FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC √
ABSTRACT
FACTORIZATION IN IDEAL RING QUADRATIC
BY
√
M. CHALID FANSURY
For a square free integer d other than 1
Let,
[√ ]
√
{
}
Next, K is called quadratic field and it has two variable set of rational number Q,
the form number of K is,
{
and
{
√
}
√
}
For
, set of
̅ and
̅ itself is called trace and norm
from . Every ideal in
that built by element Z is principal ideal. If an ideal in
has 1 element from Z that relatively prime, then that ideal is unit ideal. Then
let (2) ideal in
with
and ideal ( can be factorized.
Key Words : square free, principal ideal, unit ideal, trace, norm, irreducible, ring
quadratic.
ABSTRAK
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
OLEH
√
M. CHALID FANSURY
Untuk bilangan bulat kuadrat bebas d selain 1
Misalkan,
[√ ]
√
{
}
Selanjutnya K disebuat lapangan kudratik dan memiliki dua variabel himpunan
bilangan rasional Q, bentuk bilangan dari K adalah
{
dan
{
√
}
√
}
Untuk
, himpunan
̅ dan
̅ masing-masing disebut
trace dan norm dari . Setiap ideal di
yang dibangun oleh elemen Z adalah
ideal utama. Jika sebuah ideal di
mempunyai 1 elemen dari Z yang relative
prima, maka ideal tersebut merupakan ideal unit. Kemudian misalkan (2) ideal di
dengan
dan ideal ( dapat difaktorkan.
Key Words : kuadrat bebas, ideal prima, ideal unit, trace, norm, irreducible, ring
quadratic.
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
[√ ]
Oleh
M. Chalid Fansury
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
(Skripsi)
Oleh
M. CHALID FANSURY
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................. i
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .............................................................. 1
1.2 Tujuan Penelitian .............................................................................. 2
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................ 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan ........................................................................................... 3
2.1.1
Bilangan Kuadrat Sempurna ………………………………. 3
2.1.2
Bilangan Kuadrat Bebas …………………………………… 4
2.1.3
Keterbagian Bilangan Bulat ……………………………….. 5
2.1.4
Bilangan Prima ……………………………………………. 8
2.2 Ring…….… ........................................................................................ 8
2.2.1
Daerah Integral ...................................................................... 9
2.2.2
Unit ....................................................................................... 10
2.2.3
Bilangan Irreducible .............................................................. 10
2.2.4
Ideal........................................................................................ 11
2.2.5
Ideal Maksimal ...................................................................... 11
i
2.2.6
Ideal Prima ............................................................................ 11
2.2.7
Daerah Faktorisasi Tunggal .................................................. 12
2.3 Ring Quadratic
√ ........................................................................ 12
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 18
3.2
Metode Penelitian ............................................................................ 18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konjugasi ............................................................................................ 19
4.2 Konsep Bilangan Bulat pada Lapangan Quadratik………………… 23
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 40
5.2 Saran .................................................................................................. 40
DAFTAR PUSTAKA
ii
MOTO
Melakukan yang terbaik sepanjang hidup
(M. Chalid Fansury)
Kegagalan hanya terjadi jika kita menyerah dengan cepat, tanpa usaha yang keras
(Bill Gates)
Belajarlah dari kesalahan orang lain. Anda tak dapat hidup cukup lama untuk
melakukan semua kesalahan itu sendiri.
(Robert Hall)
PERSEMBAHAN
Dengan Mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT
Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu dan adik-adikku tercinta yang menjadi sosok inspirasiku dalam
bertingkah laku dan berfikir
Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan
semangat untuk menyelesaikan skripsi ini
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa,
seluruh sahabat-sahabatku dan Almamaterku Universitas Lampung
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 10 Desember 1994, sebagai anak
pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Chairunnas dan Ibu Siti Sundari.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Taman Harapan Medan pada
tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Perguruan Islam AlUlum Terpadu Medan pada tahun 2009, Madrasah Aliyah Negeri (MAN) di MAN
1 Medan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui jalur SNMPTN UNDANGAN.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di Himpunan Mahasiswa
Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan menjadi anggota bidang Keilmuan
periode 2013-2015, dan menjadi anggota UKM-U Basket Unila pada tahun 20122013. Pada tahun 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Bank BNI
Syariah Medan. Penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Tiyuh Tunas
Asri Tulang Bawang Barat pada tahun 2015.
SANWACANA
Alhamdulillah dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan
karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.
Skripsi dengan judul “Faktorisasi Pada Ideal Ring Quadratic
√ ” disusun
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.S.i.) di
Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta
bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati
penulis ingin menyampaikan terima kasih banyak kepada:
1.
Bapak Prof. Suharso, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2.
Ibu Dra. Dwi Asmi, M.Si., Ph. D. selaku Pembantu Dekan I Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.
Ibu Netti Herawati, Ir., M. Sc., Ph.D. selaku Pembantu Dekan II Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan selaku
pembimbing akademik.
4.
Bapak Drs. Tugiyono, M.Si., Ph.D selaku Pembantu Dekan III Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5.
Bapak Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6.
Bapak Muslim Ansori, S.Si., M.Si., Dr. selaku Sekretaris Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
sekaligus dosen pembimbing Akademik.
7.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I terima kasih atas segala
bantuan dan waktunya untuk membimbing, memberi arahan, dan menasehati
dalam penyelesaian skripsi ini.
8.
Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II terima kasih untuk
bimbingan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.
9.
Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Penguji, atas
kesediaannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun
dalam proses penyelesaian skripsi ini.
10. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat
disebutkan satu persatu.
11. Keluarga, ibu dan ayahku tercinta yang selalu memberikan semangat dan
beliaulah yang selalu memberikan contoh terbaik dalam hidupku, terima
kasih segalanya yang telah diberikan.
12. Adik-adikku yang telah memberi semangat disaat jenuh dan memberi
semangat untuk bisa mengejar skripsi ini.
