latihan soal un matematika Vektor

1. Ruas garis berarah AB = b – a

2. Sudut antara dua vektor adalah 

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =           3 2 1 a a a

= a1i + a2j + a3k;

|a| = a₁2 a2₂ a2₃

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

a  b =           3 2 1 a a a            3 2 1 b b b =              3 3 2 2 1 1 b a b a b a

; ka = k           3 2 1 a a a =           3 2 1 ka ka ka

C. Dot Product

Apabila diketahui a =           3 2 1 a a a

dan b =           3 2 1 b b b , maka:

1. a · b = |a| |b| cos  = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos  = |a|2 + |b|2 + 2 a · b 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2– 2|a||b| cos  = |a|2 + |b|2– 2 a · b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D. Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

b a

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

b a

1. UN 2004

Diketahui a = i + 2j + 3k,

b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e

2. UN 2005

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …

a. 10 b. 13 c. 15 d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d

3. EBTANAS 2002

Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14 . Hasil dari a · b = …

a. 4 b. 2 c. 1 d.

2 1 e. 0 Jawab : c

4. EBTANAS 2002

Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = …

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b

Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …

a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a

6. UN 2006

Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan

c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = …

a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k Jawab : b

7. UN 2012/A13

Diketahui vektor ;

6 3 4 ; 1 2

                      

 b

p

a 

dan

           

3 1 2

c . Jika a



tegak lurus b,

maka hasil dari (a2b)_·( c3) adalah…

A. 171 D. –111

B. 63 E. –171

C. –63 Jawab : E 8. UN 2012/B25

Diketahui vektor ai2jxk, k

j i

b3 2  , dan c2i j2k. Jika a tegak lurus c ,

maka ( a + b )· ( a – c ) adalah ... A. –4

B. –2 C. 0 D. 2

9. UN 2012/D49

Diketahui vektor a ixj3k, ,

2i j k

b   dan ci3j2k. Jika a tegak lurus b maka 2 a·(bc) adalah….

A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A 10. UAN 2003

Diberikan vektor a =          

2 2

2

p dengan p

 Real dan vektor b =          

2 1 1

. Jika a

dan b membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …

a. 7

4 12

b. 7

2 5

c. 7

4 5

d. 7

14 5

e. 7

7 2 Jawab : d

11. UN 2012/A13

Diketahui vektor a4i2j2k dan j

i

b33. Besar sudut antara vektor

a



dan b adalah….

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : A

Diketahui vektor

           

3 3 2

a dan

            

4 2 3

b . Sudut antar vektor a



dan

b adalah …

A. 135 B. 120 C. 90 D. 60 E. 45 Jawab : C

13. UN 2012/E52

Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor

ABdengan AC adalah…. A. 30

B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D

14. UN 2011 PAKET 46

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili ABdan v mewakili AC, maka sudut yang

dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b

15. UN 2010 PAKET A

Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan bsama dengan … a. 30º

b. 45º c. 60º d. 90º

16. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika

AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …

a. 0 b. 30 c. 45 d. 60 e. 90 Jawab : e

17. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A.  D.

6  B.

2

 _{E. 0}

C. 3

 _{Jawab : B}

18. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e

19. UN 2004

Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan

q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a. 6 5 b.

2 3 c.

2 13 d.

6 43 e.

6 53 Jawab : c

Diketahui a5i6jk dan k

j i

b 2 2 . Proyeksi orthogonal vektor a



pada b adalah….

A. i2j2k B. i2j2k C. i2j2k D. i2j2k E. 2i2jk

Jawab : D 21. UN 2012/B25

Diketahui vektor a9i2j4k dan k

j i

b2 2  . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ...

A. 4i4j2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i4j8k Jawab : C 22. UN 2012/E52

Proyeksi orthogonal vektor

a = 4 i + j+ 3 k pada b = 2 i + j+ 3 k adalah….

A.

14

13 _{(2 i +j+3 k )}

B.

14

15 _{(2 i +j+3 k )}

C. 7 8

(2 i +j+3 k )

D. 7 9

(2 i +j+3 k )

E. 4 i +2 j+6 k Jawab : D

23. UN 2011 PAKET 12

Diketahui vector a = 4i– 2j + 2k dan vector b = 2i– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah …

a. i–j + k b. i– 3j + 2k c. i– 4j + 4k d. 2 – +

24. UN 2011 PAKET 46

Diketahui vector a = 2i– 4j– 6k dan vector b = 2i– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah …

a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j– 8k c. –2i + 2j– 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j– 2k Jawab : e

25. UN 2010 PAKET A

Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika

ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i –₅6_{j +}

5 12 _k b. 3 5i –

5 6 _{j +}

5 12 _k c.

