xi
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam bidang matematika, teknik dan
beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akar- akar persamaan. Terutama akar dari persamaan
tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Persamaan tersebut lebih
efektif diselesaikan dengan metode iteratif Sahid 2005. Metode iteratif yang banyak
digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga
metode lain yaitu generalisasi metode Tali Busur. Secara umum semua metode pencarian
akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu metode tertutup dan
metode terbuka.
Metode tertutup atau metode pengurung bracketing method adalah metode pencarian
akar yang akar-akarnya berada dalam interval , , dalam interval ini dipastikan berisi
minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen menuju ke akar, sehingga
metode ini selalu menemukan akar. Contoh metode ini adalah metode Bagi Dua dan
metode Regular Falsi Munir 2003.
Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang
mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung
hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin saja
mendekati akar sebenarnya konvergen atau mungkin juga menjauhinya divergen. Contoh
metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan
generalisasi metode Tali Busur Munir 2003. Untuk selanjutnya pembahasan pada
karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka, yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali
Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson merupakan metode
pencarian akar yang paling cepat konvergen di antara metode-metode pencarian akar yang lain,
namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya.
Sedangkan metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang memiliki kekonvergenan
yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja
Sahid 2005.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas generalisasi dari metode Tali Busur, di mana
metode ini merupakan metode pencarian akar yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan
kekonvergenannya relatif cepat. 1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini
adalah: 1.
Menentukan akar persamaan dengan generalisasi metode
Tali Busur
dan menganalisis
kekonvergenan barisan
hampiran akar yang diperoleh Sidi 2007. 2.
Membandingkan kecepatan
dalam memperoleh akar dengan menggunakan
generalisasi metode Tali Busur dengan metode Newton-Raphson dan metode Tali
Busur pada aplikasi numeriknya.
II LANDASAN TEORI
2.1 Akar Persamaan Tak Linear
Misalkan adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan
pada domain yang
memenuhi = 0 disebut akar persamaan
= 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi . Secara singkat, sering disebut akar
. Definisi 1 Derajat Akar
Misalkan dan merupakan fungsi kontinu dengan
≠ 0, sedemikian sehingga dapat dinyatakan sebagai
= − , maka
disebut akar berderajat . Dari
persamaan di atas terlihat bahwa jika pembuat nol fungsi berderajat
, maka = 0,
′
= 0, ,
−1
= 0, ≠ 0.
Jika = 1, maka disebut akar sederhana.
Jika 1, maka disebut akar ganda. Jika
= 2, maka disebut akar dobel, dan
seterusnya. Sahid 2005
2
Definisi 2 Galat Hampiran Misalkan
adalah suatu nilai hampiran yang diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk
nilai eksak nilai sebenarnya yang tidak
diketahui. Nilai �
= −
disebut selisih atau galat, �
disebut galat mutlak.
Atkinson Han 2003 Definisi 3 Derajat Kekonvergenan
Misalkan ,
1
,
2
, merupakan barisan
yang konvergen ke dan misalkan � =
− menyatakan persamaan galat hampiran ke-
, yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan
= 0, 1, 2, . Jika terdapat sebuah bilangan
dan konstanta � ≠ 0 yang mengakibatkan
lim
→∞
�
+1
� =
�, maka
disebut derajat kekonvergenan barisan tersebut dan
� disebut konstanta galat asimptotik.
Untuk = 1
disebut kekonvergenan linear. Untuk
= 2 disebut kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya.
Atkinson Han 2003
Definisi 4 Metode Iteratif Metode iteratif adalah suatu metode yang
digunakan untuk
mencari solusi
suatu persamaan tak linear yang dimulai dengan
memilih nilai awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran ke- yang menuju tak
hingga, tetapi
setiap langkahnya
tetap konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu.
Atkinson Han 2003
Definisi 5 Metode Terbuka Metode terbuka adalah metode pencarian akar
yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan
persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar
yang diperoleh mungkin mendekati akar konvergen, atau mungkin juga menjauhinya
divergen.
Munir 2003
Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur,
dan generalisasi metode Tali Busur.
Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian
akar yang
hampiran akarnya
diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik
, dengan sumbu- , dengan nilai awal
diberikan. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran
ke- + 1 adalah
+1
= −
′
; = 0, 1,2, . 1
Atkinson Han 2003
Metode Tali Busur Metode Tali Busur secant method
adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi
dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar yang
dicari diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik
, dengan sumbu- . Kemudian dimodifikasi pada
metode Tali Busur di mana hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang
melalui titik
−1
,
−1
dan , sebagai hampiran
dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi
pada metode
Newton-Raphson yang
menggunakan turunan
dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi
turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke-
+ 1 adalah
+1
= −
,
−1
; = 1,2, .
