yang optimal maka
diasumsikan modal
awalnya sebesar nol,
. Dengan
demikian, fungsi objektifnya menjadi

selang

, dengan
adalah akar yang unik pada
dari persamaan
k

 F  y  dy  M ,
0

minimumkan J  I , A ,

dengan ̅
fungsi sebaran dari .

dengan
J  I , A 

E  A  I  Y  

2

dan

,
21  E  A  I Y     E  I Y 
(6)

Bukti:
Pertama ditinjau masalah

dengan kendala
,
,
dan [ (
)]
.
Dalam karya ilmiah ini, untuk mencari
solusi tersebut dibagi menjadi tiga bagian.
Pertama,
diminimumkan tanpa reasuransi
yaitu
perusahaan
asuransi
hanya
mengoptimumkan polis asuransi; kedua,
diminimumkan dengan mengoptimumkan
reasuransi saja tanpa mengoptimumkan polis
asuransi; ketiga,
diminimumkan dengan
menerapkan asuransi dan reasuransi.

I :E  I Y   m

Optimasi Polis Asuransi
Dalam subbab ini, reasuransi tidak
diperbolehkan. Dengan kata lain, perusahaan
asuransi harus membayar semua klaim yang
diajukan oleh pihak tertanggung. Oleh karena
itu, besarnya dana untuk klaim yang dibayar
oleh perusahaan asuransi sebesar (
)
, sehingga fungsi objektifnya menjadi

minimumkan J  I  ,

dengan parameter
[
]. Pada fungsi
akan meningkat
objektif, nilai
apabila nilai
meningkat. Oleh karena
itu, fungsi objektifnya dapat direduksi menjadi
dengan kendala
meminimumkan
.
Untuk
yang diberikan maka besarnya
klaim yang dibayar oleh perusahaan asuransi
, dengan
diperoleh dari
. Karena besarnya klaim yang
dibayar oleh perusahaan asuransi minimum
.
, maka
Karena fungsional
konveks di
pada himpunan kebijakan yang mungkin,
dapat meminimumkan
maka, kebijakan
jika dan hanya jika

d

E   I m Y   1    I Y  
*

d

2

 1

 2  I m  y   I m  y   I  y   dFY  y   0 ;I .
*

*

0

E  z

2

21  E  z    E  I Y 

E  I  Y 

Dengan kata lain,
masalah

2



J I ,

T

dengan
J I  

inf

adalah

2 E  I  Y 

merupakan solusi untuk

T

,

(7)

min  I m  y  I  y  dFY  y ,
*

I

0
T

dengan kendala
. Untuk mencari
nilai minimum dari nilai harapan kerugian
maksimal tanpa reasuransi diperlukan
proposisi berikut.
Proposisi 1. Fungsi objektif (7) memiliki
solusi yang unik, yaitu sebuah kebijakan stop
loss
yang didapat dari minimum
besarnya klaim sebesar
dengan besarnya
klaim yang dibayarkan pada perjanjian
sebesar
, yang dituliskan dengan

dengan kendala

 I  y  dFY  y   m .
0

akan optimal jika dan hanya
Kebijakan
jika terdapat konstanta yang memenuhi
*
Im

0 ; I m*  y   k  0
 y  
*
 y ; Im  y   k  0 .

Satu-satunya fungsi yang memenuhi kondisi
,
ini adalah
, dengan

8

dengan nilai
yaitu

diperoleh dari

k

y FY  y   2 yFY  y  dy
0



k



k

2

0
k

2 F  y  dy

 yf  y  dy  m



0
k

0

k

k FY  k   2 yFY  y  dy

 ydFY  y   m



2



0
k

0
k

2 F  y  dy



xFY  y  0   FY  y  dy  m
k

0

0

k

k

 f  y  dy  1 , sehingga

Karena FY  k  

kFY  y    FY  y  dy  m.

