Dimensi Partisi dari Graf Caveman, Graf Generalized Petersen, dan Graf K_m *_2 K_n.
DIMENSI PARTISI DARI GRAF CAVEMAN, GRAF
GENERALIZED PETERSEN, DAN GRAF Km ∗2 Kn
oleh
META ILAFIANI
M0112055
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
i
ABSTRAK
Meta Ilafiani, 2017. DIMENSI PARTISI DARI GRAF CAVEMAN , GRAF
GENERALIZED PETERSEN, DAN GRAF Km ∗2 Kn . Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 ,
. . . , vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Vertex-vertex tersebut
dibagi menjadi k−partisi, dinotasikan dengan S1 , S2 , . . . , Sk . Himpunan Π =
{S1 , S2 , . . . , Sk } adalah himpunan k−partisi terurut. Representasi untuk setiap
vertex V (G) terhadap Π adalah jarak minimum dari suatu vertex ke Si dengan
1 ≤ i ≤ k, dinotasikan dengan r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Jika
setiap vertex memiliki representasi yang berbeda, maka Π disebut partisi pembeda dengan k−partisi pembeda. Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda
terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd(G).
Dalam penelitian ini, ditentukan dimensi partisi dari graf caveman C(n, k),
graf generalized Petersen P (n, k), dan graf Km ∗2 Kn . Berdasarkan pembahasan,
diperoleh hasil dimensi partisi untuk graf C(n, k), P (n, k), dan Km ∗2 Kn . Untuk
graf C(n, k), diperoleh pd(C(n, k)) = 3 untuk n ≥ 3, k = 3, 4 dan pd(C(n, k)) =
k − 1 untuk n ≥ 3, k ≥ 5. Untuk graf P (n, k), diperoleh pd(P (n, k)) = 4 untuk
n ≥ 5, k = 2 dan n ≥ 8, k = 3. Untuk graf Km ∗2 Kn , diperoleh pd(Km ∗2 Kn ) = m,
untuk m, n = 3 dan m, n = 4, pd(Km ∗2 Kn ) = m + n − 4 untuk m = 3, n ≥ 4 dan
m ≥ 4, n = 3, pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 5 untuk m = 4, n ≥ dan m ≥ 5, n = 4
serta pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 6 untuk m ≥ 5, n ≥ 5.
Kata Kunci: Dimensi partisi, graf caveman, graf generalized Petersen, graf
Km ∗2 Kn
iii
ABSTRACT
Meta Ilafiani, 2017. ON THE PARTITION DIMENSION OF CAVEMAN
GRAPH, GENERALIZED PETERSEN GRAPH, AND Km ∗2 Kn GRAPH.
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with vertex set V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn } and
edge set E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Those vertices are divided into k-partition,
denoted by S1 , S2 , . . . , Sk . Set of Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } be an ordered set of
k-partition. The representation for every vertex V (G) with respect to Π is a
minimum distance of a vertex to Si with 1 ≤ i ≤ k, denoted by r(v|Π) =
(d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). If every vertex has distinct representation, Π is
called a resolving k-partition. Minimum cardinality of a resolving k-partition of
V (G) is called by partition dimension of G, denoted by pd(G).
In this research, we determine partition dimension of a caveman graph
C(n, k), a generalized Petersen graph P (n, k), and a Km ∗2 Kn graph. Based
on main discussion, we obtain the partition dimension of C(n, k), P (n, k), and
Km ∗2 Kn . For C(n, k), we obtain pd(C(n, k)) = 3 for n ≥ 3, k = 3, 4 and
pd(C(n, k)) = k − 1 for n ≥ 3, k ≥ 5. For P (n, k), we gain pd(P (n, k)) = 4 for
n ≥ 5, k = 2 and n ≥ 8, k = 3. For Km ∗2 Kn , we find pd(Km ∗2 Kn ) = m,
for m, n = 3 dan m, n = 4, pd(Km ∗2 Kn ) = m + n − 4 for m = 3, n ≥ 4 and
m ≥ 4, n = 3, pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 5 for m = 4, n ≥ and m ≥ 5, n = 4 and
also we obtain pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 6 for m ≥ 5, n ≥ 5.
Keywords : Partition dimension, caveman graph, generalized Petersen graph,
Km ∗2 Kn graph
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu dan bapak.
v
MOTO
Jangan berhenti berusaha dan berdoa.
vi
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi
ini berkat dorongan, dukungan, dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing
I yang telah memberikan bimbingan dan motivasi sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dan
2. keluarga serta teman-teman yang telah memberikan semangat dan motivasi
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Februari 2017
Penulis
vii
DAFTAR ISI
I
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.3
Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
viii
III METODE PENELITIAN
15
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
16
4.1
Dimensi Partisi pada Graf Caveman
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Partisi pada Graf Generalized Petersen . . . . . . . . . .
