14
2.14
Hasil estimasi parameter ̂ adalah sebagai berikut.
̂ 2.15
dengan
.
2.4 Regresi Nonparametrik
Spline Multivariat
Model regresi nonparametrik spline multivariat merupakan model regresi yang memiliki lebih dari satu variabel respons yang saling berkorelasi dan lebih
dari satu variabel prediktor dengan fungsi regresinya diasumsuikan tidak diketahui dan didekati dengan fungsi spline. Model regresi nonparametrik spline
multivariat dapat ditulis sebagai berikut. ∑
∑ ∑
2.16
Menurut Wang 1998 dalam Wulandari 2014, bentuk kurva regresi diasumsikan tidak diketahui dan dihampiri dengan
fungsi spline berikut.
15
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
2.17
Dalam regresi nonparametrik spline multivariat, estimasi parameter dapat dilakukan dengan pengoptimalan Weighted Least Square WLS. Penentuan
matriks pembobot W dilakukan dengan menghitung nilai varians kovarians dari variabel respons. Berikut tahapan dalam menyusun matriks W.
1. Menentukan variabel respons
2. Menghitung nilai varians variabel respons
3. Menghitung nilai kovarians antara variabel respons
4. Membentuk matriks varians kovarians dari data
5. Mendefinisikan matriks varians kovarians sebagai pembobot W.
Matriks varians kovarians
adalah sebagai berikut.
[ ]
Estimasi parameter dengan pengoptimalan Weighted Least Square WLS adalah sebagai berikut.
16
. 2.18
Selanjutnya dilakukan penurunan secara parsial untuk persamaan 2.18 dengan memisalkan fungsi
, maka
. 2.19
Selanjutnya persamaan 2.19 diturunkan terhadapat dan disamakan dengan nol,
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
̂ ̂
2.20 Sehingga bentuk estimasi model spline dalam regresi nonparametrik multivariat
menjadi sebagai berikut. ̂ ̂
2.21 dengan
adalah matriks yang digunakan untuk perhitungan pada rumus GCV dalam pemilihan titik knot optimal.
17
2.5 Pemilihan Model Regresi Terbaik
Model regresi spline terbaik diperoleh dengan pemilihan titik knot yang optimal. Pemilihan titik knot yang optimal ini sangat penting
untuk memperoleh estimator spline terbaik yang paling sesuai dengan data. Titik knot adalah titik perpaduan bersama yang menunjukan terjadinya perubahan pola
perilaku data Wulandari, 2014. Titik knot merupakan suatu titik fokus dalam fungsi spline, sehingga kurva yang dibentuk tersegmen pada titik-titik tersebut.
Salah satu metode yang digunakan untuk memperoleh titik knot yang optimal adalah metode Generalized Cross Validation GCV. Kelebihan dari
GCV adalah sifatnya yang optimal asimtotik atau dengan sampel yang besar sifatnya tetap optimal. Model regresi terbaik yang berkaitan dengan titik knot
optimal diperoleh dari nilai GCV paling minimum. Fungsi GCV didefinisikan sebagai berikut.
[ ]
2.22
dengan menyatakan jumlah data, merupakan matriks identitas,
̂ ̂, dan
.
2.6 Korelasi antara Variabel-variabel Respons
Kategori