Atkinson Han 2003
Definisi 6 Deret Taylor Misalkan fungsi memunyai turunan ke
+ 1 yang kontinu pada interval
[ , ]. Misalkan juga untuk setiap
∈ [ , ]. Deret −
=0
disebut deret Taylor fungsi di sekitar , dan
dapat dituliskan =
−
=0
. Dengan memisalkan
= + , diperoleh
+ =
=0
.
Cheney Kincaid 1994
3
Definisi 7
+1
adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan ke-
+ 1 kontinu pada , di mana adalah interval terbuka.
Burden Faires 1993 Teorema 1 Teorema Rolle
Misalkan adalah fungsi yang kontinu pada [ , ] dan fungsi terturunkan pada , . Jika
= = 0, maka terdapat sebuah bilangan
∈ , , sehingga
′
= 0.
Burden Faires 1993 Bukti:
Terdapat tiga kasus, yaitu Kasus 1:
= , dengan konstan. Dari sini diperoleh
′
= 0, sehingga bilangan
dapat diambil sembarang bilangan dalam interval
, . Kasus 2: , untuk suatu pada
, . Karena fungsi kontinu pada
, , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim
memunyai nilai maksimum pada suatu titik dalam interval
[ , ]. Karena = ,
harus mencapai
maksimum pada ∈ , , maka
memunyai maksimum lokal pada dan karena
terturunkan pada , maka
′
= 0. Kasus 3:
untuk suatu dalam interval terbuka
, . Karena fungsi kontinu pada
, , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim
memunyai nilai minimum pada suatu titik dalam interval
[ , ]. Karena =
, harus mencapai minimum pada ∈ , , maka memunyai minimum
lokal pada dan karena terturunkan pada , maka
′
= 0. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.
2.2 Interpolasi Definisi 8 Interpolasi
Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya
melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil
eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui.
Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi
yang paling banyak dipakai adalah fungsi polinomial.
Atkinson Han 2003 Definisi 9 Interpolasi Polinomial Linear
Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal
diberikan dua buah titik
1
,
1
dan
2
,
2
, maka polinomial yang menginterpolasi kedua
titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk
1
=
1
+
2
−
1 2
−
1
−
1
. Cheney Kincaid 1994
Definisi 10 Selisih Terbagi Selisih terbagi divided difference
atau kadang disebut daftar selisih
adalah metode untuk mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit
suatu interpolasi polinomial Newton dari data yang tertabulasi dan ditulis sebagai
,
1
, ,
. Selisih terbagi dari fungsi
= untuk
= 1,2,3, … ,
didefinisikan sebagai berikut 1.
Selisih terbagi ke-nol terhadap adalah = .
2. Selisih terbagi pertama terhadap
dan
+1
adalah ,
+1
=
+1
−
+1
− .
3. Selisih terbagi kedua terhadap ,
+1
dan
+2
adalah ,
+1
,
+2
=
+2
,
+1
−
+1
,
+2
− .
4. .
5. Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif
sebagai berikut
,
+1
, … ,
+ −1
,
+
=
+
,
+ −1
, ,
+1
−
+ −1
, ,
+1
,
+
− ;
≠
+
.
Cheney Kincaid 1994
Teorema 2 Sifat Simetris Selisih Terbagi Misalkan
1
,
2
, ,
+1
menyatakan permutasi dari indeks
1,2, … , + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk
sebarang indeks selisih terbagi berlaku
1
,
2
, ,
+1
=
+1
, ,
2
,
1
.
Atkinson Han 2003 Bukti:
dengan induksi pada + 1
1. Basis induksi
4
Untuk = 1, maka berlaku
1
,
2
=
2
−
1 2
−
1
=
2
−
1 2
−
1
= −
2
−
1
−
2
−
1
=
1
−
2 1
−
2
=
1
−
2 1
−
2
=
2
,
1
. 2.
Hipotesis induksi Anggap
benar, untuk
1
,
2
, ,
sebarang permutasi dari indeks 1,2, … ,
1
,
2
, ,
= ,
2
,
1
. 3.
Langkah induksi Akan dibuktikan: untuk
1
,
2
, ,
+1
sebarang permutasi dari indeks
1,2, … , + 1
berlaku
1
,
2
, ,
+1
=
+1
,
2
,
1
.
