BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL PADA RING TRANSFORMASI LINEAR

BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL
PADA RING TRANSFORMASI LINEAR LF V,W, k ,

,

1

Karyati
Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
e-mail : yatiuny@yahoo.com
Abstrak
Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ
dengan Q adalah ring bagian. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X

QR Q ,
R adalah
irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X , yang selanjutnya dinotasikan dengan X q .
Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika

x q untuk semua

dan hanya jika Q

x Q\ 0 .
Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V , W menotasikan
himpunan semua transformasi linear : V W . Misalkan k adalah bilangan kardinal tak hingga
LF V , W rank
k . Himpunan LF V , W , k , membentuk grup
dan LF V , W , k
abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk suatu
suatu operasi
pada LF V , W , k
, yaitu:
LF V , W tertentu didefinisikan

 

untuk semua

,

LF V , W , k . Himpunan LF V , W , k bersama operasi

‘+’ dan ‘*’ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V , W , k , ,
Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V , W , k , ,
Diperoleh

Ran




hasil

sebagai

berikut

:Misal

LF V , W

sedemikian

.

.

sehingga

LF W , W sedemikian sehingga u
F u untuk suatu u W , Jika ,
u maka
LF W , W sedemikian sehingga u
 dan Jika
a u untuk suatu a F maka
,
LF V , W , k , jika
a . Hasil lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal

q

dalam ring

LF V , W , k , ,

sedemikian sehingga memenuhi Ra n
F
LF V , W , k , ,
dalam
q
memenuhi Ra n

Ker

dan Ra n

minimal dalam LF V , W , k , ,

maka Ran

Ran . Misal

LF V , W, k

dan Ra n
Ker . Jika rank
1 , maka
LF V , W, k sedemikian sehingga
. Misal

Ker

Ker . Jika rank

1 , maka

q adalah quasi- ideal

.

Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal

1. Pendahuluan
Ring merupakan struktur aljabar yang melibatkan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah
dan operasi perkalian. Terhadap operasi jumlah, ring membentuk grup abelian, sementara itu
terhadap operasi perkalian membentuk semigrup. Selain itu harus bersifat distributif kiri
maupun kanan. Ring terhadap operasi perkalian bersifat komutatif disebut ring komutatif.
1

Disampaikan pada Seminar Nasional KNM XIII, di Jurusan Matematika FMIPA UNNES,
24 – 27 Juli 2006

1

Selanjutnya jika memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Jika R adalah ring
dan S

R disebut sub ring jika S terhadap operasi yang sama pada R membentuk ring.

Definisi ini ekuivalen dengan S membentuk sub grup terhadap operasi jumlah dan membentuk
sub semigrup terhadap operasi perkaliannya.

Misalkan R adalah ring, maka Q

R disebut quasi-ideal dari R jika RQ

Q adalah ring bagian. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X

QR

Q , dengan

R adalah irisan

semua quasi-ideal dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan
dengan X

q.

Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q

x q untuk

semua x Q \ 0 .

Diberikan V

dan W adalah ruang vector atas lapangan F dan LF V , W

himpunan semua transformasi linear
hingga
rank

dan
rank

:V

rank

W . Misalkan k adalah bilangan kardina tak

LF V , W rank

LF V , W , k

menotasikan

untuk semua

,

k .

Diketahui

LF V , W . Himpunan

bahwa

LF V , W , k ,

membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ).
Selanjutnya,

untuk suatu

LF V , W , k , yaitu:

LF V , W , k

LF V , W

 

tertentu didefinisikan

untuk semua

suatu operasi

pada

LF V , W , k . Terhadap operasi ini,

,

membentuk semigrup ( [1]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan.

Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V , W , k , ,

( [1]: p.317 ). Jelas

bahwa himpunan ini membentuk ring. Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi semua
dan mengindikasikan bilamana ring

quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V , W , k , ,

tersebut mempunyai quasi-ideal minimal. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal
dalam suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ).

2. Kajian Teori
Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam
pembahasan artikel ini.
Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ”
dikatakan semigrup jika

bersifat asosiatif yaitu :

x, y, z

Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P

x ( y z)

S disebut sub semigrup jika terhadap

operasi yang didefinisikan pada S , P membentuk semigrup.

2

S ( x y) z

Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S .
Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring:
Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q
jika RQ

R disebut quasi-ideal dari R

Q , dengan Q adalah ring bagian.

