Elemen tiga dimensi terdiri dari elemen tetrahedron, dan elemen balok.
Gambar 2.8 Elemen 3 dimensi tetrahedra dan balok
Susatio, Yerri. 2004 Adapun elemen yang digunakan dalam penelitian ini adalah elemen
tetrahedron.
2.3.3 Penerapan Metode Elemen Hingga pada kasus linier statis
Pemahaman mengenai metode elemen hingga untuk kasus solid mekanik pada aplikasi linier statis memerlukan pemahaman mengenai dasar
dari pengetahuan mekanika teknik. Metode elemen hingga akan menggantikan kemampuan analisis manual dengan analisis menggunakan kompuer yang
tentunya diharapkan akan memiliki kemampuan yang jauh lebih teliti. Untuk itu, sebagai dasar pemahaman analisis dengan metode elemen hingga pada
komputer harus dipahami terlebih dahulu mengenai pengetahuan mekanika teknik.
2.3.3.1 Konsep Tegangan – Regangan
Konsep mengenai tegangan dan regangan yang terjadi pada elemen tiga dimensi akan dijelaskan sebagai berikut.
1. Konsep Tegangan
Tegangan didefinisikan sebagai besaran gaya yang bekerja pada suatu satuan luas. Secara matematis definisi tersebut dapat ditulis
sebagai :
A F
=
σ 2.3
Universitas Sumatera Utara
Dimana : σ
= tegangan normal Nm
2
F = gaya yang bekerja tegak lurus terhadap potongan N
A = luas bidang m
2
Shigley, Joseph E. 2004 Pada suatu bidang yang dikenal suatu gaya akan terdapat dua
jenis tegangan yang mempengaruhi bidang tersebut, yaitu sebagaimana terlihat pada gambar 2.9.
Gambar 2.9 Tegangan yang berkerja pada suatu bidang
Gere, Timoshenko.2000 Keterangan :
σ
x
= tegangan normal yang bekerja pada bidang x σ
y
= tegangan normal yang bekerja pada bidang y σ
z
= tegangan normal yang bekerja pada bidang z τ
xy
= tegangan geser yang bekerja pada bidang normal x dalam arah y τ
xz
= tegangan geser yang bekerja pada bidang normal x dalam arah z τ
yx
= tegangan geser yang bekerja pada bidang normal y dalam arah x τ
yz
= tegangan geser yang bekerja pada bidang normal y dalam arah z
Universitas Sumatera Utara
Adapun persamaan tegangan normal untuk untuk bidang tiga dimensi adalah sebagai berikut :
[ ]
ε +
υε +
υ ε
v +
E =
σ
z y
x
− −
1 2v
1 1
x
[ ]
ε +
υε +
υ ε
v +
E =
σ
z x
y
− −
1 2v
1 1
y
2.4
[ ]
ε +
υε +
υ ε
v +
E =
σ
y x
z
− −
1 2v
1 1
z
Allaire, Paul E.1985
Analisis perangkat lunak elemen hingga biasanya memiliki kelebihan untuk dapat menghasilkan nilai tegangan von mises atau
tegangan ekivalen, yakni jenis tegangan yang mengakibatkan kegagalan pada struktur material yang dirumuskan oleh penemunya yang bernama
Von Mises. Untuk menentukan tegangan von Mises terlebih dahulu dihitung tegangan utama yang bekerja pada sturktur dengan persamaan
2.4 diatas, Setelah tegangan-tegangan utama ditemukan maka tegangan Von Mises bisa didapat dengan persamaan :
[ ] [
] [ ]
2 1
2 1
3 2
3 2
2 2
1
2
−
+ −
+ −
=
σ σ
σ σ
σ σ
σ
2.5 Shigley, Joseph E. 2004
Komponen lain dari intensitas gaya yang bekerja sejajar dengan bidang dari luas elemen adalah seperti terlihat pada gambar 2.9 di atas
adalah tegangan geser yang dilambangkan dengan τ , yang secara
matematis didefinisikan sebagai :
A V
=
τ 2.6
Dimana :
Universitas Sumatera Utara
τ : tegangan geser Nm
2
V : komponen gaya yang sejajar dengan bidang elementer N A : luas bidang m
2
Shigley, Joseph E. 2004
Adapun persamaan tegangan geser untuk persoalan tiga dimensi adalah c sebagai berikut :
τ
xy
=
xy xy
γ G
= γ
v +
E .