5

9_{(5i – 2j + 4k)} d. ₄₅27(5i – 2j + 4k) e. ₅₅9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d

26. UN 2010 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor

ABpada AC adalah … a.

4

1_{(3i + j – 2k)} b.

14

3 _{(3i + j – 2k)} c.

7 1



(3i + j – 2k) d.



₁₄3 (3i + j – 2k) e.



₇3(3i + j – 2k) Jawab : c

27. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k

b. i + 2j + 3k c. ₃1i + ₃2j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, – 3, –2). Proyeksi vektor AB pada

ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c

29. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap

ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b

30. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada

ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c

31. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan

C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

32. UAN 2003

Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

dari vektor v =            4 3 2 terhadap vektor u =             1 2 1

, maka w = …

A.            3 1 1 D.            2 4 2 B.             2 1 0 E.             2 4 2 C.           2 1 0

Jawab : d

33. EBTANAS 2002

Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

A. – 3

4_{(2 1 1) D. (} 3 4 _{1 1)} B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C.

3

Diketahui vektor

           

3 3 2

a dan

            

4 2 3

b . Sudut antar vektor

a



dan

b



adalah … A. 135 B. 120 C. 90 D. 60 E. 45 Jawab : C

13. UN 2012/E52

Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor

ABdengan AC adalah…. A. 30

B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D

14. UN 2011 PAKET 46

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili

ABdan v mewakili AC, maka sudut yang

dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b

15. UN 2010 PAKET A

Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan bsama dengan … a. 30º

b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c

16. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika

AC

wakil vektor u dan wakil

DH

adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v

adalah …

a. 0 b. 30 c. 45 d. 60 e. 90 Jawab : e

17. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A.  D.

6

 B.

2

 _{E. 0}

C.

3

 _{Jawab : B}

18. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e

19. UN 2004

Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan

q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …

a.

6 5

b.

2 3

c.

2 13

d.

6 43

e.

6 53

Diketahui a5i6jk dan k

j i

b 2 2 . Proyeksi orthogonal vektor

a



pada

b



adalah….

A. i2j2k B. i2j2k C. i2j2k D. i2j2k E. 2i2jk

Jawab : D 21. UN 2012/B25

Diketahui vektor a9i2j4k dan k

j i

b2 2  . Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ...

A. 4i4j2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i4j8k Jawab : C 22. UN 2012/E52

Proyeksi orthogonal vektor

a = 4 i + j+ 3 k pada b = 2 i + j+ 3 k adalah….

A. 14

13 _{(2 i +j+3 k )} B.

14

15 _{(2 i +j+3 k )}

C. 7 8

(2 i +j+3 k )

D. 7 9

(2 i +j+3 k )

E. 4 i +2 j+6 k Jawab : D

23. UN 2011 PAKET 12

Diketahui vector a = 4i– 2j + 2k dan vector b = 2i– 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah …

a. i–j + k b. i– 3j + 2k c. i– 4j + 4k d. 2i–j + k e. 6i– 8j + 6k Jawab : b

24. UN 2011 PAKET 46

Diketahui vector a = 2i– 4j– 6k dan vector b = 2i– 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector badalah …

a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j– 8k c. –2i + 2j– 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j– 2k Jawab : e

25. UN 2010 PAKET A

Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika

ABwakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i –₅6_{j +}

5 12 _k

b. 3 5i – 5 6 _{j +}

5 12 _k

c.

5

9_{(5i – 2j + 4k)}

d. ₄₅27(5i – 2j + 4k) e. ₅₅9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d

26. UN 2010 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor

ABpada AC adalah … a.

4

1_{(3i + j – 2k)}

b.

14

3 _{(3i + j – 2k)}

c.

7 1



(3i + j – 2k) d.



₁₄3 (3i + j – 2k) e.



₇3(3i + j – 2k) Jawab : c

27. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k

b. i + 2j + 3k c. ₃1i + ₃2j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, – 3, –2). Proyeksi vektor AB pada

ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c

29. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap

ACadalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b

30. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada

ACadalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c

31. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan

C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : b

32. UAN 2003

Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

dari vektor v =            4 3 2 terhadap vektor u =             1 2 1

, maka w = …

A.            3 1 1 D.            2 4 2 B.             2 1 0 E.             2 4 2 C.           2 1 0

Jawab : d

33. EBTANAS 2002

Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

A. –

3

4_{(2 1 1) D. (} 3 4 _{1 1)}

B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C.

3