13. Kekasihku (Annisa Hevita GKS) terimakasih karena selalu menemani,
mendukung, memberikan semangat
14. Sahabat-sahabat semasa SMA yang tetap saling mendukung sampai sekarang
terimakasih atas semangatnya.
15. Kakak tingkat sekaligus sahabat, Wesly Agustin, Erick Rinaldy dan Asmawi
yang tidak pernah ada bosannya tiap hari ketemu dan saling
memberi
semangat, serta membantu saya dalam memahami skripsi ini.
16. Sahabat-sahabatku 2012 (teman seperjuangan) Rendi, Taufik, Pras, Jorgi,
Gio, Danar, Angger, Chandra, Anwar, Dwi, dan teman-teman angkatan 2012
yang tidak bisa disebutkan satu persatu terima kasih banyak semangatnya.
17. Sahabat-sahabat Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tiyuh Tunas Asri Tulang
Bawang Barat, Arum Nilasari, Fransiska Meliana, Ivan Alfatih, Luna
Lukvitasari, Netti, Rizki Aptriani, dan pegawai-pegawai di temapat saya
Kerja Praktik (KP) di Bank BNI Syariah Medan.
18. Adik tingkat 2013 dan 2014 yang selalu memberi dukungan dan yang selalu
memberi semangat saat di kampus dan diluar kampus.
19. Almamaterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan,
akan tetapi besar harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan
bermanfaat bagi kita semua. Amin. Sekali lagi terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, 6 Februari 2016
Penulis
M. Chalid Fansury
11111
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Faktorisasi adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilanganbilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan
tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Contohnya,
faktorisasi prima bilangan 84 adalah 2x2x3x7, di mana bilangan 2, 3 dan 7
adalah bilangan prima dan bilangan pembagi 84. Faktorisasi juga terdapat pada
fungsi limit, suku banyak, aljabar dan lain-lain.
Faktorisasi yang kita kenal yaitu pada fungsi polinomial (bentuk aljabar).
Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.
•
f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
•
Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0
Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0
Faktorisasi di atas berlaku umum ( pada bilangan real). Selanjutnya akan di
tinjau pada struktur ajabar , yaitu pada ring Q
subring dari ring bilangan kompleks
[√ ]
{
√
. Himpunan
√
adalah
dengan definisinya sebagai berikut
√
}
2
dengan
merupakan bilangan rasional dan
adalah sebarang bilangan bulat
kuadrat bebas tak nol, yaitu bilangan kuadrat tak nol yang tidak habis dibagi
dengan bilangan kuadrat yang lebih kecil selain 1. Ring
√
merupakan DFT
(Daerah Faktorisasi Tunggal), sehingga sifat – sifat dalam DFT seperti sifat
elemen irreducibel prima dan lainnya,
Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis
tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”faktorisasi pada ideal ring
quadratic
1.2
√
.”
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah mengkaji faktorisasi pada ideal ring
quadratic
1.3
√ .
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan
ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang faktorisasi pada ideal ring
quadratic
√ .
3. Menambah wawasan tentang ideal ring quadratic
√ .
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah
integral, ring quadratic
√ .
2.1 Bilangan
2.1.1 Bilangan Kuadrat Sempurna
Definisi 2.1.1.1 Bilangan kuadrat sempurna adalah suatu bilangan yang jika di
akar (dipangkatkan setengah) hasilnya berupa bilangan asli ( Burton,1976).
Contoh.
Beberapa bilangan kuadrat sempurna 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Banyak faktor dari
bilangan kuadrat sempurna adalah ganjil. Karena ada satu pasang faktornya yang
berpasangan dengan dirinya sendiri. Sehingga jumlah faktornya sebanyak
bilangan ganjil. Faktor dari bilangan yang bukan merupakan kuadrat sempurna,
misalnya bilangan 8. Faktor-faktornya yaitu 1, 8, 2 dan 4.Faktor-faktornya saling
berpasangan, 1 dan 8, dan 2 dan 4. Sedangkan pada bilangan kuadrat sempurna,
4
misalnya 9, faktor-faktornya adalah 1, 9 dan 3. Yang berpasangan adalah 1 dan 9,
sedangkan 3 berpasangan dengan dirinya sendiri. Beberapa bilangan kuadrat
sempurna yang pertama adalah1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,, …
2.1.2
Bilangan Kuadrat Bebas (square free integer)
Definisi 2.1.2.1
Square free adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat
sempurna kecuali 1 (Burton, 1976).
Contoh.
1.
10 adalah square free, karena 10 tidak habis dibagi dengan 4 dan 9
2.
18 bukan square free karena bisa dibagi
Barisan square free:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 39,
dan seterusnya.
Teorema 2.1.2.1. Bilangan bulat positif n dikatakan square free jika hanya jika
faktor prima dari n tidak muncul lebih dari satu kali (Burton, 1976).
Contoh.
1.
2.
5
2.1.3 Keterbagian Bilangan Bulat
Definisi 2.1.3.1. Sebuah bilangan bulat b di katakan terbagi atau habis dibagi oleh
bilangan bulat a ≠ 0 jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = ac, ditulis a |b.
Notasi a ł b digunakan untuk menyatakan b tidak habis terbagi oleh a. Jadi 12
terbagi oleh 4 sebab 12 = 4 ·3, tetapi 10 tidak terbagi oleh 3 sebab tidak ada
bilangan bulat c sehingga 10 = 3c, atau setiap bilangan bulat c sehingga 10 = 3c,
atau setiap bilangan bulat c berlaku 10 ≠ 3c. Dalam kasus ini ditulis 4 | 12 dan
3 ł 10 (Sukirman, 1997).
Istilah lain untuk a | b adalah a faktor dari b, a pembagi b atau b kelipatan dari a.
Bila a pembagi b maka –a juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan
selalu terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu
bilangan bulat cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian
digabungkan dengan faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung
dari definisi 2.1.3.1. adalah sebagai berikut:
a | 0, 1 | a, dan a | a untuk a ≠ 0
Fakta a | 0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan
apapun yang tidak nol. Fakta 1 | a mengatakan bahwa 1 merupakan faktor atau
pembagi dari bilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta a | a menyatakan
bahwa bilangan tidak nol selalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil
baginya adalah 1.
