commit to user
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Pembentukan Model ARCHq-M
Menurut Engle, et al 1987 model ARCH-M secara umum dapat dituliskan sebagai berikut
t t
t
r e
m + =
4.1 dengan r
t
adalah return yang diharapkan,
t
m adalah conditional mean, dan
t
e adalah eror model.
Spesifikasinya diambil rata-rata sebagai fungsi linier dari variansinya, sehingga jika h
t
adalah conditional variance dari
t
e maka conditional mean dapat dituliskan sebagai berikut
, -
+ ¢
- =
d d
b m
t t
t
h X
4.2 dengan
b
¢
adalah konstanta yang tidak diketahui, X
t
adalah variabel eksogen, dan
d adalah parameter conditional variance. Premi resiko adalah fungsi naik dari conditional variance, dengan kata lain
semakin besar return dari conditional variance semakin besar pula ganti rugi yang diperlukan Engle, et al ,1987.
Persamaan 4.1 dapat dijabarkan menjadi
t t
t t
h X
r e
d b
+ -
+ ¢
- =
4.3 dengan
t t
t
h u
= e
, X
t
adalah variabel eksogen yang merupakan nilai dari r
t-1
dan
t
h
2
adalah conditional variance. Sehingga model ARCHq-M dapat dituliskan pada persamaan 4.1
dengan conditional variance pada persamaan 2.9. Secara sederhana model
commit to user ARCH-M terbentuk jika variansi bersyarat h
t
dimasukkan dalam persamaan mean r
t
.
4.2 Estimasi Model ARCH1-M
Jika suatu eror dari model regresi mengikuti proses ARCH, maka dengan asumsi normalitas dan didefinisikan
t
y sebagai himpunan informasi yang diketahui pada waktu ke-t, maka distribusi bersyarat dari eror ARCH1-M adalah
, ~
2 1
t t
t
h N
-
y e
dengan fungsi densitas sebagai berikut
2 2
2 1
2 1
2 1
t t
h t
t t
e h
f
e
p y
e
- -
= .
Diberikan model ARCHq-M secara umum ,
~
2 1
t t
t
h N
m y
e
-
dengan
t t
t
h X
- +
¢ -
= d
b m
t t
t t
h X
r e
d b
+ -
+ ¢
- =
t t
t
Z W
h
g a
h
¢ +
¢ =
2
dengan b
: parameter dari variabel eksogen yang tidak diketahui dengan ordo vektor 1
´ k
X
t :
variabel eksogen yang merupakan nilai dari r
t-1
dengan ordo vektor 1
´ k
d : parameter conditional variance dengan ordo vektor
1 ´
l h
t
: conditional variance
Z
t
: vektor konstan dari h
t
dengan ordo
1 ´
j
commit to user W
: matriks identitas untuk menentukan parameter dengan ordo
p q
´
a
: vektor parameter variansi yang tidak diketahui dengan ordo
1 ´
q g
: vektor parameter variansi yang tidak diketahui dengan ordo
1 ´
j
f : kombinasi dari parameter
d g
b a
, ,
,
. Vektor
1 ´
p
2 2
1
,...,
q t
t t
- -
= ¢
e e
h dengan
t
e adalah
eror dari
t t
t t
t t
h X
r h
X r
d b
d b
+ ¢
+ =
- -
¢ -
- . Parameter ini dapat dikombinasi ke dalam
, ,
,
d g
b a
f
¢ ¢
¢ =
¢
dengan vektor 1
´ m
dimana
l k
j q
m +
+ +
=
. Fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan
f f
å
=
t t
L L
,
dan misal L
t
adalah fungsi log likelihood untuk observasi ke-t adalah
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
2 1
log 2
log 2
1 2
1 log
2 log
2 1
2 1
exp 2
log ,
log
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h h
h h
X r
h h
h X
r h
h h
X f
L
e p
d b
p d
b p
d b
f
- -
- =
= ¢
+ -
- -
= ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ +
¢ +
- =
- +
¢ -
=
-
4.4
dengan menghilangkan bentuk konstan dari persamaan 4.4 karena dianggap tidak berpengaruh maka persamaan 4.4 dapat ditulis sebagai berikut
. 2
1 log
2 1
log
2 2
2 2
t t
t t
t t
t t
t
h h
X r
h h
h L
d b
e f
+ ¢
+ -
- =
- -
= 4.5
commit to user Untuk mengetahui estimasi parameter
, ,
,
d g
b a
f
=
terlebih dahulu persamaan 4.5 diturunkan terhadap masing-masing parameter.
