11
BAGIAN 5 TEOREMA FAKTOR
Sudah dibahas bagian depan bahwa Px = x – k hx + s, sehingga Pk = s. Jika s = Pk = 0 maka x – k disebut faktor dari Px. Dengan demikian, didapat teorema
faktor berikut:
Teorema di atas menunjukkan dua hal: a
Jika x – k merupakan faktor dari Px maka fk = 0 b
Jika fk = 0 maka x – k merupakan faktor dari Px
Latihan:
1. Tentukan suku banyak Px = ax
2
+ bx + c yang memiliki faktor x + 2 dan 2x – 1 serta memiliki nilai 6 untuk x = 2
2. Tentukan hasil bagi dan sisanya jika 2x
4
– 5x
3
+ 4x
2
– x – 4 dibagi x – 1x + 2. 3. Tentukan suku banyak Px = ax
2
+ px + c yang memiliki faktor x + 1 = 0 dan x – 3 = 0 serta memiliki nilai maksimum 16.
4. Tentukan nilai b dan c jika x
2
+ x merupakan faktor dari 2x
3
+ bx
2
+ cx – 4. 5. Tentukan nilai p dan q jika x – 3
2
merupakan faktor dari 2x
3
– 11x
2
+ px + q. 6. Jika x – k
2
adalah faktor dari x
3
+ 3px + q, buktikan bahwa 4p
3
+ q
2
= 0. Tentukan faktor lainnya.
7. Gunakan cara skema skematis untuk menentukan hasil dan sisanya jika: a. x
5
+ 2x dibagi x – 1x – 2 b. x
6
dibagi x – 2
2
Jika Px merupakan suatu suku banyak; dan lx merupakan faktor dari Px jika dan hanya jika sisa pembagian Px oleh lx adalah 0
Jika Px merupakan suatu suku banyak; x – k merupakan faktor dari Px jika dan hanya jika Pk = 0
12
BAGIAN 6 RUMUS VIETA
Pada materi pokok atau pokok bahasan Persamaan Kuadrat PK telah dibahas bahwa jika x
1
, dan x
2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax
2
+ bc + c = 0, maka x
1
.x
2
=
a c
dan x
1
+ x
2
=
a b
− . Pembuktian untuk hal tersebut adalah sebagai berikut:
Karena x
1
dan x
2
merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, didapatlah: x
x x
x a
x x
a
2 1
a c
a b
2
− −
≡ +
+ x
x x
x x
x a
2 1
2 1
2
+ +
− ≡
sehingga : –x
1
+ x
2
=
a b
atau x
1
+ x
2
=
a b
− x
1
. x
2
=
a c
Jika digunakan notasi : a
2
x
2
+ a
1
x + a
o
= a
2
x x
x x
a x
x
2 1
2 a
a a
a 2
2 o
2 1
− −
= +
+ , dan akan didapat
2 1
a a
2 1
x x
− =
+
2
a a
2 1
x x
= ⋅
Jika proses seperti itu dilanjutkan untuk persamaan pangkat tiga, akan didapat
3 2
1 3
3 o
3 1
2 3
2 3
3
x x
x x
x x
a a
a x
a a
x a
a x
a −
− −
=
+
+ +
[
] x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
3 2
1 3
2 3
1 2
1 2
3 2
1 3
3
− +
+ +
+ +
=
sehingga didapat
3 2
3 2
1
a a
x x
x −
= +
+
3 1
3 2
3 1
2 1
a a
x x
x x
x x
+ =
+ +
3 o
3 2
1
a a
x x
x −
= Dengan cara yang sama, untuk persamaan pangkat empat
o 1
2 2
3 3
4 4
a x
a x
a x
a x
a +
+ +
+
akan didapat: ≡
+ +
+ +
4 o
4 1
2 4
2 3
4 3
4 4
a a
x a
a x
a a
x a
a x
a
[ ]
[ ]
≡ −
− +
+ +
+ +
−
4 3
2 1
3 2
3 1
2 1
2 3
2 1
3 3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x a
[ ]
4 3
4 2
4 1
3 2
3 1
2 1
3 4
3 2
1 4
3
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x a
x x
x x
a +
+ +
+ +
+ +
+ −
13
]
4 3
2 1
4 3
2 4
3 1
4 2
1 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x +
+ +
+ −
sehingga dapat disimpulkan
4 3
4 3
2 1
a a
x x
x x
− =
+ +
+
4 2
4 3
4 2
3 2
4 1
3 1
2 1
a a
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= +
+ +
+ +
4 1
4 3
2 4
3 1
4 2
1 3
2 1
a a
x x
x x
x x
x x
x x
x x
− =
+ +
+
4 o
4 3
2 1
a a
x x
x x
= Perhatikan hasil-hasil di atas ada keteraturan-keteraturan pada hasil-hasil di atas.
