Pengembangan Uji Portmanteau untuk Diagnostik Model Deret Waktu
PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU
UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU
YULITASARI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
ABSTRAK
YULITASARI. Pengembangan Uji Portmanteau untuk Diagnostik Model Deret Waktu. Dibimbing
oleh KUSMAN SADIK dan YENNI ANGRAINI.
Kecukupan model deret waktu dapat diperiksa berdasarkan sisaannya. Jika model layak maka
fungsi autokorelasi sisaan contoh tidak berbeda nyata dengan nol untuk semua lag lebih besar dari
satu. Uji yang digunakan untuk memeriksa apakah k pertama autokorelasi sisaan sama dengan nol
adalah uji portmanteau yang diperkenalkan pertama kali oleh Box-Pierce pada tahun 1970. Dalam
perkembangannya, uji ini mengalami perbaikan dan menerima usulan antara lain oleh Ljung-Box
(1978), Monti (1994) dan Pena-Rodriquez (2002).
Penelitian ini bertujuan untuk melihat kesensitifan ketiga uji portmanteau yaitu uji portmanteau
Ljung-Box (QLB), uji portmanteau Monti (QMT) dan uji portmanteau Pena-Rodriquez (Dm).
Penelitian dilakukan dengan simulasi dengan membangkitkan 36 model ARMA (p,q) dengan
ukuran contoh 100 dan 30 sebanyak 10 000 ulangan. Hasil memperlihatkan dari 36 model ARMA
(p,q) yang di-fit dengan model AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1), uji Dm merupakan uji yang
paling sensitif dibandingkan dengan kedua uji yang lain. Uji QLB memberikan hasil yang hampir
sama dengan uji QMT untuk lag kecil dan hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi uji QMT
terbukti lebih sensitif ketika model alternatif memiliki order MA yang lebih tinggi.
PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU
UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU
YULITASARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
PRAKATA
Skripsi dengan judul Pengembangan Uji Portmanteau untuk Diagnostik Model Deret
Waktu ini diinspirasikan oleh penelitian yang dilakukan oleh Daniel Pena dan Julio Rodriquez.
Hasil penelitian mereka dapat dilihat pada jurnal Journal of the American Statistical Association
(JASA) 97:601-610 tahun 2002 dengan judul “A Powerful Portmanteau Test of Lack of Fit for
Time Series”. Disamping menggunakan 24 model ARMA (p,q) yang digunakan pada penelitian
terdahulu, penulis juga menambahkan 12 model ARMA (p,q) yang di-fit dengan model ARMA
(1,1).
Terselesaikannya skripsi ini adalah dengan penuh perjuangan. Empat tahun lamanya
terkatung-katung sampai akhirnya dapat tertuntaskan. Perjuangan panjang ini tak lepas dari
bantuan banyak pihak. Orang tua di rumah yang selalu percaya pada anaknya. Pak Kusman Sadik
dan Bu Yenni Angraini selaku pembimbing skripsi. Dudi atas saran penggunaan R 2.4.0. Marta,
Nono, Rani, Itut dan semua teman yang yang tak tersebut yang tak lelah terus memberi semangat.
Syukur nikmat ini sungguh tak terbilang.
Bogor, Agustus 2007
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Drs. Noor Siswanto, S.H dan Siti Samsilah.
Penulis dilahirkan di Wonosari, Gunung Kidul pada tanggal 7 Juli 1982. Masa kecil dilewatkannya
di beberapa kota mengikuti orangtuanya yang pindah tugas.
Pendidikan dasar diselesaikan di tiga sekolah dan akhirnya tahun 1994 penulis lulus dari
SDN 3 Toma Lima, Passo, Ambon. Sempat bersekolah di SMP Negeri 1 Lateri Ambon sebelum
menyelesaikan pendidikan menengahnya di SMP Negeri 11 Pontianak pada tahun 1997. Setelah
menghabiskan masa kelas 1 dan 2 di SMU Negeri 1 Pontianak, penulis lulus dari SMU Negeri 1
Karanganom, Klaten pada tahun 2000. Pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen
Statistika FMIPA IPB melalui jalur UMPTN.
Penulis pernah manjadi pengurus Asrama Putri IPB Baranangsiang periode 2003/2004 dan
melakukan praktek lapang di Dinas Pertanian Tanaman Pangan Provinsi Jawa Tengah pada
Februari – April 2004. Penulis juga sempat ikut pada survey PATANAS 2004 yang diadakan oleh
Pusdatin Deptan.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ··········································································································
vii
DAFTAR LAMPIRAN ······································································································· viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang·········································································································
Tujuan ·····················································································································
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
Metode Simulasi ······································································································
Deret Waktu ············································································································
Koefisien Autokorelasi·····························································································
Proses Auto Regresi ·································································································
Proses Moving Average ····························································································
Uji Portmanteau ·······································································································
Uji Portmanteau Ljung-Box (QLB) ································································
Uji Portmanteau Monti (QMT) ·······································································
Uji Portmanteau Pena dan Rodriquez (DM) ···················································
1
1
2
2
2
3
3
3
3
METODE ANALISIS·········································································································
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemerikasaan Program ·····························································································
Program Pembangkitan Data ········································································
Program perhitungan QLB, QMT, dan Dm ························································
Kelayakan Model ·····································································································
Pembangkitan dan Pengolahan Data ·········································································
5
5
7
7
8
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan ·················································································································
Saran ·······················································································································
9
9
DAFTAR PUSTAKA ·········································································································
9
LAMPIRAN ·······················································································································
11
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Plot Normal Galat yang Dibangkitkan dengan rnorm ·····················································
5
2 Plot Data Bangkitan Terhadap Waktu ············································································
5
3 Plot ACF Data Bangkitan ······························································································
6
4 Plot PACF Data Bangkitan ····························································································
6
5 Pendugaan Parameter dengan Model MA (2) ·································································
6
6 Plot Sisaan Model MA (2) Terhadap Waktu ···································································
6
7 Plot ACF Sisaan Model MA (2) ·····················································································
6
8 Plot PACF Sisaan Model MA (2)···················································································
6
9 Pendugaan Parameter dengan Model AR (3) ··································································
7
10 Plot Sisaan Model AR (3) Terhadap Waktu····································································
7
11 Plot ACF Sisaan Model AR (3)······················································································
7
12 Plot PACF Sisaan Model AR (3) ···················································································
7
13 Plot ACF Sisaan Model AR (3)······················································································
8
14 Plot PACF Sisaan Model AR (3) ···················································································
8
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Perintah Pembangkitan Deret Waktu dengan R 2.4.0 ·····················································
11
2 Model ARMA (p,q) yang Dibangkitkan ·········································································
14
3 Pembuktian Teorema dan Pendekatan Sebaran·······························································
15
4 Nilai QLB dengan MINTAB dan R 2.4.0 ········································································
17
5 Nilai Dm dengan R 2.4.0 dan Secara Manual ··································································
17
6 P-value untuk Dm, QLB, serta QMT dengan Minitab dan R 2.4.0 ·······································
17
7 P-value Uji Portmanteau ·······························································································
18
8 Persentase series (deret 1, deret 2, … deret 10000) dengan sisaan berkorelasi
ketika data di-fit dengan model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa
model ARMA(p,q) dengan uji DM, QLB dan QMT pada n=100 ·········································
19
9 Persentase series (deret 1, deret 2, … deret 10000) dengan sisaan berkorelasi
ketika data di-fit dengan model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa
model ARMA(p,q) dengan uji DM, QLB dan QMT pada n=30 ···········································
20
10 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QLB pada N=100 ··························································································
22
11 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QMT pada N=100 ·························································································
23
12 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji Dm pada N=100 ···························································································
24
13 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QLB pada N=30 ····························································································
25
14 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QMT pada N=30 ···························································································
26
15 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji Dm pada N=30 ·····························································································
27
1
PENDAHULUAN
data multivariat dengan perilaku sebaran
peluang tertentu.
Latar Belakang
Tujuan
Data yang dikumpulkan berdasarkan
urutan waktu atau biasa disebut data deret
waktu dapat digunakan untuk melakukan
pendugaan kejadian yang akan datang yang
disebut dengan peramalan. Jenis data ini
sering dijumpai di berbagai bidang.
