Statistika
R. Fenny Syafariani, S.Si., M.Stat.
1.1. Arti dan Peran Statistika dalam Penelitian
1.2. Pengelompokan Statistika
1.3. Skala Pengukuran
1.4. Beberapa Ukuran Statistika Penting
1.5. Populasi & Sampel
Ilmu yang mempelajari tata cara (metode)
pengumpulan
data, analisis
data, dan
interpretasi
hasil
analisis
(penarikan
kesimpulan) untuk mendapatkan informasi
guna
membantu
proses
pengambilan
keputusan
DEFINISI STATISTIK
PERANAN STATISTIKA
STATISTIKA
METODE PENGUMPULAN DATA
SUMBER
DATA
METODE ANALISIS DATA
DATA
EMPIRIK
INFORMASI
EMPIRIK
AKURAT !
Statistika Deskriptif: statistika yang menggunakan data
pada suatu kelompok untuk menjelaskan atau menarik
kesimpulan mengenai kelompok itu saja
◦
◦
◦
Ukuran Lokasi: modus, mean, median, dll
Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll
Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks
Fase/bagian/tahapan dari ilmu statistika yg hanya
bertujuan utk.menggambarkan/mendeskripsikan serta
menganalisis suatu kelompok yg diberikan tanpa
melakukan proses penarikan kesimpulan.
Contoh : misalnya jika kita mengatakan bahwa rata-rata
tinggi sekumpulan laki-laki adalah 69 inci (172,5
cm),bukan berarti bahwa semua laki-laki dalam
kumpulan itu tingginya 69 inci. Jadi rata-rata ini
menggambarkan seluruh kumpulan laki-laki.
Statistika Inferensi (Statistika Induksi): statistika yang
menggunakan data dari suatu sampel untuk menarik
kesimpulan mengenai populasi dari mana sampel
tersebut diambil
Fase/bagian/tahapan
dari
ilmu
statistika
yg
berhubungan dengan syarat-syarat dimana kesimpulankesimpulan yg ditarik (inferensi) tsb.dinyatakan valid .
Oleh krn penarikan kesimpulan seperti ini tdk. memiliki
kepastian mutlak /istilahnya probabilitas sering kali
digunakan dlm menyatakan kesimpulan tsb.
Contoh : misalnya jika kita mempunyai 2 kel. dimana
rata-rata tinggi sekumpulan laki-laki pd kel.1 adalah 69
inci (172,5 cm), dan kel.2 adalah 70 inci , maka dapat
ditarik kesimpulan dari kedua kel.tsb mempunyai lakilakinya mempunyai ketinggian (69+70)/2=69,5(173,75
cm). HARUS ADA PEMBANDINGNYA.
Sesuatu yang berdasarkan kriteria tertentu
dijadikan sebuah yang karakteristiknya akan
diukur.
Misal : Individu, keluarga, waktu, daerah,
rumah, dsb.
Variabel adalah setiap karakteristik yang :
a. Bisa memberikan sekurang-kurangnya dua
hasil pengukuran / perhitungan yang berbeda.
b. Bisa diklasifikasikan ke dalam
sekurangkurangnya dua klasifikasi yang berbeda.
Bentuk variabel kuantitatif:
1. Variable Diskrit (Hasil Perhitungan)
Contoh : Jumlah peluru, Jumlah Penduduk.
2. Variabel Kontinu (Hasil Pengukuran)
Contoh : Tinggi badan, Suhu badan.
Bentuk variabel kualitatif :
1. Tanpa Peringkat
Contoh : a. Etnik : Sunda, Jawa, Batak,
b. Gender : Laki-laki, Perempuan
2. Berperingkat
Contoh : a. Kelas 1, kelas 2, kelas 3,dst.
b. Ranking 1, ranking 2, ranking 3
Keterangan / informasi yang menunjukan
fakta, baik kuantitatif maupun kualitatif.
Diperoleh dari hasil pengukuran.
1.
2.
Contoh data Diskrit
- Keluarga A mempunyai lima anak laki-laki
dan tiga anak perempuan.
- Kabupaten B sudah membangun 85 gedung
sekolah.
Contoh Data Kontinu
- Tinggi badan seseorang, misal 155cm.
- Kecepatan mobil 60 km/jam.
3. Contoh Data Intern
Seorang pengusaha mencatat segala aktivitas
perusahaanya sendiri, misalnya : keadaan
pegawai, pengeluaran, keadaan barang di
gudang, hasil jualan, keadaan produksi
pabriknya dan segala macam aktivitas yang
terjadi didalamnya.
4. Data dari sumber lain diluar perusahaan tadi
yaitu sebagai perbandingnya saja.
1. Skala Pengukuran Nominal
Bilangan semata-mata hanya merupakan
lambang
untuk
membedakan
terhadap
bilangan-bilangan seperti ini tidak berlaku
hukum aritmetika, misalnya tidak boleh
menjumlahnya, mengurangkan. Mengalikan
maupun membagi.
Contoh : - Pekerjaan : ABRI, Pedagang, PNS.
- Golongan Darah : A, B, AB, O
2. Skala Pengukuran Ordinal
Bilangan mempunyai dua fungsi :
a. Sebagai lamang untuk membedakan
b. Untuk mengurutkan peringkat / ranking
Contoh : (1) Sangat Bagus
(2) Bagus
(3) Cukup Bagus
(4) Jelek
(5) Sangat Jelek
- SD Kelas 1
- SD Kelas 2
-SD Kelas 3
- SD Kelas 4
- SD Kelas 5
- SD Kelas 6
3. Skala Pengukuran Interval
Bilangan mempunyai tiga fungsi :
1. Sebagai lambang untuk membedakan
2. Untuk mengurutkan peringkat / ranking
3. Bilangan bisa memperhatikan jarak / interval
Ciri utama : Titik nol bukan titik mutlak, tetapi
ditentukan berdasarkan perjanjian
Contoh : Skala pada termometer
4. Skala Pengukuran Rasio
Fungsi bilangan sama dengan variabel interval.
Ciri utama : Nol adalah mutlak. Nilai nol artinya
kosong
Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil
menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif
maupun kualitatif mengenai karakteristik
tertentu dari semua anggota kumpulan yang
lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifatsifatnya.
Proses memilih sebagian dari objek yang ada
dalam populasi.
Alasan dilakukan sampling
Dapat menghemat biaya
Dapat menghemat waktu
Untuk sumber daya yang terbatas, pengambilan sampel dapat
memperluas cakupan studi
Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat
menghemat produk
Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan,
pengambilan sampel adalah satu-satunya pilihan
Satu Tahap
Sampel Acak Sederhana
(simple random sampling)
Sampel Acak Sistematis
(systematic random sampling)
Sampel Acak Stratifikasi
(stratified random sampling)
Probabilitas
Metode Penentuan
Sampel Secara Acak
Dua Tahap
Atau Lebih
Non Probabilitas
Sampel Kuota
(quota sampling)
Metode Penentuan
Sampel Tidak
Secara Acak
Sampel Bola Salju
(snowball sampling)
Sampel Sembarang
(convenience)
Sampel Purposif
(purposive sampling)
Sampel Acak Klaster
(cluster random sampling)
Sampel Acak Bertahap
(multistage random sampling)
Sampel Wilayah
(area random sampling)
Hubungan antara Populasi, Populasi Sasaran & Kerangka Sampel
Aspek (orang,
masyarakat,
komunitas) yang
ingin kita
ketahui
pendapatnya
POPULASI
Definisi Spesifik
Dari Populasi
Nama semua
Anggota dalam
Populasi sasaran
Responden yang
Akan diwawancarai
POPULASI
SASARAN
KERANGKA
SAMPEL
SAMPEL
KERANGKA SAMPEL:
Daftar nama semua anggota
populasi.
Misalnya: daftar nama
semua buruh yang ada di
kawasan industri Tangerang
POPULASI: semua anggota
dari obyek yang diteliti.
Misalnya semua buruh
yang bekerja di kawasan
industri Tangerang
ELEMEN: satuan obyek dari
populasi yang diamati
(diukur).
Misalnya: buruh pabrik
UNIT SAMPEL: unit yang
menjadi dasar dalam
penarikan sampel.
Misalnya, dalam survey
buruh, unit yang dipakai
adalah pabrik / perusahaan
yang ada di kawasan
industri Tangerang
SAMPEL: bagian dari
populasi atau representasi
dari populasi.
Misalnya, sekian ratus
buruh yang diambil dari
populasi buruh di kawasan
industri Tangerang
2.1. Bentuk tabel / daftar yang standar
2.2. Macam-macam tabel
2.3. Macam-macam diagram / grafik
Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang
disusun sedemikian rupa menurut klasifikasi
(penggolongan datanya).
Macam-macam tabel :
1. Tabel baris dan kolom
2. Tabel kontigensi
3. Tabel distribusi frekuensi
sel
Judul Baris
sel
sel
Pembentukan modal guna investasi pada pembiayaan pembangunan dewasa ini memegang
peranan penting. Untuk itu, ahli-ahli ekonomi telah memperkirakan besarnya
pembentukan modal Indonesia untuk tahun 1999 sampai dengan 2003.
Keebutuhan pembentukan modal tersebut terbagi menjadi pembiayaan yang berasal
dari dalam negeri dan luar negeri.
Pembiayaan dalam negeri terdiri dari tabungan pemerintah dan tabungan masyarakat.
Besarnya tabungan pemerintah untuk tahun 1999 sampai dengan 2003 : 1.956; 2.282;
2.663; 3.102 dan 3.618 triliun rupiah.
Besarnay tabungan masyarakat, berturut-turut : 2.934; 3.423; 3.995; 4.654; dan
5.428 triliun rupiah.
Sedangkan pemasukan dana luar negeri adalah : 1.151; 1.343; 1.559; 1.825; dan 2.127
triliun rupiah.