0

0

Karena FY  k  

k

f  y  dy  1 , sehingga


0

k

k   FY  y  dy  m

k

k  2 yFY  y  dy



2

J I  I

 y  y k



0
k

2 F  y  dy


0

0
k

k

 1dy   FY  y  dy  m
0
k

k

0



 1  FY  y  dy  m
0
k

0

; F  x   1  FY  x  .

k



 2 y  2 yFY  y  dy
0
k

2 F  y  dy



Kembali ke persamaan (7), persamaan
tersebut dapat ditulis
inf

J I  

inf

inf

m M , EY  I :E  I Y  m

k

 y  y  k

2
 y f  y  dy



0
k

2 yf  y  dy


0

k

 y dFY  y 
2



0
k

2 F  y  dy


0

0
k

J  I .

Karena
dapat dicapai pada
saat
, maka dapat diganti
dengan infimum saat
[
] oleh
infimum
dengan
,
. Dengan memasukkan kebijakan stop
loss ke persamaan (7) untuk
, maka

J I  I

0
k



0

I :E  I Y   M



0

2 F  y  dy
def

 F  y  dy  m



k

2 ydy  2 yFY  y  dy



 2 y 1  FY  y   dy
0
k

2 F  y  dy


0

k

J  I I  y   y  k 

 yF  y  dx
0
k

  F  y  dy
0

.
Sehubungan dengan perbedaan
yang
diberikan, bahwa fungsi ini akan meningkat
apabila
meningkat, maka
optimal dengan
. Jadi Proposisi 1
terbukti.
Contoh 1.
Misalkan besarnya klaim yang dibayarkan
kepada nasabah
menyebar secara
eksponensial dengan parameter
. Fungsi

9

kepekatan peluang dari sebaran eksponensial
dengan parameter
, yaitu
1
 e y /  ; y  0

f  y  




nasabah
yang menyebar eksponensial
dengan parameter
,

Besarnya klaim
nasabah ialah

y

.
yang diajukan

e

 lim   yf  y  dy 
b 



 1 1 e

e

v  e

dy

 y/

k

 F  y  dy  M
0

k

e
e

 b b 
E Y   lim uv 0   vdu 
b 


0
  y/ b b  y/ 
dy 
 lim   ye
 e
o
b 


0
b / 
 y/
 lim  be
 0  e

y 


b / 
b / 
 lim  be
 e
  

5
0.256

 M

k 
k 

 M



M

*

Selanjutnya, akan dicari fungsi sebaran dari
besarnya klaim yang dibayarkan kepada

3
0.261

M

  

M 

k   ln 

 .

1
0.288

k 



b

Tabel 1 Nilai

0

e

0

dy  M

y  k

e

b

Dengan menggunakan software Wolfram
Mathematica 7, maka diperoleh
dengan
mengasumsikan reasuransi loading
dan
seperti pada Tabel 1.

optimal untuk fungsi sebaran eksponensial dengan parameter
1
0.357

yang

0

sehingga,

b 



e
Kemudian akan dicari nilai
didapat dari persamaan

e



 y/

 y/

Untuk menyelesaikan integral tersebut,
digunakan
integral parsial dengan
memisalkan
du  dy,
uy



0
 y/

F  y   1  FY  y 



0

b
 1  y/ 
dy 
 lim   y e
b 
0 

b

dv 

dx

 x/  y

 1 e

0

 y/

 x/ 

0

 yf  y  dy

1

1

e



oleh



E Y  

 f  x  dx
0

;y0

0

y

FY  y  

3
0.316

5
0.309

Pada saat
, jika perusahaan asuransi
menetapkan
maka perusahaan
asuransi hanya dapat membayar klaim yang
diajukan oleh nasabah maksimal sebesar
. Jika
maka perusahaan
asuransi membayar klaim yang diajukan oleh
nasabah maksimal sebesar
.
Jadi, besarnya dana untuk klaim yang
yang
dibayarkan oleh perusahaan
mungkin adalah sama dengan . Seperti yang

