Analisa Keandalan Terhadap Penurunan Pada Pondasi Jalur
Analisa Keandalan terhadap Penurunan pada Pondasi Jalur
Anwar Harahap
ANALISA KEANDALAN TERHADAP PENURUNAN PADA PONDASI JALUR
Anwar Harahap
Jurusan Teknik Sipil USU
Abstrak: Perencanaan secara tradisional dari pondasi jalur (strip footing) untuk tanah berpasir diperoleh
pertama sekali dari hasil percobaan pada sejumlah lokasi yang terbatas untuk memperoleh besar modulus
elastis (contoh Cone Penetration / CPT ). Kemudian dari perencanaan diperoleh lebar pondasi B . Pada tanah
yang nyata, tanah mungkin dapat ataupun tidak mewakili modulus elastis pada pondasi pada ruang yang
bervariasi (spatial variability). Pada tulisan ini akan dibuat suatu perhitungan dengan metode Monte Carlo
pada suatu massa tanah di ruang yang bervariasi. Hasil penurunan pondasi dibandingkan untuk penurunan
yang dismulasikan dengan hasil aktual dengan menggunakan metode elemen hingga.
Kata kunci : Penurunan Pondasi, Pondasi Jalur, Keandalan, Ruang yang Bervarisi.
Dimana
PENDAHULUAN
Pada tulisan ini akan disajikan, keandalan dari suatu
pondasi dengan modulus elastis efektif pada ruang
yang acak. Modulus efektif dapat menjadi modulus
elastis lapangan pada penurunan konsolidasi.
Pada modulus elastis lapangan E s ( x ) dimana
q
μ0
dari modulus elastis tanah
adalah
faktor
pengaruh
x adalah posisi ruang. Poison rasio diasumsikan
μ1
kedalaman D dibawah permukaan tanah
adalah faktor pengaruh untuk pondasi
B adalah lebar pondasi.
E
*
s
~
~
konstan υ =0.35. Suatu analisa dua dimensi dibuat di
sini pada pondasi jalur dengan asumsi panjang ke
luar bidang datar tak terhingga diabaikan, walaupun
penurunan dari pondasi yang sebenarnya umumnya
bergantung pada masing-masing dimensi pondasi
yang direncanakan. Suatu pembagian (mesh) elemen
hingga menunjukkan pondasi yang terletak pada
tanah dengan modulus elastis lapangan acak, dimana
daerah yang terang adalah E s ( x) dengan nilai yang
~
lebih rendah, seperti ditunjukkan pada gambar 1:
adalah tegangan vertikal (KN/m2)
adalah beberapa pengukuran yang ekivalen
dengan lebar
tanah H
untuk
B dan kedalaman lapisan
Kasus utama dianggap bahwa pondasi terletak pada
permukaan lapisan tanah ( μ 0 =1) dengan
kedalaman H =6m. Beban pondasi diasumsikan
sebesar P = 1250 KN per meter panjang.
Dengan memasukkan harga P maka persamaan 1
dapat dituliskan sebagai berikut :
δ = μ 0 .μ1 .
P
E s*
(2)
Karena tujuan dari penulisan sebagai perbandingan
dengan penurunan pondasi pada teori Janbu, dengan
analisa elemen hingga yang linier. Dengan
menggunakan Modulus Elastis ruang yang konstan
Gambar 1. Pembagian elemen hingga yang terdeformasi
dengan contoh modulus elasis lapangan
E s* =30 MPa untuk variasi rasio H / B . Jadi di sini
dapat dilihat , suatu garis lurus yang mendekati yang
diperkirakan sebesar :
H
)
B
2. Metodologi Perencanaan Penurunan
μ1 = a + b ln(
Metode perencanaan adalah berdasarkan pada teori
Janbu, dengan formula untuk penurunan pada
dimana untuk kasus dengan anggapan Poison rasio
=0.35,
Garis
yang
cocok
dan
terbaik
seperti
mempunyai a = 0.4294 dan b =0.5071,
ditunjukkan pada gambar2. Persamaan penurunan
dapat dituliskan sebagai berikut :
pondasi jalur δ = μ 0 .μ1 .
qB
(1)
E s*
(3)
113
Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005
δ = μ 0 [a + b ln(
H
P
)]. *
B Es
(4)
Karena modulus elastis lapangan
E s ( x) adalah acak
~
^
(random), dengan harga
berarti nilai B acak.
E s perkiraan acak maka ini
Pekerjaan sekarang adalah untuk menaksir distribusi
dari harga penurunan yang aktual pada tiap pondasi
yang direncanakan. Jika persamaan prediksi akurat,
maka diharapkan kira-kira 50% dari penurunan
pondasi lapangan lebih dari δ maks sementara sisa
Gambar 2. Pengaruh rasio H/B pada faktor
pengaruh penurunan μ1
Kasus dimana
E
*
s diperkirakan
dengan contoh tanah
pada beberapa tempat untuk pondasi. Misalkan
^
Es =
H 1 E1 + H 2 E 2 + ...E n H n
(5)
H
H adalah total tebal dari seluruh lapisan.