Bukti:
1
,
2
, ,
+1
=
+1
, ,
,
2
− , ,
1 +1
−
1
=
2
, ,
+1
−
1
, ,
−1
,
+1
−
1
= −
1
, ,
−1
, −
2
, ,
+1
−
1
−
+1
=
1
, ,
−1
, −
2
, ,
+1 1
−
+1
=
+1
, ,
,
1
. Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka
Teorema 2 terbukti. Teorema 3 Hubungan Selisih Terbagi
dengan Turunan untuk Simpul Sama Jika didefinisikan
1
,
1
= lim
2
→
1
1
,
2
dan limitnya ada, maka berlaku
1
,
1
=
′ 1
.
Atkinson Han 2003
Bukti:
Karena diketahui
1
,
1
= lim
2 → 1
1
,
2
= lim
2 → 1
2
−
1 2
−
1
karena Definisi 10 =
′ 1
. menurut Definisi turunan Dengan demikian Teorema 3 terbukti.
Teorema 4 Interpolasi Polinomial Newton Misalkan fungsi terdefinisi pada interval terbuka , dan misalkan
,
−1
, ,
−
adalah + 1
bilangan yang berlainan pada interval terbuka , maka terdapat sebuah polinomial tunggal
,
berderajat paling tinggi yang memenuhi =
,
; untuk = ,
− 1, … , − . Interpolasi polinomial Newton ini adalah
,
= + ,
−1
, ,
−
−
− −1
=0
. 2
=1
Sahid 2005
Bukti:
Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat perlu menghitung
nilai-nilai polinomial berderajat 1,2,
… , . Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai
,
=
1
+
2
− +
3
− −
−1
+ + − −
−1
… −
− +2
+
+1
− −
−1
… −
− +1
, dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien
1
,
2
,
3
, ,
. Di sini berlaku
,
= untuk = ,
− 1, … , − . Jika
= disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi
kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh
,0
=
1
= .
Jika =
−1
disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh
,1 −1
=
−1
= +
2 −1
−
5
atau
2
=
−1
−
−1
− =
−1
−
−1
− =
,
−1
. Jika
=
−2
disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh
−2
=
,2 −2
= +
−1
−
−1
−
−2
− +
3 −2
−
−2
−
−1
atau
3
=
−2
− −
−1
−
−1
−
−2
−
−2
−
−2
−
−1
=
−2
−
−2
− −
−1
−
−1
−
−2
−
−1
. Untuk memermudah perhitungan bentuk
3
dapat diubah menjadi
3
=
−2
−
−1 −2
−
−1
−
−1
−
−1
−
−2
− =
−1
,
−2
− ,
−1 −2
− menurut Definisi 10
=
−2
,
−1
−
−1
,
−2
− karena Teorema 2
= ,
−1
,
−2
menurut Definisi 10 dan seterusnya.
Jika =
−
disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh
−
=
, −
= +
−1
−
−1
−
−
− +
−2
−
−1 −2
−
−1
−
−1
−
−1
−
−2
−
−
−
−
−
−1
+ +
−
−
−
−
−1
…
−
−
− +2
+
+1 −
−
−
−
−1
…
−
−
− +1
,
dengan
+1
=
−
− −
−1
−
−1
−
−
− −
3 −
−
−
−
−1
− −
−
−
−
−
−1
…
−
−
− +2 −
−
−
−
−1
…
−
−
− +1
.
Jika diuraikan akan diperoleh bentuk
+1
= ,
−1
,
−2
, … ,
−
. Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang
1
,
2
,
3
dan seterusnya sampai
+1
. Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi . Berdasarkan Definisi 10,
intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi
,
= +
,
−1
− + ,
−1
,
−2
− −
−1
+ +
,
−1
,
−2
, … ,
−
− −
−1
… −
− +1
, atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut
,0
=
,1
= +
,
−1
−
,2
= +
,
−1
− + ,
−1
,
−2
− −
−1
6
,
= +
,
−1
− + ,
−1
,
−2
− −
−1
+ +
,
−1
,
−2
, … ,
−
− −
−1
… −
− +1
. Sehingga dapat dituliskan
,
= + ,
−1
, ,
−
−
−
. 2
−1 =0
=1
Dengan demikian Teorema 4 terbukti. Akibat Hampiran Newton
Misalkan
,
adalah interpolasi polinomial Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan
digunakan untuk menginterpolasikan fungsi ,
yaitu =
,
; = , − 1, , − . Karena
≠
,
, maka ada galat di antara keduanya, misalkan
,
yang akan memenuhi persamaan berikut
=
,
+
,
. 3 Sahid 2005
Lema 1 Polinomial Bersifat Tunggal Misal diberikan himpunan titik-titik yang
memunyai absis berlainan yaitu
, ,
−1
,
−1
, ,
−
,
−
,
maka terdapat
tepat sebuah
polinomial berderajat paling tinggi yang melalui
+ 1 titik tersebut.