1
0.431

3
0.372

5
0.363

1
0.511

⁄

3
0.429

5
0.417

telah dijelaskan di atas, bahwa kriteria optimal
nilai
akan meningkat bila
juga
juga akan meningkat,
meningkat. Nilai
apabila nilai meningkat. Dapat disimpulkan
akan semakin meningkat apabila
bahwa
meningkat. Berlaku juga untuk harga premi
sebesar
. Oleh karena itu,
perusahaan asuransi harus dapat menentukan
nilai
dan . Pilihan tersebut dapat dianggap
sebagai trade-off dari harga premi yang

10

diterima terhadap nilai harapan dari kerugian
dengan
maksimum di
.

d

Optimasi Reasuransi

 2 A

d

E   A Y   1    A Y  
*

T

*

2

 1

 y   A*  y   A  y  dFY  y   0 ;A

0

Untuk subbab ini, diasumsikan bahwa
perusahaan asuransi hanya memilih reasuransi
saja. Selain itu, perusahaan asuransi juga tidak
diperbolehkan untuk melakukan pertukaran
risiko
antarperusahaan
asuransi
dan
tertanggung, sehingga masalah optimasinya
menjadi
E  A  Y 

2

21  E  A  Y    E Y 

dengan kendala
⁄ .

dengan
(8)

Misalkan
sebagai tingkat
retensi dalam kebijakan stop loss sehingga
penyebut dalam fungsi objektif (8) menjadi
nol. Nilai
didapat dari persamaan
̅
. Untuk mencari nilai
∫
harapan kerugian maksimal pada subbab ini
diperlukan Proposisi 2 berikut.
Proposisi 2. Fungsi objektif (8) memiliki
solusi yang unik, yaitu sebuah kebijakan stop
loss

 z  a* ; T   0
A z  
,
;  T   0
z
*

dengan

a
0




T

min  A

*

A

 y   A*  y   A  y  dFY  y 

0

dengan kendala ∫

.

Solusi untuk masalah terkendala tersebut
yaitu kebijakan stop loss
*

A

 z  a* ; T   0

z  

;  T   0

z

dengan

a
 a
  a     F  y  dy   E Y   a   yF  y  dy.
0
 0
def

Dengan memasukkan kebijakan stop loss
ke fungsi objektif (8), maka
a

2
 y f  y  dy

J  A A z  z  a 

0



0

21  yf  y  dx   E Y  

a

(10)
Bukti:
Karena tujuan fungsional akan meningkat di
seiring dengan meningkatnya
. Oleh karena itu, fungsi objektifnya
direduksi menjadi meminimumkan
dengan kendala
dengan
]. Kebijakan
akan
jika dan hanya jika
meminimumkan




a

  a     F  y  dy   E Y   a   yF  y  dy
0

.

adalah akar unik pada selang
dari persamaan
dengan

(9)

adalah akar unik pada selang
dari persamaan
dengan

def

(11)
merupakan solusi untuk

Dengan kata lain
masalah

a

 y dFY  y 
2



0



0




a

21  F  y  dy   E Y  
a

y FY  y   2 yFY  y  dy
2



a

0


0

a

21   F  y  dy   E Y  
0


11

a

a FY  a   2 yFY  y  dy



2



0



0




a

21  F  y  dy   E Y  
Karena FY  a  

a



f  y  dy  1 , sehingga

0

a

a  2 yFY  y  dy
2

J  A A z  z  a ' 

0

a

21   F  y  dy   E Y  
0

a







a

2 ydy  2 yFY  y  dy



0

0

a

21   F  y  dy   E Y  
0

a

2 yF  y  dy





0



0




a

21  F  y  dy   E Y  

itu, ketimpangan
dalam (9) setara
dengan
penolakan
asuransi
untuk
menggunakan reasuransi. Ketimpangan ini
dapat ditulis


2 E Y 
yaitu perbandingan antara peubah acak dari
besarnya klaim nasabah
dengan koefisien
loading reasuransi lebih kecil atau sama
dengan nilai harapan kerugian maksimal tanpa
reasuransi. Dalam kasus tak terbatas, sebaran
dari besarnya klaim yang diajukan oleh
dalam kebijakan
nasabah memiliki tingkat
untuk setiap
stop loss optimal
bentuk dari fungsi sebaran
. Jadi, dalam
hal ini perusahaan asuransi akan menerapkan
reasuransi.

