MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF FRIENDSHIP FN, GRAF LOLLIPOP LM;N , DAN GRAF PETERSEN PN;M.
MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF
FRIENDSHIP FN, GRAF LOLLIPOP LM,N,
DAN GRAF PETERSEN PN,M
Oleh
WULANDARI
NIM : 4122230010
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
JudulSkripsi
:
Menentukan Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn, Graf
Lollipop Lm,n, dan Graf Petersen Pn,m
NamaMahasiswa
:
Wulandari
NIM
:
4122230010
ProgramStudi
:
Matematika
Jurusan
:
Matematika
Menyetujui:
Dosen Pembimbing Skripsi,
Dr. Mulyono, M.Si.
NIP. 197112311999031010
Mengetahui
FMIPAUNIMED
Dekan,
Jurusan Matematika
Ketua,
Dr. Asrin Lubis, M.Pd.
NIP. 196010021987031004
Dr.Edy Surya,M.Si.
NIP. 196710191992031003
Tanggal Lulus : 16 Juni 2016
i
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Kisaran pada 9 Oktober 1994.
Ayah bernama Toni Harsono
dan ibu bernama Murniwati Harahap. Penulis merupakan anak pertama dari tiga
bersaudara. Pada tahun 1999 penulis mulai mengenyam pendidikan di Taman
Kanak-kanak Haqqul Yaqin, Kisaran, Asahan. Kemudian pada tahun 2000 penulis
melanjutkan pendidikan di SDN 0100086 Kisaran, Asahan dan lulus pada tahun
2006. Pada tahun 2006 hingga 2009 penulis bersekolah di SMPN 1 Kisaran,
Asahan. Kemudian pada tahun 2009 penulis melanjutkan pendidikan di SMAN
1 Kisaran dan lulus tahun 2012. Setelah menamatkan pendidikan SMA, pada tahun
2012 penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi di Universitas
Negeri Medan dengan konsentrasi matematika dan lulus tahun pada 2016.
ii
MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF
FRIENDSHIP FN , GRAF LOLLIPOP LM,N , DAN GRAF
PETERSEN PN,M
Wulandari
NIM: 4122230010
ABSTRAK
Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)
adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G.
Untuk himpunan
terurut W = {w1 , w2 , w3 , . . . , wk } dari simpul-simpul dalam graf terhubung G
dan simpul v ∈ V (G), representasi dari v terhadap W adalah vektor-k r(v|W ) =
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), . . . , d(v, wk )). Jika r(v|W ) untuk setiap simpul v ∈ V (G)
berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Kardinalitas minimum
dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari graf G dan dinotasikan dengan
dim(G). Pada penelitian ini dilakukan analisis dimensi metrik pada graf friendship
Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen Pn,m dengan m = 1. Dari hasil penelitian
diperoleh dimensi metrik graf friendship Fn adalah dim(Fn ) = n untuk n ≥ 2,
dimensi metrik graf lollipop adalah dim(Lm,n ) = m − 1 untuk m ≥ 3, n ≥ 1,
dimensi metrik graf Petersen adalah dim(Pn,m ) = 2 untuk m = 1, n ganjil, n ≥ 3
serta dim(Pn,m ) = 3 untuk m = 1, n genap, n ≥ 4.
Kata kunci: himpunan pembeda, dimensi metrik, graf friendship, graf lollipop,
graf Petersen
iii
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk setiap
berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan kepada
penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul ”Menentukan
Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn , Graf Lollipop Lm,n , dan Graf
Petersen Pn,m ”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas negeri Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dan
bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.
Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan,
Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs.
Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr.
Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. E. Elvis Napitupulu, MS, selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.
5. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., dan
Ibu Dr. Yulita Moliq Rangkuti, M. Sc, Ph.D, selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas Negeri
Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian atau observasi
di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Ibunda Murniwati Harahap dan Ayahanda
Toni Harsono) yang senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai yang
selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,
untuk saudara-saudaraku (Adikku Khairani dan Suci Rahmi), juga untuk nenek
tersayang, ujing-ujing dan seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan
doanya.
iv
8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Ade Tri Kurnia Purba, Essa Novalia, Sri
Marhaini), sahabat terbaikku Annisa Soraya, geng chocolatoz (Ayu, Bintang,
Delpi, Dian), roommate ku Isnayanti, Keluarga Besar UKMI Ar-Rahman
Universitas Negeri Medan yang telah memberikan semangat, saran dan bantuan
serta teman-teman seperjuangan Matematika Nondik 2012 atas kebersamaan
selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini (Penny, Nina, Ester, Rahma,
Silva, Ramlah, dan yang lainnya yang tidak disebutkan).
