Kode linear, penguraian dan pengelolaan kesalahan - USD Repository

KODE LINEAR, PENGURAIAN DAN PENGELOLAAN KESALAHAN

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Veronica Dwi Agustyaningrum NIM: 043114012

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2010

LINEAR CODE, DECODING AND

ERROR CORRECTING

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Veronica Dwi Agustyaningrum

Student Number: 043114012

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2010

[tÄtÅtÇ cxÜáxÅut{tÇ

Skripsi ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus yang selalu membimbing dan memberkati setiap langkah hidupku

Bapak dan ibuku tercinta, Yohanes Sumarjono dan Christina Suyati

Kakakku tersayang, Yustina Ika Wahyuningsih Antonius Yudhi Anggoro Semua teman dan sahabatku yang telah mendukungku hingga saat ini

Yogyakarta, 28 September 2010

ABSTRAK

Suatu kode dilambangkan dengan dimana merupakan panjang ,

masing-masing kata kode dan banyaknya kata kode dalam kode tersebut adalah

. Selanjutnya sebuah kode dikatakan linear bila dan hanya bila

2 kata

kodenya membentuk ruang bagian berdimensi- dari ruang vektor yang terdiri

dari semua -tupel atas lapangan biner , dinotasikan , . Kemampuan

mendeteksi dan mengoreksi kesalahan dari suatu kode linear berhubungan erat

dengan jarak dari kode tersebut. Dalam proses pengiriman suatu pesan, pesan

yang diterima belum tentu merupakan pesan yang dikirim. Oleh karena itu, dalam

tulisan ini akan ditunjukkan bagaimana proses penguraian suatu pesan yang

berupa kode linear sehingga meskipun terjadi kesalahan saat pengiriman, kita

dapat memperhitungkan pesan apa yang sebenarnya dikirim.

ABSTRACT

A code is symbolized by where was length of each code word , and the amount of code word in that code was . After that, one code , is linear if and only if 2 of code word build a -dimension subspace from the vec-

tor space that consist of all -tupel in over binary field , that is denoted by

, . The capability of detection and correction from a linear code is connection

with distance from this code. In the sending process of message, the received mes-

sage is not always fixed the message was send. Thus, this study present the

process of message decoding in a linear code, so that although there was any mis-

take in message sending, we could estimate the actual message.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya,

sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi dengan judul “Kode Linear,

Penguraian dan Pengelolaan Kesalahan” ini .

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa banyak pihak yang telah memberikan

dukungan, dorongan, kerjasama dan juga bimbingan sehingga akhirnya skripsi ini

dapat selesai. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada: 1.

Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing untuk kesabaran, bantuan, masukan serta telah meluangkan waktu untuk mendampingi penulis sejak awal hingga selesainya skripsi ini.

2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen penguji yang telah memberi koreksi dan masukan kepada penulis.

3. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan bantuan dan dorongan selama kuliah maupun dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

5. Bapak Frederic Ezerman yang telah memberikan buku-buku pendukung tentang teori pengkodean.

6. Bapak Z. Tukijo dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah memberi pelayanan administrasi kepada penulis selama ini.

7. Perpustakaan Paingan Universitas Sanata Dharma beserta seluruh stafnya dan juga teman-teman mitra atas seluruh fasilitas, pelayanan dan dukungan selama penulis mengerjakan skripsi ini.

8. Bapak Yohanes Sumarjono dan Ibu Christina Suyati yang selalu memberi dukungan semangat dan menemani sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan di tingkat perguruan tinggi.

9. Kakakku, Yustina Ika Wahyuningsih yang selalu memberi semangat dan

bantuan selama masa perkuliahan dan proses penyelesaian skripsi ini.

10. Antonius Yudhi Anggoro yang selama ini selalu menemani, memberikan dorongan semangat dan mau mendengarkan keluh-kesah di saat jatuh bangun dalam proses mengerjakan skripsi ini maupun saat masa perkuliahan.

11. Teman-teman mahasiswa angkatan 2004 program studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

12. Teman-teman frater Projo di Kentungan yang selalu mendoakan dan memberikan dukungan selama penulis mengerjakan skripsi ini.

13. Banyak pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 28 September 2010 Penulis

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ….………………………………………………… i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS …………………. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …...…………………… iii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………….. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………………... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……...…………. vi

HALAMAN ABSTRAK ………………………………….……............. vii

HALAMAN ABSTRACT ………………………………….................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………………… ix

KATA PENGANTAR ………………………………………………….. x

DAFTAR ISI …………………………………………….……………... xii

BAB I PENDAHULUAN ………………………………......…………..