a. Persamaan 4.5 diturunkan terhadap parameter b
¢
2 4
2 4
2 2
2 2
1 1
2 2
2 1
1
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h X
h X
r h
h h
X r
h h
X r
h h
h X
h X
r h
h h
h X
r h
h X
r h
L h
h h
L h
L
d b
b d
b d
d b
d b
b d
b d
d b
b b
b b
+ ¢
+ -
¢ ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ +
¢ +
- +
¢ +
- -
= +
¢ +
- ¢
¶ ¶
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
+ ¢
+ -
+ ¢
+ -
- =
¢ ¶
¢ ¶
+ ¢
¶ ¶
¶ ¶
= ¢
¶ ¶
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
2 1
1 2
1 1
1 1
1 _
1
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h X
h h
h h
h X
h h
h h
h L
h X
h h
h h
h X
h h
h h
h X
h h
h h
e e
d e
b e
e d
e b
b e
e d
e b
e e
d e
b e
b e
d e
- ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
- ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
¢ ¶
¶ -
÷÷ ø
ö çç
è æ
- +
- ¢
¶ ¶
= -
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- ¢
¶ ¶
= -
¢ ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
- =
commit to user b. Persamaan 4.5 diturunkan terhadap parameter
d
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h h
h h
h h
h h
h h
h L
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h X
r h
h h
X r
h h
X r
h h
h h
X r
h h
h h
X r
h h
X r
h L
h h
h L
h L
e e
d e
d e
e d
e d
d e
e d
e d
e e
d e
d e
d e
d e
d b
d d
b d
d b
d b
d d
b d
d b
d d
d d
- ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¶ ¶
= -
÷÷ ø
ö çç
è æ
- +
- ¶
¶ =
¶ ¶
- ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¶ ¶
= -
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- ¶
¶ =
- ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
- -
= +
¢ +
- ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ +
¢ +
- +
¢ +
- -
= +
¢ +
- ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ +
¢ +
- +
¢ +
- -
= ¶
¶ +
¶ ¶
¶ ¶
= ¶
¶
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
4 4
2 2
2 1
1 ˆ
2 1
1 1
1 1
1 2
2 1
1 2
2 2
1 1
commit to user c. Persamaan
4.5 diturunkan
terhadap parameter
a ¢
a d
b d
d b
a d
b d
d b
a a
a a
¢ ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ +
¢ +
- +
¢ +
- -
= ¢
¶ ¶
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
+ ¢
+ -
+ ¢
+ -
- =
¢ ¶
¢ ¶
+ ¢
¶ ¶
¶ ¶
= ¢
¶ ¶
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h h
h X
r h
h X
r h
h h
h h
h X
r h
h X
r h
L h
h h
L h
L
4 4
2 2
2 2
1 1
2 2
2 1
1
÷÷ ø
ö çç
è æ
- +
- ¢
¶ ¶
= ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
¢ ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- ¢
¶ ¶
= ¢
¶ ¶
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- =
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3
2 1
1 2
1 1
1 1
1 1
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
h h
h h
h h
h h
h L
h h
h h
h h
h h
h h
h h
e d
e a
e d
e a
a e
d e
a e
d e
a a
e d
e
d. Persamaan 4.5 diturunkan terhadap parameter g
¢
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- ¢
¶ ¶
