9
[ ],
[ ]
, [
], dan [ ].
Pada model 2.4 menyatakan vektor kolom untuk variabel respons berukuran
, adalah matriks konstanta berukuran , adalah vektor parameter berukuran
, dan adalah vektor kolom berukuran yang diasumsikan saling bebas dengan rataan nol dan keragaman
.
2.2 Analisis Regresi Nonparametrik
Dalam kasus nonparametrik pemenuhan asumsi kenormalan galat tidak diperlukan, karena penggunaan regresi nonparametrik tidak terikat akan asumsi-
asumsi seperti yang mendasari statistika parametrik. Statistika nonparametrik sering disebut statistika bebas distribusi. Menurut Eubank 1999, p. 3, dalam
model regresi nonparametrik bentuk kurva regresi tidak diketahui dan pada umumnya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi berdimensi takhingga,
dan merupakan fungsi yang mulus smooth. Regresi nonparametrik merupakan regresi yang memiliki fleksibilitas yang
tinggi dalam menaksir kurva regresi dan sangat objektif dalam memodelkan pola data. Dalam regresi nonparametrik data dapat mencari sendiri bentuk taksirannya
tanpa dipengaruhi oleh faktor subjektivitas peneliti Budiantara, 2011. Terdapat beberapa model regresi nonparametrik yang sering digunakan antara lain: spline,
MARS, kernel, wavelet, dan deret Fourier. Diberikan sekumpulan data
10
berpasangan yang mengikuti model regresi nonparametrik
sebagai berikut Eubank, 1999, p. 71. 2.5
dengan adalah sebuah vektor galat yang saling bebas dengan
rataan nol dan keragaman dan
menyatakan fungsi regresi yang bentuknya tidak diketahui.
2.3 Regresi Nonparametrik
Spline
Salah satu metode regresi nonparametrik adalah spline. Spline merupakan model polinom yang memiliki sifat tersegmen atau terpotong-potong yang
terbentuk pada setiap titik knot dan dapat menghasilkan fungsi regresi yang sesuai dengan data Eubank, 1999, p. 281. Metode spline sangat baik dalam
memodelkan data yang memiliki pola berubah-ubah pada sub-interval tertentu. Secara umum fungsi spline berorde
dengan titik knot dapat
dinyatakan dengan persamaan berikut. ∑
∑ 2.6
dengan
{ 2.7
merupakan fungsi potongan truncated, menyatakan parameter model;
menyatakan intersep; merupakan slope pada peubah truncated knot ke-
pada spline berorde m; adalah variabel prediktor;
adalah knot ke- ; adalah
11
banyaknya knot dalam variabel respons ke- ;
adalah konstanta real dan adalah titik knot.
Model regresi spline juga dapat dituliskan dalam notasi matriks berikut 2.8
dengan
[ ]
[ ]
[ ]
Regresi nonparametrik spline adalah suatu pendekatan dalam analisis regresi dengan pola hubungan fungsi regresinya yang diasumsuikan tidak
diketahui dan didekati dengan fungsi spline. Model regresi nonparametrik spline orde ke-m adalah sebagai berikut.
∑ ∑
;
12
2.9 Estimasi parameter regresi nonparametrik spline dapat diperoleh dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation MLE berdasarkan asumsi yaitu
dan pada persamaan 2.5 merupakan variabel acak yang saling
bebas, dan . Oleh karena itu
pada persamaan 2.5 juga berdistribusi normal dengan mean
dan keragaman Mubarak, 2012.
Sehingga fungsi densitas peluang menjadi
√
[ ]
2.10
Selanjutnya fungsi likelihood dapat dituliskan sebagai berikut. ∏
∏
√
∑ .
2.11
Selanjutnya dengan memaksimumkan fungsi likelihood akan diperoleh
estimasi titik untuk fungsi , yaitu sebagai berikut.
{ ∑
∑ ∑
}
2.12
13
Kemudian dilakukan tansformasi logaritma sehingga menghasilkan persamaan sebagai berikut.
∑ ∑
∑ .
Misalkan
dan
[ ]
maka: ∑
2.13
dengan Selanjutnya persamaan 2.13 diturunkan secara parsial terhadap
dan disamakan dengan nol di sisi kanannya, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
14
2.14
Hasil estimasi parameter ̂ adalah sebagai berikut.
̂ 2.15
dengan
.
2.4 Regresi Nonparametrik