Tahun
Sumber Dana
Dalam Negeri
Jumlah
Luar Negeri
Tabungan
Pemerintah
Tabungan
Masyarakat
1999
1956
2934
1151
6041
2000
2282
3423
1343
7048
2001
2663
3995
1559
8217
2002
3102
4654
1825
9581
2003
3618
5428
2127
11173
Jenis
Kelamin
SD
SLTP
SLTA
JUMLAH
Laki-laki
4.758
2.795
1.459
9.012
Perempuan
4.032
2.116
1.256
7.404
Jumlah
8.790
4.911
2.715
16.416
Merupakan gambar-gambar yang menunjukan
secara visual data berupa angka, yang biasanya
berasal dari tabel yang dibuat
Diagram Batang
Diagram Garis
Diagram Lambang / simbol
Diagram Lingkaran
Diagram Peta / Kartogram
Diagram Pencar / Titik
Data yang variabelnya berbentuk kategori atau
atribut sangat tepat disajikan dalam diagram
batnag. Untuk menggambarkan diagram batang
diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang
berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi
menjadi beberapa skala bagian yang sama,
demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada
sumbu tegak dan sumbu datar dipakai untuk
perlu sama. Kalau diagram dibuat tegak, maka
sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut
atau waktu, dan nilai data digambar pada
sumbu tegak.
TINGKAT
SEKOLAH
BANYAK MURID
LAKI-LAKI
JUMLAH
PEREMPUAN
SD
875
687
1562
SMP
512
507
1019
ST
347
85
432
SMA
476
342
818
SMEA
316
427
743
JUMLAH
2.526
2048
4574
Untuk menggambarkan keadaan yang serba
terus atau berkesinambungan, misalnya
produksi minyak tiap tahun, jumlah penduduk
tiap tahun, keadaan temperatur badan tiap
jam, sebaiknya digunakan diagram garis.
Sumbu datar menyatakan waktu, dan sumbu
tegak menyatakan nilai data
Tahun
Barang Yang
Digunakan
1991
376
1992
524
1993
412
1994
310
1995
268
1996
476
1997
316
1998
556
1999
585
2000
434
Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua
variabel dengan nilai kuantitatif, diagramnya
dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat
dan gambarnya akan merupakan kumpulan
titik-titik yang terpencar.
Menurut Departemen Perhubungan, Direktorat Perhubungan Udara,
terdapat dua kota terkering dan dua kota terbasah dihitung menurut
rata-rata turun hujan (dalam mm) setiap bulan mulai dari Januari s/d
Desember. Yg paling kering adalah Kupang dengan rata-rata untuk
periode 1931-1941 sebesar : 85,85,62,27,21,10,5,0,1,7,22 dan 38. Yg
berikutnya adalah Banyuwangi,tercatat untuk periode 1931-1960. Untuk
enam bulan pertama rata-ratanya 179,157,131,90,75 dan 78. Adapun rataratanya untuk Juli s/d Desember adalah 61,41,35,53,76 dan 127. Kedua
kota terbasah adalah Bogor dan Padang. Bulan-bulan Januari s/d Juli
,kota Bogor mencatat rata-rata turun hujan 426,355,376,442,373,272 dan
251 sedangkan utk. Padang 355,274,327,412,299,245 dan 246. Untuk bulanbulan
sisanya
(Agustus
s/d
Desember)
masing-masing
228,312,383,380,341 untuk Bogor dan 337,372,489,501 dan 464 utk.
Padang, Catatan untuk kedua kota terakhir ini meliputi periode 19311960.
Pertanyaan : 1. Buatlah tabel / daftar yg baik untuk data ini ?
2. Buatlah diagram / grafik yg sesuai dengan data tersebut ?
Pertemuan ke 3
Membuat Tabel / Daftar Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Histogram dan Poligon Frekuensi
Model Populasi
Untuk Membuat daftar distribusi frekuensi dengan
panjang kelas yang sama dilakukan sebagai berikut :
a. Tentukan rentang, data terbesar dikurangi data terkecil
b. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan.
Aturan yang biasa digunakan adalah aturan Sturges,
yaitu :
Banyak kelas = 1 + (3,3)log n (n= Banyaknya data)
c. Tentukan panjang kelas interval p. Ini dengan aturan,
P = rentang / banyak kelas
d.
Pilih Ujung bawah kelas interval pertama. Biasanya
yang diambil adalah data terkecil
79
49
48
74
84
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
80
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
82
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
a.
b.
Rentang = data terbesar – data terkecil = 9935=64
Banyak kelas = 1 + (3,3)log 80
=1+(3,3)Log(1,9031)=7,2802
d. Ujung bawah kelas interval pertama, 31
e. Dengan p=10, maka kelas pertama adalah 31-40,
kelas 41-50, kelas ketiga 51-60 dan seterusnya.
Nilai Ujian
Frekuensi
31-40
2
41-50
3
51-60
5
61-70
14
71-80
24
81-90
20
91-100
12
JUMLAH
80
NILAI UJIAN STATISTIKA
UNTUK 80 MAHASISWA
Nilai Ujian
Frekuensi
35-44
2
45-54
3
55-64
8
65-74
23
75-84
20
85-94
19
95-104
4
JUMLAH
80
BANYAK SISWA DI DAERAH A
MENURUT UMUR DALAM
TAHUN
Nilai Ujian
Frekuensi
Kurang dari 15
2.456
15 sampai 20
4.075
20 sampai 30
3.560
30 sampai 40
3.219
40 danb lebih
4.168
Jumlah
17.478
Dari distribusi frekuensi absolut, akan dibuat
data dalam bentuk persen. Tabel Distribusi
Frekuensi Absolut jadi Distribusi Frekuensi
Relatif.
Nilai Ujian
Frekuensi
31-50
2.50
41-50
3.75
51-60
6.25
61-70
17.50
71-80
30.00
81-90
25.00
91-100
15.00
Jumlah
100.00
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF KURANG DARI)
NILAI UJIAN
F kum
Kurang dari 31
0
Kurang dari 41
2
Kurang dari 51
5
Kurang dari 61
10
Kurang dari 71
24
Kurang dari 81
48
Kurang dari 91
68
Kurang dari 101
80
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF KURANG DARI)
NILAI UJIAN
F KUM
Kurang dari 31
0
Kurang dari 41
2.50
Kurang dari 51
6.25
Kurang dari 61
12.50
Kurang dari 71
30.00
Kurang dari 81
60.00
Kurang dari 91
85.00
Kurang dari 101
100.00
NILAI UJIAN
F KUM
31 atau lebih
80
41 atau lebih
78
51 atau lebih
75
61 atau lebih
70
71 atau lebih
56
81 atau lebih
32
91 atau lebih
12
101 atau lebih
0
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF ATAU LEBIH)
NILAI UJIAN
F KUM
31 atau lebih
100.00
41 atau lebih
97.50
51 atau lebih
93.75
61 atau lebih
87.50
71 atau lebih
70.00
81 atau lebih
40.00
91 atau lebih
15.00
101 atau lebih
0
Untuk menyajikan data yang telah disusun
dalam tabel distribusi frekuensi menjadi grafik,
seperti biasa dipakai sumbu mendatar untuk
mwnyatakan kelas interval, dan sumbu tegak
untuk menyatakan frekuensi baik absolut
maupun relatif. Yang diusulkan pada sumbu
datar adalah berkas-berkas kelas interval.
Jika semua data dalam populasi dapat
dikumpulkan lalu dibuat daftar distribusi
frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva
frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan
sifat atau karakteristik populasi.
Kurva ini merupakan model populasi yg akan
ikut menjelaskan ciri-ciri populasi.
Model populasi yg sering dikenal
a. Model normal / simetris
b. Model positif
c. Model negatif
Suatu penelitian dilakukan oleh pejabat dari Badan Koordinasi Penanaman Modal ( BKPM ) terhadap 100 perusahaan.
Salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut. Kalau X
adalah modal dalam jutaan rupiah , maka nilai X adalah sebagai berikut :
75
80
58
80
86
76
65
75
76
72
86
83
82
88
68
66
63
60
69
80
66
87
73
58
76
74
85
96
60
72
86
79
95
84
41
76
87
74
74
56
50
80
66
96
80
68
79
73
72
73
78
77
60
87
40
82
77
87
76
82
66
81
84
72
63
59
76
52
57
78
Pertanyaannya :
1). Buatlah tabel distribusi frekuensinya !
2). Buatlah distribusi frekuensi relatif dan kumulatifnya !
3). Buatlah grafik kumulatif !
4). Buatlah histogram dan poligon frekuensinya !
5). Apa kesimpulannya ?
79
92
80
65
90
75
74
98
64
45
68
57
79
79
83
35
76
88
67
75
60
52
63
80
94
34
78
64
58
56
4.1. Rata-rata Hitung , Rata-rata Hitung Diboboti
4.2. Rata-rata Ukur , Rata-rata Harmonik
4.3. Modus
Definisi :
Apabial dari populasi berukuran N, kita
menghitung / mengukur variabel X yang
mempunyai skala pengukuran interval / rasio
dan hasil pengukuran / penghitungan adalah
x1, x2, …, x , maka rat-rata hitung didefinisikan
N
No
X
1
87
2
90
3
68
4
75
5
84
6
87
7
94
8
68
9
78
10
84
No X1
f1
1
80
2
2
70
1
3
85
2
4
90
2
5
88
1
8
Ada suatu saat kita berhadapan dengan
bilangan-bilangan yang bobotnya berbeda.
Dalam keadaan demikian, rata-rata yang kita
gunakan adalah rata-rata dibobot.
Definisi :
Apabila dari sebuah populasi berukuran N,
kita menghitung / mengukur variabel X yang
tingkat pengukurannya adalah interval / rasio
dengan hasil pengukuran x1, x2, … , xN dam
masing-masing mempunyai bobot B1,B2, …,BN,
maka rata-rata dibobot adalah :
Mata
Kuliah
Nilai
SKS
A
A=4
3
B
B=4
3
C
C=3
3
D
A=4
2
E
C=2
2
13
Apabila data yang kita miliki mempunyai
selisih tetap, maka rata-rata yang sebaiknya
digunakan adalah rata-rata ukur.
Untuk data x1, x2, …., xn dalam sebuah sampel
berukuran n , maka rata-rata harmonik
ditentukan oleh :
n
H=
1
x
i
Sedangkan untuk data dalam daftar distribusi
frekuensi , maka rata-rata harmonik dihitung
dengan rumus :
f
H= f
i
i
xi
Dengan xi = tanda kelas interval , dan
fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi
Contoh :
1. Rata-rata harmonik untuk kumpulan data : 3,
5, 6, 6, 7, 10, 12, dengan n = 7, maka
7
5 , 87
H= 1 1 1 1 1
1
1
3
5
6
6
7
10
12
2.
