Graf Acak Eksponensial Untuk Jaringan Afiliasi

GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK
JARINGAN AFILIASI

TESIS

Oleh
MIDUK TAMPUBOLON
097021006/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK JARINGAN
AFILIASI

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MIDUK TAMPUBOLON
097021006/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK
JARINGAN AFILIASI

Nama Mahasiswa : Miduk Tampubolon
Nomor Pokok
: 097021006
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 16 juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal: 16 juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Dr. Saib Suwilo, MSc
3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Model graf acak eksponensial yang memuat pergantian k-bintang dan pergantian 2-path memberikan hasil yang lebih baik pada kekonvergenan model untuk
jaringan afiliasi yang besar dibandingkan dengan model Markov. Pada jaringan bipartit, perkiraan maksimum likelihood menjadi teknik yang lebih baik dari perkiraan pseudolikelihood untuk graf acak eksponensial. Dalam tesis ini diperkenalkan
pendekatan
menggunakan jarak Mahalanobis yang dinyatakan dengan
q heuristik P
dm = (Z(x) − µ)T −1 (Z(x) − µ), dan menunjukkan bagaimana menyeleksi
model pendekatan yang sesuai untuk digunakan. Nilai t-ratio dan jarak Mahalanobis yang kecil mengindikasikan kesesuaian model graf acak eksponensial.

Kata kunci: Model graf acak eksponensial, jaringan bipartit.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The exponential random graph with alternating k-stars and alternating two-path
gives much better result model convergence in large affiliation networks compared
to Markov model. For bipartite networks, maximum likelihood estimation techniques are better than pseudolikelihood estimation techniques for exponential random graph model. This thesis introduces

a heuristic approach using Mahalanobis
q
P
distance which denoted by dm = (Z(x) − µ)T −1 (Z(x) − µ), and shows how
to select the goodness of fit approach models. The small value of t-ratio and small
Mahalanobis distance indicate goodness of fit for exponential random graph model.

Keyword: Exponential random graph model, bipartite network.

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan
puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkatNya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul : GRAF ACAK EKSPONENSIAL UNTUK JARINGAN AFILIASI. Tesis
ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi
Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya
kepada :

Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika
FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing Kedua yang juga telah
banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama
masa perkuliahan.
Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan
pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

iii
Universitas Sumatera Utara

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa pada Program Studi Magister Matematika

FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan
dorongan kepada penulis dalam penulisan
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada kedua orangtua dan mertua tercinta Maringan
Tampubolon / Betty br Panjaitan dan Bosur Parluhutan Simorangkir
/ Berliana br Hutabarat yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan
kepada penulis, terlebih pada isteri tersayang Desi Dameria br Simorangkir
yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Terakhir, ucapan terimakasih kepada
anak-anak tersayang Eben Tampubolon , Elena Febyola br Tampubolon
dan Elyssa Patricia br Tampubolon yang telah memberikan semangat dan
dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.

Medan,
Penulis,
Miduk Tampubolon

iv

Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP
Miduk Tampubolon dilahirkan di Siborongborong pada tanggal 11 September 1972 dari pasangan Bapak Maringan Tampubolon & Ibu Betty br Panjaitan
dan merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 5 Siborongborong tahun 1985, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Siborongborong tahun 1988, Sekolah Menengah
Atas (SMA) Negeri 1 Siborongborong tahun 1991. Pada tahun 1991 memasuki
Perguruan Tinggi Negeri Universitas Sumatera Utara FMIPA Program Studi Matematika pada Jenjang Strata 1 lulus tahun 1998.
Pada tahun 1991 - 1992, penulis menjadi tentor pada bimbingan belajar
TEKNOS Medan. Kemudian pada tahun 1993 - 1994, penulis menjadi tentor
di bimbingan belajar Medica Medan. Pada tahun 1995 - 1998, penulis menjadi
tentor di bimbingan belajar BIMA Medan. Pada tahun 1998-2000 menjadi tentor
di Visi Plus College Medan. Pada tahun 2001 - 2005 menjadi guru di Perguruan Eka Prasetya Medan. Pada tahun 2004, penulis mengikuti Test CPNS dan
Lulus menjadi Dosen Kopertis Wilayah I dan ditempatkan di Universitas HKBP
NOMMENSEN Medan.
Pada tahun 2009, penulis mendapat beasiswa dari Pemerintah untuk melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara.Pada tahun 2010, bersama rekan-rekan tentor mendirikan KATION
Group Belajar yang beralamat di jalan Terong no. 4A-4B Medan.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
v
vi

ABSTRAK
ABSTRACT
KATA PENGANTAR
RIWAYAT HIDUP
DAFTAR ISI
BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 LANDASAN TEORI

7

3.1 Representasi Jaringan Bipartit

7

3.2 Graf Acak Bernoulli

8

3.3 Asumsi Markov

9

3.4 Asumsi Empat-Cycle

10

3.5 Asumsi Tiga-Path

10

3.6 Model Kluster

11

3.7 Simulasi

13

3.8 Estimasi Maksimum Likelihood Rantai Markov Monte Carlo

14

vi
Universitas Sumatera Utara

BAB 4 PEMBAHASAN

15

4.1 Model Spesifik

15

4.2 Pergantian k-bintang

17

4.2.1 Simulasi dengan Pergantian k-bintang

19

4.3 Pergantian k-2-Path

21

4.3.1 Simulasi dengan Pergantian k-2-path

22

4.4 Kesesuaian Model

24

4.5 Analisa Kesesuaian Model

24

4.5.1 Jaringan Southern Women

25

4.5.2 Hasil Perhitungan Pseudolikelihood dan Maksimum
Likelihood

26

4.5.3 Pemilihan Model

28

4.5.4 Hubungan Antar Direktur

30

4.5.5 Lima Puluh Institusi Finansial Top

31

4.5.6 Hubungan Komponen Terbesar dari 500 Perusahaan
Top (1996)

33

BAB 5 KESIMPULAN

37

DAFTAR PUSTAKA

38

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Model graf acak eksponensial yang memuat pergantian k-bintang dan pergantian 2-path memberikan hasil yang lebih baik pada kekonvergenan model untuk
jaringan afiliasi yang besar dibandingkan dengan model Markov. Pada jaringan bipartit, perkiraan maksimum likelihood menjadi teknik yang lebih baik dari perkiraan pseudolikelihood untuk graf acak eksponensial. Dalam tesis ini diperkenalkan
pendekatan
menggunakan jarak Mahalanobis yang dinyatakan dengan
q heuristik P
dm = (Z(x) − µ)T −1 (Z(x) − µ), dan menunjukkan bagaimana menyeleksi
model pendekatan yang sesuai untuk digunakan. Nilai t-ratio dan jarak Mahalanobis yang kecil mengindikasikan kesesuaian model graf acak eksponensial.

Kata kunci: Model graf acak eksponensial, jaringan bipartit.

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

The exponential random graph with alternating k-stars and alternating two-path
gives much better result model convergence in large affiliation networks compared
to Markov model. For bipartite networks, maximum likelihood estimation techniques are better than pseudolikelihood estimation techniques for exponential random graph model. This thesis introduces
a heuristic approach using Mahalanobis
q
P
distance which denoted by dm = (Z(x) − µ)T −1 (Z(x) − µ), and shows how
to select the goodness of fit approach models. The small value of t-ratio and small
Mahalanobis distance indicate goodness of fit for exponential random graph model.

