Pengurangan Peubah dalam Analisis Korelasi Kanonik.

PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI
KANONIK

FANNY NOVIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengurangan Peubah
dalam Analisis Korelasi Kanonik adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2015
Fanny Novika
NIM G54110017

ABSTRAK
FANNY NOVIKA. Pengurangan Peubah dalam Analisis Korelasi Kanonik.
Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR.
Analisis korelasi kanonik merupakan analisis peubah ganda yang digunakan
untuk memperoleh tingkat keeratan hubungan linear antara dua kelompok peubah.
Banyaknya peubah dalam suatu kelompok peubah sering menyulitkan dalam
merepresentasikan hasilnya. Pengurangan peubah yang digunakan menjadi hal
yang penting untuk dilakukan. Pengurangan peubah dapat dilakukan antara lain
dengan analisis korelasi kanonik itu sendiri, analisis komponen utama, dan analisis
Procrustes. Peubah yang dikurangi dengan ketiga analisis tersebut dibatasi dengan
kriteria penurunan korelasi kanonik sebelum dan sesudah pengurangan peubah.
Peubah yang menurunkan korelasi kanonik dengan selisih yang besar tidak
dihilangkan. Pada karya tulis ini, pengurangan peubah dilakukan pada data jenis
ikan di Laut Barents (Anonim 1997). Analisis Procrustes paling banyak mengurangi
peubah, yang kedua yaitu dengan analisis komponen utama dan yang terakhir yaitu
dengan analisis korelasi kanonik.

Kata kunci: analisis komponen utama, analisis korelasi kanonik, analisis Procrustes,
pengurangan peubah

ABSTRACT
FANNY NOVIKA. Variable Reduction in Canonical Correlation Analysis.
Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR.
Canonical correlation analysis is multivariate analysis used to obtain a linear
relationship between two sets of variables. A large number of variables in a set of
variables is often difficult to represent the results. Reduction of the used variables
becomes important to be done. Variables reduction can be done for example by
using the canonical correlation analysis, principal component analysis, and
Procrustes analysis. Variables reduced by these three analyses restricted by the
criteria of canonical correlation decrease before and after the reduction of variables.
Variables that decrease the canonical correlation by a large difference are not
removed. In this paper, variable reduction is performed on the data type of fish in
the Barents Sea (Anonymous 1997). Procrustes analysis at most reduces the
variables, the second is the principal component analysis and the last is the
canonical correlation analysis.
Keywords: canonical correlation analysis, principal component analysis, Procrustes
analysis, variable reduction

PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI
KANONIK

FANNY NOVIKA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis telah menerima

bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada
Prof Dr Ir Siswadi, MSc dan Dr Toni Bakhtiar, MSc sebagai dosen pembimbing I
dan dosen pembimbing II atas segala ide cemerlang mengembangkan karya ilmiah
ini dan memberikan solusi ketika menghadapi masalah pada penulisan karya ilmiah
ini, serta kepada sebagai dosen penguji Ir N.K. Kutha Ardana, MSc. Selain itu,
penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Ibu, Ayah, keluarga dan temanteman Matematika 48 yang selalu memberi semangat, doa dan motivasi.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.

Bogor, Agustus 2015
Fanny Novika

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

x

DAFTAR GAMBAR

x

DAFTAR LAMPIRAN

x

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

2

Vektor Kombinasi Linear

2

Matriks Koragam

2

Analisis Korelasi Ganda

3

Analisis Korelasi Kanonik

3

Analisis Komponen Utama

5

Standardisasi Komponen Utama

6

Dekomposisi Nilai Singular

7

Analisis Procrustes

8

METODE
Sumber Data
Proses Analisis Data
HASIL DAN PEMBAHASAN

9
9
10
11

Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik

12

Pengurangan Peubah dengan Analisis Komponen Utama

15

Pengurangan Peubah dengan Analisis Procrustes

17

Eksplorasi Peubah Berdasarkan Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi
Kanonik, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes

19
SIMPULAN

20

DAFTAR PUSTAKA

21

LAMPIRAN

22

RIWAYAT HIDUP

54

DAFTAR TABEL
1 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi
Kanonik Secara Langsung

12
2 Koefisien Peubah dari Peubah Kanonik Pertama
13
3 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi
Kanonik Melalui Peubah Kanonik
14
4 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Komponen Utama
16
5 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Procrustes
18
6 Nilai Korelasi Kanonik pada Pengurangan Peubah
20

DAFTAR GAMBAR
1 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
dengan Analisis Korelasi Kanonik Secara Langsung
2 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
dengan Analisis Korelasi Kanonik Melalui Peubah Kanonik

3 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
dengan Analisis Komponen Utama
4 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
dengan Analisis Procrustes
5 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
dengan Semua Analisis

Peubah
13
Peubah
15
Peubah
17
Peubah
18
Peubah
19

DAFTAR LAMPIRAN
1 Data Lingkungan Laut Barents
22
2 Data Jenis Ikan di Laut Barents
24
3 Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar Setiap Pengurangan Satu
Peubah yang Bersesuaian dengan Nilai Eigen Terkecil
35
4 Nilai Eigen Terkecil dari Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar
dengan Peubah Yang dikurangi
42
5 Nilai Mutlak dari Peubah Kanonik
43
6 Ukuran Procrustes
47
7 Nilai Korelasi Kanonik Pertama dengan Analisis Korelasi Kanonik
Secara Langsung
52

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ilmu pengetahuan mudah berkembang pesat dengan cepat. Hal ini dapat
ditunjukkan dengan banyaknya ilmu-ilmu baru yang diadaptasi dari hasil
penelusuran ilmu-ilmu dasar. Para peneliti semakin giat memperdalam ilmu demi
memperkaya ranah ilmu pengetahuan.
Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan maka masalah yang dapat
diselesaikan akan semakin kompleks. Dalam hal analisis peubah ganda, masalah
yang hanya melibatkan dua peubah bisa dikembangkan dengan masalah yang
melibatkan tiga peubah atau lebih. Penggabungan dari beberapa masalah sederhana
juga merupakan salah satu masalah kompleks yang dapat diselesaikan dari
perkembangan suatu ilmu pengetahuan.
Perkembangan ilmu pengetahuan dalam kasus analisis peubah ganda
diantaranya dikembangkan oleh Hotelling pada tahun 1936 tentang analisis korelasi
kanonik. Analisis korelasi kanonik adalah analisis peubah ganda yang sering
digunakan untuk menguji hubungan secara linear antara dua kelompok peubah
(Rencher dan Christensen 2012).
Salah satu masalah kompleks lainnya yang seringkali terjadi adalah analisis
peubah ganda yang memunyai peubah yang sangat banyak sehingga sulit untuk
merepresentasikan hasil penelitian. Kesulitan lainnya adalah hasil penelitian sulit
untuk disimpulkan secara global. Selain itu, dengan banyaknya peubah
memperbesar kemungkinan tidak akuratnya koefisien dari penduga parameter.
Terjadi juga kondisi saat data yang diperlukan dalam satu peubah memerlukan
biaya yang besar. Permasalahan ini dapat diatasi dengan mengurangi peubah antara
lain dengan menggunakan analisis korelasi kanonik dengan menghilangkan satu per
satu peubah secara langsung dan dengan peubah kanonik. Analisis lainnya dapat
dilakukan dengan analisis komponen utama dan analisis Procrustes.
Dalam analisis korelasi kanonik, beberapa peubah dalam dua kelompok
peubah dapat digunakan untuk mempelajari korelasi antara dua kelompok peubah
(Timm 2002). Oleh karena itu, peubah yang dihilangkan adalah yang memberikan
pengurangan nilai korelasi kanonik paling sedikit atau yang memunyai koefisien
peubah dalam peubah kanonik paling dekat dengan nol.
Analisis komponen utama merupakan analisis peubah ganda yang digunakan
untuk mengurangi dimensi data yang berukuran sangat besar dengan
mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang terkandung pada data asalnya.
Analisis komponen utama mentransformasi peubah-peubah asli yang masih saling
berkorelasi satu dengan yang lain menjadi satu himpunan peubah baru yang tidak
berkorelasi lagi. Peubah-peubah baru tersebut disebut dengan komponen utama.
Peubah yang dihilangkan adalah peubah yang mempunyai korelasi paling besar
dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil.
Analisis Procrustes adalah teknik yang mengacu pada perbandingan dua
objek dengan berbagai kondisi dan menghasilkan ukuran kesesuaian. Analisis
Procrustes dapat menghilangkan kemungkinan peubah yang tidak dapat
dibandingkan dalam kelompok data individu dan perbedaan ukuran antara
kelompok data dengan mengubah skala data dan menghitung jarak antar data.