1 A. Latar Belakang Masalah ………………………………………… 1 B. Rumusan Masalah ……………………………….……..……….. 3 C. Batasan Masalah ……………………………….....….................. 3 D.

Tujuan Penulisan ……………………………..……...………….. 3 E. Manfaat Penulisan …………..………………..……....…………. 3 F. Metode Penulisan ………..……………….………....…............... 4 G.

Sistematika Penulisan ………..……………………...…............... 4

BAB II LAPANGAN BERHINGGA …..………….....….….................

3.2.2 Bobot Hamming dari Kode Linear ………………………..

3.2.7 Penguraian Kode Linear …………………………………..

3.2.6 Pengkodean Kode Linear …………………………………

3.2.5 Ekivalensi dari Kode Linear ………………………………

3.2.4 Matriks Generator dan Matriks Pemeriksa ………………..

3.2.3 Basis untuk Kode Linear ………………………………….

62 B. Kode Linear ………………………………………….....………. 67

3.2.1 Kode Linear ……………………………………………….

6 A. Lapangan ………………………………………………...……... 6 B. Sistem Persamaan Linear ……………………………...……….. 15 C. Ruang Vektor ……………………………………...…..……….. 24

3.1.5 Jarak Suatu Kode ………………………………………….

3.1.4 Penguraian Jarak Minimum ……………………………….

3.1.3 Jarak Hamming ……………………………………………

3.1.2 Penguraian Kemungkinan Maksimum ……………………. 56

3.1.1 Saluran Komunikasi ………………………………………. 52

52 A. Penguraian dan Pengelolaan Kesalahan, Kode Linear ....……… 52

BAB III PENGURAIAN DAN PENGELOLAAN KESALAHAN, KODE LINEAR ………………………………………………………..

BAB IV PENUTUP ……………………….…………………...………. 105

A. Kesimpulan ……………………………………....……………… 105 B. Saran ………………………………………………..…............... 106

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………….………. 107

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Di jaman yang semakin modern ini, tuntutan akan sistem penyimpanan

dan pengiriman data digital yang efisien semakin meningkat. Hal ini dipengaruhi oleh munculnya jaringan data berkecepatan tinggi untuk pengolahan dan penyimpanan serta pengiriman informasi digital dalam bidang militer, pemerintahan, keperluan pribadi, dan masih banyak hal lain.

Perancangan sistem-sistem di atas menuntut penggabungan antara teknologi komputer dan komunikasi. Masalah utama dari perancangan suatu sistem sendiri adalah bagaimana mengendalikan kesalahan yang mungkin terjadi saat pengiriman sehingga diperoleh data yang benar. Salah satu cara yang dapat membantu merancang suatu sistem pengiriman data sehingga kesalahan yang mungkin terjadi saat pengiriman dapat dideteksi dan juga dapat dikoreksi/diperbaiki adalah teori pengkodean/penyandian.

Terdapat dua masalah pokok yang harus dihadapi oleh para perancang sistem penyimpanan atau pengiriman data, yaitu:

1. Sistem tersebut dapat meminimalkan jumlah bit yang harus dikirim melalui saluran komunikasi.

2. Sistem tersebut juga harus dapat memastikan bahwa bit-bit yang dikirim melalui saluran dapat diterima dengan benar, meskipun terjadi kesalahan saat pengiriman.

Dasar teori yang memberikan pemecahan masalah di atas diberikan oleh Claude Shannon pada tahun 1948. Shannon mengemukakan bahwa dengan penyandian/pengkodean informasi secara tepat, kesalahan yang mungkin terjadi saat pengiriman dapat dikurangi sampai pada tingkat yang diinginkan tanpa mengurangi kecepatan pengiriman. Sejak saat itu, banyak usaha dilakukan dalam menemukan metode perencanaan pengkodean untuk mengendalikan kesalahan yang mungkin terjadi.

Salah satu kode yang memiliki peran cukup penting dalam teori pengkodean yaitu kode linear. Dalam kode linear akan digunakan konsep- konsep mengenai ruang vektor dan sebagian besar penghitungannya akan dilakukan menggunakan matriks. Dengan kemampuannya mendeteksi - kesalahan dan mengoreksi -kesalahan, maka pesan yang dikirim dapat diterima dengan benar. Beberapa notasi yang akan digunakan yaitu, simbol digunakan untuk data informasi, untuk kata kode atau vektor yang akan dikirim, untuk vektor kesalahan dan untuk kata yang diterima. Kode linear

, didefinisikan sebagai suatu kode yang terdiri dari kata kode dengan panjang atas yang merupakan ruang bagian dari .

B. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah : 1.

Apakah yang dimaksud dengan Teori Pengkodean? 2. Apakah yang dimaksud dengan kode linear? 3. Bagaimana sifat-sifat dari kode linear? C.

Batasan Masalah

Pembahasan dalam skripsi ini hanya dibatasi pada masalah teoritis saja dan tidak akan membahas mengenai aplikasi dari teori pengkodean terlebih kode linear sendiri.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk memahami teori pengkodean yang secara khusus membahas lebih mendalam mengenai kode linear.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah mengetahui lebih mendalam mengenai teori pengkodean terutama dalam kaitannya dengan prinsip-prinsip Matematika. Selain itu, dapat menambah pengetahuan mengenai teori-teori baru serta aplikasi dari prinsip-prinsip aljabar abstrak.

F. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan sehingga di sini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LAPANGAN BERHINGGA A. Lapangan B. Sistem Persamaan Linear C. Ruang Vektor atas Suatu Lapangan Berhingga

BAB III PENGURAIAN DAN PENGELOLAAN KESALAHAN, KODE LINEAR A. Penguraian dan Pengelolaan Kesalahan B. Kode Linear BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB II Lapangan Berhingga A. Lapangan Definisi 2.1.1 Ring adalah suatu himpunan dengan dua operasi biner, penjumlahan

(dinotasikan ) dan perkalian (dinotasikan , sedemikian hingga untuk semua , , di : 1.

3. Terdapat elemen 0 di sedemikian hingga 4.

Terdapat elemen – di sedemikian hingga 5.

6. dan

Definisi 2.1.2 Suatu ring dimana perkaliannya bersifat komutatif disebut ring komutatif.

Ring dengan elemen identitas terhadap perkalian 1 sedemikian hingga untuk semua di disebut ring dengan elemen satuan. Elemen

1 identitas terhadap perkalian pada suatu ring disebut elemen satuan.

Definisi 2.1.3

Andaikan adalah ring dengan elemen satuan. Suatu elemen di disebut unit dari jika memiliki invers terhadap perkalian di .

Contoh 2.1.1

Himpunan semua bilangan bulat dengan penjumlahan dan perkalian biasa adalah ring komutatif dengan elemen satuan

1. Unit dari adalah 1 dan 1

Definisi 2.1.4 Jika setiap elemen tak nol di adalah unit, maka disebut ring divisi.

Lapangan adalah ring divisi yang komutatif.

Contoh 2.1.2

Suatu himpunan 0,1 dinotasikan dengan . Didefinisikan penjumlahan dan perkalian pada sebagai berikut:

0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 Maka yang diberikan adalah suatu lapangan.

0 1 0 1 ·

Lemma 2.1.1

Andaikan , dua elemen dari lapangan . Maka i)

1 ii) 0 maka 0 atau

Bukti: i) Dengan kata lain, harus ditunjukkan 1

(sifat elemen identitas perkalian)

1 komutatif) 1 1 (sifat distributif)

1 1 (sifat ii) Jika 0, maka

(sifat asosiatif) (sifat komutatif) (sifat elemen invers)

1 (sifat komutatif)

1 (sifat elemen identitas perkalian)

∎

Definisi 2.1.5

Suatu lapangan yang hanya memuat elemen berhingga disebut lapangan berhingga dan dinotasikan dengan .

Definisi 2.1.6

Andaikan , dan 1 adalah bilangan bulat. Dikatakan kongruen

dengan

, ditulis sebagai jika , dengan kata lain membagi .

Contoh 2.1.3

a) 90 ≡ 30 (mod 60) dan 15 ≡ 3 (mod 12) b) 0 (mod ) berarti | c) 0 (mod 2) berarti adalah bilangan genap d) 1 (mod 2) berarti adalah bilangan ganjil

Teorema 2.1.1

Jika diberikan bilangan bulat dan 1, maka dengan algoritma pembagian diperoleh

(2.1) dimana ditentukan secara tunggal oleh dan , dan

1. Oleh karena itu, suatu bilangan bulat kongruen dengan tepat satu dari 0, 1, … , 1 modulo . Bukti: Akan dibuktikan melalui gambar di bawah ini:

0, 0 ─── ─── ─── … ─ ─── • ── ─ 0 2

1 0, 0 ─ ─── • ── ─ … ─── ─── ─── 1 0 2

Pada sumbu-x real di geometri analitik, beri tanda pada kelipatan dari dan posisi . Pertama andai berada pada kelipatan dari dan dapat diambil/ditetapkan 0. Kedua andai berada diantara dua kelipatan dari . Jika kasus kedua yang terjadi, misal kelipatan pertama dari yang berada di sebelah kiri dari . Maka (ditunjukkan pada gambar di atas) merupakan jarak antara dan . Dengan catatan . Ketunggalan dari dan mengikuti karena jika bukan kelipatan dari dan kita mengambil

0, maka terdapat suatu kelipatan tunggal/unik dari di sebelah kiri dan jaraknya tak sebanyak dari .

∎

Definisi 2.1.7

Bilangan bulat pada persamaan 2.1 di atas disebut sisa dari dibagi oleh , dinotasikan .

Jika (mod ) dan (mod ), maka (mod ), (mod ), (mod ).

Untuk bilangan bulat 1, dinotasikan dengan atau ⁄ didefinisikan sebagai himpunan

0,1, … , 1 dan didefinisikan penjumlahan ⊕ dan perkalian ⊙ di sebagai berikut: sisa dari bila dibagi , dinotasikan mod , dan sisa dari bila dibagi , dinotasikan mod .

Teorema 2.1.2 adalah lapangan bila dan hanya bila prima.

Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi.

Andaikan bukan bilangan prima dan untuk dua bilangan bulat 1 , . Jadi

0. Tetapi 0 di . Disini terdapat kontradiksi dengan Lemma 2.1.1 (ii). Jadi, bukan lapangan. (

⇐) Misalkan prima. Untuk setiap elemen tak nol , , maka relatif prima terhadap . Jadi, menurut teorema dalam teori bilangan, terdapat dua bilangan bulat

, dengan 0

1 sedemikian hingga 1, maka 1 mod . Oleh karena itu . Ini berarti sifat elemen invers terhadap perkalian dipenuhi.

Jadi adalah lapangan.

∎ Untuk suatu ring , bilangan bulat 1 dan

, dinotasikan dengan atau yaitu banyaknya elemen

Definisi 2.1.8

Andaikan lapangan. Karakteristik dari adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga 1 0, dimana 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian di . Jika tidak terdapat yang demikian, maka karakteristik dari didefinisikan sebagai 0.

Teorema 2.1.3 Karakteristik dari suatu lapangan adalah 0 atau bilangan prima.

Bukti: Jelas bahwa 1 bukan karakteristik dari lapangan karena 1 1 1 0. Andaikan karakteristik dari suatu lapangan adalah bukan bilangan prima. Misalkan untuk bilangan bulat positif . Jika diambil 1 ,

1 dan 1, dimana 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian di , maka

1 1 1 0 Berdasarkan Lemma 2.1.1, maka 0 atau 0, berarti 1 0 atau

1 0. Oleh karena itu, terdapat kontradiksi dengan definisi karakteristik lapangan . Jadi, karakteristik suatu lapangan adalah 0 atau bilangan prima.

∎

Definisi 2.1.9

Suatu himpunan bagian E dari lapangan F yang juga merupakan lapangan terhadap operasi di F disebut lapangan bagian.

Teorema 2.1.4

Lapangan berhingga dengan karakteristik memuat elemen untuk suatu bilangan bulat

Bukti: ¾ adalah

Pilih elemen dari . Klaim bahwa 0 , 1 , … ,

1 elemen-elemen yang berbeda.

Buktinya, jika untuk suatu 1, maka dan

1. Karakteristik dari adalah , maka . 0, atau

¾ , sudah dibuktikan. Selanjutnya,

Jika , 1 , … ,

1 pilih elemen di . Klaim bahwa \ 0 , 1 , … ,

1 adalah sepasang elemen yang saling berbeda untuk semua , 1. Buktinya, jika

(2.2) Untuk semua , , , 1, maka harus sama dengan . Selain itu, dari persamaan 2.2 diperoleh Disini terdapat kontradiksi pada pemilihan . Karena , maka persamaan 2.2 di atas dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut . , ,

Karena hanya memiliki banyak elemen berhingga, maka dengan cara yang sama dapat diperoleh elemen-elemen , , … , sedemikian hingga

, , \ , , … ,

2 Dan .

, , … , Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa adalah elemen-elemen yang berbeda untuk semua

, . 1,2, … , . Jadi, | |

∎ B.