NILAI UJIAN
fi
xi
fi
xi
31 - 40
1
35,5
0,0282
41 - 50
2
45,5
0,0440
51 - 60
5
55,5
0,0901
61 - 70
15
65,5
0,2290
71 - 80
25
75,5
0,3311
81 - 90
20
85,5
0,2339
91 - 100
12
95,5
0,1256
JUMLAH
80
-
1,0819
Jadi H = 80 / 1,0819 = 73,94
Rata-rata harmonik untuk nilai ujian itu = 73,94.
Digunakan untuk mrnyatakan fenomena yang
paling banyak terjadi. Seiring tidak kita sadari,
modus digunakan untuk tara-rata kualitatif.
Data nilai ujian 10 orang mahasiswa : 65, 75, 80,
83, 78, 90, 93, 95, 79 (tidak ada modusnya)
4.4. Median
4.5. Kuartil & Persentil
Adalah data yang letaknya ada di tengah, apabila
data tersebut diurutkan mulai dari data terkecil
sampai data terbesar. Arti dari nilai median adalah
50% data paling besar adalah sama dengan nilai
median dari 50% data paling kecil adalah sama
dengan nilai median.
Langkahnya :
1. Urutkan data mulia dari bilangan terkecil sampai
bilangan terbesar
2. Apabila jumlah data ganjil, maka nilai median
ditengah. Apabila jumlah data genap, mak 2 niali
ditengah dijumlah, kemudian dibagi 2.
Niali ujian statistika untuk 10 orang mahasiswa :
1.
75
80
77
81
90
78
83
85
95
85
Cari nilai medianya dan apa artinya:
Jawab :
1. Data urutkan dari nilai terkecil samapi terbesar
2. Karena jumlah data genap, maka 2 data di tengah
3. Dengan demikian 50% mahasiswa mempunyai nilai
statistika terbesar adalah 82 san 50% mahasiswa
mepunyai nilai statistika terkecil adalah 82.
Apabila seluruh bilangan diurutkan mulai data
terkecil sampai dengan data terbesar, kemudian
dibagi 4, maka kita peroleh nilai kuartil.
Kuartil ada 3 macam :
1.
Kuartil 1 (25%)
2.
Kuartil 2 (50%)
3.
Kuartil 3 (75%)
Langkahnya :
1. Urutkan data mulai dari nilai terkecil sampai
dengan niali terbesar.
2. Cari Indeks Kuartil denagn rumus
Apabila seluruh bilangan diurutkan mulai data
terkecil sampai dengan data terbesar,
kemudian dibagi 100, amak kita peroleh niali
persentil.
Dalam rangka untuk membantu pengusaha kecil telah diselidiki sebanyak 75 pedagang
Eceran dari suatu daerah , dimana salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah berapa
hasil penjualan yang diterimanya sebulan yang lalu dalam ribuan rupiah.
Hasil penyelidikan itu adalah sebagai berikut :
255,50 285,32
287,52 215,23 310,52 313,98 248,92 341,81
333,12 291,72
290,41 254,19 334,27 228,42 233,91 373,25
358,21 297,01
299,42 216,76 289,62 257,92 267,94 274,05
282,62 308,62
235,72 251,43 259,12 258,14 242,11 279,44
302,60 275,21
294,55 293,65 276,31 278,22 250,27 274,08
272,01 268,03
366,54 354,83 365,42 256,42 261,12 289,73
259,72 260,13
280,27 292,44 219,03 295,43 236,22 296,21
298,65 309,37
282,79 281,34 305,02 311,74 282,90 283,91
315,72 325,62
286,43 288,06 318,12 325,41 345,79 351,62
314,78 306,43
312,04
Pertanyaan : (1). Buatlah tabel dist. frekuensinya !
(2). Tentukan : a. Rata-rata
b. Median (Me)
c. K1 , K 2 , dan K3 (Kuartil)
d. P10 , P 27 , P90 (Persentil)
Dan berikan penjelasannya serta kesimpulan untuk setiap hasil yang didapat !
5.1. Rentang dan Rentang Antar Kuartil
5.2. Simpangan Rata-rata
5.3. Simpangan Baku
5.4. Varians
5.5. Koefisien Variasi
Ukuran variansi yang paling mudah adalah
rentang. Rentang adalah selisih bilangan
terbesar dengan bilangan terkecil.
Oleh karena itu apabial dalam analisis kita
memperoleh keterangan yang lebih banyak,
hindari Rentang.
Rentang= Data terbesar-data terkecil
Apabila kita berhadapan dengan variabel yang
mempunyai tingkat pengukuran orinal, maka
ukuran variansi yang baik adalah Rentang
Antar Kuartil yaitu :
RAK=K3-K1
Ket:
RAK = Rentang Antar Kuartil
K3 = Kuartil Ketiga
K1 = Kuartil Pertama
Nilai Ujian
frekuensi
50,00-59,99
8
60,00-69,99
10
70,00-79,99
16
80,00-89,99
14
90,00-99,99
10
100,00-109,99
5
110,00-119,99
2
Jumlah
65
Data dari tabel diatas diperolkeh
K1=Rp.68,25
K3=Rp90,75
Maka Rak =Rp.22,50
Ditafsirkan bahwa 50% dari data,
Nilainya paling rendah 68,25 dan
palingtinggi90,75dengan perbedaan
Paling tinggi 22,50.
Frekuensi relatif untuk kelas pertama diperoleh
dari : 2/80x100%=2,50%
Misalkan data hasil pengamatan berbentuk
x
x1,x2,..., xn dengan rata-rata . Selanjutnya
kita
x
tentukan
jarak antara data dengan rata-rata
Maka simpangan rata-rata /rata-rata simpangan
Rumusnya :
x
SR ( RS )
i
n
x
Simpangan Baku adalah ukuran statistik yang
menggambarkan keadaan keseragaman, makin
besar harga s, maka tidak seragam keadaanya.
Apabila s=0,artinya data harganya sama-sama.
Simpangan
baku
mempunyai
satuan
pengukuran, oleh karena itu simpangan baku
tidak bisa digunakan sebagai alat pembanding
keseragaman apabila satuan pengukuranya
tidak sama.
Apabila dari sebuah populasi berukuran N,
kita mengukur variabel X yang tingkat
pengukuranya sekurang-kurangnya interval
dengan hasil pengukuran x1, x2, …,xN, maka
variansinya adalah :
Apabila untuk variabel X kita bisa menghitung
rata-rata dan simpangan baku, maka koefisien
variansi adalah :
Ada tiga calon masing-masing datang dari tiga
sekolah tingkat akhir yg berbeda. Di
sekolahnya masing-masing calon A mendapat
nilai Matematika 83 sedangkan rata-rata
kelasnya 62 dan simpangan baku 16. Calon B
mendapat nilai 97 dengan rata-rata kelas 83
dan simpangan baku 23, sedangkan calon C
mendapat nilai 87 dengan rata-rata kelas 65
dan simpangan baku 14. Salah satu calon ini
akan dipilih berdasarkan sistem dengan ratarata 500 dan simpangan baku 100. Calon mana
sebaiknya yg didahulukan diterima ?
6.1. Momen
6.2. Kemiringan (Skewness)
6.3. Kurtosis
Misalkan diberikan variabel x dengan hargaharga x1, x2, ….,xn. Jika A = bilangan tetap dan
r = 0,1,2,…, maka momen ke-r sekitar A (m’r),
maka rumusnya :
mr'
r
x
A
(
)
i
n
Jika data telah disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, maka rumusnya berbentuk :
mr'
f (x A)
i
i
n
r
adalah ukuran yang menunjukan miring atau
tidaknya suatu kurva.
Dua buah kurva bisa saja berbeda, mungkin
saja mempunyai rata-rata hitung dan deviasi
standard yang sama. Perbedaan bentuk kurva
tersebut dikarenakan tingkat kemencengan
yang berbeda.
1.
2.
3.
Kurtosis adalah suatu ukuran yang menunjukan
keruncingan suatu kurva.
Ada 3 macam tingkat keruncingan :
Leptokurtic
Mezokurtic
Playtykurtic
Diberikan data : 5,4,4,6,3,8,10,8,3,2
Hitunglah :
a. Momen pertama, kedua, ketiga dan keempat
b. momen ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 sekitar
rata-rata
7.1. Analisis Regresi Linier Sederhana
7.2. Analisis Korelasi
7.3. Koefisien Determinasi
7.4. Regresi Linier Berganda
Definisi
Analisis regresi adalah analisis yang mengkaji pola
hubungan antara 2 variabel atau lebih yaitu antara
variabel bebas (independent variable) dan variable tak
bebas/terikat (dependent variable) yang dinyatakan
dalam suatu bentuk persamaan matematis yaitu
persamaan regresi yang tujuannya adalah untuk
meramalkan nilai variable tak bebas (Y) atas dasar
variable bebas (X) tertentu
Regresi Sederhana (simple regression) yaitu
analisis regresi yang hanya melibatkan 1 variabel
X.
◦ Regresi Linier : Regresi dengan bentuk
persamaan garis lurus
◦ Regresi Non Linier : regresi dengan bentuk
persamaan kuadratik, logaritmik, eksponensial,
dll.
Buat Hipotesis Komponen-komponen
penelitian
Estimasi Parameter-parameter modelnya
& b)
Evaluasi model dengan menguji parameterparameter tersebut
Gunakan model untuk melakukan prediksi
(a
Bentuk persamaan regresi :
Y
Regression Plot
Y = a + bX
a = intercept = Nilai Y pada X = 0
b = koefisien regresi
= rata-rata perubahan Y jika X
bertambah 1 unit
X = Variabel Bebas
Y = Variabel Tak Bebas
Y = a + bX
Yi
Error: ei
{
}
}
b = Slope
a = Intercept
X
Xi
Menghitung koefisien regresi
b
n XY X Y
n X 2 X 2
aY b X
Y b X
n
Analisis Korelasi adalah analisis yang mengkaji kuat
hubungan linier antara 2 variabel yang dinyatakan melalui
koefisien korelasi (r).
r
n X
n XY X Y
2
X n Y 2 Y
2
Besarnya koefisien korelasi –1 r 1
2
Arti besar nilai r
Jika r = 1 atau mendekati 1 maka hubungan antara 2 variabel
sangat kuat secara positif yaitu hubungan yang terjadi searah
yaitu apabila nilai X meningkat maka Y juga akan semakin
meningkat dan sebaliknya.