2
Perhitungan dengan jarak Euclid dan transformasi dengan cara translasi-rotasi dan
dilasi adalah langkah yang efektif dalam analisis Procrustes (Bakhtiar dan Siswadi
2015). Pengurangan peubah dalam analisis Procrustes dilakukan dengan
membandingkan jarak antara matriks awal yang ingin dihilangkan peubahnya
dengan matriks itu sendiri setelah pengurangan peubah satu per satu.

Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mengurangi peubah dalam analisis
korelasi kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes lalu
membandingkan korelasi kanonik dua kelompok peubah sebelum dan sesudah
pengurangan peubah.

TINJAUAN PUSTAKA
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Untuk setiap matriks segi A, skalar � dan suatu vektor x ≠ dari persamaan
Ax = �x maka � disebut sebagai nilai eigen dan x sebagai vektor eigen matriks A.
Untuk mencari nilai � buat persamaan karakteristik |A − �I| = . Akar
persamaan dari � merupakan nilai eigen dan x merupakan vektor eigen yang
bersesuaian dengan � (Rencher dan Christensen 2012).
Vektor Kombinasi Linear
Misalkan v1 , v2 , v3 , … , v� adalah vektor-vektor dalam suatu himpunan vektor
�. Jumlah vektor-vektor berbentuk � v1 + � v2 + � v3 + + �� v� di mana
� , � , � , … , �� adalah skalar-skalar disebut suatu kombinasi linear dari
v1 , v2 , v3 , … , v� (Rencher dan Christensen 2012).
Matriks Koragam
Misalkan y adalah vektor peubah berukuran × , x adalah vektor peubah
berukuran × , � y adalah nilai harapan dari y dan � x adalah nilai harapan
dari x. Maka matriks koragam dari y dan x ialah
cov[y,x] = � = �[ y − �[y] x − �[x] � ] (Johnson dan Wichern 2007).
Untuk x = y, maka cov[x,x] = var x = � = �[ x − �[x] x − �[x] � ].

3
Analisis Korelasi Ganda
Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel Y dan X =
�

�

) di
R
S
mana � =
, ,…,
merupakan koragam contoh dari Y dengan X dan
S
merupakan matriks koragam contoh dari X, analog dengan � =
, ,…,
merupakan korelasi contoh dari Y dengan X dan R adalah
matriks korelasi contoh dari X. Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung
menggunakan partisi dari matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai
berikut
,

,…,

. Definisikan matriks S = (

� =

−
s�
� S s�
�

=

�

R

) dan R = (

−

.

Korelasi ganda � dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara Y
dan kombinasi linear X (Rencher dan Christensen 2012).
Analisis Korelasi Kanonik
Analisis korelasi kanonik merupakan perluasan dari analisis korelasi ganda,
yaitu dengan melibatkan dua kelompok peubah. Misalkan Y =
, ,…,
dan
X=
, ,…,
dengan ��buah data, matriks koragam dapat didefinisikan
�
�
�=(
),
�
�
di mana � adalah matriks koragam dari Y berukuran � × � , � adalah matriks
koragam dari X berukuran �� , dan �
adalah matriks koragam dari
, ,…, , , ,…,
berukuran �� .
Suatu kombinasi linear = a� Y dan = b� X koragamnya ialah
= �[ − �[ ]
− �[ ] � ]
�
�
�= �[
� − �[
�] � � − �[ � �] � ]
��= ��[ � � − � �[ �] � � − � �[ �] � ]
��= � � �[ � − �[ �] � − �[ �] � ]b��
�= a� � b.���������������������������������
Jadi, korelasinya ialah
a� � b
cov ,
=
�.
cor , =
√var �√var
√a� � a�√b� � b
Korelasi kanonik merupakan maksimum korelasi antara kombinasi linear
dan kombinasi linear � . Maksimum korelasi dapat ditentukan dengan mencari
vektor koefisien a dan b agar cor , bernilai sebesar mungkin.
Misalkan
.
Korelasi
kanonik
pertama
merupakan
maksimum cor ,
= � , dengan pasangan peubah kanonik pertama adalah
= a� Y dan
= b� X dan korelasi kanonik ke-k merupakan
maksimum cor
,
= � dengan pasangan peubah kanonik ke- adalah
=
�
�
a Y dan
= b X yang tidak berkorelasi dengan peubah kanonik sebelumnya
dengan = min�{ , } (Johnson dan Wichern 2007).

4
Untuk mendapatkan korelasi yang maksimum nilai a� � b maksimum
dengan kendala a� � a = dan b� � b = dengan maksimisasi Lagrange,
didapatlah persamaan Lagrange
(2.1)
� a,b, �, � = a� � b − � a� � a − − � b� � b − .
Turunkan persamaan (2.1) terhadap a dan agar maksimum, hasil turunan persamaan
(2.1) adalah nol, maka didapatlah � b − �� a = dan turunkan persamaan
(2.1) terhadap b, maka didapatlah � a − �� b = . Eliminasi salah satu
persamaan
� b − �� a =
���������������������������� b = �� a
(2.2)
a = � − � b.
�
Substitusi persamaan (2.2) ke � a − �� b = sehingga
�

�

� − � b − ��
��

�

=

� � − � b = ��

�− � �− � b =

�� − � � − � b = ��
��� � � − � b − �� =
� − � � − � − ��I = .��������
−

Jika kita mengeliminasi

� a − �� b =
� a = �� b
�

� − � a = b.