1

Contoh 2
Pada kasus besarnya klaim yang dibayarkan
kepada nasabah
menyebar secara
eksponensial dengan parameter
. Fungsi
kepekatan peluang dari sebaran eksponensial
dengan parameter
, yaitu

 1 e y / 

f  y  

 0

Jadi,
a

J  A 

E Y 

2

T

 yF  y  dy

;y0
;y0

0

a
0




1   F  y  dy   E Y 

dengan
.
Sehubungan dengan diferensiasi
yang
diberikan bahwa fungsi tersebut menurun
secara tetap dengan
. Oleh karena itu,
̅
dan
∫
̅
maka kondisi (9)
∫
merupakan syarat perlu dan cukup untuk
optimisasi.
Reasuransi optimal yang diperoleh pada
Proposisi 2 adalah kelebihan risiko reasuransi.
Jenis reasuransi bertepatan dengan masalah
statis yang memaksimumkan koefisien
penyesuaian dan masalah dinamik yang
meminimumkan kemungkinan kerugian atau
kehancuran.
Dapat dilihat dalam fungsi (10) bahwa
tingkat risiko menurun dan retensi optimal
meningkat dibandingkan dengan kenaikan
. Ketika batas nilai
di
dicapai, itu berarti bahwa besarnya dana untuk
klaim yang dibayar oleh perusahaan asuransi
dan
perusahaan
asuransi
mempertahankan seluruh risiko. Oleh karena

.

Seperti pada Contoh 1, bahwa
,
⁄
⁄
̅
,
dan
.
Kemudian persamaan ̅
disubstitusi ke
persamaan (10),

a
 a
  a     F  y  dy   E Y   a   yF  y  dy
0
 0
a
a
  y/

 y/
dy    a   ye
dy
 e
0
 0
menggunakan integral
∫
substitusi, sedangkan pada ∫
menggunakan integral parsial. Pada integral
parsial, misalkan
du  dy
uy
Pada

dv  e
sehingga,

 y/



  a   e
a

  e
0

v  e

dy

 y/ a

 y/

0

 

 y/

  a   y  e




dy 

 y/ a
0

12



 e

a/ 

0     e



   ae

2  y/ a

a/ 

0






a/ 

e

 e

  a   a   ae

2 a/ 

    e

 

    a    ae

 y/ a

a/ 

e

a/ 

0

  
2 a/ 

  a   a   e





 F  y  dy   E Y   0
0
 y/

a/ 

a/ 

a



1

  ln 1   
 ln 1   

a    ln 1   

a

e

e



a/ 

Selanjutnya, akan dicari nilai awal . Telah
dimisalkan sebelumnya bahwa nilai
didapat dari persamaan ∫ ̅
a

1   0

ln e
2

 

a/ 
   a 1      1  e

  a   a  e

     0

a/ 

2

   0

sehingga nilai awalnya
.
Diasumsikan tingkat risiko
. Dengan
menggunakan software Wolfram Mathematica
dengan
7, maka diperoleh
dan
mengasumsikan reasuransi loading
dan
seperti pada Tabel 2.

dy    0

0

Tabel 2 Nilai awal
⁄ dan
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6

0.182
0.470
0.693
0.876
1.029
1.163

optimal untuk fungsi sebaran eksponensial dengan parameter

dan nilai

0.376
1.027
1.594
2.109
2.589
3.048

0.547
1.410
2.079
2.626
3.089
3.489

1.129
3.082
4.781
6.326
7.769
9.145

0.912
2.350
3.466
4.377
5.148
5.816

Pada saat

dan
maka nilai
sehingga besarnya dana yang
dibayarkan oleh perusahaan asuransi
*

A

 z  3.764 ; T   0

z  

z

;  T   0

.