Keyword: Exponential random graph model, bipartite network.

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Suatu jaringan afiliasi menggambarkan hubungan antara dua atau lebih
himpunan node dimana masing-masing himpunan memiliki keadaan umum yang
berbeda. Misalnya suatu jaringan hubungan direktur: satu himpunan node merupakan himpunan yang menyatakan direktur, dan yang lainnya menyatakan perusahaan. Hubungan yang digambarkan adalah direktur-direktur yang duduk pada
anggota dewan perusahaan. Banyak himpunan dalam jaringan merupakan mode
dari jaringan tersebut. Tesis ini berfokus pada dua mode jaringan yang sering
disebut jaringan bipartit.
Dalam jaringan bipartit analisa data yang mendiskripsikan interaksi antara
dua himpunan node pada dua level yang berbeda dianggap sangat penting, dimana node dari satu level merupakan anggota dari node pada level yang lebih
tinggi. Breiger (1974) telah menggolongkan jenis fenomena umum ini dalam The
duality of person and group, yaitu hubungan timbal balik antara elemen-elemen
dari dua himpunan yang berbeda. Dalam tesis ini dua himpunan yang berbeda dinyatakan oleh orang dan perkumpulan dengan hubungan seseorang adalah
anggota dari suatu perkumpulan.
Beberapa teknik telah dibuat untuk menganalisa jaringan bipartit, beberapa model statistika oleh Robin dan Alexander (2004), dan Latapy et al. (2008)
menyelidiki beberapa bentuk dan statistika graf kemudian membandingkan antara
data asli dan jaringan bipartit acak dengan kondisi yang sebenarnya. Model graf
acak eksponensial memuat statistika jaringan yang diperoleh dari asumsi-asumsi
bersyarat tentang hubungan di antara kelompok jaringan dan memberikan test
hipotesa tentang bagaimana proses hubungan kelompok jaringan dasar mempengaruhi keseluruhan jaringan. Model graf acak eksponensial untuk jaringan bipartit telah diperkenalkan oleh Skvoretz dan Faust (1999), kemudian dilanjutkan
1
Universitas Sumatera Utara

2
oleh Agneessens et al. (2004). Pattison dan Robin (2004) memperkenalkan model
graf acak eksponensial untuk jaringan afiliasi. Tetapi dalam semua studi di atas
teknik yang digunakan sangat sulit.
Snijders (2002) memperkenalkan metode untuk pendekatan prakiraan maksimum dari model graf acak eksponensial atas simulasi Monte Carlo, tetapi ternyata beberapa model spesifik tak berhubungan dimana tidak ada sebuah parameter
yang menghasilkan distribusi graf yang sesuai untuk menggambarkan data yang
sebenarnya, dengan demikian model spesifik menjadi masalah penting. Snijders et
al. (2006) memperkenalkan sebuah himpunan model spesifik baru yang menambah kemungkinan pencapaian hasil dari gabungan model untuk data jaringan satu
mode.
Asumsi-asumsi bersyarat baru untuk jaringan satu mode diperkenalkan oleh
Snijders et al. (2006) dapat digunakan pada jaringan bipartit, tetapi untuk graf
bipartit asumsi tersebut memerlukan perubahan bentuk parameter, dimana hasil
dari beberapa parameter tidak dapat dipakai dalam model jaringan satu mode.
Selanjutnya selain asumsi bersyarat ditambahkan parameter untuk kelompok bipartit dan susunannya, yang tidak dapat dipasangkan dalam kasus satu mode.
Pengerjaan dalam model statistika dari jaringan masih belum cukup, beberapa perubahan spesifik yang sesuai untuk jaringan satu mode harus juga dikerjakan untuk tipe data bipartit. Dalam tesis ini diperlihatkan ketika asumsi Snijders
et al. (2006) dan asumsi bersyarat tiga-path dilanjutkan pada kasus bipartit, model yang ditambahkan memberikan hasil yang lebih baik terhadap variasi jaringan
bipartit. Selanjutnya sama seperti pada jaringan satu mode, perkiraan maksimum
likelihood untuk model bipartit dapat menunjukkan kesimpulan yang berbeda
dibandingkan dengan pseudolikelihood, dan model spesifik baru kadang-kadang
diperlukan untuk tujuan penyatuan model.
Secara umum untuk model graf acak eksponensial belum dapat dipastikan
bagaimana menentukan model terbaik dari himpunan model yang sudah ada.
Dalam tesis ini diperkenalkan pendekatan heuristik menggunakan jarak Mahala-

Universitas Sumatera Utara

3
nobis yang dinyatakan dengan dm =

q
P−1
(Z(x) − µ)T
(Z(x) − µ), dan menun-

jukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang sesuai untuk digunakan.
1.2 Perumusan Masalah

Model graf acak eksponensial telah banyak diperkenalkan, tesis ini membahas permasalahan tentang bagaimana membandingkan model graf acak eksponensial yang lebih sesuai untuk jaringan bipartit.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah membandingkan model graf acak
eksponensial untuk jaringan bipartit dengan pendekatan statistika yang lebih
tepat yang diperoleh dari asumsi-asumsi bersyarat tentang hubungan diantara
kelompok jaringan dan memberikan test hipotesa tentang bagaimana proses hubungan kelompok jaringan dasar mempengaruhi keseluruhan jaringan.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat pada masalah yang
berhubungan dengan jaringan bipartit serta memberikan kemudahan untuk menganalisa tentang bagaimana proses hubungan jaringan dasar mempengaruhi jaringan
umum.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur dengan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan secara singkat model graf acak eksponensial.
2. Menjelaskan asumsi bersyarat untuk jaringan dalam graf.

Universitas Sumatera Utara

4
3. Menganalisa model graf acak eksponensial yang sesuai untuk jaringan
bipartit.
4. Memperkenalkan model pendekatan heuristik menggunakan jarak Maha
lanobis dan menunjukkan bagaimana menyeleksi model pendekatan yang
sesuai untuk digunakan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Model graf acak eksponensial diperkenalkan oleh Frank dan Strauss (1986),
Wasserman dan Pattison (1996) adalah suatu bagian model stokastik yang menggunakan struktur jaringan lokal memodelkan bentuk dari hubungan jaringan untuk sebuah jaringan dengan nomor tertentu dari node-node. Sebuah himpunan
jaringan bipartit X(n, m) memuat semua jaringan bipartit (n, m) yang mungkin.
Selanjutnya jaringan dapat direpresentasikan oleh sebuah variabel acak X dimana jaringan tersebut merupakan himpunan hubungan variabel-variabel Xij yang
dapat disimbolkan dengan X = {Xij }.
Dari teorema Hammersley-Clifford (Besag, 1974), model untuk X memiliki
sebuah bentuk yang ditentukan oleh himpunan tersebut dari neighbourhood Q.
Pendekatannya menunjukkan cara menyeleksi model dari model-model graf acak
eksponensial. Model graf acak eksponensial memiliki bentuk umum seperti di
bawah ini:
P (X = x) =

1
k

exp

P

Q θQ ZQ (x)

(2.1)

dimana untuk model homogen himpunan neighbourhood q adalah isomorfis deP
ngan Q, ZQ (x) dinyatakan oleh ZQ (x) = q∈Q(Πxij∈q xij ), θQ adalah parameter
P
P
dan k = x∈X (exp Q θQZQ (x)) adalah konstanta normal yang dibentuk seluruh

ruang graf X(n, m).