Substitusi persamaan (2.4) ke � b − �� a =
�

�

(2.3)

(2.4)

sehingga

� − � a − �� a =
��

�

� � − � a = �� a

�− � �− � a = a

� − � � − � a = ��a
� � � − � a − ��a =
(� − � � − � − ��I a = .
(2.5)
Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.5), maka �� adalah kuadrat korelasi
� , = , , … , dengan = min�{ , } adalah nilai eigen dari � − � � − � dan
a merupakan vektor yang bersesuaian dengan nilai eigennya, dan b merupakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen � dari matriks � − � � − � ,
akar kuadrat dari nilai eigen � , � , … , � disebut korelasi kanonik.
Matriks koragam populasi dapat diduga dengan matriks koragam contoh.
Misalkan�S adalah matriks koragam contoh dari Y berukuran � × � , S adalah
matriks koragam contoh dari X berukuran � × � , dan S adalah matriks koragam
−

5
contoh dari
, ,…, , , ,…,
berukuran �� dan adalah korelasi
kanonik yang diperoleh dari matriks koragam contoh. Dengan tahapan yang sama,
korelasi kanonik dengan matriks koragam contoh dapat dihitung dari persamaan
karakteristik |� − � � − � − I| = . Vektor koefisien a dan b dapat dihitung
dengan persamaan vektor eigen � − � � − � a = a dan � − � � − � b =
b.
Analisis Komponen Utama
Ide utama dari analisis komponen utama adalah untuk mengurangi dimensi
kelompok data yang memiliki peubah dengan jumlah banyak dengan
mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang diperoleh dari data, caranya
adalah dengan memaksimumkan ragam. Misalkan terdapat peubah dengan
adalah bilangan yang cukup besar. Analisis komponen utama dapat merancang
alternatif peubah sebanyak komponen utama yang dapat mewakili variasi data
dengan adalah bilangan yang jauh lebih kecil dari (Jolliffe 2002).
Misalkan X =
, ,…,
�merupakan vektor peubah acak berdimensi
dengan matriks koragam �. Dasar dari analisis komponen utama ialah mencari
fungsi linear �� X yang memiliki ragam maksimum, di mana �� adalah vektor
dengan konstanta � , � , … , � sehingga
�� X = �
+�
+�
+ +�
=∑= �
.
�
�
Kemudian, cari fungsi linear � X yang tidak berkorelasi dengan � X yang
memiliki ragam terbesar, dan seterusnya hingga fungsi linear ke- �� X yang
memaksimumkan ragam. Peubah ke- dari �� X adalah komponen utama ke- .
Untuk membentuk komponen utama pertama, maksimumkan ragam dari
�
� X, dengan Var �� X) dapat ditentukan dengan ragam �� X ialah
Var[�� X] =�[(�� X − �[�� X]) �� X − �[�� X] � ]
=�[(�� X − �� �[X]) �� X − �� �[X] � ]
=�� �[(X − �[X]) X − �[X] � ]�� ��
��= �� � � � ������
= �� �� ,�������
dengan � adalah ragam X. Kendala yang digunakan adalah �� � = yang berarti
jumlah kuadrat dari setiap unsur � adalah satu agar �� �� � memunyai solusi
maksimum dalam persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange pada kasus ini adalah
(2.6)
ℒ � , � = �� �� − � �� � − ,
di mana � adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.6) terhadap � . Agar
maksimum, hasil turunan persamaan (2.6) haruslah nol, menjadi
�� − �� =
atau
� − �I)� = ,
di mana I adalah matriks identitas berukuran × . Dengan demikian, � adalah
nilai eigen dari � dan � adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan �. Untuk
menentukan nilai eigen yang memberikan � X yang memberikan ragam
maksimum, nilai yang harus dimaksimumkan ialah
�� �� = � �� λ� = ���� � = �

6
jadi � haruslah sebesar mungkin, dengan � adalah vektor yang bersesuaian
dengan nilai eigen �.
Komponen utama kedua ialah �� X, maksimumkan �� �� dengan kendala
tak adanya korelasi dengan �� X, secara matematis cov[�� X ,�� X] = . Nilai dari
cov[�� X ,�� X] ialah
cov[�� X ,�� X] = �� �� = � �� �� = � �� λ � = �λ �� � = � λ �� �
dengan demikian, kendala tak adanya korelasi untuk �λ > ialah �� � = atau
�� � = . Fungsi Lagrange untuk komponen utama kedua adalah maksimumkan
ℒ � , � , �, � = �� �� − � �� � − − ��� � ,
(2.7)
di mana �, � adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.7) terhadap � dan
agar persamaan (2.7) maksimum, turunannya harus bernilai nol, didapatlah
(2.8)
�� − �� − �� = .
kalikan persamaan (2.8) dengan �� didapatlah
�� ��� − ��� �� − ��� �� = .
�
Karena � ��� = maka � = . Hasilnya, �� − �� = ekivalen dengan
� − �I � = , jadi � adalah nilai eigen lainnya dari � dan � adalah vektor
eigen yang bersesuaian dengan �.
Untuk menentukan nilai eigen yang memaksimumkan � = �� �� , nilai �
harus sebesar mungkin. Asumsikan � tidak memiliki nilai eigen kembar sehingga
� ≠ � . Jika demikian, seperti halnya pada komponen utama pertama, � adalah
nilai eigen kedua terbesar setelah � yang besesuaian degan vektor eigen � .
Metode yang sama untuk mencari komponen utama ketiga, keempat dan
seterusnya hingga ke- . Vektor � , � , … , � adalah vektor eigen dari � , � , … , �
yang merupakan nilai eigen terbesar ketiga, nilai eigen terbesar keempat, dan
seterusnya sampai nilai eigen terkecil.
Bila � tidak dapat ditentukan nilainya secara langsung, � dapat diduga
dengan S = �− X � X di mana
…
…
]
X= [
⋱
…
�
�
�
adalah matriks data contoh yang telah terkoreksi dengan nilai tengahnya.

Standardisasi Komponen Utama
Misalkan X∗ merupakan matriks data contoh berukuran � × dengan �
� ∗
objek dan peubah, maka X = � X∗ −
X , di mana 1 merupakan vektor kolom
�
berukuran � × dengan setiap unsurnya bernilai satu.
Data yang harus distandardisasi adalah data yang memiliki skala yang
berbeda atau skala yang sama namun kisaran yang sangat berbeda. Data yang
terstandardisasi juga dapat mencegah mendominasinya salah satu peubah yang
memunyai ragam besar. Dari matriks data �� X∗ , standardisasi dilakukan dengan
cara

7

Z=

�
�

[

�
�]
∗

√

∗

=

√

∗
�

=[

− ̅

∗

�

∗

− ̅∗

∗
�

⋱
����…

− ̅

√

∗

− ̅

�

∗

…
����…

− ̅

√

∗

…

∗ ����

�

…

⋱
− ̅ ∗ ����
…

]

∗

√

∗

√

∗
�

− ̅∗

− ̅∗
− ̅∗

√
[ √
]
√
dengan ̅ sebagai rataan dari kolom ke- , √ sebagai simpangan baku kolom kedan matriks Z menyatakan matriks dengan setiap unsurnya terstandardisasi.
∗

Vektor rata-rata dari matriks yang terstandardisasi ialah
�
�
�
= .
=
̅=
�

�

Matriks koragam dari data terstandardisasi ialah
=

=

�−
�−

−

�
− ̅ �

�=
�−
(Johnson dan Wichern 2007).