Pada tulisan ini lapisan dianggap tunggal, walaupun
ruang yang bervariasi mungkin nampak pada
lapisan., jadi itu diasumsikan bahwa n sampel akan
diambil pada ruang yang sama diatas kedalaman
H sepanjang garis vertikal di pusat dari pondasi.
Pada kasus ini modulus elastis dapat ditulis menjadi
rata-rata aritmetika sebagai berikut :
^
1 n
∑ Ei
n i =1
(6)
Pengukuran kesalahan tidak dilakukan karena tujuan
di sini adalah untuk meperkirakan penurunan pada
kondisi yang bervariasi dengan pengamatan secara
aktual (nyata) dari modulus elastis tanah pada
beberapa titik.
Menggunakan elastis modulus yang diperkirakan,
prediksi penurunan pondasi menurut metode Janbu
menjadi :
⎛H⎞ P
⎟. ^ ]
⎝ B⎠ Es
δ pred = μ 0 [a + b ln⎜
(7)
Jika maksimum penurunan yang diijinkan adalah 40
mm
untuk
perencanaan
,
maka
δ pred = δ maks = 0.04 m , persamaan 7 dapat
diselesaikan untuk memperoleh lebar
B yang diperlukan sebagai berikut :
pondasi
^
1 Eδ
B = H exp{− ( s maks − a)}
b Pμ 0
114
~
telah dibuat sampel pada n titik untuk memperoleh
^
disain estimasi E s . Dengan memberikan harga
estimasi ini, diperoleh B dengan persamaan 8. Akan
tetapi karena lapangan yang sebenarnya adalah ruang
^
dimana
H i adalah tebal tanah dari ke i lapisan dan
E=
yang 50% akan lebih kecil dari penurunan lapangan.
Dengan catatan bahwa ini adalah masalah
probabilitas, misalkan pada lapangan acak E s ( x)
(8)
yang bervariasi, E s mungkin dapat mewakili elastis
modulus tanah yang sebenarnya jadi dibuat suatu
probabilitas untuk memperoleh perkiraan penurunan
yang sebenarnya.
3. Perkiraan probabilitas dari penurunan yang
bervariasi.
Penurunan
yang
bervariasi
akan
diperkirakan dengan simulasi Monte Carlo. Detail
dari model elemen hingga dan simulasi untuk
lapangan yang acak dapat dibuat dengan membagi
beberapa elemen.
Model elemen hingga adalah 60 elemen lebar dan 40
elemen dalam, dengan ukuran nominal elemen
Δx = Δy =0.15 m, memberikan luas daerah tanah
9 m lebar dan 6 m dalam. Simulasi Monte Carlo
mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1. Tentukan daerah acak dari modulus elastis ratarata lokal menggunakan metode Local Average
Subdivision (Sub pembagian lokal rata-rata)
(Fenton.dan Vanmarcke)
2. Sampel acak pada lapangan secara virtual pada 4
elemen langsung di bawah pusat pondasi (pada
kedalaman 0, H/3, 2H/3 dan H). Kemudian hitung
^
modulus elastis yang diestimasi E s , sebagai
harga rata-rata aritmetika.
3. Hitung harga lebar pondasi yang diperlukan
B dengan persamaan 8.
4. Atur masing-masing jumlah elemen η B terletak
dibawah pondasi pada model elemen hingga dan
lebar elemen, Δx seperti = B = η B Δx . Catatan
bahwa model elemen hingga mengasumsikan
bahwa pondasi adalah jumlah bilangan bulat dari
elemen lebar. Karena B dihitung dengan
persamaan 8 adalah keadaan menerus yang
bervariasi,
beberapa
pengaturan
dari
Analisa Keandalan terhadap Penurunan pada Pondasi Jalur
Anwar Harahap
Δx diperlukan. Harga nilai dari Δx dikekang dan
terletak antara (3/4)0.15 dan (4/3)0.15 untuk
menghindari aspek rasio elemen yang berlebihan
( Δy ditahan dengan jepit pada 0.15 m terhadap H
= 6 m). Dengan catatan juga daerah acak
digenerate lagi terhadap elemen-elemen yang
diatur, jadi sedikit akurasi akan hilang terhadap
statistik rata-rata lokal. Pada akhirnya harga
sebenarnya dari B yang digunakan dikekang jadi
pondasi kurang dari 4 elemen lebar atau kurang
dari 48 elemen lebar keseluruhan.
5. Gunakan rumusan elemen hingga untuk
menghitung penurunan simulasi δ sim .yang akan
memberikan penurunan aktual pada
elastis lapangan yang bervariasi.
modulus
6. Ulangi langkah (1) η sim sebanyak 100 kali untuk
memberikan 100 realisasi dari
Rangkaian realisasi dari
δ sim
δ sim .
dapat dibuat analisa
secara statistik untuk menentukan keadaan fungsi
^
densitas probabilitas (dikondisikan pada E s ).
Modulus elastis lapangan diasumsikan menjadi
distribusi secara log-normal dengan parameter.
σ ln2 E = ln(1 + V 2 ) ,
persamaan 4.
