3.2 Traveling Salesman Problem
3.2.1 Sejarah Traveling Salesman Problem
Permasalahan matematik yang berkaitan dengan Traveling Salesman Problem TSP mulai muncul sekitar tahun 1800-an. Masalah ini dikemukakan oleh dua orang
matematikawan, yaitu Sir William Rowan Hamilton yang berasal dari Irlandia dan Thomas Penyngton Kirkman yang berasal dari Inggris. Diskusi mengenai awal studi
dari persoalan TSP ini dapat ditemukan di buku Graph Theory 1736-1936 by N.L. Biggs, E.K. LLoyd, and R.J. Wilson, Clarendon Press, Oxford, 1976. Bentuk umum
dari persoalan TSP pertama kali dipelajari oleh para matematikawan mulai tahun 1930-an Karl Menger di Vienna dan Harvard. Persoalan tersebut kemudian
dikembangkan oleh Hassler Whitney dan Merril Flood di Princeton. Penelitian secara mendetail hubungan antara Menger dan Whitney, dan perkembangan persoalan TSP
sebagai sebuah topik studi dapat ditemukan pada tulisan Alexander Schriver “On the
history of combinatorial optimization till 1960 ”.
[2]
3.2.2 Definisi Traveling Salesman Problem
Persoalan Traveling Salesman Problem TSP merupakan salah satu persoalan kombinatorial.Banyak permasalahan yang dapat direpresentasikan dalam bentuk TSP.
Persoalan ini sendiri menggunakan representasi graf untuk memodelkan persoalan yang diwakili sehingga lebih memudahkan penyelesaiannya. Diantara permasalahan
yang dapat direpresentasikan dengan TSP adalah masalah transportasi, efisiensi pengiriman surat atau barang, perancangan pemasangan pipa saluran, proses
pembuatan PCB Printed Cirtcuit Board dan lain-lain. Persoalan yang muncul adalah bagaimana cara mengunjungi simpul node pada graf dari titik awal ke setiap titik-
titik lainnya dengan bobot minimum biaya paling murah. Bobot atau biaya ini sendiri dapat mewakili berbagai hal, seperti biaya, jarak, bahan bakar, waktu,
kenyamanan dan lain-lain.
Universitas Sumatera Utara
Pada Traveling Salesman Problem TSP, jumlah jalur yang mungkin diproleh dalam notasi matematika dituliskan sebagai berikut
[11]:
2.3
Dimana: n = jumlah seluruh node
k = jumlah node yang diseleksi
Terdapat dua jenis Traveling Salesman Problem TSP, yaitu asimetris dan simetris. Pada TSP asimetris, biaya dari node 1 ke node 2 tidak sama dengan biaya
dari node 2 ke node 1. Sedangkan pada TSP simetris, biaya dari node 1 ke node 2 sama dengan biaya dari node 2 ke node 1.
Untuk Traveling Salesman Problem TSP asimetris, jumlah jalur yang mungkin adalah permutasi dari jumlah node dibagi dengan jumlah node. Hal ini dapat
dipahami karena secara siklus, sebuah jalur dengan urutan 1-2-3 adalah sama dengan jalur 2-3-1 dan 3-1-2. Tetapi jalur dengan urutan 1-2-3 tidak sama dengan 3-2-1. Jadi
apabila terdapat 10 node, maka jalur yang mungkin untuk TSP asimetris adalah:
2.4
Sedagkan untuk Traveling Salesman Problem TSP simetris, jumlah jalur yang mungkin adalah permutasi dari jumlah node dibagi dengan dua kali jumlah node.
Hal ini dapat dipahami karena secara siklus sebuah jalur dengan urutan 1-2-3 adalah sama dengan jalur 2-3-1 dan 3-1-2. Karena biaya dari node 1 ke node 2 sama dengan
biaya dari node 2 ke node 1, maka jalur dengan urutan 1-2-3 sama dengan jalur 3-2-1. Jadi apabila terdapat 10 node, maka jalur yang mungkin untuk TSP simetris adalah:
2.5
Dalam sebuah graph, TSP digambarkan seperti Gambar 2.6 berikut:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.6 Ilustrasi Masalah TSP
Kota-kota pada Gambar 2.6 masing-masing mempunyai koordinat x,y sehingga jarak antar kedua kota dapat dihitung dengan rumusan:
[2]
2.6
Pencarian Lintas Terpendek dapat dinyatakan dengan persamaan:
[2]
2.7
3.2.3 Kompleksitas Masalah
Solusi langsung atas masalah Traveling Salesman Problem TSP adalah metode brute force, yakni dengan mencoba semua kemungkinan yang ada, kemudian dilihat mana
biaya yang paling minimum. Tetapi cara ini membutuhkan tenaga dan waktu yang cukup banyak, karena jumlah kemungkinan yang dicoba berjumlah n, di mana n
merupakan banyak titik atau kota. Karena itu cara ini mustahil untuk dipraktekkan.
3.2.4 Algoritma Penyelesaian Traveling Salesman Problem
Metode penyelesaian dibagi menjadi dua, yaitu penyelesaian secara eksak dan dengan menggunakan pendekatan heuristic. Untuk yang secara eksak, hanya baik apabila
A B
D C
E 5
2
4 3
2 5
3 6
2
Universitas Sumatera Utara
jumlah titik atau kota tidak terlalu banyak. Kurang rasional kalau untuk jumlah titik yang banyak digunakan cara eksak, karena akan memakan waktu dan tenaga yang
sangat banyak. Metode heuristic, walaupun tidak dapat dibuktikan bahwa solusi tersebut paling optimal, tetapi secara rasio cara ini yang paling mungkin dipakai.
Waktu untuk menghasilkan solusi lebih singkat, dapat dipakai untuk ribuan titik, dan hasil yang didapat juga dapat dikatakan hampir mendekati, bahkan kadang-kadang
sama dengan solusi optimal. 1.
Algoritma Eksak a.
Algoritma Branch and Bound Hanya dapat dipakai untuk jumlah kota atau titik yang kecil 40 sampai
60 kota. Terbagi menjadi dua proses, yaitu branching dan bounding. Di mana dalam branching suatu feasible region dipecah-pecah menjadi
beberapa feasible subregion, kemudian dalam bounding, subregion- subregion yang feasible tersebut digabungkan kembali.
b. Algoritma Cutting Plane
Algoritma ini berdasarkan linear programming. Cara kerjanya adalah dengan menyelesaikan program linier non integer, kemudian diuji
apakah nilai optimum yang didapat merupakan solusi integer. Jika tidak, maka non integer dihilangkan, tetapi tidakmenghilangkan integer
pada daerah feasible. Cara ini dilakukan terus-menerus sampai menemukan solusi integer optimal.
2. Nearest Neighbour
Algoritma ini tidak memerlukan banyak tenaga atau waktu dalam perhitungan dan dapat menghasilkan solusi yang cukup mendekati rute optimal, namun
hanya bisa diandalkan untuk kasus tertentu saja. Untuk kasus yang umum metode ini seringkali menghasilkan rute tidak optimum.
Universitas Sumatera Utara
3.3 Algoritma Genetik
Kategori