Untuk hubungan variabel Xij pada X, Cij menyatakan komplemen dari Xij ,
x+ menyatakan graf dengan xij = 1, dan x menyatakan graf dengan xij = 0 maka
distribusi bersyarat dari hubungan variabel Xij dinyatakan dengan:
logit{P (Xij = 1 | Cij } = log{

=

P (Xij =1|Cij
1−P (Xij =1|Cij

}

(2.2)

P

Q θQ uQ (xij )

5
Universitas Sumatera Utara

6
dimana uQ (xij ) merupakan statistika perubahan dari Q yang diperoleh dengan
mengubah xij dari 1 menjadi 0 yaitu:
uQ(xij ) = ZQ (x+ ) − ZQ (x− )

(2.3)

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
LANDASAN TEORI

3.1 Representasi Jaringan Bipartit
Andaikan P1 , P2 , P3 , ..., Pn menyatakan elemen dari himpunan P , dan A1,
A2 ,A3, ..., Am menyatakan elemen dari himpunan A.

Suatu jaringan bipartit

(n, m) yang mempunyai n node dari P dan m node dari A, dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks persegi panjang (X) berordo nxm dengan nomor
baris dan nomor kolom sama dengan nomor node dari masing-masing himpunan.
Jika node i pada P terhubung dengan node j pada A maka elemen Xij = 1, jika tidak 0. Gambar 3.1 menunjukkan sebuah contoh dari representasi matriks
jaringan bipartit (5, 6) dimana lingkaran menyatakan elemen himpunan P dan
persegi menyatakan elemen himpunan A. Matriks X merupakan matriks adjasensi.


0
1
X = 1
1
0

1
1
1
0
0

1
0
0
0
0

0
1
1
0
0

0
1
0
0
1


0
1
0
0
1

Gambar 3.1 Representasi Matriks Jaringan Bipartit (5, 6)

7
Universitas Sumatera Utara

8
Dua jaringan satu mode dapat diperoleh dari sebuah jaringan bipartit. Sebagai contoh, dari sebuah jaringan bipartit anggota klub ( jika orang i terhubung
dengan klub j, maka i merupakan anggota j ) dapat diperoleh sebuah jaringan
orang dengan orang sedemikian hingga jika dua orang mempunyai klub yang sama,
maka terdapat suatu hubungan diantara mereka, dengan cara yang sama sebuah
jaringan klub dengan klub dapat dibentuk. Namun dengan mengubah jaringan
bipartit menjadi dua jaringan satu mode beberapa informasi akan hilang.

3.2 Graf Acak Bernoulli
Model graf acak eksponensial paling sederhana adalah model Bernoulli, yang
didasarkan pada asumsi neighbourhood bahwa semua variabel Xij saling bebas.
Peluang dari jaringan bipartit x dinyatakan oleh :
P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x)}

(3.1)

dengan ZL (x) merupakan jumlah dari hubungan dalam jaringan dan adalah parameter kepadatan. Graf yang dihasilkan oleh model Bernoulli disebut graf acak
Bernoulli. Kepadatan jaringan didefenisikan dengan :
d(x) =

1
mn

m
m P
P

(3.2)

xij

i=1 i=1

Kepadatan d(x) merupakan perkiraan dari peluang homogen P (Xij = 1), sehingga maksimum likelihood dari θ dapat diperoleh dengan :
θˆ = logit(d(x)) = log{

d(x)
1−d(x)

}

(3.3)

Nilai negatif dari θ akan menghasilkan distribusi jaringan dengan rata-rata kepadatan kurang dari 0,5.
Untuk jaringan tertutup, dimana hubungan dalam jaringan cenderung tertutup dan siklus sering dihubungkan dengan jaringan berkluster. Robin and
Alexander (2004) memperkenalkan koefisien Kluster C(x) untuk jaringan bipartit.

Universitas Sumatera Utara

9
Daerah tertutup terkecil pada jaringan bipartit adalah empat-cycle yang dinotasikan dengan C4(x), dan C(x) didefenisikan dengan empat kali perbandingan
jumlah empat-cycle dengan jumlah tiga-path L3 (x) :
C(x) =

4C4 (x)
L3 (x)

(3.4)

Pada jaringan bipartit Bernoulli dengan hubungan semua variabel saling bebas,
peluang tiga-path tertutup Xij adalah P (Xij = 1). Sehingga kepadatan d(x) dari
jaringan Bernoulli juga memenuhi koefisien Kluster.

3.3 Asumsi Markov
Asumsi ketergantungan Markov menyatakan statistika graf memuat bintangbintang (stars) dengan ukuran yang berbeda (k-bintang adalah node berderajat
k) dan segitiga-segitiga untuk graf satu mode. Dengan asumsi Markov dapat
dijelaskan kecenderungan lokal tertutup pada jaringan satu mode menggunakan
parameter segitiga, namun graf bipartit tidak dapat berbentuk segitiga-segitiga,
hanya mempunyai edge dan konfigurasi bintang, dimana bintang merupakan tipe
hubungan dari dua himpunan node yang berbeda.
Skvoretz and Faust (1999) memperkenalkan model graf eksponensial untuk
jaringan afiliasi menggunakan asumsi Markov, memuat statistika jaringan untuk
kepadatan dan nomor-nomor bintang untuk ukuran yang berbeda. Meraka juga
menggunakan beberapa statistika jaringan umum yang bukan Markovian. Model
tersebut disesuaikan dengan metode pseudo likelihood.
Konfigurasi bintang disimbolkan dengan SP untuk bintang yang dibentuk
oleh orang dan SA untuk bintang yang dibentuk oleh perkumpulan, seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 3.4. Asumsi Markov dapat mewakili node-node pada
jaringan bipartit tetapi tidak dapat mencakup struktur lokal yang cenderung tertutup seperti tiga-path dan bentuk empat-cycle (C4 ).

Universitas Sumatera Utara

10
3.4 Asumsi Empat-Cycle
Asumsi empat-cycle menyatakan bahwa dalam jaringan satu mode, jika
xik = xjl = 1 atau xil = xjk = 1 maka hubungan dua variabel Xij dan Xkl
adalah tergantung (bersyarat), yaitu jika terdapat hubungan antara node i dan
k, dan hubungan antara node j dan l, atau terdapat hubungan antara node i dan
l, dan hubungan antara node j dan k, maka Xij dan Xkl merupakan bagian dari
sebuah empat-cycle.
Snijders et al (2006) memperkenalkan asumsi ini untuk jaringan satu mode.
Pada jaringan bipartit, tidak terdapat hubungan di dalam himpunan A atau himpunan B sehingga jika {i, l} ∈ A dan {j, k} ∈ P maka hanya xik = xjl = 1 yang
memenuhi syarat untuk Xij dan Xkl membentuk sebuah empat-cycle, seperti ditunjukkan Gambar 3.2.