1 2
τ
xz
=
xz xz
γ G
= γ
v +
E .
1 2
2.7
τ
yz
=
yz yz
γ G
= γ
v +
E .
1 2
Allaire, Paul E.1985
2. Konsep Regangan
Regangan dinyatakan sebagai pertambahan panjang per satuan panjang. Hukum Hooke menyatakan bahwa dalam batas-batas tertentu,
tegangan pada suatu bahan adalah berbanding lurus dengan regangan. Regangan dapat ditulis sebagai :
2.8 Dimana :
ε : regangan δ : pertambahan panjang total m
L : panjang mula – mula m Shigley, Joseph E. 2004
Universitas Sumatera Utara
Hubungan regangan peralihan untuk benda elastis menurut Paul E Allaire 1985 dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
{
ε
}
=
[
d
]{
u
}
2.9 Dimana :
{
ε
}
= matrik kolom regangan
[
d
]
= matrik operator dengan peralihan
{
u
}
= matrik kolom peralihan
Dengan matrik kolom peralihan displacement:
{ }
= w
v u
u 2.10
Dimana : u, v, w berturut – turut merupakan fungsi peralihan displacement elemen terhadap x, y, z dan matrik regangannya adalah :
{ }
=
xz yz
xy z
y x
γ γ
γ ε
ε ε
ε
2.11
Dimana :
z y
x
ε ε
ε
, ,
berturut – turut merupakan regangan normal arah x,
y, dan z yang besarnya:
z w
y v
x u
z y
x
∂ ∂
= ∂
∂ =
∂ ∂
=
ε ε
ε
, ,
2.12 Sedangkan
xz yz
xy
γ γ
γ
, ,
berturut – turut merupakan regangan geser arah
bidang xy, yz, xz yang besarnya :
Universitas Sumatera Utara
2.13
Operator regangan peralihan
[
d
]
dalam persamaan 2.9 adalah
2.14
3. Hubungan Tegangan dan Regangan
Hubungan tegangan – regangan untuk material isotropis secara umum menurut Paul E Allaire 1985 dapat ditulis sebagai berikut :
{
σ
}
=
[
E
] {
ε
}
2.15 Dimana :
Universitas Sumatera Utara
{ σ} = vektor tegangan
[E] = matriks elastisitas elemen
{ ε}
=
vektor regangan Dengan vektor tegangan :
{ }
=
xz yz
xy z
y x
τ τ
τ σ
σ σ
σ 2.16
z y
x
σ σ
σ
, ,
berturut – turut merupakan tegangan normal arah x, y, z, sedangkan
xz yz
xy
τ τ
τ
, ,
berturut – turut merupakan tegangan geser arah bidang xy, yz, xz seperti pada persamaan 2.4 dan 2.7.
Bentuk matriks
[
E
] untuk b
ahan isotropis yang sederhana adalah :
2.17
Material ini memiliki dua konstanta bebas, yaitu E modulus elastisitas bahandan v poisson ratio, parameter e
1
, e
2
dan e
3
yang digunakan dalam persamaan ini sama dengan regangan bidang, yaitu :
2.18 Poisson ratio v
Universitas Sumatera Utara
adalah perbandingan dari kontraksi regangan transversal terhadap regangan perluasan longitudinal searah sumbu gaya, dimana perubahan
bentuk tarik bernilai positif dan perubahan bentuk tekan bernilai negatif.
aksial regangan
lateral regangan
− =
υ
2.19 Nilai Poisson ratio berbeda-beda untuk setiap bahan sesuai
karakteristik bahan tersebut.
2.3.3.2. Pemilihan Elemen
