20. Soal soal Vektor
20. SOAL-SOAL VEKTOR
3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi titik T adalah … UN2004
1
5
4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
A. (3, -1, 11) C. (2, 0, 11) E. (11, -13, 32)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
B. (2, -1, 12) D. (3, 1, 12)
1. Jika vektor a =
2 ; b = 4 dan c =
1 −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
1 −1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Jawab: maka vector a + 2 b - 3 c = ….
- P 2 T 1 Q
6 7 − 1 − 1 −
6 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A.
11 B.
13 C.
12 D.
13 E. −
12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
PT
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
PT:QT = 2 : 1 Æ =
− 8 − 8 − 2 −
2
8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
QT
1 PT = 2 QT Jawab:
1
5
4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
t - p = 2 ( t - q )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a + 2 b - 3 c =
2 + 2 4 - 3 −
1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
t - p = 2 t -2 q
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 −1
1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 - q p = 2 t - t
- t = 2 q p
1
10
12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= 2 (5,-4,17). - (-1,5,2) =
2
8
3 −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= (10, - 8, 34) – (-1,5,2)
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
3 − 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= (11, -13, 32 )
10
12
1 − −
- 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Jawabannya adalah E =
2 8 ( 3 ) =
13 − − +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
2
3
2 − − −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ EBTANAS1998 4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4).
Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka Jawabannya adalah D vektor yang diwakili oleh CP adalah …. EBTANAS2001
−
4 4 −
4
4
4 ⎛ ⎞ ⎛− ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⎞ 2. Diketahui | a | = 3 , | b | = 1 dan | a - b | = 1.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A.
3 B.
3 C. −
7 D. −
7 E.
7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Panjang vektor a + b = ….
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −
6
6 2 −
2
2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A. 3 B. 5 C. 7 D. 2
2 E. 3
Jawab: 2 2 2 Jawab:
- .| a + b | =
2 ( a b ) | a − b | − + 2 2 2 2 A 3 P B .| a + b | = 2(a +b ) - | a - b | AP
3 AP:PB = 3 : 2 Æ = 2 2 2 PB
2 = 2 (( 3 ) + 1 ) - 1
2 AP = 3 PB = 2 (4) – 1 = 7 2 ( p - a ) = 3 ( b - p ) .| a + b | = 7 2 p - 2 a = 3 b - 3 p 3 p + 2 p = 3 b + 2 a
Jawabannya adalah C 5 p = 3 b + 2 a
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- A B C Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi:
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
1
2
1
−
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −
− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −
⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟
= k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
3
2
−1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2
5
1
−
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
5. BC = k. AC Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 : AB = k.AC b - a = k ( c - a )
4 BC = k .AB
3. AC = k. BC
2. AC = k. AB
2. AB = k. BC
1. AB = k.AC
A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13 Jawab:
6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ........
3 π Jawabannya adalah C
3
1
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- 2 = 4.k k = -
1
- 4 = -
- 4
2
1 .p =
2
3
2
1 .p =
2
3
2
1 .p +
2
3 180 =
7 p
p
4
3
4
− −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
= k
2
4
2
− −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
2
3 6 − =
1 ` α = 60 =
3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
−
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −
15 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
10
10
5
=
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −
3
2
4
6
2
3
1
4
5
p =
a b
3
2
5
p =
2
3 CP = p - c = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
2
4 Jawabannya adalah D
6
− 3 . =
.
α = b a a a
⇒ a . a - b . b = 0 ⇒ 6 - | b | 2 = 0 | b | 2 = 6 | b | = 6 a . ( a - b ) = 3 a . a - a . b . Cos α = 3 a . b . Cos α = a . a - 3 Cos
3 2 π Jawab: ( a - b ). ( a + b )= 0
2 π E.
3 π D.
4 π C.
6 π B.
A.
5. Diketahui | a | = 6 , ( a - b ). ( a + b )= 0 dan a . ( a - b ) = 3. Besar sudut antara vector a dan b adalah ….
EBTANAS2000
7
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2
− −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
=
1
5
4
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
3
2
2
−
11 Æ p = 11 Jawabannya adalah B
2
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
a . b = 0 =
1
2
−1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
m ; c=
4
3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
; b =
2
4
1
3 QR = v = r - q = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
2
7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan QR wakil dari v , maka u . v adalah…
A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 E. 42 jawab : PQ = u = q - p =
m = 0 = 2. -3 + 4m + 2 = 0 = -4 + 4m = 0 4m = 4 m = 1 maka ( b - c ) =
3
2
1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
−
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
5
1
=
2 .
4
1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− −
A. j + k C. . - i + k E. -
9. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0) dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah….
Jawabannya adalah B UAN2007
Æ -4 i - j + 3 k
4
1
3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
1 i - j
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
=
1
2
−1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
3
1
2
B. i + k D. i + j -
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2
2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 AC = c - a = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
=
2
2
2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
. b AB = b - a =
. b b a
⎜ ⎝ ⎛ 2 | |
| c | = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
1 k Jawab : proyeksi orthogonal a pada b :
2
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
− − −
= -3 . 3 + (-4 . -7) + (-5. -3) = -9 +28 + 15 = 45 – 9 = 36 Jawabannya adalah B UAN2006
7
3
u . v =
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
α = 90 sehingga cos α = cos 90 = 0 maka . a . b = | a | | b | cos α a . b = | a | | b | . 0 a . b = 0 a =
B. -4 i - j + 3 k D. -4 i + j + 3 k Jawab: . a . b = | a | | b | cos α karena vektor a tegak lurus b maka
A. -4 i + j + 3 k C. -4 i - 4 j + 3 k E. -4 i + 3 k
Vektor a tegak lurus b , maka ( b - c ) adalah…
3
− −
7
3
− −
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
3 .
4
5
3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
3
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
8
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
− −
5
−
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
6
1
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
3
1
2
=
8. Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k , b = -3 i + m j + 2 k dan c = i + 2 j - k .
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- p ) 2 p 2 +4p + 4 = p 2 + 16 p 2 - p 2 + 4p = 16 – 4 4p = 12 p = 3 jawabannya adalah C
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
- ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
4
4
8
2
pada vektor b =
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
4
p adalah 8. Nilai p=…
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6 Jawab: Panjang proyeksi vector a pada vector b : | c | =
| | . b b a
Diketahui : | | . b b a
= 8
16
4
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
8
2 2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟
⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− p p
= 8 ⇒
16
16
8 2
p p = 8 8p + 16 = 8
16 2 + p p + 2 =
16 2 + p (p + 2) 2 = (
16 2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−
Jawabannya adalah A EBTANAS1999
8
1 1 = 0 i + j + k = j + k
| | . b b a
. b = 2 2 2 ) 2 2 (
2
2
2
2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟
⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ .
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 2 =
4
| c | = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 2 =
2
1
⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
1
1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2