Berdasarkan pengertian keterbagian bilangan terdapat pada definisi 2.1.3.1, maka
berikut ini akan diberikan teorema tentang keterbagian bilangan.
6
Teorema 2.1.3.1. Untuk setiap
1.
jika dan hanya jika
2. Jika
dan
maka
3. Jika
dan
maka
4.
dan
berlaku pernyataan berikut
atau
jika dan hanya jika
5. Jika
dan
6. Jika
dan
atau
maka
, maka
untuk sebarang bilangan bulat
dan
(Sukirman, 1997)
Bukti
1. Jika
atau
, maka jelas bahwa
sebelumnya. Sebaliknya, diketahui
, sesuai penjelasan
berarti ada
sehingga
.
Persamaan ini hanya dipenuhi oleh dua kemungkinan berikut:
atau
Jadi berlaku jika
sehingga terbukti
2. Diketahui
dan
jka hanya jika
jadi terdapat
maka
atau
,
atau
sehingga
dan
Dengan mengalikan persamaan tersebut diperoleh:
yaitu
3. Diketahui
.
dan
, maka terdapat
sehingga
(2.1)
dan
(2.2)
Substitusi persamaan (2.1) ke persamaan (2.2), diperoleh
7
. Jadi
.
4. Diketahui
(2.3)
dan
(2.4)
Untuk suatu
Persamaan (2.3) dikalikan dengan persamaan (2.4), diperoleh
. Oleh karena itu
, jadi terbukti
5. Diberikan
, yakni
atau
atau
untuk suatu
. Karena
. Diambil nilai mutlaknya
maka
. Sehingga diperoleh
.
6. Diketahui
dan
dan
, maka terdapat
sedemikian sehingga
. Untuk sebarang
berlaku
yang berarti
.
Pernyataan terakhir teorema 2.1.3.1 berlaku juga untuk terhingga banyak bilangan
yang dibagi oleh , yaitu
untuk setiap bilangan bulat
faktor persekutuan terbesar.
yaitu
. Selanjutnya, akan dibahas pengertian
8
Definisi 2.1.3.2. Misalkan a dan b dua bilangan bulat dengan minimal salah
satunya tidak nol. Faktor persekutuan terbesar (FPB) atau greatest common
divisor (gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi
1.
dan
2. Jika
,
dan
maka
,
Dari definisi 2.1.3.2, kondisi 1 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan
dan kondisi 2 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terkecil di antara
semua faktor persekutuan yang ada. Selanjutnya, jika d faktor persekutuan
terbesar dari a dan b akan ditulis d = gcd(a,b) (Sukirman, 1997).
2.1.4
Bilangan Prima
Definisi 2.1.5.1. Sebuah bilangan bulat P
1 disebut bilangan prima, jika dan
hanya jika habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri (Burton,1976).
2.2
Ring
Definisi 2.2.1.1 Misalkan
himpunan sembarang tak kosong dan + serta • adalah
sebarang dua operasi pada . Himpunan < , +, • > disebut ring jika:
1. < , + > grup abelian
2. Terhadap operasi • berlaku:
a. tertutup
9
b. asosiatif (
3.
Terhadap operasi + dan • dipenuhi:
a. distributif kanan
b. distributif kiri
(Fraleight, 2000 ).
Contoh :
1. Himpunan
adalah ring.
2. Misal R adalah himpunan fungsi yang bernilai real dalam selang interval
1]. Penjumlahan dan perkalian dari dua fungsi
[0,
didefinisikan sebagai
berikut
, dan
. Dengan
pendefinisian ini R merupakan ring.
2.2.1
Daerah Integral
Definisi 2.2.1.1. Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi
nol disebut daerah integral (Fraleight, 2000 ).
Definisi 2.2.1.2. Ring divisi adalah ring dengan setiap elemen tak nolnya
merupakan unit.
10
2.2.2
Unit
Definisi 2.2.2.1. Misalkan
adalah daerah integral dan 1 adalah elemen satuan di
merupakan unit jika dan hanya jika u membagi 1 sedemikian sehingga
,
untuk suatu
. Dengan kata lain, mempunyai invers
terhadap operasi perkalian pada
Contoh. Elemen unit di
( Dummit, 2004 ).
adalah 1 dari -1.karena 1 ∣ 1 ( 1 = 1 . 1 )
dan karena -1 ∣ 1 ( 1 = ( -1 ) ( -1 ) )
2.2.3
1 = u.
Bilangan Irreducible
Definisi 2.2.3.1. Misalkan
dikatakan irreducible jika
dan
bukan unit di daerah integral .
di , maka
unit atau
unit di
(Dummit, 2004).
Contoh. Misalkan
suatu daerah integral
saling berasosiasi . Karena
Sehingga,
elemen irreducible (Dummit, 2004).
,
irreducible dan
11
2.2.4
Ideal
Definisi 2.2.4.1. Suatu subring
untuk semua
2.2.5
dari ring
yang memenuhi
dan
disebut ideal dari (Fraleight, 2000 ).
Ideal Maksimal
Definisi 2.2.5.1. Diberikan ring ,
ideal dari .
disebut ideal maksimal jika
a.
b. Untuk setiap
ideal dalam
dengan
maka
atau
,
tidak ada ideal lain yang memuat
2.2.6
kecuali dirinya sendiri (Fraleight, 2000 ).
Ideal Prima
Definisi 2.2.6.1. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan, N ideal dalam
R. N disebut prima jika :
a.
b. Untuk setiap
;
(Fraleight, 2000 ).
12
2.2.7
Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT)
Definisi 2.2.7.1. Adalah daerah integral
yang setiap elemen tak nol
yang
bukan merupakan unit memenuhi:
1.
dapat dinyatakan sebagai hasil kali berhingga dari elemen – elemen
irreducible
dari , yaitu
2. Jika juga dapat dinyatakan sebagai
Dan
assosiate dengan
maka
untuk
(Grillet, 2007).