Sistem Persamaan Linear

Sebuah garis yang terletak pada bidang dapat dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk: dimana

, dan merupakan konstanta real, serta dan tidak keduanya nol. Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dengan variabel dan . Secara umum didefinisikan persamaan linear dengan dimana , , … , dan merupakan konstanta real. Variabel-variabel dalam persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak

diketahui.

Definisi 2.2.1 Solusi dari persamaan linear

adalah suatu urutan dari bilangan , , … , sedemikian hingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika menggantikan . Kumpulan

, , … , semua solusi dari persamaan itu disebut himpunan solusi atau kadang kala disebut sebagai solusi umum dari persamaan tersebut.

Definisi 2.2.2

Sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel , , … , disebut sistem

persamaan linear. Urutan sejumlah bilangan

, , … , merupakan solusi dari persamaan tersebut jika merupakan solusi , , … , dari setiap persamaan di dalam sistem tersebut.

Suatu sistem persamaan yang memiliki paling tidak satu solusi dalam sistem disebut konsisten, sedangkan sistem persamaan yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten.

Perkalian matriks memiliki aplikasi penting dalam sistem persamaan linear. Perhatikan sistem yang terdiri dari persamaan linear dengan faktor yang tidak diketahui berikut ini:

Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah setara, maka kita dapat menukar persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal Matriks 1 pada ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai hasil kali, sehingga diperoleh

… … …

Jika masing-masing matriks di atas disebut sebagai , dan , maka sistem asli yang terdiri dari persamaan dengan faktor yang tidak diketahui telah digantikan dengan persamaan matriks tunggal berikut ini

Matriks pada persamaan di atas disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan ke sebagai kolom terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar menjadi

… |

| |

… |

Definisi 2.2.3 Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah setiap satu dari tiga

operasi berikut ini: 1.

Mengalikan baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris.

3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya.

Definisi 2.2.4

Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi adalah matriks yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama.

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.

Matriks yang memenuhi tiga sifat pertama di atas disebut dalam bentuk eselon baris.

Definisi 2.2.5

Dua matriks dikatakan ekivalen baris jika salah satu barisnya dapat diperoleh dari baris yang lain dengan serangkaian operasi baris elementer.

Definisi 2.2.6 Kolom-kolom utama pada suatu matriks dalam bentuk eselon baris maupun

bentuk eselon baris tereduksi merupakan kolom-kolom yang mengandung 1 utama.

Contoh 2.2.1

Selesaikan persamaan linear berikut ini 1 0 0 4 1 0 1 0 2 6 0 0 1 3 2

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

2 Karena , dan bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperbesar maka ketiganya disebut sebagai variabel utama. Variabel-variabel yang bukan utama (dalam hal ini ) disebut sebagai variabel bebas. Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama dalam bentuk variabel bebas akan diperoleh 1 4

6 2 2 3 Dari bentuk persamaan-persamaan ini dapat ditetapkan nilai sebarang untuk variabel bebas , misalnya , yang selanjutnya akan menentukan nilai variabel-variabel utama

, dan . Jadi akan terdapat tak terhingga banyaknya solusi dengan solusi umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus

1 4 , 6 2 , 2 3 , Nilai-nilai sebarang yang ditetapkan untuk variabel-variabel bebas biasanya disebut parameter.

Definisi 2.2.7

Suatu sistem persamaan linear disebut homogen jika semua bentuk konstantanya adalah 0, yaitu sistem ini memiliki bentuk Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua sistem tersebut memiliki solusi

0, 0, … ,

0. Solusi ini disebut

solusi trivial. Jika tedapat solusi lain, maka solusi-solusi yang bukan trivial disebut solusi nontrivial.

Contoh 2.2.2

Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut

2 Penyelesaian: Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah

1 Dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris, diperoleh 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Sistem persamaan yang bersesuaian adalah Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama diperoleh Jadi, solusi umumnya adalah , , , .