23
4.3
Dimensi Partisi pada Graf Km ∗2 Kn . . . . . . . . . . . . . . . .
25
V PENUTUP
32
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
DAFTAR PUSTAKA
33
ix
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf terhubung dan graf tidak terhubung . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Graf G1 isomorfik dengan graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Graf lengkap untuk p = 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Graf K3 , K4 , dan K3 ∗2 K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Graf caveman untuk n = 3, k = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Graf Generalized Petersen untuk n = 5, k = 2 dan n = 8, k = 3 . .
11
2.9
Graf K3 , K4 , dan K3 ∗2 K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.10 Graf C(3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
x
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
u, v
:
vertex
e
:
edge
⊆
:
himpunan bagian
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
∈
:
anggota
⌈⌉
:
pembulatan ke atas (ceiling)
⌊⌋
:
pembulatan ke bawah (flooring)
φ
:
pemetaan
V (G) − X
:
penghapusan himpunan vertex X dari himpunan vertex G
N
:
himpunan bilangan alam
Si
:
kelas partisi ke-i
d(x, y)
:
jarak dari vertex x ke y
d(v, S)
:
jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S
Π
:
partisi pembeda
r(v|Π)
:
representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
pd(G)
:
dimensi partisi pada graf G
Pn
:
graf lintasan ber-order n
Kn
:
graf lengkap ber-order n
Cn
:
graf cycle ber-order n
An
:
graf antiprisma
S(k, m)
:
graf operasi amalgamasi star berorder km + 1
C(n, k)
:
graf caveman ber-order nk
P (n, k)
:
graf generalized Petersen ber-order 2n
xi
∗2
:
operasi amalgamasi edge
Cn ∗ 2 Km
:
graf amalgamasi dari graf Cn dan Km ber-order m + n − 2
Km ∗2 Kn
:
graf amalgamasi dari graf Km dan Kn ber-order m + n − 2
xii
GENERALIZED PETERSEN, DAN GRAF Km ∗2 Kn
oleh
META ILAFIANI
M0112055
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2017
i
ABSTRAK
Meta Ilafiani, 2017. DIMENSI PARTISI DARI GRAF CAVEMAN , GRAF
GENERALIZED PETERSEN, DAN GRAF Km ∗2 Kn . Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Misalkan G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 ,
. . . , vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Vertex-vertex tersebut
dibagi menjadi k−partisi, dinotasikan dengan S1 , S2 , . . . , Sk . Himpunan Π =
{S1 , S2 , . . . , Sk } adalah himpunan k−partisi terurut. Representasi untuk setiap
vertex V (G) terhadap Π adalah jarak minimum dari suatu vertex ke Si dengan
1 ≤ i ≤ k, dinotasikan dengan r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Jika
setiap vertex memiliki representasi yang berbeda, maka Π disebut partisi pembeda dengan k−partisi pembeda. Kardinalitas minimum dari k−partisi pembeda
terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd(G).
Dalam penelitian ini, ditentukan dimensi partisi dari graf caveman C(n, k),
graf generalized Petersen P (n, k), dan graf Km ∗2 Kn . Berdasarkan pembahasan,
diperoleh hasil dimensi partisi untuk graf C(n, k), P (n, k), dan Km ∗2 Kn . Untuk
graf C(n, k), diperoleh pd(C(n, k)) = 3 untuk n ≥ 3, k = 3, 4 dan pd(C(n, k)) =
k − 1 untuk n ≥ 3, k ≥ 5. Untuk graf P (n, k), diperoleh pd(P (n, k)) = 4 untuk
n ≥ 5, k = 2 dan n ≥ 8, k = 3. Untuk graf Km ∗2 Kn , diperoleh pd(Km ∗2 Kn ) = m,
untuk m, n = 3 dan m, n = 4, pd(Km ∗2 Kn ) = m + n − 4 untuk m = 3, n ≥ 4 dan
m ≥ 4, n = 3, pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 5 untuk m = 4, n ≥ dan m ≥ 5, n = 4
serta pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 6 untuk m ≥ 5, n ≥ 5.
Kata Kunci: Dimensi partisi, graf caveman, graf generalized Petersen, graf
Km ∗2 Kn
iii
ABSTRACT
Meta Ilafiani, 2017. ON THE PARTITION DIMENSION OF CAVEMAN
GRAPH, GENERALIZED PETERSEN GRAPH, AND Km ∗2 Kn GRAPH.