Gambar 3.2 Empat-Cycle
3.5 Asumsi Tiga-Path
Asumsi tiga-path menyatakan bahwa hubungan dua variabel Xij dan Xkl
adalah tergantung (bersyarat) jika terdapat satu hubungan xik atau xjl, dimana
{i, l} ∈ A dan {j, k} ∈ P dengan demikian Xij dan Xkl merupakan bagian dari
sebuah tiga-path (L3 ), seperti yang ditunjukkan Gambar 3.3.

Universitas Sumatera Utara

11

Gambar 3.3 Tiga-path

Asumsi tiga-path ini lebih umum dari asumsi empat-cycle karena asumsi tiga-path
berlaku dalam konfigurasi model yang menggunakan asumsi empat-cycle tetapi
asumsi empat-cycle tidak berlaku pada konfigurasi model dengan asumsi empatpath.

3.6 Model Kluster
Sesuai dengan asumsi Markov, asumsi empat-cycle dan asumsi tiga-path,
model graf acak eksponensial untuk jaringan bipartit memuat konfigurasi graf
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.4. Pada Gambar 3.4 hanya ditunjukkan bintang sampai ukuran tiga bintang, namun dalam jaringan bipartit (n, m)
mungkin juga terdapat bintang dengan ukuran m bintang atau n bintang.

Universitas Sumatera Utara

12

Gambar 3.4 Konfigurasi Model Kluster
Untuk jaringan bipartit (n, m) model graf acak eksponensial dapat dinyatakan
dengan persamaan (3.5). Persamaan ini juga sesuai dengan model kluster oleh
Pattison and Robins (2004).
P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x)}+

m
P

ζPk ZSPk (x)+

k=2

n
P

ζAk ZSAk (x)+

k=2

αZL3 (x) + βZC4 (x)

(3.5)

dengan θ adalah parameter kepadatan untuk statistika edge :
ZL (x) =

m P
m
P

xij

(3.6)

i=1 i=1

Misalkan xi+ dan xj+ menyatakan derajat node i dari himpunan perkumpulan (A) dan derajat node j dari himpunan orang (P ), ζAk dan ζPk adalah parameter
k-bintang untuk perkumpulan dan orang, maka :
ZSAk (x) =

m
P

i=1

xi+
K




(3.7)

Universitas Sumatera Utara

13
ZSPk (x) =

n
P

j=1

xj+
K




(3.8)

α adalah parameter untuk statistika tiga-path. Misalkan xi+ dan xl+ menyatakan derajat node i dan l dari himpunan A, k dari node himpunan P , dan
L2il menyatakan banyaknya dua-path antara i dan l maka
L2il(x) =

n
P

(3.9)

xik xlk

k=1

statistika tiga-path dapat ditentukan dengan
ZL3 (x) =

l−1
m
PP

L2il (xi+ + xl+ − 2)

(3.10)

i=1 l=2

β adalah parameter untuk statistika empat-cycle dimana
ZC4 (x) =

l−1
m
P P

i=1 l=2

L2il
2




(3.11)

3.7 Simulasi
Strategi simulasi untuk model graf acak eksponensial yang digunakan dalam
tesis ini didasarkan pada Algoritma Metropolis-Hastings, yaitu :
1. Dari graf x dengan ruang X(n, m) dibentuk beberapa graf.
2. Sepasang node i dan j dipilih secara acak. Untuk jaringan bipartit, node
i dan j harus dari himpunan yang berbeda. Hubungan xij ditambah atau
dihilangkan untuk membentuk calon x′ graf sedemikian hingga:
x′ij = 1 − xij
3. Gunakan statistika perubahan uq dari Q seperti yang didefenisikan persamaan (2.3), yang dapat juga dinyatakan dengan :
uQ(x) = | ZQ (x′) − ZQ (x) |

(3.12)

Universitas Sumatera Utara

14
Calon graf x′ diterima dengan peluang min(1, r), dimana r dinyatakan dengan:
r=

P (X=x′ )
P (X=x)

= exp

P

θQuQ (xij )

(3.13)

Q

3.8 Estimasi Maksimum Likelihood Rantai Markov Monte Carlo
Cara estimasi maksimum likelihood untuk model graf acak eksponensial
diperkenalkan oleh Snijders (2002) berdasarkan metode aproksimasi stokastik
yang diperkenalkan oleh Robins and Monro (1951). Vektor dari estimasi maksimum likelihood θˆ menghasilkan distribusi graf X dengan nilai harapan dari
statistika graf sama dengan statistika graf yang diamati z(x).
ˆ = z(x)
E(z(X) | θ)

(3.14)

dimana z(X) adalah vektor dari statisitika graf, dan x adalah graf yang diamati.
Untuk menentukan apakah θˆ dapat menghasilkan distribusi graf yang diharapkan sebagai pusat jaringan yang diamati, test konvergen t-ratio untuk masingmasing statistika graf dinyatakan oleh :
tQ =

ˆ Q (X)|θ)
ˆ
zQ (x)−E(z
ˆ
σ
ˆQ zQ (x)|θ

(3.15)

dimana X adalah distribusi graf yang disimulasikan dengan penambahan paˆ dan σ
rameter θ,
ˆ adalah estimasi kesalahan standar untuk parameter θQ yang
dihitung dari akar estimasi matriks kovarians. Jika | tQ |≤ 0.1, ∀Q maka aproksimasi menunjukkan kekonvergenan. Jika | θˆQ |> 2ˆ
σQ , dapat disimpulkan bahwa
θˆQ signifikan berbeda dari 0, dan konfigurasi zQ dalam jaringan yang diamati
signifikan lebih (θˆQ > 0) , atau signifikan kurang (θˆQ < 0) dari yang diharapkan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN

4.1 Model Spesifik
Model-model yang telah dijelaskan pada bab 3 mengalami kegagalan pencapaian hasil pada masalah kekonvergenan, dimana perubahan beberapa hubungan
xij dapat menimbulkan statistika perubahan yang besar untuk hubungan variabel
xkl lainnya. Jika parameter perkumpulan dari empat-cycle atau k-bintang (k ≥ 2)
adalah positif maka jaringan yang paling mungkin adalah sebuah jaringan yang
mendekati lengkap, jika parameter adalah negatif maka kemungkinan terbesar
mendekati graf kosong.
Sebagai illustasi, sebuah simulasi dibuat pada jaringan bipartit (20, 30), dengan parameter θ = −3, 0 dan parameter empat-cycle β diubah dari 0 sampai
0,02 dalam langkah 0,001. Parameter lain dalam simulasi ini bernilai 0. Untuk
setiap himpunan parameter (θ, β) 100.000 graf yang disimulasikan dibagi dalam
beberapa pasangan, dan setiap graf sampel ke 10.000 diambil, sehingga terdapat
10 graf untuk setiap himpunan parameter yang merepresentasikan distribusi graf.
Sejumlah hubungan L dalam masing-masing graf yang disimulasikan digambarkan
berlawanan dengan parameter empat-cycle pada Gambar 4.1.