Teorema 2.2.1

Suatu sistem persamaan linear homogen dengan jumlah faktor yang tidak diketahui lebih banyak dari jumlah persamaan, memiliki tak terhingga banyaknya solusi. Bukti: Pada contoh 2.2.2 menggambarkan dua hal penting dalam penyelesaian sistem persamaan linear homogen. Pertama, tidak satu pun dari ketiga operasi baris elementer mengubah nol terakhir pada matriks yang diperbesar, sehingga sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar juga harus merupakan sistem yang homogen. Kedua, tergantung apakah bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar memiliki suatu baris nol, jumlah persamaan dalam sistem yang tereduksi akan sama atau lebih sedikit dari jumlah persamaan dalam sistem aslinya. Jadi, jika suatu sistem homogen memiliki persamaan dengan faktor yang tidak diketahui, dimana , dan jika di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar terdapat baris tak nol, maka akan diperoleh . Selanjutnya sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks yang diperbesar akan memiliki bentuk

… ∑ … ∑

…

… ∑ dimana adalah variabel-variabel utama dan , , … ,

∑ menotasikan jumlah-jumlah yang melibatkan variabel-variabel bebas . Dengan menyelesaikan variabel-variabel utama akan menghasilkan

∑ ∑ ∑

Seperti dalam contoh 2.2.2, dapat ditetapkan nilai-nilai sebarang untuk variabel-variabel bebas pada sisi kanan sehingga didapatkan tak terhingga banyaknya solusi untuk sistem tersebut.

∎ C.

Ruang Vektor atas Lapangan Berhingga Definisi 2.3.1

Andaikan lapangan berhingga dengan orde . Suatu himpunan tak kosong , dilengkapi penjumlahan dan perkalian skalar dengan elemen di disebut

ruang vektor atas jika memenuhi semua kondisi di bawah ini:

Untuk semua dan : , , , i) ii) iii) dengan sifat untuk semua Terdapat elemen 0 iv) terdapat elemen di , disebut

Untuk setiap – sedemikian hingga v) vi) vii) viii) ix) x)

Jika 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian di , maka 1

Contoh 2.3.1

Misalkan himpunan semua vektor yang panjangnya dengan entri-entri di sebagai berikut: , , … ,

Didefinisikan penjumlahan vektor untuk secara per komponen, menggunakan penjumlahan yang didefinisikan pada , sedemikian hingga, jika dan

, , … , , , … , maka Didefinisikan juga perkalian skalar untuk secara per komponen, sedemikian hingga, jika dan

, , … , maka . , , … , Notasi merupakan vektor nol . 0,0, … ,0

Pada akhirnya, dapat ditunjukkan bahwa memenuhi semua aksioma ruang vektor. Jadi, merupakan suatu ruang vektor.

Kadang kala vektor dinyatakan secara sederhana , , … , sebagai

… .

Contoh 2.3.2

Misalkan terdiri dari suatu elemen tunggal, yang dinotasikan dengan 0, dan didefinisikan

0 0 0 dan 0 0 untuk semua skalar . Dapat ditunjukkan bahwa semua aksioma ruang vektor dipenuhi oleh . Ruang vektor ini disebut sebagai ruang vektor nol dan ditulis 0 .

Definisi 2.3.2

Suatu himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor disebut ruang

bagian dari jika sendiri merupakan ruang vektor terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang sama seperti di .

Teorema 2.3.1

Himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor atas adalah ruang bagian dari bila dan hanya bila: i) berada di .

Jika dan adalah vektor-vektor di , maka ii) Jika di dan sebarang vektor pada , maka berada pada .

Bukti: Jika adalah suatu ruang bagian dari ruang vektor atas , maka semua aksioma ruang vektor terpenuhi, khususnya aksioma 1 dan 6 berlaku. Tetapi aksioma-aksioma ini secara tepat adalah syarat (i) dan (ii).

Sebaliknya, diasumsikan syarat (i) dan (ii) berlaku. Karena syarat- syarat ini merupakan aksioma 1 dan 6 dari ruang vektor, maka hanya perlu ditunjukkan bahwa memenuhi kedelapan aksioma lainnya. Aksioma 2, 5, 7, 8, 9 dan 10 secara otomatis terpenuhi oleh vektor-vektor pada karena aksioma-aksioma tersebut terpenuhi oleh semua vektor pada . Oleh karena itu, untuk melengkapi bukti, hanya perlu dibuktikan bahwa aksioma 3 dan 4 terpenuhi oleh vektor-vektor pada . Misalkan adalah sebarang vektor pada . Menurut syarat (ii), berada pada untuk setiap skalar . Dengan mengatur 0 diperoleh 0 berada pada . Dan dengan mengatur 1, maka 1 berada pada .

∎ Suatu himpunan bagian tak kosong dari ruang vektor atas disebut tertutup terhadap penjumlahan jika syarat (i) pada teorema 2.3.1 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian jika syarat (ii) berlaku. Jadi, teorema 2.3.1 menyatakan bahwa adalah ruang bagian dari ruang vektor atas bila dan hanya bila tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar.

