BAB 2
LANDASAN TEORI
3.1 Definisi Graf
Graf G didefenisikan sebagai pasangan himpunan V,E, ditulis dengan notasi G=V,E. Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul
verticeataunode digambarkan dalam titik-titik, dan E adalah himpunan sisi-sisi edges atau arcs digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang
simpul
[6]
. Dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Graf
[14]
Pada Gambar 2.1 diatas, graf terdiri dari himpunan V dan E yaitu: V = A, B, C
E = e1, e2, e3, e4
Simpul-simpul pada graf dapat merupakan objek sembarang seperti kota, atom-atom suatu zat, nama anak, jenis buah, komponen alat elektronik dan Satuan
Kerja Perangkat Daerah yang merupakan studi kasus penulis. Sisi graf dapat menunjukkan hubungan relasi sembarang seperti rute penerbangan, jalan raya,
sambungan telepon, ikatan kimia, dan lain-lain.
A C
e
1
e
2
e
3
e
4
B
Universitas Sumatera Utara
Notasi graf: GV,E artinya graf G memiliki V simpul dan E sisi. Banyaknya simpul anggota V disebut orde Graf G, sedangkan banyaknya sisi anggota E
disebut derajatukuran size Graf G.
3.1.1 Jenis-Jenis Graf
Garf terdiri dari beberapa jenis sebagai berikut: 1.
Graf sederhana simple graph Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda dinamakan graf sederhana.
[14]
2. Graf tak-sederhana insimple graph Graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang dinamakan graf tak-sederhana Termonologi graf.
[14]
3.1.2 Macam-Macam Graf
Menurut arah dan bobotnya, graf dibagi menjadi empat bagian, yaitu: 1.
Graf berarah dan berbobot.
Garf yang tiap busur mempunyai anak panah dan bobot.Dapat dilihat pada
Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Graf berarah dan berbobot
2.
Graf tidak berarah dan berbobot
Tiap busur tidak mempunyai anak panah tetapi mempunyai bobot.Dapat dilihat
pada Gambar 2.3.
A B
C D
E
F G
2 2
2 2
2 3
1 1
1
3 3
3
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Graf tidak berarah dan berbobot
3.
Graf berarah dan tidak berbobot.
Tiap busur mempunyai anak panah yang tidak berbobot.Dapat dilihat pada
Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Graf berarah dan tidak berbobot
4.
Graf tidak berarah dan tidak berbobot
Tiap busur tidak mempunyai anak panah dan tidak berbobot.Dapat dilihat pada
Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Graf tidak berarah dan tidak berbobot
3.1.3 Representasi Graf
Dalam pemrosesan graf dengan program komputer, graf harus direpresentasikan di dalam memori.Terdapat beberapa representasi yang mungkin untuk graf.Terdapat tiga
A B
C D
E
F G
A B
C D
E
F G
A B
C D
E
F G
2 2
2 2
2 3
1 1
1
3 3
3
Universitas Sumatera Utara
macam representasi yang sering digunakan pada graf sederhana, yaitu matriks ketetanggaan, bersisian, dan senarai ketetanggaan.
3.1.3.1 Matriks Ketetanggaan
Dalam mempermudah
perhitungan pada
program komputer,
graf dapat
direpresentasikan dengan menggunakan matriks. Salahsatunya adalah matriks ketetanggaan.
Misalkan G = V, E adalah sebuah graf sederhana dimana |V| = n, n 1. Misalkan simpul dari G adalah v1, v2, … vn. Maka, matriks ketetanggaan A dari G
adalah n x n matriks, dimana dalamnotasi matematika dituliskan sebagai berikut
[11]
:
2.1
= 1, jika simpul i dan j bertetangga. = 0, jika simpul i dan jtidak bertetangga.
Matriks ketetanggaan dari sebuah graf mengacu pada keterurutan dari simpul. Sehingga, ada sebanyak n keterurutan yang berbeda yang terbentuk dari n simpul.
Matriks ketetanggaan merupakan graf sederhana yang simetris, yaitu =
. Hal ini disebabkan oleh kedua-duanya adalah 1 ketika vi dan vj mempunyai sisi, dan
adalah 0 jika tidak ada sisi diantaranya, dinamakan juga matriks nol-satu, sedangkan untuk graf berarah, mtriks ketetanggaanya belum tentu simetri akan berupa simetri
jika berupa graf berarah lengkap. Selain itu, graf sederhana tidak mempunyai gelang, sehingga diagonal utamanya selalu 0 karena a
ii, i = 1, 2, 3, …, n adalah 0.
Sayangnya, matriks ketetanggaan nol-satu tidak dapat digunakan untuk merepresentasikan graf yang mempunyai sisi ganda. Untuk mengatasinya, maka
elemen aij pada matriks ketetanggaan sama dengan jumlah yang berasosiasi dengan vi, vj. Matriks ketetanggaannya bukan lagi matriks nol-satu untuk graf semu, gelang
Universitas Sumatera Utara
pada simpul vi dinyatakan dengan nilai satu pada posisi i, j di matriks ketetanggaannya.
Keuntungan representasi dengan matriks adalah elemen matriksnya dapat diakses langsung melalui indeks.Selain itu, kita dapatmengetahui secara langsung
apakah simpul i dan simpul j bertetangga.
3.1.3.2 Matriks Bersisian
Bila matriks ketetanggaan menyatakan ketetanggaan simpul-simpul di dalam graf, maka matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = V,
E adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi, maka matriks kebersisian A dari graf G adalah matriks yang berukuran m x n. Baris menunjukkan label simpul, sementara
kolom menunjukkan label sisinya
.
Dalam notasi matematika dituliskan sebagai berikut
[11]
:
2.2
= 1, jika simpul i berisian dengan sisi j. = 0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.
3.1.3.3 Senarai Ketetanggaan
Kelemahan matriks ketetanggaan adalah bila graf memiliki jumlah sisi relatif sedikit, karena matriksnya bersifat jarang, yaitu banyak mengandung elemen nol, sedangkan
elemen yang bukan nol sedikit.Ditinjau dari segi implementasi, kebutuhan ruang memory untuk matriks jarang, boros, karena komputer menyimpan banyak elemen nol
yang tidak perlu. Untuk mengatasi masalah ini,Senarai ketetanggaan mengenumerasi simpul-simpul yang bertetangga dengan setiap simpul di dalam graf
[14]
.
Universitas Sumatera Utara
3.2 Traveling Salesman Problem