δ = μ 0 [ a + b ln(
H
P
)]. *
B Es
yang memprediksi
δ sim untuk tiap realisasi jika harga
*
S
E dapat ditemukan.
Satu kesulitan adalah bahwa harga B pada
persamaan (4) juga diturunkan dari sampel modulus
elastis lapangan yang acak. Ini berarti bahwa
δ
^
*
adalah fungsi baik E S dan E s , juga bahwa
E S* adalah rata-rata geometrik lokal di atas persegi
B x H . Jika persamaan (8)
ukuran acak
disubstitusi ke dalam persamaan (4), maka
dinyatakan sebagai berikut :
δ
dapat
^
E
δ = S* δ max
ES
(12)
*
1
2
μ ln E = ln( μ E ) − σ ln2 E
S
Secara hipotetis bahwa hubungan teori Janbu adalah
cukup akurat, itu dapat digunakan untuk
memprediksi penurunan yang aktual yang
dengan
menggunakan
disimulasikan
( δ sim )
Karena E S adalah rata-rata geometrik , di atas
S
S
4. Prediksi dari rata-rata dan varians penurunan
daerah acak dari ukuran pondasi B x H dari
lapangan acak yang terdistribusi secara log-normal
dengan parameter.
(9)
dimana V = σ ES / μ ES , adalah koefisien variasi.
Karena E s ( x ) adalah distribusi secara log-normal
E[ln E S* B ] = μ ln ES
logaritmanya adalah distribusi normal, dan E s ( x)
Var[ln E B ] = γ ( B, H )σ
dapat diperoleh daerah acak (random) Gauss melalui
transformasi sebagai berikut :
(10)
E s ( x ) = exp{μ ln E + σ ln E G ( x )}
dimana γ ( B, H ) adalah fungsi varians (VanMarcke, 1984) yang memberikan pengurangan pada
varians terhadap rata-rata aritmetik lokal . Fungsi
varians didefinisikan sebagai koefisien korelasi ratarata setiap pasang titik di lapangan.
~
~
S
~
S
~
dimana G ( x ) adalah rata-rata nol.
~
Persamaan Gauss yang diasumsikan mempunyai
suatu korelasi Markov dengan fungsi korelasi sebagai
berikut : ρ (τ ) = exp{−
2τ
θ ln E
}
(11)
dimana τ adalah jarak antara 2 titik pada lapangan
dan θ ln E adalah skala fluktuasi didefinisikan sebagai
jarak pemisahan melewati 2 titik E S ( x ) . Daerah
~
acak telah diasumsikan adalah isotropis pada tulisan
awal.
Simulasi dibentuk dengan modulus elastis statistik
lapangan yang bervariasi. Modulus elastis ditetapkan
pada 30 MPa, sementara koefisien variasi, V
bervarisi dari 0.1 ke 1.0 dan skala fluktuasi,
θ ln E bervarisi dari 0.1 sampai 15.
(13a)
*
S
B
B
H
∫ ∫ ∫ ∫
γ ( B, H ) =
0
0
0
H
0
2
ln E S
(13b)
ρ ( x1 − x 2 , y1 − y 2 )dy1 dy 2 dx1 dx 2
( H B) 2
dimana, untuk fungsi korelasi isotropis dengan
anggapan ini, ρ ( x, y ) = ρ ( x 2 + y 2 ) = ρ (τ ) lihat
persamaan (11).
Fungsi varians ditentukan secara numerik dengan
menggunakan qudrature Gauss. Parameter distribusi
*
yang tak terkondisi dari ln E S diperoleh dengan
mengambil ekspektasi dari persamaan (13) terhadap
B:
μ ln E * = μl ln ES
(14a)
S
σ
2
ln E S'
= E[γ ( B, H )]σ ln2 E
(14b)
S
115
Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005
dimana
pendekatan
orde
E[γ ( B, H )] adalah :
pertama
dari
E[γ ( B, H )] ≅ γ ( μ B , H )
(15)
Walaupun pendekatan orde kedua terhadap
E[γ ( B, H )] diperlukan tetapi secara eksak tidak
berbeda jauh dengan orde pertama.
Jumlah acak (random) nampak pada bagain kanan
^
dari persamaan (12) adalah E s , yang mempunyai
rata-rata dari n pengamatan adalah :
τ ave = 0.1μ B
(19)
Akhirnya dua hasil di atas bergantung pada lebar
pondasi rata-rata μ B . Ini dapat diperoleh dengan
pendekatan berikut. Pertama gunakan logaritma dari
persamaan 8 diperoleh :
^
1
E s = ∑ Ei
n i =1
dimana Ei adalah modulus elastis yang diamati. Itu
diasumsikan bahwa contoh modulus elastis sampel
didekati dengan ukuran elemen hingga yang sama
(sebagai contoh pengukuran konus CPTdengan
diameter konus 0.15). Dua bagian yang pertama dari
^
ES adalah
μ
^
ES
= μES
σ E2 = (
S
(16a)
1 n n
∑∑ ρij )σ E2 S
n 2 i =1 j =1
≅ γ (Δx, H )σ E2 S
dimana
ρij adalah
(16b)
koefisien korelasi antara sampel
ke i dan j.