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with vertex set V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn } and
edge set E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Those vertices are divided into k-partition,
denoted by S1 , S2 , . . . , Sk . Set of Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } be an ordered set of
k-partition. The representation for every vertex V (G) with respect to Π is a
minimum distance of a vertex to Si with 1 ≤ i ≤ k, denoted by r(v|Π) =
(d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). If every vertex has distinct representation, Π is
called a resolving k-partition. Minimum cardinality of a resolving k-partition of
V (G) is called by partition dimension of G, denoted by pd(G).
In this research, we determine partition dimension of a caveman graph
C(n, k), a generalized Petersen graph P (n, k), and a Km ∗2 Kn graph. Based
on main discussion, we obtain the partition dimension of C(n, k), P (n, k), and
Km ∗2 Kn . For C(n, k), we obtain pd(C(n, k)) = 3 for n ≥ 3, k = 3, 4 and
pd(C(n, k)) = k − 1 for n ≥ 3, k ≥ 5. For P (n, k), we gain pd(P (n, k)) = 4 for
n ≥ 5, k = 2 and n ≥ 8, k = 3. For Km ∗2 Kn , we find pd(Km ∗2 Kn ) = m,
for m, n = 3 dan m, n = 4, pd(Km ∗2 Kn ) = m + n − 4 for m = 3, n ≥ 4 and
m ≥ 4, n = 3, pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 5 for m = 4, n ≥ and m ≥ 5, n = 4 and
also we obtain pd(Km ∗2 Kn ) = n + m − 6 for m ≥ 5, n ≥ 5.
Keywords : Partition dimension, caveman graph, generalized Petersen graph,
Km ∗2 Kn graph
iv
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
ibu dan bapak.
v
MOTO
Jangan berhenti berusaha dan berdoa.
vi
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi
ini berkat dorongan, dukungan, dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena
itu, penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc. Ph.D. sebagai Pembimbing
I yang telah memberikan bimbingan dan motivasi sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini dan
2. keluarga serta teman-teman yang telah memberikan semangat dan motivasi
dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.
Surakarta, Februari 2017
Penulis
vii
DAFTAR ISI
I
PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.3
Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.4
Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
viii
III METODE PENELITIAN
15
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
16
4.1
Dimensi Partisi pada Graf Caveman
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.2
Dimensi Partisi pada Graf Generalized Petersen . . . . . . . . . .
23
4.3
Dimensi Partisi pada Graf Km ∗2 Kn . . . . . . . . . . . . . . . .
25
V PENUTUP
32
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
DAFTAR PUSTAKA
33
ix
DAFTAR GAMBAR
2.1
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Graf terhubung dan graf tidak terhubung . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Graf G1 isomorfik dengan graf G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Graf lengkap untuk p = 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5
Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6
Graf K3 , K4 , dan K3 ∗2 K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
Graf caveman untuk n = 3, k = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8
Graf Generalized Petersen untuk n = 5, k = 2 dan n = 8, k = 3 . .
11
2.9
Graf K3 , K4 , dan K3 ∗2 K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.10 Graf C(3, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
x
DAFTAR NOTASI
G
:
graf G
u, v
:
vertex
e
:
edge
⊆
:
himpunan bagian
V (G)
:
himpunan vertex dari graf G
E(G)
:
himpunan edge dari graf G
|V (G)|
:
banyaknya vertex dari graf G (order )
|E(G)|
:
banyaknya edge dari graf G (size)
∈
:
anggota
⌈⌉
:
pembulatan ke atas (ceiling)
⌊⌋
:
pembulatan ke bawah (flooring)
φ
:
pemetaan
V (G) − X
:
penghapusan himpunan vertex X dari himpunan vertex G
N
:
himpunan bilangan alam
Si
:
kelas partisi ke-i
d(x, y)
:
jarak dari vertex x ke y
d(v, S)
:
jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S
Π
:
partisi pembeda
r(v|Π)
:
representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
pd(G)
:
dimensi partisi pada graf G
Pn
:
graf lintasan ber-order n
Kn
:
graf lengkap ber-order n
Cn
:
graf cycle ber-order n
An
:
graf antiprisma
S(k, m)
:
graf operasi amalgamasi star berorder km + 1
C(n, k)
:
graf caveman ber-order nk
P (n, k)
:
graf generalized Petersen ber-order 2n
xi
∗2
:
operasi amalgamasi edge
Cn ∗ 2 Km
:
graf amalgamasi dari graf Cn dan Km ber-order m + n − 2
Km ∗2 Kn
:
graf amalgamasi dari graf Km dan Kn ber-order m + n − 2
xii