Cheney Kincaid 1994 Bukti:
Misalkan
,
adalah polinomial berderajat
dan memenuhi
,
= ; untuk = ,
− 1, , − . Untuk menunjukkan bahwa
,
tunggal, misalkan terdapat polinomial lain, �
,
berderajat paling tinggi dan
memenuhi �
,
= ; untuk = ,
− 1, , − . Sekarang definisikan
,
=
,
− �
,
. Karena
,
dan �
,
keduanya berderajat , maka
,
berderajat . Selanjutnya
berlaku
,
=
,
− �
,
= − = 0 ;
untuk = , − 1, , − .
Ini menunjukkan bahwa
,
memunyai + 1
akar berlainan,
yakni ,
−1
, ,
−
, padahal
,
berderajat . Hal ini tidak mungkin, karena
berdasarkan sifat
akar polinomial,
polinomial berderajat hanya memunyai
paling banyak akar, kecuali
,
= 0, yakni
,
berupa polinomial nol. Dari sini diperoleh
0 =
,
− �
,
= �
,
, atau
,
bersifat tunggal. Dengan demikian Lema 1 terbukti.
Lema 2 Galat Interpolasi pada Selisih Terbagi
Jika
,
adalah polinomial berderajat yang
menginterpolasikan fungsi
pada titik
,
−1
, ,
−
, maka
untuk yang
merupakan titik lain pada interval terbuka ,
berlaku −
,
=
,
−1
, ,
−
, −
−
. 4
=0
Cheney Kincaid 1994
Bukti:
Misalkan titik selain ,
−1
, ,
−
pada interval , di mana terdefinisi.
Misal didefinisikan
,
merupakan polinomial
berderajat + 1
yang menginterpolasikan fungsi
pada titik ,
−1
, ,
−
, , sehingga polinomial
,
dapat dibentuk dari persamaan 2, yaitu
,
=
+ ,
−1
, ,
−
−
− −1
=0 =1
+ ,
−1
, ,
−
, −
− −1
=0
−
−
=
,
+ ,
−1
, ,
−
, −
− =0
. 5
Karena
,
merupakan polinomial
berderajat
+ 1
yang menginterpolasikan fungsi
pada titik ,
−1
, ,
−
, , maka menurut Teorema 4 berlaku
=
,
; = ,
− 1, , − , ,
7
dan =
,
. Oleh karena itu, dari persamaan 5 diperoleh
=
,
+ ,
−1
, ,
−
, −
−
.
=1
Untuk
= , maka Lema 2 terbukti.
Lema 3 Galat Interpolasi Jika adalah polinomial berderajat
yang menginterpolasikan fungsi pada
+ 1 titik berlainan, misal
,
−1
, ,
−
dan
+1
kontinu, maka ∀ ∈ , , terdapat bilangan
�
=
�
∈ ,
, yang mengakibatkan
−
,
=
+1
� + 1
−
− =0
. 7
Cheney Kincaid 1994 Bukti:
Definisikan untuk ≠
−
, = 0,1, ,
= −
− =0
; =
−
,
; � = −
,
− ,
terdefinisi karena ≠ 0 karena ≠
−
. Fungsi � memunyai + 2 pembuat nol,
yaitu ,
−1
, ,
−
, dan , karena
� = �
−1
= =
�
−
= � = 0.
Fungsi � terdiri dari fungsi-fungsi yang
kontinu pada [ , ] dan memunyai turunan
ke- + 1.
Karena ada + 2 pembuat nol, maka
terdapat + 1 interval yang nilai
� di titik- titik ujungnya sama dengan nol, maka
menurut Teorema 1 pada setiap interval terdapat
, = 1,2,
… , + 1 sehingga �
′
= 0. Dengan alasan yang sama, maka
�
′′
memunyai pembuat nol, �
′′′
memunyai − 1 pembuat nol, dan seterusnya.