^
Jika kita dapat mengasumsikan bahwa ES adalah
akhir pendekatan secara terdistribusi log-normal
dengan parameter diberikan pada persamaan (9)
kemudian δ pada persamaan (12) juga akan
terdistribusi secara log-normal dengan parameter :
μ ln δ = μ
− μ ln E S + ln(δ max )
'
^
ln E S
(17a)
(20)
dengan 2 keadaan :
^
n
^
~
E
1 δ
ln B = ln H {− ( maks S − a)}
b Pμ 0
μ ln B
~
E
1 δ
= ln H {− ( maks S − a)}
b Pμ 0
σ ln2 B = (
δ max 2 2
) σ ES
bμ 0. P
^
(21a)
(21b)
dan karena B adalah non negatif, dapat diasumsikan
pendekatan secara distribusi log-norrnal.menjadi
1
2
μ B ≅ exp{μ ln B + σ ln2 B }
Dengan hasil ini parameter dari penurunan yang
terdistribusi secara log-normal dapat diestimasi
dengan persamaan 17 yang memberikan modulus
elastis lapangan
μ E , σ E dan θ ln E *
S
5. Perbandingan penurunan yang diprediksi dan
yang disimulasi.
Rata-rata log-penurunan, seperti yang diprediksi pada
gambar dengan persamaan 17a ditunjukkan pada
gambar 3 dengan rata-rata sampel diperoleh dari hasi
simulasi minimum (V= 0.1) dan maksimum (V=1.0).
Untuk V kecil, hasilnya sangat baik. Untuk V yang
lebih besar, maksimum kesalahan relatif kira-kira
7%, terjadi pada skala fluktuasi yang lebih kecil.
^
σ 2 ln δ = σ 2 ln E S − σ 2 ln E 'S − 2Cov[ln E S , ln E S* )
^
(17b)
suku kovarians dapat dituliskan sebagai berikut :
^
Cov[ln E S , ln E S* ) = σ
dimana
ρ ave adalah
^
ln E S
σ ln E 'S .ρ ave
(18)
korelasi rata-rata antara setiap
^
titik pada domain yang didefinisikan E S dan domain
*
yang didefinisikan E S . Ini dapat dinyatakan dengan
bentuk integral dan diselesaikan secara numerik,
tetapi pendekatan yang sederhana disarankan dengan
mengamati bahwa ada beberapa jarak rata-rata antara
sampel dan blok tanah di bawah pondasi
τ ave sedemikian sehingga ρ ave = ρ (τ ave ) . Untuk
kasus dengan H= 6 m, harga yang terbaik didapat
dengan coba-coba (trial dan error) sebesar :
116
Gambar 3. Perbandingan rata-rata penurunan
yang diprediksi dan yang disimulasi
Analisa Keandalan terhadap Penurunan pada Pondasi Jalur
Anwar Harahap
ksi pada
Varians log-penurunan, seperti yang diprediksi
persamaan 17b ditunjukkan pada gambar 4dengan
sampel varians diperoleh dari hasil simulasi untuk
tiga koefisien variasi yang berbeda, V .Secara
keseluruhan varians yang diprediksi dengan yang
disimulasi cukup baik.
DAFTAR PUSTAKA
ASCE (1994). Settlement Analysis, Technical
Engineering and Design Guides, adapted from
the US Army Corps of Engineers, No. 9.
Fenton, G.A. and Griffiths, D.V. (2002).
“Probabilistic Foundation Settlement on
Spatially Random Soil,” ASCE J. Geotech.
Geoenv. Eng., 128(5), 381–390.
Fenton, G.A. and Vanmarcke, E.H. (1990).
“Simulation of Random Fields via Local
Average Subdivision,” ASCE J. Engrg. Mech.,
116(8), 1733–1749.
Fenton, G.A, Zhou Haiying , Jaksa B. Mark,
Griffiths D. V. (2003). “Reliability analysis of a
strip footing ”. Applications of Statistics and
Probability in Civil Engineering, Millpress,
Rotterdam.
Gambar 4. Perbandingan varians penurunan
yang diprediksi dan yang disimulas
Vanmarcke, E.H. (1984). Random Fields: Analysis
and Synthesis, The MIT Press Cambridge,
Massachusetts.
Pada gambar 5 probabilitas hasi yang diprediksi
dengan yang disimulasi menunjukkan bahwa
penrunan yang berlebihan dengan beberapa dari
δ maks di atas semua harga V dan θ ln E * .
S
Gambar 5. Perbandingan probabilitas penurunan
yang diprediksi dan yang disimulas
KESIMPULAN
Dari hasil pada gambar 5 menunjukkan
bahwa prediksi penurunan berdasarkan Janbu yang
diberikan pada persamaan 1 mempunyai keandalan
ketika digunakan dalam perencanaan.. Pada gambar 4
menunjukkan hasil yang baik kecuali pada varians
maksimum yang terjadi pada kira-kira θ ln ES ≅ 1 .
Jadi jika skala tidak diketahui akan konservatif jika
menggunakan θ ln ES ≅ 1 .