Jika r = -1 atau mendekati -1 maka hubungan antara 2 variabel
sangat kuat secara negatif yaitu hubungan yang terjadi berbalik
arah yaitu apabila nilai X meningkat maka akan diikuti dengan
penurunan Y atau sebaliknya.
Jika r = 0 atau mendekati 0 maka hubungan antara 2 variabel
tidak ada atau lemah maka dapat dikatakan tidak terdapat
hubungan antara X dan Y.
Y
r=0
X
Y
r = -1
X
Koesisien Determinasi
Untuk mengetahui seberapa besar pengaruh variabel X terhadap
variabel Y atau seberapa besar variasi Y dapat dijelaskan oleh X.
KD = r2 x 100%
Misalkan : r = 0.8 maka KD = 0.8 2 x 100% = 64%
artinya : Variabel Y dipengaruhi oleh variabel X sebesar 64%
sisanya 100-64 = 36% dipengaruhi faktor lain.
Definisi
Regresi Berganda (multiple
regression) yaitu analisis regresi yang
melibatkan lebih dari 1 variabel X
(independen).
Hubungan linier antara 1 variabel dependent
dengan 2 atau lebih variabel independent
Population
Y-intercept
Population
slopes
Random
error
Yi 0 1X 1i 2 X 2i k X ki i
Dependent
(response)
variable
Independent
(explanatory)
variables
X = Nilai ujian matematika mahasiswa FE-USAKTI
Y = Nilai ujian statistika mahasiswa FE-USAKTI
X
Y
:
7
6
8
9
10
5
4
9
7
3
: 6
8
9
7
9
6
5
8
8
4
a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapa nilai statistik
yang diperoleh kalau nilai matematika yang dicapai sebesar 8,5 ?
b. Hitung koefisiensi penentuan atau determinasi dan apa artinya?
c. Tulis persamaan regresi linear sederhana, berapa besarnya nilai
koefisien regresi? apa arti nilai ini ?
d. Berapa koefisien korelasinya ? apa artinya ?
8.1. Definisi Peluang
8.2. Beberapa Aturan Peluang
8.3. Pohon Peluang (Probability Tree)
Mengundi dengan sebuah mata uang logam
atau sebuah dadu merupakan contoh
eksperimen dari suatu peristiwa.
Untuk menyatakan peristiwa / peluang
digunakan huruf kapital.
Contoh :
Ambil eksperimen mengenai mencatat banyak
kendaraan yg melalui sebuah tikungan setiap
jam. Hasilnya bisa terdapat 0, 1, 2, 3,….buah
kendaraan setiap jam yg melalui tikungan
tersebut.
Definisi 1 : Dua peristiwa atau lebih dinamakan
saling eksklusif atau saling asing jika terjadinya
peristiwa yg satu mencegah terjadinya yg lain.
Contoh :
1. E misalkan barang yg dihasilkan rusak dan E
berarti barang yg dihasilkan tidak rusak.
2. Mata uang logam mempunyai dua muka yg
berlainan. Kita sebut saja muka G dan muka
H. maka peristiwa-peristiwa muka G yg
nampak dan muka H yg nampak sebagai
hasil undian dgn sebuah mata uang mrpk
dua peristiwa yg saling eksklusif.
Definisi 2 : Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di
antara N peristiwa yg saling eksklusif dan masing-masing terjadi
dengan kesempatan yg sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah :
P(E )
n
N
Contoh :
Sebuah kotak berisi 20 kelereng yg identik kecuali warnanya. Terdapat
5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau.
Kelereng dalam kotak itu diaduk baik-baik lalu diambil sebuah tanpa
melihat ke dalam kotak atau dengan mata tertutup. Maka peluang
mengambil kelereng berwarna merah = 5/20 = 0,25 ; peluang
mengambil yg berwarna kuning = 12/20 = 0,6 ; dan peluang mengambil
yg hijau = 3/20 = 0,15.
Definisi 3 : Kita perhatikan frekuensi relatif tentang
terjadinya
sebuah
peristiwa
untuk
sejumlah
pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit
dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan
diperbesar sampai tak hingga banyaknya.
Contoh :
Produksi semacam barang diperiksa 500 dan terdapat
yg rusak 22. Frekuensi relatif kerusakan produksi =
0,044. Selanjutnya periksa 2.000 dimana terdapat yg
rusak 82. Frekuensi relatifnya = 0,041. Lanjutkan proses
demikian, kalau mungkin hasil produksi diperiksa dan
dicatat berapa yg rusak. Bilangan yg didapat mrpk
peluang kerusakan barang yg diproduksi, misalnya
0,04 / 4% yg berarti dlm proses produksi yg cukup
lama dengan kondisi yg sama, maka dari setiap 100
barang yg dihasilkan terdapat 4 rusak.
P(A) = peluang (probabilitas) bahwa peristiwa
A akan terjadi
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) = 0 ; artinya A tidak mungkin terjadi
P(A) = 1 ; artinya A pasti terjadi
Eksperimen: Proses yang menghasilkan satu dan hanya
satu(output ) dari sejumlah pengamatan.
Outcome: Hasil pengamatan pada eksperimen.
Ruang sampel (Sample Space) : Kumpulan semua outcome
yang mungkin dalam suatu eksperimen.
◦
Eksperimen
Output
Outcome
Sample Spaces
Mengundi koin 1×
1×
Mengundi dadu
Mengundi koin 2×
2×
Mengikuti test
Menjadi mahasiswa
Sisi koin
Sisi dadu
Sisi koin
Hasil test
test
Alumn
Gambar, Angka
1, 2, 3, 4, 5, 6
GG, GA, AG,
AA
Lolos, Gagal
Gagal
Lulus, DO
S = {Gambar, Angka}
S= {1,2,3,4,5,6}
S= {GG,GA,AG,AA}
S = {Lolos, Gagal}
Gagal}
S = {Lulus, DO}
Event / kejadian: Kejadian atau peristiwa yg
merupakan himpunan bagian dari ruang sampel .
Elementary Event: event yang tidak dapat dipecah
lagi menjadi event lain.
Contoh : Mata uang logam hanya mempunyai 2
bagian yaitu MUKA dan BELAKANG.
Mutually Exclusive Events: adalah kejadian-kejadian yang tidak
mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang satu meniadakan kejadian
yang lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi secara simultan
(tidak secara bersamaan). Apabila X dan Y mutually exclusive, maka
P(X∩Y) = 0
Contoh :
1. Jika X adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As dari sebuah
tumpukan kartu” dan Y adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu Raja”,
maka P(X) = 4/52 =1/13 , dan P(Y) = 4/52 = 1/13. Sehingga peluang
terambilnya salah satu kartu As atau Raja dalam 1x pengambilan adalah
P(X + Y) = P(X) +P(Y) = 1/13 + 1/13 = 2/13.
Oleh karena kartu As dan Raja kedua-duanya tdk dpt ditarik sekaligus dlm 1x
pengambilan, maka peristiwa ini namanya peristiwa saling eksklusif.
2. Jika X adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As” dari sebuah
tumpukan kartu dan Y adalah peristiwa”penarikan sebuah kartu sekop
(spade)”, maka X dan Y bukan merupakan peristiwa saling eksklusif
krn kartu sekop dapat diambil dlm 1x pengambilan.
Jadi peluang terambilnya kartu As atau sekop atau kedua-duanya adalah
P(X +Y) = P(X) + P(Y) – P(XY) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13
Independent Events: adalah kejadian-kejadian
satu sama lain tidak saling mempengaruhi.
Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu
kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau
tidak terjadinya kejadian lainnya.
P(X|Y) = P(X) dan P(Y|X) = P(Y)
P(X|Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi
apabila diketahui Y telah terjadi.
Kenyataannya, kejadian-kejadian bebas ini
jarang terjadi, karena pd dasarnya antara
kejadian yg satu dgn lainnya saling
mempengaruhi baik secara langsung maupun
tidak.
Contoh :
1. Kejadian pasang surut Kali Ciliwung dgn
harga motor Honda di Jakarta.
2. Banyaknya hujan di Sumatra dgn naiknya
produksi padi di Jawa.
1. A menyatakan si X akan hidup dlm tempo 30 thn lagi.
B menyatakan si Y akan hidup dlm tempo 30 thn lagi.
Diberikan P(A)=0,65 dan P(B)=0,52
Jawab : P(A)=P(X)=0,65 , P(B)=P(Y)=0,52 , maka P(si X dan si Y
dua-duanya akan hidup dlm tempo 30 thn lagi)=0,65.0,52=0,338.
2. Satu mata uang logam Rp 500,- dilemparkan ke atas sebanyak 2x.
Jika X adl.lemparan pertama yg mendapat gambar burung (B), Y
adl.lemparan kedua yg mendapatkan gambar burung (B),
berapakah P(X∩Y) ?
Jawab : Krn pd pelemparan pertama hasilnya tdk mempengaruhi
pelemparan kedua, P(X)=P(B)=1/2 dan P(Y)=P(B)=1/2, maka
P(X∩Y)=P(X).P(Y)=P(B).P(B)=1/2.1/2=1/4
Dua kartu diambil dari tumpukan 52 kartu yang
telah dikocok dengan baik sebelumnya.
Carilah peluang bahwa kedua kartu yang diambil
adalah kartu As jika kartu yang pertama diambil
Dikembalikan ke dalam tumpukan kartu
Tidak dikembalikan ke dalam tumpukan kartu
9.5. Distribusi Normal
9.6. Distribusi Student - t
Distribusi normal adalah distribusi yang paling banyak
ditemukan.