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,
maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari
segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari
semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.
Medan, Mei 2016
Penulis
Wulandari
NIM. 4122230010
v
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ..............................................................................
i
RIWAYAT HIDUP ..........................................................................................
ii
ABSTRAK ........................................................................................................
iii
KATA PENGANTAR ......................................................................................
iv
DAFTAR ISI ....................................................................................................
vi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
ix
DAFTAR TABEL ............................................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................
xi
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ...................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN.................................................................................
1
1.1.
Latar Belakang Masalah ........................................................
1
1.2.
Rumusan Masalah .................................................................
3
1.3.
Batasan Masalah ....................................................................
3
1.4.
Tujuan Penelitian...................................................................
3
1.5.
Manfaat Penelitian.................................................................
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................
5
2.1.
Graf........................................................................................
5
2.2.
Terminologi Dasar Graf .......................................................
5
2.2.1. Adjacent dan incident ...............................................
5
2.2.2. Derajat ......................................................................
6
2.2.3. Lintasan ....................................................................
6
2.2.4. Jarak ........................................................................
6
2.2.5. Jembatan ..................................................................
6
Jenis-jenis Graf ......................................................................
6
2.3.1. Graf Lengkap ...........................................................
6
2.3.2. Graf Lingkaran .........................................................
7
2.3.3. Graf Teratur ..............................................................
7
2.3.
vi
2.3.4. Graf Lintasan ............................................................
7
2.3.5. Graf Planar ...............................................................
8
2.3.6. Graf Friendship ........................................................
8
2.3.7. Graf Lollipop ............................................................
8
2.3.8. Graf Petersen ............................................................
9
Operasi pada Graf..................................................................
10
2.4.1. Gabungan .................................................................
10
2.4.2. Irisan ........................................................................
11
2.4.3. Join ..........................................................................
11
2.4.4. Hasil Kali Cartesian.................................................
12
2.4.5. Komplemen ..............................................................
12
2.5.
Dimensi Metrik .....................................................................
12
2.6.
Penelitian Terdahulu .............................................................
13
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .........................................................
15
2.4.
3.1.
Tempat dan Waktu Penelitian ...............................................
15
3.2.
Jenis Penelitian .....................................................................
15
3.3.
Prosedur Penelitian................................................................
15
BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................
17
4.1.
4.2.
Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn ..............................
17
4.1.1. Graf Friendship Fn dengan
..................
18
4.1.2. Graf Friendship Fn dengan n sembarang ................
20
Dimensi Metrik dari Graf Lollipop Lm,n ...............................
21
4.2.1. Graf Lollipop Lm,n dengan
4.3.
dan
..................................................................................
22
4.2.2. Graf Lollipop Lm,n dengan m, n sembarang ............
24
Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m ...............................
26
4.3.1. Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m dengan
m =1, n ganjil,
............................................
26
4.3.2. Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m dengan
m =1, n genap,
vii
...........................................
29
BAB V PENUTUP ..........................................................................................
34
5.1.
Kesimpulan ...........................................................................
34
5.2.
Saran .....................................................................................
34
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................
35
LAMPIRAN .....................................................................................................
37
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Graf
...........................................................................
5
Gambar 2.2
Graf
.......................................
7
Gambar 2.3
Graf
.....................................................
7
Gambar 2.4
Graf
.....................................................
8
Gambar 2.5
Graf planar ....................................................................
8
Gambar 2.6
Graf friendship
..................................
8
Gambar 2.7
Graf lollipop
...........................................................
9
Gambar 2.8
Graf Petersen
...........................................................
10
Gambar 2.9
Graf
......................................................
11
Gambar 2.10
Graf
.....................................................
11
Gambar 2.11
Graf
......................................................
11
Gambar 2.12
Graf
......................................................
12
Gambar 2.13
Graf
12
Gambar 4.1
dan ̅ ..................................................................
Graf friendship
..........................................................
17
Gambar 4.2
Graf lollipop
..........................................................
21
Gambar 4.3
Graf Petersen
..........................................................
26
Gambar 4.4
Graf Petersen
...........................................................
27
Gambar 4.5
Graf Petersen
...........................................................
27
Gambar 4.6
Graf Petersen
...........................................................
28
Gambar 4.7
Graf Petersen
...........................................................
30
Gambar 4.8
Graf Petersen
...........................................................
31
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1
Jarak antara simpul pada graf friendship
Tabel 4.2
Jarak antara simpul pada graf lollipop
x
.................
17
..............
20
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1.
Himpunan
Lain untuk Graf Friendship
.........
37
Lampiran 2.
Himpunan
Lain untuk Graf Lollipop
..........
