Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations.

TAK LINEAR

SUNARSIH

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

ABSTRACT

SUNARSIH.

Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations.

Supervised by

SISWANDI

and

BERLIAN SETIAWATY.

This manuscript discusses a method for determining nonlinear equations roots

from function having

(

k



1)

th

derivative which are continuous on an open interval

containing the roots. The method used in this manuscript is a generalization of the

Secant method. This generalization is by substituting the linear interpolation equation

in the iteration equation by Secant method for the

(

k



1)

th

derivative polynomial

interpolation equations. Convergence analyzing of the approximation roots sequence

resulting in a degree of convergence which is greater than that of the Secant method

and relatively similar to that of the Newton-Raphson method.

ABSTRAK

SUNARSIH.

Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak

Linear. Dibimbing oleh

SISWANDI

dan

BERLIAN SETIAWATY.

Karya ilmiah ini membahas metode penentuan akar persamaan tak linear dari

fungsi yang memiliki turunan ke-

+ 1 kontinu pada interval terbuka yang

mengandung akar. Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan

generalisasi dari metode Tali Busur. Generalisasi ini dilakukan dengan mengganti

persamaan interpolasi linear pada persamaan iterasi metode Tali Busur dengan

turunan interpolasi polinomial ke-

+ 1. Analisis kekonvergenan barisan hampiran

akar menghasilkan derajat kekonvergenannya lebih besar daripada menggunakan

metode Tali Busur, dan relatif sama jika menggunakan metode Newton-Raphson.

Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan

Persamaan Tak Linear

SUNARSIH

G54061230

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar

Sarjana Sains

Pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul

: Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak

Linear

Nama

: Sunarsih

NIM

: G54061230

Mengetahui

Pembimbing I

Pembimbing II

Drs. Siswandi, M.Si.

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19640629 199103 1 001

NIP. 19650505 198903 2 004

Mengetahui

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP.19650505 198903 2 004

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat, karunia dan hidayah-Nya kepada saya sebagai penulis sehingga

penulis dapat menyel

esaikan skripsi yang berjudul “

Generalisasi Metode Tali Busur

untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear” tepat pada waktunya. Skripsi ini

disusun sebagai salah satu syarat kelulusan untuk memeroleh gelar Sarjana Sains

pada program sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai

pihak yang telah membantu,

1.

Keluargaku tercinta: Bapak dan ibu (terima kasih atas semua doa, dukungan dan

kasih sayangnya), Kang Wito, Muji dan Riani (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

2.

Bapak Dr. Siswandi, M.Si. dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, Ms. Selaku

Pembimbing I dan Pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran,

motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

3.

Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. Selaku dosen penguji, (terima kasih atas

semua ilmu, saran, dan motivasinya).

4.

Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang

diberikan).

5.

Semua staf dan karyawan di Departemen Matematika(terimakasih atas segala

bantuannya).

6.

Teman-temanku (Inang, Ken dedes, Kimel, Ndut, Rhe, Tha, Yus).

7.

Teman-teman angkatan 43: Emta, Putri, Rias, Erni, Fitria, Dandi, Copi, Slamet,

Lina, Ady, Vera, Abi, NS, Leo, Nobo, Cupit, Adam, Aji, Tami, Sendi, Albrian,

Ratna, Fardan, Resti, Apri, Margi, Fajar, Wira, David, Arif, Arum, Aini, Ace,

Zul, Diah, sabar, Dwi, Faizal, Nurmalina, Suci, Faizul, Syahrul, Nanu, Destya,

Ecka, Kabil, Nia, Razon, Peli, Irsyad, Hendra, Andrew, Nidya, Subro, Agung,

Gandi, Elly, SN, dan Bertrand(terima kasih atas kebersamaan kalian).

8.

Kakak-kakak kelasku angkatan 41 dan 42 (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

9.

Adik-adik kelasku angkatan 44 dan 45 (terima kasih atas doa dan

dukungannya).

Akhir kata, semoga skripsi ini memberikan manfaat untuk kita semua. Penulis

juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga kritik dan saran

yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga Allah SWT senantiasa

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya untuk kita semua. Amin.

Bogor, November 2011

Sunarsih

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Pekanbaru pada tanggal 10 November 1987 sebagai anak kedua

dari empat bersaudara, anak dari pasangan Sonimin dan Siyam. Tahun 2000 penulis

lulus dari SD N 036 Siak, Pekanbaru. Tahun 2003 penulis lulus MTs-Hidayatullah

Sialang baru, Pekanbaru. Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam,

Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur

ujian Beasiswa Utusan Daerah (BUD), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2007,

penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam.

Selama mengikuti perkuliahan penulis pernah aktif di IKPMR (Ikatan Keluarga

Pelajar dan Mahasiswa Riau) Bogor di bagian divisi kerohanian islam 2008/2009.

Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara lain Pesta Sains Nasional 2009,

Dies Natalis IKPMR 2008, 2009 dan 2010, Masa Perkenalan Departemen 2008, dan

Try Out Kalkulus dan Pengantar Matematika 2008, 2009 dan 2010.

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ……….... vii

DAFTAR GAMBAR ………...… viii

DAFTAR TABEL ……….………. ix

DAFTAR LAMPIRAN ………...……… x

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……….……….……….. 1

1.2 Tujuan ………..………...… 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Akar persamaan Tak Linear ………...…… 1

2.2 Interpolasi ……….…….. 3

2.3 Barisan dan kekonvergenan ……….…………..…………. 8

2.4 Sifat Akar Persamaan Polinomial ………...………… 9

III PEMBAHASAN 3.1 Rumusan Masalah 3.1.1 Metode Newton-Raphson ………... 11

3.1.2 Metode Tali Busur ……….. 12

3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur ………. 13

3.2 Analisis Kekonvergenan 3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-Raphson ………...…. 16

3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur ………... 17

3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur ………….………. 19

3.3 Contoh Numerik 3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-Raphson ………. 19

3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur ……….... 20

3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur ………..……. 21 IV SIMPULAN ………..………...…………..…….. 23

V DAFTAR PUSTAKA ………..……….. 24

LAMPIRAN ……….………. 25

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-Raphson ……….……….……… 11 Gambar 2 Grafik Iterasi Metode Tali Busur ……….……… 12

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1 Selisih Terbagi ...………...………...……… 15

Tabel 2 Ilustrasi Metode Newton-Raphson ………..……… 19

Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MNR ………. 20

Tabel 4 Ilustrasi Metode Tali Busur ………..………...………. 20

Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MTB ……….…………. 21

Tabel 6 Ilustrasi Generalisasi Metode Tali Busur ………..………...…… 21

Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB ………..…………. 22

Tabel 8Hasil perolehan akar dari fungsi = + 1 2 2−2_{−1 dengan metode Newton-Raphson,}

metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur ………..………... 23

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12 ……… 26

Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Rapshon ………...……… 37

Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur ………..… 38

Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur ………. 39 Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.2…….………...…. 40

Lampiran 6Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.3…….………...…. 41

Lampiran 7Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.4…….………...…. 42

Lampiran 8Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.5…….………...…. 43

Lampiran 9Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.6………….………...…. 44

Lampiran 10Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal ₀= 0.7………...…. 45

Lampiran 11Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 0= 0.8………..…....…. 46

Lampiran 12Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.2 dan 1= 0.3.…….…....…. 47

Lampiran 13Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal ₀= 0.3 dan ₁= 0.4.………...…. 48

Lampiran 14Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.4 dan 1= 0.5.………...…. 49

Lampiran 15Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal ₀= 0.5 dan ₁= 0.6.………….…. 50

Lampiran 16Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.6 dan 1= 0.7….………..…. 51

Lampiran 17Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.7 dan 1= 0.8…....……..…. 52

Lampiran 18Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal ₀= 0.2 dan ₁= 0.3.. ..53

Lampiran 19Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.3 dan 1= 0.4 ... 54

Lampiran 20Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.4 dan 1= 0.5 ... 55

Lampiran 21Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.5 dan 1= 0.6… 56

Lampiran 22Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal ₀= 0.6 dan ₁= 0.7… 57 Lampiran 23Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 0= 0.7 dan 1= 0.8… 58

xi

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam bidang matematika, teknik dan beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akar-akar persamaan. Terutama akar-akar dari persamaan tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Persamaan tersebut lebih efektif diselesaikan dengan metode iteratif (Sahid 2005). Metode iteratif yang banyak digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga metode lain yaitu generalisasi metode Tali Busur. Secara umum semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu metode tertutup dan metode terbuka.