Diperoleh dari data kontinyu
Parameter:
μ = rata-rata,
σ deviasi
standar
π=3,14 , e=2,7183,-∞
1.1. Arti dan Peran Statistika dalam Penelitian
1.2. Pengelompokan Statistika
1.3. Skala Pengukuran
1.4. Beberapa Ukuran Statistika Penting
1.5. Populasi & Sampel
Ilmu yang mempelajari tata cara (metode)
pengumpulan
data, analisis
data, dan
interpretasi
hasil
analisis
(penarikan
kesimpulan) untuk mendapatkan informasi
guna
membantu
proses
pengambilan
keputusan
DEFINISI STATISTIK
PERANAN STATISTIKA
STATISTIKA
METODE PENGUMPULAN DATA
SUMBER
DATA
METODE ANALISIS DATA
DATA
EMPIRIK
INFORMASI
EMPIRIK
AKURAT !
Statistika Deskriptif: statistika yang menggunakan data
pada suatu kelompok untuk menjelaskan atau menarik
kesimpulan mengenai kelompok itu saja
◦
◦
◦
Ukuran Lokasi: modus, mean, median, dll
Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll
Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks
Fase/bagian/tahapan dari ilmu statistika yg hanya
bertujuan utk.menggambarkan/mendeskripsikan serta
menganalisis suatu kelompok yg diberikan tanpa
melakukan proses penarikan kesimpulan.
Contoh : misalnya jika kita mengatakan bahwa rata-rata
tinggi sekumpulan laki-laki adalah 69 inci (172,5
cm),bukan berarti bahwa semua laki-laki dalam
kumpulan itu tingginya 69 inci. Jadi rata-rata ini
menggambarkan seluruh kumpulan laki-laki.
Statistika Inferensi (Statistika Induksi): statistika yang
menggunakan data dari suatu sampel untuk menarik
kesimpulan mengenai populasi dari mana sampel
tersebut diambil
Fase/bagian/tahapan
dari
ilmu
statistika
yg
berhubungan dengan syarat-syarat dimana kesimpulankesimpulan yg ditarik (inferensi) tsb.dinyatakan valid .
Oleh krn penarikan kesimpulan seperti ini tdk. memiliki
kepastian mutlak /istilahnya probabilitas sering kali
digunakan dlm menyatakan kesimpulan tsb.
Contoh : misalnya jika kita mempunyai 2 kel. dimana
rata-rata tinggi sekumpulan laki-laki pd kel.1 adalah 69
inci (172,5 cm), dan kel.2 adalah 70 inci , maka dapat
ditarik kesimpulan dari kedua kel.tsb mempunyai lakilakinya mempunyai ketinggian (69+70)/2=69,5(173,75
cm). HARUS ADA PEMBANDINGNYA.
Sesuatu yang berdasarkan kriteria tertentu
dijadikan sebuah yang karakteristiknya akan
diukur.
Misal : Individu, keluarga, waktu, daerah,
rumah, dsb.
Variabel adalah setiap karakteristik yang :
a. Bisa memberikan sekurang-kurangnya dua
hasil pengukuran / perhitungan yang berbeda.
b. Bisa diklasifikasikan ke dalam
sekurangkurangnya dua klasifikasi yang berbeda.
Bentuk variabel kuantitatif:
1. Variable Diskrit (Hasil Perhitungan)
Contoh : Jumlah peluru, Jumlah Penduduk.
2. Variabel Kontinu (Hasil Pengukuran)
Contoh : Tinggi badan, Suhu badan.
Bentuk variabel kualitatif :
1. Tanpa Peringkat
Contoh : a. Etnik : Sunda, Jawa, Batak,
b. Gender : Laki-laki, Perempuan
2. Berperingkat
Contoh : a. Kelas 1, kelas 2, kelas 3,dst.
b. Ranking 1, ranking 2, ranking 3
Keterangan / informasi yang menunjukan
fakta, baik kuantitatif maupun kualitatif.
Diperoleh dari hasil pengukuran.
1.
2.
Contoh data Diskrit
- Keluarga A mempunyai lima anak laki-laki
dan tiga anak perempuan.
- Kabupaten B sudah membangun 85 gedung
sekolah.
Contoh Data Kontinu
- Tinggi badan seseorang, misal 155cm.
- Kecepatan mobil 60 km/jam.
3. Contoh Data Intern
Seorang pengusaha mencatat segala aktivitas
perusahaanya sendiri, misalnya : keadaan
pegawai, pengeluaran, keadaan barang di
gudang, hasil jualan, keadaan produksi
pabriknya dan segala macam aktivitas yang
terjadi didalamnya.
4. Data dari sumber lain diluar perusahaan tadi
yaitu sebagai perbandingnya saja.
1. Skala Pengukuran Nominal
Bilangan semata-mata hanya merupakan
lambang
untuk
membedakan
terhadap
bilangan-bilangan seperti ini tidak berlaku
hukum aritmetika, misalnya tidak boleh
menjumlahnya, mengurangkan. Mengalikan
maupun membagi.
Contoh : - Pekerjaan : ABRI, Pedagang, PNS.
- Golongan Darah : A, B, AB, O
2. Skala Pengukuran Ordinal
Bilangan mempunyai dua fungsi :
a. Sebagai lamang untuk membedakan
b. Untuk mengurutkan peringkat / ranking
Contoh : (1) Sangat Bagus
(2) Bagus
(3) Cukup Bagus
(4) Jelek
(5) Sangat Jelek
- SD Kelas 1
- SD Kelas 2
-SD Kelas 3
- SD Kelas 4
- SD Kelas 5
- SD Kelas 6
3. Skala Pengukuran Interval
Bilangan mempunyai tiga fungsi :
1. Sebagai lambang untuk membedakan
2. Untuk mengurutkan peringkat / ranking
3. Bilangan bisa memperhatikan jarak / interval
Ciri utama : Titik nol bukan titik mutlak, tetapi
ditentukan berdasarkan perjanjian
Contoh : Skala pada termometer
4. Skala Pengukuran Rasio
Fungsi bilangan sama dengan variabel interval.
Ciri utama : Nol adalah mutlak. Nilai nol artinya
kosong
Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil
menghitung ataupun pengukuran, kuantitatif
maupun kualitatif mengenai karakteristik
tertentu dari semua anggota kumpulan yang
lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifatsifatnya.
Proses memilih sebagian dari objek yang ada
dalam populasi.
Alasan dilakukan sampling
Dapat menghemat biaya
Dapat menghemat waktu
Untuk sumber daya yang terbatas, pengambilan sampel dapat
memperluas cakupan studi
Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan sampel dapat
menghemat produk
Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat dilakukan,
pengambilan sampel adalah satu-satunya pilihan
Satu Tahap
Sampel Acak Sederhana
(simple random sampling)
Sampel Acak Sistematis
(systematic random sampling)
Sampel Acak Stratifikasi
(stratified random sampling)
Probabilitas
Metode Penentuan
Sampel Secara Acak
Dua Tahap
Atau Lebih
Non Probabilitas
Sampel Kuota
(quota sampling)
Metode Penentuan
Sampel Tidak
Secara Acak
Sampel Bola Salju
(snowball sampling)
Sampel Sembarang
(convenience)
Sampel Purposif
(purposive sampling)
Sampel Acak Klaster
(cluster random sampling)
Sampel Acak Bertahap
(multistage random sampling)
Sampel Wilayah
(area random sampling)
Hubungan antara Populasi, Populasi Sasaran & Kerangka Sampel
Aspek (orang,
masyarakat,
komunitas) yang
ingin kita
ketahui
pendapatnya
POPULASI
Definisi Spesifik
Dari Populasi
Nama semua
Anggota dalam
Populasi sasaran
Responden yang
Akan diwawancarai
POPULASI
SASARAN
KERANGKA
SAMPEL
SAMPEL
KERANGKA SAMPEL:
Daftar nama semua anggota
populasi.
Misalnya: daftar nama
semua buruh yang ada di
kawasan industri Tangerang
POPULASI: semua anggota
dari obyek yang diteliti.
Misalnya semua buruh
yang bekerja di kawasan
industri Tangerang
ELEMEN: satuan obyek dari
populasi yang diamati
(diukur).
Misalnya: buruh pabrik
UNIT SAMPEL: unit yang
menjadi dasar dalam
penarikan sampel.
Misalnya, dalam survey
buruh, unit yang dipakai
adalah pabrik / perusahaan
yang ada di kawasan
industri Tangerang
SAMPEL: bagian dari
populasi atau representasi
dari populasi.
Misalnya, sekian ratus
buruh yang diambil dari
populasi buruh di kawasan
industri Tangerang
2.1. Bentuk tabel / daftar yang standar
2.2. Macam-macam tabel
2.3. Macam-macam diagram / grafik
Tabel merupakan kumpulan angka-angka yang
disusun sedemikian rupa menurut klasifikasi
(penggolongan datanya).
Macam-macam tabel :
1. Tabel baris dan kolom
2. Tabel kontigensi
3. Tabel distribusi frekuensi
sel
Judul Baris
sel
sel
Pembentukan modal guna investasi pada pembiayaan pembangunan dewasa ini memegang
peranan penting. Untuk itu, ahli-ahli ekonomi telah memperkirakan besarnya
pembentukan modal Indonesia untuk tahun 1999 sampai dengan 2003.
Keebutuhan pembentukan modal tersebut terbagi menjadi pembiayaan yang berasal
dari dalam negeri dan luar negeri.
Pembiayaan dalam negeri terdiri dari tabungan pemerintah dan tabungan masyarakat.
Besarnya tabungan pemerintah untuk tahun 1999 sampai dengan 2003 : 1.956; 2.282;
2.663; 3.102 dan 3.618 triliun rupiah.
Besarnay tabungan masyarakat, berturut-turut : 2.934; 3.423; 3.995; 4.654; dan
5.428 triliun rupiah.
Sedangkan pemasukan dana luar negeri adalah : 1.151; 1.343; 1.559; 1.825; dan 2.127
triliun rupiah.