Akhirnya, dapat
dikatakan �
+1
memunyai paling sedikit 1 pembuat nol. Misalkan
=
�
merupakan pembuat nol �
+1
, maka diperoleh �
+1
�
= 0
=
+1
� −
, +1
� −
+1
� . 6 Pada persamaan di atas,
, +1
� = 0 karena
,
merupakan polinomial
berderajat . Berdasarkan sifat akar
polinomial, polinomial berderajat , jika
diturunkan sebanyak + 1 maka hasilnya
nol. Perhatikan juga bahwa
� =
� −
− =0
= �
+1
+ � berderajat + 1
′
� = + 1 � +
� berderajat
2
� = + 1 �
−1
+ � berderajat
− 1
+1
� = + 1 − 1 2 1 =
+ 1 .
Akhirnya dari persamaan 6 diperoleh
+1
� − + 1 = 0
+1
� − + 1
−
,
= 0 + 1
−
,
=
+1
� −
,
=
+1
� + 1
−
− =0
. 7
Dengan demikian Lema 3 terbukti. Lema 4 Hubungan Selisih Terbagi dan
Turunan
Jika
+1
kontinu pada
, dan
,
−1
, ,
−
, adalah + 2 titik pada
, , maka ada
� pada , , yang mengakibatkan
,
−1
, ,
−
, =
1 + 1
+1
� . Cheney Kincaid 1994
Bukti:
Misalkan
,
adalah polinomial berderajat yang menginterpolasikan fungsi pada
titik ,
−1
, ,
−
. Dari Lema 2 diketahui untuk yang
merupakan titik lain pada interval terbuka , , berlaku
−
,
= ,
−1
, ,
−
, −
−
.
=0
Dari Lema 3 diketahui ∀ ∈ , , terdapat
bilangan �
di mana �
∈ , , yang
mengakibatkan −
,
=
+1
�
+ 1 −
− =0
. Dari persamaan di atas diperoleh
8
,
−1
, ,
−
, −
− =0
=
+1
� + 1 −
− =0
; ,
−1
, ,
−
, =
+1
� + 1
.
Dengan demikian Lema 4 terbukti.
2.3 Barisan dan Kekonvergenan Definisi 11 Barisan Konvergen
Misalkan
=0 ∞
adalah barisan bilangan real. Barisan
=0 ∞
konvergen ke , jika barisan tersebut memunyai limit .
Goldberg 1976
Definisi 12 Barisan Terbatas Misalkan
=
=0 ∞
adalah barisan bilangan real. Barisan
=0 ∞
terbatas di atas, jika wilayah
terbatas di atas dan terbatas di bawah, jika wilayah terbatas di bawah. Jika
wilayah terbatas, maka barisan
=0 ∞
barisan terbatas. Barisan
=0 ∞
terbatas jika dan hanya jika terdapat
0, sehingga ,
∀ ∈ . Goldberg 1976
Teorema 5 Hubungan Barisan Konvergen dengan Barisan Terbatas
Jika barisan bilangan real
=0 ∞
konvergen, maka
=0 ∞
terbatas. Goldberg 1976
Bukti:
Misalkan
=0 ∞
adalah barisan
konvergen dan lim
→∞
= . Untuk = 1, terdapat
∈ , sehingga − 1,
∀ .
− − sifat nilai mutlak + 1, ∀
. Misalkan
= max
1
,
2
, , , + 1 ,
maka , ∀ ∈ .
Jadi
=0 ∞
terbatas.
Dengan demikian Teorema 5 terbukti.
Definisi 13 Barisan Monoton Misalkan
=1 ∞
adalah barisan bilangan real, barisan
=1 ∞
tak turun, jika
+1
, ∀ ∈
dan tak naik, jika
+1
, ∀ ∈ .
Barisan
=1 ∞
barisan monoton, jika barisan
=1 ∞
tak turun atau tak naik. Goldberg 1976
Teorema 6 Hubungan Barisan Tak Naik dan Terbatas dengan Kekonvergenan
Misalkan �
=0 ∞
adalah barisan bilangan real. Jika
�
=0 ∞
barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka barisan
�
=0 ∞
konvergen. Goldberg 1976
Bukti:
Misalkan �
=0 ∞
adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah.