�

�

− ̅�

−

�

�

Dekomposisi Nilai Singular
Setiap matriks yang berdimensi � × dapat dinyatakan sebagai bentuk
dekomposisi nilai singular sebagai berikut:
�� = �� U � �T

(Jolliffe 2002), di mana dan � masing-masing dengan kolom ortonormal,��
merupakan pangkat matriks dengan
min{�, }. T = �T � = � , dengan �
merupakan matriks identitas berpangkat . � = �iag�(√λ , √λ , … , √λ ) dengan
λ
λ
λ > dan √λ �, = , , …
merupakan nilai singular dari
matriks .
Matriks �� adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri atas vektor eigen
yang berpadanan dengan nilai eigen taknol i dari matriks T . Matriks adalah
matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan
T
nilai eigen taknol dari matriks
dengan
=

,

,…,

=(

√λ

,

√λ

,…,

�

√λ�

).

, + ,…,
merupakan vektor eigen yang ortonormal dari
matriks
yang berpadanan dengan nilai eigen nol, dan + , + , … , �
merupakan vektor eigen yang ortonormal dari matriks T yang berpadanan
Bila
T

+

8
dengan nilai eigen nol, maka bentuk dekomposisi nilai singular lengkap dari
matriks �� ialah
�� = �� U�∗ L∗ �∗T .
Matriks

di mana

∗

, �∗ , dan �∗ dapat dinyatakan dalam bentuk
U ∗ = [ ��� + ���…�� � �]
�
× −
]
�L∗ = [
�− ×

�− ×

−

�∗ = [���� + ���…�� ]
merupakan matriks nol dengan dimensi yang telah disesuaikan.
Analisis Procrustes

Andaikan Y = [

ruang Euclid berdimensi

�

�

…
…
⋱
…

�

] adalah susunan dari � titik dalam

yang dapat dituliskan dalam matriks berukuran � ×
Y�
Y�
= Y�
(Y�� )

di mana Y � adalah vektor baris
…
Y� =
,
untuk = , , … , � dan matriks X berukuran � × adalah susunan dari n titik
dalam ruang Euclid berdimensi . Matriks Y akan dipasangkan dengan matriks X
dalam setiap baris. Diasumsikam bahwa X dan Y berdimensi sama sehingga = .
Jika > maka − kolom nol ditambahkan pada matriks Y sehingga kedua
matriks berada pada dimensi yang sama. Untuk mengukur perbedaan antara dua
atau lebih, maka didefinisikan jarak Procrustes
�

� X,Y = ∑ ∑(
=

=

−

) = tr X − Y

�

X−Y ,

di mana tr adalah teras matriks (Bakhtiar dan Siswadi 2011).
Secara geometris, ukuran Procrustes dapat dilakukan dengan cara melakukan
translasi, merotasi dan mendilasi matriks Y sehingga jumlah kuadrat jarak � X,Y
antara titik-titik matriks Y dengan titik-titik matriks X yang bersesuaian menjadi
minimum.
Translasi dalam analisis Procrustes adalah pergeseran semua unsur matriks
dengan jarak yang tetap dan arah yang sama dengan mengacu pada pusatnya.
Minimalisasi jarak antara X dan Y setelah translasi dengan menempatkan pusatnya
pada tempat asalnya. Jadi, matriks X dan Y setelah translasi yang optimal adalah
�
�
X� = X − C dan Y� = Y − C , di mana C =
X dan C =
Y
� � �
� � �
masing-masing adalah pusat dari X dan Y, dengan � adalah vektor � × dengan
setiap unsurnya bernilai satu.

9
Rotasi adalah proses memindahkan setiap unsur matriks dengan sudut rotasi
yang tetap tanpa mengubah jarak titik dengan titik pusat. Rotasi Y� pada X�
dilakukan dengan cara mengalikan Y� dengan matriks rotasi Q. Jarak minimun
setelah rotasi didapat dengan memilih Q = VU� , di mana UΣ � adalah
dekomposisi nilai singular lengkap dari �� Y� . Jelas bahwa Q adalah matriks
ortogonal, yaitu Q� Q = QQ� = I.
Dilasi adalah meregangkan atau memampatkan suatu titik dari titik pusat
dengan mengalikan faktor penskala yang tetap. Dilasi Y� Q pada X� dengan cara
mengalikan Y� Q dengan skalar

=

di mana

tr �
� Y� Q�
tr �
� Y�

yang meminimumkan

jarak antara X� dan Y� Q setelah dilasi.
Transformasi dengan cara translasi-rotasi-dilasi memberikan kemungkinan
jarak terkecil, di mana jarak tersebut didefinisikan dengan
X� , Y� Q = tr X� − Y� Q � X� − Y� Q .
Ukuran Procrustes tersebut didefinisikan dengan
tr �� Y� Q
X,Y = trX�� −
�
tr� �� Y�
dengan X dan Y adalah matriks berukuran � × (Bakhtiar dan Siswadi 2011).
Untuk mendapatkan ukuran Procrustes yang simetris, lakukan normalisasi
setelah ditranslasi. Urutan transformasinya menjadi translasi-normalisasi-rotasidilasi. Ukuran Procrustes setelah transformasi ialah
X,Y =

Y,X =

− (∑ � ) ,
=

̅ �� Y
̅ � atau
di mana adalah pangkat dan � ialah nilai singular dari matriks X�
�
̅ �X
̅ � dengan
Y
̅ � = Y�
̅ � = X ��������an�������Y
X
di mana
≔

≔

‖X� ‖�

=

�
� X�

�

�
√tr� �� Y�
̅ �� Y
̅ � atau Y
̅ �� X
̅ � (Bakhtiar dan Siswadi
dan � adalah nilai singular dari matriks X�
2015).
‖Y� ‖�

=

√tr�

METODE
Sumber Data
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data peubah ganda dua
kelompok tentang jumlah ikan jenis tertentu dan lingkungan laut di sekitar Laut
Barents (Anonim 1997). Kelompok pertama berkaitan dengan lingkungan terdapat
empat peubah yaitu garis lintang, garis bujur, kedalaman dan suhu di 89 teritorial
Laut Barents. Kelompok kedua berkaitan dengan jenis ikan yang berada di 89

10
teritorial Laut Barents. Terdapat 30 jenis ikan yang setiap jenisnya mewakili satu
peubah. Data ini adalah data yang diunduh dari internet.

