Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf Cn *2 Km.
DIMENSI PARTISI DARI GRAF LOLLIPOP, GRAF
GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km
oleh
MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI
M0112054
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ii
ABSTRAK
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. DIMENSI PARTISI DARI GRAF
LOLLIPOP , GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) yang
dapat dibagi menjadi beberapa partisi S. Himpunan Π dengan S ∈ Π disebut partisi pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi
berbeda terhadap Π dan Π merupakan himpunan dari k−partisi yang terurut.
Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi
partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G). Graf lollipop Lm,n adalah
graf lengkap Km dan graf lintasan Pn yang dihubungkan dengan sebuah bridge.
Graf generalized Jahangir adalah graf yang terdiri dari cycle Cmn dengan 1 vertex
tambahan yang adjacent dengan n vertex dari Cmn dengan m jarak yang sama di
Cmn . Graf Cn ∗2 Km adalah suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge atau
menggabungkan salah satu edge pada Cn dan satu edge pada Km . Beberapa peneliti telah menentukan dimensi partisi pada beberapa kelas graf. Hal ini menjadi
acuhan untuk meneliti beberapa kelas graf yang belum diteliti sebelumnya.
Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi dari kelas graf lollipop Lm,n ,
graf generalized Jahangir Jm,n , dan graf Cn ∗2 Km . Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka.
Hasil penelitian menyatakan bahwa dimensi partisi dari graf lollipop adalah
pd(Lm,n ) = m untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1. Dimensi partisi dari graf generalized Jahangir terdiri dari dua kasus, yaitu pd(Jm,n ) = 3 untuk n = 3, 4, 5 dan
pd(Jm,n ) = ⌊ n2 ⌋ + 1 untuk n ≥ 6. Dimensi partisi dari graf Cn ∗2 Km terdiri dari
dua kasus, yaitu pd(Cn ∗2 Km ) = 3 untuk m = 2, 3, 4, dan pd(Cn ∗2 Km ) = m − 1
untuk m ≥ 5.
Kata Kunci: dimensi partisi, partisi pembeda, graf lollipop, graf generalized
Jahangir, graf Cn ∗2 Km
iii
ABSTRACT
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION
OF LOLLIPOP GRAPH, GENERALIZED JAHANGIR GRAPH, AND Cn ∗2 Km
GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with vertex set V (G), such that V (G) can be
divided into any partition set S. The set Π with S ∈ Π is a resolving partition of
G if for each vertex in G has distinct representation with respect to Π, and Π is
an ordered k−partition. The minimum cardinality of resolving k−partitions of
V (G) is called a partition dimension of G, denoted by pd(G). The lollipop graph
Lm,n is a graph obtained by joining a complete graph Km to a path Pn with a
bridge. A generalized Jahangir graph is a graph consisting of a cycle Cmn and
one additional vertex which is adjacent to n vertices of Cmn at m distance to each
other on Cmn . A Cn ∗2 Km graph is the graph obtained from edge amalgamation
or connected to one of edge of Cn and one edge of Km . Many researchers have
conducted research in determining the partition dimension for specific graph classes. There are as reference to determine some of the graph classes that haven’t
been studied previously.
In this research, we determine the partition dimension of a lollipop graph
Lm,n , a generalized Jahangir graph Jm,n , and a Cn ∗2 Km graph. The research
methods in this paper is book study.
The results of this research are as follows. We obtain the partition dimension
of a lollipop graph is pd(Lm,n ) = m for m ≥ 3 and n ≥ 1. The partition
dimension of a generalized Jahangir graph consists of two cases. We showed that
pd(Jm,n ) = 3 for n = 3, 4, 5 and we prove pd(Jm,n ) = ⌊ n2 ⌋ + 1 for n ≥ 6. The
partition dimension of a Cn ∗2 Km graph consists of two cases. The first case,
pd(Cn ∗2 Km ) = 3 for m = 2, 3, 4 and the second case, we found pd(Cn ∗2 Km ) =
m − 1 for m ≥ 5.
Keywords : partition dimension, resolving partition, lollipop graph, generalized
Jahangir graph, Cn ∗2 Km graph
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, ayah, kakak, adik dan orang-orang terdekat saya.
v
MOTO
Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya
dipikirkan. Sebuah cita-cita juga menjadi beban, jika itu hanya
angan-angan.
vi
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini
berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu
penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing yang
telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini, dan
2. teman-teman yang telah membantu dan senantiasa memberikan semangat
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Juli 2016
Penulis
vii
DAFTAR ISI
I
SAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
viii
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
16
4.1
Dimensi Partisi dari Graf Lollipop . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Partisi dari Graf Generalized Jahangir . . . . . . . . . .
