Pengkodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
RINGKASAN
ANSUFRI ID SAMBO. Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pcrbaikan Salu Kesalahan (Decoding
Binary Linear Code with Single Error-Correcting). Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS,
FARIDA HANUM dan SUGl GURITMAN.
Saat ini banyak orang mcnggunakan jasa telegram untuk mengirim pesan dari suatu tempat ke
tempat yang lain. Pcsan itu sebenarnya tidak Iangsung dikirim dalam bahasa aslinya melainkan terlebih dahulu diubah ke dalam benluk kode (rangkaian angka-angka). Hal ini digunakan unluk memudahkan dalam mcmeriksa kesalahan yang terjadi pacta pengiriman pesan tersebut. Pada tulisan ini kade
yang digunakan adalah kode biner (rangkaian angka 0 dan I).
prinsip dasar dalam memeriksa dan membetulkan kesalahan
Tulisan ini bertujuan unluk ｭ･ｬｾ｡ｳｫｮ＠
yang te/jadi dalam pengiriman pesan. Prinsip dasar tersebut adalah sebagai berikut : jika diasumsikan kata
yang diterima memiliki kesalahan maka kata kode yang memiliki jarak terdekat dengan kata tersebut
adalah kata kode yang dikirim. Prinsip tersebut dikenal sebagai "prinsip pendekodean dengan tetangga
terdekat" (nearest neighbour decoding principle). Misalkan In merupakan jarak minimum antara kata
kode-kata kode dalam sualu kode maka kode tersebut dapat memeriksa m-l kesalahan atau kurang dan
dapat membetulkan (m-l)/2 kesalahan atau kurang.
Menurut prinsip di alas ada tiga cara untuk melakukan pendekodean kala yang dikirim. Pertama,
dengan cara menghitung jarak minimum antara kata yang dilerima dengan seluruh kata kode. Kedua,
dengan earn mendaftarkan semua kala dalam himpunan biner ke dalam tabel larik standar, Cara ini
lebih baik daripada cara pertama. Keliga, dengan cara mendaftarkan seluruh kepala koset dari tabel
larik standar dan vektor sindromnya. Cara ini adalah yang paling mudah dan efisien.
PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat uutuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
J udul
Nama
NIM
Pcndckodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyelujui.
Dra. Nur Alialininglyas. MS.
Dra. Farida Hanulll. MS.
Pembimbing I
Pembimbillg II
Tanggal Lulus: 24 Mei 1997.
Judul
Nama
NIM
Pendekodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyetujui,
Dra. Nur Alialininglyas , MSi.
Dra. Farida Hallum) MSi.
Pembimbing I
Pembimbing II
Mcngetalmi.
Dr. If. D.S. Priyarsono, MS.
Kelua Program Sludi
Tanggal Lulus : 24 Mei 1997.
RIWAYATHIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 20 Nopember 1970 sebagai anak keempat dari enam
bersalldara, anak dari pasangan Muhammad Idms Sambo dan Anizar Ja'far.
Talmn 1989 penulis lui us dari SMA KHALSA Medan dan pada tahun yang sarna lusus seleksi rnasuk
Institut Pertanian Bogor rnelalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 1990 penulis
rnernilih Program Studi Maternatika, Jumsan Matematika, Fakultas Maternatika dan Ilrnu Pengetahuan
Alam, yang ketika itu bam membuka program untuk sarjana.
Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten mata kuliah Pengantar Maternatika pada
tahun ajaran 1990/1991. Pada tahun 1993 sampai sekarang penulis membuka sanggar belajar dan konsultasi mabasiswa Instillll Perlanian Bogor khuSllS tingkat persiapan bersama (TPB) yang bernama AIJabar.
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT alas ralnnal, hidayah dan berkahNya sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini
adalah leori pengkodean, dengan judul Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pemeriksaan Salu
Kesalahan.
Penulis mengucapkan lerima kasih yang lak tcrhingga kepada berbagai pihak yang telah banyak
membanlu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dra. Nur Aliatinigtyas, MS. dan Ibu Dra.
Farida Hanum, MS. selaku doscn pembimbing, dan Bapak Ir. Fahren Bukhari, MSc. selaku dosen
pcnguji, serta Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono, MS. selaku ketua Jumsan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetalman Alam. Di sam ping itu penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada rekan-rekan di AI-Jabar yang juga telah membantu penulis. Tak lupa ungkapan terima kasih
yang dalam disampaikan kepada Ibunda, Ayahanda, Ananda AI-Hasanah, Istri, serta selumh keluarga,
atas segala doa, dorongan dan kasih-sayangnya. Penulis tak dapat membalas segala kebaikan mercka
semua, semoga Allah SWT membalas scgala kcbaikan mercka dcngan yang lebih baik.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 1997
AnsuJr; ld Sambo
DAFTARISI
Ralaman
DAFTAR GAMBAR ......... '" ................................................................................. vi
PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1
Latar Belakang ......... ... ... ... ........ ... ... ..... ..... ... ... ........... ............... ..... ..... ... ........ ... ........... .... I
Tujuan ............................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORl ............................................................................................................
