Matematika
99
3.5 Fungsi Invers Masalah 3.4
Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar fx rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti
fungsi fx = 500x + 1.000, dimana x banyak potong kain yang terjual. a Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain,
berapa keuntungan yang diperoleh? b Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong
kain yang harus terjual? c Jika
A merupakan daerah asal domain fungsi f dan B merupakan daerah hasil range fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir a dan butir b
di atas.
Alternatif Penyelesaian
Keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi fx = 500x + 1.000, untuk setiap x potong kain yang terjual.
a Penjualan 50 potong kain, maka x = 50 dan nilai keuntungan yang diperoleh adalah
fx = 500x + 1000 untuk x = 50 berarti f50 = 500
× 50 + 1.000 =
25.000 +
1.000 =
26.000 Jadi, keuntungan yang diperoleh dalam penjualan 50 potong kain sebesar
Rp26.000,00. b Agar keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 100.000,00, maka banyaknya
kain yang harus terjual adalah fx
= 500x + 1000 100.000
= 500x + 1000
500x = 100.000 – 1.000
Kelas X SMAMASMKMAK
100
500x = 99.000
x =
99.000 500
= 198
Jadi, banyaknya kain yang harus terjual adalah 198 potong. c Jika
A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f, maka permasalahan butir a dan butir b di atas digambarkan
seperti berikut.
x x
A A
i ii
B B
f
f
-1
fx fx
50 ....?
A A
iii iv
B B
f
f
-1
....? 100.000
Gambar 3.5 Fungsi invers
Berdasarkan Gambar 3.5 di atas, maka dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut.
a Gambar 3.5 i menunjukkan bahwa fungsi f memetakan A ke B, dapat ditulis f: A
→ B. b Gambar 3.5 ii menunjukkan bahwa f
-1
memetakan B ke A, dapat ditulis f
-1
: B → A, dimana f
-1
merupakan fungsi invers f.
Matematika
101
c Gambar 3.5 iii menunjukkan bahwa untuk nilai x = 50, maka akan dicari nilai fx.
d Gambar 3.5 iv menunjukkan kebalikan dari Gambar 3.5 iii, yaitu mencari nilai x jika diketahui nilai fx = 100.000.
Perhatikan Gambar 3.6 berikut, agar lebih memahami konsep invers suatu fungsi.
Gambar 3.6 Fungsi invers
x f
f
-1
y
A B
Berdasarkan Gambar 3.6 di samping, diketahui ada beberapa hal sebagai berikut.
Pertama, fungsi f memetakan x ∈A ke y∈B.
Ingat kembali pelajaran tentang menyatakan fungsi ke dalam bentuk pasangan terurut.
Jika fungsi f dinyatakan ke dalam bentuk pasangan terurut, maka dapat ditulis sebagai
berikut.
f = {x, y | x ∈A dan y∈B}. Pasangan terurut
x, y merupakan unsur dari fungsi f. Kedua, fungsi invers f atau f
-1
memetakan y ∈B ke x∈A. Jika fungsi invers
f dinyatakan ke dalam pasangan terurut, maka dapat ditulis f
-1
= {y, x | y ∈B
dan x ∈A}. Pasangan terurut y, x merupakan unsur dari fungsi invers f.
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat dideinisikan invers suatu fungsi, yaitu sebagai berikut.
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f = {x, y | x
∈A dan y∈B}, maka invers fungsi f dilambangkan f
-1
adalah relasi yang memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan
dengan f
-1
= {y, x | y ∈B dan x∈A}.
Deinisi 3.3
Untuk lebih memahami konsep invers suatu fungsi, selesaikanlah Masalah 3.5 berikut.
Kelas X SMAMASMKMAK
102
Masalah 3.5
Diketahui fungsi f: A → B merupakan fungsi bijektif, fungsi g: C → D
merupakan fungsi injektif, dan fungsi h: E → F merupakan fungsi surjektif
yang digambarkan seperti Gambar 3.7 di bawah ini.
A f
g h
i ii
iii B
C D
E F
Gambar 3.7 Fungsi invers f, g, dan h
a Jika fungsi invers f memetakan B ke A, fungsi invers g memetakan D ke C, dan fungsi invers h memetakan F ke E, maka gambarlah ketiga invers
fungsi tersebut. b Dari ketiga invers fungsi tersebut, tentukanlah mana yang merupakan
fungsi.
Alternatif Penyelesaian
a Gambar ketiga fungsi invers tersebut ditunjukkan sebagai berikut.
B f
-1
g
-1
h
-1
i ii
iii A
D C
F E
Gambar 3.8 Invers fungsi f, g, dan h
Matematika
103
b Berdasarkan Gambar 3.8, dapat disimpulkan sebagai berikut. -
Gambar 3.8 i merupakan fungsi. Mengapa? Jelaskan. -
Gambar 3.8 ii bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan. -
Gambar 3.8 iii bukan fungsi. Mengapa? Jelaskan. Berdasarkan alternatif penyelesaian pada Masalah 3.5 di atas, dapat
disimpulkan bahwa invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi, tetapi dapat hanya berupa relasi biasa. Fungsi invers g dan h bukan suatu fungsi
melainkan hanya relasi biasa. Invers suatu fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers. Fungsi invers f merupakan suatu fungsi invers.
Berdasarkan uraian di atas, maka ditemukan sifat berikut.
Sifat 3.3
Suatu fungsi f : A → B dikatakan memiliki fungsi invers f
-1
: B → A jika dan
hanya jika fungsi f merupakan fungsi bijektif. Perhatikan kembali Sifat 3.3 di atas, pada fungsi bijektif f: A
→ B, A merupakan daerah asal fungsi f dan B merupakan daerah hasil fungsi f.
Secara umum, deinisi fungsi invers diberikan sebagai berikut.
Jika fungsi f: D
f
→R
f
adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang dideinisikan sebagai f
-1
: R
f
→D
f
dengan kata lain f
-1
adalah fungsi dari R
f
ke D
f
. D
f
adalah daerah asal fungsi f dan R
f
adalah daerah hasil fungsi f.
Deinisi 3.4
Perhatikan kembali Deinisi 3.4 di atas. Fungsi f: D
f
→R
f
adalah fungsi bijektif, jika y
∈R
f
merupakan peta dari x ∈D
f
, maka hubungan antara y dengan fx dideinisikan dengan y = fx. Jika f
-1
adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x
∈R
f-1
adalah peta dari y ∈D
f-1
. Hubungan antara x dengan f
-1
y dideinisikan dengan rumus x = f
-1
y.
Kelas X SMAMASMKMAK
104
3.6 Menentukan Rumus Fungsi Invers Masalah 3.6