Akar Persamaan Tak Linear

xi I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam bidang matematika, teknik dan beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akar- akar persamaan. Terutama akar dari persamaan tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Persamaan tersebut lebih efektif diselesaikan dengan metode iteratif Sahid 2005. Metode iteratif yang banyak digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga metode lain yaitu generalisasi metode Tali Busur. Secara umum semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup atau metode pengurung bracketing method adalah metode pencarian akar yang akar-akarnya berada dalam interval , , dalam interval ini dipastikan berisi minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen menuju ke akar, sehingga metode ini selalu menemukan akar. Contoh metode ini adalah metode Bagi Dua dan metode Regular Falsi Munir 2003. Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin saja mendekati akar sebenarnya konvergen atau mungkin juga menjauhinya divergen. Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur Munir 2003. Untuk selanjutnya pembahasan pada karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka, yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson merupakan metode pencarian akar yang paling cepat konvergen di antara metode-metode pencarian akar yang lain, namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya. Sedangkan metode Tali Busur adalah metode pencarian akar yang memiliki kekonvergenan yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja Sahid 2005. Pada karya ilmiah ini akan dibahas generalisasi dari metode Tali Busur, di mana metode ini merupakan metode pencarian akar yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan kekonvergenannya relatif cepat. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Menentukan akar persamaan dengan generalisasi metode Tali Busur dan menganalisis kekonvergenan barisan hampiran akar yang diperoleh Sidi 2007. 2. Membandingkan kecepatan dalam memperoleh akar dengan menggunakan generalisasi metode Tali Busur dengan metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada aplikasi numeriknya. II LANDASAN TEORI

2.1 Akar Persamaan Tak Linear

Misalkan adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan pada domain yang memenuhi = 0 disebut akar persamaan = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi . Secara singkat, sering disebut akar . Definisi 1 Derajat Akar Misalkan dan merupakan fungsi kontinu dengan ≠ 0, sedemikian sehingga dapat dinyatakan sebagai = − , maka disebut akar berderajat . Dari persamaan di atas terlihat bahwa jika pembuat nol fungsi berderajat , maka = 0, ′ = 0, , −1 = 0, ≠ 0. Jika = 1, maka disebut akar sederhana. Jika 1, maka disebut akar ganda. Jika = 2, maka disebut akar dobel, dan seterusnya. Sahid 2005 2 Definisi 2 Galat Hampiran Misalkan adalah suatu nilai hampiran yang diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk nilai eksak nilai sebenarnya yang tidak diketahui. Nilai � = − disebut selisih atau galat, � disebut galat mutlak. Atkinson Han 2003 Definisi 3 Derajat Kekonvergenan Misalkan , 1 , 2 , merupakan barisan yang konvergen ke dan misalkan � = − menyatakan persamaan galat hampiran ke- , yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan = 0, 1, 2, . Jika terdapat sebuah bilangan dan konstanta � ≠ 0 yang mengakibatkan lim →∞ � +1 � = �, maka disebut derajat kekonvergenan barisan tersebut dan � disebut konstanta galat asimptotik. Untuk = 1 disebut kekonvergenan linear. Untuk = 2 disebut kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya. Atkinson Han 2003 Definisi 4 Metode Iteratif Metode iteratif adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari solusi suatu persamaan tak linear yang dimulai dengan memilih nilai awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran ke- yang menuju tak hingga, tetapi setiap langkahnya tetap konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu. Atkinson Han 2003 Definisi 5 Metode Terbuka Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar yang diperoleh mungkin mendekati akar konvergen, atau mungkin juga menjauhinya divergen. Munir 2003 Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar yang hampiran akarnya diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- , dengan nilai awal diberikan. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke- + 1 adalah +1 = − ′ ; = 0, 1,2, . 1 Atkinson Han 2003 Metode Tali Busur Metode Tali Busur secant method adalah metode pencarian akar yang merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran akar yang dicari diperoleh dengan mencari titik potong garis singgung kurva di titik , dengan sumbu- . Kemudian dimodifikasi pada metode Tali Busur di mana hampiran akarnya diperoleh dengan menggunakan tali busur yang melalui titik −1 , −1 dan , sebagai hampiran dan mencari titik potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson yang menggunakan turunan dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran ke- + 1 adalah +1 = − , −1 ; = 1,2, . Atkinson Han 2003 Definisi 6 Deret Taylor Misalkan fungsi memunyai turunan ke + 1 yang kontinu pada interval [ , ]. Misalkan juga untuk setiap ∈ [ , ]. Deret − =0 disebut deret Taylor fungsi di sekitar , dan dapat dituliskan = − =0 . Dengan memisalkan = + , diperoleh + = =0 . Cheney Kincaid 1994 3 Definisi 7 +1 adalah himpunan semua fungsi yang memiliki turunan ke- + 1 kontinu pada , di mana adalah interval terbuka. Burden Faires 1993 Teorema 1 Teorema Rolle Misalkan adalah fungsi yang kontinu pada [ , ] dan fungsi terturunkan pada , . Jika = = 0, maka terdapat sebuah bilangan ∈ , , sehingga ′ = 0. Burden Faires 1993 Bukti: Terdapat tiga kasus, yaitu Kasus 1: = , dengan konstan. Dari sini diperoleh ′ = 0, sehingga bilangan dapat diambil sembarang bilangan dalam interval , . Kasus 2: , untuk suatu pada , . Karena fungsi kontinu pada , , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim memunyai nilai maksimum pada suatu titik dalam interval [ , ]. Karena = , harus mencapai maksimum pada ∈ , , maka memunyai maksimum lokal pada dan karena terturunkan pada , maka ′ = 0. Kasus 3: untuk suatu dalam interval terbuka , . Karena fungsi kontinu pada , , maka menurut Teorema Nilai Ekstrim memunyai nilai minimum pada suatu titik dalam interval [ , ]. Karena = , harus mencapai minimum pada ∈ , , maka memunyai minimum lokal pada dan karena terturunkan pada , maka ′ = 0. Dengan demikian Teorema 1 terbukti. 