Slide Presentasi Makalah Bilangan Terhub

BILANGAN TERHUBUNG PELANGI
GRAF BERLIAN
M.A. Shulhany, A.N.M. Salman

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
E-mail : ahmad.shulhany@yahoo.com,
msalman@math.itb.ac.id

Bilangan Terhubung Pelangi
Konsep bilangan terhubung pelangi pertama kali diperkenalkan oleh
Chartrand, dkk pada tahun 2005.
 Konsep bilangan terhubung pelangi termotivasi oleh kelemahan
keamanan dalam pengiriman kode rahasia antar lembaga, terlebih
pada peristiwa 11 september 2001.
 Misalkan G=(V,E) adalah suatu graf terhubung tak-trivial. Fungsi c :
E(G) → {1, 2,..., k} untuk suatu k є N dikatakan pewarnaan-k pelangi
pada G, jika untuk setiap pasang titik u dan v di V terdapat suatu
lintasan dengan u dan v sebagai titik ujung yang setiap sisinya
memperoleh warna berbeda. Lintasan tersebut dinamakan lintasan
pelangi.

 Bilangan terhubung pelangi graf G adalah bilangan bulat positif terkecil
k sehingga G mempunyai suatu pewarnaan-k pelangi, dinotasikan
dengan rc(G).


Bilangan Terhubung Pelangi Kuat
c dikatakan pewarnaan-k pelangi kuat, jika untuk setiap titik u dan v di
V terdapat lintasan pelangi dengan panjangnya sama dengan jarak u
dan v, yang dinamakan sebagai lintasan pelangi kuat.
 Bilangan bulat positif terkecil k sehingga G mempunyai suatu
pewarnaan-k pelangi kuat didefinisikan sebagai bilangan terhubung
pelangi kuat yang dinotasikan dengan src(G).
 Diameter graf dinotasikan dengan diam(G), merupakan maksimum
dari himpunan jarak dua titik pada G.
 Orde graf G didefinisikan sebagai banyak titik pada G.
 Ukuran dari G didefinisikan sebagai banyak sisi pada G
 Melalui definisi, maka diam(G) ≤ rc(G) ≤ src(G) ≤ m. (1)


Penelitian yang relevan

Graf berlian
Graf berlian berorde 2n adalah graf yang diperoleh dari graf tangga
segitiga berorde 2n-1dan ditambahkan satu titik dan beberapa sisi tertentu.

Dapatdenganjelasterlihatbahwa diameter graf berlian adalah
, untuk � = � � � =
diam(Brn) =
, untuk �

Teorema 2.1
Misalkan bilangan bulat n ≥4, maka bilangan terhubung pelangi untuk
graf berlian berorde 2n adalah
rc(Brn) = diam(Brn).

Bukti:
Berdasarkan (1), cukup diperlihatkan rc(Brn)
dibagi pembuktian ke dalam dua kasus.

diam(Brn). Untuk itu akan

Kasus1. n = 4 atau n = 5
Definisikanpewarnaanc: E(G) → {1, 2, 3} sebagaiberikut:
c(uiui+1) = i, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};
c(uivi) = c(uivi+1) = 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};
c(vivi+1) = ((i +1) mod 2) +1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};
�
c(vjv) =
+ , untuk i ∈ {1, 2, ..., n}.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap x dan y
di V(Brn) dengand(x,y)
2, terdapat lintasanx-yyang
merupakanlintasanpelangi.
Subkasus1.1.
Jikax=
v
dany
=
ui,

terdapatlintasanpelangiv, vi, ui.
Subkasus1.2. Misalkanx = uidany = ujdengani
terdapatlintasanpelangivi, v, vj, uj.

1,

maka

1,

maka

1,

maka

Kasus2. n 6
Definisikanpewarnaanc: E(G) → {1, 2, 3, 4} sebagaiberikut:

c(uiui+1) = 1, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};

c(vivi+1) = c(uivi+1) = i mod 2 + 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};
c(uivi) = ((i+1) mod 2) + 3, untuk i ∈ {1, 2, ..., n-1};
c(vvj) = ((j+1) mod 2) + 1, untuk j ∈ {1, 2, ..., n}.

Selanjutnya, akan ditunjukkanbahwa untuksetiapxdan y di V(Brn)
dengand(x,y)
2, terdapat lintasan x-y yang merupakan lintasan
pelangi.

Subkasus2.1. Jikax = v dany = ui, maka terdapatlintasanpelangiv, vi, ui.
Subkasus2.2. Misalkanx = ui, y = uj, dengani< j.
 Subkasus
2.2.1.
Jikaidanjmemilikivaritas
yang
sama,
makaterdapatlintasanpelangiui, vi, v, vj+1, uj.
 Subkasus
2.2.2. Jikaidanjmemilikivaritas
yang

berbeda,
makaterdapatlintasanpelangiui, vi, v, vj, uj.
Subkasus2.3. Misalkanx = vi, y = vj, dengani 3, maka terdapatlintasanpelangi kuat vi,
v, vj+1, uj.

Jadi,
pewarnaandi
atasmerupakansuatupewarnaanpelangikuat.
Karenaitu, src(Brn) = t untukn 5.
SebagaicontohpadaGambar
5pelangikuat padaBr9.

di

bawahinidisajikansuatupewarnaan-

KESIMPULAN
Bilangan terhubung pelangi untuk graf berlian Brnsama dengan
diameter graftersebut, dan bilangan terhubung pelangi kuatnya
samadenganbilanganterhubungpelanginyauntukn

∈ {4,
5,
6}
�
danbernilai + 2 untuk n 7.

DAFTAR PUSTAKA
[1] Y. Caro, A. Lev, Y. Roditty, Z. Tuza, R. Yuster. 2008. On rainbow connection. Electronic Journal of
Combinatoircs.Vol 15(1): R57.
[2] L.S. Chandran, A. Das, D. Rajendraprasad, N.M. Varma. 2010. Rainbow connection number and
connected dominating sets. Electronic Notes in Discrete Mathematics.Vol 38: 239-244.
[3] G. Chartrand, G.L. Johns, K.A. McKeon, P. Zhang. 2008. Rainbow connection in graphs. Math.
Bohemica.Vol133(2): 85-98.
[4] J. Dong, X. Li. 2011. Upper bounds involving parameter σ2 for the rainbow connection.
ArXiv:1101.3119v1.Tersedia pada http://arxiv.org/abs/1101.3119v1.
[5] M. Krivelevich, R. Yuster. 2009. The rainbow connection of a graph is (at most) reciprocal to its
minimum degree. Journal of Graph Theory.Vol 63(3): 185-191.
[6] X. Li, Y. Shi 2010.Rainbow connection in 3-connected graphs. Graphs and Combinatorics. Vol
29(5): 1471-1475.
[7] O. Schnetz. Evaluation of period of a family of triangle and box ladder graphs. ArXiv : 1210.5376.

Tersedia pada http://arxiv.org/pdf/1210.5376.
[8] I. Schiermeyer. 2009. Rainbow connection in graphs with minimum degree three. Combinatorial
Algorithms: Lecture Notes in Computer Science.Vol 5874: 435-437.
[9] I. Schiermeyer. 2011. Bounds for the rainbow connection number of graphs. Graph Theory. Vol
31: 387-395.
[10] Sy. Syafrizal, G.H. Medika, L. Yulianti. 2013. The rainbow connection of fan and sun. Applied
Mathematical Sciences.Vol 7(64): 3155-3159.

TERIMA KASIH