Metode tertutup atau metode pengurung (bracketing method) adalah metode pencarian akar yang akar-akarnya berada dalam interval , , dalam interval ini dipastikan berisi minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen (menuju) ke akar, sehingga metode ini selalu menemukan akar. Contoh metode ini adalah metode Bagi Dua dan

metodeRegular Falsi (Munir 2003).

Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin saja mendekati akar sebenarnya (konvergen) atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode

Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur (Munir 2003).

Untuk selanjutnya pembahasan pada karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka, yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson merupakan metode pencarian akar yang paling cepat konvergen di antara metode-metode pencarian akar yang lain, namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya. Sedangkan metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang memiliki kekonvergenan yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja (Sahid 2005).

Pada karya ilmiah ini akan dibahas generalisasi dari metode Tali Busur, di mana metode ini merupakan metode pencarian akar yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan kekonvergenannya relatif cepat.

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah:

1. Menentukan akar persamaan dengan generalisasi metode Tali Busur dan menganalisis kekonvergenan barisan hampiran akar yang diperoleh (Sidi 2007). 2. Membandingkan kecepatan dalam

memperoleh akar dengan menggunakan generalisasi metode Tali Busur dengan metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada aplikasi numeriknya.

II LANDASAN TEORI

2.1 Akar Persamaan Tak Linear

Misalkan adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan pada domain yang memenuhi = 0 disebut akar persamaan

= 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi . Secara singkat, sering disebut akar ( ).

Definisi 1 (Derajat Akar)

Misalkan dan merupakan fungsi kontinu dengan ( )≠0, sedemikian sehingga dapat dinyatakan sebagai

= − ,

maka disebut akar berderajat . Dari persamaan di atas terlihat bahwa jika pembuat nol fungsi berderajat , maka

= 0, ′ = 0, , ( −1) _{= 0,} ( )_{( )≠0.}

Jika = 1, maka disebut akar sederhana. Jika > 1, maka disebut akar ganda. Jika = 2, maka disebut akar dobel, dan seterusnya.

2

Definisi 2 (Galat Hampiran)

Misalkan adalah suatu nilai hampiran yang diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk nilai eksak (nilai sebenarnya) yang tidak diketahui. Nilai

� = −

disebut selisih atau galat, � disebut galat mutlak.

(Atkinson& Han 2003)

Definisi 3 (Derajat Kekonvergenan)

Misalkan 0, 1, 2, merupakan barisan yang konvergen ke dan misalkan � = −

menyatakan persamaan galat hampiran ke- , yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan

= 0, 1, 2, . Jika terdapat sebuah bilangan dan konstanta � ≠0 yang mengakibatkan

lim

→∞ � +1

� =�,

maka disebut derajat kekonvergenan barisan tersebut dan � disebut konstanta galat asimptotik. Untuk = 1 disebut kekonvergenan linear. Untuk = 2 disebut kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya.

(Atkinson& Han 2003)

Definisi 4 (Metode Iteratif)

Metode iteratif adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi suatu persamaan tak linear yang dimulai dengan memilih nilai awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran ke- yang menuju tak hingga, tetapi setiap langkahnya tetap konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu.

(Atkinson& Han 2003)

Definisi 5 (Metode Terbuka)

Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin mendekati akar (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen).

(Munir 2003)

Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur.

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar yang hampiran akarnya diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- , dengan nilai awal 0 diberikan.

Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke- + 1 adalah

+1 = −

( )

′ ; = 0, 1,2, . (1) (Atkinson& Han 2003)

Metode Tali Busur

Metode Tali Busur (secant method) adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar yang dicari diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- . Kemudian dimodifikasi pada metode Tali Busur di mana hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang melalui titik ₋1, −1 dan ,

sebagai hampiran ( ) dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson yang menggunakan turunan ( ) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke- + 1 adalah

+1= −

, ₋₁ ; = 1,2, .

(Atkinson& Han 2003)

Definisi 6 (Deret Taylor)

Misalkan fungsi memunyai turunan ke + 1 yang kontinu pada interval [ , ]. Misalkan juga untuk setiap 0∈[ , ]. Deret

( ) 0

! ( − 0) =0

disebut deret Taylor fungsi di sekitar 0, dan dapat dituliskan

=

( ) 0

! ( − 0) =0

. Dengan memisalkan = ₀+ , diperoleh

0+ =

( ) 0 ! =0

.

3

Definisi 7

+1_{( ) adalah himpunan semua fungsi yang}

memiliki turunan ke- + 1 kontinu pada , di mana adalah interval terbuka.

(Burden & Faires 1993)

Teorema 1 (Teorema Rolle)

Misalkan adalah fungsi yang kontinu pada [ , ] dan fungsi terturunkan pada ( , ). Jika = = 0, maka terdapat sebuah bilangan ∈( , ), sehingga ′ = 0.

(Burden & Faires 1993) Bukti:

Terdapat tiga kasus, yaitu

Kasus 1: = , dengan konstan. Dari sini diperoleh ′ = 0, sehingga bilangan dapat diambil sembarang bilangan dalam interval ( , ).

Kasus 2: ( ) > ( ), untuk suatu pada ( , ).

Karena fungsi kontinu pada , , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim memunyai nilai maksimum pada suatu titik dalam interval [ , ]. Karena ( ) = ( ), harus mencapai maksimum pada ∈ , , maka memunyai maksimum lokal pada dan karena terturunkan pada , maka

′ _{= 0.}

Kasus 3: < ( ) untuk suatu dalam interval terbuka ( , ).

Karena fungsi kontinu pada , , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim memunyai nilai minimum pada suatu titik dalam interval [ , ]. Karena ( ) =

( ), harus mencapai minimum pada

∈ , , maka memunyai minimum lokal pada dan karena terturunkan pada , maka ′ = 0.

Dengan demikian Teorema 1 terbukti.

2.2 Interpolasi

Definisi 8 (Interpolasi)

Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi

yang paling banyak dipakai adalah fungsi polinomial.

(Atkinson & Han 2003)

Definisi 9 (Interpolasi Polinomial Linear) Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal diberikan dua buah titik 1, 1 dan 2, 2 , maka polinomial yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk

1 = 1 +

2− 1

2− 1 − 1

.

(Cheney & Kincaid 1994)

Definisi 10 (Selisih Terbagi)

Selisih terbagi (divided difference) atau kadang disebut daftar selisih adalah metode untuk mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit suatu interpolasi polinomial Newton dari data yang tertabulasi dan ditulis sebagai

0, 1, , .

Selisih terbagi dari fungsi = ( ) untuk = 1,2,3,…, didefinisikan sebagai berikut 1.Selisih terbagi ke-nol terhadap adalah

= .

2.Selisih terbagi pertama terhadap dan

+1 adalah

, +1 =

+1 − +1−

.

3.Selisih terbagi kedua terhadap , +1 dan +2 adalah

, ₊₁, ₊₂ =

+2, +1 − +1, +2−

.

4. .

5.Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif sebagai berikut

, +1,…, + −1, +

= + , + −1, , +1 − + −1, , +1,

+ −

;

≠ + .

(Cheney & Kincaid 1994)

Teorema 2 (Sifat Simetris Selisih Terbagi) Misalkan ₁, ₂, , ₊₁ menyatakan permutasi dari indeks 1,2,…, + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku

1, 2, , +1 = +1, , 2, 1 . (Atkinson& Han 2003)

Bukti: (dengan induksi pada + 1) 1.Basis induksi

4

Untuk = 1, maka berlaku

1, 2 =

2 − 1 2− 1

= 2 − 1

2− 1

=− 2 − 1

− 2− 1

= 1 − 2

1− 2

= 1 − 2

1− 2

= ₂, ₁ . 2.Hipotesis induksi

Anggap benar, untuk 1, 2, , sebarang permutasi dari indeks 1,2,…,

1, 2, , = , 2, 1 .