Peramalan merupakan satu elemen penting
dalam pengambilan keputusan dan penentuan
kebijakan. Dengan peramalan kerugian akibat
ketidakpastian dalam pengambilan keputusan
dapat dikurangi. Peramalan dapat dilakukan
dengan melakukan pemulusan terhadap data
dan pemodelan. Ketepatan peramalan dapat
ditingkatkan dengan menyediakan lebih
banyak data, tetapi sering kali data yang
tersedia tidak cukup banyak untuk
membangun sebuah model pendugaan yang
baik.
Pemodelan data deret waktu dilakukan
dalam tiga tahap yaitu penentuan model
tentatif, pendugaan parameter dan analisis
diagnostik terhadap kelayakan model. Ketiga
tahapan ini dikenal sebagai metode BoxJenkins.
Model dikatakan layak jika sisaannya
saling bebas, mempunyai sebaran identik serta
menyebar normal dengan rataan nol dan
ragam σ e2 (Cryer 1986). Sisaan tidaklah
selalu saling bebas, pada beberapa kasus
terjadi autokorelasi. Jika hal ini diabaikan
maka akan menyebabkan ketidakkonsistenan
pendugaan galat baku, ketidaktepatan uji
hipotesis dan ketidakefisienan pendugaan
koefisien regresi. Uji formal yang digunakan
untuk menguji apakah sisaan saling bebas atau
tidak adalah uji portmanteau (statistik Q) yang
diperkenalkan pertama kali oleh Box-Pierce
pada tahun 1970. Uji portmanteau dirumuskan
sebagai perkalian ukuran contoh dan jumlah
kuadarat k autokorelasi sisaan contoh pertama.
Statistika Q akan menyebar mengikuti sebaran
khi-khuadrat dengan derajat bebas k-p-q jika
H0 benar dengan hipotesis nol sisaan saling
bebas.
Dalam perkembangannya, uji portmanteau
mengalami perbaikan dan menerima usulan
antara lain oleh Ljung-Box (1978), Monti
(1994) dan Pena-Rodriquez (2002). Uji
portmanteau Pena-Rodriquez (Dm) dipercaya
lebih sensitif untuk mendeteksi adanya
autokorelasi pada sisaan terutama pada n kecil.
Uji ini memisalkan sisaan sebagai contoh dari
Tujuan
penelitian
ini
adalah
membandingkan
kesensitifan
tiga
uji
portmanteau yaitu uji portmanteau PenaRodriquez (Dm), uji portmanteau Ljung-Box
(QLB) dan uji portmanteau Monti (QMT).
TINJAUAN PUSTAKA
Metode Simulasi
Simulasi dalam statistika dapat diartikan
sebagai kumpulan teknik yang berguna yang
kesemuanya berhubungan dengan meniru
perilaku suatu model (Morgan 1984).
Simulasi tidak hanya dapat menerangkan
model itu sendiri, tetapi juga untuk
menyelidiki bagaimana perilaku model dapat
berubah mengikuti perubahan di dalam model.
Metode simulasi dapat memberikan efisiensi
dan kemudahan dalam menganalisis suatu
model matematika. Sekarang kebanyakan
simulasi dalam statistika dilakukan dengan
bantuan perangkat komputer.
Deret Waktu
Deret waktu adalah suatu gugus tatanan
nilai-nilai pengamatan sifat kuantitatif suatu
individu atau kumpulan individu yang diamati
pada titik-titik waktu berbeda. Biasanya jarak
titik-titik waktu tersebut dibuat sama.
Deret waktu dapat dimodelkan dalam
bentuk umum :
X t = b1 z1 (t ) − b2 z 2 (t ) + L + bk z k (t ) + ε t
keterangan :
bt = parameter
zt(t) = fungsi matematik dari t
ε t = galat acak
Dua tujuan utama dari analisis deret waktu
adalah memodelkan proses stokastik yang
membangkitkan pengamatan deret waktu dan
memprediksi atau meramalkan kejadian
mendatang berdasarkan data terdahulu.
Kestasioneran
merupakan
asumsi
terpenting yang harus dipenuhi dalam
pemodelan proses stokastik (Cryer 1986).
Proses stokastik dikatakan stasioner jika
rataan fungsi konstan menurut waktu dan
ragam bersama antara lag t dengan lag t-k
sama dengan ragam bersama antara lag 0
dengan lag k untuk semua t dan k.
2
Koefisien Autokorelasi
Koefisien autokorelasi adalah ukuran
seberapa besar korelasi antara data yang
berdekatan pada data deret waktu Xt (Pindyck
dan Rubinfield 1997). Korelasi antara Xt dan
Xt+k yang terpisahkan oleh k interval waktu
disebut autokorelasi lag k dan didefinisikan
sebagai:
E[( X t − X )( X t + k − X )]
ρk =
E[( X t − X ) 2 ]E[( X t + k − X ) 2
=
Cov ( X t , X t − k )
σ X t σ X t+k
Pada proses yang konstan, ragam pada
waktu t akan sama besar dengan ragam pada
waktu t + k, sehingga koefisien autokorelasi
akan menjadi:
Cov (( X t , X t − k ) γ k
=
ρk =
σ x2
γ0
Autokorelasi bernilai antara -1 dan 1. Nilai
autokorelasi yang mendekati ±1 mengindikasikan adanya hubungan yang kuat dan
nilai autokorelasi mendekati nol menunjukan
tidak adanya hubungan.
Koefisien autokorelasi dapat diduga
dengan koefisien autokorelasi contoh (rk)
(Pindyck dan Rubinfield 1997).
∑n a a
rk = t =k +1 t 2 t −k
∑tn=1 at
Kesulitan pengidentifikasian nilai p pada
proses autoregresi dapat ditanggulangi dengan
penggunaan autokorelasi parsial. Autokorelasi
parsial ( π̂ k ) dapat diartikan sebagai korelasi
antara Xt dan Xt-k setelah pengaruh
pembalikan peubah Xt-1, Xt-2, ..., Xt-k+1
dihilangkan pada data deret waktu yang
konstan (Cryer 1986).
Proses Autoregresi
Prose autoregresi ordo p (AR (p))
dimodelkan sebagai:
X t = ξ + φ1 X t −1 + φ 2 X t − 2 + L + φ p X t − p + ε t
Persamaan ini disebut autoregresi karena
pengamatan aktual Xt diregresikan pada
pengamatan sebelumnya Xt-1, Xt-2, ..., Xt-p
dalam deret waktu yang sama (Montgomery et
all 1990). Proses AR (p) dapat dituliskan
dalam bentuk operator backward-shift:
φ p ( B) X t = ε t
Proses AR (p) dapat diterapkan untuk
proses yang stasioner maupun tidak stasioner.
Proses AR (p) akan stasioner jika akar dari
polinomial φp (B) berada diluar unit lingkaran.
Proses AR (p) memiliki fungsi autokorelasi
(ACF) yang berpola polinomial dan fungsi
autokorelasi parsial (PACF) yang terpotong
pada lag p.
Model AR yang paling sederhana adalah
AR (1) :
X t = μ + φX t −1 + at
dimana peristiwa pada waktu t hanya
bergantung pada peristiwa pada waktu t-1 dan
bebas terhadap peristiwa waktu t-2, t-3, ..., t0.
Proses ini disebut juga proses Markov. Proses
ini akan stasioner jika dan hanya jika |φ| < 1.
Nilai tengah dari model ini nol, ragamnya
σ a2 /(1 − φ 2 ) dan autokorelasi untuk lag k
sama dengan φk.
Proses Moving Average
Model umum proses moving average ordo
q (MA (q)) dapat ditulis sebagai:
X t = ε t + θ1ε t −1 + θ 2 ε t − 2 + L + θ q ε t − q
Terminologi moving average berasal dari
fakta
bahwa
Xt
dibangun
dengan
membobotkan 1,-φ1, -φ2, ..., -φq, pada variabel
t,
t-1,
t-2, ..., t-p kemudian mengerakkan
pembobot yang sama satu periode waktu
kebelakang dan membobotkannya pada t+1, t,
t-1, ..., t-p+1 untuk mendapatkan Xt+1 (Cryer
1986). Proses MA (q) dapat ditulis dalam
bentuk operator backward-shift sebagai:
X t = μ + θ q ( B)ε t
Untuk kondisi tertentu proses MA (q)
dapat ditulis ke dalam bentuk AR (∞). Kondisi
ini disebut invertibility bagi MA (q). Syarat
agar proses MA (q) dapat dirubah menjadi
proses AR (∞) adalah akar dari polinomial θq
(B) = 0 berada diluar unit lingkaran. Proses
MA (q) dapat dikenali dengan melihat plot
ACF yang terpotong pada lag q dan plot
PACF yang berpola polinomial. Dapat
disimpulkan bahwa proses tidak memiliki
korelasi setelah lag q.