2.3 Ring Quadratic Q[√ ]
Misalkan terdapat
[√ ]
{
√
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa himpunan
penjumlahan dan perkalian membentuk ring.
}
[√ ] dengan operasi
Teorema 2.3.1. Jika diberikan himpunan [√ ] sebagai berikut
[√ ]
{
√
Pada [√ ] didefinisikan dua operasi sebagai berikut
}
13
(i)
Operasi penjumlahan
, yaitu
(ii)
(
√ )
Perkalian
Maka,
(
√ )
[√ ]
(
√ )
√
√
√ )
(
membentuk ring
Bukti
1.
Harus dibuktikan bahwa
(i) Diberikan sebarang (
[√ ]
grup abel atau grup komutatif
√ )(
diperoleh
(
Karena
√ )
Jadi, operasi
√ )
(
√
tertutup pada
√ )(
[(
[
(
√ )
√ )
[√ ].
√ )]
√ ]
√
[
√
[√ ]
√ )(
(
[√ ], maka
, maka
dan
(ii) Diberikan sebarang
(
√ )
(
(
√ )
√ )
√ )
(
√
[√ ], maka diperoleh
√
√ )
√ ]
14
(
Jadi operasi
√ )
√ )
[(
(
√ )
(
√ )
√ )
[√ ] .
bersifat asosiatif pada
[√ ], maka terdapat
√
(iii) Diberikan sebarang
(
√ )]
(
[√ ] sehingga
(
√ )
√ )
(
√
Dari persamaan
(
√ )
√ )
(
dan
√
√
√
dan
Jadi (
(iv) Untuk setiap
√ )
sehingga
(
√ )
√
√ merupakan elemen netral pada
[√ ], terdapat (
(
√ )
(
√ )
Dari persamaan
(
√ )
dan
dan
√
(
√
√
√
√ )
√ )
(
[√ ].
[√ ]
√ )
15
Jadi – (
√ ) merupakan invers pada setiap
[√ ].
√
√ )(
(v) Diberikan sebarang (
diperoleh
(
√ )
Jadi operasi
(
√ )
(
komutatif.
Dari (i) – (v) disimpulkan
2.
Terhadap operasi perkalian
(i) Diberikan sebarang (
√ )
(
(
.
[√ ]
Jadi, operasi
√ )
tertutup pada
√ )(
[
√ )
(
√ )(
√
[√ ].
√ )]
[√ ], maka
√
√
√
(
√ )
grup komutatif.
√ )(
(ii) Diberikan sebarang
[(
√ )
[√ ] dan
Karena
(
√ )
(
√ )
[√ ], maka
√
[√ ], maka
[√ ].
√ )
√ )
√ ] (
√
[√ ], maka diperoleh
√ )
16
√
√
√
√
√
√
√
√ [(
Terhadap operasi
√
√ ]
√ [
3.
√
dan
.
√ )(
√ )]
√ )(
√ )
(i) Diberikan sebarang
(
[(
√ )(
√ )
[
[
√
√
√
√ )]
(
√ ]
√
√ ]
√
√
√
(
√ )
√ )
(
√
(ii) Diberikan sebarang (
maka diperoleh
(
[√ ], maka diperoleh
√
√ )
√
(
√ )(
√
√ )
√ )(
(
√ )
√ ) [√ ],
17
(
(
√ )
√ )
[(
√ )
[
√ )]
(
√ ]
√
(
√
√
√
√ )
(
√
√
√ )
√
(
√ )
(
√ )
11111
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada
semester ganjil 2015-2016
3.2
Metode Penelitian
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah.
Langka-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:
1. Menentukan Norm dan Trace pada ideal ring
2
√
Menentukan faktorisasi pada ideal ring quadratic
.
√
.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, maka dapat
√ dengan
diambil kesimpulan untuk
dan
, setiap ideal di
adalah ideal utama. Jika sebuah ideal di
relatif
(contoh
(
prima,
maka
( √
)
dan ideal
ideal
).
√
dan
maka
yang dibangun oleh elemen
mempunyai 1 elemen dari
tersebut
merupakan
Kemudian
perkalian
ideal
unit
dua
ideal
,
dan
). Kemudian misalkan
yang
ideal di
yaitu
dengan
dapat difaktorkan, maka faktorisasi idealnya yaitu:
dengan
5.2
Saran
Pada penelitian ini hanya membahas faktorisasi pada Ideal Ring Quadratic
[√ ].
Diharapkan pembaca mudah memahami skripsi ini dan dapat digunakan sebagai
pembelajaran ataupun sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Introduction to Diophantine
Equetion.Birkhauser.
Burton, D. M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New Hampshire.
United State of Afrika.
Dummit, D.S., Foote, R.M. 2004.Abstract Algebra Third Edition.Y & Y. United
States f America.
Fraleight, J.B. 2000.A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addison
Wesley Publishing Company, Inc. Phillipines
Grillet, P.A. 2007. Graduate Text in Mathematics. Second Edition.Springer. New
York
Sukirman, M.P. 1997. IlmuBilangan. Universtias Terbuka. Jakarta
FACTORIZATION IN IDEAL RING QUADRATIC
BY
√
M. CHALID FANSURY
For a square free integer d other than 1
Let,
[√ ]
√
{
}
Next, K is called quadratic field and it has two variable set of rational number Q,
the form number of K is,
{
and
{
√
}
√
}
For
, set of
̅ and
̅ itself is called trace and norm
from . Every ideal in
that built by element Z is principal ideal. If an ideal in
has 1 element from Z that relatively prime, then that ideal is unit ideal. Then
let (2) ideal in
with
and ideal ( can be factorized.
Key Words : square free, principal ideal, unit ideal, trace, norm, irreducible, ring
quadratic.