Dapatkah Anda sekarang menduga hasilnya untuk persamaan pangkat lima? Gunakan langkah seperti langkah di atas. Jika x
1
, x
2
, x
3
, x
4
dan x
5
merupakan akar dari a
5
x
5
+ a
4
x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a = 0 isilah titik-titik di bawah ini.
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= …. x
1
x
2
+ … = ….
x
1
x
2
x
3
+ … = ….
x
1
x
2
x
3
x
4
+
….
= …. x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
= ….
Untuk memudahkan para siswa, perhatikan contoh berikut. 1. Pada persamaan ax
2
+ bx + c = 0, akan didapat x
1
+ x
2
=
a b
−
dan x
1
+ x
2
=
a c
2. Pada persamaan pangkat tiga ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 akan didapat x
1
+ x
2
+ x
3
=
a b
−
x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
=
a c
x
1
x
2
x
3
=
a d
−
3. Pada persamaan pangkat empat 2x
4
– 3x
3
– 4x
2
+ 5x + 6 = 0 akan didapat. x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
=
2 3
2 3
=
− −
x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
1
x
4
+ x
2
x
3
+ x
2
x
4
+ x
3
x
4
=
2 2
4 −
= −
x
1
x
2
x
3
+ x
1
x
3
x
4
+ x
1
x
3
x
4
+ x
2
x
3
x
4
=
2 1
2 2
5 −
=
−
x
1
x
2
x
3
x
4
=
3 2
6 =
14 4. Pada persamaan kubik x
3
– 2x
2
+ 3x – 5 = 0, jika a, b, dan c adalah akar-akarnya, maka tentukan nilai a
2
+ b
2
+ c
2
. Jawab:
a + b + c = ––2 = 2 ab + ac + bc = 3
abc = –5 = 5 a + b + c
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2 ab + ac + bc, atau a
2
+ b
2
+ c
2
= a + b + c
2
– 2ab + ac + bc = 2
× 2 – 2
× 3
= –2
Latihan 1. Jika a, b, dan c adalah akar-akar persamaan kubik 2x
3
+ 4x
2
+ x – 6 = 0 maka tentukan nilai dari:
a. a
2
+ b
2
+ c
2
b. a
3
+ b
2
+ c
3
c. a
4
+ b
4
+ c
4
2. Misalkan a, b dan c adalah akar-akar persamaan x
3
+ qx + r = 0. Buktikan bahwa c
r 4
c b
a
3 2
+ =
− 3. Akar-akar persamaan kubik x
3
+ px
2
+ qx + r = 0 adalah a, b dan c. Nyatakan bentuk- bentuk di bawah ini dalam p, q dan r.
a. a
2
+ b
2
+ c
2
b. a
3
+ b
3
+ c
3
c. a
4
+ b
4
+ c
4
4. Akar-akar persamaan kubik x
3
+ px
2
qx + r = 0 adalah a, b, dan c. Susunlah persamaan kubik baru yang akar-akarnya adalah:
a.
c 1
, b
1 ,
a 1
b. a + 2, b + 2, c + 2 c. a
2
, b
2
, dan c
2
5. Jika a dan b adalah akar-akar positif dari x
3
+ m = 3nx, tunjukkanlah bahwa terdapat hubungan:
n = a
2
+ ab + b
2
m = a
2
b + ab
2
15
BAGIAN 7 PERSAMAAN SUKU BANYAK
Kategori