Proses MA yang paling sederhana adalah
MA (1) yang di modelkan sebagai:
X t = ε t + θ ε t −1
Nilai tengah model ini bernilai nol, ragamnya
(1+θ2) σ 2 dan autokorelasi lag 1 sama dengan
-θσ 2 serta autokorelasi untuk lag k, k > 1 akan
bernilai nol.
Seringkali dijumpai proses autoregresi
dimasukkan bersamaan dengan moving
average dalam satu model deret waktu. Hal
ini dilakukan karena model tersebut lebih baik
dibandingkan dengan model autoregresi saja
atau model moving average saja. Model
3
campuran autoregresi-moving average order
(p,q) (ARMA (p,q)) dapat dituliskan sebagai :
X t = ξ + φ1 X t −1 + φ2 X t −2 + L + φ p X t − p + ε t −
θ1ε t −1 − θ2ε t − 2 − L − θqε t − q
Model campuran ini akan stasioner jika
dari polinomial φp (B) berada diluar
lingkaran dan invertible jika akar
polinomial θq (B) = 0 berada diluar
lingkaran.
akar
unit
dari
unit
Uji Portmanteau
Ada dua cara untuk melihat asumsi
kebebasan galat. Pertama dengan melihat plot
sisaan dengan waktu. Jika plot ini tidak
berpola maka dapat disimpulkan bahwa sisaan
bebas. Yang kedua melihat ACF sisaan. Jika
autokorelasi sisaan bernilai nol maka dapat
dikatakan sisaan saling bebas.
Uji formal untuk menguji asumsi
kebebasan galat adalah uji portmanteau. Uji
ini pertama kali diperkenalkan oleh BoxPierce pada tahun 1970 berdasarkan pada
autokorelasi sisaan yang dirumuskan sebagai:
2
Q = n∑m
k =1 rk
Jika model ARMA(p,q) teridentifikasi
dengan benar maka untuk n yang besar Q
akan menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Hipotesis yang digunakan adalah
sisaan saling bebas melawan sisaan tidak
bebas (berkorelasi).
Uji Portmanteau Ljung-Box (QLB)
Persoalan muncul jika n tidak besar. Ljung
dan Box (1978) menunjukan bahwa untuk n =
100 pun pendekatan Q ke sebaran khi-kuadrat
tidak memuaskan. Uji portmanteau kemudian
diperbaiki menjadi uji portmanteau LjungBox (QLB) dengan mengantikan koefisien
autokorelasi sisaan (rk) dengan nilai
standarnya ( ~
rk ) (Pena dan Rodriguez 2002).
( n + 2) 2
~
rk2 =
rk
(n − k )
sehingga
Q LB = n(n + 2)∑
m
k =1 ( n
−
k ) −1 rk2
QLB menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Ljung (1986) dalam Pena dan
Rodriguez (2002) memperlihatkan bahwa
menghitung QLB dengan banyak autokorelasi
sisaan dapat mengurangi kekuatan ujinya.
Uji Portmanteau Monti (QMT)
Monti (1994) memperkenalkan uji
portmanteau QMT yang berdasarkan pada
autokorelasi parsial ( πˆ k ).
−1 2
ˆ
QMT = n(n + 2)∑m
k =1 ( n − k ) π k
QMT menyebar khi khuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Melalui simulasi, Monti (1994)
menunjukan bahwa ketika alternatif model
memiliki ordo moving average yang lebih
tinggi, QMT lebih sensitif dibandingkan
dengan QLB. Kwan dan Wu (1997) dalam
Pena dan Rodriquez (2002) mengevaluasi via
simulasi Monte Carlo untuk data bangkitan
dengan siklus bulanan dan menemukan
perbedaan yang kecil antara kekuatan uji QLB
dan QMT.
Uji Portmanteau Pena dan Rodriquez
Adanya fakta bahwa berkurangnya
kekuatan uji QLB dengan bertambahnya lag
serta hanya terdapat sedikit perbedaan
kekuatab uji QLB dan QMT mendorong Pena
dan Rodriquez mengusulkan sebuah uji
portmanteau yang baru. Uji yang diusulkan
pada tahun 2002 ini menggunakan
transformasi dari determinan R̂ m untuk
menguji adanya autokorelasi pada sisaan.
Dimana R̂m adalah matriks korelasi sisaan
data deret waktu stasioner ordo m yang
didefinisikan sebagai:
r1 L rm ⎤
⎡1
⎢r
1 L rm −1 ⎥⎥
Rˆ m = ⎢ 1
⎢M
M
O
M ⎥
⎢
⎥
1
r
r
L
⎦
⎣ m m−1
Uji portmanteau Pena-Rodriquez dirumuskan
sebagai:
Dˆ m = n[1− | Rˆ m |1 / m ]
Determinan R̂ m akan bernilai 1 dan D̂m
bernilai 0 ketika r1 = r2 = ... = rm = 0. Ketika r1
= r2 = ... = rm = 1, determinan R̂ m akan bernilai
0 dan D̂m bernilai n. Untuk semua nilai rk,
D̂m bernilai lebih dari sama dengan nol.
rˆ( m) = (r1 , r2 , K, rm ) ' ,
Misalkan
maka
matriks korelasi dapat ditulis sebagai:
rˆ(′m ) ⎤
⎡ 1
Rˆ m = ⎢
ˆ ⎥
ˆ
⎢⎣r( m ) Rm −1 ⎥⎦
Dengan menggunakan sifat determinan
matriks
terbagi
didapatkan
| Rˆ m | =
| Rˆ
| (1 − R 2 ) dimana R 2 = rˆ ′ Rˆ −1 rˆ
m −1
m
m
(m)
m −1 ( m )
adalah perkalian koefisien korelasi yang
dikuadratkan dari model linear εˆt =
m
∑ j =1 b jεˆt − j + ut . Secara rekursif didapatkan :
4
1/ m
⎤
⎡m
| Rˆ m |1 / m = ⎢∏ (1 − Ri2 )⎥
⎦
⎣ i =1
1− | Rˆ |1 / m dapat dinteprestasikan
dan
m
sebagai rataan kuadrat koefisien korelasi
(Pena dan Rodriguez 2002).
D̂m dapat pula ditafsirkan berdasarkan
koefisian autokorelasi parsial. Perhatikan
bahwa 1 - Ri2 = JKG(1,i)/JKT dan dengan cara
yang sama didapatkan 1 – Ri-12 = JKG(1, i-1)/
JKT sehingga
1 − Ri2
JKG (1, i )
=
= (1 − πˆ i2 )
1 − Ri2−1 JKG (1, i − 1)
JKG(1, i − 1) − JKG(1, i )
adalah
JKG (1, i − 1)
kuadrat koefisien autokorelasi ke-i. Sehingga
determinan R̂m dapat dituliskan sebagai
Dimana πˆ i2 =
m
| Rˆ m |1 / m = ∏ (1 − πˆ i2 )
( m +1−i ) / m
i −1
Jika model teridentifikasi dengan benar
maka D̂m akan menyebar secara asymtot
sebagai
m
∑i =1 λi χ12.i (Lampiran 3). Peluang
Pr( D̂m > x) dapat dievaluasi dengan membalik
fungsi karateristik dari ∑im=1 λi χ 12.i (Imhof
1961). Pendekatan sebaran λi χ12.i dilakukan
oleh sebaran aχ b2 dengan mean dan ragam
yang sama dengan sebaran yang sebenarnya
serta derajat bebas b yang berupa pecahan.
Akan didapatkan bahwa a = ∑ λi2 / ∑ λi dan
b = ( ∑ λi ) 2 / ∑ λi2 .