ABSTRAK
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
OLEH
√
M. CHALID FANSURY
Untuk bilangan bulat kuadrat bebas d selain 1
Misalkan,
[√ ]
√
{
}
Selanjutnya K disebuat lapangan kudratik dan memiliki dua variabel himpunan
bilangan rasional Q, bentuk bilangan dari K adalah
{
dan
{
√
}
√
}
Untuk
, himpunan
̅ dan
̅ masing-masing disebut
trace dan norm dari . Setiap ideal di
yang dibangun oleh elemen Z adalah
ideal utama. Jika sebuah ideal di
mempunyai 1 elemen dari Z yang relative
prima, maka ideal tersebut merupakan ideal unit. Kemudian misalkan (2) ideal di
dengan
dan ideal ( dapat difaktorkan.
Key Words : kuadrat bebas, ideal prima, ideal unit, trace, norm, irreducible, ring
quadratic.
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
[√ ]
Oleh
M. Chalid Fansury
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
FAKTORISASI PADA IDEAL RING QUADRATIC
(Skripsi)
Oleh
M. CHALID FANSURY
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................. i
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .............................................................. 1
1.2 Tujuan Penelitian .............................................................................. 2
1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................ 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan ........................................................................................... 3
2.1.1
Bilangan Kuadrat Sempurna ………………………………. 3
2.1.2
Bilangan Kuadrat Bebas …………………………………… 4
2.1.3
Keterbagian Bilangan Bulat ……………………………….. 5
2.1.4
Bilangan Prima ……………………………………………. 8
2.2 Ring…….… ........................................................................................ 8
2.2.1
Daerah Integral ...................................................................... 9
2.2.2
Unit ....................................................................................... 10
2.2.3
Bilangan Irreducible .............................................................. 10
2.2.4
Ideal........................................................................................ 11
2.2.5
Ideal Maksimal ...................................................................... 11
i
2.2.6
Ideal Prima ............................................................................ 11
2.2.7
Daerah Faktorisasi Tunggal .................................................. 12
2.3 Ring Quadratic
√ ........................................................................ 12
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 18
3.2
Metode Penelitian ............................................................................ 18
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konjugasi ............................................................................................ 19
4.2 Konsep Bilangan Bulat pada Lapangan Quadratik………………… 23
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 40
5.2 Saran .................................................................................................. 40
DAFTAR PUSTAKA
ii
MOTO
Melakukan yang terbaik sepanjang hidup
(M. Chalid Fansury)
Kegagalan hanya terjadi jika kita menyerah dengan cepat, tanpa usaha yang keras
(Bill Gates)
Belajarlah dari kesalahan orang lain. Anda tak dapat hidup cukup lama untuk
melakukan semua kesalahan itu sendiri.
(Robert Hall)
PERSEMBAHAN
Dengan Mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT
Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu dan adik-adikku tercinta yang menjadi sosok inspirasiku dalam
bertingkah laku dan berfikir
Keluarga Besarku tercinta yang selalu memberikan
semangat untuk menyelesaikan skripsi ini
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa,
seluruh sahabat-sahabatku dan Almamaterku Universitas Lampung
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 10 Desember 1994, sebagai anak
pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Chairunnas dan Ibu Siti Sundari.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Taman Harapan Medan pada
tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Perguruan Islam AlUlum Terpadu Medan pada tahun 2009, Madrasah Aliyah Negeri (MAN) di MAN
1 Medan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui jalur SNMPTN UNDANGAN.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di Himpunan Mahasiswa
Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan menjadi anggota bidang Keilmuan
periode 2013-2015, dan menjadi anggota UKM-U Basket Unila pada tahun 20122013. Pada tahun 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Bank BNI
Syariah Medan. Penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Tiyuh Tunas
Asri Tulang Bawang Barat pada tahun 2015.
SANWACANA
Alhamdulillah dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan
karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.
Skripsi dengan judul “Faktorisasi Pada Ideal Ring Quadratic
√ ” disusun
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.S.i.) di
Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini, adalah juga berkat motivasi dan pengarahan serta
bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati
penulis ingin menyampaikan terima kasih banyak kepada:
1.
Bapak Prof. Suharso, Ph. D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2.
Ibu Dra. Dwi Asmi, M.Si., Ph. D. selaku Pembantu Dekan I Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.
Ibu Netti Herawati, Ir., M. Sc., Ph.D. selaku Pembantu Dekan II Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan selaku
pembimbing akademik.
4.
Bapak Drs. Tugiyono, M.Si., Ph.D selaku Pembantu Dekan III Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
5.
Bapak Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6.
Bapak Muslim Ansori, S.Si., M.Si., Dr. selaku Sekretaris Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
sekaligus dosen pembimbing Akademik.
7.
Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku pembimbing I terima kasih atas segala
bantuan dan waktunya untuk membimbing, memberi arahan, dan menasehati
dalam penyelesaian skripsi ini.
8.
Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II terima kasih untuk
bimbingan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini.
9.
Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D. selaku Dosen Penguji, atas
kesediaannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun
dalam proses penyelesaian skripsi ini.
10. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika yang tidak dapat
disebutkan satu persatu.
11. Keluarga, ibu dan ayahku tercinta yang selalu memberikan semangat dan
beliaulah yang selalu memberikan contoh terbaik dalam hidupku, terima
kasih segalanya yang telah diberikan.
12. Adik-adikku yang telah memberi semangat disaat jenuh dan memberi
semangat untuk bisa mengejar skripsi ini.
13. Kekasihku (Annisa Hevita GKS) terimakasih karena selalu menemani,
mendukung, memberikan semangat
14. Sahabat-sahabat semasa SMA yang tetap saling mendukung sampai sekarang
terimakasih atas semangatnya.
15. Kakak tingkat sekaligus sahabat, Wesly Agustin, Erick Rinaldy dan Asmawi
yang tidak pernah ada bosannya tiap hari ketemu dan saling
memberi
semangat, serta membantu saya dalam memahami skripsi ini.