40
Lampiran 3.
Himpunan
Lain untuk Graf Petersen
...............
44
Lampiran 4.
Surat Permintaan Kesediaan Dosen PS .........................
49
Lampiran 5.
Surat Permohonan Izin Penelitian .................................
50
Lampiran 6.
Surat Izin Penelitian dari Fakultas .................................
51
Lampiran 7.
Surat Izin Penelitian dari Tempat Penelitian .................
52
Lampiran 8.
Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian .............
53
xi
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG
: graf G
: himpunan simpul dari graf G
: himpunan sisi dari graf G
: banyaknya simpul dari graf G (order)
: banyaknya sisi dari graf G (size)
: simpul
: sisi
: derajat simpul v
: panjang lintasan terpendek (jarak) antara u dan v pada graf G
: representasi simpul v terhadap W
: dimensi metrik dari graf G
: operasi gabungan
∩
+
: operasi irisan
: operasi join
̅
: operasi perkalian cartesian
: komplemen dari graf G
: himpunan bagian
: anggota
: graf lengkap dengan order n
: graf lingkaran dengan order n
: graf lintasan dengan order n
: graf friendship dengan order
: graf lollipop dengan order
: graf Petersen dengan order
: graf ulat teratur dengan order
: graf kembang api teratur dengan order
: graf pohon pisang teratur dengan order
xii
Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)
adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G.
Untuk himpunan
terurut W = {w1 , w2 , w3 , . . . , wk } dari simpul-simpul dalam graf terhubung G
dan simpul v ∈ V (G), representasi dari v terhadap W adalah vektor-k r(v|W ) =
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), . . . , d(v, wk )). Jika r(v|W ) untuk setiap simpul v ∈ V (G)
berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Himpunan pembeda
dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum (basis metrik),
dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari G
dinotasikan dim(G).
Kajian mengenai dimensi metrik bermanfaat dalam berbagai pengembangan
ilmu pengetahuan. Chartrand (2003) telah mengaplikasikan himpunan pembeda
dalam dimensi metrik pada bidang kimia untuk mengklasifikasi senyawa kimia.
Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf dengan asumsi atom sebagai
simpul dan ikatan valensi antara dua atom sebagai sisi. Misalkan V (G) adalah
himpunan semua simpul terurut dengan W ⊆ V (G). Dengan menghitung jarak
setiap simpul v ∈ V (G) terhadap semua simpul w ∈ W , konsep himpunan
pembeda memastikan setiap simpul v ∈ V (G) mempunyai representasi berbeda.
Jika dua senyawa berbeda mempunyai himpunan V (G) dan jarak u ke w sama,
untuk semua v ∈ V (G) dan w ∈ W , maka kedua senyawa tersebut berada
dalam satu klasifikasi. Khuller juga telah mengaplikasikan permasalahan dimensi
metrik graf pada bidang navigasi robot dan pencarian (Khuller 1996). Selanjutnya
Sebo mengaplikasikan dimensi metrik pada permasalahan optimasi kombinasi
(Sebo 2004).
Penelitian mengenai dimensi metrik telah dilakukan oleh Hindayani pada
tahun 2011. Hindayani (2011) meneliti dimensi metrik pada graf Kr + mKs ,
dim(Kr + mKs ) = m + (r − 2) untuk m ≥ 2, s = 1 dan dim(Kr + mKs ) =
(s − 1)m + (r − 1) untuk m, s ≥ 2. Selanjutnya Permana (2012) meneliti
dimensi metrik pada graf pohon bentuk tertentu, diantaranya graf ulat teratur
dim(Cm,n ) = m(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 , graf kembang api teratur
dim(Fm,n ) = m(n − 1) dengan m, n ≥ 2, serta graf pohon pisang teratur
dim(Bm,n ) = m(n − 2) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3 .
Dimensi metrik pada kelas graf friendship Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf
Petersen Pn,m belum ditentukan oleh para peneliti sebelumnya. Graf friendship
Fn merupakan pengembangan dari graf lingkaran C3 yang dikonstruksikan dengan
2
menggabungkan graf lingkaran C3 sebanyak n kali. Sedangkan graf lollipop Lm,n
merupakan pengembangan dari graf lengkap Km , m ≥ 3 dengan graf lintasan
Pn yang mana kedua graf tersebut dihubungkan oleh jembatan. Selanjutnya graf
Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada tahun 1898. Graf
Petersen adalah graf teratur berderajat 3 dan dinotasikan dengan Pn,m , dengan nilai
n menyatakan banyaknya simpul luar yang sama dengan banyaknya simpul dalam
dan nilai m menyatakan lompatan sisi dalam, dimana n ≥ 3, 1 ≤ m ≤
n−1
.