Definisi 2.3.3

Jika adalah suatu sistem persamaan linear, maka setiap vektor yang memenuhi persamaan ini disebut sebagai vektor solusi dari sistem tersebut.

Vektor-vektor solusi dari suatu sistem linear yang homogen membentuk ruang vektor yang disebut ruang solusi dari sistem tersebut.

Definisi 2.3.4

Dimisalkan ruang vektor atas . Kombinasi linear dari , , … , adalah vektor berbentuk dimana , , … , adalah skalar.

Definisi 2.3.5

Dimisalkan ruang vektor atas . Suatu himpunan vektor-vektor di bebas linear jika , , … , 0.

Himpunan vektor-vektor di dikatakan bergantung linear jika himpunan tersebut tidak bebas linear, yaitu jika terdapat , tidak semua , , … , nol, sedemikian hingga

0. Definisi 2.3.6 Andaikan ruang vektor atas dan adalah himpunan

, , … , bagian tak kosong dari . Rentang dari didefinisikan sebagai berikut . |

Jika , didefinisikan 0 .

Teorema 2.3.2 adalah ruang bagian dari ruang vektor .

Bukti:

Menurut Teorema 2.3.1, adalah ruang bagian dari bila dan hanya bila tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar. Berdasarkan Definisi 2.3.5, merupakan himpunan semua kombinasi linear dari elemen-elemen di dimana . Oleh karena itu, tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Jadi, merupakan ruang bagian dari ruang vektor .

∎

Teorema 2.3.3 Jika ruang bagian dari , maka .

Bukti: Diketahui : ruang bagian dari Dibuktikan : Harus ditunjukkan dan Andai :

, , … ,

Akan dibuktikan: Misal: Maka dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linear sebagai berikut dimana , untuk semua

1,2, … , . Karena adalah ruang bagian dari , maka hasil jumlahan dari elemen- elemen di juga berada di . Jadi .

Akan dibuktikan:

Misal : Maka dapat dinyatakan sebagai berikut

1 Dengan kata lain, dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari elemen-elemen di . Berdasarkan definisi rentang, maka .

Jadi, karena dan , maka .

∎

Contoh 2.3.3

Jika 2 dan 0001, 0010, 0100 , maka 0000, 0001, 0010, 0100, 0011, 0101, 0110, 0111 .

Definisi 2.3.7

Andaikan ruang vektor atas . Himpunan bagian tak kosong dari disebut basis untuk jika dan bebas , , … , linear.

Teorema 2.3.4

Jika adalah basis dari , maka setiap vektor dapat , , … , dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di tepat dengan satu cara sedemikian hingga untuk .

, , … , Bukti: Karena adalah basis dari , maka bebas linear dan merentang . Dengan demikian, setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Untuk melihat bahwa hanya terdapat satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai suatu kombinasi linear dari vektor- vektor pada , dimisalkan vektor dapat ditulis sebagai dan juga sebagai

. Dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama menghasilkan

. Karena ruas kanan dari persamaan di atas adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan bebas linear, maka diperoleh

0, 0, … , berarti , , … ,

Jadi, setiap vektor hanya dapat dinyatakan dalam bentuk tepat dengan satu cara.

∎

Definisi 2.3.8

Suatu ruang vektor tak nol disebut berdimensi terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga vektor-vektor yang membentuk suatu , , … , basis. Jika tidak terdapat himpunan semacam ini, disebut sebagai

berdimensi takterhingga.

Teorema 2.3.5

Misalkan adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan adalah basis sebarang.

, , … , a. Jika suatu himpunan memiliki vektor lebih dari , maka himpunan tersebut bersifat tidak bebas linear.

Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari , maka himpunan tersebut bersifat merentang .

Bukti:

a. adalah himpunan sebarang yang terdiri Misalkan , , … , dari vektor pada , dimana . Akan ditunjukkan bahwa tidak bebas linear. Karena adalah suatu basis, maka setiap

, , … , dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada , misalkan Untuk menunjukkan bahwa tidak bebas linear, harus ditunjukkan terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol, sedemikian , , … , hingga

(2.4) Dengan menggunakan persamaan-persamaan pada (2.3), maka persamaan (2.4) dapat ditulis kembali sebagai berikut Jadi, dari kebebasan linear dari , masalah pembuktian bahwa adalah himpunan tidak bebas linear hanya menjadi pembuktian bahwa terdapat skalar-skalar yang tidak semuanya nol, yang memenuhi

, , … , (2.5) Tetapi (2.5) memiliki lebih banyak faktor yang tidak diketahui dibanding jumlah persamaannya, sehingga berdasarkan teorema 2.2.1 terdapat solusi-solusi nontrivial.

b. adalah himpunan sebarang yang terdiri Misalkan , , … , dari vektor pada , dimana . Akan ditunjukkan bahwa tidak merentang . Pembuktiannya akan dilakukan dengan menggunakan kontradiksi, yaitu dengan mengasumsikan merentang .