3.Langkah induksi

Akan dibuktikan: untuk 1, 2, , +1 sebarang permutasi dari indeks 1,2,…, + 1 berlaku

1, 2, , +1 = +1, 2, 1 .

Bukti:

1, 2, , +1 =

+1, , , 2 − , , 1 +1− 1

= 2, , +1 − 1, , −1,

+1− 1

=− 1, , −1, − 2, , +1

−( ₁− ₊₁)

= 1, , −1, − 2, , +1

1− +1

= ₊₁, , , ₁ . Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka Teorema 2 terbukti.

Teorema 3 (Hubungan Selisih Terbagi dengan Turunan untuk Simpul Sama) Jika didefinisikan 1, 1 = lim2→ 1 1, 2

dan limitnya ada, maka berlaku 1, 1 = ′ _{1 .}

(Atkinson & Han 2003) Bukti:

Karena diketahui 1, 1 = lim

2→ 1 1

, 2

= lim

2→1

2 − 1 2− 1

(karena Definisi 10) = ′ ₁ . (menurut Definisi turunan) Dengan demikian Teorema 3 terbukti.

Teorema 4 (Interpolasi Polinomial Newton)

Misalkan fungsi terdefinisi pada interval terbuka , dan misalkan , ₋₁, , ₋ adalah + 1 bilangan yang berlainan pada interval terbuka , maka terdapat sebuah polinomial tunggal _, berderajat paling tinggi yang memenuhi

= , ;

untuk = , −1,…, − . Interpolasi polinomial Newton ini adalah

, = + , −1, , − − − −1

=0

. (2)

=1

(Sahid 2005) Bukti:

Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat perlu menghitung nilai-nilai polinomial berderajat 1,2,…, . Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai

, = 1+ 2 − + 3 − − −1 + + − − −1 … − − +2

+ +1 − − −1 … − −+1 ,

dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien ₁, ₂, ₃, , . Di sini berlaku _, = untuk = , −1,…, − .

Jika = disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh

,0 = 1= .

Jika = ₋1 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh

5

atau

2= −

1 −

−1−

= −1 −

−1−

= , ₋1 .

Jika = ₋2 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh

−2 = ,2 −2

= + −1 −

−1− −2−

+ _{3 −2}− ₋₂− ₋1

atau

3=

−2 − − −1 −

−1− −2−

−2− −2− −1 =

−2 −

−2− −

−1 −

−1−

−2− −1

.

Untuk memermudah perhitungan bentuk 3 dapat diubah menjadi

3=

−2 − −1

−2− −1 −

−1 −

−1−

−2−

= −1, −2 − , −1 −2−

(menurut Definisi 10) = −2, −1 − −1,

−2−

(karena Teorema 2) = , ₋1, −2 (menurut Definisi 10)

dan seterusnya.

Jika = ₋ disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh

− = , −

= + −1 −

−1− − −

+

−2 − −1

−2− −1 −

−1 −

−1−

−2− − − − − −1

+ + ₋ − ₋ − ₋1 … − − − +2

+ +1 − − − − −1 … − − − +1 ,

dengan +1=

− − − −₋1 − ₁₋ − − − 3 − − − − −1 − − − − − − −1 … − − −+2

− − − − −1 … − − −+1

.

Jika diuraikan akan diperoleh bentuk

+1= , −1, −2,…, − .

Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang 1, 2, 3 dan seterusnya sampai +1. Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi . Berdasarkan Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi

, = + , −1 − + , −1, −2 − − −1 + + , ₋1, −2,…, − − − −1 … − − +1 , atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut

,0 =

,1 = + , −1 −

6

, = + , −1 − + , −1, −2 − − −1 +

+ , ₋1, −2,…, − − − −1 … − − +1 . Sehingga dapat dituliskan

, = + , −1, , − − − . (2)

−1 =0 =1

Dengan demikian Teorema 4 terbukti.

Akibat (Hampiran Newton)

Misalkan , adalah interpolasi polinomial Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan digunakan untuk menginterpolasikan fungsi , yaitu

= _, ; = , −1, , − . Karena ≠ , , maka ada galat di antara keduanya, misalkan , yang akan memenuhi persamaan berikut

= , + , . 3 (Sahid 2005)

Lema 1 (Polinomial Bersifat Tunggal) Misal diberikan himpunan titik-titik yang memunyai absis berlainan yaitu

, ( ) , ₋1, ( −1) , , − , ( − ) ,

maka terdapat tepat sebuah polinomial berderajat paling tinggi yang melalui + 1 titik tersebut.

(Cheney & Kincaid 1994) Bukti:

Misalkan _, adalah polinomial berderajat dan memenuhi

, = ; untuk = , −1, , − .

Untuk menunjukkan bahwa , tunggal, misalkan terdapat polinomial lain,

� , ( ) berderajat paling tinggi dan memenuhi

� , = ; untuk = , −1, , − . Sekarang definisikan

, = , − �, . Karena , dan �, keduanya berderajat

, maka , berderajat . Selanjutnya berlaku

, = , − �, = − = 0 ; untuk = , −1, , − .

Ini menunjukkan bahwa , ( ) memunyai + 1 akar berlainan, yakni , ₋₁, , ₋ , padahal _, berderajat . Hal ini tidak mungkin, karena berdasarkan sifat akar polinomial,

polinomial berderajat hanya memunyai paling banyak akar, kecuali , = 0, yakni , berupa polinomial nol. Dari sini diperoleh

0 = _, − �_,

=� _, , atau , bersifat tunggal. Dengan demikian Lema 1 terbukti.

Lema 2 (Galat Interpolasi pada Selisih Terbagi)

Jika , adalah polinomial berderajat yang

menginterpolasikan fungsi pada titik , ₋1, , − , maka untuk yang merupakan titik lain pada interval terbuka , berlaku

− , =

, ₋₁, , ₋ , − ₋ . (4)

=0

(Cheney & Kincaid 1994) Bukti:

Misalkan titik selain , ₋₁, , ₋ pada interval , di mana terdefinisi. Misal didefinisikan , merupakan

polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasikan fungsi pada titik

, ₋₁, , ₋ , , sehingga polinomial

, dapat dibentuk dari persamaan (2), yaitu

, =

+ , ₋1, , − − − −1

=0 =1

+ , ₋1, , − , − −

−1 =0

− −

= , + , −1, , −, − − =0

. (5)

Karena , merupakan polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasikan fungsi pada titik , ₋1, , − , , maka menurut Teorema 4 berlaku

7

dan = , . Oleh karena itu, dari

persamaan (5) diperoleh =

, + , −1, , − , − − .

=1 Untuk = , maka Lema 2terbukti.

Lema 3 (Galat Interpolasi)

Jika adalah polinomial berderajat yang menginterpolasikan fungsi pada + 1 titik berlainan, misal , ₋₁, , ₋ dan ( +1) kontinu, maka ∀ ∈ , , terdapat bilangan �=� ∈ , , yang mengakibatkan

− , =

( +1) _�

+ 1 ! − −

=0

. 7 (Cheney & Kincaid 1994) Bukti:

Definisikan untuk ≠ ₋, = 0,1, ,

= − ₋ =0 ; ( ) = − , ; � = − _, − , terdefinisi karena ≠0 karena ≠

− .

Fungsi � memunyai + 2 pembuat nol, yaitu , ₋1, , − , dan , karena

� =� ₋1 = =� − =� = 0.

Fungsi � terdiri dari fungsi-fungsi yang kontinu pada [ , ] dan memunyai turunan ke- + 1.

Karena ada + 2 pembuat nol, maka terdapat + 1 interval yang nilai � di titik-titik ujungnya sama dengan nol, maka menurut Teorema 1 pada setiap interval terdapat , = 1,2,…, + 1 sehingga

�′ _{= 0.}

Dengan alasan yang sama, maka �′′

memunyai pembuat nol, �′′′ memunyai −1 pembuat nol, dan seterusnya. Akhirnya, dapat dikatakan �( +1) memunyai paling sedikit 1 pembuat nol. Misalkan =� merupakan pembuat nol �( +1) , maka diperoleh

� +1 _{� = 0}

= +1 � − ,

+1 _{� −} +1 � _{. 6}

Pada persamaan di atas, ( +1)_, � = 0 karena , merupakan polinomial berderajat . Berdasarkan sifat akar

polinomial, polinomial berderajat , jika diturunkan sebanyak + 1 maka hasilnya nol.