Sebaran D̂m dapat didekati dengan
sebaran gamma, Γ (α=b/2, β=1/2a) dengan
parameter yang didefinisikan sebagai:
3m[(m + 1) − 2( p + q )] 2
α=
2[2( m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )]
3m[(m + 1) − 2( p + q )]
dan β =
2(m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q)
Sebaran ini memiliki rataan α/ β = (m+1)/ 2 –
(p+q) dan ragam α/ β2 = (m+1)(2m+1)/ 3m –
2(p + q).
Pendekatan di atas akan lebih baik jika
menggunakan koefisien autokorelasi yang
distandarkan ( ~
rk ) sehingga uji portmanteau
terbaru menjadi
~
Dm = n [1− | Rm |1/ m ]
~
Rm adalah matriks korelasi yang dibangun
berdasarkan ~
rk . Pendekatan Dm lebih baik
dibandingkan D̂m , terutama untuk contoh
berukuran kecil (Pena dan Rodriguez 2002).
Nilai Dm akan bernilai lebih dari sama dengan
nol untuk semua nilai rk.
METODE ANALISIS
Penelitian dilakukan dengan melakukan
simulasi. Pembangkitan data dilakukan
dengan bantuan perangkat lunak R 2.4.0.
Model yang dibangkitkan adalah model deret
waktu ARMA(p,q)
Xt = φ1Xt-1 + φ2Xt-2 + ... + φpXt-p +at - θ1at-1 θ2at-2 - ... - θqat-q
Dimana p dan q bernilai (0,1,2), at ~ N(0, σa2)
dan bebas stokastik identik. Koefisien
autoregresi (φ) dan koefisien moving average
(θ) dipilih sedemikian sehingga model yang
dibangkitkan stasioner dan invertible.
Pengulangan dilakukan sebanyak 10 000 kali.
Ukuran contoh (n) yang digunakan adalah 30
dan 100. Evaluasi uji dilakukan pada lag 6, 12,
18, dan 24 untuk n = 30, sedangkan pada n =
100 dilakukan pada lag 12, 24, 36 dan 48
dengan taraf nyata uji α = 0.05. Penentuan n
dan lag evaluasi dilakukan secara subjektif
oleh penulis.
Langkah-langkah simulasi yang dilakukan
adalah:
1. Dibangkitkan at yang menyebar normal
dengan rataan 0 dan ragam 1.
2. Data deret waktu di bangun dengan model
dan parameter yang telah ditetapkan
(Lampiran 2) dengan at sebagai galatnya.
3. Data deret waktu di-fit dengan model AR
(1) atau MA (1) atau ARMA (1,1)
(Lampiran 2). Sisaan contoh di hitung
dengan rumus:
εˆt = φˆp−1 ( B)θˆq ( B ) X t
4. Nilai autokorelasi sisaan contoh (rk) dan
autokorelasi parsial sisaan contoh ( πˆ k )
dicari.
5. Uji QLB dihitung berdasarkan nilai
koefisien autokorelasi sisaan contoh (rk).
−1 2
Q LB = n( n + 2) ∑m
k =1 ( n − k ) rk
6. Peluang QLB dihitung dengan merujuk
pada persentil sebaran Khi-Khuadrat
dengan derajat bebas m-p-q.
7. Uji QMT dilakukan berdasarkan nilai
koefisien autokorelasi parsial sisaan
contoh ( πˆ k ).
−1 2
ˆ
QMT = n(n + 2)∑m
k =1 ( n − k ) π k
5
11. Jika nilai peluang kurang dari α maka
tolak H0 yaitu autokorelasi sisaan contoh
berbeda nyata dengan nol
12. Langkah 1-11 dilakukan sebanyak 10 000
kali ulangan.
13. Langkah 1-12 diulang untuk setiap model.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
Pemeriksaan program dilakukan untuk
melihat apakah program yang digunakan telah
berjalan dengan baik dan memberikan hasil
benar. Perintah pelaksanaan simulasi pada
perangkat lunak R 2.4.0 dapat dilihat pada
Lampiran 1.
Program Pembangkitan Data
Program pembangkitan data yang baik dan
benar akan menghasilkan keluaran sesuai
dengan yang diinginkan. Hal ini sangatlah
penting karena sangat berpengaruh pada hasil
yang akan dicapai. Jika data yang
dibangkitkan salah maka akan salah pula
kesimpulan yang kita ambil.
Sebagai ilustrasi diberikan gambaran
pembangkitan untuk model 16 yaitu model
MA (2) dengan θ1 = 0.80 dan θ2 = -0.50.
Pembangkitan data dilakukan dengan R 2.4.0.
Galat yang menyebar normal dengan rataan
nol dan ragam satu dibangkitkan dengan
perintah rnorm. Dari plot normal AndersonDarling (Gambar 1) didapatkan nilai AD
sebesar 0.575 dengan peluang 0.132. Hal ini
menunjukkan bahwa tidak cukup bukti untuk
menyatakan bahwa galat yang dibangkitkan
tidak menyebar normal dengan selang
kepercayaan 95%. Berdasarkan galat ini, data
deret waktu dibangkitkan dengan perintah
arima.sim. Hasil bangkitan dapat dilihat pada
Tabel 1.
Probability Plot of Galat
Normal
99.9
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99
95
-0.002169
1.031
100
0.575
0.132
90
Percent
8. Peluang QMT dihitung dengan merujuk
pada persentil sebaran Khi-Khuadrat
dengan derajat bebas m-p-q.
9. Uji Dm dilakukan berdasarkan autokorelasi
sisaan contoh yang telah distandarkan ( ~
rk ).
~ 1/ m
Dm = n [1− | Rm | ]
10. Peluang Dm dihitung mengunakan
pendekatan sebaran gamma Γ(α, β) dengan
parameter:
3m[(m + 1) − 2( p + q )] 2
α=
2[2( m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )]
3m[(m + 1) − 2( p + q )]
dan β =
2(m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
C1
Gambar 1 Plot
Normal
Galat
yang
Dibangkitkan dengan rnorm
Tabel 1
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Xt
1.87875
-1.86217
0.09728
1.98972
-2.53334
2.32822
-0.46057
-1.69587
2.04349
0.06282
-2.39420
2.52487
-1.70744
0.21102
0.09416
-1.94587
0.04052
-0.63292
0.93784
-1.47801
-0.61044
0.55084
-0.16068
0.13870
-0.08029
Data
Deret
Waktu
Hasil
Pembangkitan dengan arima.sim
t
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Xt
-0.13581
1.25494
-3.61164
2.76696
-0.62557
-0.42332
1.92850
-0.98067
1.36474
0.58929
2.32053
-0.24014
1.07896
-1.23126
1.25734
1.37608
-1.59707
0.40975
-0.60036
0.70754
-1.01504
-0.16186
1.22140
-0.22561
1.57237
t
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Xt
t
-1.96563 76
1.52891 77
-1.94352 78
1.72447 79
-1.82335 80
-0.17967 81
2.54184 82
-2.65754 83
0.42772 84
1.65516 85
-0.31151 86
1.63632 87
-1.35229 88
0.91447 89
1.02728 90
0.16126 91
0.36149 92
0.05844 93
-0.75412 94
0.25106 95
-0.18151 96
-0.30045 97
0.24340 98
-2.41329 99
3.16517 100
Xt
-2.43688
2.34934
-2.40793
0.28129
-0.58299
-0.28430
-0.59148
-0.46443
0.63201
0.10978
-0.51707
-0.89802
0.54074
0.35270
-1.62499
2.57518
-1.54035
0.53572
-0.14778
1.59147
-0.34211
0.90887
0.02494
0.78483
-0.59322
Keterangan : Xt adalah model MA (2) dengan θ1 = 0.80
dan θ2 = -0.50)
Gambar 2 Plot Data Bangkitan Terhadap
Waktu
Tahap selanjutnya adalah memeriksa
apakah deret waktu yang terbangkitkan telah
6
sesuai dengan apa yang diharapkan. Proses ini
dilakukan dengan melihat plot data terhadap
waktu, plot ACF, plot PACF, pendugaan
parameter dan analisis sisaannya.