Jika merentang , maka setiap vektor pada adalah kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Khususnya, setiap vektor basis adalah kombinasi linear dari vektor-vektor pada , misalnya

(2.6) Untuk memperoleh kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa terdapat skalar yang tidak semuanya nol sedemikian hingga

, , … , (2.7)

Tetapi perhatikan bahwa (2.6) dan (2.7) memiliki bentuk yang sama dengan (2.3) dan (2.4) kecuali bahwa dan dipertukarkan dan demikian pula untuk dan -nya. Jadi diperoleh

Sistem linear ini memiliki lebih banyak faktor yang tidak diketahui disbanding jumlah persamaannya. Oleh karena itu, menurut teorema 2.2.1 sistem tersebut memiliki solusi-solusi nontrivial.

∎

Teorema 2.3.6

Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama.

Bukti: Berdasarkan teorema 2.3.4, jika adalah basis sebarang

, , … , untuk ruang vektor , maka semua himpunan pada yang merentang dan bebas linear harus memiliki tepat vektor. Jadi, semua basis untuk harus memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis sebarang .

∎

Definisi 2.3.9

Banyaknya vektor dalam himpunan basis dari ruang vektor disebut dimensi dari dan dinotasikan dim . Selain itu, ruang vektor nol didefinisikan

Teorema 2.3.7

Misalkan ruang vektor atas . Jika dim , maka i) memiliki elemen. ii) memiliki

∏ basis yang berbeda. Bukti: i)

Jika , , … , adalah basis untuk , maka , , … , .

Karena , maka terdapat pilihan untuk setiap , , … , . Oleh karena itu, memiliki banyaknya elemen. ii)

Dimisalkan , , … , basis untuk . Karena 0, maka terdapat

1 pilihan untuk . Untuk suatu basis, maka . Jadi ada pilihan untuk . Dengan cara yang sama, untuk setiap sedemikian hingga

2, , , … , , maka terdapat pilihan untuk . Oleh karena itu, terdapat

∏ urutan yang berbeda dari -tupel , , … ,

. Karena urutan dari , , … , tidak diperhitungkan untuk suatu basis, maka jumlah basis yang berbeda untuk adalah

∏ .

∎

Definisi 2.3.10

Andaikan , , … , , , , … , . i) Hasil kali titik dari dan didefinisikan sebagai . ii) dikatakan ortogonal jika

Dua vektor dan 0. iii)

Dimisalkan himpunan bagian tak kosong dari . Komplemen ortogonal dari didefinisikan . Jika , maka .

Teorema 2.3.8

Jika merupakan ruang bagian dari ruang vektor untuk setiap himpunan bagian dari , maka .

Bukti: Jelas dipenuhi berdasarkan teorema 2.3.3.

∎

Contoh 2.3.4

i) Misal 2 dan

4. Jika 1111 , 1110 , 1001 , maka 1 1 1 1 1 1 1 0 1, 1 1 1 0 1 0 1 1 0,

1 1 1 0 1 0 0 1 1. Jadi, dan ortogonal. ii)

Misal 2 dan 0100, 0101 . Untuk menentukan , diandaikan . Maka 0100 0,

0101 0. Jadi diperoleh

0. Karena dan dapat 0 atau 1, maka dapat disimpulkan bahwa 0000, 1000, 0010, 1010 .

Definisi 2.3.11

Jika adalah suatu matriks , maka ruang bagian yang direntang oleh vektor-vektor baris dari disebut ruang baris dari dan ruang bagian yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari disebut ruang kolom dari . Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen

0 disebut ruang nul dari .

Teorema 2.3.9

Suatu persamaan linear adalah konsisten bila dan hanya bila berada pada ruang kolom dari .

Bukti: Misalkan

… … dan …

Jika , , … , menotasikan vektor-vektor kolom dari , maka hasilkali dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor kolom tersebut dengan koefisien-koefisien dari , yaitu

(2.8) Jadi, suatu sistem linear yang terdiri dari persamaan dengan variabel dapat ditulis sebagai

Kode linear, penguraian dan pengelolaan kesalahan - USD Repository