Perhatikan juga bahwa � = �− ₋

=0

=� +1_{+ (� berderajat < + 1)}

′ _{� = + 1 �}( )_{+ (� berderajat < )} (2) _{� = + 1 �}( −1)_{+ (� berderajat}

< −1)

+1 _{� = + 1 −1 2(1)} = + 1 !.

Akhirnya dari persamaan (6) diperoleh +1 _{� − + 1! = 0}

+1 _{� −} + 1!

− , = 0

+ 1!

− , = +1 �

− , =

+1 _�

+ 1! − −

=0

. (7) Dengan demikian Lema 3 terbukti.

Lema 4 (Hubungan Selisih Terbagi dan Turunan)

Jika ( +1) _{kontinu pada , dan}

, ₋1, , − , adalah + 2 titik pada

, , maka ada � pada ( , ), yang mengakibatkan

, ₋1, , − , = 1 ( + 1)!

( +1) � _.

(Cheney & Kincaid 1994) Bukti:

Misalkan , adalah polinomial berderajat

yang menginterpolasikan fungsi pada titik , ₋₁, , ₋ .

Dari Lema 2 diketahui untuk yang merupakan titik lain pada interval terbuka ( , ), berlaku

− , =

, ₋1, , − , − − .

=0

Dari Lema 3 diketahui ∀ ∈( , ), terdapat bilangan � di mana � ∈( , ), yang mengakibatkan

− , =

( +1) _�

+ 1 ! − −

=0

. Dari persamaan di atas diperoleh

8

, ₋₁, , ₋ , − ₋

=0

=

+1 _�

+ 1 ! − −

=0

;

, ₋₁, , ₋ , =

( +1) �

+ 1 !. Dengan demikian Lema 4terbukti.

2.3 Barisan dan Kekonvergenan Definisi 11 (Barisan Konvergen)

Misalkan ∞=0 adalah barisan bilangan real. Barisan ∞=0 konvergen ke , jika barisan tersebut memunyai limit .

(Goldberg 1976)

Definisi 12 (Barisan Terbatas)

Misalkan = ∞=0 adalah barisan bilangan real. Barisan ∞=0 terbatas di atas, jika wilayah terbatas di atas dan terbatas di bawah, jika wilayah terbatas di bawah. Jika wilayah terbatas, maka barisan ∞=0 barisan terbatas. Barisan ∞=0 terbatas jika dan hanya jika terdapat > 0, sehingga

, ∀ ∈ .

(Goldberg 1976)

Teorema 5 (Hubungan Barisan Konvergen dengan Barisan Terbatas)

Jika barisan bilangan real ∞=0 konvergen, maka ∞₌₀ terbatas.

(Goldberg 1976) Bukti:

Misalkan ∞=0 adalah barisan konvergen dan lim _→∞ = .

Untuk = 1, terdapat ₀∈ , sehingga

− < 1, ∀ ₀.

− < − (sifat nilai mutlak)

< + 1, ∀ ₀. Misalkan

= max ₁ , ₂, , ₀ , + 1 , maka

< ,∀ ∈ . Jadi ∞=0 terbatas.

Dengan demikian Teorema 5terbukti.

Definisi 13 (Barisan Monoton)

Misalkan ∞₌₁ adalah barisan bilangan real, barisan ∞=1 tak turun, jika +1, ∀ ∈

dan tak naik, jika ₊₁, ∀ ∈ . Barisan ∞₌₁ barisan monoton, jika barisan

∞=1 tak turun atau tak naik.

(Goldberg 1976)

Teorema 6 (Hubungan Barisan Tak Naik dan Terbatas dengan Kekonvergenan) Misalkan � ∞=0 adalah barisan bilangan real. Jika � ∞=0 barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka barisan � ∞=0 konvergen.

(Goldberg 1976) Bukti:

Misalkan � ∞=0 adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah.

Misalkan �= �0,�1,… terbatas di bawah dan = inf �.

Akan dibuktikan bahwa � → , bila

→ ∞, yaitu ∀ > 0, ∃ 0∈ , sehingga

� − < , ∀ 0.

Misalkan diberikan > 0, maka + bukan batas bawah dari �. Jadi terdapat

0∈ , sehingga

� 0 < +

Karena � ∞=0 adalah barisan tak naik, maka dari persamaan di atas diperoleh

� � 0< + , ∀ 0 (8)

Karena adalah batas bawah terbesar dari

�, maka

� , ∀ ∈ (9) Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh

<� + , ∀ 0 ;

� − < , ∀ 0.

Jadi, lim _→∞� = atau � ∞=0 konvergen ke .

Dengan demikian Teorema 6 terbukti.

Teorema 7 (Hubungan Barisan Tak Turun dan Terbatas dengan Kekonvergenan) Misalkan ∞=1 adalah barisan bilangan real. Jika ∞₌₁ barisan tak turun dan terbatas di atas, maka barisan ∞=1 konvergen.

(Goldberg 1976) Bukti:

Misalkan ∞₌₁ adalah barisan tak turun dan terbatas di atas.

Misalkan �= 1, 2,… terbatas di atas dan = sup �.

Akan dibuktikan bahwa → , bila

→ ∞, yaitu ∀ > 0, ∃ ₀∈ , sehingga

− < , ∀ ₀.

Misalkan diberikan > 0, maka − bukan batas atas dari �. Jadi terdapat

0∈ , sehingga

9

Karena ∞₌₁ adalah barisan tak turun,

maka dari persamaan di atas diperoleh

0 > − , ∀ 0 (10)

Karena adalah batas atas terkecil dari �, maka

, ∀ ∈ (11) Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh

− < , ∀ ₀ ;

− < , ∀ 0.

Jadi, lim _→∞ = atau ∞=1 konvergen ke .

Dengan demikian Teorema 7 terbukti.

Teorema 8 (Hubungan Kekontinuan dan Kekonvergenan Barisan)

Misalkan ∞=0 adalah barisan bilangan real. Jika fungsi kontinu di dan ∞₌₀ adalah barisan yang konvergen ke , maka ∞=0 konvergen ke .

(Goldberg 1976) Bukti:

Diberikan > 0 sebarang.

Karena fungsi kontinu, maka ∃ > 0 sehingga

0 < − < − < . Karena lim _→∞ = , maka

− < ,∀ ₀. Dari dua pernyataan di atas, diperoleh

− < − < . Dengan demikian Teorema 8 terbukti.

Definisi 14 (Barisan Bagian)

Misalkan = adalah barisan bilangan real, dan 1< 2 < < < adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real yang diberikan oleh

1, 2, , ,

disebut barisan bagian dari .

(Goldberg 1976)

Teorema 9 (Hubungan Kekonvergenan Barisan dan Barisan Bagian)

Jika barisan ∞₌₀ konvergen ke , maka setiap barisan bagian dari ∞=0 juga konvergen ke .

(Goldberg 1976) Bukti:

Misalkan =0

∞

adalah barisan bagian dari ∞=0.

Diberikan > 0 sebarang.

Karena ⟶ , maka terdapat ₀∈ , sehingga

− < , ∀ 0.

Pilih indeks terkecil sehingga ₀, maka dari persamaan di atas diperoleh

− < , ∀ . Jadi, barisan

=0

∞

konvergen ke . Dengan demikian Teorema 9 terbukti.

Teorema 10 (Hubungan Perkalian Barisan yang Konvergen dan Terbatas)

Misalkan ∞=0 dan ∞=0 adalah barisan bilangan real. Jika barisan lim _→∞ = 0, dan barisan ∞=0 terbatas, maka

lim

→∞ = 0.

(Goldberg 1976) Bukti:

Diberikan > 0 sebarang.

Karena ∞=0 terbatas, maka terdapat > 0 sehingga

, ∀ ∈ .

Karena ∞=0 konvergen, maka terdapat

∃ 0∈ sehingga

−0 , ∀ 0.

Akibatnya

−0 =

= = , ∀ ₀. Dari sini terbukti bahwa lim _→∞ = 0. Dengan demikian Teorema 10 terbukti.