Tahun
Sumber Dana
Dalam Negeri
Jumlah
Luar Negeri
Tabungan
Pemerintah
Tabungan
Masyarakat
1999
1956
2934
1151
6041
2000
2282
3423
1343
7048
2001
2663
3995
1559
8217
2002
3102
4654
1825
9581
2003
3618
5428
2127
11173
Jenis
Kelamin
SD
SLTP
SLTA
JUMLAH
Laki-laki
4.758
2.795
1.459
9.012
Perempuan
4.032
2.116
1.256
7.404
Jumlah
8.790
4.911
2.715
16.416
Merupakan gambar-gambar yang menunjukan
secara visual data berupa angka, yang biasanya
berasal dari tabel yang dibuat
Diagram Batang
Diagram Garis
Diagram Lambang / simbol
Diagram Lingkaran
Diagram Peta / Kartogram
Diagram Pencar / Titik
Data yang variabelnya berbentuk kategori atau
atribut sangat tepat disajikan dalam diagram
batnag. Untuk menggambarkan diagram batang
diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang
berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi
menjadi beberapa skala bagian yang sama,
demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada
sumbu tegak dan sumbu datar dipakai untuk
perlu sama. Kalau diagram dibuat tegak, maka
sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut
atau waktu, dan nilai data digambar pada
sumbu tegak.
TINGKAT
SEKOLAH
BANYAK MURID
LAKI-LAKI
JUMLAH
PEREMPUAN
SD
875
687
1562
SMP
512
507
1019
ST
347
85
432
SMA
476
342
818
SMEA
316
427
743
JUMLAH
2.526
2048
4574
Untuk menggambarkan keadaan yang serba
terus atau berkesinambungan, misalnya
produksi minyak tiap tahun, jumlah penduduk
tiap tahun, keadaan temperatur badan tiap
jam, sebaiknya digunakan diagram garis.
Sumbu datar menyatakan waktu, dan sumbu
tegak menyatakan nilai data
Tahun
Barang Yang
Digunakan
1991
376
1992
524
1993
412
1994
310
1995
268
1996
476
1997
316
1998
556
1999
585
2000
434
Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua
variabel dengan nilai kuantitatif, diagramnya
dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat
dan gambarnya akan merupakan kumpulan
titik-titik yang terpencar.
Menurut Departemen Perhubungan, Direktorat Perhubungan Udara,
terdapat dua kota terkering dan dua kota terbasah dihitung menurut
rata-rata turun hujan (dalam mm) setiap bulan mulai dari Januari s/d
Desember. Yg paling kering adalah Kupang dengan rata-rata untuk
periode 1931-1941 sebesar : 85,85,62,27,21,10,5,0,1,7,22 dan 38. Yg
berikutnya adalah Banyuwangi,tercatat untuk periode 1931-1960. Untuk
enam bulan pertama rata-ratanya 179,157,131,90,75 dan 78. Adapun rataratanya untuk Juli s/d Desember adalah 61,41,35,53,76 dan 127. Kedua
kota terbasah adalah Bogor dan Padang. Bulan-bulan Januari s/d Juli
,kota Bogor mencatat rata-rata turun hujan 426,355,376,442,373,272 dan
251 sedangkan utk. Padang 355,274,327,412,299,245 dan 246. Untuk bulanbulan
sisanya
(Agustus
s/d
Desember)
masing-masing
228,312,383,380,341 untuk Bogor dan 337,372,489,501 dan 464 utk.
Padang, Catatan untuk kedua kota terakhir ini meliputi periode 19311960.
Pertanyaan : 1. Buatlah tabel / daftar yg baik untuk data ini ?
2. Buatlah diagram / grafik yg sesuai dengan data tersebut ?
Pertemuan ke 3
Membuat Tabel / Daftar Distribusi Frekuensi
Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Histogram dan Poligon Frekuensi
Model Populasi
Untuk Membuat daftar distribusi frekuensi dengan
panjang kelas yang sama dilakukan sebagai berikut :
a. Tentukan rentang, data terbesar dikurangi data terkecil
b. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan.
Aturan yang biasa digunakan adalah aturan Sturges,
yaitu :
Banyak kelas = 1 + (3,3)log n (n= Banyaknya data)
c. Tentukan panjang kelas interval p. Ini dengan aturan,
P = rentang / banyak kelas
d.
Pilih Ujung bawah kelas interval pertama. Biasanya
yang diambil adalah data terkecil
79
49
48
74
84
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
80
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
82
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
a.
b.
Rentang = data terbesar – data terkecil = 9935=64
Banyak kelas = 1 + (3,3)log 80
=1+(3,3)Log(1,9031)=7,2802
d. Ujung bawah kelas interval pertama, 31
e. Dengan p=10, maka kelas pertama adalah 31-40,
kelas 41-50, kelas ketiga 51-60 dan seterusnya.
Nilai Ujian
Frekuensi
31-40
2
41-50
3
51-60
5
61-70
14
71-80
24
81-90
20
91-100
12
JUMLAH
80
NILAI UJIAN STATISTIKA
UNTUK 80 MAHASISWA
Nilai Ujian
Frekuensi
35-44
2
45-54
3
55-64
8
65-74
23
75-84
20
85-94
19
95-104
4
JUMLAH
80
BANYAK SISWA DI DAERAH A
MENURUT UMUR DALAM
TAHUN
Nilai Ujian
Frekuensi
Kurang dari 15
2.456
15 sampai 20
4.075
20 sampai 30
3.560
30 sampai 40
3.219
40 danb lebih
4.168
Jumlah
17.478
Dari distribusi frekuensi absolut, akan dibuat
data dalam bentuk persen. Tabel Distribusi
Frekuensi Absolut jadi Distribusi Frekuensi
Relatif.
Nilai Ujian
Frekuensi
31-50
2.50
41-50
3.75
51-60
6.25
61-70
17.50
71-80
30.00
81-90
25.00
91-100
15.00
Jumlah
100.00
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF KURANG DARI)
NILAI UJIAN
F kum
Kurang dari 31
0
Kurang dari 41
2
Kurang dari 51
5
Kurang dari 61
10
Kurang dari 71
24
Kurang dari 81
48
Kurang dari 91
68
Kurang dari 101
80
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF KURANG DARI)
NILAI UJIAN
F KUM
Kurang dari 31
0
Kurang dari 41
2.50
Kurang dari 51
6.25
Kurang dari 61
12.50
Kurang dari 71
30.00
Kurang dari 81
60.00
Kurang dari 91
85.00
Kurang dari 101
100.00
NILAI UJIAN
F KUM
31 atau lebih
80
41 atau lebih
78
51 atau lebih
75
61 atau lebih
70
71 atau lebih
56
81 atau lebih
32
91 atau lebih
12
101 atau lebih
0
NILAI UJIAN STATISTIKA UNTUK 80
MAHASISWA
(KUMULATIF ATAU LEBIH)
NILAI UJIAN
F KUM
31 atau lebih
100.00
41 atau lebih
97.50
51 atau lebih
93.75
61 atau lebih
87.50
71 atau lebih
70.00
81 atau lebih
40.00
91 atau lebih
15.00
101 atau lebih
0
Untuk menyajikan data yang telah disusun
dalam tabel distribusi frekuensi menjadi grafik,
seperti biasa dipakai sumbu mendatar untuk
mwnyatakan kelas interval, dan sumbu tegak
untuk menyatakan frekuensi baik absolut
maupun relatif. Yang diusulkan pada sumbu
datar adalah berkas-berkas kelas interval.
Jika semua data dalam populasi dapat
dikumpulkan lalu dibuat daftar distribusi
frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva
frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan
sifat atau karakteristik populasi.
Kurva ini merupakan model populasi yg akan
ikut menjelaskan ciri-ciri populasi.
Model populasi yg sering dikenal
a. Model normal / simetris
b. Model positif
c. Model negatif
Suatu penelitian dilakukan oleh pejabat dari Badan Koordinasi Penanaman Modal ( BKPM ) terhadap 100 perusahaan.
Salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut. Kalau X
adalah modal dalam jutaan rupiah , maka nilai X adalah sebagai berikut :
75
80
58
80
86
76
65
75
76
72
86
83
82
88
68
66
63
60
69
80
66
87
73
58
76
74
85
96
60
72
86
79
95
84
41
76
87
74
74
56
50
80
66
96
80
68
79
73
72
73
78
77
60
87
40
82
77
87
76
82
66
81
84
72
63
59
76
52
57
78
Pertanyaannya :
1). Buatlah tabel distribusi frekuensinya !
2). Buatlah distribusi frekuensi relatif dan kumulatifnya !
3). Buatlah grafik kumulatif !
4). Buatlah histogram dan poligon frekuensinya !
5). Apa kesimpulannya ?
79
92
80
65
90
75
74
98
64
45
68
57
79
79
83
35
76
88
67
75
60
52
63
80
94
34
78
64
58
56
4.1. Rata-rata Hitung , Rata-rata Hitung Diboboti
4.2. Rata-rata Ukur , Rata-rata Harmonik
4.3. Modus
Definisi :
Apabial dari populasi berukuran N, kita
menghitung / mengukur variabel X yang
mempunyai skala pengukuran interval / rasio
dan hasil pengukuran / penghitungan adalah
x1, x2, …, x , maka rat-rata hitung didefinisikan
N
No
X
1
87
2
90
3
68
4
75
5
84
6
87
7
94
8
68
9
78
10
84
No X1
f1
1
80
2
2
70
1
3
85
2
4
90
2
5
88
1
8
Ada suatu saat kita berhadapan dengan
bilangan-bilangan yang bobotnya berbeda.
Dalam keadaan demikian, rata-rata yang kita
gunakan adalah rata-rata dibobot.
Definisi :
Apabila dari sebuah populasi berukuran N,
kita menghitung / mengukur variabel X yang
tingkat pengukurannya adalah interval / rasio
dengan hasil pengukuran x1, x2, … , xN dam
masing-masing mempunyai bobot B1,B2, …,BN,
maka rata-rata dibobot adalah :
Mata
Kuliah
Nilai
SKS
A
A=4
3
B
B=4
3
C
C=3
3
D
A=4
2
E
C=2
2
13
Apabila data yang kita miliki mempunyai
selisih tetap, maka rata-rata yang sebaiknya
digunakan adalah rata-rata ukur.
Untuk data x1, x2, …., xn dalam sebuah sampel
berukuran n , maka rata-rata harmonik
ditentukan oleh :
n
H=
1
x
i
Sedangkan untuk data dalam daftar distribusi
frekuensi , maka rata-rata harmonik dihitung
dengan rumus :
f
H= f
i
i
xi
Dengan xi = tanda kelas interval , dan
fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas xi
Contoh :
1. Rata-rata harmonik untuk kumpulan data : 3,
5, 6, 6, 7, 10, 12, dengan n = 7, maka
7
5 , 87
H= 1 1 1 1 1
1
1
3
5
6
6
7
10
12
2.