2
Berdasarkan uraian diatas, penulis termotivasi untuk mengembangkan
penelitian tentang dimensi metrik dengan judul ” Menentukan Dimensi Metrik
dari Graf Friendship Fn , Graf Lollipop Lm,n dan Graf Petersen Pn,m ”.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang , dapat disusun perumusan masalah yaitu
1. Bagaimana dimensi metrik graf friendship Fn ?
2. Bagaimana dimensi metrik graf lollipop Lm,n ?
3. Bagaimana dimensi metrik graf Petersen Pn,m ?
1.3. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, akan ditentukan dimensi metrik dari graf friendship Fn ,
graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen Pn,m dengan m = 1.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, penelitian ini dilakukan dengan tujuan
untuk
1. Menentukan dimensi metrik graf friendship Fn .
2. Menentukan dimensi metrik graf lollipop Lm,n .
3. Menentukan dimensi metrik graf Petersen Pn,m .
3
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini yaitu dapat menentukan rumus
umum dari dimensi metrik graf friendship Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen
Pn,m . Selanjutnya dapat digunakan sebagai sarana dalam mengaplikasikan dan
mengembangkan ilmu pengetahuan yang telah diperoleh oleh penulis.
4
DAFTAR PUSTAKA
Abdollahi, A. Janbaz, S. O. M., (2013): Graphs Cospectral With A Friendship
Graph or Its Complement, Transactions on Combinatorics, 2(4), 37–52.
Chairulloh, R., (2014): Super (a,d) Edge Antimagic Total Labelling pada Graf
Petersen [Skripsi], Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Chartrand, G., d., (2003): Boundary Vertices in Graphs, Discrete Mathematics,
(263), 25–34.
Chartrand, G. Lesniak, L., (1986): Applied and Algorithmic Graph Theory, Pacific
Graw, California.
Chartrand, G. Zhang, P., (2012): A First Course in Graph Theory, Dover Publication, Inc., New York.
Goodaire, E.G. Parmenter, M., (2008): Discrete Mathematics with Graph Theory
Third Edition, Pacific Graw, California.
Harary dan Melter (1976): On the Metric Dimension of Graph, Combinatoria,
2, 1991–1995.
Hindayani (2011): Dimensi Metrik Graf Kr + mKs , m, r, s ∈ N , Cauchy,
1(4), 2086–0382.
Khuller, S. Raghavachari, B. R. A., (1996): Landmarks in Graph, Disc. Applied
Mathematics, (70), 217–229.
Liu, C.L. Mohapatra, D., (2008): Elements of Discrete Mathematics and Its Application, Mc Graw Hill, New York.
Melati, R., (2011): Resolving Set dan Dimensi Metrik Graf Lengkap, Graf Lintasan,
dan Graf Bipartit Lengkap [Skripsi], Universitas Andalas, Padang.
Munir, R., (2005): Matematika Diskrit, Penerbit Informatika, Bandung.
Mustika, N., (2012): Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf nP2 ∪Pn dan Graf
nP2 ∪ Pn+2 [Skripsi], Universitas Andalas, Padang.
Ngurah, A.A.G. Baskoro, E., (2003): On Magic and Antimagic Labeling Generalized of Petersen Graph, Utilitas Math, (63), 97–107.
Permana, A. D., (2012): Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu, Jurnal
Teknik POMITS, 1(1), 1–4.
Sebo, A. Tannier, E., (2004): On Metric Generators of Graphs, Math. Oper. Res.,
29(2), 383–393.
Siddiq, M., (2014): Pemberian Nomor Vertex pada Topologi Jaringan Graf Wheel,
Graf Helm, dan Graf Lollipop [Skripsi], Universitas Sebelas Maret, Surakarta.
Vasudev, C., (2006): Graph Theory with Applications, New Age International P.
35
Limited, Bangalore.
36
FRIENDSHIP FN, GRAF LOLLIPOP LM,N,
DAN GRAF PETERSEN PN,M
Oleh
WULANDARI
NIM : 4122230010
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2016
JudulSkripsi
:
Menentukan Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn, Graf
Lollipop Lm,n, dan Graf Petersen Pn,m
NamaMahasiswa
:
Wulandari
NIM
:
4122230010
ProgramStudi
:
Matematika
Jurusan
:
Matematika
Menyetujui:
Dosen Pembimbing Skripsi,
Dr. Mulyono, M.Si.
NIP. 197112311999031010
Mengetahui
FMIPAUNIMED
Dekan,
Jurusan Matematika
Ketua,
Dr. Asrin Lubis, M.Pd.