Definisi 15 (� . dan � . )

Simbol . dan . merupakan cara yang digunakan untuk membandingkan besarnya dua buah barisan, misalkan = dan = merupakan barisan bilangan real.

Notasi = atau = , dengan

→ ∞, menyatakan bahwa

terbatas,

atau ∃ > 0 sehingga . Notasi = atau = , dengan

→ ∞, menyatakan bahwa lim _→∞ = 0. Hal ini berarti →0 lebih cepat dari

→0.

(Bartle 1964)

2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial Lema 5 (Sifat Akar Polinomial)

Didefinisikan persamaan polinomial sebagai berikut

10

, = +1−

=0 = 0,

maka persamaan tersebut memunyai sebuah akar real misal dan

max 1, < < + 1.

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

Lema 6 (Akar Polinomial Bersifat Naik) Didefinisikan persamaan polinomial sebagai berikut

, = +1− =0

= 0.

Persamaan tersebut memunyai sebuah akar real misal , maka

−1< , ∀ .

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

Lema 7 (Kekonvergenan Akar Polinomial) Misalkan akar positif dari persamaan

, = +1− =0 dan > 1, maka berlaku

+ 1 + 1 < < + 1 dan

lim

→∞ = + 1.

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

Lema 8 (Batas Akar Polinomial)

Misalkan akar positif dari persamaan polinomial berikut

, = +1− =0

; dan diberikan = + 1

+1, maka berlaku + 1 −

+ 1 < < + 1 − + 1 di mana basis logaritma natural.

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

Teorema 11

Misalkan persamaan galat didefinisikan sebagai berikut

� +1 = � −

=0

di mana bilangan positif dan � →0, bila → ∞. Misalkan juga adalah akar positif dari persamaan

, = +1− =0

= 0 dan ≠0, maka

lim

→∞ � +1

� = −1/ .

(Traub 1964) Bukti: (Lihat Traub 1964)

III PEMBAHASAN

3.1 Rumusan Masalah

Dalam tulisan ini akan dicari akar dari persamaan

( ) = 0, (12) yaitu nilai = yang menyebabkan = 0, dengan merupakan akar dari persamaan tersebut. Fungsi dari persamaan (12) yang akan ditentukan akarnya merupakan fungsi tak linear dan memenuhi syarat ∈ +1 dan

′ _{≠0 (Sidi 2007).}

Untuk menentukan akar persamaan (12) dapat digunakan metode analitik atau metode iteratif. Metode analitik adalah metode penyelesaian persamaan dengan menggunakan rumus-rumus yang sudah lazim digunakan,

seperti rumus “abc” untuk mencari akar

persamaan kuadrat. Tidak semua fungsi dapat ditentukan akar persamaannya secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan metode iteratif di dalam memberikan hampiran penyelesaian.

Pada metode iteratif pencarian akar dilakukan dengan prosedur-prosedur tertentu. Secara umum prosedurnya sebagai berikut.

Prosedur Metode Iteratif

i. Memilih nilai awal, batas toleransi �, dan maksimum iterasi .

Biasanya setiap metode tidak selalu sama banyaknya nilai awal yang harus dipilih, misalnya metode Newton-Raphson

11

memerlukan satu nilai awal 0, dan metode

Tali Busur memerlukan dua nilai awal,

0 dan 1. Semakin dekat nilai awal yang

dipilih dengan akar sebenarnya, maka iterasi akan semakin cepat konvergen (Atkinson & Han 2003). Untuk memilih batas toleransi agar hampiran akar yang diperoleh sangat dekat dengan akar sebenarnya, maka batas toleransi yang dipilih harus sangat kecil.

ii. Melakukan proses iterasi.

Proses iterasi dilakukan untuk menghasilkan barisan akar, barisan akar yang dimaksud adalah hampiran-hampiran akar yang konvergen ke akar sebenarnya. Selanjutnya proses iterasi dihentikan jika

+1− <�.

iii. Analisis kekonvergenan.

Barisan akar yang diperoleh kemudian dianalisis kekonvergenannya, untuk mengetahui derajat kekonvergenannya. Derajat kekonvergenan menunjukkan kecepatan dalam menemukan akar. Jika derajat kekonvergenan semakin besar, maka kecepatan dalam menemukan akar akan semakin baik (Burden & Faires 1993). Adapun metode-metode iteratif yang akan dibahas antara lain: metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur.

3.1.1 Metode Newton-Raphson

Salah satu metode pencarian akar yang paling populer dalam menentukan akar-akar persamaan tak linear adalah metode Newton-Raphson. Metode ini paling disukai karena kekonvergenannya paling cepat di antara metode lainnya (Cheney & Kincaid 1994).

Metode Newton-Raphson merupakan metode pencarian akar yang hampiran akarnya diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- . Biasanya nilai awal 0 selalu

diberikan. Jika tidak diberikan nilai awal bisa dipilih dengan syarat, nilai ′ 0 ≠0. Hal ini

disebabkan karena metode Newton-Raphson menggunakan fungsi turunan untuk setiap iterasinya dan tidak melakukan pengapitan akar.

Hampiran selanjutnya +1 diperoleh

dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- . Ilustrasi penjelasan tersebut sebagai berikut.

Hampiran akar pertama 1 diperoleh dari titik

potong garis singgung di titik 0, 0

dengan sumbu- . Hampiran akar kedua 2

diperoleh dari titik potong garis singgung di titik 1, 1 dengan sumbu- . Demikian

seterusnya, sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton- Raphson.

Selanjutnya akan dibahas prosedur pencarian akar dengan metode Newton-Raphson. Berdasarkan prosedur pencarian akar dengan metode iteratif, diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Dalam memilih nilai awal pada metode ini sudah dijelaskan yaitu dengan syarat untuk setiap nilai awal 0, maka

nilai ′ ₀ ≠0.

Misalkan 0 adalah nilai awal yang

diberikan. Gradien garis singgung kurva = ( ) di titik 0, 0 adalah ′ 0 ,

maka persamaan garis singgungnya adalah − 0 = ′ 0 − 0 .

Hampiran akar pertama 1 diperoleh dari

persamaan garis singgung pada saat = 0. Artinya titik 1, 0 memenuhi persamaan garis

singgung, yakni

0− 0 = ′ 0 1− 0

− 0

′

0

= ₁− ₀

1= 0− 0

′

0

.

Secara umum dengan cara yang sama, akhirnya diperoleh persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson. Persamaan iterasi yang digunakan pada metode Newton-Raphson adalah

+1= −

( )

12

Berikut ini algoritme yang akan

digunakan untuk menentukan program dengan metode Newton-Raphson.

Algoritme 1: Metode Newton-Raphson

Input: ( ), nilai awal 0, batas toleransi �,

dan maksimum iterasi . Output: sehingga = 0. Langkah-langkah:

i. Set penghitung iterasi = 1, ii. WHILE DO

a. Menghitung = ₀− _′ 0

0

.

b. IF − 0 <�, THEN set = ; go to

STOP.

c. Tambah penghitung iterasi = + 1 d. Set 0= dan 0 = .

iii. STOP.

3.1.2 Metode Tali Busur

Metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- . Pada metode Tali Busur hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang melalui titik ₋1, −1 dan ,

sebagai hampiran ( ) dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x (Atkinson & Han 2003).

Persamaan iterasi metode Newton-Raphson yang menggunakan fungsi turunan

( ) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi turunannya. Metode Tali Busur di atas menggambarkan pencarian akar jika dilihat dari grafik iterasinya, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Langkah pertama adalah memilih dua nilai awal ₀ dan ₁. Dari sini tarik tali busur yang melewati dua titik awal 0, ( 0) dan 1, ( 1) , sehingga diperoleh hampiran akar

pertama, misal ₂ yang merupakan titik potong kedua titik dengan sumbu- . Hampiran akar kedua, misal 3 diperoleh dengan cara menarik

tali busur yang melewati dua titik 1, ( 1)

dan ₂, ( ₂) . Demikian seterusnya sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 Grafik iterasi metode Tali Busur.