117
Anwar Harahap
ANALISA KEANDALAN TERHADAP PENURUNAN PADA PONDASI JALUR
Anwar Harahap
Jurusan Teknik Sipil USU
Abstrak: Perencanaan secara tradisional dari pondasi jalur (strip footing) untuk tanah berpasir diperoleh
pertama sekali dari hasil percobaan pada sejumlah lokasi yang terbatas untuk memperoleh besar modulus
elastis (contoh Cone Penetration / CPT ). Kemudian dari perencanaan diperoleh lebar pondasi B . Pada tanah
yang nyata, tanah mungkin dapat ataupun tidak mewakili modulus elastis pada pondasi pada ruang yang
bervariasi (spatial variability). Pada tulisan ini akan dibuat suatu perhitungan dengan metode Monte Carlo
pada suatu massa tanah di ruang yang bervariasi. Hasil penurunan pondasi dibandingkan untuk penurunan
yang dismulasikan dengan hasil aktual dengan menggunakan metode elemen hingga.
Kata kunci : Penurunan Pondasi, Pondasi Jalur, Keandalan, Ruang yang Bervarisi.
Dimana
PENDAHULUAN
Pada tulisan ini akan disajikan, keandalan dari suatu
pondasi dengan modulus elastis efektif pada ruang
yang acak. Modulus efektif dapat menjadi modulus
elastis lapangan pada penurunan konsolidasi.
Pada modulus elastis lapangan E s ( x ) dimana
q
μ0
dari modulus elastis tanah
adalah
faktor
pengaruh
x adalah posisi ruang. Poison rasio diasumsikan
μ1
kedalaman D dibawah permukaan tanah
adalah faktor pengaruh untuk pondasi
B adalah lebar pondasi.
E
*
s
~
~
konstan υ =0.35. Suatu analisa dua dimensi dibuat di
sini pada pondasi jalur dengan asumsi panjang ke
luar bidang datar tak terhingga diabaikan, walaupun
penurunan dari pondasi yang sebenarnya umumnya
bergantung pada masing-masing dimensi pondasi
yang direncanakan. Suatu pembagian (mesh) elemen
hingga menunjukkan pondasi yang terletak pada
tanah dengan modulus elastis lapangan acak, dimana
daerah yang terang adalah E s ( x) dengan nilai yang
~
lebih rendah, seperti ditunjukkan pada gambar 1:
adalah tegangan vertikal (KN/m2)
adalah beberapa pengukuran yang ekivalen
dengan lebar
tanah H
untuk
B dan kedalaman lapisan
Kasus utama dianggap bahwa pondasi terletak pada
permukaan lapisan tanah ( μ 0 =1) dengan
kedalaman H =6m. Beban pondasi diasumsikan
sebesar P = 1250 KN per meter panjang.
Dengan memasukkan harga P maka persamaan 1
dapat dituliskan sebagai berikut :
δ = μ 0 .μ1 .
P
E s*
(2)
Karena tujuan dari penulisan sebagai perbandingan
dengan penurunan pondasi pada teori Janbu, dengan
analisa elemen hingga yang linier. Dengan
menggunakan Modulus Elastis ruang yang konstan
Gambar 1. Pembagian elemen hingga yang terdeformasi
dengan contoh modulus elasis lapangan
E s* =30 MPa untuk variasi rasio H / B . Jadi di sini
dapat dilihat , suatu garis lurus yang mendekati yang
diperkirakan sebesar :
H
)
B
2. Metodologi Perencanaan Penurunan
μ1 = a + b ln(
Metode perencanaan adalah berdasarkan pada teori
Janbu, dengan formula untuk penurunan pada
dimana untuk kasus dengan anggapan Poison rasio
=0.35,
Garis
yang
cocok
dan
terbaik
seperti
mempunyai a = 0.4294 dan b =0.5071,
ditunjukkan pada gambar2. Persamaan penurunan
dapat dituliskan sebagai berikut :
pondasi jalur δ = μ 0 .μ1 .
qB
(1)
E s*
(3)
113
Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005
δ = μ 0 [a + b ln(
H
P
)]. *
B Es
(4)
Karena modulus elastis lapangan
E s ( x) adalah acak
~
^
(random), dengan harga
berarti nilai B acak.
E s perkiraan acak maka ini
Pekerjaan sekarang adalah untuk menaksir distribusi
dari harga penurunan yang aktual pada tiap pondasi
yang direncanakan. Jika persamaan prediksi akurat,
maka diharapkan kira-kira 50% dari penurunan
pondasi lapangan lebih dari δ maks sementara sisa
Gambar 2. Pengaruh rasio H/B pada faktor
pengaruh penurunan μ1
Kasus dimana
E
*
s diperkirakan
dengan contoh tanah
pada beberapa tempat untuk pondasi. Misalkan
^
Es =
H 1 E1 + H 2 E 2 + ...E n H n
(5)
H
H adalah total tebal dari seluruh lapisan.