Gmp ................................................................................................................................
Sub Gmp .........................................................................................................................
Partisi dan Rubungan Ekivalensi ......................................................................................
Koset dan Teorellla Lagrange .............................................................. '" ............... '.. ... ....
1
1
2
2
3
GRUP BINER ............................................... '" ....................................... '" ... ... ... ... ... ... ... ..... 4
PRlNSIP PENDEKODEAN ....................................................................... '" ... ... ... ... ... ... ... .... 5
Kode, Kata Kode, Jarak, dan Bobot .. ................................................ ............................. 5
Pemeriksaan dan Pembetulan Kesalahan ..................... "............... ,................................. 7
K'ODE LINEAR ......................................................................................................... '" ... ...
Kode Linear ................................................................................ .. . ... .. . ... .. . .. . .. . .. . ... .. . .....
Kode Linear dengan Matriks Keseilllbangan .............. ................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Pendekodean Kata yang Dikirilll .. .................. .................... ........... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
8
8
9
10
PENDEKODEAN DENGAN KOSET .......................................................................................
Koset Kode Linear .............................................................................................. .. .. . .. . ... .. . ...
Pendekodean dengan Tabel Larik Standar ........ .......... .............. .................... .......... ... ... ... ....
Pendekodean dengan Vektor Sindrolll .................................................................................
11
II
II
12
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................ .....
Kesimpulan ........................................................................................................................
Saran ......................................................................................................................... ...... ...
14
14
14
DAFTARPUSTAKA................................................................................................................
14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pengiriluan pesan ........ ,....... ,.............. ,............................................. ,....................... ,.. 1
2. Proses pengkodean, pengiriman, dan pendekodean pesan .. ....... ..... ............ ...... .... ...... .......... ... I
3. Dua kata kode dengan jarak minimum m = 2e + I ................... .......... ............................ ...... .... 8
I
PENDAHULUAN
Latar Bclakang
Kemajuan dunia saat ini ditandai dengan
berkembangnya teknologi telekomunikasi. Manusia bebas berkomunikasi atau mengirim pesan
dari suatu tempat ke lcmpal yang lain. Pengiriman pesan ini melalui media perantara yang dinamakan channel. Channel tersebut bisa berupa
jalur telepon, frekuensi radio, salelit komunikasi,
kaset atau disket.
Dalam pengiriman pesan mungkin teljadi
gangguan-gangguan pada channel sehingga pesan yang diterima berbeda dengan pesan yang
dikirim. Jika leljadi kesalahan Imka pencrima
pesan dapat meminla agar pemberi pesan mengnlangi kembali pengiriman pesan. Tetapi kadangkala pengiriman kembali tidak memungkinkan seperti pengiriman gambar dari luar angkasa, pembacaan pada kaset atau disket.
gangguan
....
Gall1bar 1. Proses pengiriman pesal1
Sebagai contah pcsan dikirim dalum bahasa
aslinya scpcrti llSaya datang II dan pes3n yang
diterima adalah "Saya dateng". Melihal hal in;,
penerima dapat mengetahui bahwa telah terjadi
kesalahan pengiriman. Akan telapi jika pesan
yang diterima adalah "Maya datang ll atau IISaya
dalang" maka penerima tidak dapat memuluskan
apakah telah terjadi kesalahan atau tidak.
Unlttk mengalasi hal di alas, pengiriman pesan tidak di'dalam bahasa aslinya telapi terlebih
dahulu diubah (dikodekan) ke dalam bentuk
vektor biner (unlaian biiangan biner 0 dan I).
Pengubahan ke dalam vektor biner ini dinamakan pcngkodcan (encoding). Sedangkan pengubahan kembali dari vektor biner ke pesan yang
berbahasa asli dinamakan pcndcl
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
RINGKASAN
ANSUFRI ID SAMBO. Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pcrbaikan Salu Kesalahan (Decoding
Binary Linear Code with Single Error-Correcting). Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS,
FARIDA HANUM dan SUGl GURITMAN.