Untuk memeroleh persamaan iterasi dengan interpolasi linear gunakan absis titik potong tali busur dari garis lurus yang melalui titik , dan ( ₋1, ( −1)) dengan

sumbu- . Karena gradien garis busur yang melalui titik tersebut adalah − ( −1)

− −1 , maka dengan interpolasi linear diperoleh persamaan tali busurnya

− = − ( −1)

− −1 −

. Hampiran akar diperoleh dengan mencari titik potong kurva dengan sumbu- , artinya titik ( ₊₁, 0) yang memenuhi persamaan di atas, sehingga diperoleh

0− = − ( −1)

− −1 +1−

,

+1 = −

− −1 − −1

= − ( )

− ( ₋₁) − −1

= − ( )

−1,

= − ( )

, ₋₁ .

Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur.

Cara lain untuk memeroleh persamaan iterasi metode tali busur adalah melalui modifikasi persamaan iterasi metode Newton-Raphson. Menurut definisi turunan, ′ dapat dituliskan

′ _{= lim} →0

+ − ( ) , untuk yang sangat kecil,

13

misalkan = dan = ₋₁− , diperoleh ′ _≈ −1 − ( )

−1−

= −1 − −1−

= , ₋₁ .

Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur. Persamaan iterasi metode Tali Busur adalah

+1= −

( ) [ , ₋1 ]

. 13 Persamaan di atas diperoleh melalui dua cara, yaitu melalui interpolasi linear dan modifikasi metode Newton-Raphson.

Berdasarkan prosedur pencarian akar dengan metode iteratif, untuk menentukan akar dengan metode ini diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Metode Tali Busur memerlukan dua nilai awal 0 dan 1.

Persamaan iterasi yang digunakan adalah persamaan (13).

Berikut ini algoritme yang akan digunakan untuk menentukan program dengan metode Tali Busur.

Algoritme 2: Metode Tali Busur

Input: ( ), nilai awal 0 dan 1, batas

toleransi �, dan maksimum iterasi . Output: sehingga = 0. Langkah-langkah:

i. Set = 2, ₀= ₀ , ₁= ₁ , ii. WHILE DO

a. Menghitung = 1−

1

1− 0 1− 0

. b. IF − 1 <�, THEN set = ; go

to STOP.

c. Tambah penghitung iterasi = + 1 d. Set 0= 1, 1= , 0= 1, dan

1= ,

iii. STOP.

3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur

Pada subbab 3.1.1 dan 3.1.2 telah dibahas metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson memunyai kekonvergenen yang relatif cepat untuk menentukan akar, namun memerlukan iterasi turunan fungsi (Sahid 2005). Dengan

memodifikasi persamaan iterasi metode Newton-Raphson diperoleh metode Tali Busur yang tidak harus menggunakan turunan ( ), namun metode Tali Busur ini memunyai kekonvergenan yang relatif lebih lambat dibandingkan metode Newton-Raphson (Sahid 2005). Oleh karena itu, diperlukan metode lain untuk menentukan akar yang memunyai kekonvergenan mendekati metode Newton-Raphson tetapi tidak harus menggunakan turunan ( ) seperti metode Tali Busur (Sidi 2007). Persamaan iterasi metode Tali Busur diperoleh dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton untuk = 1.

Pada bagian ini akan dibahas generalisasi metode Tali Busur, yaitu metode pencarian akar dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat dengan > 1. Generalisasi metode Tali Busur ini tidak memerlukan turunan ( ), tetapi memerlukan nilai awal sebanyak dengan 2, dan sama-sama tidak harus menggunakan turunan ( ) per iterasi.

Selanjutnya akan dibahas penurunan persamaan iterasi metode ini. Persamaan iterasi generalisasi metode Tali Busur adalah

+1= −

( )

,

′ _{( )} ; = , + 1, . (14) Persamaan di atas diperoleh melalui modifikasi metode Tali Busur yaitu dengan mengganti selisih terbagi pertama , ₋1 dengan

selisih terbagi ke- dari turunan interpolasi polinomial Newton , dengan 2.

Lema 9 (Turunan Polinomial)

Misalkan , merupakan polinomial yang menginterpolasikan fungsi pada + 1 titik, yaitu , ₋₁, , ₋ , maka turunan polinomial tersebut adalah

,

′

= , ₋1

+ , ₋1, , − − − . −1

=1 =2

Pada karya ilmiah ini hanya dibatasi sampai = 2 yaitu

,

′ ₌

, ₋₁ + , ₋₁, ₋₂ − ₋₁ .

Bukti:

14

Dari Teorema 4 diketahui persamaan interpolasi polinomial Newton yang menginterpolasikan

fungsi pada titik , ₋1, , − adalah

, = + , −1, , − − − .

−1 =0 =1

Untuk menurunkan , ( ), akan dijabarkan terlebih dulu, yaitu

, = + , −1 − + , −1, −2 − − −1

+ , ₋1, −2, −3 − − −1 − −2 +

+ , ₋₁, ₋₂, , ₋ − − ₋₁ − _{− +2} − _{− +1} . Jika penjabaran persamaan tersebut diturunkan akan diperoleh

,

′ _{= 0 + ,}

−1 + , −1, −2 − + , −1, −2 − −1

+ , ₋₁, ₋₂, ₋₃ − − ₋₁ + , ₋₁, ₋₂, ₋₃ − − ₋₂ + , ₋₁, ₋₂, ₋₃ − ₋₁ − ₋₂ +

+ , ₋1, −2, , − − − −1 − − +2

+ , ₋₁, ₋₂, , ₋ − − ₋₁ − _{− +3} − _{− +1} + + , ₋1, −2, , − − − −2 − − +2 − − +1

+ , ₋₁, ₋₂, , ₋ − ₋₁ − _{− +2} − _{− +1} . Misalkan = , sehingga diperoleh persamaan

,

′ _{= ,}

−1 + , −1, −2 − + , −1, −2 − −1

+ , ₋1, −2, −3 − − −1 + , −1, −2, −3 − − −2

+ , ₋₁, ₋₂, ₋₃ − ₋₁ − ₋₂

+ + , ₋1, −2, , − − − −1 − − +2

+ , ₋1, −2, , − − − −1 − − +3 − − +1 +

+ , ₋₁, ₋₂, , ₋ − − ₋₂ − _{− +2} − _{− +1}

+ , ₋1, −2, , − − −1 − − +2 − − +1

= , ₋1 + , −1, −2 − −1 + , −1, −2, −3 − −1 − −2

+ + , ₋1, −2, , − − −1 − − +2 − − +1 , atau

,

′ _{= ,}

−1 + , −1, , − − − .

−1 =1 =2

Untuk = 1 diperoleh ′_, = , ₋₁ yaitu merupakan selisih terbagi pertama yang digunakan dalam metode Tali Busur. Sedangkan untuk 2 metode yang digunakan adalah generalisasi metode Tali Busur.

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat selisih terbagi. Adapun sifat-sifatnya antara lain:

i. Dapat ditentukan secara rekursif. (berdasarkan Definisi 10) ii. Simetris.

Misalkan 1, 2, , +1 menyatakan permutasi dari indeks 1,2,…, + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku

1, 2, , +1 = +1, , 2, 1 . (bukti disajikan pada Teorema 2)

iii.Dapat dinyatakan dalam turunan.

Jika kontinu pada dan

, ₋₁, , ₋ adalah + 1 titik pada , maka ada � pada , yang mengakibatkan

, ₋1, , − , =

1 ( + 1)!

( +1) _{� .}

(bukti disajikan pada Lema 4)

Selanjutnya akan dibahas penyajian selisih terbagi. Selisih terbagi yang diperoleh pada proses iterasi ke-nol, disimpan dalam tabel selisih terbagi, dapat yang kemudian akan digunakan untuk menentukan selisih terbagi pertama. Selisih terbagi pertama disimpan dalam tabel selisih terbagi yang kemudian digunakan untuk menentukan selisih terbagi kedua, dan seterusnya sampai diperoleh selisih terbagi ke- yang diperlukan.

Dengan menggunakan Definisi 10, maka dapat dibuat tabel selisih terbagi. Untuk = 0 dapat dilihat pada tabel berikut.

15

Tabel 1 Selisih terbagi

0 0

01

1 1 012

12 0123

2 2 123

23 1234

3 3 234

34 2345

4 4 345

45 3456

5 5 456

56 4567

6 6 567 67

7 7

Keterangan:

, +1,…, = , +1, . . . , .