= ¢
¶ ¶
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
÷÷ ø
ö çç
è æ
- -
- =
¢ ¶
¶ ÷
÷ ø
ö ç
ç è
æ ÷÷
ø ö
çç è
æ +
¢ +
- +
¢ +
- -
= ¢
¶ ¶
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
÷ ÷
ø ö
ç ç
è æ
+ ¢
+ -
+ ¢
+ -
- =
¢ ¶
¢ ¶
+ ¢
¶ ¶
¶ ¶
= ¢
¶ ¶
1 1
1 2
2 1
1 2
2 2
1 1
2 3
4 4
2 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h h
h h
h h
h h
h h
h X
r h
h X
r h
h h
h h
h X
r h
h X
r h
L h
h h
L h
L
e d
e g
g e
d e
g d
b d
d b
g d
b d
d b
g g
g g
commit to user Dari langkah-langkah penurunan masing-masing ketika
d = 0 diperoleh
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
ø ö
ç ç
ç ç
ç ç
è æ
- ¶
¶
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
ø ö
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
è æ
÷÷ ø
ö çç
è æ
- +
- ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶
= ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷
ø ö
ç ç
ç ç
ç ç
è æ
- ¶
¶
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
÷ ÷
ø ö
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
ç ç
è æ
¶ ¶
¢ ¶
¶ ¢
¶ ¶
¢ ¶
¶
= ¶
¶ ¶
¶ +
¶ ¶
¶ ¶
= ¶
¶
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
4 2
2 2
4 2
2 2
4 2
2 2
4 2
2 2
2 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h X
h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h h
h X
h
h L
h L
h L
h L
h L
L h
h h
L h
L
e f
e d
e d
e d
e g
e d
e b
e d
e a
e f
d g
b a
f f
f f
f
4.6
Persamaan 4.6 dapat dituliskan sebagai
f b
f f
¶ ¢
¶ +
¶ ¶
¶ ¶
= ¶
¶ ˆ
t t
t t
t t
t
L h
h h
L h
L
÷÷ ø
ö çç
è æ
- +
- ¢
¶ ¶
= ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
¢ ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
+ -
¢ ¶
¶ =
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 2
1 1
1
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
t t
h h
h h
h h
h h
h L
h h
h h
e d
e g
e d
e g
g e
d e
g
commit to user dengan
f b
b b
e f
b b
b f
b
¶ ¢
¶ ¢
¶ ¢
¶ =
¶ ¢
¶ ¢
¶ ¢
¶ =
¶ ¢
¶
2 t
t t
t t
t
L X
h L
L
.
Sehingga diperoleh
t
X =
¶ ¢
¶ f
b .
Dengan demikian maksimum Likelihood dari parameter f
adalah
÷÷ ø
ö çç
è æ
¶ ¶
÷÷ ø
ö çç
è æ
- ¶
¶ ÷÷
ø ö
çç è
æ -
- =
¶ ¶
å å
f b
e f
de e
f
2 1
2 2
4 2
2 t
t t
t t
t t
t t
t t
t
h h
h h
h h
L
. 4.7
Dari persamaan 4.7 estimasi parameter f
dapat dituliskan dalam suatu matriks S dengan ukuran
m T
´
[ ]
i t
t ti
h L
S f
¶ ¶
=
dan
i
S L
¢ =
¶ ¶
f dengan i adalah unit vektor
1 ´
T
sehingga order pertama yang sederhana adalah =
¢
i
S .
Matriks Hessian adalah matriks turunan kedua dari log likelihoods, f
t
L
. Dengan asumsi bahwa fungsi likelihood dituliskan sebagai
commit to user
÷÷ ø
ö çç
è æ
¢ ¶
¶ ¶
E -
= ÷÷
ø ö
çç è
æ ¢
¶ ¶
¶ ¶
E =
Ã
f f
f f
f f
f
2 t
t t
t
L L
L
dengan Ã
t
adalah matriks informasi dari observasi ke t. Maksud informasi dari sampel à adalah rata-rata informasi dari masing-masing observasi yakni
÷ ø
ö ç
è æ ¢
E =
à T
S S
.
4.3. Contoh Penerapan 4.3.1 Deskripsi Data
Kategori