Saat ini banyak orang mcnggunakan jasa telegram untuk mengirim pesan dari suatu tempat ke
tempat yang lain. Pcsan itu sebenarnya tidak Iangsung dikirim dalam bahasa aslinya melainkan terlebih dahulu diubah ke dalam benluk kode (rangkaian angka-angka). Hal ini digunakan unluk memudahkan dalam mcmeriksa kesalahan yang terjadi pacta pengiriman pesan tersebut. Pada tulisan ini kade
yang digunakan adalah kode biner (rangkaian angka 0 dan I).
prinsip dasar dalam memeriksa dan membetulkan kesalahan
Tulisan ini bertujuan unluk ｭ･ｬｾ｡ｳｫｮ＠
yang te/jadi dalam pengiriman pesan. Prinsip dasar tersebut adalah sebagai berikut : jika diasumsikan kata
yang diterima memiliki kesalahan maka kata kode yang memiliki jarak terdekat dengan kata tersebut
adalah kata kode yang dikirim. Prinsip tersebut dikenal sebagai "prinsip pendekodean dengan tetangga
terdekat" (nearest neighbour decoding principle). Misalkan In merupakan jarak minimum antara kata
kode-kata kode dalam sualu kode maka kode tersebut dapat memeriksa m-l kesalahan atau kurang dan
dapat membetulkan (m-l)/2 kesalahan atau kurang.
Menurut prinsip di alas ada tiga cara untuk melakukan pendekodean kala yang dikirim. Pertama,
dengan cara menghitung jarak minimum antara kata yang dilerima dengan seluruh kata kode. Kedua,
dengan earn mendaftarkan semua kala dalam himpunan biner ke dalam tabel larik standar, Cara ini
lebih baik daripada cara pertama. Keliga, dengan cara mendaftarkan seluruh kepala koset dari tabel
larik standar dan vektor sindromnya. Cara ini adalah yang paling mudah dan efisien.
PENDEKODEAN KODE LINEAR BINER
DENGAN PERBAlKAN SATU KESALAHAN
ANSUFRI ID SAMBO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat uutuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Matematika
JURUSAN MA TEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU DAN PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
1997
J udul
Nama
NIM
Pcndckodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyelujui.
Dra. Nur Alialininglyas. MS.
Dra. Farida Hanulll. MS.
Pembimbing I
Pembimbillg II
Tanggal Lulus: 24 Mei 1997.
Judul
Nama
NIM
Pendekodean Kode Linear Biner dengan Perbaikan Satu Kesalahan
Ansufri Id Sambo
G26.0985
Menyetujui,
Dra. Nur Alialininglyas , MSi.
Dra. Farida Hallum) MSi.
Pembimbing I
Pembimbing II
Mcngetalmi.
Dr. If. D.S. Priyarsono, MS.
Kelua Program Sludi
Tanggal Lulus : 24 Mei 1997.
RIWAYATHIDUP
Penulis dilahirkan di Medan pada tanggal 20 Nopember 1970 sebagai anak keempat dari enam
bersalldara, anak dari pasangan Muhammad Idms Sambo dan Anizar Ja'far.
Talmn 1989 penulis lui us dari SMA KHALSA Medan dan pada tahun yang sarna lusus seleksi rnasuk
Institut Pertanian Bogor rnelalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 1990 penulis
rnernilih Program Studi Maternatika, Jumsan Matematika, Fakultas Maternatika dan Ilrnu Pengetahuan
Alam, yang ketika itu bam membuka program untuk sarjana.
Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten mata kuliah Pengantar Maternatika pada
tahun ajaran 1990/1991. Pada tahun 1993 sampai sekarang penulis membuka sanggar belajar dan konsultasi mabasiswa Instillll Perlanian Bogor khuSllS tingkat persiapan bersama (TPB) yang bernama AIJabar.
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadiral Allah SWT alas ralnnal, hidayah dan berkahNya sehingga tulisan ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini
adalah leori pengkodean, dengan judul Pendekodcan Kode Linear Biner dengan Pemeriksaan Salu
Kesalahan.
Penulis mengucapkan lerima kasih yang lak tcrhingga kepada berbagai pihak yang telah banyak
membanlu penyelesaian karya ilmiah ini, antara lain Ibu Dra. Nur Aliatinigtyas, MS. dan Ibu Dra.