Misalkan � = � ,
�
1
, … terbatas di bawah
dan = inf
�. Akan dibuktikan bahwa � → , bila
→ ∞, yaitu ∀ 0, ∃ ∈ , sehingga
� − , ∀
. Misalkan diberikan 0, maka +
bukan batas bawah dari �. Jadi terdapat
∈ , sehingga �
+ Karena
�
=0 ∞
adalah barisan tak naik, maka dari persamaan di atas diperoleh
� �
+ , ∀
8 Karena adalah batas bawah terbesar dari
�, maka � ,
∀ ∈ 9 Dari persamaan 8 dan 9 diperoleh
� + ,
∀ ;
� − , ∀
. Jadi,
lim
→∞
� =
atau �
=0 ∞
konvergen ke .
Dengan demikian Teorema 6 terbukti. Teorema 7 Hubungan Barisan Tak Turun
dan Terbatas dengan Kekonvergenan Misalkan
=1 ∞
adalah barisan bilangan real. Jika
=1 ∞
barisan tak turun dan terbatas di atas, maka barisan
=1 ∞
konvergen. Goldberg 1976
Bukti:
Misalkan
=1 ∞
adalah barisan tak turun dan terbatas di atas.
Misalkan � =
1
,
2
, … terbatas di atas
dan = sup
�. Akan dibuktikan bahwa
→ , bila → ∞, yaitu ∀ 0, ∃
∈ , sehingga − ,
∀ .
Misalkan diberikan 0, maka − bukan batas atas dari
�. Jadi terdapat ∈ , sehingga
−
9
Karena
=1 ∞
adalah barisan tak turun, maka dari persamaan di atas diperoleh
− , ∀
10 Karena adalah batas atas terkecil dari �,
maka ,
∀ ∈ 11 Dari persamaan 10 dan 11 diperoleh
− ,
∀ ;
− , ∀
. Jadi,
lim
→∞
= atau
=1 ∞
konvergen ke .
Dengan demikian Teorema 7 terbukti. Teorema 8 Hubungan Kekontinuan dan
Kekonvergenan Barisan Misalkan
=0 ∞
adalah barisan bilangan real. Jika fungsi kontinu di dan
=0 ∞
adalah barisan yang konvergen ke
, maka
=0 ∞
konvergen ke .
Goldberg 1976
Bukti:
Diberikan 0 sebarang. Karena fungsi kontinu, maka ∃ 0
sehingga −
− . Karena lim
→∞
= , maka − , ∀
. Dari dua pernyataan di atas, diperoleh
− − .
Dengan demikian Teorema 8 terbukti. Definisi 14 Barisan Bagian
Misalkan =
adalah barisan bilangan real, dan
1 2
adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real
yang diberikan oleh
1
,
2
, ,
, disebut barisan bagian dari
. Goldberg 1976
Teorema 9 Hubungan Kekonvergenan Barisan dan Barisan Bagian
Jika barisan
=0 ∞
konvergen ke , maka
setiap barisan bagian dari
=0 ∞
juga konvergen ke
. Goldberg 1976
Bukti:
Misalkan
=0 ∞
adalah barisan bagian dari
=0 ∞
. Diberikan 0 sebarang.
Karena ⟶ , maka terdapat
∈ , sehingga
− , ∀
. Pilih indeks terkecil sehingga
, maka dari persamaan di atas diperoleh
− , ∀
. Jadi, barisan
=0 ∞
konvergen ke .
Dengan demikian Teorema 9 terbukti. Teorema 10 Hubungan Perkalian Barisan
yang Konvergen dan Terbatas Misalkan
=0 ∞
dan
=0 ∞
adalah barisan bilangan real. Jika barisan
lim
→∞
= 0, dan barisan
=0 ∞
terbatas , maka
lim
→∞
= 0. Goldberg 1976
Bukti:
Diberikan 0 sebarang. Karena
=0 ∞
terbatas, maka terdapat 0 sehingga
, ∀ ∈ .
Karena
=0 ∞
konvergen, maka terdapat ∃
∈ sehingga − 0
, ∀
. Akibatnya
− 0 = =
= , ∀
. Dari sini terbukti bahwa lim
→∞
= 0. Dengan demikian Teorema 10 terbukti.
Definisi 15 � . dan � .
Simbol . dan . merupakan cara yang
digunakan untuk membandingkan besarnya dua buah barisan, misalkan
= dan =
merupakan barisan bilangan real. Notasi =
atau = , dengan → ∞, menyatakan bahwa
terbatas, atau
∃ 0 sehingga .
Notasi = atau = , dengan
→ ∞, menyatakan bahwa
lim
→∞
= 0.
Hal ini berarti → 0 lebih cepat dari
→ 0. Bartle 1964
2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial Lema 5 Sifat Akar Polinomial