QR

Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X

R adalah irisan semua quasi-ideal

dari R yang memuat X . Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X
ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q

q.

Quasi-

x q untuk semua x Q \ 0 .

Beberapa sifat yang berlaku bahwa:
Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R , maka berlaku:
i.

Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalah sub ring nol atau sub ring pembagi dari

R.
ii. Jika Q sub ring pembagi dari R , maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R .

Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X
X q

ZX

R , maka berlaku

XR , dengan Z adalah himpunan semua bilangan intege r .

RX

Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V , W , k , ,
Z

q

LF V , W , k 



, berlaku:

  LF V , W , k untuk setiap

LF V , W , k

Bukti:

Menurut Proposisi 2 berlaku bahwa untuk suatu himpunan bagian tak kosong X dari suatu
ring R berlaku

X q

berikut :

q

Z

RX

sehingga

LF V , W , k , ,
LF V , W , k , ,

ZX

=

XR . Dalam hal ini

LF V , W , k , ,

LF V , W , k , ,

= LF V , W , k , ,

  LF V , W , k , ,

LF V , W , k 



adalah ring dan

 

serta

, akibatnya dipenuhi persamaan sebagai

  LF V , W , k

3. Pembahasan
Misalkan F adalah suatu lapangan dan
lapangan

F , V ke W , serta Ran

sebagai akibat dari kondisi Ran

suatu transformasi linear dari ruang vektor atas

w W v

w, untuk suatu v V . Lemma berikut

F u untuk suatu u W .

3

Lemma 1 . ( [1] : p.318). Misal

LF V , W sedemikian sehingga Ran

F u untuk suatu

u W
i.

Jika

,

LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u

ii. Jika



maka

u





a u untuk suatu a

F maka

a

Bukti:

( i ). Ambil sebarang c F , sehingga berlaku cu
Ran

w W v

Ran

cu

Ran

diperoleh

cu

. Diketahui bahwa

cu untuk setiap c

cu W v

F dan suatu u W

bahwa

Ran

: cu

cu

cu

sehingga

berlaku

. Hal ini mempunyai konsekuensi :

Ran

Untuk sebarang v V berlaku
Sebagai akibatnya berlaku



LF W , W . Sehingga

 a 1W



v

v

cu

cu

v

v



.


a 1W dengan 1W

( ii ). Dapat dipandang bahwa a



cu

F , untuk suatu u W .

c

Selanjutnya,

w, untuk suatu v V

cu

adalah

pemetaan

identitas

a u.1W . Menurut bagian (i) sebelumnya

u

di

berakibat

a.

■
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal
dengan transformasi pembangun quasi-idealnya:
Lemma 2. . ( [1] : p.318). Misal
LF V , W , k , ,

maka Ran

,

LF V , W , k , jika

q

dalam ring

Ran .

Bukti:

Diketahui

q,

dan suatu

sehingga menurut Akibat 1 berlaku

t

 

untuk suatu t Z

LF V , W, k .

Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku:
w

v

v t
vt
vt

 
v 
v 

Akibatnya w Ra n . Dengan demikian Ran

Ran

■

4

Lemma berikutnya menjelaskan suatu kondisi yang menjamin bilamana quasi-ideal minimal
q

:

F

Lemma .3. ( [1] : p.318). Misal
Ra n

dan

Ker

LF V , W , k , ,

LF V , W, k

Ker .

Ra n

Jika

sedemikian sehingga memenuhi kondisi

1,

rank

maka

dalam

F

q

.

Bukti:

( i ). Dibuktikan F
Misal

u

u'

q

dan

Ran \ Ker
W dan

0, u '

u' Ran \ Ker ,

0, u

u

a .u untuk suatu a

Misal B adalah basis untuk V yang memuat u

F dan a

dan

V

u ' untuk suatu z W \ 0 . Karena rank

z

Fu dan akibatnya u '

Ra n

maka

1 , maka

0

dan B' adalah basis untuk W yang

memuat u . Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut:
u

v

0

jika v



0
dan

LF V , W

LF V , W ,

a 1z

w

B\ u

jika v

Jelas bahwa

u

rank

jika w u
jika w B'\ u

LF W , W . Dari definisi terebut diperoleh bahwa



1 sehingga

a 1 u'

a 1au

1 , rank

, 

LF V , W , k .

Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh:
u

a 1z

 

Karena

a 1 z



u

u

  

Fu , menurut Lemma 1, diperoleh

Ra n

u



.

 

.

Sehingga untuk setiap b F , maka berlaku :
b

b

  

b

b

 

b

LF V , W , k  



b



Dengan kata lain jika b



, sehingga

b

Ambil

q
q,

Akibat 1 berlaku

LF V , W , k  

b

dan

  LF V , W , k . Akibatnya

b

  LF V , W , k
F

LF V , W , k  

  LF V , W , k

. Dengan demikian terbukti F

q.

, maka b

dan menurut Akibat 1 maka b
( ii ). Dibuktikan

, sehingga

q

F

maka menurut Lemma 2 berakibat Ran
t

Akibat selanjutnya : Ran

 
 

Ran

, dan menurut

untuk suatu t Z dan untuk suatu

LF V , W, k .

Ran

5

t

Ran

.

Akan tetapi u

Ran

sehingga

u . Akibat selanjutnya

v

(sebab rank

Fu

1), maka terdapat v V sedemikian
 

v



v



u

cu

untuk suatu c F .
Dengan demikian dipenuhi kondisi:
LF V , W , Ran



Fu ,

sehingga

LF W , W

 

c F , sehingga menurut Lemma 1 (ii) berlaku

 

t

c = t

t

Dari (i) dan (ii) maka terbukti

c



u

cu untuk suatu

. Akibatnya diperoleh:

c

. Dengan demikian dipenuhi

F

F

q

F

q

■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin
bilamana

membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V , W , k , ,

q

Lemma .4. ( [1]: p.318). Misal
Ra n

dan Ra n

Ker

dalam LF V , W , k , ,

LF V , W, k

sedemikian sehingga memenuhi kondisi

1 , maka

Ker . Jika rank

.

q

adalah quasi- ideal minimal

.

Bukti:
Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat
F, a

untuk suatu a

F

va

0

Ker

v Ker

v

0

v' Ker

v'

0,

tetapi

v"

0 , sehingga v" Ker

v" a
1

atau a

v a

Akibat lain adalah Ran
Ambil

w Ran ,

v a

va

Ambil w' Ran
terdapat
w'

a

0

va

v 0

untuk

v' a v"

v Ker

suatu

v" V .

Akibatnya

dan karena v' av" sehingga a

0 . Diketahui a

0 , sehingga a

1

1

:

v' Ker

0 . Dengan demikian

0 atau v' Ker

v'

w

\ o , maka

, sebab:

0 atau a 1 v'

v'

q

0

Akibatnya Ker

av"

. Ambil

q

av

a

F,
v a

Ran

, sebab:

sehingga

terdapat

v V

. Disimpulkan bahwa w Ran

yang

memenuhi

v

0

dan

v V

sedemikian

. Dengan kata lain w' Ran

6

w,

akibatnya

.

, sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v'
a

v

sehingga

w' . Karena v' V , maka

v' a v .

Akibatnya

Karena Ran
q

F

, maka rank

Ran

1 (sebab rank

, sehingga berlaku juga F

F a

1 ). Menurut Lemma 3, berakibat
F . Akibatnya

Fa

q

=

q.

■
4. Simpulan

Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa:
i.

Misal

LF V , W sedemikian sehingga Ran

a. Jika

,

b. Jika
ii. Misal

Misal
Ra n

iv.

LF V , W , k , jika

q

u

maka



a u untuk suatu a

dalam ring LF V , W , k , ,




F maka

a

maka

Ran .

Ran

iii.

LF W , W sedemikian sehingga u
LF W , W sedemikian sehingga u

,

F u untuk suatu u W , maka berlaku:

LF V , W, k

Ker . Jika rank

Misal
Ra n

LF V , W, k

Ker . Jika rank

LF V , W , k , ,

sedemikian

1 , maka

sehingga
F

q

sedemikian

q

Ra n

dalam LF V , W , k , ,

sehingga

1, maka

memenuhi

memenuhi

Ra n

Ker

dan

Ker

dan

.

adalah quasi- ideal minimal

dalam

.

5. Daftar Pustaka

[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear
Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324.
[2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London
[3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of
Linear Transformations. Shoutheast Asian Bulletin of Mathematics 25, p:617 – 622

7