Proses Analisis Data
Pengurangan peubah dilakukan dengan tiga jenis analisis, yaitu analisis
korelasi kanonik, analisis komponen utama, dan analisis Procrustes. Proses analisis
data pada setiap metode adalah sebagai berikut:
Analisis korelasi kanonik
Terdapat dua cara mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik.
Cara pertama ialah dengan mencari korelasi kanonik dari dua kelompok
peubah, dengan data kelompok kedua dikurangi satu peubah. Lakukan berulang kali
hingga semua peubah pernah dikurangi. Peubah yang dihilangkan ialah peubah
yang memberikan pengurangan korelasi kanonik pertama yang paling sedikit.
Setelah mengetahui peubah yang dihilangkan, tentukan korelasi kanonik dari
kelompok peubah yang baru. Ulangi langkah ini sampai nilai korelasi kanonik
berkurang cukup banyak dari korelasi kanonik semula.
Cara kedua ialah dari dua kelompok data dicari korelasi kanonik dan peubah
kanoniknya. Peubah kanonik yang dicari adalah kombinasi linear dari konstanta
dengan peubah pada kelompok yang ingin dikurangi peubahnya, dalam hal ini
adalah data kelompok dua dengan 30 peubah. Kombinasi linear tersebut didapat
dengan cara mencari vektor eigen yang bersesuaian dari nilai eigen terbesar dari
invers dari matriks koragam data kelompok dua dikalikan matriks koragam data
kelompok dua dengan kelompok satu dikalikan dengan matriks koragam data
kelompok satu dikalikan matriks koragam data kelompok satu dengan kelompok
dua. Nilai eigen dari matriks tersebut merupakan korelasi kanonik antar dua
kelompok peubah. Peubah dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik yang
memunyai nilai paling dekat dengan nol adalah peubah yang dihilangkan. Setelah
menentukan peubah yang dihilangkan, tentukan kembali korelasi kanonik antara
kelompok satu dan kelompok dua dengan 29 peubah. Tentukan juga kombinasi
linearnya dan hilangkan peubah dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik
paling dekat dengan nol. Ulangi tahap ini hingga korelasi kanonik berkurang cukup
banyak.
Analisis komponen utama
Terdapat matriks data dua kelompok. Kelompok pertama berdimensi
× .
Kelompok kedua berdimensi
× . Kedua kelompok data ini distandardisasi
agar tidak terdapat peubah yang mendominasi. Kedua kelompok data yang sudah
terstandardisasi ini dicari korelasinya dengan analisis korelasi kanonik. Terdapat
empat korelasi kanonik. Korelasi pertama merupakan korelasi terbesar pertama,
korelasi kedua merupakan korelasi terbesar kedua, korelasi ketiga merupakan
korelasi terbesar ketiga dan korelasi keempat merupakan korelasi terbesar keempat.
Kelompok data kedua yang mempunyai 30 peubah dicari komponen
utamanya. Komponen utama yang digunakan adalah vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai eigen terkecil dikalikan dengan data asli. Kemudian cari korelasi

11
antara peubah asal ke- dengan komponen utama ke- . Peubah yang mempunyai
korelasi terbesar adalah peubah yang dihilangkan.
Setelah menghilangkan satu peubah, tentukan kembali korelasi kanonik dari
data kelompok pertama dan kelompok kedua. Jika selisih korelasi kanonik sebelum
dan sesudah pengurangan peubah tidak besar, lakukan pengurangan peubah
kembali dengan mencari komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen
terkecil dan tentukan kembali korelasinya. Proses analisis ini terus berlanjut hingga
nilai korelasi kanonik dari kedua kelompok peubah turun cukup jauh dari korelasi
kanonik dengan peubah lengkap .
Analisis Procrustes
Langkah pertama adalah menentukan korelasi kanonik data lengkap. Setelah
itu lakukan pengurangan peubah.
Pengurangan peubah diawali dengan melakukan konfigurasi matriks baru dari
data kelompok dua dengan salah satu setiap unsur kolomnya diubah menjadi nol.
Misalkan matriks pertama adalah matriks dengan unsur setiap kolom pertama nol
dan kolom lainnya merupakan data dari kelompok dua, matriks kedua adalah
matriks dengan semua unsur kolom kedua nol dan kolom lainnya tetap, seterusnya
sampai 30 peubah dengan 30 matriks baru. Setiap matriks baru ditentukan ukuran
Procrustesnya. Ukuran Procrustes menyatakan selisih jarak antara dua matriks.
Semakin kecil ukuran Procrustes, semakin kecil pula jaraknya. Peubah yang
dihilangkan ialah peubah yang memiliki ukuran Procrustes terkecil antara matriks
yang terkonfigurasi dari kolom setiap unsur peubahnya nol dengan matriks data asal.
Ukuran Procrustes yang kecil ini menyatakan peubah yang telah dibuat nol tidak
banyak berpengaruh terhadap jarak antar matriks konfigurasi dan matriks asal.
Setelah melakukan pengurangan peubah hitung kembali korelasi kanoniknya.
Jika korelasi tidak turun secara drastis, lakukan kembali pengurangan peubah
dengan cara yang sama. Matriks yang digunakan adalah matriks dengan 29 peubah.
Konfigurasi kembali matriks baru dan hitung ukuran Procrustesnya. Tahap ini
berlanjut hingga korelasi kanonik setelah peubah yang dihilangkan mengalami
banyak penurunan.

HASIL DAN PEMBAHASAN
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mengurangi dimensi data yang memunyai
peubah banyak. Langkah awal yang dilakukan adalah menghitung korelasi kedua
kelompok peubah dengan analisis korelasi kanonik. Korelasi kanonik dicari
menggunakan matrik koragam contoh dari kelompok pertama (S , kelompok
kedua (S , dan antar kelompok pertama dan kedua (S . Korelasi kanonik
adalah akar dari nilai eigen dari S− S S− S . Korelasi kanonik pertama bernilai

0.9570, korelasi kanonik kedua bernilai 0.9024, korelasi kanonik ketiga bernilai 0.8788,
dan korelasi kanonik keempat bernilai 0.6633. Korelasi kanonik bernilai 0.9570 artinya

keeratan hubungan antara kelompok pertama adalah sebesar 0.9570. Semakin
mendekati satu, maka keeratan antar kelompok data semakin besar. Korelasi
kanonik yang menjadi acuan utama adalah korelasi kanonik yang paling
maksimum, yaitu korelasi kanonik pertama.