Misalkan nasabah mengajukan klaim sebesar
maka perusahaan asuransi akan
membayar semuanya yaitu
.
Namun, jika nasabah mengajukan klaim
sebesar
maka perusahaan hanya
membayar sebesar
dan sisanya
dibayar oleh perusahaan reasuransi sebesar
.
Tabel 2 menunjukkan bahwa semakin
besar reasuransi loading
maka
dan
lebih besar hingga optimal.
tingkat retensi
Dapat disimpulkan bahwa perusahaan asuransi
akan menerapkan reasuransi
walaupun
reasuransi loading-nya besar.

1.882
5.136
7.968
10.543
12.949
15.241

1.276
3.290
4.852
6.128
7.207
8.142

2.635
7.190
11.155
14.760
18.129
21.337

1.823
4.700
6.931
8.755
10.296
11.632

3.764
10.272
15.936
21.086
25.899
30.482

Polis Asuransi dan Reasuransi Diterapkan
Pada subbab ini, perusahaan asuransi akan
meminimumkan nilai dari harapan kerugian
maksimal dengan mengoptimumkan polis
asuransi dan reasuransi, sehingga fungsi
objektifnya seperti fungsi objektif (6), yaitu

minimumkan J  I , A
dengan
J  I , A 

E  A  I  Y  

2

21  E  A  I Y     E  I Y 
(12)

terhadap kendala
,
.
,
, dan [ (
)]
Misalkan
sebagai tingkat
retensi dari kebijakan stop loss reasuransi.
didapat dari persamaan ∫ ̅
Nilai
didapat dari persamaan
dan nilai
.
∫ ̅

13

Untuk mendapatkan solusi dari fungsi
objektif tersebut diperlukan Teorema 1.
Sebelum membuktikan Teorema 1, diperlukan
Lema 1 berikut ini.

d

J  I  , A

*



0
 1

optimal dalam
untuk setiap
sebagai
masalah di atas. Kemudian dari pertaksamaan
tersebut, akan didapatkan ruas kiri pada
pertaksamaan tersebut yaitu

Lema 1
Ada solusi untuk fungsi objektif (12).
Bukti :
Bukti dapat dilihat di Golubin 2008.
Lema 1 sudah dibuktikan bahwa ada solusi
untuk fungsi objektif tersebut. Selanjutnya,
kita dapat membuktikan Teorema 1.
Teorema 1
Kebijakan reasuransi yang optimal dalam
, dengan
masalah (12) adalah

a1 ;   a1   0
a 
.
1
a ' ;  a   0

d



d
d


T

E  I  Y   a

d
d

* 2



E  I  Y   a

*

 1



 1

 *  y   a* 2 I *  y      I *  y 

  I
0

*

(13)

 I  y  dFY  y  ,
dengan

adalah akar dari persmaan
dengan
selang

a
0




pada

a

  a     F  y  dy   M  a   yF  y  dy .

menunjukkan fungsi indikator,
dan
yang merupakan turunan
] dan
parsial dari
dengan [
[
] yang berkorespondensi. Jadi,
merupakan solusi dari

0

T

min

Fungsi kebijakan asuransi optimal

0

*
;ya
y

,
I  y   *
*
*
a  I  y   y ; y  a
*

dengan

.

(14)

Bukti:
sebagai solusi dari (12),
Misalkan
seperti pada Lema 1. Akan dibuktikan bahwa
kebijakan yang optimal memiliki solusi yang
terdapat pada (13)-(14). Kemudian, solusi dari
fungsi objektif (12) yaitu
* 2

E Y  a 
J  I , A  
.
*
21  E Y  a    M 
*

   y  I  y  dFY  y 

*

merupakan solusi dari
Kebijakan
untuk
, maka
seperti yang ditentukan dalam Proposisi 2.
Sekarang, akan dipertimbangkan masalah
dengan kendala tambahan
, dengan
dengan
. Seperti pada bukti Proposisi 1,
didefinisikan
maka

dengan
dengan
∫

(15)
,
dan
(16)

kendala
.