15
Universitas Sumatera Utara

16

Gambar 4.1 Simulasi Model θ dan β (Sumber: Wang Peng et al. (2008))

Segitiga dengan titik ujung menghadap ke atas menyatakan simulasi yang diawali
dari graf kosong, dan segitiga dengan titik ujung ke bawah menyatakan simulasi
yang diawali dari graf lengkap. Gambar 4.1. menunjukkan bahwa ketika β ∈
(0, 012, 0, 015) model membentuk dua daerah distribusi graf yang mendekati graf
kosong atau graf lengkap. Dengan penambahan atau pengurangan nilai parameter
kepadatan, interval dua daerah akan berubah ke arah kanan atau kiri. Model
mendekati kegagalan jika letaknya terlalu banyak mendekati graf lengkap atau
graf kosong.

Universitas Sumatera Utara

17
4.2 Pergantian k-bintang
Untuk jaringan bipartit (n, m) dengan spesifikasi pada persamaan (3.5),
dapat dimodelkan dua tipe bintang berukuran n dan m. Model yang memuat
bintang ukuran besar atau node dengan derajat tinggi dapat menyebabkan kegagalan model. Spesifikasi dalam tesis ini menggunakan parameter tunggal yaitu
parameter bobot λs , λs ≥ 1, untuk seluruh distribusi derajat. Parameter tersebut
memperkecil efek dari perubahan statistika pada bintang ukuran besar. Bobot
dari bintang mempunyai pergantian tanda, k-bintang dengan k genap berbobot
positif dan k-bintang dengan k ganjil berbobot negatif. Karena terdapat dua himpunan node P dan A, maka statistika pergantian k-bintang didefenisikan dalam
dua bagian sebagai berikut :
zKSA (λs , x) =

n
P

(−1)k

k=2

zKSP (λs , x) =

n
P

(−1)i

i=2

zSAk (x)
λk−2
s

(4.1)

zSPi (x)
λi−2
s

(4.2)

Bobot dari bintang dengan ukuran besar diperkecil oleh perpangkatan λs dan pergantian tanda, dimana statistika pergantian k-bintang merupakan jumlah barisan
bobot geometri berganti tanda.
Dari statistika zSPk (x) yang telah didefenisikan pada persamaan (3.8), maka
persamaan (4.2) dapat dituliskan dengan :
zKSP (λs , x) =

n
P

(−1)i

i=2

=

m
P

i=2

= λ2s

λ2s ( λ−1
i)
s
n P
m
P

j=1 i=2

= λ2s

zSPi (x)
λi−2
s
n
P

j=1

( λ−1
i)
s



x+
j
i


x+
j
i

n
m
P
P
{ { ( λ−1
i)
s

j=1

i=0



x+
j
}
i

−1+

x+
j
λs

}

(4.3)

Universitas Sumatera Utara

18
Dengan menggunakan rumus binomial didapat :
zKSP (λs , x) = λ2s

n
P

{ (1 −

j=1

1 x+
) j
λs

+

x+
j
λs

−1} (4.4) Jika λs = 1, 0 persamaan

(4.4) dapat disederhanakan menjadi :
zKSP (λs = 1, 0, x) = 2zL(x) − n+

n
P

j=1

I{x+
j = 0}

(4.5)

dimana zL(x) menyatakan banyak edge, dan I menyatakan fungsi biner dengan :

I{x+
j

= 0} =



1 jika (x+
j = 0)
0 untuk lainnya.

Statistika perubahan dalam pergantian k-bintang dihitung dengan menggunakan rumus :
untuk node j ∈ P
uKSP (λs , xij ) =

m−1
P
i=1

( −1
)i−1
λs

uKSP (λs , xij ) = λs {1 − (1 −



x+
j
i
+

1 xj
)
λs

}

(4.6)

1 x+
) i}
λs

(4.7)

untuk node i ∈ A
uKSA (λs , xij ) = λs {1 − (1 −

Jika λs = 1, 0 persamaan (4.7) menjadi:
uKSP (λs = 1, 0, xij ) = I{x+
i > 0}

(4.8)

dimana I adalah fungsi biner.
Dengan menetapkan pergantian tanda untuk bintang, diasumsikan bahwa
parameter untuk bintang dengan ukuran yang berbeda juga mempunyai pergantian tanda. Misalkan ζ menyatakan parameter statistika pergantian k-bintang,

Universitas Sumatera Utara

19
parameter untuk masing-masing bintang berukuran k dinotasikan dengan ζk maka :
ζk+1 = −

ζk
,
λs

dimana ζ2 = ζ, k ≥ 2

(4.9)

Jika λs = 1, parameter pergantian k-bintang memodelkan node tertentu dengan
jelas. Jika λs = 2, perbedaan statistika perubahan dari 5-bintang dan 6-bintang
kurang dari 0,04, dengan demikian model untuk node dengan derajat lebih dari 5
hampir sama. Jika λs → ∞, pergantian k-bintang hampir sama dengan 2-bintang.

4.2.1 Simulasi dengan Pergantian k-bintang.
Simulasi perbandingan model kepadatan dan 2-bintang dengan model kepadatan dan pergantian k-bintang menunjukkan bahwa model kepadatan dan pergantian k-bintang memberikan cakupan yang lebih baik terhadap ruang graf.
Gambar 4.2 menunjukkan simulasi model kepadatan L dan 2-bintang SP 2 pada graf bipartit dengan ukuran node (30, 20). Parameter kepadatan ditetapkan
θ = −3, 0 dan parameter ζP 2 diubah dari 1 sampai 1 dengan langkah 0,1. Untuk
masing-masing ζP 2 , setiap simulasi graf ke 100.000 dipilih dari 1.000.000 simulasi graf, banyak hubungan L untuk graf sampel digambarkan berlawanan arah
dengan nilai parameter ζP 2 . Hasilnya menunjukkan bahwa L dan ζP 2 lebih konsisten dimana tidak terdapat banyak daerah untuk satu himpunan nilai parameter.
Namun bobot kepadatannya masih terlalu rendah atau terlalu tinggi.

Universitas Sumatera Utara

20

Gambar 4.2 Simulasi Model θ dan ζP 2 (Sumber: Wang Peng et al. (2008))

Hasil dari simulasi model kepadatan dan pergantian k-bintang pada jaringan
bipartit ukuran (30, 20) dengan strategi yang sama ditunjukkan pada Gambar 4.3.
Dari gambar terlihat bahwa pada saat parameter pergantian k-bintang bertambah, kepadatan jaringan bertambah dengan perlahan dari graf kosong menuju
graf lengkap.