NIP. 196010021987031004
Dr.Edy Surya,M.Si.
NIP. 196710191992031003
Tanggal Lulus : 16 Juni 2016
i
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Kisaran pada 9 Oktober 1994.
Ayah bernama Toni Harsono
dan ibu bernama Murniwati Harahap. Penulis merupakan anak pertama dari tiga
bersaudara. Pada tahun 1999 penulis mulai mengenyam pendidikan di Taman
Kanak-kanak Haqqul Yaqin, Kisaran, Asahan. Kemudian pada tahun 2000 penulis
melanjutkan pendidikan di SDN 0100086 Kisaran, Asahan dan lulus pada tahun
2006. Pada tahun 2006 hingga 2009 penulis bersekolah di SMPN 1 Kisaran,
Asahan. Kemudian pada tahun 2009 penulis melanjutkan pendidikan di SMAN
1 Kisaran dan lulus tahun 2012. Setelah menamatkan pendidikan SMA, pada tahun
2012 penulis melanjutkan pendidikan ke jenjang perguruan tinggi di Universitas
Negeri Medan dengan konsentrasi matematika dan lulus tahun pada 2016.
ii
MENENTUKAN DIMENSI METRIK DARI GRAF
FRIENDSHIP FN , GRAF LOLLIPOP LM,N , DAN GRAF
PETERSEN PN,M
Wulandari
NIM: 4122230010
ABSTRAK
Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)
adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G.
Untuk himpunan
terurut W = {w1 , w2 , w3 , . . . , wk } dari simpul-simpul dalam graf terhubung G
dan simpul v ∈ V (G), representasi dari v terhadap W adalah vektor-k r(v|W ) =
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), . . . , d(v, wk )). Jika r(v|W ) untuk setiap simpul v ∈ V (G)
berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Kardinalitas minimum
dari himpunan pembeda disebut dimensi metrik dari graf G dan dinotasikan dengan
dim(G). Pada penelitian ini dilakukan analisis dimensi metrik pada graf friendship
Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen Pn,m dengan m = 1. Dari hasil penelitian
diperoleh dimensi metrik graf friendship Fn adalah dim(Fn ) = n untuk n ≥ 2,
dimensi metrik graf lollipop adalah dim(Lm,n ) = m − 1 untuk m ≥ 3, n ≥ 1,
dimensi metrik graf Petersen adalah dim(Pn,m ) = 2 untuk m = 1, n ganjil, n ≥ 3
serta dim(Pn,m ) = 3 untuk m = 1, n genap, n ≥ 4.
Kata kunci: himpunan pembeda, dimensi metrik, graf friendship, graf lollipop,
graf Petersen
iii
KATA PENGANTAR
Puji Syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa untuk setiap
berkat dan anugerah-Nya yang masih memberi kesehatan dan kesempatan kepada
penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Adapun skripsi ini berjudul ”Menentukan
Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn , Graf Lollipop Lm,n , dan Graf
Petersen Pn,m ”. Disusun untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas negeri Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dan
bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik.
Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Prof Dr.Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan,
Bapak Dr. Asrin Lubis, M.Pd, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr.Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs.
Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr.
Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua Program Studi Matematika serta
Bapak dan Ibu dosen juga staf pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. E. Elvis Napitupulu, MS, selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis.
5. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si., Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., dan
Ibu Dr. Yulita Moliq Rangkuti, M. Sc, Ph.D, selaku Dosen Penguji yang telah
banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Ibu Dra. Ratnawati Dora, SIP selaku Kepala Perpustakaan Universitas Negeri
Medan yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian atau observasi
di Perpustakaan Universitas Negeri Medan.
7. Teristimewa buat orangtuaku tercinta (Ibunda Murniwati Harahap dan Ayahanda
Toni Harsono) yang senantiasa memberikan kasih sayang yang tak ternilai yang
selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal,
untuk saudara-saudaraku (Adikku Khairani dan Suci Rahmi), juga untuk nenek
tersayang, ujing-ujing dan seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan
doanya.
iv
8. Sahabat-sahabatku di bangku kuliah (Ade Tri Kurnia Purba, Essa Novalia, Sri
Marhaini), sahabat terbaikku Annisa Soraya, geng chocolatoz (Ayu, Bintang,
Delpi, Dian), roommate ku Isnayanti, Keluarga Besar UKMI Ar-Rahman
Universitas Negeri Medan yang telah memberikan semangat, saran dan bantuan
serta teman-teman seperjuangan Matematika Nondik 2012 atas kebersamaan
selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini (Penny, Nina, Ester, Rahma,
Silva, Ramlah, dan yang lainnya yang tidak disebutkan).