Pada tulisan ini lapisan dianggap tunggal, walaupun
ruang yang bervariasi mungkin nampak pada
lapisan., jadi itu diasumsikan bahwa n sampel akan
diambil pada ruang yang sama diatas kedalaman
H sepanjang garis vertikal di pusat dari pondasi.
Pada kasus ini modulus elastis dapat ditulis menjadi
rata-rata aritmetika sebagai berikut :
^
1 n
∑ Ei
n i =1
(6)
Pengukuran kesalahan tidak dilakukan karena tujuan
di sini adalah untuk meperkirakan penurunan pada
kondisi yang bervariasi dengan pengamatan secara
aktual (nyata) dari modulus elastis tanah pada
beberapa titik.
Menggunakan elastis modulus yang diperkirakan,
prediksi penurunan pondasi menurut metode Janbu
menjadi :
⎛H⎞ P
⎟. ^ ]
⎝ B⎠ Es
δ pred = μ 0 [a + b ln⎜
(7)
Jika maksimum penurunan yang diijinkan adalah 40
mm
untuk
perencanaan
,
maka
δ pred = δ maks = 0.04 m , persamaan 7 dapat
diselesaikan untuk memperoleh lebar
B yang diperlukan sebagai berikut :
pondasi
^
1 Eδ
B = H exp{− ( s maks − a)}
b Pμ 0
114
~
telah dibuat sampel pada n titik untuk memperoleh
^
disain estimasi E s . Dengan memberikan harga
estimasi ini, diperoleh B dengan persamaan 8. Akan
tetapi karena lapangan yang sebenarnya adalah ruang
^
dimana
H i adalah tebal tanah dari ke i lapisan dan
E=
yang 50% akan lebih kecil dari penurunan lapangan.
Dengan catatan bahwa ini adalah masalah
probabilitas, misalkan pada lapangan acak E s ( x)
(8)
yang bervariasi, E s mungkin dapat mewakili elastis
modulus tanah yang sebenarnya jadi dibuat suatu
probabilitas untuk memperoleh perkiraan penurunan
yang sebenarnya.
3. Perkiraan probabilitas dari penurunan yang
bervariasi.
Penurunan
yang
bervariasi
akan
diperkirakan dengan simulasi Monte Carlo. Detail
dari model elemen hingga dan simulasi untuk
lapangan yang acak dapat dibuat dengan membagi
beberapa elemen.
Model elemen hingga adalah 60 elemen lebar dan 40
elemen dalam, dengan ukuran nominal elemen
Δx = Δy =0.15 m, memberikan luas daerah tanah
9 m lebar dan 6 m dalam. Simulasi Monte Carlo
mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1. Tentukan daerah acak dari modulus elastis ratarata lokal menggunakan metode Local Average
Subdivision (Sub pembagian lokal rata-rata)
(Fenton.dan Vanmarcke)
2. Sampel acak pada lapangan secara virtual pada 4
elemen langsung di bawah pusat pondasi (pada
kedalaman 0, H/3, 2H/3 dan H). Kemudian hitung
^
modulus elastis yang diestimasi E s , sebagai
harga rata-rata aritmetika.
3. Hitung harga lebar pondasi yang diperlukan
B dengan persamaan 8.
4. Atur masing-masing jumlah elemen η B terletak
dibawah pondasi pada model elemen hingga dan
lebar elemen, Δx seperti = B = η B Δx . Catatan
bahwa model elemen hingga mengasumsikan
bahwa pondasi adalah jumlah bilangan bulat dari
elemen lebar. Karena B dihitung dengan
persamaan 8 adalah keadaan menerus yang
bervariasi,
beberapa
pengaturan
dari
Analisa Keandalan terhadap Penurunan pada Pondasi Jalur
Anwar Harahap
Δx diperlukan. Harga nilai dari Δx dikekang dan
terletak antara (3/4)0.15 dan (4/3)0.15 untuk
menghindari aspek rasio elemen yang berlebihan
( Δy ditahan dengan jepit pada 0.15 m terhadap H
= 6 m). Dengan catatan juga daerah acak
digenerate lagi terhadap elemen-elemen yang
diatur, jadi sedikit akurasi akan hilang terhadap
statistik rata-rata lokal. Pada akhirnya harga
sebenarnya dari B yang digunakan dikekang jadi
pondasi kurang dari 4 elemen lebar atau kurang
dari 48 elemen lebar keseluruhan.
5. Gunakan rumusan elemen hingga untuk
menghitung penurunan simulasi δ sim .yang akan
memberikan penurunan aktual pada
elastis lapangan yang bervariasi.
modulus
6. Ulangi langkah (1) η sim sebanyak 100 kali untuk
memberikan 100 realisasi dari
Rangkaian realisasi dari
δ sim
δ sim .
dapat dibuat analisa
secara statistik untuk menentukan keadaan fungsi
^
densitas probabilitas (dikondisikan pada E s ).
Modulus elastis lapangan diasumsikan menjadi
distribusi secara log-normal dengan parameter.
σ ln2 E = ln(1 + V 2 ) ,
persamaan 4.
δ = μ 0 [ a + b ln(
H
P
)]. *
B Es
yang memprediksi
δ sim untuk tiap realisasi jika harga
*
S
E dapat ditemukan.