Solusi dari (15) dengan kendala (16) yaitu
jika dan hanya jika
sebuah kebijakan
terdapat konstanta sehingga

I

*

 y ;  y   C

 y  

0 ;  y   C

.

(17)

Untuk menentukan nilai , pada awalnya
dimisalkan
. Kemudian
pada
sehingga
dan
.
Dapat dipilih satu yang lain seperti
,
di
pada
, dan
. Dari persamaan (5) untuk
, dengan
(
yang
)
, sehingga
berarti bahwa
pernyataan tersebut kontradiksi dengan
.
Ketika
dimisalkan
ternyata
, maka dimisalkan
. Kemudian, dari (17) diperoleh

14

yang kontradiksi dengan
.
Jika
maka
̅ untuk
beberapa ̅ sedemikian sehingga
̅
. Fungsi
bertepatan sampai multiplier positif dengan
yang didefinisikan dalam Proposisi 2,
. Oleh karena
dengan
digantikan oleh
. Namun,
itu ̅
̅ dan menurut
optimal tidak boleh lebih dari
Proposisi 2,
̅. Solusi yang hanya mungkin dalam kasus ini
adalah
yang bertepatan dengan nilai
kemungkinan terbesar dari
, sehingga
.
Jika
maka berdasarkan (16)
pada
. Akhirnya
dan
didapatkan
dari
dari
.
Sekarang
akan
dibuktikan
bahwa
konstanta
. Seperti yang
telah disebutkan di atas bahwa (
)
dipengaruhi oleh bentuk
dan
pada
dengan hanya melalui nilai
. Oleh karena itu, pilihan yang
optimal dari
pada
harus
meminimumkan
dengan kendala
dan
. Untuk
membuktikan bahwa nilai ini miminal pada
. Oleh karena itu,
, misalkan
dan
. Di sisi lain
). Pada Proposisi 1, pilih
(
dari akar persamaan ∫ ̅
,
. Oleh karena itu, pilihan
sehingga
yang optimal dari fungsi
pada
harus memberikan nilai
.
Dengan menerapkan Proposisi 2, diperoleh
secara unik yang ditentukan
tingkat
oleh (13). Selanjutnya, fungsi apapun
dari (14) digabungkan dengan
memberikan nilai optimal pada
. Jadi
(13)-(14) menentukan himpunan dari semua
solusi untuk fungsi (12).
Teorema 1 dapat digunakan untuk
. Biasanya
menentukan tingkat retensi
perusahaan asuransi mempunyai tak terhingga
polis asuransi yang optimal seperti yang
didefinisikan dalam (14). Teorema 1 tidak
mempedulikan pilihan yang ada antara setiap
yang memberikan nilai optimal
kebijakan
yang sama pada
.

4

3

2

1

1

2

3

4

5

Gambar 1 SD-policy dari asuransi.
Dengan menganalisis masalah (12), akan
diperkenalkan jenis kebijakan asuransi yang
“terbaik” dari sudut pandang tertanggung
yang optimal
antara semua polis asuransi
dalam (12). Kebijakan dua parameter tersebut
yaitu
{

dengan
, disebut SD-policy.
Dengan kata lain, kebijakan tersebut
merupakan kombinasi dari kebijakan stop loss
dan kebijakan dikurangkan
{

seperti suatu kebijakan dengan
dan
yang disajikan pada Gambar 1. Hal ini
terlihat bahwa SD-policy dapat dianggap
sebagai generalisasi, yaitu dari kebijakan yang
dikurangkan dalam pembayaran asuransi
sampai dengan tingkat tidak nol melainkan
pembayaran stop loss. Berdasarkan kebijakan
yang diperkenalkan, perusahaan asuransi
mengambil “ekor” dari ukuran sebaran klaim
dan meninggalkan “media” berbagai risiko
tertanggung
dengan tertanggung.
Dari sudut pandang sebuah polis potensial,
asuransi seperti ini tampaknya lebih menarik
dibandingkan dengan asuransi stop loss yang
diperoleh dari Proposisi 1. Pada Proposisi 1,
perusahaan asuransi membayar semua klaim
kecil dan hanya membayar
untuk klaim
besar.
Akibat 1
Sebuah polis asuransi
yang optimal dalam
(12) dan varian minimal dari risiko
dapat ditanggung oleh tertanggung
sendiri. Polis asuransi tersebut adalah sebuah
yang terdapat
SD-policy
, dengan