Penulis telah berupaya semaksimal mungkin dalam penyusuan skripsi ini,
maupun penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari
segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik dari
semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Penulis juga
mengharapkan kiranya skripsi ini dapat berguna dan bermanfaat bagi penulis dan
pembaca dalam usaha peningkatan pendidikan di masa yang akan datang.
Medan, Mei 2016
Penulis
Wulandari
NIM. 4122230010
v
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN ..............................................................................
i
RIWAYAT HIDUP ..........................................................................................
ii
ABSTRAK ........................................................................................................
iii
KATA PENGANTAR ......................................................................................
iv
DAFTAR ISI ....................................................................................................
vi
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................
ix
DAFTAR TABEL ............................................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................
xi
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ...................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN.................................................................................
1
1.1.
Latar Belakang Masalah ........................................................
1
1.2.
Rumusan Masalah .................................................................
3
1.3.
Batasan Masalah ....................................................................
3
1.4.
Tujuan Penelitian...................................................................
3
1.5.
Manfaat Penelitian.................................................................
4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................
5
2.1.
Graf........................................................................................
5
2.2.
Terminologi Dasar Graf .......................................................
5
2.2.1. Adjacent dan incident ...............................................
5
2.2.2. Derajat ......................................................................
6
2.2.3. Lintasan ....................................................................
6
2.2.4. Jarak ........................................................................
6
2.2.5. Jembatan ..................................................................
6
Jenis-jenis Graf ......................................................................
6
2.3.1. Graf Lengkap ...........................................................
6
2.3.2. Graf Lingkaran .........................................................
7
2.3.3. Graf Teratur ..............................................................
7
2.3.
vi
2.3.4. Graf Lintasan ............................................................
7
2.3.5. Graf Planar ...............................................................
8
2.3.6. Graf Friendship ........................................................
8
2.3.7. Graf Lollipop ............................................................
8
2.3.8. Graf Petersen ............................................................
9
Operasi pada Graf..................................................................
10
2.4.1. Gabungan .................................................................
10
2.4.2. Irisan ........................................................................
11
2.4.3. Join ..........................................................................
11
2.4.4. Hasil Kali Cartesian.................................................
12
2.4.5. Komplemen ..............................................................
12
2.5.
Dimensi Metrik .....................................................................
12
2.6.
Penelitian Terdahulu .............................................................
13
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .........................................................
15
2.4.
3.1.
Tempat dan Waktu Penelitian ...............................................
15
3.2.
Jenis Penelitian .....................................................................
15
3.3.
Prosedur Penelitian................................................................
15
BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................
17
4.1.
4.2.
Dimensi Metrik dari Graf Friendship Fn ..............................
17
4.1.1. Graf Friendship Fn dengan
..................
18
4.1.2. Graf Friendship Fn dengan n sembarang ................
20
Dimensi Metrik dari Graf Lollipop Lm,n ...............................
21
4.2.1. Graf Lollipop Lm,n dengan
4.3.
dan
..................................................................................
22
4.2.2. Graf Lollipop Lm,n dengan m, n sembarang ............
24
Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m ...............................
26
4.3.1. Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m dengan
m =1, n ganjil,
............................................
26
4.3.2. Dimensi Metrik dari Graf Petersen Pn,m dengan
m =1, n genap,
vii
...........................................
29
BAB V PENUTUP ..........................................................................................
34
5.1.
Kesimpulan ...........................................................................
34
5.2.
Saran .....................................................................................
34
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................
35
LAMPIRAN .....................................................................................................
37
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Graf
...........................................................................
5
Gambar 2.2
Graf
.......................................
7
Gambar 2.3
Graf
.....................................................
7
Gambar 2.4
Graf
.....................................................
8
Gambar 2.5
Graf planar ....................................................................
8
Gambar 2.6
Graf friendship
..................................
8
Gambar 2.7
Graf lollipop
...........................................................
9
Gambar 2.8
Graf Petersen
...........................................................
10
Gambar 2.9
Graf
......................................................
11
Gambar 2.10
Graf
.....................................................
11
Gambar 2.11
Graf
......................................................
11
Gambar 2.12
Graf
......................................................
12
Gambar 2.13
Graf
12
Gambar 4.1
dan ̅ ..................................................................
Graf friendship
..........................................................
17
Gambar 4.2
Graf lollipop
..........................................................
21
Gambar 4.3
Graf Petersen
..........................................................
26
Gambar 4.4
Graf Petersen
...........................................................
27
Gambar 4.5
Graf Petersen
...........................................................
27
Gambar 4.6
Graf Petersen
...........................................................
28
Gambar 4.7
Graf Petersen
...........................................................