NILAI UJIAN
fi
xi
fi
xi
31 - 40
1
35,5
0,0282
41 - 50
2
45,5
0,0440
51 - 60
5
55,5
0,0901
61 - 70
15
65,5
0,2290
71 - 80
25
75,5
0,3311
81 - 90
20
85,5
0,2339
91 - 100
12
95,5
0,1256
JUMLAH
80
-
1,0819
Jadi H = 80 / 1,0819 = 73,94
Rata-rata harmonik untuk nilai ujian itu = 73,94.
Digunakan untuk mrnyatakan fenomena yang
paling banyak terjadi. Seiring tidak kita sadari,
modus digunakan untuk tara-rata kualitatif.
Data nilai ujian 10 orang mahasiswa : 65, 75, 80,
83, 78, 90, 93, 95, 79 (tidak ada modusnya)
4.4. Median
4.5. Kuartil & Persentil
Adalah data yang letaknya ada di tengah, apabila
data tersebut diurutkan mulai dari data terkecil
sampai data terbesar. Arti dari nilai median adalah
50% data paling besar adalah sama dengan nilai
median dari 50% data paling kecil adalah sama
dengan nilai median.
Langkahnya :
1. Urutkan data mulia dari bilangan terkecil sampai
bilangan terbesar
2. Apabila jumlah data ganjil, maka nilai median
ditengah. Apabila jumlah data genap, mak 2 niali
ditengah dijumlah, kemudian dibagi 2.
Niali ujian statistika untuk 10 orang mahasiswa :
1.
75
80
77
81
90
78
83
85
95
85
Cari nilai medianya dan apa artinya:
Jawab :
1. Data urutkan dari nilai terkecil samapi terbesar
2. Karena jumlah data genap, maka 2 data di tengah
3. Dengan demikian 50% mahasiswa mempunyai nilai
statistika terbesar adalah 82 san 50% mahasiswa
mepunyai nilai statistika terkecil adalah 82.
Apabila seluruh bilangan diurutkan mulai data
terkecil sampai dengan data terbesar, kemudian
dibagi 4, maka kita peroleh nilai kuartil.
Kuartil ada 3 macam :
1.
Kuartil 1 (25%)
2.
Kuartil 2 (50%)
3.
Kuartil 3 (75%)
Langkahnya :
1. Urutkan data mulai dari nilai terkecil sampai
dengan niali terbesar.
2. Cari Indeks Kuartil denagn rumus
Apabila seluruh bilangan diurutkan mulai data
terkecil sampai dengan data terbesar,
kemudian dibagi 100, amak kita peroleh niali
persentil.
Dalam rangka untuk membantu pengusaha kecil telah diselidiki sebanyak 75 pedagang
Eceran dari suatu daerah , dimana salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah berapa
hasil penjualan yang diterimanya sebulan yang lalu dalam ribuan rupiah.
Hasil penyelidikan itu adalah sebagai berikut :
255,50 285,32
287,52 215,23 310,52 313,98 248,92 341,81
333,12 291,72
290,41 254,19 334,27 228,42 233,91 373,25
358,21 297,01
299,42 216,76 289,62 257,92 267,94 274,05
282,62 308,62
235,72 251,43 259,12 258,14 242,11 279,44
302,60 275,21
294,55 293,65 276,31 278,22 250,27 274,08
272,01 268,03
366,54 354,83 365,42 256,42 261,12 289,73
259,72 260,13
280,27 292,44 219,03 295,43 236,22 296,21
298,65 309,37
282,79 281,34 305,02 311,74 282,90 283,91
315,72 325,62
286,43 288,06 318,12 325,41 345,79 351,62
314,78 306,43
312,04
Pertanyaan : (1). Buatlah tabel dist. frekuensinya !
(2). Tentukan : a. Rata-rata
b. Median (Me)
c. K1 , K 2 , dan K3 (Kuartil)
d. P10 , P 27 , P90 (Persentil)
Dan berikan penjelasannya serta kesimpulan untuk setiap hasil yang didapat !
5.1. Rentang dan Rentang Antar Kuartil
5.2. Simpangan Rata-rata
5.3. Simpangan Baku
5.4. Varians
5.5. Koefisien Variasi
Ukuran variansi yang paling mudah adalah
rentang. Rentang adalah selisih bilangan
terbesar dengan bilangan terkecil.
Oleh karena itu apabial dalam analisis kita
memperoleh keterangan yang lebih banyak,
hindari Rentang.
Rentang= Data terbesar-data terkecil
Apabila kita berhadapan dengan variabel yang
mempunyai tingkat pengukuran orinal, maka
ukuran variansi yang baik adalah Rentang
Antar Kuartil yaitu :
RAK=K3-K1
Ket:
RAK = Rentang Antar Kuartil
K3 = Kuartil Ketiga
K1 = Kuartil Pertama
Nilai Ujian
frekuensi
50,00-59,99
8
60,00-69,99
10
70,00-79,99
16
80,00-89,99
14
90,00-99,99
10
100,00-109,99
5
110,00-119,99
2
Jumlah
65
Data dari tabel diatas diperolkeh
K1=Rp.68,25
K3=Rp90,75
Maka Rak =Rp.22,50
Ditafsirkan bahwa 50% dari data,
Nilainya paling rendah 68,25 dan
palingtinggi90,75dengan perbedaan
Paling tinggi 22,50.
Frekuensi relatif untuk kelas pertama diperoleh
dari : 2/80x100%=2,50%
Misalkan data hasil pengamatan berbentuk
x
x1,x2,..., xn dengan rata-rata . Selanjutnya
kita
x
tentukan
jarak antara data dengan rata-rata
Maka simpangan rata-rata /rata-rata simpangan
Rumusnya :
x
SR ( RS )
i
n
x
Simpangan Baku adalah ukuran statistik yang
menggambarkan keadaan keseragaman, makin
besar harga s, maka tidak seragam keadaanya.
Apabila s=0,artinya data harganya sama-sama.
Simpangan
baku
mempunyai
satuan
pengukuran, oleh karena itu simpangan baku
tidak bisa digunakan sebagai alat pembanding
keseragaman apabila satuan pengukuranya
tidak sama.
Apabila dari sebuah populasi berukuran N,
kita mengukur variabel X yang tingkat
pengukuranya sekurang-kurangnya interval
dengan hasil pengukuran x1, x2, …,xN, maka
variansinya adalah :
Apabila untuk variabel X kita bisa menghitung
rata-rata dan simpangan baku, maka koefisien
variansi adalah :
Ada tiga calon masing-masing datang dari tiga
sekolah tingkat akhir yg berbeda. Di
sekolahnya masing-masing calon A mendapat
nilai Matematika 83 sedangkan rata-rata
kelasnya 62 dan simpangan baku 16. Calon B
mendapat nilai 97 dengan rata-rata kelas 83
dan simpangan baku 23, sedangkan calon C
mendapat nilai 87 dengan rata-rata kelas 65
dan simpangan baku 14. Salah satu calon ini
akan dipilih berdasarkan sistem dengan ratarata 500 dan simpangan baku 100. Calon mana
sebaiknya yg didahulukan diterima ?
6.1. Momen
6.2. Kemiringan (Skewness)
6.3. Kurtosis
Misalkan diberikan variabel x dengan hargaharga x1, x2, ….,xn. Jika A = bilangan tetap dan
r = 0,1,2,…, maka momen ke-r sekitar A (m’r),
maka rumusnya :
mr'
r
x
A
(
)
i
n
Jika data telah disusun dalam daftar distribusi
frekuensi, maka rumusnya berbentuk :
mr'
f (x A)
i
i
n
r
adalah ukuran yang menunjukan miring atau
tidaknya suatu kurva.
Dua buah kurva bisa saja berbeda, mungkin
saja mempunyai rata-rata hitung dan deviasi
standard yang sama. Perbedaan bentuk kurva
tersebut dikarenakan tingkat kemencengan
yang berbeda.
1.
2.
3.
Kurtosis adalah suatu ukuran yang menunjukan
keruncingan suatu kurva.
Ada 3 macam tingkat keruncingan :
Leptokurtic
Mezokurtic
Playtykurtic
Diberikan data : 5,4,4,6,3,8,10,8,3,2
Hitunglah :
a. Momen pertama, kedua, ketiga dan keempat
b. momen ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 sekitar
rata-rata
7.1. Analisis Regresi Linier Sederhana
7.2. Analisis Korelasi
7.3. Koefisien Determinasi
7.4. Regresi Linier Berganda
Definisi
Analisis regresi adalah analisis yang mengkaji pola
hubungan antara 2 variabel atau lebih yaitu antara
variabel bebas (independent variable) dan variable tak
bebas/terikat (dependent variable) yang dinyatakan
dalam suatu bentuk persamaan matematis yaitu
persamaan regresi yang tujuannya adalah untuk
meramalkan nilai variable tak bebas (Y) atas dasar
variable bebas (X) tertentu
Regresi Sederhana (simple regression) yaitu
analisis regresi yang hanya melibatkan 1 variabel
X.
◦ Regresi Linier : Regresi dengan bentuk
persamaan garis lurus
◦ Regresi Non Linier : regresi dengan bentuk
persamaan kuadratik, logaritmik, eksponensial,
dll.
Buat Hipotesis Komponen-komponen
penelitian
Estimasi Parameter-parameter modelnya
& b)
Evaluasi model dengan menguji parameterparameter tersebut
Gunakan model untuk melakukan prediksi
(a
Bentuk persamaan regresi :
Y
Regression Plot
Y = a + bX
a = intercept = Nilai Y pada X = 0
b = koefisien regresi
= rata-rata perubahan Y jika X
bertambah 1 unit
X = Variabel Bebas
Y = Variabel Tak Bebas
Y = a + bX
Yi
Error: ei
{
}
}
b = Slope
a = Intercept
X
Xi
Menghitung koefisien regresi
b
n XY X Y
n X 2 X 2
aY b X
Y b X
n
Analisis Korelasi adalah analisis yang mengkaji kuat
hubungan linier antara 2 variabel yang dinyatakan melalui
koefisien korelasi (r).
r
n X
n XY X Y
2
X n Y 2 Y
2
Besarnya koefisien korelasi –1 r 1
2
Arti besar nilai r
Jika r = 1 atau mendekati 1 maka hubungan antara 2 variabel
sangat kuat secara positif yaitu hubungan yang terjadi searah
yaitu apabila nilai X meningkat maka Y juga akan semakin
meningkat dan sebaliknya.