Plot data bangkitan terhadap waktu
(Gambar 2) memperlihatkan kestasioneran,
baik pada rataan maupun pada ragam,
sehingga tidak perlu dilakukan pembedaan
pada data. Plot ACF dan plot PACF data
(Gambar 3 dan Gambar 4) dapat digunakan
sebagai dasar penentuan model tentatif. Dari
plot ACF yang memperlihatkan hanya
autokorelasi pada lag 1 dan lag 2 yang
berbeda nyata dengan nol dan plot PACF yang
turun secara lambat, dapat kita tentukan model
tentatifnya adalah MA (2). Jika dianggap plot
PACF nyata untuk lag 1, lag 2 dan lag 3 dan
plot ACF turun secara lambat maka model
tentatif data diatas adalah AR (3).
adanya autokorelasi sisaan dan autokorelasi
parsial sisaan yang berbeda nyata dari nol.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa model
MA (2) layak.
Call:
arima(x = data, order = c(0, 0, 2))
Coefficients:
ma1
0.8117
s.e.
0.1004
ma2
-0.4906
0.0843
intercept
0.0402
0.0694
sigma^2 estimated as 1.049:
log likelihood = -144.73, aic = 297.46
Gambar 5 Pendugaan Parameter Model MA
(2)
Gambar 6 Plot Sisaan Model
Terhadap Waktu
MA
(2)
Gambar 3 Plot ACF Data Bangkitan
Gambar 7 Plot ACF Sisaan Model MA (2)
Gambar 4 Plot PACF Data Bangkitan
Pendugaan parameter dengan model MA
(2) memperlihatkan bahwa nilai dugaan
parameter θˆ = 0.8117 dan θˆ = -0.4906
1
2
mendekati nilai parameter aslinya θ1 = 0.80
dan θ2 = -0.50 (Gambar 5). Secara visual
dapat diperlihatkan bahwa sisaan model telah
saling bebas, karena plot residual terhadap
waktu (Gambar 6) tidak memperlihatkan
adanya pola. Hal ini diperkuat dengan plot
ACF sisaan (Gambar 7) dan plot PACF
sisaan (Gambar 8) yang memperlihatkan tidak
Gambar 8 Plot PACF Sisaan Model MA (2)
7
Hasil pendugaan parameter untuk model
AR (3) dapat dilihat pada Gambar 9. Nilai
dugaan parameternya adalah φˆ = -0.7117,
1
model yang paling sederhana dengan nilai
AIC = 297.46 lebih kecil dibandingkan
dengan nilai AIC model AR (3) = 301.26.
φˆ2 = -0.0471, dan φˆ3 = 0.02318 dengan
dugaan ragam sebesar 1.069. Plot sisaan
terhadap waktu yang tidak berpola (Gambar
10), serta tidak adanya autokorelasi sisaan
(Gambar 11) dan parsial autokorelasi sisaan
(Gambar 12) yang berbeda nyata dengan nol
menandakan sisaan model AR (3) telah saling
bebas. Berdasarkan hal ini dapat disimpulkan
bahwa model AR (3) juga layak.
Call:
arima(x = data, order = c(3, 0, 0))
Coefficients:
ar1
-0.7117
s.e. 0.0966
ar2
-0.0471
0.1206
ar3
0.2318
0.0973
Gambar 12 Plot PACF Sisaan Model AR (3)
intercept
0.0386
0.0678
sigma^2 estimated as 1.069:
log likelihood = -145.63, aic = 301.26
Gambar 9 Pendugaan Parameter Model AR
(3)
Gambar 10 Plot Sisaan Model AR (3)
Terhadap Waktu
Gambar 11 Plot ACF Sisaan Model AR (3)
Dikarenakan kedua model terbukti layak,
maka harus dipilih salah satu sebagai model
terbaik. Model terbaik untuk data deret waktu
diatas adalah MA (2), karena model ini adalah
Keseluruhan
proses
di
atas
memperlihatkan pembangkitan data dengan
model MA (2) memberikan hasil yang baik
dan benar. Model terbaik yang didapatkan
sesuai dengan model pembangkit dengan
dugaan parameter yang mendekati paameter
aslinya. Hal ini membuktikan bahwa program
pembangkitan telah terbukti baik dalam
membangkitkan model sesuai dengan yang
diinginkan.
Program Perhitungan QLB, QMT, dan Dm
Pada dasarnya program perhitungan QMT
dan QLB adalah sama. Perbedaannya adalah
QLB dihitung berdasarkan nilai ACF dan QMT
dengan nilai PACF. Perhitungan QLB untuk
sisaan model MA (2) dengan MINITAB dan
R 2.4.0 tidak memperlihatkan adanya
perbedaan (Lampiran 4) menandakan program
perhitungan QLB dan QMT telah berjalan baik.
Pemeriksaan program perhitungan Dm
dilakukan dengan membandingkan hasil
perhitungan program R 2.4.0 dengan hasil
perhitungan secara manual. Perhitungan
secara manual dilakukan karena belum
tersedianya
perangkat
lunak
yang
menyediakan program perhitungan Dm. Tidak
adanya perbedaan nilai Dm untuk sisaan model
MA (2) yang dihitung secara manual dan
dengan
R
2.4.0.
(Lampiran
5)
mengindikasikan bahwa program perhitungan
Dm telah berjalan baik.
P-value
uji
portmanteau
dihitung
berdasarkan pada fungsi kepekatan peluang
bersama. Peluang QMT dan QLB dihitung
berdasarkan pada sebaran khi-khuadrat,
sedangkan peluang Dm dihitung berdasarkan
sebaran gamma. Hasil yang didapatkan dari
perhitungan dengan MINITAB sama dengan
hasil yang diperoleh dari program R 2.4.0
(Lampiran 6).
8
Kelayakan Model
Uji diagnostik terhadap kelayakan model
MA (2) untuk data Tabel 1 dengan
menggunakan
ketiga
uji
portmanteau
memberikan kesimpulan bahwa model MA (2)
layak. Dimana P-value untuk Dm, QLB, dan
QMT untuk sisaan model MA (2) bernilai lebih
dari α = 0.05 untuk semua lag k (k = 6, 12, 18,
24, 30, 36, 42, 48) (Lampiran 7). Model AR
(3) juga merupakan model yang layak untuk
data Tabel 1 berdasarkan pada uji QLB, QMT,
dan Dm, dimana ketiga uji memperlihatkan
nilai yang lebih dari α = 0.05 untuk semua lag
k (k = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48) (Lampiran
7).
Ketika data tersebut di-fit dengan model
yang salah misalnya model MA (1), terlihat
bahwa sisaannya tidak saling bebas dan model
tidak layak. Hal ini dapat dilihat jelas dari plot
ACF sisaan (Gambar 13) dan plot PACF
sisaan (Gambar 14) yang tidak berbeda nyata
dengan nol serta diperkuat oleh ketiga uji
portmanteau dengan P-value yang kurang dari
α = 0.05 untuk semua lag k (k = 6, 12, 18, 24,
30, 36, 42, 48) kecuali dengan uji Dm pada lag
36 dan 42 (Lampiran 7).
Gambar 13 Plot ACF Sisaan Model MA (1)
Gambar 14 Plot PACF Sisaan Model MA (1)
Kelayakan sebuah model ARMA (p,q)
dapat dengan mudah dilihat dari plot ACF
sisaan dan plot PACF sisaan. Tetapi tidak
selamanya kedua plot tersebut dapat dijadikan
patokan layak atau tidaknya sebuah model
ARMA (p,q), sehingga perlu dilakukan uji
portmanteau.
Pembangkitan dan Pengolahan Data
Jika program telah berjalan dengan benar,
maka keseluruhan simulasi dapat dilakukan.
Tahap pertama yang dilakukan dalam
pembangkitan dan pengolahan data adalah
membangkitkan data deret waktu ARMA
(p,q). Data ini lalu di-fit dengan model AR (1)
atau MA (1) atau ARMA (1,1) (Lampiran 2).
Dari pem-fit-an model akan didapatkan sisaan
contoh.
Tahap selanjutnya adalah menghitung nilai
ACF sisaan contoh dan PACF sisaan contoh.
Perhitungan uji portmanteau didasarkan pada
kedua nilai ini. Koefisien autokorelasi sisaan
contoh menjadi dasar perhitungan QLB dan Dm.
Sedangkan QMT dihitung berdasarkan pada
koefisien autokorelasi parsial sisaan contoh.