17
4.3
Dimensi Partisi dari Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
V PENUTUP
26
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
DAFTAR PUSTAKA
27
ix
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Graf G1 , G2 , dan G1 ∪ G2
9
2.4
Operasi amalgamasi titik G ∗ H dan operasi amalgamasi sisi G ∗2 H 10
2.5
Graf Kp untuk 1 ≤ p ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.6
Graf Pn untuk 1 < n ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
Graf Lollipop Lm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8
Graf generalized Jahangir Jm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.9
Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.10 Graf lintasan P8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
u, v
:
vertex
e
:
edge
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
degG vi
:
degree vertex vi dari graf G
d(u, v)
:
jarak dari vertex u ke v pada graf G
d(v, S) :
jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G
∪
:
operasi union
+
:
operasi join
⊙
:
operasi korona
×
:
operasi product
⊆
:
himpunan bagian
∈
:
anggota
∗
:
operasi amalgamasi vertex
∗2
:
operasi amalgamasi edge
⌈x⌉
:
bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
(ceiling)
⌊x⌋
:
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
(flooring)
Si
:
kelas partisi ke-i
|Si |
:
kardinalitas dari kelas partisi ke-i
Π
:
partisi pembeda
|Π|
:
kardinalitas dari partisi pembeda
r(v|Π)
:
representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
xi
pd(G) :
dimensi partisi pada graf G
Pn
:
graf lintasan ber-order n
Kn
:
graf lengkap ber-order n
Cn
:
graf cycle ber-order n
Kr,s
:
graf bipartit lengkap ber-order r + s
Wn
:
graf wheel ber-order n + 1
G2n
:
graf gear ber-order 2n + 1
Hn
:
graf helm ber-order 2n + 1
SFn
:
graf sunflower ber-order 2n + 1
fn
:
graf friendship ber-order 2n + 1
Sk,m
:
graf amalgamasi star ber-order km + 1
Ln,t
:
graf (n, t)−kite ber-order n + t
Bn,n
:
graf barbell ber-order 2n
DCn
:
graf double cone ber-order n + 2
Cmn
:
graf cycle ber-order mn
Lm,n
:
graf lollipop ber-order m + n
Jm,n
:
graf generalized Jahangir ber-order mn + 1
xii
GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km
oleh
MAYLINDA PURNA KARTIKA DEWI
M0112054
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2016
i
ii
ABSTRAK
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. DIMENSI PARTISI DARI GRAF
LOLLIPOP , GRAF GENERALIZED JAHANGIR, DAN GRAF Cn ∗2 Km . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) yang
dapat dibagi menjadi beberapa partisi S. Himpunan Π dengan S ∈ Π disebut partisi pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi
berbeda terhadap Π dan Π merupakan himpunan dari k−partisi yang terurut.
Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi
partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G). Graf lollipop Lm,n adalah
graf lengkap Km dan graf lintasan Pn yang dihubungkan dengan sebuah bridge.
Graf generalized Jahangir adalah graf yang terdiri dari cycle Cmn dengan 1 vertex
tambahan yang adjacent dengan n vertex dari Cmn dengan m jarak yang sama di
Cmn . Graf Cn ∗2 Km adalah suatu graf hasil dari operasi amalgamasi edge atau
menggabungkan salah satu edge pada Cn dan satu edge pada Km . Beberapa peneliti telah menentukan dimensi partisi pada beberapa kelas graf. Hal ini menjadi
acuhan untuk meneliti beberapa kelas graf yang belum diteliti sebelumnya.
Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi dari kelas graf lollipop Lm,n ,
graf generalized Jahangir Jm,n , dan graf Cn ∗2 Km . Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka.
Hasil penelitian menyatakan bahwa dimensi partisi dari graf lollipop adalah
pd(Lm,n ) = m untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1. Dimensi partisi dari graf generalized Jahangir terdiri dari dua kasus, yaitu pd(Jm,n ) = 3 untuk n = 3, 4, 5 dan
pd(Jm,n ) = ⌊ n2 ⌋ + 1 untuk n ≥ 6. Dimensi partisi dari graf Cn ∗2 Km terdiri dari
dua kasus, yaitu pd(Cn ∗2 Km ) = 3 untuk m = 2, 3, 4, dan pd(Cn ∗2 Km ) = m − 1
untuk m ≥ 5.