12
Pengurangan Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik
Pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung yaitu
dengan menghilangkan satu peubah, kemudian dicari korelasi kanoniknya.
Bandingkan korelasi kanonik dari semua peubah yang dihilangkan. Hilangkan
peubah yang memunyai korelasi yang berkurang paling sedikit. Nilai korelasi
kanonik dari metode ini terdapat pada Lampiran 7.
Nilai korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi
kanonik secara langsung dan peubah yang dihilangkan terdapat pada Tabel 1.
Peubah pertama yang dihilangkan ialah Hippoglossoides platessoides. Korelasi
kanonik pertama setelah berkurangnya peubah ini ialah 0.9510 dan seterusnya.
Setelah menghilangkan 6 peubah, nilai korelasi kanoniknya kurang dari 0.9.
Agar penurunan terlihat lebih jelas, dapat dilihat grafik pada Gambar 1.
Korelasi kanonik turun sangat cepat, setelah berkurangnya tujuh peubah, nilai
korelasi kanonik pertama mempunyai selisih yang besar dari korelasi kanonik awal.
Metode ini kurang baik untuk mengurangi peubah dari data Laut Barents.
Tabel 1

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Korelasi Kanonik Secara Langsung

Peubah yang
Dihilangkan
Hi_pl (x4)
Ga_mo (x18)
An_mi (x3)
Me_ae (x6)
Se_me (x16)
Ra_ra(x7)
Ly_va (x27)
Re_hi (x1)
Ma_vi (x12)

Korelasi
Kanonik
Pertama
0.9570
0.9510
0.9431
0.9298
0.9210
0.9124
0.9006
0.8855
0.8676
0.8315

Korelasi
Kanonik
Kedua
0.9024
0.9006
0.8978
0.8977
0.8682
0.8640
0.8607
0.8482
0.8130
0.8098

Korelasi
Kanonik
Ketiga
0.8788
0.8774
0.8682
0.8682
0.8639
0.8505
0.8358
0.8109
0.7884
0.7711

Korelasi
Kanonik
Keempat
0.6633
0.6528
0.6415
0.6204
0.6174
0.6093
0.5723
0.5692
0.5636
0.5628

13

Gambar 1 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik Secara Langsung
Untuk mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik melalui peubah
kanonik, langkah awal yang dapat dilakukan ialah mencari korelasi kanonik dan
peubah kanonik yang bersesuaian. Korelasi kanonik yang menjadi acuan utama
adalah korelasi kanonik terbesar yaitu korelasi kanonik pertama. Nilai mutlak dari
peubah kanonik terlampir pada Lampiran 5.
Tabel 2 Koefisien Peubah dari Peubah Kanonik Pertama
Peubah
Koefisien Peubah
Kanonik Pertama
Peubah
Koefisien Peubah
Kanonik Pertama
Peubah

Re_hi
0.0440
Ra_ra
0.0689
Bo_sa

Koefisien Peubah
Kanonik Pertama

-0.0007

Peubah

Le_ma

Koefisien Peubah
Kanonik Pertama

0.0013

An_de
-0.0192
Mi_Po
-2.9800
Cy_lu
0.3908
Se_ma
0.0445

An_mi
0.3425
Ar_at
0.0142
Cl_ha
0.0182
Tr_es
0.0019

Hi_pl
0.0040
No_rk
-0.0056
Se_me
0.0014
Ly_pa
0.2093

An_lu
0.0625
Lu_la
0.1138
Le_de
-0.0187
Ly_eu
-0.2237

Me_ae
0.0017
Ma_vi
0.0033
Ga_mo
0.0014
Ly_re
0.0398

14

Peubah
Koefisien Peubah
Kanonik Pertama

Ly_se
0.1784

Ly_es

Ly_va

0.5226

Be_gl

0.0392

-0.5218

Ca_re
0.1701

Tr_sp
0.0054

Pada Tabel 2 dapat terlihat bahwa nilai mutlak dari koefisien dari peubah
kanonik yang minimum adalah Boreogadus saida. Jadi, calon peubah yang akan
dihilangkan adalah Boreogadus saida. Korelasi Kanonik setelah pengurangan satu
peubah tersebut adalah korelasi kanonik pertama 0.9569 korelasi kanonik kedua
0.9023 korelasi kanonik ketiga 0.8625, dan korelasi kanonik keempat 0.6610. Tidak
ada perbedaan yang besar antara korelasi kanonik sebelum pengurangan peubah
Tabel 3

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Korelasi Kanonik Melalui Peubah Kanonik

Peubah yang
Dihilangkan

Bo_sa (x13)
Tr_sp (x30)
Ga_mo (x18)
Mi_Po (x8)
Se_me (x16)
Ly_eu (x23)
Le_de (x17)
Ly_re (x24)
Me_ae (x6)
Cl_ha (x15)
Le_ma (x19)
Ar_at (x9)
Hi_pl (x4)
Ma_vi (x12)
An_de (x2)
Ly_va (x27)
Se_ma (x20)
Ly_pa (x22)
No_rk (x10)
Ca_re (x29)
Re_hi (x1)
Tr_es (x21)

Korelasi
Kanonik
Pertama

Korelasi
Kanonik Kedua

Korelasi
Kanonik
Ketiga

Korelasi
Kanonik
Keempat

0.9570
0.9569
0.9569
0.9503
0.9502
0.9444
0.9406
0.9406
0.9406
0.9344
0.9344
0.9338
0.9334
0.9117
0.8959
0.8951
0.8909
0.8893
0.8892
0.8830
0.8817
0.8504
0.8462

0.9024
0.9023
0.9019
0.8999
0.8999
0.8992
0.8967
0.8900
0.8893
0.8477
0.8452
0.8449
0.8449
0.8443
0.8436
0.8431
0.8005
0.7511
0.7510
0.7446
0.7237
0.6937
0.6921

0.8788
0.8625
0.8613
0.8543
0.8541
0.8330
0.8016
0.7934
0.7934
0.7909
0.7621
0.7619
0.7306
0.7093
0.6745
0.5557
0.6348
0.5874
0.5775
0.4962
0.4902
0.4493
0.4489

0.6633
0.6610
0.6586
0.6401
0.6324
0.6146
0.6146
0.5991
0.5952
0.5858
0.5852
0.5814
0.5760
0.5709
0.5564
0.6745
0.5502
0.4570
0.4546
0.4511
0.4433
0.3195
0.3056

15

Gambar 2 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
Peubah dengan Analisis Korelasi Kanonik Melalui Peubah
Kanonik
dan korelasi kanonik setelah pengurangan peubah. Maka peubah Boreogadus saida
dihilangkan.
Hal yang sama dilakukan untuk mengurangi peubah kedua. Data lengkap nilai
mutlak koefisien peubah kanonik terdapat pada Lampiran 5. Korelasi kanonik pada
pengurangan peubah dapat dilihat pada Tabel 3.
Baris pertama pada Tabel 3 adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap.
Baris kedua adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah Boreogadus
saida. Baris ketiga adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah
Boreogadus saida dan Triglops pingelii. Baris keempat adalah korelasi kanonik
setelah mengurangi tiga peubah, yaitu Boreogadus saida, Triglops pingelii dan
Gadus morhua. Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-23 adalah korelasi kanonik
setelah mereduksi 22 peubah. Nilai mutlak dari peubah kanonik terdapat pada
Lampiran 5.
Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik, maka disajikan dalam bentuk
grafik pada Gambar 2. Nilai korelasi pada korelasi kanonik pertama selalu turun,
namun tidak terlalu besar. Penurunan paling besar terjadi setelah mengurangi
peubah Reinhardtius hippoglossoides. Maka, pengurangan peubah dianggap cukup
hingga Careproctus reinhardti. Korelasi yang diamati adalah korelasi kanonik
pertama yang merupakan korelasi kanonik terbesar. Sebanyak 20 peubah dapat
dihilangkan dengan menggunakan peubah kanonik. Selisih korelasi kanonik
pertama setelah pengurangan 20 peubah dengan korelasi kanonik 1 data awal adalah
0.0753.
Pengurangan Peubah dengan Analisis Komponen Utama
Langkah awal mengurangi peubah dengan analisis komponen utama adalah
melakukan standardisasi terhadap matriks data dengan cara mengurangi data asal
dengan rata-rata dan membaginya dengan standar deviasi pada tiap kolom, lalu
dicari komponen utamanya. Komponen utama yang digunakan adalah yang
bersesuaian dengan nilai eigen terkecil. Komponen utama didapat dari vektor eigen