Peluang
dari
masing-masing
uji
didapatkan dengan menghitung persentil
sebaran asymtot-nya. Jika P-value kurang dari
α maka tolak H0, yang berarti model tidak
layak karena sisaannya berkorelasi. Hal ini
dilakukan sebanyak 10 000 kali untuk tiaptiap model ARMA (p,q) dan ukuran contoh,
sehingga total deret yang dibangkitkan
sejumlah 720 000 deret waktu.
Tujuan dari uji portmanteau adalah untuk
melihat ada atau tidaknya autokorelasi yang
nyata pada sisaan. Jika model tepat, maka
tidak ada autokorelasi pada sisaan (Box dan
Pierce 1970). Pada penelitian ini dilakukan hal
yang sebaliknya. Model sebenarnya dari data
telah diketahui kemudian dilakukan pem-fitan dengan model yang salah. Hasil yang
diharapkan adalah adanya korelasi pada sisaan,
yang menandakan bahwa model yang
digunakan tidak layak. Ketiga uji portmanteau
diharapkan
dapat
mendeteksi
adanya
autokorelasi pada sisaan ini. Semakin banyak
series yang dinyatakan memiliki sisaan
berkorelasi maka semakin sensitif uji tersebut.
Persentase
banyaknya series yang
modelnya dinyatakan tidak layak oleh uji QMT
semakin menurun dengan semakin besarnya
lag baik untuk n=100 maupun n=30
(Lampiran 11 dan 14). Ini sesuai dengan yang
diharapkan bahwa kesensitifan uji akan
semakin menurun dengan bertambahnya lag.
Hasil yang sama ditunjukan oleh uji QLB dan
uji Dm pada sebagian besar model pada n=100
(Lampiran 10 dan 12). Hasil yang bervariasi
dengan perubahan yang fluktuatif diberikan
9
oleh uji QLB dan uji Dm untuk beberapa model
pada n=30 (Lampiran 13 dan 15).
Persentase banyaknya series (series 1 –
series 10000) dengan sisaan berkorelasi
dengan uji Dm pada n=100 dan lag 12 berkisar
antara 9.12% – 99.99%, lag 24 antara
14.45% – 99.96%, lag 36 18.39% – 99.87%,
dan untuk lag 48 antara 22.58% – 99.77%.
Untuk n=30, persentase ini menurun yaitu
untuk lag 6 berkisar antara 2.02% – 81.71%,
untuk lag 12 antara 10.71% – 83.34%, lag 18
antara 15.05% – 78.22%, dan lag 24 selang
12.71% – 71.91% (Lampiran 8 dan 9).
Dari 10000 series, series yang dinyatakan
modelnya tidak layak oleh uji QLB pada n=100
dan lag 12 adalah antara 3.25% – 94.44%
series, untuk lag 24 antara 4.68% – 98.65%
series, lag 36 selang 5.66% – 98.07%, dan lag
48 antara 5.92% – 97.53%. Untuk n=30 lag 6
jumlah series dengan model tidak layak
berjumlah antara 2.14% – 68.50% series,
untuk lag 12 berkisar antara 2.81% – 63.62%
series, lag 18 selang 2.67% – 63.70%, dan lag
24 antara 2.58% – 63.84% (Lampiran 8 dan 9).
Series dengan sisaan berkorelasi dengan
uji QMT pada n=100 lag 12 berkisar 3.32% –
99.98%, lag 24 berkisar 3.45% – 99.82%, lag
36 selang 2.88% – 99.1%, dan lag 48 antara
1.44% – 96.51%. Untuk n=30 lag 6
persentasenya berkisar antara 2.99% – 83.74%,
lag 12 antara 2.76% – 66.13%, lag 18 selang
1.77% – 50.3%, dan lag 24 antara 2.24% –
34.7% (Lampiran 8 dan 9).
Ketiga uji lebih sensitif pada n=100
dibandingkan dengan n=30 kecuali untuk
model ARMA (p,q) dengan θ1 = 0.75 yang difit dengan ARMA (1,1). Pada n=100 lag 12,
banyaknya series yang dinyatakan modelnya
tidak layak sebanyak 9.17 %, sedangkan pada
n=30 sebanyak 78.91% (Lampiran 8 dan 9).
Uji Dm memberikan jauh lebih banyak
series dengan model yang tidak layak
dibandingkan dengan kedua uji lainnya untuk
semua lag dan semua model kecuali untuk
n=30 lag 6). Untuk n=30 lag 6 pada model
ARMA (p,q) yang di-fit dengan ARMA (1,1),
ketiga uji memberikan hasil yang sebanding
(Lampiran 9). Uji QLB lebih sensitif dibanding
uji QMT untuk n=100 lag 24, 36 dan 48 serta
n=30 lag 12,18, dan 24 kecuali pada model
ARMA (p,q) dengan θ1 ≤ -0.60 yang di-fit
dengan AR (1). Pada n=100 lag 12 dan n=30
lag 6, uji QLB dan uji QMT memberikan hasil
yang relatif sama (Lampiran 8 dan 9).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari 36 model ARMA (p,q) yang di-fit
dengan model AR (1) atau MA (1) atau
ARMA (1,1) dapat disimpulkan bahwa uji Dm
merupakan uji yang paling sensitif.
Kesensitifan ini terlihat dari jumlah series
yang dinyatakan modelnya tidak layak oleh
uji Dm lebih banyak dibandingkan kedua uji
portmanteau lainnya. Perbedaan kesensitifan
ini tergantung kepada model dan ukuran
contoh, dimana kesensitifan uji Dm mencapai
30% lebih sensitif dibanding uji QLB dan uji
QMT. Uji QLB memberikan hasil yang sama
sensitifnya dengan uji QMT untuk lag kecil dan
hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi
uji QMT terbukti lebih sensitif ketika model
sebenarnya memiliki order MA yang lebih
tinggi.
Saran
Beberapa saran untuk penelitian lanjutan
antara lain :
1. Pembuatan program perhitungan Dm yang
lebih terintegrasi dan efisien yaitu
program dengan running time yang lebih
singkat.
2. Metode
untuk
membandingkan
kesensitifan uji QLB, QMT, dan Dm untuk
data deret waktu yang tidak stasioner
maupun yang memiliki siklus musiman.
3. Metode
untuk
membandingkan
kesensitifan uji QLB, QMT, dan Dm untuk
data deret waktu yang berupa peubah
ganda.
DAFTAR PUSTAKA
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall
International.
Box GEP dan Pierce DA. 1970. Distribution
of
residual
autocorrelations
in
autoregressive-integrated moving average
time series models. J Amer Statist Assoc
65:1509-25.
Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston:
Duxbury Press.
Davidson J. 1997. Stochastic Limit Theory.
New York: Oxford Univ Pr.
10
Imhof JP. 1961. Computing the distribution of
quadratic form in normal variables.
Biometrika 48: 419-26.
Ljung GM. 1986. Diagnostic testing of
univariate time series models. Biometrika
73:725-730.
Ljung GM dan Box GEP. 1978. On a measure
of mack of fit in time series models.
Biometrika 65:297-303.
Monti AC. 1994. A Proposal for a residual
autocorrelation test in linear models.
Biometrika 81:776-80.
McLeod AI. 1978. On the distribution of
residual autocorrelation in Box-Jenkin
models. J R Statist Soc 40:296-302.
Montgomery DC, Johnson LA, Gardiner JS.
1990. Forecasting and Time Series
Analysis. Ed ke-2. Singapore: McGrawHill. Inc.
Morgan JT. 1984. Element of Simulation. New
York: Chapman and Hall Ltd.
Pena D, Rodriguez J. 2002. A powerful
portmanteau test of lack of fit for time
series. J Amer Statist Assoc 97:601-610.
Pindyck RS, Rubinfield DL. 1997.
Econometric Model and Economic
Forecats. Edisi ke-4. Singapura: MgrawHill.
Velilla S. 1994. A goodness-of-fit test for
autoregressive moving average models
based on the standardized sample spectral
distribution of the residual. Journal of
Time Series Analysis 15:637-647.
LAMPIRAN
11
Lampiran 1 Perintah Pembangkitan Deret Waktu dengan R 2.4.0
#pembangkitan data deret waktu ARMA (p,q) dengan φ =p, θ=q dan n=nbar sebanyak nkol
x.arima
UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU
YULITASARI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
ABSTRAK
YULITASARI. Pengembangan Uji Portmanteau untuk Diagnostik Model Deret Waktu. Dibimbing
oleh KUSMAN SADIK dan YENNI ANGRAINI.