Kata Kunci: dimensi partisi, partisi pembeda, graf lollipop, graf generalized
Jahangir, graf Cn ∗2 Km
iii
ABSTRACT
Maylinda Purna Kartika Dewi, 2016. ON THE PARTITION DIMENSION
OF LOLLIPOP GRAPH, GENERALIZED JAHANGIR GRAPH, AND Cn ∗2 Km
GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with vertex set V (G), such that V (G) can be
divided into any partition set S. The set Π with S ∈ Π is a resolving partition of
G if for each vertex in G has distinct representation with respect to Π, and Π is
an ordered k−partition. The minimum cardinality of resolving k−partitions of
V (G) is called a partition dimension of G, denoted by pd(G). The lollipop graph
Lm,n is a graph obtained by joining a complete graph Km to a path Pn with a
bridge. A generalized Jahangir graph is a graph consisting of a cycle Cmn and
one additional vertex which is adjacent to n vertices of Cmn at m distance to each
other on Cmn . A Cn ∗2 Km graph is the graph obtained from edge amalgamation
or connected to one of edge of Cn and one edge of Km . Many researchers have
conducted research in determining the partition dimension for specific graph classes. There are as reference to determine some of the graph classes that haven’t
been studied previously.
In this research, we determine the partition dimension of a lollipop graph
Lm,n , a generalized Jahangir graph Jm,n , and a Cn ∗2 Km graph. The research
methods in this paper is book study.
The results of this research are as follows. We obtain the partition dimension
of a lollipop graph is pd(Lm,n ) = m for m ≥ 3 and n ≥ 1. The partition
dimension of a generalized Jahangir graph consists of two cases. We showed that
pd(Jm,n ) = 3 for n = 3, 4, 5 and we prove pd(Jm,n ) = ⌊ n2 ⌋ + 1 for n ≥ 6. The
partition dimension of a Cn ∗2 Km graph consists of two cases. The first case,
pd(Cn ∗2 Km ) = 3 for m = 2, 3, 4 and the second case, we found pd(Cn ∗2 Km ) =
m − 1 for m ≥ 5.
Keywords : partition dimension, resolving partition, lollipop graph, generalized
Jahangir graph, Cn ∗2 Km graph
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, ayah, kakak, adik dan orang-orang terdekat saya.
v
MOTO
Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya
dipikirkan. Sebuah cita-cita juga menjadi beban, jika itu hanya
angan-angan.
vi
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini
berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu
penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing yang
telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini, dan
2. teman-teman yang telah membantu dan senantiasa memberikan semangat
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Juli 2016
Penulis
vii
DAFTAR ISI
I
SAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.3
Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
viii
III METODE PENELITIAN
15
IV PEMBAHASAN
16
4.1
Dimensi Partisi dari Graf Lollipop . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Partisi dari Graf Generalized Jahangir . . . . . . . . . .
17
4.3
Dimensi Partisi dari Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
V PENUTUP
26
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
DAFTAR PUSTAKA
27
ix
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Graf G1 , G2 , dan G1 ∪ G2
9
2.4
Operasi amalgamasi titik G ∗ H dan operasi amalgamasi sisi G ∗2 H 10
2.5
Graf Kp untuk 1 ≤ p ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.6
Graf Pn untuk 1 < n ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
Graf Lollipop Lm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8
Graf generalized Jahangir Jm,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.9
Graf Cn ∗2 Km . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.10 Graf lintasan P8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
u, v
:
vertex
e
:
edge
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
degG vi
:
degree vertex vi dari graf G
d(u, v)
:
jarak dari vertex u ke v pada graf G
d(v, S) :
jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G
∪
:
operasi union
+
:
operasi join
⊙
:
operasi korona
×
:
operasi product
⊆
:
himpunan bagian
∈
:
anggota
∗
:
operasi amalgamasi vertex
∗2
:
operasi amalgamasi edge
⌈x⌉
:
bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
(ceiling)
⌊x⌋
:
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
(flooring)
Si
:
kelas partisi ke-i
|Si |
:
kardinalitas dari kelas partisi ke-i
Π
:
partisi pembeda
|Π|
:
kardinalitas dari partisi pembeda
r(v|Π)
:
representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
xi
pd(G) :
dimensi partisi pada graf G
Pn
:
graf lintasan ber-order n
Kn
:
graf lengkap ber-order n
Cn
:
graf cycle ber-order n
Kr,s
:
graf bipartit lengkap ber-order r + s
Wn
:
graf wheel ber-order n + 1
G2n
:
graf gear ber-order 2n + 1
Hn
:
graf helm ber-order 2n + 1
SFn
:
graf sunflower ber-order 2n + 1
fn
:
graf friendship ber-order 2n + 1
Sk,m
:
graf amalgamasi star ber-order km + 1
Ln,t
:
graf (n, t)−kite ber-order n + t
Bn,n
:
graf barbell ber-order 2n
DCn
:
graf double cone ber-order n + 2
Cmn
:
graf cycle ber-order mn
Lm,n
:
graf lollipop ber-order m + n
Jm,n
:
graf generalized Jahangir ber-order mn + 1
xii