16
matriks koragam data kelompok dua yang telah distandardisasi. Komponen utama
dan nilai eigen yang bersesuaian terlampir pada Lampiran 3 dan Lampiran 4.
Untuk memilih peubah yang akan dihilangkan adalah dengan mencari
korelasi tiap peubah dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen
terkecil. Peubah dengan korelasi terbesar dengan komponen utama yang
bersesuaian dengan nilai eigen terkecil adalah peubah yang akan dihilangkan.
Penurunan korelasi kanonik dapat terlihat pada Gambar 3. Setelah
berkurangnya peubah Lycodes esmarkii, terjadi penurunan yang cukup besar pada
korelasi kanonik pertama. Korelasi kanonik awal adalah sebesar 0.9570. Setelah
berkurang 23 peubah, korelasi kanonik pertama bernilai 0.8602. Terjadi penurunan
korelasi sebesar 0.0968. Penurunan korelasi ini cukup banyak dibandingkan dengan
menurunkan 22 peubah. Setelah peubah ke-22 dihilangkan, korelasi kanonik
pertama adalah sebesar 0.8889. Penurunan korelasi kanonik pertama adalah
sebanyak 0.0680. Berdasarkan hasil data, maka cukup memuaskan jika mengurangi
22 peubah.
Tabel 4 Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Komponen Utama
Peubah yang
Dihilangkan
Tr_sp (x30)
Le_ma (x19)
Lu_la (x11)
Ga_mo (x18)
Se_ma (x20)
Le_de (x17)
Mi_Po (x8)
Ly_eu (x23)
Ly_re (x24)
Ra_ra(x7)
Ca_re (x29)
No_rk (x10)
Bo_sa (x13)
Ly_eu (x23)
Ly_va (x27)
Cl_ha (x15)
Se_me (x16)
Ar_at (x9)
An_de (x2)
Me_ae (x6)
Ma_vi (x12)
Tr_es (x21)
Ly_es (x26)
An_lu (x5)

Korelasi
Kanonik
Pertama
0.9570
0.9569
0.9569
0.9559
0.9484
0.9426
0.9425
0.9424
0.9413
0.9398
0.9387
0.9365
0.9365
0.9362
0.9362
0.9314
0.9307
0.9126
0.9121
0.9091
0.9030
0.8931
0.8889
0.8602
0.8374

Korelasi
Korelasi
Korelasi Kanonik
Kanonik Kedua Kanonik Ketiga
Keempat
0.9024
0.9022
0.9022
0.9004
0.8974
0.8725
0.8657
0.8657
0.8652
0.8648
0.8611
0.8605
0.8592
0.8587
0.8587
0.8493
0.8492
0.8437
0.8437
0.8436
0.7657
0.7558
0.7472
0.7447
0.5570

0.8788
0.8697
0.8627
0.8581
0.8471
0.8369
0.8323
0.8323
0.8323
0.8218
0.8210
0.8018
0.8014
0.8014
0.8014
0.8014
0.7838
0.7427
0.6778
0.6673
0.6188
0.6102
0.4457
0.4156
0.3786

0.6633
0.6629
0.6585
0.6573
0.6344
0.6341
0.6206
0.6143
0.6142
0.6142
0.5865
0.5860
0.5780
0.5780
0.5768
0.5735
0.5731
0.4551
0.4550
0.4524
0.4459
0.4451
0.3887
0.3655
0.1037

17

Gambar 3

Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu
Peubah dengan Analisis Komponen Utama

Tabel 4 menunjukkan nilai korelasi kanonik pertama, korelasi kanonik
kedua, korelasi kanonik ketiga dan korelasi kanonik keempat pengurangan peubah
dengan analisis komponen utama. Secara umum, keempat korelasi mengalami
penurunan setelah berkurangnya peubah satu per satu. Baris pertama adalah nilai
korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua adalah nilai korelasi kanonik
setelah berkurangnya satu peubah, baris ketiga adalah nilai korelasi setelah
berkurangnya dua peubah, dan seterusnya.

Pengurangan Peubah dengan Analisis Procrustes
Nilai korelasi kanonik pada setiap pengurangan peubah dan peubah-peubah
yang dihilangkan dapat diamati pada Tabel 5. Ukuran Procrustes terlampir pada
Lampiran 6.
Baris pertama adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua
adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah Lycodes esmarkii. Baris
ketiga adalah korelasi kanonik setelah mengurangi peubah Lycodes esmarkii dan
Lycodes seminudus. Baris keempat adalah korelasi kanonik setelah mengurangi tiga
peubah. yaitu Lycodes esmarkii, Lycodes seminudus dan Benthosema glaciale.
Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-26 adalah korelasi kanonik setelah
mengurangi 25 peubah.

18

Gambar 4 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu Peubah
dengan Analisis Procrustes
Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik pertama, maka disajikan
dalam bentuk grafik pada Gambar 4. Penurunan korelasi paling besar terjadi saat
mengurangi Hippoglossoides platessoides dalam data sehingga Hippoglossoides
platessoides tidak dihilangkan hanya sampai Mallotus villosus. Selisih korelasi
kanonik pertama setelah mengurangi Mallotus villosus peubah adalah 0.0618.
Tabel 5

Korelasi Kanonik Setelah Pengurangan Peubah dengan Analisis
Procrustes

Peubah yang
Dihilangkan

Ly_es (x26)
Ly_se (x25)
Be_gl (x28)
An_lu (x5)
Ly_eu (x23)
Cy_lu (x14)
Ly_re (x24)
Ly_pa (x22)
An_mi (x3)
Lu_la (x11)
Ca_re (x29)
An_de (x2)
Ra_ra(x7)
No_rk (x10)

Korelasi
Kanonik
Pertama

Korelasi
Kanonik
Kedua

Korelasi
Kanonik
Ketiga

Korelasi
Kanonik
Keempat

0.9570
0.9564
0.9564
0.9552
0.9552
0.9546
0.9515
0.9513
0.9503
0.9439
0.9429
0.9389
0.9388
0.9363
0.9363

0.9024
0.9021
0.9009
0.8995
0.8993
0.8986
0.8906
0.8905
0.8898
0.8873
0.8856
0.8842
0.8814
0.8768
0.8756

0.8788
0.8729
0.8617
0.8594
0.8189
0.8186
0.8185
0.8123
0.8095
0.8091
0.8088
0.8064
0.7993
0.7959
0.7957

0.6633
0.6512
0.6486
0.6454
0.5784
0.5780
0.5638
0.5547
0.5543
0.5501
0.5501
0.5489
0.5485
0.5080
0.4997