16. Sahabat-sahabatku 2012 (teman seperjuangan) Rendi, Taufik, Pras, Jorgi,
Gio, Danar, Angger, Chandra, Anwar, Dwi, dan teman-teman angkatan 2012
yang tidak bisa disebutkan satu persatu terima kasih banyak semangatnya.
17. Sahabat-sahabat Kuliah Kerja Nyata (KKN) Tiyuh Tunas Asri Tulang
Bawang Barat, Arum Nilasari, Fransiska Meliana, Ivan Alfatih, Luna
Lukvitasari, Netti, Rizki Aptriani, dan pegawai-pegawai di temapat saya
Kerja Praktik (KP) di Bank BNI Syariah Medan.
18. Adik tingkat 2013 dan 2014 yang selalu memberi dukungan dan yang selalu
memberi semangat saat di kampus dan diluar kampus.
19. Almamaterku tercinta Universitas Lampung.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan,
akan tetapi besar harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan
bermanfaat bagi kita semua. Amin. Sekali lagi terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, 6 Februari 2016
Penulis
M. Chalid Fansury
11111
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Faktorisasi adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilanganbilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan
tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Contohnya,
faktorisasi prima bilangan 84 adalah 2x2x3x7, di mana bilangan 2, 3 dan 7
adalah bilangan prima dan bilangan pembagi 84. Faktorisasi juga terdapat pada
fungsi limit, suku banyak, aljabar dan lain-lain.
Faktorisasi yang kita kenal yaitu pada fungsi polinomial (bentuk aljabar).
Faktorisasi fungsi maksudnya ialah menguraikan ruas utama fungsi tersebut
menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil.
•
f(x, y) = g(x, y). h(x, y)
•
Persamaan 2x2 – xy – y2 = 0
Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0
Faktorisasi di atas berlaku umum ( pada bilangan real). Selanjutnya akan di
tinjau pada struktur ajabar , yaitu pada ring Q
subring dari ring bilangan kompleks
[√ ]
{
√
. Himpunan
√
adalah
dengan definisinya sebagai berikut
√
}
2
dengan
merupakan bilangan rasional dan
adalah sebarang bilangan bulat
kuadrat bebas tak nol, yaitu bilangan kuadrat tak nol yang tidak habis dibagi
dengan bilangan kuadrat yang lebih kecil selain 1. Ring
√
merupakan DFT
(Daerah Faktorisasi Tunggal), sehingga sifat – sifat dalam DFT seperti sifat
elemen irreducibel prima dan lainnya,
Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis
tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”faktorisasi pada ideal ring
quadratic
1.2
√
.”
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah mengkaji faktorisasi pada ideal ring
quadratic
1.3
√ .
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah
1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan
ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang faktorisasi pada ideal ring
quadratic
√ .
3. Menambah wawasan tentang ideal ring quadratic
√ .
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah
integral, ring quadratic
√ .
2.1 Bilangan
2.1.1 Bilangan Kuadrat Sempurna
Definisi 2.1.1.1 Bilangan kuadrat sempurna adalah suatu bilangan yang jika di
akar (dipangkatkan setengah) hasilnya berupa bilangan asli ( Burton,1976).
Contoh.
Beberapa bilangan kuadrat sempurna 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Banyak faktor dari
bilangan kuadrat sempurna adalah ganjil. Karena ada satu pasang faktornya yang
berpasangan dengan dirinya sendiri. Sehingga jumlah faktornya sebanyak
bilangan ganjil. Faktor dari bilangan yang bukan merupakan kuadrat sempurna,
misalnya bilangan 8. Faktor-faktornya yaitu 1, 8, 2 dan 4.Faktor-faktornya saling
berpasangan, 1 dan 8, dan 2 dan 4. Sedangkan pada bilangan kuadrat sempurna,
4
misalnya 9, faktor-faktornya adalah 1, 9 dan 3. Yang berpasangan adalah 1 dan 9,
sedangkan 3 berpasangan dengan dirinya sendiri. Beberapa bilangan kuadrat
sempurna yang pertama adalah1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,, …
2.1.2
Bilangan Kuadrat Bebas (square free integer)
Definisi 2.1.2.1
Square free adalah bilangan bulat yang tidak dapat dibagi oleh bilangan kuadrat
sempurna kecuali 1 (Burton, 1976).
Contoh.
1.
10 adalah square free, karena 10 tidak habis dibagi dengan 4 dan 9
2.
18 bukan square free karena bisa dibagi
Barisan square free:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 38, 39,
dan seterusnya.
Teorema 2.1.2.1. Bilangan bulat positif n dikatakan square free jika hanya jika
faktor prima dari n tidak muncul lebih dari satu kali (Burton, 1976).
Contoh.
1.
2.
5
2.1.3 Keterbagian Bilangan Bulat
Definisi 2.1.3.1. Sebuah bilangan bulat b di katakan terbagi atau habis dibagi oleh
bilangan bulat a ≠ 0 jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = ac, ditulis a |b.
Notasi a ł b digunakan untuk menyatakan b tidak habis terbagi oleh a. Jadi 12
terbagi oleh 4 sebab 12 = 4 ·3, tetapi 10 tidak terbagi oleh 3 sebab tidak ada
bilangan bulat c sehingga 10 = 3c, atau setiap bilangan bulat c sehingga 10 = 3c,
atau setiap bilangan bulat c berlaku 10 ≠ 3c. Dalam kasus ini ditulis 4 | 12 dan
3 ł 10 (Sukirman, 1997).
Istilah lain untuk a | b adalah a faktor dari b, a pembagi b atau b kelipatan dari a.