Jika r = -1 atau mendekati -1 maka hubungan antara 2 variabel
sangat kuat secara negatif yaitu hubungan yang terjadi berbalik
arah yaitu apabila nilai X meningkat maka akan diikuti dengan
penurunan Y atau sebaliknya.
Jika r = 0 atau mendekati 0 maka hubungan antara 2 variabel
tidak ada atau lemah maka dapat dikatakan tidak terdapat
hubungan antara X dan Y.
Y
r=0
X
Y
r = -1
X
Koesisien Determinasi
Untuk mengetahui seberapa besar pengaruh variabel X terhadap
variabel Y atau seberapa besar variasi Y dapat dijelaskan oleh X.
KD = r2 x 100%
Misalkan : r = 0.8 maka KD = 0.8 2 x 100% = 64%
artinya : Variabel Y dipengaruhi oleh variabel X sebesar 64%
sisanya 100-64 = 36% dipengaruhi faktor lain.
Definisi
Regresi Berganda (multiple
regression) yaitu analisis regresi yang
melibatkan lebih dari 1 variabel X
(independen).
Hubungan linier antara 1 variabel dependent
dengan 2 atau lebih variabel independent
Population
Y-intercept
Population
slopes
Random
error
Yi 0 1X 1i 2 X 2i k X ki i
Dependent
(response)
variable
Independent
(explanatory)
variables
X = Nilai ujian matematika mahasiswa FE-USAKTI
Y = Nilai ujian statistika mahasiswa FE-USAKTI
X
Y
:
7
6
8
9
10
5
4
9
7
3
: 6
8
9
7
9
6
5
8
8
4
a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapa nilai statistik
yang diperoleh kalau nilai matematika yang dicapai sebesar 8,5 ?
b. Hitung koefisiensi penentuan atau determinasi dan apa artinya?
c. Tulis persamaan regresi linear sederhana, berapa besarnya nilai
koefisien regresi? apa arti nilai ini ?
d. Berapa koefisien korelasinya ? apa artinya ?
8.1. Definisi Peluang
8.2. Beberapa Aturan Peluang
8.3. Pohon Peluang (Probability Tree)
Mengundi dengan sebuah mata uang logam
atau sebuah dadu merupakan contoh
eksperimen dari suatu peristiwa.
Untuk menyatakan peristiwa / peluang
digunakan huruf kapital.
Contoh :
Ambil eksperimen mengenai mencatat banyak
kendaraan yg melalui sebuah tikungan setiap
jam. Hasilnya bisa terdapat 0, 1, 2, 3,….buah
kendaraan setiap jam yg melalui tikungan
tersebut.
Definisi 1 : Dua peristiwa atau lebih dinamakan
saling eksklusif atau saling asing jika terjadinya
peristiwa yg satu mencegah terjadinya yg lain.
Contoh :
1. E misalkan barang yg dihasilkan rusak dan E
berarti barang yg dihasilkan tidak rusak.
2. Mata uang logam mempunyai dua muka yg
berlainan. Kita sebut saja muka G dan muka
H. maka peristiwa-peristiwa muka G yg
nampak dan muka H yg nampak sebagai
hasil undian dgn sebuah mata uang mrpk
dua peristiwa yg saling eksklusif.
Definisi 2 : Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di
antara N peristiwa yg saling eksklusif dan masing-masing terjadi
dengan kesempatan yg sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah :
P(E )
n
N
Contoh :
Sebuah kotak berisi 20 kelereng yg identik kecuali warnanya. Terdapat
5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau.
Kelereng dalam kotak itu diaduk baik-baik lalu diambil sebuah tanpa
melihat ke dalam kotak atau dengan mata tertutup. Maka peluang
mengambil kelereng berwarna merah = 5/20 = 0,25 ; peluang
mengambil yg berwarna kuning = 12/20 = 0,6 ; dan peluang mengambil
yg hijau = 3/20 = 0,15.
Definisi 3 : Kita perhatikan frekuensi relatif tentang
terjadinya
sebuah
peristiwa
untuk
sejumlah
pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit
dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan
diperbesar sampai tak hingga banyaknya.
Contoh :
Produksi semacam barang diperiksa 500 dan terdapat
yg rusak 22. Frekuensi relatif kerusakan produksi =
0,044. Selanjutnya periksa 2.000 dimana terdapat yg
rusak 82. Frekuensi relatifnya = 0,041. Lanjutkan proses
demikian, kalau mungkin hasil produksi diperiksa dan
dicatat berapa yg rusak. Bilangan yg didapat mrpk
peluang kerusakan barang yg diproduksi, misalnya
0,04 / 4% yg berarti dlm proses produksi yg cukup
lama dengan kondisi yg sama, maka dari setiap 100
barang yg dihasilkan terdapat 4 rusak.
P(A) = peluang (probabilitas) bahwa peristiwa
A akan terjadi
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) = 0 ; artinya A tidak mungkin terjadi
P(A) = 1 ; artinya A pasti terjadi
Eksperimen: Proses yang menghasilkan satu dan hanya
satu(output ) dari sejumlah pengamatan.
Outcome: Hasil pengamatan pada eksperimen.
Ruang sampel (Sample Space) : Kumpulan semua outcome
yang mungkin dalam suatu eksperimen.
◦
Eksperimen
Output
Outcome
Sample Spaces
Mengundi koin 1×
1×
Mengundi dadu
Mengundi koin 2×
2×
Mengikuti test
Menjadi mahasiswa
Sisi koin
Sisi dadu
Sisi koin
Hasil test
test
Alumn
Gambar, Angka
1, 2, 3, 4, 5, 6
GG, GA, AG,
AA
Lolos, Gagal
Gagal
Lulus, DO
S = {Gambar, Angka}
S= {1,2,3,4,5,6}
S= {GG,GA,AG,AA}
S = {Lolos, Gagal}
Gagal}
S = {Lulus, DO}
Event / kejadian: Kejadian atau peristiwa yg
merupakan himpunan bagian dari ruang sampel .
Elementary Event: event yang tidak dapat dipecah
lagi menjadi event lain.
Contoh : Mata uang logam hanya mempunyai 2
bagian yaitu MUKA dan BELAKANG.
Mutually Exclusive Events: adalah kejadian-kejadian yang tidak
mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang satu meniadakan kejadian
yang lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi secara simultan
(tidak secara bersamaan). Apabila X dan Y mutually exclusive, maka
P(X∩Y) = 0
Contoh :
1. Jika X adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As dari sebuah
tumpukan kartu” dan Y adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu Raja”,
maka P(X) = 4/52 =1/13 , dan P(Y) = 4/52 = 1/13. Sehingga peluang
terambilnya salah satu kartu As atau Raja dalam 1x pengambilan adalah
P(X + Y) = P(X) +P(Y) = 1/13 + 1/13 = 2/13.
Oleh karena kartu As dan Raja kedua-duanya tdk dpt ditarik sekaligus dlm 1x
pengambilan, maka peristiwa ini namanya peristiwa saling eksklusif.
2. Jika X adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As” dari sebuah
tumpukan kartu dan Y adalah peristiwa”penarikan sebuah kartu sekop
(spade)”, maka X dan Y bukan merupakan peristiwa saling eksklusif
krn kartu sekop dapat diambil dlm 1x pengambilan.
Jadi peluang terambilnya kartu As atau sekop atau kedua-duanya adalah
P(X +Y) = P(X) + P(Y) – P(XY) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13
Independent Events: adalah kejadian-kejadian
satu sama lain tidak saling mempengaruhi.
Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu
kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau
tidak terjadinya kejadian lainnya.
P(X|Y) = P(X) dan P(Y|X) = P(Y)
P(X|Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi
apabila diketahui Y telah terjadi.
Kenyataannya, kejadian-kejadian bebas ini
jarang terjadi, karena pd dasarnya antara
kejadian yg satu dgn lainnya saling
mempengaruhi baik secara langsung maupun
tidak.
Contoh :
1. Kejadian pasang surut Kali Ciliwung dgn
harga motor Honda di Jakarta.
2. Banyaknya hujan di Sumatra dgn naiknya
produksi padi di Jawa.
1. A menyatakan si X akan hidup dlm tempo 30 thn lagi.
B menyatakan si Y akan hidup dlm tempo 30 thn lagi.
Diberikan P(A)=0,65 dan P(B)=0,52
Jawab : P(A)=P(X)=0,65 , P(B)=P(Y)=0,52 , maka P(si X dan si Y
dua-duanya akan hidup dlm tempo 30 thn lagi)=0,65.0,52=0,338.
2. Satu mata uang logam Rp 500,- dilemparkan ke atas sebanyak 2x.
Jika X adl.lemparan pertama yg mendapat gambar burung (B), Y
adl.lemparan kedua yg mendapatkan gambar burung (B),
berapakah P(X∩Y) ?
Jawab : Krn pd pelemparan pertama hasilnya tdk mempengaruhi
pelemparan kedua, P(X)=P(B)=1/2 dan P(Y)=P(B)=1/2, maka
P(X∩Y)=P(X).P(Y)=P(B).P(B)=1/2.1/2=1/4
Dua kartu diambil dari tumpukan 52 kartu yang
telah dikocok dengan baik sebelumnya.
Carilah peluang bahwa kedua kartu yang diambil
adalah kartu As jika kartu yang pertama diambil
Dikembalikan ke dalam tumpukan kartu
Tidak dikembalikan ke dalam tumpukan kartu
9.5. Distribusi Normal
9.6. Distribusi Student - t
Distribusi normal adalah distribusi yang paling banyak
ditemukan.
Diperoleh dari data kontinyu
Parameter:
μ = rata-rata,
σ deviasi
standar
π=3,14 , e=2,7183,-∞