30
Gambar 4.8
Graf Petersen
...........................................................
31
ix
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1
Jarak antara simpul pada graf friendship
Tabel 4.2
Jarak antara simpul pada graf lollipop
x
.................
17
..............
20
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1.
Himpunan
Lain untuk Graf Friendship
.........
37
Lampiran 2.
Himpunan
Lain untuk Graf Lollipop
..........
40
Lampiran 3.
Himpunan
Lain untuk Graf Petersen
...............
44
Lampiran 4.
Surat Permintaan Kesediaan Dosen PS .........................
49
Lampiran 5.
Surat Permohonan Izin Penelitian .................................
50
Lampiran 6.
Surat Izin Penelitian dari Fakultas .................................
51
Lampiran 7.
Surat Izin Penelitian dari Tempat Penelitian .................
52
Lampiran 8.
Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian .............
53
xi
DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG
: graf G
: himpunan simpul dari graf G
: himpunan sisi dari graf G
: banyaknya simpul dari graf G (order)
: banyaknya sisi dari graf G (size)
: simpul
: sisi
: derajat simpul v
: panjang lintasan terpendek (jarak) antara u dan v pada graf G
: representasi simpul v terhadap W
: dimensi metrik dari graf G
: operasi gabungan
∩
+
: operasi irisan
: operasi join
̅
: operasi perkalian cartesian
: komplemen dari graf G
: himpunan bagian
: anggota
: graf lengkap dengan order n
: graf lingkaran dengan order n
: graf lintasan dengan order n
: graf friendship dengan order
: graf lollipop dengan order
: graf Petersen dengan order
: graf ulat teratur dengan order
: graf kembang api teratur dengan order
: graf pohon pisang teratur dengan order
xii
Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf terhubung G, jarak d(u, v)
adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada G.
Untuk himpunan
terurut W = {w1 , w2 , w3 , . . . , wk } dari simpul-simpul dalam graf terhubung G
dan simpul v ∈ V (G), representasi dari v terhadap W adalah vektor-k r(v|W ) =
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), . . . , d(v, wk )). Jika r(v|W ) untuk setiap simpul v ∈ V (G)
berbeda, maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Himpunan pembeda
dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum (basis metrik),
dan kardinalitas dari basis metrik tersebut dinamakan dimensi metrik dari G
dinotasikan dim(G).
Kajian mengenai dimensi metrik bermanfaat dalam berbagai pengembangan
ilmu pengetahuan. Chartrand (2003) telah mengaplikasikan himpunan pembeda
dalam dimensi metrik pada bidang kimia untuk mengklasifikasi senyawa kimia.
Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf dengan asumsi atom sebagai
simpul dan ikatan valensi antara dua atom sebagai sisi. Misalkan V (G) adalah
himpunan semua simpul terurut dengan W ⊆ V (G). Dengan menghitung jarak
setiap simpul v ∈ V (G) terhadap semua simpul w ∈ W , konsep himpunan
pembeda memastikan setiap simpul v ∈ V (G) mempunyai representasi berbeda.
Jika dua senyawa berbeda mempunyai himpunan V (G) dan jarak u ke w sama,
untuk semua v ∈ V (G) dan w ∈ W , maka kedua senyawa tersebut berada
dalam satu klasifikasi. Khuller juga telah mengaplikasikan permasalahan dimensi
metrik graf pada bidang navigasi robot dan pencarian (Khuller 1996). Selanjutnya
Sebo mengaplikasikan dimensi metrik pada permasalahan optimasi kombinasi
(Sebo 2004).
Penelitian mengenai dimensi metrik telah dilakukan oleh Hindayani pada
tahun 2011. Hindayani (2011) meneliti dimensi metrik pada graf Kr + mKs ,
dim(Kr + mKs ) = m + (r − 2) untuk m ≥ 2, s = 1 dan dim(Kr + mKs ) =
(s − 1)m + (r − 1) untuk m, s ≥ 2. Selanjutnya Permana (2012) meneliti
dimensi metrik pada graf pohon bentuk tertentu, diantaranya graf ulat teratur
dim(Cm,n ) = m(n − 1) dengan m ≥ 1 dan n ≥ 2 , graf kembang api teratur
dim(Fm,n ) = m(n − 1) dengan m, n ≥ 2, serta graf pohon pisang teratur
dim(Bm,n ) = m(n − 2) dengan m ≥ 2 dan n ≥ 3 .