Bila a pembagi b maka –a juga pembagi b, sehingga pembagi suatu bilangan
selalu terjadi berpasangan. Jadi dalam menentukan semua faktor dari suatu
bilangan bulat cukup ditentukan faktor-faktor positifnya saja, kemudian
digabungkan dengan faktor negatifnya. Fakta sederhana yang diturunkan langsung
dari definisi 2.1.3.1. adalah sebagai berikut:
a | 0, 1 | a, dan a | a untuk a ≠ 0
Fakta a | 0 dapat dijelaskan bahwa bilangan 0 selalu habis dibagi oleh bilangan
apapun yang tidak nol. Fakta 1 | a mengatakan bahwa 1 merupakan faktor atau
pembagi dari bilangan apapun termasuk bilangan 0. Fakta a | a menyatakan
bahwa bilangan tidak nol selalu habis membagi dirinya sendiri dengan hasil
baginya adalah 1.
Berdasarkan pengertian keterbagian bilangan terdapat pada definisi 2.1.3.1, maka
berikut ini akan diberikan teorema tentang keterbagian bilangan.
6
Teorema 2.1.3.1. Untuk setiap
1.
jika dan hanya jika
2. Jika
dan
maka
3. Jika
dan
maka
4.
dan
berlaku pernyataan berikut
atau
jika dan hanya jika
5. Jika
dan
6. Jika
dan
atau
maka
, maka
untuk sebarang bilangan bulat
dan
(Sukirman, 1997)
Bukti
1. Jika
atau
, maka jelas bahwa
sebelumnya. Sebaliknya, diketahui
, sesuai penjelasan
berarti ada
sehingga
.
Persamaan ini hanya dipenuhi oleh dua kemungkinan berikut:
atau
Jadi berlaku jika
sehingga terbukti
2. Diketahui
dan
jka hanya jika
jadi terdapat
maka
atau
,
atau
sehingga
dan
Dengan mengalikan persamaan tersebut diperoleh:
yaitu
3. Diketahui
.
dan
, maka terdapat
sehingga
(2.1)
dan
(2.2)
Substitusi persamaan (2.1) ke persamaan (2.2), diperoleh
7
. Jadi
.
4. Diketahui
(2.3)
dan
(2.4)
Untuk suatu
Persamaan (2.3) dikalikan dengan persamaan (2.4), diperoleh
. Oleh karena itu
, jadi terbukti
5. Diberikan
, yakni
atau
atau
untuk suatu
. Karena
. Diambil nilai mutlaknya
maka
. Sehingga diperoleh
.
6. Diketahui
dan
dan
, maka terdapat
sedemikian sehingga
. Untuk sebarang
berlaku
yang berarti
.
Pernyataan terakhir teorema 2.1.3.1 berlaku juga untuk terhingga banyak bilangan
yang dibagi oleh , yaitu
untuk setiap bilangan bulat
faktor persekutuan terbesar.
yaitu
. Selanjutnya, akan dibahas pengertian
8
Definisi 2.1.3.2. Misalkan a dan b dua bilangan bulat dengan minimal salah
satunya tidak nol. Faktor persekutuan terbesar (FPB) atau greatest common
divisor (gcd) dari a dan b adalah bilangan bulat d yang memenuhi
1.
dan
2. Jika
,
dan
maka
,
Dari definisi 2.1.3.2, kondisi 1 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan
dan kondisi 2 menyatakan bahwa d adalah faktor persekutuan terkecil di antara
semua faktor persekutuan yang ada. Selanjutnya, jika d faktor persekutuan
terbesar dari a dan b akan ditulis d = gcd(a,b) (Sukirman, 1997).
2.1.4
Bilangan Prima
Definisi 2.1.5.1. Sebuah bilangan bulat P
1 disebut bilangan prima, jika dan
hanya jika habis dibagi dengan 1 dan bilangan itu sendiri (Burton,1976).
2.2
Ring
Definisi 2.2.1.1 Misalkan
himpunan sembarang tak kosong dan + serta • adalah
sebarang dua operasi pada . Himpunan < , +, • > disebut ring jika:
1. < , + > grup abelian
2. Terhadap operasi • berlaku:
a. tertutup
9
b. asosiatif (
3.
Terhadap operasi + dan • dipenuhi:
a. distributif kanan
b. distributif kiri
(Fraleight, 2000 ).
Contoh :
1. Himpunan
adalah ring.
2. Misal R adalah himpunan fungsi yang bernilai real dalam selang interval
1]. Penjumlahan dan perkalian dari dua fungsi
[0,
didefinisikan sebagai
berikut
, dan
. Dengan
pendefinisian ini R merupakan ring.
2.2.1
Daerah Integral
Definisi 2.2.1.1. Ring komutatif dengan elemen satuan yang tak memuat pembagi
nol disebut daerah integral (Fraleight, 2000 ).
Definisi 2.2.1.2. Ring divisi adalah ring dengan setiap elemen tak nolnya
merupakan unit.
10
2.2.2
Unit
Definisi 2.2.2.1. Misalkan
adalah daerah integral dan 1 adalah elemen satuan di
merupakan unit jika dan hanya jika u membagi 1 sedemikian sehingga
,
untuk suatu
. Dengan kata lain, mempunyai invers
terhadap operasi perkalian pada
Contoh. Elemen unit di
( Dummit, 2004 ).
adalah 1 dari -1.karena 1 ∣ 1 ( 1 = 1 . 1 )
dan karena -1 ∣ 1 ( 1 = ( -1 ) ( -1 ) )
2.2.3
1 = u.
Bilangan Irreducible
Definisi 2.2.3.1. Misalkan
dikatakan irreducible jika
dan
bukan unit di daerah integral .
di , maka
unit atau
unit di
(Dummit, 2004).
Contoh. Misalkan
suatu daerah integral
saling berasosiasi . Karena
Sehingga,
elemen irreducible (Dummit, 2004).
,
irreducible dan
11
2.2.4
Ideal
Definisi 2.2.4.1. Suatu subring
untuk semua
2.2.5
dari ring
yang memenuhi
dan
disebut ideal dari (Fraleight, 2000 ).
Ideal Maksimal
Definisi 2.2.5.1. Diberikan ring ,
ideal dari .
disebut ideal maksimal jika
a.
b. Untuk setiap
ideal dalam
dengan
maka
atau
,
tidak ada ideal lain yang memuat
2.2.6
kecuali dirinya sendiri (Fraleight, 2000 ).