Satu kesulitan adalah bahwa harga B pada
persamaan (4) juga diturunkan dari sampel modulus
elastis lapangan yang acak. Ini berarti bahwa
δ
^
*
adalah fungsi baik E S dan E s , juga bahwa
E S* adalah rata-rata geometrik lokal di atas persegi
B x H . Jika persamaan (8)
ukuran acak
disubstitusi ke dalam persamaan (4), maka
dinyatakan sebagai berikut :
δ
dapat
^
E
δ = S* δ max
ES
(12)
*
1
2
μ ln E = ln( μ E ) − σ ln2 E
S
Secara hipotetis bahwa hubungan teori Janbu adalah
cukup akurat, itu dapat digunakan untuk
memprediksi penurunan yang aktual yang
dengan
menggunakan
disimulasikan
( δ sim )
Karena E S adalah rata-rata geometrik , di atas
S
S
4. Prediksi dari rata-rata dan varians penurunan
daerah acak dari ukuran pondasi B x H dari
lapangan acak yang terdistribusi secara log-normal
dengan parameter.
(9)
dimana V = σ ES / μ ES , adalah koefisien variasi.
Karena E s ( x ) adalah distribusi secara log-normal
E[ln E S* B ] = μ ln ES
logaritmanya adalah distribusi normal, dan E s ( x)
Var[ln E B ] = γ ( B, H )σ
dapat diperoleh daerah acak (random) Gauss melalui
transformasi sebagai berikut :
(10)
E s ( x ) = exp{μ ln E + σ ln E G ( x )}
dimana γ ( B, H ) adalah fungsi varians (VanMarcke, 1984) yang memberikan pengurangan pada
varians terhadap rata-rata aritmetik lokal . Fungsi
varians didefinisikan sebagai koefisien korelasi ratarata setiap pasang titik di lapangan.
~
~
S
~
S
~
dimana G ( x ) adalah rata-rata nol.
~
Persamaan Gauss yang diasumsikan mempunyai
suatu korelasi Markov dengan fungsi korelasi sebagai
berikut : ρ (τ ) = exp{−
2τ
θ ln E
}
(11)
dimana τ adalah jarak antara 2 titik pada lapangan
dan θ ln E adalah skala fluktuasi didefinisikan sebagai
jarak pemisahan melewati 2 titik E S ( x ) . Daerah
~
acak telah diasumsikan adalah isotropis pada tulisan
awal.
Simulasi dibentuk dengan modulus elastis statistik
lapangan yang bervariasi. Modulus elastis ditetapkan
pada 30 MPa, sementara koefisien variasi, V
bervarisi dari 0.1 ke 1.0 dan skala fluktuasi,
θ ln E bervarisi dari 0.1 sampai 15.
(13a)
*
S
B
B
H
∫ ∫ ∫ ∫
γ ( B, H ) =
0
0
0
H
0
2
ln E S
(13b)
ρ ( x1 − x 2 , y1 − y 2 )dy1 dy 2 dx1 dx 2
( H B) 2
dimana, untuk fungsi korelasi isotropis dengan
anggapan ini, ρ ( x, y ) = ρ ( x 2 + y 2 ) = ρ (τ ) lihat
persamaan (11).
Fungsi varians ditentukan secara numerik dengan
menggunakan qudrature Gauss. Parameter distribusi
*
yang tak terkondisi dari ln E S diperoleh dengan
mengambil ekspektasi dari persamaan (13) terhadap
B:
μ ln E * = μl ln ES
(14a)
S
σ
2
ln E S'
= E[γ ( B, H )]σ ln2 E
(14b)
S
115
Jurnal Sistem Teknik Industri Volume 6, No. 3 Juli 2005
dimana
pendekatan
orde
E[γ ( B, H )] adalah :
pertama
dari
E[γ ( B, H )] ≅ γ ( μ B , H )
(15)
Walaupun pendekatan orde kedua terhadap
E[γ ( B, H )] diperlukan tetapi secara eksak tidak
berbeda jauh dengan orde pertama.
Jumlah acak (random) nampak pada bagain kanan
^
dari persamaan (12) adalah E s , yang mempunyai
rata-rata dari n pengamatan adalah :
τ ave = 0.1μ B
(19)
Akhirnya dua hasil di atas bergantung pada lebar
pondasi rata-rata μ B . Ini dapat diperoleh dengan
pendekatan berikut. Pertama gunakan logaritma dari
persamaan 8 diperoleh :
^
1
E s = ∑ Ei
n i =1
dimana Ei adalah modulus elastis yang diamati. Itu
diasumsikan bahwa contoh modulus elastis sampel
didekati dengan ukuran elemen hingga yang sama
(sebagai contoh pengukuran konus CPTdengan
diameter konus 0.15). Dua bagian yang pertama dari
^
ES adalah
μ
^
ES
= μES
σ E2 = (
S
(16a)
1 n n
∑∑ ρij )σ E2 S
n 2 i =1 j =1
≅ γ (Δx, H )σ E2 S
dimana
ρij adalah
(16b)
koefisien korelasi antara sampel
ke i dan j.