Kecukupan model deret waktu dapat diperiksa berdasarkan sisaannya. Jika model layak maka
fungsi autokorelasi sisaan contoh tidak berbeda nyata dengan nol untuk semua lag lebih besar dari
satu. Uji yang digunakan untuk memeriksa apakah k pertama autokorelasi sisaan sama dengan nol
adalah uji portmanteau yang diperkenalkan pertama kali oleh Box-Pierce pada tahun 1970. Dalam
perkembangannya, uji ini mengalami perbaikan dan menerima usulan antara lain oleh Ljung-Box
(1978), Monti (1994) dan Pena-Rodriquez (2002).
Penelitian ini bertujuan untuk melihat kesensitifan ketiga uji portmanteau yaitu uji portmanteau
Ljung-Box (QLB), uji portmanteau Monti (QMT) dan uji portmanteau Pena-Rodriquez (Dm).
Penelitian dilakukan dengan simulasi dengan membangkitkan 36 model ARMA (p,q) dengan
ukuran contoh 100 dan 30 sebanyak 10 000 ulangan. Hasil memperlihatkan dari 36 model ARMA
(p,q) yang di-fit dengan model AR (1) atau MA (1) atau ARMA (1,1), uji Dm merupakan uji yang
paling sensitif dibandingkan dengan kedua uji yang lain. Uji QLB memberikan hasil yang hampir
sama dengan uji QMT untuk lag kecil dan hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi uji QMT
terbukti lebih sensitif ketika model alternatif memiliki order MA yang lebih tinggi.
PENGEMBANGAN UJI PORTMANTEAU
UNTUK DIAGNOSTIK MODEL DERET WAKTU
YULITASARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2007
PRAKATA
Skripsi dengan judul Pengembangan Uji Portmanteau untuk Diagnostik Model Deret
Waktu ini diinspirasikan oleh penelitian yang dilakukan oleh Daniel Pena dan Julio Rodriquez.
Hasil penelitian mereka dapat dilihat pada jurnal Journal of the American Statistical Association
(JASA) 97:601-610 tahun 2002 dengan judul “A Powerful Portmanteau Test of Lack of Fit for
Time Series”. Disamping menggunakan 24 model ARMA (p,q) yang digunakan pada penelitian
terdahulu, penulis juga menambahkan 12 model ARMA (p,q) yang di-fit dengan model ARMA
(1,1).
Terselesaikannya skripsi ini adalah dengan penuh perjuangan. Empat tahun lamanya
terkatung-katung sampai akhirnya dapat tertuntaskan. Perjuangan panjang ini tak lepas dari
bantuan banyak pihak. Orang tua di rumah yang selalu percaya pada anaknya. Pak Kusman Sadik
dan Bu Yenni Angraini selaku pembimbing skripsi. Dudi atas saran penggunaan R 2.4.0. Marta,
Nono, Rani, Itut dan semua teman yang yang tak tersebut yang tak lelah terus memberi semangat.
Syukur nikmat ini sungguh tak terbilang.
Bogor, Agustus 2007
Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis merupakan anak kedua dari pasangan Drs. Noor Siswanto, S.H dan Siti Samsilah.
Penulis dilahirkan di Wonosari, Gunung Kidul pada tanggal 7 Juli 1982. Masa kecil dilewatkannya
di beberapa kota mengikuti orangtuanya yang pindah tugas.
Pendidikan dasar diselesaikan di tiga sekolah dan akhirnya tahun 1994 penulis lulus dari
SDN 3 Toma Lima, Passo, Ambon. Sempat bersekolah di SMP Negeri 1 Lateri Ambon sebelum
menyelesaikan pendidikan menengahnya di SMP Negeri 11 Pontianak pada tahun 1997. Setelah
menghabiskan masa kelas 1 dan 2 di SMU Negeri 1 Pontianak, penulis lulus dari SMU Negeri 1
Karanganom, Klaten pada tahun 2000. Pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen
Statistika FMIPA IPB melalui jalur UMPTN.
Penulis pernah manjadi pengurus Asrama Putri IPB Baranangsiang periode 2003/2004 dan
melakukan praktek lapang di Dinas Pertanian Tanaman Pangan Provinsi Jawa Tengah pada
Februari – April 2004. Penulis juga sempat ikut pada survey PATANAS 2004 yang diadakan oleh
Pusdatin Deptan.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ··········································································································
vii
DAFTAR LAMPIRAN ······································································································· viii
PENDAHULUAN
Latar Belakang·········································································································
Tujuan ·····················································································································
1
1
TINJAUAN PUSTAKA
Metode Simulasi ······································································································
Deret Waktu ············································································································
Koefisien Autokorelasi·····························································································
Proses Auto Regresi ·································································································
Proses Moving Average ····························································································
Uji Portmanteau ·······································································································
Uji Portmanteau Ljung-Box (QLB) ································································
Uji Portmanteau Monti (QMT) ·······································································
Uji Portmanteau Pena dan Rodriquez (DM) ···················································
1
1
2
2
2
3
3
3
3
METODE ANALISIS·········································································································
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemerikasaan Program ·····························································································
Program Pembangkitan Data ········································································
Program perhitungan QLB, QMT, dan Dm ························································
Kelayakan Model ·····································································································
Pembangkitan dan Pengolahan Data ·········································································
5
5
7
7
8
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan ·················································································································
Saran ·······················································································································
9
9
DAFTAR PUSTAKA ·········································································································
9
LAMPIRAN ·······················································································································
11
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Plot Normal Galat yang Dibangkitkan dengan rnorm ·····················································
5
2 Plot Data Bangkitan Terhadap Waktu ············································································
5
3 Plot ACF Data Bangkitan ······························································································
6
4 Plot PACF Data Bangkitan ····························································································
6
5 Pendugaan Parameter dengan Model MA (2) ·································································
6
6 Plot Sisaan Model MA (2) Terhadap Waktu ···································································
6
7 Plot ACF Sisaan Model MA (2) ·····················································································
6
8 Plot PACF Sisaan Model MA (2)···················································································
6
9 Pendugaan Parameter dengan Model AR (3) ··································································
7
10 Plot Sisaan Model AR (3) Terhadap Waktu····································································
7
11 Plot ACF Sisaan Model AR (3)······················································································
7
12 Plot PACF Sisaan Model AR (3) ···················································································
7
13 Plot ACF Sisaan Model AR (3)······················································································
8
14 Plot PACF Sisaan Model AR (3) ···················································································
8
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Perintah Pembangkitan Deret Waktu dengan R 2.4.0 ·····················································
11
2 Model ARMA (p,q) yang Dibangkitkan ·········································································
14
3 Pembuktian Teorema dan Pendekatan Sebaran·······························································
15
4 Nilai QLB dengan MINTAB dan R 2.4.0 ········································································
17
5 Nilai Dm dengan R 2.4.0 dan Secara Manual ··································································
17
6 P-value untuk Dm, QLB, serta QMT dengan Minitab dan R 2.4.0 ·······································
17
7 P-value Uji Portmanteau ·······························································································
18
8 Persentase series (deret 1, deret 2, … deret 10000) dengan sisaan berkorelasi
ketika data di-fit dengan model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa
model ARMA(p,q) dengan uji DM, QLB dan QMT pada n=100 ·········································
19
9 Persentase series (deret 1, deret 2, … deret 10000) dengan sisaan berkorelasi
ketika data di-fit dengan model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1) pada beberapa
model ARMA(p,q) dengan uji DM, QLB dan QMT pada n=30 ···········································
20
10 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QLB pada N=100 ··························································································
22
11 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QMT pada N=100 ·························································································
23
12 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji Dm pada N=100 ···························································································
24
13 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QLB pada N=30 ····························································································
25
14 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji QMT pada N=30 ···························································································
26
15 Grafik Persentase Banyaknya Series yang Modelnya Dinyatakan Tidak Layak
dengan Uji Dm pada N=30 ·····························································································
27
1
PENDAHULUAN
data multivariat dengan perilaku sebaran
peluang tertentu.
Latar Belakang
Tujuan
Data yang dikumpulkan berdasarkan
urutan waktu atau biasa disebut data deret
waktu dapat digunakan untuk melakukan
pendugaan kejadian yang akan datang yang
disebut dengan peramalan. Jenis data ini
sering dijumpai di berbagai bidang.