2.2 Interpolasi Definisi 8 Interpolasi Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya melewati sekumpulan titik yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil eksperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi yang paling banyak dipakai adalah fungsi polinomial. Atkinson Han 2003 Definisi 9 Interpolasi Polinomial Linear Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal diberikan dua buah titik 1 , 1 dan 2 , 2 , maka polinomial yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk 1 = 1 + 2 − 1 2 − 1 − 1 . Cheney Kincaid 1994 Definisi 10 Selisih Terbagi Selisih terbagi divided difference atau kadang disebut daftar selisih adalah metode untuk mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit suatu interpolasi polinomial Newton dari data yang tertabulasi dan ditulis sebagai , 1 , , . Selisih terbagi dari fungsi = untuk = 1,2,3, … , didefinisikan sebagai berikut 1. Selisih terbagi ke-nol terhadap adalah = . 2. Selisih terbagi pertama terhadap dan +1 adalah , +1 = +1 − +1 − . 3. Selisih terbagi kedua terhadap , +1 dan +2 adalah , +1 , +2 = +2 , +1 − +1 , +2 − . 4. . 5. Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif sebagai berikut , +1 , … , + −1 , + = + , + −1 , , +1 − + −1 , , +1 , + − ; ≠ + . Cheney Kincaid 1994 Teorema 2 Sifat Simetris Selisih Terbagi Misalkan 1 , 2 , , +1 menyatakan permutasi dari indeks 1,2, … , + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku 1 , 2 , , +1 = +1 , , 2 , 1 . Atkinson Han 2003 Bukti: dengan induksi pada + 1 1. Basis induksi 4 Untuk = 1, maka berlaku 1 , 2 = 2 − 1 2 − 1 = 2 − 1 2 − 1 = − 2 − 1 − 2 − 1 = 1 − 2 1 − 2 = 1 − 2 1 − 2 = 2 , 1 . 2. Hipotesis induksi Anggap benar, untuk 1 , 2 , , sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 1 , 2 , , = , 2 , 1 . 3. Langkah induksi Akan dibuktikan: untuk 1 , 2 , , +1 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , + 1 berlaku 1 , 2 , , +1 = +1 , 2 , 1 . Bukti: 1 , 2 , , +1 = +1 , , , 2 − , , 1 +1 − 1 = 2 , , +1 − 1 , , −1 , +1 − 1 = − 1 , , −1 , − 2 , , +1 − 1 − +1 = 1 , , −1 , − 2 , , +1 1 − +1 = +1 , , , 1 . Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka Teorema 2 terbukti. Teorema 3 Hubungan Selisih Terbagi dengan Turunan untuk Simpul Sama Jika didefinisikan 1 , 1 = lim 2 → 1 1 , 2 dan limitnya ada, maka berlaku 1 , 1 = ′ 1 . Atkinson Han 2003 Bukti: Karena diketahui 1 , 1 = lim 2 → 1 1 , 2 = lim 2 → 1 2 − 1 2 − 1 karena Definisi 10 = ′ 1 . menurut Definisi turunan Dengan demikian Teorema 3 terbukti. Teorema 4 Interpolasi Polinomial Newton Misalkan fungsi terdefinisi pada interval terbuka , dan misalkan , −1 , , − adalah + 1 bilangan yang berlainan pada interval terbuka , maka terdapat sebuah polinomial tunggal , berderajat paling tinggi yang memenuhi = , ; untuk = , − 1, … , − . Interpolasi polinomial Newton ini adalah , = + , −1 , , − − − −1 =0 . 2 =1 Sahid 2005 Bukti: Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat perlu menghitung nilai-nilai polinomial berderajat 1,2, … , . Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai , = 1 + 2 − + 3 − − −1 + + − − −1 … − − +2 + +1 − − −1 … − − +1 , dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien 1 , 2 , 3 , , . Di sini berlaku , = untuk = , − 1, … , − . Jika = disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh ,0 = 1 = . Jika = −1 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh ,1 −1 = −1 = + 2 −1 − 5 atau 2 = −1 − −1 − = −1 − −1 − = , −1 . Jika = −2 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh −2 = ,2 −2 = + −1 − −1 − −2 − + 3 −2 − −2 − −1 atau 3 = −2 − − −1 − −1 − −2 − −2 − −2 − −1 = −2 − −2 − − −1 − −1 − −2 − −1 . Untuk memermudah perhitungan bentuk 3 dapat diubah menjadi 3 = −2 − −1 −2 − −1 − −1 − −1 − −2 − = −1 , −2 − , −1 −2 − menurut Definisi 10 = −2 , −1 − −1 , −2 − karena Teorema 2 = , −1 , −2 menurut Definisi 10 dan seterusnya. Jika = − disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh − = , − = + −1 − −1 − − − + −2 − −1 −2 − −1 − −1 − −1 − −2 − − − − − −1 + + − − − − −1 … − − − +2 + +1 − − − − −1 … − − − +1 , dengan +1 = − − − −1 − −1 − − − − 3 − − − − −1 − − − − − − −1 … − − − +2 − − − − −1 … − − − +1 . Jika diuraikan akan diperoleh bentuk +1 = , −1 , −2 , … , − . Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang 1 , 2 , 3 dan seterusnya sampai +1 . Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi . Berdasarkan Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi , = + , −1 − + , −1 , −2 − − −1 + + , −1 , −2 , … , − − − −1 … − − +1 , atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut ,0 = ,1 = + , −1 − ,2 = + , −1 − + , −1 , −2 − − −1 6 , = + , −1 − + , −1 , −2 − − −1 + + , −1 , −2 , … , − − − −1 … − − +1 . Sehingga dapat dituliskan , = + , −1 , , − − − . 2 −1 =0 =1 Dengan demikian Teorema 4 terbukti. Akibat Hampiran Newton Misalkan , adalah interpolasi polinomial Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan digunakan untuk menginterpolasikan fungsi , yaitu = , ; = , − 1, , − . Karena ≠ , , maka ada galat di antara keduanya, misalkan , yang akan memenuhi persamaan berikut = , + , . 3 Sahid 2005 Lema 1 Polinomial Bersifat Tunggal Misal diberikan himpunan titik-titik yang memunyai absis berlainan yaitu , , −1 , −1 , , − , − , maka terdapat tepat sebuah polinomial berderajat paling tinggi yang melalui + 1 titik tersebut. Cheney Kincaid 1994 Bukti: Misalkan , adalah polinomial berderajat dan memenuhi , = ; untuk = , − 1, , − . Untuk menunjukkan bahwa , tunggal, misalkan terdapat polinomial lain, � , berderajat paling tinggi dan memenuhi � , = ; untuk = , − 1, , − . Sekarang definisikan , = , − � , . Karena , dan � , keduanya berderajat , maka , berderajat . Selanjutnya berlaku , = , − � , = − = 0 ; untuk = , − 1, , − . Ini menunjukkan bahwa , memunyai + 1 akar berlainan, yakni , −1 , , − , padahal , berderajat . Hal ini tidak mungkin, karena berdasarkan sifat akar polinomial, polinomial berderajat hanya memunyai paling banyak akar, kecuali , = 0, yakni , berupa polinomial nol. Dari sini diperoleh 0 = , − � , = � , , atau , bersifat tunggal. Dengan demikian Lema 1 terbukti. Lema 2 Galat Interpolasi pada Selisih Terbagi Jika , adalah polinomial berderajat yang menginterpolasikan fungsi pada titik , −1 , , − , maka untuk yang merupakan titik lain pada interval terbuka , berlaku − , = , −1 , , − , − − . 4 =0 Cheney Kincaid 1994 Bukti: Misalkan titik selain , −1 , , − pada interval , di mana terdefinisi. Misal didefinisikan , merupakan polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasikan fungsi pada titik , −1 , , − , , sehingga polinomial , dapat dibentuk dari persamaan 2, yaitu , = + , −1 , , − − − −1 =0 =1 + , −1 , , − , − − −1 =0 − − = , + , −1 , , − , − − =0 . 5 Karena , merupakan polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasikan fungsi pada titik , −1 , , − , , maka menurut Teorema 4 berlaku = , ; = , − 1, , − , , 7 dan = , . Oleh karena itu, dari persamaan 5 diperoleh = , + , −1 , , − , − − . =1 Untuk = , maka Lema 2 terbukti. Lema 3 Galat Interpolasi Jika adalah polinomial berderajat yang menginterpolasikan fungsi pada + 1 titik berlainan, misal , −1 , , − dan +1 kontinu, maka ∀ ∈ , , terdapat bilangan � = � ∈ , , yang mengakibatkan − , = +1 � + 1 − − =0 . 