^
Jika kita dapat mengasumsikan bahwa ES adalah
akhir pendekatan secara terdistribusi log-normal
dengan parameter diberikan pada persamaan (9)
kemudian δ pada persamaan (12) juga akan
terdistribusi secara log-normal dengan parameter :
μ ln δ = μ
− μ ln E S + ln(δ max )
'
^
ln E S
(17a)
(20)
dengan 2 keadaan :
^
n
^
~
E
1 δ
ln B = ln H {− ( maks S − a)}
b Pμ 0
μ ln B
~
E
1 δ
= ln H {− ( maks S − a)}
b Pμ 0
σ ln2 B = (
δ max 2 2
) σ ES
bμ 0. P
^
(21a)
(21b)
dan karena B adalah non negatif, dapat diasumsikan
pendekatan secara distribusi log-norrnal.menjadi
1
2
μ B ≅ exp{μ ln B + σ ln2 B }
Dengan hasil ini parameter dari penurunan yang
terdistribusi secara log-normal dapat diestimasi
dengan persamaan 17 yang memberikan modulus
elastis lapangan
μ E , σ E dan θ ln E *
S
5. Perbandingan penurunan yang diprediksi dan
yang disimulasi.
Rata-rata log-penurunan, seperti yang diprediksi pada
gambar dengan persamaan 17a ditunjukkan pada
gambar 3 dengan rata-rata sampel diperoleh dari hasi
simulasi minimum (V= 0.1) dan maksimum (V=1.0).
Untuk V kecil, hasilnya sangat baik. Untuk V yang
lebih besar, maksimum kesalahan relatif kira-kira
7%, terjadi pada skala fluktuasi yang lebih kecil.
^
σ 2 ln δ = σ 2 ln E S − σ 2 ln E 'S − 2Cov[ln E S , ln E S* )
^
(17b)
suku kovarians dapat dituliskan sebagai berikut :
^
Cov[ln E S , ln E S* ) = σ
dimana
ρ ave adalah
^
ln E S
σ ln E 'S .ρ ave
(18)
korelasi rata-rata antara setiap
^
titik pada domain yang didefinisikan E S dan domain
*
yang didefinisikan E S . Ini dapat dinyatakan dengan
bentuk integral dan diselesaikan secara numerik,
tetapi pendekatan yang sederhana disarankan dengan
mengamati bahwa ada beberapa jarak rata-rata antara
sampel dan blok tanah di bawah pondasi
τ ave sedemikian sehingga ρ ave = ρ (τ ave ) . Untuk
kasus dengan H= 6 m, harga yang terbaik didapat
dengan coba-coba (trial dan error) sebesar :
116
Gambar 3. Perbandingan rata-rata penurunan
yang diprediksi dan yang disimulasi
Analisa Keandalan terhadap Penurunan pada Pondasi Jalur
Anwar Harahap
ksi pada
Varians log-penurunan, seperti yang diprediksi
persamaan 17b ditunjukkan pada gambar 4dengan
sampel varians diperoleh dari hasil simulasi untuk
tiga koefisien variasi yang berbeda, V .Secara
keseluruhan varians yang diprediksi dengan yang
disimulasi cukup baik.
DAFTAR PUSTAKA
ASCE (1994). Settlement Analysis, Technical
Engineering and Design Guides, adapted from
the US Army Corps of Engineers, No. 9.
Fenton, G.A. and Griffiths, D.V. (2002).
“Probabilistic Foundation Settlement on
Spatially Random Soil,” ASCE J. Geotech.
Geoenv. Eng., 128(5), 381–390.
Fenton, G.A. and Vanmarcke, E.H. (1990).
“Simulation of Random Fields via Local
Average Subdivision,” ASCE J. Engrg. Mech.,
116(8), 1733–1749.
Fenton, G.A, Zhou Haiying , Jaksa B. Mark,
Griffiths D. V. (2003). “Reliability analysis of a
strip footing ”. Applications of Statistics and
Probability in Civil Engineering, Millpress,
Rotterdam.
Gambar 4. Perbandingan varians penurunan
yang diprediksi dan yang disimulas
Vanmarcke, E.H. (1984). Random Fields: Analysis
and Synthesis, The MIT Press Cambridge,
Massachusetts.
Pada gambar 5 probabilitas hasi yang diprediksi
dengan yang disimulasi menunjukkan bahwa
penrunan yang berlebihan dengan beberapa dari
δ maks di atas semua harga V dan θ ln E * .
S
Gambar 5. Perbandingan probabilitas penurunan
yang diprediksi dan yang disimulas
KESIMPULAN
Dari hasil pada gambar 5 menunjukkan
bahwa prediksi penurunan berdasarkan Janbu yang
diberikan pada persamaan 1 mempunyai keandalan
ketika digunakan dalam perencanaan.. Pada gambar 4
menunjukkan hasil yang baik kecuali pada varians
maksimum yang terjadi pada kira-kira θ ln ES ≅ 1 .
Jadi jika skala tidak diketahui akan konservatif jika
menggunakan θ ln ES ≅ 1 .
117