Ideal Prima
Definisi 2.2.6.1. Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan, N ideal dalam
R. N disebut prima jika :
a.
b. Untuk setiap
;
(Fraleight, 2000 ).
12
2.2.7
Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT)
Definisi 2.2.7.1. Adalah daerah integral
yang setiap elemen tak nol
yang
bukan merupakan unit memenuhi:
1.
dapat dinyatakan sebagai hasil kali berhingga dari elemen – elemen
irreducible
dari , yaitu
2. Jika juga dapat dinyatakan sebagai
Dan
assosiate dengan
maka
untuk
(Grillet, 2007).
2.3 Ring Quadratic Q[√ ]
Misalkan terdapat
[√ ]
{
√
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa himpunan
penjumlahan dan perkalian membentuk ring.
}
[√ ] dengan operasi
Teorema 2.3.1. Jika diberikan himpunan [√ ] sebagai berikut
[√ ]
{
√
Pada [√ ] didefinisikan dua operasi sebagai berikut
}
13
(i)
Operasi penjumlahan
, yaitu
(ii)
(
√ )
Perkalian
Maka,
(
√ )
[√ ]
(
√ )
√
√
√ )
(
membentuk ring
Bukti
1.
Harus dibuktikan bahwa
(i) Diberikan sebarang (
[√ ]
grup abel atau grup komutatif
√ )(
diperoleh
(
Karena
√ )
Jadi, operasi
√ )
(
√
tertutup pada
√ )(
[(
[
(
√ )
√ )
[√ ].
√ )]
√ ]
√
[
√
[√ ]
√ )(
(
[√ ], maka
, maka
dan
(ii) Diberikan sebarang
(
√ )
(
(
√ )
√ )
√ )
(
√
[√ ], maka diperoleh
√
√ )
√ ]
14
(
Jadi operasi
√ )
√ )
[(
(
√ )
(
√ )
√ )
[√ ] .
bersifat asosiatif pada
[√ ], maka terdapat
√
(iii) Diberikan sebarang
(
√ )]
(
[√ ] sehingga
(
√ )
√ )
(
√
Dari persamaan
(
√ )
√ )
(
dan
√
√
√
dan
Jadi (
(iv) Untuk setiap
√ )
sehingga
(
√ )
√
√ merupakan elemen netral pada
[√ ], terdapat (
(
√ )
(
√ )
Dari persamaan
(
√ )
dan
dan
√
(
√
√
√
√ )
√ )
(
[√ ].
[√ ]
√ )
15
Jadi – (
√ ) merupakan invers pada setiap
[√ ].
√
√ )(
(v) Diberikan sebarang (
diperoleh
(
√ )
Jadi operasi
(
√ )
(
komutatif.
Dari (i) – (v) disimpulkan
2.
Terhadap operasi perkalian
(i) Diberikan sebarang (
√ )
(
(
.
[√ ]
Jadi, operasi
√ )
tertutup pada
√ )(
[
√ )
(
√ )(
√
[√ ].
√ )]
[√ ], maka
√
√
√
(
√ )
grup komutatif.
√ )(
(ii) Diberikan sebarang
[(
√ )
[√ ] dan
Karena
(
√ )
(
√ )
[√ ], maka
√
[√ ], maka
[√ ].
√ )
√ )
√ ] (
√
[√ ], maka diperoleh
√ )
16
√
√
√
√
√
√
√
√ [(
Terhadap operasi
√
√ ]
√ [
3.
√
dan
.
√ )(
√ )]
√ )(
√ )
(i) Diberikan sebarang
(
[(
√ )(
√ )
[
[
√
√
√
√ )]
(
√ ]
√
√ ]
√
√
√
(
√ )
√ )
(
√
(ii) Diberikan sebarang (
maka diperoleh
(
[√ ], maka diperoleh
√
√ )
√
(
√ )(
√
√ )
√ )(
(
√ )
√ ) [√ ],
17
(
(
√ )
√ )
[(
√ )
[
√ )]
(
√ ]
√
(
√
√
√
√ )
(
√
√
√ )
√
(
√ )
(
√ )
11111
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada
semester ganjil 2015-2016
3.2
Metode Penelitian
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah.
Langka-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah:
1. Menentukan Norm dan Trace pada ideal ring
2
√
Menentukan faktorisasi pada ideal ring quadratic
.
√
.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, maka dapat
√ dengan
diambil kesimpulan untuk
dan
, setiap ideal di
adalah ideal utama. Jika sebuah ideal di
relatif
(contoh
(
prima,
maka
( √
)
dan ideal
ideal
).
√
dan
maka
yang dibangun oleh elemen
mempunyai 1 elemen dari
tersebut
merupakan
Kemudian
perkalian
ideal
unit
dua
ideal
,
dan
). Kemudian misalkan
yang
ideal di
yaitu
dengan
dapat difaktorkan, maka faktorisasi idealnya yaitu:
dengan
5.2
Saran
Pada penelitian ini hanya membahas faktorisasi pada Ideal Ring Quadratic
[√ ].
Diharapkan pembaca mudah memahami skripsi ini dan dapat digunakan sebagai
pembelajaran ataupun sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut.
DAFTAR PUSTAKA
Andreescu, T., Andrica, D., Cucurezeanu, I. 2010. An Introduction to Diophantine
Equetion.Birkhauser.
Burton, D. M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New Hampshire.
United State of Afrika.
Dummit, D.S., Foote, R.M. 2004.Abstract Algebra Third Edition.Y & Y. United
States f America.
Fraleight, J.B. 2000.A First Course In Abstract Algebra. Sixth Edition. Addison
Wesley Publishing Company, Inc. Phillipines
Grillet, P.A. 2007. Graduate Text in Mathematics. Second Edition.Springer. New
York
Sukirman, M.P. 1997. IlmuBilangan. Universtias Terbuka. Jakarta