Tabel di atas berisi nilai-nilai selisih terbagi { ₀, ₁, . . . , ₇}, nilai-nilai tersebut akan digunakan untuk menghitung ₈.

Selain itu, pada Tabel 1 tidak perlu lagi dihitung berulang-ulang dari awal setiap iterasi, yang diperlukan adalah menambahkan diagonal baru di bagian bawah tabel yang ada. Untuk melihat hal ini, akan diberikan contoh sebagai berikut: misalkan = 3 dan hampiran , dengan = 0, 1, . . . , 7 telah dihitung. Untuk menghitung ₈ akan digunakan nilai-nilai yang telah diperoleh pada Tabel 1 dan dengan menggunakan persamaan (14), akhirnya diperoleh

8= 7− 7 7,3′ 7

= 7−

7

67+ 567 7− 6 + 4567 7− 6 7− 5

.

Untuk menghitung 9 diperlukan selisih

terbagi dari 8, 78, 678, 5678. Komputasi

pertama 8 dengan menggunakan 8, selisih

terbagi ini dapat dihitung dari Tabel 1 melalui hubungan rekursif

78 = 7− 8 7− 8

,

678 =

67− 78 6− 8

,

5678 =

567− 678 5− 8

,

dan ditambahkan ke bagian bawah Tabel 3. Untuk menghitung 8, perlu menyimpan nilai

diagonal ini, dan memasukkan 7, 67, 567, 4567. Nilai 8 dan 8 dihitung dengan

menggunakan nilai-nilai 7, 67, 567, 4567

sehingga diperoleh nilai-nilai 8, 78, 678, 5678. Dengan demikian, secara umum untuk

menghitung +1 harus dihitung nilai dan

perlu menyimpan hasil perhitungan , _{−1, , ,}, _{− , − +1,..., −1,} dan

, ₋₁, . . . , ₋ .

Selanjutnya pembahasan akan dimulai dengan prosedur pencarian akar. Prosedurnya adalah sebagai berikut.

Prosedur Generalisasi Metode tali Busur

1. Memilih nilai awal, batas toleransi �, dan maksimum iterasi .

Misalkan 0, 1, . . . , adalah nilai awal

dengan 2, dimulai dengan memisalkan

0 dan 1 adalah dua nilai awal yang

diberikan. Selanjutnya melakukan proses iterasi untuk = 1, dengan menggunakan persamaan (13) untuk menghitung dengan mulai dari 2, yang akan digunakan sebagai nilai awal. Pada karya ilmiah ini nilai awal hanya dibatasi untuk = 2 menggunakan tiga nilai awal, ₀, ₁ dan ₂. 2. Melakukan proses iterasi dengan persamaan

(14).

Iterasi dilakukan sampai diperoleh hampiran akar yang paling dekat dengan akar sebenarnya. Untuk melihat hampiran akar yang diperoleh telah konvergen, maka dengan menggunakan batas toleransi � untuk menghentikan iterasi. Misalkan dengan memilih batas toleransi �= 0.001, maka iterasi akan berhenti jika − −1 <�. Dari sini diperoleh hampiran merupakan akar dari persamaan ( ) = 0.

Berikut ini algoritme yang akan digunakan untuk menentukan program dengan metode Tali Busur.

Algoritme 3: Generalisasi Metode Tali Busur

Input: ( ), nilai awal 0 dan 1, batas toleransi �, dan maksimum iterasi .

Output: sehingga = 0. Langkah-langkah:

16

1. Misalkan 0= 0 , 1= 1 .

Menghitung

2= 1− 1

1− 0 1− 0

. 2. Set = 2, 2= 2 .

3. WHILE DO

a. Menghitung

= 2−

2

, ₋1 + , −1, −2 − −1

. b. IF − 1 <�, THEN set = ; go to STOP.

c. Tambah penghitung iterasi = + 1.

d. Set ₀= ₁, ₁= ₂ dan ₂= , ₀= ₁, ₁= ₂ dan ₁= , 4. STOP.

3.2 Analisis Kekonvergenan

Analisis kekonvergenan suatu metode pencarian akar dilakukan untuk menentukan derajat kekonvergenannya. Hal ini dilakukan karena derajat kekonvergenan menunjukkan kecepatan dalam menemukan akar, jika derajat kekonvergenan semakin besar, maka kecepatannya dalam menemukan akar akan semakin cepat (Burden & Faires 1993).

Untuk menganalisis kekonvergenan dapat dilihat dari persamaan galat hampirannya. Hal ini disebabkan karena galat berhubungan dengan seberapa dekat akar hampiran terhadap akar sebenarnya. Semakin kecil galatnya, maka semakin teliti solusi yang diperoleh (Atkinson & Han 2003).

3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-Raphson

Misalkan 0, 1, , +1 merupakan

hampiran-hampiran akar yang diperoleh melalui iterasi berturut-turut dengan menggunakan persamaan iterasi. Misalkan adalah akar sebenarnya dan � merupakan galat hampiran pada iterasi ke- , maka menurut Definisi 2, � = − , dan

� +1= +1−

= − _′ − =� − _′ = � ′ ₋

′ . (15) Berdasarkan Definisi 6, − � dapat diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu

− � ≈ − ′ _{� +} ′′ � 2 � 2 ≈ − ′ _{� +} ′′ � 2 � 2

0≈ − ′ � + ′′ _�

2 �

2

0 = − ′ � + ′′ _� 2 � 2 � ′ _{− =} ′′ � 2 � 2_,

di mana � di antara dan . Selanjutnya substitusikan persamaan di atas pada persamaan (15) diperoleh persamaan galat hampiran ke- + 1, yaitu

� +1=

1 2

′′ _� ′ _�2. Misal didefinisikan =1

2 ′′ _�

′ � , maka

persamaan di atas dapat dituliskan

� +1 = � . (16)

Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan = ( − �, +�) untuk �> 0, sehingga

1= min ∈| ′( )| > 0. Hal ini dimungkinkan karena ∈ dan ′ ≠0. Diberikan 2= max ∈

2

2! , dan pilih

interval = ( − /2, + /2)⊂ cukup kecil untuk memastikan bahwa 1> 2 /2.

Selanjutnya akan dibuktikan jika , untuk = 0,1, , di , maka

= 1 2

′′ _�

′ � < < 1, di mana

= 2 /2

1

. Karena , = 0,1, , di , maka

− /2 + /2

− /2 − /2

0 − /2 0 �

2, ∀ . Sehingga dapat dituliskan

17

= 1 2

′′ _�

′ � <

2 /2 1

. Karena dipilih cukup kecil sehingga berlaku

1> 2 /2, maka diperoleh 2 /2

1

< 1

1

= 1.

Dari sini diperoleh � +1 < � ,∀ atau

� ∞=0 barisan turun. Karena � ∞=0

barisan turun dan terbatas di bawah, maka � ∞=0 konvergen. Dari persamaan (16)

diketahui

� +1 = �

� +1 = �

� +1 = � .

Untuk = 1, diperoleh �2 �1.

Untuk = 2, diperoleh

�3 �2 2 �1 .

Untuk = 3, diperoleh

�4 �3 3 �1

� � −1 −1 �1 .

Dari sini diperoleh

0 � −1 � 1

lim

→∞0 lim→∞ � lim→∞ −1 �

1 .

Karena lim _→∞0 = lim

→∞ −

1 �

1 = 0, maka

menurut Teorema Apit lim

→∞ � = 0. Diketahui lim

→∞ � = 0 lim→∞� = 0, maka dari sini diperoleh lim _→∞ = . Karena � di antara

dan , maka diperoleh <� < lim

→∞ < lim→∞� < lim→∞ .

Menurut Teorema Apit, karena lim _→∞ = lim

→∞ = , maka lim →∞� = . Dari sini diperoleh

lim →∞

� +1

�2 =

′′ 2 ′ .

Menurut Definisi 3, jika ′ ≠0, dan ′ _, ′′ _{kontinu pada interval yang} memuat semua , maka metode Newton-Raphson akan konvergen ke akar secara kuadratik (konvergen relatif cepat).