Universitas Sumatera Utara

21

Gambar 4.3 Simulasi Model θ dan ζKSP (Sumber: Wang Peng et al. (2008))
4.3 Pergantian k-2-Path
Pergantian k-2-path didefenisikan dengan cara yang sama seperti pergantian
k-bintang dimana bobot geometri negatif digunakan pada distribusi derajatnya.
Nilai k-2-path dinyatakan dengan :

ztP (x, k) =

 l−1 m
PP







L2il
k

i=1l=2
m
l−1
PP
1
2
i=1l=2




jika k > 2
(4.10)

L2il
2




jika k = 2

dimana node i dan l merupakan node dari himpunan A.
Menggunakan bobot parameter λt dan pergantian tanda, statistika pergantian k-2-path dinyatakan dengan :
zKCP (λt , x) = ztP (x, 1)−

zKCP (λt , x) = λt

l−1
m
PP

i=1l=2

2ztP (x,2)
λt

{1 − (1−

+

m−2
P
i=3

1 L2il
) }
λt

( −1
)i−1 ztP (x, i)
λt

(4.11)

Universitas Sumatera Utara

22

Jika λt = 1, 0 maka:
zKCP (λt = 1, 0, x) =

l−1
m
PP

I {L2il > 0}

(4.12)

i=1l=2

Dari jaringan yang tersisa dimana xij = 0, i ∈ A dan j ∈ P , statistika
perubahan untuk KCP adalah nilai bobot (k-1)-2-path yang memiliki node i dan
l dengan l ∈ A:
uKCP (λt , xij ) =

m
P

{xjl

k=0

l=1

uKCP (λt , xij ) =

m
P

n−1
P

( −1
)k
λt

L2il
k



}

1 L2il
) }
λt

(4.13)

xjlI{L2il = 0}

(4.14)

{xjl (1−

l=1

Jika λt = 1, 0 maka:
uKCP (λt = 1, 0, xij ) =

m
P

l=1

4.3.1 Simulasi dengan Pergantian k-2-path
Simulasi dilakukan untuk graf bipartit (30, 20) node, diawali dari graf kosong
dan graf lengkap. Parameter θ ditetapkan untuk θ = −3, 0, dan parameter βKCP
untuk KCP diubah dari -1 sampai 10. Hasil simulasi diperlihatkan pada gambar
4.4. Dibandingkan dengan gambar 4.1, hasil simulasi ini menunjukkan cakupan
yang lebih baik dari ruang graf.

Universitas Sumatera Utara

23

Gambar 4.4 Simulasi Model θ dan βKCP (Sumber: Wang Peng et al. (2008))

Universitas Sumatera Utara

24
4.4 Kesesuaian Model
Statistika sederhana yang baik untuk model graf acak eksponensial adalah
t-ratio, yang telah didefenisikan pada persamaan (3.15), dimana t-ratio yang kecil
merupakan indikasi dari model yang baik atau sesuai. Nilai absolut t-ratio harus
lebih kecil dari 0,1 untuk menyatakan bahwa model mempunyai kesesuaian.
Jarak Mahalanobis dipergunakan oleh Wang Peng et al.

(2008) untuk

menentukan korelasi antara statistika secara keseluruhan dari model yang sesuai.
Jarak Mahalanobis adalah ukuran jarak yang menunjukkan berapa jauh bagian
jaringan dari pusat distribusi jaringan yang direpresentasikan oleh distribusi statistika graf pada model graf acak eksponensial. Misalkan Z(x) = (z1(x), z2(x), ..., zQ
(x)) merupakan vektor dari statistika jaringan yang diamati, µ = (µ1 , µ2 , ..., µQ)
P
merupakan vektor dari rata-rata yang bersesuaian diperoleh graf simulasi, dan
merupakan matriks kovarian, jarak Mahalanobis dM dihitung dengan :
q
P
dm = (Z(x) − µ)T −1 (Z(x) − µ)

(4.15)

Jarak Mahalanobis yang kecil menyatakan pusat graf yang dibangkitkan dari model adalah tertutup pada jaringan yang diamati.

4.5 Analisa Kesesuaian Model
Analisa kesesuaian model graf acak eksponensial untuk jaringan bipartit
diperlihatkan pada beberapa jaringan afiliasi berikut. Jaringan pertama dikenal
dengan jaringan Southern Women , merupakan jaringan afiliasi klasik tentang partisipasi dalam 14 kegiatan sosial informal oleh 18 wanita di Natchez, Missisipi selama sembilan bulan, yang datanya dikumpulkan oleh Davis et al (1941). Jaringan
kedua dan ketiga adalah dua jaringan afiliasi yang menggambarkan bagaimana hubungan antara direktur-direktur 500 perusahaan top Australia pada tahun 1996.

Universitas Sumatera Utara

25
4.5.1 Jaringan Southern Women
Sejak dipublikasikan tahun 1940, jaringan Southern Women telah dianalisa
menggunakan beberapa teknik analisa jaringan sosial, termasuk beberapa model
graf acak eksponensial untuk jaringan afiliasi oleh Skvoretz and Faust (1999),
Freeman (2003) memberikan analisa yang luas terhadap data tersebut, Pattison
and Robins (2004) juga menggunakan Pseudolikelihood untuk menganalisa data
ini. Jaringan Southern Woman diperlihatkan pada gambar 4.5 dengan lingkaran
merepresentasikan wanita dan bujursangkar merepresentasikan kejadian.

Gambar 4.5 Jaringan Southen Woman (Sumber: Skvorest and Faust (1999))

Universitas Sumatera Utara

26
4.5.2 Hasil Perhitungan Pseudolikelihood dan Maksimum Likelihood

Skvoretz and Faust (1999) menyelidiki beberapa model graf acak eksponensial yang mungkin untuk data pada jaringan Southern Women , memuat beberapa
statistika jaringan yang sesuai dengan asumsi Markov :
P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x) + ζSP 2 zSP 2 (x) + ζSA2 zSA2 (x)}

(4.16)

Hasil perhitungan pseudolikelihood dan maksimum likelihood dengan standar errornya diperlihatkan oleh tabel 4.1.

Tabel 4.1 Pseudolikelihood dan Maksimum likelihood Southern Women

L
SP 2
SA2

PL
-2.374
0.131
0.186

M L SE
-2.031 (0.314)
0.064 (0.059)
0.180 (0.039)

t − ratio
0.043
0.028
0.017

Dari tabel 4.1 terlihat bahwa semua t-ratio untuk perhitungan maksimum
likelihood kurang dari 0,1 dan ini merupakan indikasi kekonvergan model yang
baik. Dengan membandingkan pseudolikelihood dan maksimum likelihood terlihat
nilai parameter hampir sama untuk kejadian 2-bintang (SA2 ). Namun untuk parameter kepadatan (L) dan parameter wanita 2-bintang perbedaannya signifikan.
Perbedaan perhitungan parameter ini akan menyebabkan perbedaan distribusi
graf yang direpresentasikan oleh model. Untuk menunjukkan perbedaan di dalam
distribusi graf, kesesuaian model telah ditaksir menggunakan simulasi distribusi
graf.
Dalam simulasi kesesuaian model, 1000 graf diambil dari 1.000.000 graf
yang disimulasikan dengan menyeleksi graf yang ke 1000. Rata-rata statistika
dikumpulkan dan selanjutnya digunakan sebagai test untuk statisitika graf yang

Universitas Sumatera Utara

27
diamati. Nilai t-ratio dan jarak Mahalanobis (dM ) ditunjukkan pada tabel 4.2, dengan SP notasi untuk bintang wanita, SA notasi untuk bintang kejadian, KCP notasi pergantian k-2-path yang dibentuk oleh 2-path dengan wanita sebagai pusat,
KCA notasi pergantian k-2-path yang dibentuk oleh 2-path dengan pusat suatu
kejadian, DP notasi distribusi derajat dari node wanita dan DA notasi distribusi
derajat dari node kejadian.