Farida Hanum, MS. selaku doscn pembimbing, dan Bapak Ir. Fahren Bukhari, MSc. selaku dosen
pcnguji, serta Bapak Dr. Ir. D.S. Priyarsono, MS. selaku ketua Jumsan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetalman Alam. Di sam ping itu penulis juga mengucapkan terima kasih
kepada rekan-rekan di AI-Jabar yang juga telah membantu penulis. Tak lupa ungkapan terima kasih
yang dalam disampaikan kepada Ibunda, Ayahanda, Ananda AI-Hasanah, Istri, serta selumh keluarga,
atas segala doa, dorongan dan kasih-sayangnya. Penulis tak dapat membalas segala kebaikan mercka
semua, semoga Allah SWT membalas scgala kcbaikan mercka dcngan yang lebih baik.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 1997
AnsuJr; ld Sambo
DAFTARISI
Ralaman
DAFTAR GAMBAR ......... '" ................................................................................. vi
PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1
Latar Belakang ......... ... ... ... ........ ... ... ..... ..... ... ... ........... ............... ..... ..... ... ........ ... ........... .... I
Tujuan ............................................................................................................................. 1
LANDASAN TEORl ............................................................................................................
Gmp ................................................................................................................................
Sub Gmp .........................................................................................................................
Partisi dan Rubungan Ekivalensi ......................................................................................
Koset dan Teorellla Lagrange .............................................................. '" ............... '.. ... ....
1
1
2
2
3
GRUP BINER ............................................... '" ....................................... '" ... ... ... ... ... ... ... ..... 4
PRlNSIP PENDEKODEAN ....................................................................... '" ... ... ... ... ... ... ... .... 5
Kode, Kata Kode, Jarak, dan Bobot .. ................................................ ............................. 5
Pemeriksaan dan Pembetulan Kesalahan ..................... "............... ,................................. 7
K'ODE LINEAR ......................................................................................................... '" ... ...
Kode Linear ................................................................................ .. . ... .. . ... .. . .. . .. . .. . ... .. . .....
Kode Linear dengan Matriks Keseilllbangan .............. ................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Pendekodean Kata yang Dikirilll .. .................. .................... ........... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
8
8
9
10
PENDEKODEAN DENGAN KOSET .......................................................................................
Koset Kode Linear .............................................................................................. .. .. . .. . ... .. . ...
Pendekodean dengan Tabel Larik Standar ........ .......... .............. .................... .......... ... ... ... ....
Pendekodean dengan Vektor Sindrolll .................................................................................
11
II
II
12
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................ .....
Kesimpulan ........................................................................................................................
Saran ......................................................................................................................... ...... ...
14
14
14
DAFTARPUSTAKA................................................................................................................
14
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Proses pengiriluan pesan ........ ,....... ,.............. ,............................................. ,....................... ,.. 1
2. Proses pengkodean, pengiriman, dan pendekodean pesan .. ....... ..... ............ ...... .... ...... .......... ... I
3. Dua kata kode dengan jarak minimum m = 2e + I ................... .......... ............................ ...... .... 8
I
PENDAHULUAN
Latar Bclakang
Kemajuan dunia saat ini ditandai dengan
berkembangnya teknologi telekomunikasi. Manusia bebas berkomunikasi atau mengirim pesan
dari suatu tempat ke lcmpal yang lain. Pengiriman pesan ini melalui media perantara yang dinamakan channel. Channel tersebut bisa berupa
jalur telepon, frekuensi radio, salelit komunikasi,
kaset atau disket.
Dalam pengiriman pesan mungkin teljadi
gangguan-gangguan pada channel sehingga pesan yang diterima berbeda dengan pesan yang
dikirim. Jika leljadi kesalahan Imka pencrima
pesan dapat meminla agar pemberi pesan mengnlangi kembali pengiriman pesan. Tetapi kadangkala pengiriman kembali tidak memungkinkan seperti pengiriman gambar dari luar angkasa, pembacaan pada kaset atau disket.
gangguan
....
Gall1bar 1. Proses pengiriman pesal1
Sebagai contah pcsan dikirim dalum bahasa
aslinya scpcrti llSaya datang II dan pes3n yang
diterima adalah "Saya dateng". Melihal hal in;,
penerima dapat mengetahui bahwa telah terjadi
kesalahan pengiriman. Akan telapi jika pesan
yang diterima adalah "Maya datang ll atau IISaya
dalang" maka penerima tidak dapat memuluskan
apakah telah terjadi kesalahan atau tidak.
Unlttk mengalasi hal di alas, pengiriman pesan tidak di'dalam bahasa aslinya telapi terlebih
dahulu diubah (dikodekan) ke dalam bentuk
vektor biner (unlaian biiangan biner 0 dan I).
Pengubahan ke dalam vektor biner ini dinamakan pcngkodcan (encoding). Sedangkan pengubahan kembali dari vektor biner ke pesan yang
berbahasa asli dinamakan pcndcl