6

15

pada Teorema 1 dan
persamaan dari
a*



merupakan akar

T

F  y  dy   F  y  dy  M

(18)

d

0

Bukti:
yang
Untuk memperbaiki kebijakan
optimal, maka cakupan tertanggung yang
sesuai adalah
{

seperti pada (14). Untuk meminimumkan
varian
maka kita harus meminimumkan
sebagai nilai ratamomen kedua
rata yang diberikan,
.
Hal ini menyebabkan masalah
T

min
I

* W  y  

2

dFY  y  dengan

kendala

a
T

reasuransi. Dalam Akibat 1, pilihan tertentu
oleh perusahaan asuransi dari
sebagai
polis asuransi yang optimal membuat risiko
tertanggung ̂
lebih menarik
bagi tertanggung. Hal tersebut dikarenakan
̂ yang terkecil di antara nilai-nilai
nilai
ketika semua himpunan polis asuransi
yang optimal. Ketimpangan
dalam (13) memainkan peran yang sama
dengan ketimpangan
dalam
Proposisi 2. Itu berarti bahwa koefisien
cukup besar bagi
loading reasuransi
perusahaan asuransi untuk menolak reasuransi
dan mempertahankan seluruh risikonya.
Dalam hal ini
karena
oleh persamaan (18). Seperti dalam pemilihan
polis asuransi saja, ganti rugi perusahaan
asuransi yang diharapkan mengambil nilai
minimum yang mungkin,
.
Contoh 3
Pada kasus besarnya klaim yang dibayarkan
kepada nasabah
menyebar seragam pada
. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran
seragam pada
, yaitu

* W  y  dFY  y   E Y   M .

1
f ( y)  
0

a

Dengan definisi
dan definisi
dalam (14), minimisasi diambil
himpunan
oleh fungsi
yang memenuhi
pada
. Didapatkan
solusi untuk masalah ini adalah ̂
yang
, tingkat
ditentukan oleh [ ̂
]
. Ingat
bahwa
, maka solusi yang
ditemukan dapat ditulis ulang dalam polis
̂
̂
asuransi
(
) di
. Karena polis
asuransi yang optimal pada
, panjang ̂
dapat diperpanjang pada selang
. Dengan
demikian, diperoleh SD-policy
yang
ditunjukkan
oleh
Akibat
1.
Dalam
dari persamaan [ ̂
menentukan
]
dapat
dimasukkan
sebagai
[
]
yang bertepatan dengan
persamaan (18). Jadi, Akibat 1 terbukti.
Ketika sepasang kebijakan yang optimal
(
) diterapkan, ganti rugi reasuransi
merupakan bentuk yang sama dengan ganti
rugi
dalam subbab optimasi

;0  y 1

.

; lainnya

Pertama akan dicari total besarnya klaim
yang diajukan oleh nasabah,
1

E Y    yf  y  dy
0
1

  y dy
0



1

1

y

2


2
0

1

 0  0.5
2
Dicari fungsi sebaran dari besarnya klaim
yang dibayarkan oleh nasabah
menyebar
seragam pada
,

FY  y  

y

 f  x  dx
0

y

  1 dx
0
y

 x0
y

16

Kemudian dicari nilai
dari persamaan ∫ ̅

dan

. Nilai



.

4 1  2 M 

2

2

a

 1  FY  y  dy   M



0
a

2  2 1  2M
2

 1  y dy   M

 1  1  2M

0

y

1

y

2
a

1

Karena nilai
maka nilai
dan
,
. Setelah didapatkan nilai
√
selanjutnya dicari
yang merupakan akar
dari persamaan
.

a

 M