Tabel 4.2 Kesesuaian Model untuk Pseudolikelihood dan Maksimum likelihood
PL
ML
Z(X)
t − ratio t − ratio
L
-10.929
0.036
SP 2
-7.981
0.047
SP 3
-6.158
0.040
SA2
-8.000
0.027
SA3
-6.247
0.085
L3
-6.235
-0.083
C4
-5.047
0.003
KSP
-10.709
0.028
KSA
-10.814
-0.010
KCP
-84.056
0.127
KCA
-100.875
-0.113
StddevDP
1.940
0.970
StddevDA
1.239
-0.021
SkewDP
2.791
0.455
Clust.Coef.
-9.361
0.833
dM
436.067
8.068

Perhitungan pseudolikelihood menggambarkan ketidaksesuaian dengan data dimana terdapat nilai t-ratio yang lebih besar dari 2,0. Jarak Mahalanobis
yang besar untuk pseudolikelihood juga mengindikasikan bahwa jaringan yang
diamati jauh dari pusat distribusi graf. Sedangkan perhitungan maksimum likelihood menggambarkan kesesuaian untuk masing-masing statistika jaringan, dimana nilai t-ratio yang terbesar adalah 1,005, dan untuk maksimum likelihood
jarak Mahalanobisnya cukup kecil dibandingkan dengan jarak Mahalanobis untuk
pseudolikelihood. Dengan demikian perhitungan maksimum likelihood menggambarkan kesesuaian yang lebih tepat dibandingkan perhitungan pseudolikelihood.

Universitas Sumatera Utara

28
4.5.3 Pemilihan Model
Untuk jaringan yang diamati, beberapa model graf acak eksponensial dengan jumlah parameter yang berbeda dapat dibentuk berdasarkan asumsi neighboorhood. Namun tidak semua model akan memberikan hasil yang sesuai dengan
pengamatan. Model yang ideal harus terpusat, menggambarkan kesesuaian dengan jaringan aslinya dan mudah dimengerti.
Pada jaringan Southern Women , untuk menentukan model terbaik telah
diuji lima model graf acak eksponensial yaitu model (4.17)-(4.21):
P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x)}

(4.17)

P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x) + ζP2 ZSP2 (x) + ζA2 ZSA2 (x)}

(4.18)

P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x) + ζP2 ZSP2 (x) + ζA2 ZSA2 (x) + αzL3 (x)} (4.19)

P (X = x) =

1
k

exp{θZL (x) + ζKSP ZKSP (x, λ) + ζKSA ZKSA (x, λ)},

λ = 2, 0

P (X = x) =

(4.20)

1
k

exp{θZL (x) + ζKSP ZKSP (x, λ) + ζKSA ZKSA (x, λ)+

βKCP zKCP (x, λ) + βKCA zKCA (x, λ)}, λ = 2, 0

(4.21)

Hasil perhitungan parameter dan standar error kelima model di atas ditunjukkan oleh tabel 4.3.

Universitas Sumatera Utara

29
Tabel 4.3 Hasil perhitungan parameter model (4.17)-(4.21)

L
SP 2
SA2
L3
L
KSP
KSA
KCP
KCA

Model (4.17)
-0.605 (0.127)

Model (4.20)
-3.418 (1.638)
0.407 (0.663)
1.089 (0.587)

ML (SE)
Model (4.18)
-2.031 (0.314)
0.064 (0.059)
0.180 (0.039)

Model (4.19)
-2.713 (0.413)
0.560 (0.176)
0.503 (0.131)
-0.040 (0.018)

Model (4.21)
3.384 (3.220)
2.973 (0.687)
-4.561 (1.788)
0.299 (0.112)
-0.985 (0.265)

Untuk memilih model terbaik dari kelima model di atas, dilakukan simulasi untuk masing-masing model dan disesuaikan kembali dengan data aslinya.
Hasil statistika yang tidak sesuai dengan t − ratio >2,0 dan jarak Mahalanobis
ditunjukkan pada tabel 4.4.
Tabel 4.4 Hasil perhitungan parameter model (4.17)-(4.21)

Statistika Mod(4.17)
SA3
2.585
StddevDP
1.180
StddevDA
4.261
Clust.Coe
3.149
dM
19.479

Model t − ratio
Mod(4.18) Mod(4.19) Mod(4.20)
0.085
0.054
1.883
0.970
0.215
0.864
0.455
0.198
2.749
0.833
2.133
2.411
8.068
10.260
15.982

Mod(4.21)
0.054
2.058
0.450
1.183
10.905

Model Bernoulli (4.17) memberikan hasil yang baik untuk kepadatan (L)
dari jaringan, tetapi tidak untuk kejadian 3-bintang (SA3 ) distribusi derajat kejadian DA atau koefisien kluster. Jarak Mahalanobis yang besar juga mengindikasikan
jaringan yang diamati jauh dari pusat graf yang disimulasikan.
Dibandingkan dengan model (4.17), model (4.18) memberikan kesesuaian
yang lebih baik untuk jaringan yang diamati, dimana semua t-rationya kurang
dari 2,0. Untuk graf acak eksponensial, semakin banyak parameter dalam suatu

Universitas Sumatera Utara

30
model tidak selalu menjadi jaminan kesesuaian model semakin baik. Model (4.19)
mengandung parameter 3-path L3 , dan hasil perkiraan menunjukkan semua parameter dalam model ini signifikan. Namun dibandingkan dengan model yang
lebih sederhana (4.18), model tersebut mempunyai jarak Mahalanobis yang lebih
besar, dan koefisien klusternya tidak begitu baik.
Model (4.20) memuat pergantian k-bintang dan model (4.21) memuat pergantian 2-path. Dibandingkan model (4.20), model (4.21) memberikan kesesuaian
yang lebih baik untuk distribusi derajat kejadian DA dan koefisien kluster, tetapi
lebih buruk untuk distribusi derajat wanita DP . Namun kedua model ini menghasilkan jarak Mahalanobis yang besar dan lebih rumit dari model (4.18). Jadi
dapat disimpulkan untuk jaringan Southern Women model terbaik dari model
yang telah diuji adalah model (4.18). Pada model (4.18) distribusi bersyarat dari
wanita i mengikuti kejadian j diberikan oleh :
−2, 031uL(xij + 0, 064uSP 2 (xij ) + 0, 180uSA2 SA2 (xij )

(4.22)

4.5.4 Hubungan Antar Direktur
Pada studi simulasi yang dilakukan oleh Robins and Alexander (2004),
struktur jaringan hubungan antar direktur perusahaan dari Amerika Serikat dan
Australia pada tahun 1996 telah dibandingkan. Statistika jaringan yang diamati dibandingkan melalui simulasi distribusi jaringan acak dengan kepadatan
yang sama, kemudian nilai statistika digunakan sebagai indikasi perbedaan antara jaringan yang diamati dan distribusi jaringan acak. Dalam tesis ini contoh
modelnya digunakan berdasarkan data yang sama. Contoh pertama adalah data
dari 50 institusi finansial top di Australia (1996), contoh kedua adalah hubungan
komponen dari 500 perusahaan finansial dan sektor industri top.