3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur

Misalkan 0, 1, , +1 adalah

hampiran-hampiran akar yang diperoleh melalui iterasi berturut-turut dengan persamaan (13). Misalkan juga adalah akar sebenarnya dan � merupakan galat hampiran pada iterasi ke- , maka � = − , dan

� +1= +1− ,

= −

− −1 − − 1 −

= − −1

− −1 −

− −1

− −1 −

= − −1 − − −1

− −1

− − −1

− −1

= −1− −1

− −1

− − −1

− −1 = −1− − −1 −

− −1

= � −1− −1 � − −1

− −1

− −1

= − −1

− −1

� −1− −1 �

− −1

= − −1

− −1

� −1− −1 � − −1

� � −1 � � −1

= − −1

− −1

� −1 � � −1 −

−1 � � � −1

− −1 � �−1

= − −1

− −1

� − � −−11

− −1 � � −1

. (17)

Berdasarkan Definisi 6, fungsi dapat diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu

= +�

≈ + ′ � + ′′

2 �

2

atau dapat dituliskan

= + ′ � + ′′ 2 � 2 � = ′ + 1

2� ′′ . Untuk indeks −1 diperoleh

−1

� −1

= ′ +1 2� −1

′′ _. Hasil pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

� − −

1

� −1

=1

2 � − � −1 ′′ _; karena − ₋1=� − � −1, dengan membagi sisi kiri persamaan di atas dengan − ₋1

dan sisi kanan dengan � − � ₋1, maka

diperoleh persamaan

� − � −−11

− −1

=1

18

Selanjutnya berdasarkan Definisi 10, maka tanda kurung pertama pada persamaan (17) dapat dituliskan sebagai

− −1

− −1

= 1

, ₋₁ . (19) Dengan menyubstitusikan persamaan (18) dan (19) pada persamaan (17) diperoleh

� +1= 1 , ₋1

1 2

′′ _{� �} −1

= _′1

1 2

′′ _{� �}

−1 (20)

di mana di antara dan ₋₁.

Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan = ( − �, +�) untuk �> 0, sehingga 1= min ∈| ′( )| > 0. Hal ini dimungkinkan karena ∈ dan ′ ≠0. Diberikan 2= max ∈

2

2! dan pilih

interval = ( − /2, + /2)⊂ cukup kecil untuk memastikan bahwa ₁> ₂ /2. Selanjutnya akan dibuktikan jika , = 0,1, , di , maka

= 1 2

′′

′ � −1 < < 1,

di mana

= 2 /2

1

. Karena ₋, = 0,1, , di , maka

− /2 + /2

− /2 − /2

0 − /2 0 �

2, ∀ . Sehingga dapat dituliskan

= 1 2

′′

′ � −1 < 2 /2

1

. Karena dipilih cukup kecil sehingga berlaku

1> 2 /2, maka diperoleh

= 2 /2

1

< 1

1

= 1.

Dari sini diperoleh � +1 < � ,∀ atau

� ∞=0 barisan tak naik. Karena � ∞=0

barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka menurut Teorema 6 � ∞₌₀ konvergen. Dari persamaan (16) diketahui

� +1= �

� +1 = �

� +1 � .

Untuk = 1, diperoleh �2 �1

Untuk = 2, diperoleh

�3 �2 2 �1

Untuk = 3, diperoleh

�4 �3 3 �1

� � −1 −1 �1 .

Dari sini diperoleh

0 � −1 � 1

lim

→∞0 lim→∞ � lim→∞ −1 �

1 .

Karena lim →∞

−1 �

1 = 0, maka menurut

Teorema Apit lim

→∞ � = 0, dan karena lim

→∞ � = 0 lim→∞� = 0, sehingga dari sini diperoleh lim _→∞ = .

Akibatnya karena di antara dan −1, maka diperoleh

< < ₋₁ lim

→∞ < lim→∞ < lim→∞ −1.

Menurut Teorema Apit, karena

lim _→∞ = lim

→∞ −1= , maka lim →∞ = .

Dari sini diperoleh

� +1= 1 ′

1 2

′′ _{� �} −1.

Selanjutnya akan ditentukan derajat kekonvergenannya. Misalkan

� +1

� 1 =

di mana 1 adalah derajat kekonvergenan dan

konstanta galat asimptotik, atau dapat juga dituliskan

+1− = − 1.

Persamaan di atas akan digunakan untuk menentukan derajat kekonvergenan metode ini.

3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur

Selanjutnya akan dibahas analisis barisan akar ∞₌₀ yang dihasilkan melalui persamaan iterasi generalisasi metode tali Busur. Kekonvergenan ini dapat dilihat pada Teorema 12 berikut.

Teorema 12 (Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur)

Diberikan merupakan solusi dari persamaan ( ) = 0 dan � menyatakan galat hampiran ke- . Asumsikan ∈ +1_{( ), di mana}

interval terbuka yang mengandung dan asumsikan juga ′ ≠0. Diberikan

0, 1, , merupakan nilai awal, dan

menghasilkan , = + 1, + 2,…, dengan persamaan iterasi

53

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.2 dan 1= 0.3

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('---'); x0=0.2; x1=0.3; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 1.074580877621760 0.806499804632834 2.000000000000000 1.043516668214085 0.031064209407676 3.000000000000000 0.942044197078026 0.101472471136059 4.000000000000000 0.889758905463771 0.052285291614255 5.000000000000000 0.870403897901499 0.019355007562273 6.000000000000000 0.867046143618554 0.003357754282945 7.000000000000000 0.866874846634216 0.000171296984338 8.000000000000000 0.866873543965297 0.000001302668918 9.000000000000000 0.866873543487686 0.000000000477611 10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000001

54

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.3 dan 1= 0.4

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4'); disp ('---'); x0=0.3; x1=0.4; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 0.965748878703760 0.562810159373553 2.000000000000000 0.934734594405536 0.031014284298224 3.000000000000000 0.882599875476789 0.052134718928747 4.000000000000000 0.869007963080974 0.013591912395816 5.000000000000000 0.866945836011143 0.002062127069831 6.000000000000000 0.866873872714542 0.000071963296601 7.000000000000000 0.866873543538188 0.000000329176355 8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000050503

55

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.4 dan 1= 0.5

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5'); disp ('---'); x0=0.4; x1=0.5; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 0.906183265861903 0.357854627897103 2.000000000000000 0.886198122617135 0.019985143244768 3.000000000000000 0.868718016692311 0.017480105924825 4.000000000000000 0.866948698593440 0.001769318098871 5.000000000000000 0.866873839991434 0.000074858602006 6.000000000000000 0.866873543534960 0.000000296456473 7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000047276

56

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.5 dan 1= 0.6

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6'); disp ('---'); x0=0.5; x1=0.6; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 0.879039878992060 0.197686295862355 2.000000000000000 0.870574101058010 0.008465777934050 3.000000000000000 0.866979295814307 0.003594805243703 4.000000000000000 0.866874374953973 0.000104920860334 5.000000000000000 0.866873543674432 0.000000831279541 6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000186747 7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000

58

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.6 dan 1= 0.7

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7'); disp ('---'); x0=0.6; x1=0.7; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 0.869277737355401 0.085634697792186 2.000000000000000 0.867229739495510 0.002047997859891 3.000000000000000 0.866875453580794 0.000354285914716 4.000000000000000 0.866873544931097 0.000001908649697 5.000000000000000 0.866873543487691 0.000000001443406 6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000006

57

Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan = + 1 −1 dengan nilai awal 0= 0.7 dan 1= 0.8

Dalam M-File:

% ---% Program Generalisasi Metode Tali Busur

% Matlab Programming % Oleh : Sunarsih

% ---

clear all; clc;

disp ('---'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8'); disp ('---'); x0=0.7; x1=0.8; %memilih hampiran awal

N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi

fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;

%nilai f(x)

gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]

x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;

gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]

hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]

px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[];

for i=1:N,

x=x2-(fx2/px0);

fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));

s=abs(x-x2);

akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end

x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;

end

Tampilan dalam Command Window: ---

Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8 ---

>> akar akar =

1.000000000000000 0.867019139422939 0.020176377047925 2.000000000000000 0.866879283798083 0.000139855624856 3.000000000000000 0.866873545281227 0.000005738516857 4.000000000000000 0.866873543487707 0.000000001793520 5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000022