19
Peubah yang
Dihilangkan
Re_hi (x1)
Ly_va (x27)
Re_hi (x1)
Le_de (x17)
Se_ma (x20)
Cl_ha (x15)
Ar_at (x9)
Tr_sp (x30)
Le_ma (x19)
Mi_Po (x8)
Ma_vi (x12)
Hi_pl (x4)

Korelasi
Kanonik
Pertama

Korelasi
Kanonik
Kedua

Korelasi
Kanonik
Ketiga

Korelasi
Kanonik
Keempat

0.9319
0.9190
0.9319
0.9184
0.9136
0.9132
0.9059
0.9035
0.9024
0.9024
0.8952
0.8319

0.8591
0.8490
0.8591
0.8457
0.8023
0.7815
0.7601
0.7586
0.7407
0.7407
0.7403
0.6852

0.7504
0.7504
0.7504
0.7407
0.6611
0.6464
0.6463
0.6420
0.6420
0.6381
0.6364
0.6142

0.4920
0.4866
0.4920
0.4850
0.1855
0.1653
0.1364
0.1357
0.1354
0.1346
0.1218
0.0546

Eksplorasi Peubah Berdasarkan Pengurangan Peubah dengan Analisis
Korelasi Kanonik, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes
Gambar 5 menunjukkan penurunan korelasi kanonik pertama dengan semua
metode. Terlihat analisis yang paling banyak mengurangi peubah adalah dengan
analisis Procrustes yang mengurangi 24 peubah. Analisis komponen utama
mengurangi 22 peubah dan peubah kanonik mengurangi paling sedikit yaitu 20
peubah melalui peubah kanonik dan 8 peubah dengan cara langsung. Penurunan

Gambar 5 Penurunan Korelasi Kanonik Pertama Setiap Berkurang Satu Peubah
dengan Semua Analisis

20
korelasi kanonik paling sedikit adalah dengan analisis Procrustes dan yang paling
banyak adalah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung.
Saat mengurangi satu peubah sampai 14 peubah, nilai korelasi kanonik
pertama pengurangan peubah dengan metode analisis korelasi kanonik melalui
peubah kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes tidak mengalami
banyak penurunan yaitu masih bernilai 0.93, tapi dengan analisis korelasi kanonik
secara langsung telah banyak menurunkan nilai korelasi kanonik pertama yang
hanya mengurangi 8 peubah, yaitu bernilai 0.86. Penurunan paling sedikit dengan
menggunakan analisis Procrustes sedangkan dengan analisis korelasi kanonik dan
analisis komponen utama tidak berbeda jauh. Saat mengurangi 15 peubah,
pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik mengalami banyak
penurunan, nilai korelasi kanoniknya sekitar 0.93, sedangkan dengan analisis
Procrustes dan analisis komponen utama hanya berkurang sedikit, nilai korelasi
kanoniknya sekitar 0.91. Saat mengurangi 16 peubah sampai 22 peubah, nilai
korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah
tidak terlalu besar, yaitu bernilai sekitar 0.89, sedangkan dengan analisis komponen
utama dan analisis Procrustes masih bernilai sekitar 0.91. Pengurangan peubah
sebanyak 23 peubah dan 24 peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah tidak
lebih dari 0.90, akan tetapi penurunannya tidak banyak. Namun dengan analisis
Procrustes masih di atas 0.90. Pengurangan peubah pada data Laut Barents
(Anonim 1997) paling baik dilakukan dengan analisis Procrustes seperti yang
disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Nilai Korelasi Kanonik pada Pengurangan Peubah

Banyaknya
Peubah yang
dihilangkan

10
17
22
25
26

Nilai Korelasi
Nilai Korelasi
Kanonik
Kanonik
Nilai Korelasi
Nilai Korelasi
Setelah
Setelah
Kanonik
Kanonik
Pengurangan
Pengurangan
Setelah
Setelah
Peubah dengan
Peubah dengan
Pengurangan
Pengurangan
Analisis
Analisis
Peubah dengan
Peubah dengan
Korelasi
Korelasi
Analisis
Analisis
Kanonik
Kanonik
Komponen
Procrustes
Melalui
Secara
Utama
Peubah
Langsung
Kanonik
0.9406
0.9406
0.9503
0.8187
0.8951
0.9314
0.9314
0.8816
0.903
0.9059
0.8602
0.9023
0.8952

SIMPULAN
Metode yang paling baik digunakan untuk pengurangan peubah pada data
Laut Barents (Anonim 1997) ialah dengan analisis Procrustes karena metode ini

21
paling banyak mengurangi peubah dan penurunan nilai korelasi kanonik pertama
juga yang paling sedikit. Yang kedua ialah dengan analisis komponen utama karena
peubah yang dihilangkan cukup banyak, namun nilai korelasi kanonik pertama
tidak lebih besar dari korelasi kanonik setelah pengurangan peubah dengan analisis
Procrustes. Analisis korelasi kanonik dengan pengurangan langsung peubah satu
per satu memberikan paling sedikit pengurangan peubah dan penurunan nilai
korelasi kanonik pertama cukup besar. Analisis korelasi kanonik melalui peubah
kanonik juga tidak banyak mengurangi peubah dibandingkan dengan analisis
komponen utama dan analisis Procrustes.

DAFTAR PUSTAKA
Anonim. 1997. Multivariate Analysis of Ecological Data - Greenacre and
Primicerio Barents Fish Data Set. [internet]. Tersedia pada:
http://www.multivariatestatistics.org/data.html.
Bakhtiar T, Siswadi. 2011. Orthogonal Procrustes Analysis: Its Transformation
Arrangement and Minimal Distances. IJAMAS 20:16-24.
Bakhtiar T, Siswadi. 2015. On the Symmetrical Property of Procrustes Measure of
Distance. IJPAM. 99(3):315-324. doi:10.12732/ijpam.v99i3.7.
Hotelling H. 1936. Relations Between Two Sets of Variates. Biometrika. 28. 321377.
Johnson RA, Wichern DW. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis. 6th Ed.
New York: Pearson Education.
Jolliffe IT. 2002. Principal Component Analysis. 2nd Ed. New York: SpringerVerlag.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A. penerjemah;
Hardani HW. editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications. 5th Ed.
Rencher AC, Christensen WF. 2012. Methods of Multivariate Analysis. 3rd Ed. New
York: John Wiley and Sons.
Timm NH. 2002. Applied Multivariate Analysis. New York: Springer-Verlag.

22
Lampiran 1 Data Lingkungan Laut Barents
Nomor Identitas
Wilayah
356
357
358
359
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407

Garis Lintang
(y1)
71.10
71.32
71.60
71.27
71.52
71.48
71.10
71.03
71.32
71.30
71.22
71.58
71.68
71.72
72.02
72.25
72.45
72.72
72.83
72.90
72.62
72.35
72.08
71.82
71.55
71.93
72.22
72.48
72.75
73.02
73.28
73.62
73.67
73.87
73.93
73.67
73.38
73.17
72.92
72.6