Dimensi metrik pada kelas graf friendship Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf
Petersen Pn,m belum ditentukan oleh para peneliti sebelumnya. Graf friendship
Fn merupakan pengembangan dari graf lingkaran C3 yang dikonstruksikan dengan
2
menggabungkan graf lingkaran C3 sebanyak n kali. Sedangkan graf lollipop Lm,n
merupakan pengembangan dari graf lengkap Km , m ≥ 3 dengan graf lintasan
Pn yang mana kedua graf tersebut dihubungkan oleh jembatan. Selanjutnya graf
Petersen diambil dari nama Peter Christian Julius Petersen pada tahun 1898. Graf
Petersen adalah graf teratur berderajat 3 dan dinotasikan dengan Pn,m , dengan nilai
n menyatakan banyaknya simpul luar yang sama dengan banyaknya simpul dalam
dan nilai m menyatakan lompatan sisi dalam, dimana n ≥ 3, 1 ≤ m ≤
n−1
.
2
Berdasarkan uraian diatas, penulis termotivasi untuk mengembangkan
penelitian tentang dimensi metrik dengan judul ” Menentukan Dimensi Metrik
dari Graf Friendship Fn , Graf Lollipop Lm,n dan Graf Petersen Pn,m ”.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang , dapat disusun perumusan masalah yaitu
1. Bagaimana dimensi metrik graf friendship Fn ?
2. Bagaimana dimensi metrik graf lollipop Lm,n ?
3. Bagaimana dimensi metrik graf Petersen Pn,m ?
1.3. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, akan ditentukan dimensi metrik dari graf friendship Fn ,
graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen Pn,m dengan m = 1.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, penelitian ini dilakukan dengan tujuan
untuk
1. Menentukan dimensi metrik graf friendship Fn .
2. Menentukan dimensi metrik graf lollipop Lm,n .
3. Menentukan dimensi metrik graf Petersen Pn,m .
3
1.5. Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini yaitu dapat menentukan rumus
umum dari dimensi metrik graf friendship Fn , graf lollipop Lm,n , dan graf Petersen
Pn,m . Selanjutnya dapat digunakan sebagai sarana dalam mengaplikasikan dan
mengembangkan ilmu pengetahuan yang telah diperoleh oleh penulis.
4
DAFTAR PUSTAKA
Abdollahi, A. Janbaz, S. O. M., (2013): Graphs Cospectral With A Friendship
Graph or Its Complement, Transactions on Combinatorics, 2(4), 37–52.
Chairulloh, R., (2014): Super (a,d) Edge Antimagic Total Labelling pada Graf
Petersen [Skripsi], Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Chartrand, G., d., (2003): Boundary Vertices in Graphs, Discrete Mathematics,
(263), 25–34.
Chartrand, G. Lesniak, L., (1986): Applied and Algorithmic Graph Theory, Pacific
Graw, California.
Chartrand, G. Zhang, P., (2012): A First Course in Graph Theory, Dover Publication, Inc., New York.
Goodaire, E.G. Parmenter, M., (2008): Discrete Mathematics with Graph Theory
Third Edition, Pacific Graw, California.
Harary dan Melter (1976): On the Metric Dimension of Graph, Combinatoria,
2, 1991–1995.
Hindayani (2011): Dimensi Metrik Graf Kr + mKs , m, r, s ∈ N , Cauchy,
1(4), 2086–0382.
Khuller, S. Raghavachari, B. R. A., (1996): Landmarks in Graph, Disc. Applied
Mathematics, (70), 217–229.
Liu, C.L. Mohapatra, D., (2008): Elements of Discrete Mathematics and Its Application, Mc Graw Hill, New York.
Melati, R., (2011): Resolving Set dan Dimensi Metrik Graf Lengkap, Graf Lintasan,
dan Graf Bipartit Lengkap [Skripsi], Universitas Andalas, Padang.
Munir, R., (2005): Matematika Diskrit, Penerbit Informatika, Bandung.
Mustika, N., (2012): Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super pada Graf nP2 ∪Pn dan Graf
nP2 ∪ Pn+2 [Skripsi], Universitas Andalas, Padang.
Ngurah, A.A.G. Baskoro, E., (2003): On Magic and Antimagic Labeling Generalized of Petersen Graph, Utilitas Math, (63), 97–107.
Permana, A. D., (2012): Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu, Jurnal
Teknik POMITS, 1(1), 1–4.
Sebo, A. Tannier, E., (2004): On Metric Generators of Graphs, Math. Oper. Res.,
29(2), 383–393.
Siddiq, M., (2014): Pemberian Nomor Vertex pada Topologi Jaringan Graf Wheel,
Graf Helm, dan Graf Lollipop [Skripsi], Universitas Sebelas Maret, Surakarta.
Vasudev, C., (2006): Graph Theory with Applications, New Age International P.
35
Limited, Bangalore.
36