Universitas Sumatera Utara

31
4.5.5 Lima Puluh Institusi Finansial Top
Pada tahun 1996 terdapat 366 direktur yang bekerja di 50 institusi finansial
top Australia. Jaringannya diperlihatkan pada gambar 4.6, bujursangkar menyatakan perusahaan dan lingkaran menyatakan direktur. Jika seorang direktur
menjabat sebagai dewan pengurus suatu perusahaan maka keduanya terhubung.
Terdapat 395 hubungan yang memberikan fungsi kepadatan 0,022. Jaringan node
(366 , 50) ini lebih besar dari jaringan node (18 , 14) Shouthern Women .

Gambar 4.6 Lima Puluh Institusi Finansial Top, Australia (1996)
(Sumber: Wang Peng et al. (2008))

Universitas Sumatera Utara

32
Jaringan ini digunakan sebagai contoh untuk menunjukkan model (4.21)
dengan pergantian k-bintang dan pergantian 2-path pada jaringan yang besar.
Dalam jaringan ini terdapat 30 komponen diluar hubungan komponen terbesar
dengan 14 perusahaan dan 80 direktur, perusahaan dengan derajat terbesar mempunyai 14 direktur, kebanyakan direktur berderajat 1 atau 2, hanya 1 direktur
yang berderajat 4 dan satu berderajat 3. Kedua direktur yang berderajat 4 dan
3 akan mempersulit pembentukan model yang sesuai dalam distribusi derajat direktur.
Suatu metode untuk kesesuaian model memperlakukan kedua direktur di
atas sebagai kasus spesial dan menganggap hubungan mereka sebagai eksogen,
sehingga untuk contoh ini model (4.21) dapat ditinjau dari dua kasus yaitu dengan
efek eksogen dan tanpa efek eksogen. Hasil perkiraan parameternya disajikan pada
tabel 4.5.

Tabel 4.5 Perkiraan Parameter model (4.21)
EFEK
L
KSP
KSA
KCP
KCA

Tanpa Efek Eksogen
ML
SE t − ratio
0.298 1.602
-0.027
-2.021 0.867
-0.051
0.662 0.857
-0.028
-0.420 0.038
-0.005
-5.147 0.617
-0.062

Dengan Efek Eksogen
ML
2.573
-4.496
0.617
-0.047
-5.157

SE
2.531
2.060
0.972
0.038
0.588

t − ratio
0.080
0.037
0.078
0.022
0.047

Untuk model tanpa efek eksogen, perkiraan parameter kepadatan, pergantian k-bintang pada perusahaan dan pergantian 2-path pada direktur tidak berbeda signifikan dari 0. Terlihat ukuran negatif yang besar untuk pergantian kbintang pada direktur dan pergantian 2-path pada perusahaan. Untuk membandingkan kedua kasus di atas, digunakan 3.000 dari 5.000.000 graf simulasi
sebagai representasi distribusi graf. Rata-rata dan standar deviasi dari statistika
yang tidak sesuai disajikan pada tabel 4.6.

Universitas Sumatera Utara

33
Tabel 4.6 Perbandingan Kesesuaian Model (4.21)

SP 3
SkewDP
dM

Tanpa Efek Eksogen
z(x) M ean
SE
0.021 0.143 34.708
2.477 0.444 5.083
74.794

Efek Dengan Efek Eksogen
t − ratio M ean SE t − ratio
5.019
0.137
-0.139
4.760
0.678
-0.041
4.496

Model tanpa efek eksogen memberikan kesesuaian pada kebanyakan statistika graf kecuali 3-bintang pada direktur dan kecondongan distribusi derajat pada
direktur, yang diindikasikan oleh t-ratio yang besar dan jarak Mahalanobis yang
besar. Direktur dengan derajat 4 tidak hanya memberikan 4-bintang tetapi juga
empat dari lima 3-bintang pada direktur yang diamati. Sebaliknya pada model
dengan efek eksogen dengan derajat yang besar memberikan kesesuaian yang baik,
diindikasikan oleh t-ratio yang kecil dan jarak Mahalanobis yang kecil.
Sesuai dengan model bersyarat, direktur berderajat besar dengan efek eksogen, distribusi bersyarat dari direktur i menjabat dewan perusahaan j diberikan
oleh :
2,573 uL(xij )−4, 496uKSP (xij , λ)+0, 617uKSA (xij , λ)−0, 047uKCP (xij , λ)−
5, 157uKCA (xij , λ), λ = 2, 0

(4.23)

4.5.6 Hubungan Komponen Terbesar dari 500 Perusahaan Top (1996)
Hubungan komponen jaringan terbesar dari 500 perusahaan top yang terdaftar pada kedua sektor finansial dan sektor industri di Australia tahun 1996, mempunyai 198 perusahaan dengan 255 direktur dan 675 hubungan. Gambar jaringan
tersebut diperlihatkan pada gambar 4.7, dengan bujursangkar menyatakan perusahaan dan lingkaran menyatakan direktur. Contoh ini digunakan untuk menunjukkan tingkat kesesuaian model dengan pergantian k-bintang dan pergantian
2-path dalam hal penentuan kekonvergenan model.

Universitas Sumatera Utara

34

Gambar 4.7 Hubungan Komponen Terbesar, Australia (1996)
(Sumber: Wang Peng et al. (2008))

Universitas Sumatera Utara

35
Model Markov dengan penambahan parameter L3 dan C4 mengalami kegagalan pada contoh ini dan tidak konvergen. Sedangkan model (4.21) dengan parameter kepadatan, pergantian k-bintang dan pergantian 2-path untuk direktur
dan perusahaan dengan λ = 2, 0 adalah konvergen. Hasil perkiraan parameter
disajikan pada tabel 4.7.

Tabel 4.7 Perkiraan Parameter untuk model (4.21)
Efek
L
KSP
KSA
KCP
KCA

ML
-2.667
2.048
-0.229
0.041
-2.063

SE
0.593
0.704
0.232
0.003
0.293

t − ratio
0.016
0.014
0.007
0.003
0.010

Dari tabel terlihat sebuah nilai positif besar untuk efek bintang KSP . direktur Perkiraan parameter untuk pergantian 2-path yang dipusatkan pada perusahaan KCA adalah negatif dan signifikan, mengindikasikan bahwa direktur tidak
cenderung menjadi dewan ganda. Efek yang sama diberikan oleh perkiraan parameter yang positif dan signifikan untuk pergantian k-bintang pada direktur
KSP yang mengindikasikan lebih banyak direktur menjabat sebagai anggota dewan dibeberapa perusahaan daripada yang diharapkan pada jaringan acak, pada
saat yang bersamaan terdapat banyak direktur dengan derajat rendah.
Efek dari KCP adalah positif tetapi tidak signifikan, bersama dengan efek
dari KCA yang negatif dan signifikan, mengindikasikan ketika pasangan-pasangan
direktur boleh menjabat beberapa anggota dewan secara bersamaan, mereka tidak
cenderung menjabat dewan yang banyak. Dengan kata lain, direktur-direktur
saling melengkapi dalam aktivitas mereka tetapi tidak saling meniru satu sama
lain.
Kesesuaian dari model telah diuji menggunakan 3000 sampel dari 5.000.000
simulasi. Kesesuaian model statistika sangat baik, termasuk pergantian k-bintang

Universitas Sumatera Utara

36
dan pergantian 2-path. Diharapkan bintang dengan orde kecil juga akan memberikan kesesuaian yang baik, namun hasil test yang ditunjukkan pada tabel 4.