7 Cheney Kincaid 1994 Bukti: Definisikan untuk ≠ − , = 0,1, , = − − =0 ; = − , ; � = − , − , terdefinisi karena ≠ 0 karena ≠ − . Fungsi � memunyai + 2 pembuat nol, yaitu , −1 , , − , dan , karena � = � −1 = = � − = � = 0. Fungsi � terdiri dari fungsi-fungsi yang kontinu pada [ , ] dan memunyai turunan ke- + 1. Karena ada + 2 pembuat nol, maka terdapat + 1 interval yang nilai � di titik- titik ujungnya sama dengan nol, maka menurut Teorema 1 pada setiap interval terdapat , = 1,2, … , + 1 sehingga � ′ = 0. Dengan alasan yang sama, maka � ′′ memunyai pembuat nol, � ′′′ memunyai − 1 pembuat nol, dan seterusnya. Akhirnya, dapat dikatakan � +1 memunyai paling sedikit 1 pembuat nol. Misalkan = � merupakan pembuat nol � +1 , maka diperoleh � +1 � = 0 = +1 � − , +1 � − +1 � . 6 Pada persamaan di atas, , +1 � = 0 karena , merupakan polinomial berderajat . Berdasarkan sifat akar polinomial, polinomial berderajat , jika diturunkan sebanyak + 1 maka hasilnya nol. Perhatikan juga bahwa � = � − − =0 = � +1 + � berderajat + 1 ′ � = + 1 � + � berderajat 2 � = + 1 � −1 + � berderajat − 1 +1 � = + 1 − 1 2 1 = + 1 . Akhirnya dari persamaan 6 diperoleh +1 � − + 1 = 0 +1 � − + 1 − , = 0 + 1 − , = +1 � − , = +1 � + 1 − − =0 . 7 Dengan demikian Lema 3 terbukti. Lema 4 Hubungan Selisih Terbagi dan Turunan Jika +1 kontinu pada , dan , −1 , , − , adalah + 2 titik pada , , maka ada � pada , , yang mengakibatkan , −1 , , − , = 1 + 1 +1 � . Cheney Kincaid 1994 Bukti: Misalkan , adalah polinomial berderajat yang menginterpolasikan fungsi pada titik , −1 , , − . Dari Lema 2 diketahui untuk yang merupakan titik lain pada interval terbuka , , berlaku − , = , −1 , , − , − − . =0 Dari Lema 3 diketahui ∀ ∈ , , terdapat bilangan � di mana � ∈ , , yang mengakibatkan − , = +1 � + 1 − − =0 . Dari persamaan di atas diperoleh 8 , −1 , , − , − − =0 = +1 � + 1 − − =0 ; , −1 , , − , = +1 � + 1 . Dengan demikian Lema 4 terbukti. 2.3 Barisan dan Kekonvergenan Definisi 11 Barisan Konvergen Misalkan =0 ∞ adalah barisan bilangan real. Barisan =0 ∞ konvergen ke , jika barisan tersebut memunyai limit . Goldberg 1976 Definisi 12 Barisan Terbatas Misalkan = =0 ∞ adalah barisan bilangan real. Barisan =0 ∞ terbatas di atas, jika wilayah terbatas di atas dan terbatas di bawah, jika wilayah terbatas di bawah. Jika wilayah terbatas, maka barisan =0 ∞ barisan terbatas. Barisan =0 ∞ terbatas jika dan hanya jika terdapat 0, sehingga , ∀ ∈ . Goldberg 1976 Teorema 5 Hubungan Barisan Konvergen dengan Barisan Terbatas Jika barisan bilangan real =0 ∞ konvergen, maka =0 ∞ terbatas. Goldberg 1976 Bukti: Misalkan =0 ∞ adalah barisan konvergen dan lim →∞ = . Untuk = 1, terdapat ∈ , sehingga − 1, ∀ . − − sifat nilai mutlak + 1, ∀ . Misalkan = max 1 , 2 , , , + 1 , maka , ∀ ∈ . Jadi =0 ∞ terbatas. Dengan demikian Teorema 5 terbukti. Definisi 13 Barisan Monoton Misalkan =1 ∞ adalah barisan bilangan real, barisan =1 ∞ tak turun, jika +1 , ∀ ∈ dan tak naik, jika +1 , ∀ ∈ . Barisan =1 ∞ barisan monoton, jika barisan =1 ∞ tak turun atau tak naik. Goldberg 1976 Teorema 6 Hubungan Barisan Tak Naik dan Terbatas dengan Kekonvergenan Misalkan � =0 ∞ adalah barisan bilangan real. Jika � =0 ∞ barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka barisan � =0 ∞ konvergen. Goldberg 1976 Bukti: Misalkan � =0 ∞ adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah. Misalkan � = � , � 1 , … terbatas di bawah dan = inf �. Akan dibuktikan bahwa � → , bila → ∞, yaitu ∀ 0, ∃ ∈ , sehingga � − , ∀ . Misalkan diberikan 0, maka + bukan batas bawah dari �. Jadi terdapat ∈ , sehingga � + Karena � =0 ∞ adalah barisan tak naik, maka dari persamaan di atas diperoleh � � + , ∀ 8 Karena adalah batas bawah terbesar dari �, maka � , ∀ ∈ 9 Dari persamaan 8 dan 9 diperoleh � + , ∀ ; � − , ∀ . Jadi, lim →∞ � = atau � =0 ∞ konvergen ke . Dengan demikian Teorema 6 terbukti. Teorema 7 Hubungan Barisan Tak Turun dan Terbatas dengan Kekonvergenan Misalkan =1 ∞ adalah barisan bilangan real. Jika =1 ∞ barisan tak turun dan terbatas di atas, maka barisan =1 ∞ konvergen. Goldberg 1976 Bukti: Misalkan =1 ∞ adalah barisan tak turun dan terbatas di atas. Misalkan � = 1 , 2 , … terbatas di atas dan = sup �. Akan dibuktikan bahwa → , bila → ∞, yaitu ∀ 0, ∃ ∈ , sehingga − , ∀ . Misalkan diberikan 0, maka − bukan batas atas dari �. Jadi terdapat ∈ , sehingga − 9 Karena =1 ∞ adalah barisan tak turun, maka dari persamaan di atas diperoleh − , ∀ 10 Karena adalah batas atas terkecil dari �, maka , ∀ ∈ 11 Dari persamaan 10 dan 11 diperoleh − , ∀ ; − , ∀ . Jadi, lim →∞ = atau =1 ∞ konvergen ke . Dengan demikian Teorema 7 terbukti. Teorema 8 Hubungan Kekontinuan dan Kekonvergenan Barisan Misalkan =0 ∞ adalah barisan bilangan real. Jika fungsi kontinu di dan =0 ∞ adalah barisan yang konvergen ke , maka =0 ∞ konvergen ke . Goldberg 1976 Bukti: Diberikan 0 sebarang. Karena fungsi kontinu, maka ∃ 0 sehingga − − . Karena lim →∞ = , maka − , ∀ . Dari dua pernyataan di atas, diperoleh − − . Dengan demikian Teorema 8 terbukti. Definisi 14 Barisan Bagian Misalkan = adalah barisan bilangan real, dan 1 2 adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real yang diberikan oleh 1 , 2 , , , disebut barisan bagian dari . Goldberg 1976 Teorema 9 Hubungan Kekonvergenan Barisan dan Barisan Bagian Jika barisan =0 ∞ konvergen ke , maka setiap barisan bagian dari =0 ∞ juga konvergen ke . Goldberg 1976 Bukti: Misalkan =0 ∞ adalah barisan bagian dari =0 ∞ . Diberikan 0 sebarang. Karena ⟶ , maka terdapat ∈ , sehingga − , ∀ . Pilih indeks terkecil sehingga , maka dari persamaan di atas diperoleh − , ∀ . Jadi, barisan =0 ∞ konvergen ke . Dengan demikian Teorema 9 terbukti. Teorema 10 Hubungan Perkalian Barisan yang Konvergen dan Terbatas Misalkan =0 ∞ dan =0 ∞ adalah barisan bilangan real. Jika barisan lim →∞ = 0, dan barisan =0 ∞ terbatas , maka lim →∞ = 0. Goldberg 1976 Bukti: Diberikan 0 sebarang. Karena =0 ∞ terbatas, maka terdapat 0 sehingga , ∀ ∈ . Karena =0 ∞ konvergen, maka terdapat ∃ ∈ sehingga − 0 , ∀ . Akibatnya − 0 = = = , ∀ . Dari sini terbukti bahwa lim →∞ = 0. Dengan demikian Teorema 10 terbukti. Definisi 15 � . dan � . Simbol . dan . merupakan cara yang digunakan untuk membandingkan besarnya dua buah barisan, misalkan = dan = merupakan barisan bilangan real. Notasi = atau = , dengan → ∞, menyatakan bahwa terbatas, atau ∃ 0 sehingga . Notasi = atau = , dengan → ∞, menyatakan bahwa lim →∞ = 0. Hal ini berarti → 0 lebih cepat dari → 0. Bartle 1964

2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial Lema 5 Sifat Akar Polinomial