Peramalan merupakan satu elemen penting
dalam pengambilan keputusan dan penentuan
kebijakan. Dengan peramalan kerugian akibat
ketidakpastian dalam pengambilan keputusan
dapat dikurangi. Peramalan dapat dilakukan
dengan melakukan pemulusan terhadap data
dan pemodelan. Ketepatan peramalan dapat
ditingkatkan dengan menyediakan lebih
banyak data, tetapi sering kali data yang
tersedia tidak cukup banyak untuk
membangun sebuah model pendugaan yang
baik.
Pemodelan data deret waktu dilakukan
dalam tiga tahap yaitu penentuan model
tentatif, pendugaan parameter dan analisis
diagnostik terhadap kelayakan model. Ketiga
tahapan ini dikenal sebagai metode BoxJenkins.
Model dikatakan layak jika sisaannya
saling bebas, mempunyai sebaran identik serta
menyebar normal dengan rataan nol dan
ragam σ e2 (Cryer 1986). Sisaan tidaklah
selalu saling bebas, pada beberapa kasus
terjadi autokorelasi. Jika hal ini diabaikan
maka akan menyebabkan ketidakkonsistenan
pendugaan galat baku, ketidaktepatan uji
hipotesis dan ketidakefisienan pendugaan
koefisien regresi. Uji formal yang digunakan
untuk menguji apakah sisaan saling bebas atau
tidak adalah uji portmanteau (statistik Q) yang
diperkenalkan pertama kali oleh Box-Pierce
pada tahun 1970. Uji portmanteau dirumuskan
sebagai perkalian ukuran contoh dan jumlah
kuadarat k autokorelasi sisaan contoh pertama.
Statistika Q akan menyebar mengikuti sebaran
khi-khuadrat dengan derajat bebas k-p-q jika
H0 benar dengan hipotesis nol sisaan saling
bebas.
Dalam perkembangannya, uji portmanteau
mengalami perbaikan dan menerima usulan
antara lain oleh Ljung-Box (1978), Monti
(1994) dan Pena-Rodriquez (2002). Uji
portmanteau Pena-Rodriquez (Dm) dipercaya
lebih sensitif untuk mendeteksi adanya
autokorelasi pada sisaan terutama pada n kecil.
Uji ini memisalkan sisaan sebagai contoh dari
Tujuan
penelitian
ini
adalah
membandingkan
kesensitifan
tiga
uji
portmanteau yaitu uji portmanteau PenaRodriquez (Dm), uji portmanteau Ljung-Box
(QLB) dan uji portmanteau Monti (QMT).
TINJAUAN PUSTAKA
Metode Simulasi
Simulasi dalam statistika dapat diartikan
sebagai kumpulan teknik yang berguna yang
kesemuanya berhubungan dengan meniru
perilaku suatu model (Morgan 1984).
Simulasi tidak hanya dapat menerangkan
model itu sendiri, tetapi juga untuk
menyelidiki bagaimana perilaku model dapat
berubah mengikuti perubahan di dalam model.
Metode simulasi dapat memberikan efisiensi
dan kemudahan dalam menganalisis suatu
model matematika. Sekarang kebanyakan
simulasi dalam statistika dilakukan dengan
bantuan perangkat komputer.
Deret Waktu
Deret waktu adalah suatu gugus tatanan
nilai-nilai pengamatan sifat kuantitatif suatu
individu atau kumpulan individu yang diamati
pada titik-titik waktu berbeda. Biasanya jarak
titik-titik waktu tersebut dibuat sama.
Deret waktu dapat dimodelkan dalam
bentuk umum :
X t = b1 z1 (t ) − b2 z 2 (t ) + L + bk z k (t ) + ε t
keterangan :
bt = parameter
zt(t) = fungsi matematik dari t
ε t = galat acak
Dua tujuan utama dari analisis deret waktu
adalah memodelkan proses stokastik yang
membangkitkan pengamatan deret waktu dan
memprediksi atau meramalkan kejadian
mendatang berdasarkan data terdahulu.
Kestasioneran
merupakan
asumsi
terpenting yang harus dipenuhi dalam
pemodelan proses stokastik (Cryer 1986).
Proses stokastik dikatakan stasioner jika
rataan fungsi konstan menurut waktu dan
ragam bersama antara lag t dengan lag t-k
sama dengan ragam bersama antara lag 0
dengan lag k untuk semua t dan k.
2
Koefisien Autokorelasi
Koefisien autokorelasi adalah ukuran
seberapa besar korelasi antara data yang
berdekatan pada data deret waktu Xt (Pindyck
dan Rubinfield 1997). Korelasi antara Xt dan
Xt+k yang terpisahkan oleh k interval waktu
disebut autokorelasi lag k dan didefinisikan
sebagai:
E[( X t − X )( X t + k − X )]
ρk =
E[( X t − X ) 2 ]E[( X t + k − X ) 2
=
Cov ( X t , X t − k )
σ X t σ X t+k
Pada proses yang konstan, ragam pada
waktu t akan sama besar dengan ragam pada
waktu t + k, sehingga koefisien autokorelasi
akan menjadi:
Cov (( X t , X t − k ) γ k
=
ρk =
σ x2
γ0
Autokorelasi bernilai antara -1 dan 1. Nilai
autokorelasi yang mendekati ±1 mengindikasikan adanya hubungan yang kuat dan
nilai autokorelasi mendekati nol menunjukan
tidak adanya hubungan.
Koefisien autokorelasi dapat diduga
dengan koefisien autokorelasi contoh (rk)
(Pindyck dan Rubinfield 1997).
∑n a a
rk = t =k +1 t 2 t −k
∑tn=1 at
Kesulitan pengidentifikasian nilai p pada
proses autoregresi dapat ditanggulangi dengan
penggunaan autokorelasi parsial. Autokorelasi
parsial ( π̂ k ) dapat diartikan sebagai korelasi
antara Xt dan Xt-k setelah pengaruh
pembalikan peubah Xt-1, Xt-2, ..., Xt-k+1
dihilangkan pada data deret waktu yang
konstan (Cryer 1986).
Proses Autoregresi
Prose autoregresi ordo p (AR (p))
dimodelkan sebagai:
X t = ξ + φ1 X t −1 + φ 2 X t − 2 + L + φ p X t − p + ε t
Persamaan ini disebut autoregresi karena
pengamatan aktual Xt diregresikan pada
pengamatan sebelumnya Xt-1, Xt-2, ..., Xt-p
dalam deret waktu yang sama (Montgomery et
all 1990). Proses AR (p) dapat dituliskan
dalam bentuk operator backward-shift:
φ p ( B) X t = ε t
Proses AR (p) dapat diterapkan untuk
proses yang stasioner maupun tidak stasioner.
Proses AR (p) akan stasioner jika akar dari
polinomial φp (B) berada diluar unit lingkaran.
Proses AR (p) memiliki fungsi autokorelasi
(ACF) yang berpola polinomial dan fungsi
autokorelasi parsial (PACF) yang terpotong
pada lag p.
Model AR yang paling sederhana adalah
AR (1) :
X t = μ + φX t −1 + at
dimana peristiwa pada waktu t hanya
bergantung pada peristiwa pada waktu t-1 dan
bebas terhadap peristiwa waktu t-2, t-3, ..., t0.
Proses ini disebut juga proses Markov. Proses
ini akan stasioner jika dan hanya jika |φ| < 1.
Nilai tengah dari model ini nol, ragamnya
σ a2 /(1 − φ 2 ) dan autokorelasi untuk lag k
sama dengan φk.
Proses Moving Average
Model umum proses moving average ordo
q (MA (q)) dapat ditulis sebagai:
X t = ε t + θ1ε t −1 + θ 2 ε t − 2 + L + θ q ε t − q
Terminologi moving average berasal dari
fakta
bahwa
Xt
dibangun
dengan
membobotkan 1,-φ1, -φ2, ..., -φq, pada variabel
t,
t-1,
t-2, ..., t-p kemudian mengerakkan
pembobot yang sama satu periode waktu
kebelakang dan membobotkannya pada t+1, t,
t-1, ..., t-p+1 untuk mendapatkan Xt+1 (Cryer
1986). Proses MA (q) dapat ditulis dalam
bentuk operator backward-shift sebagai:
X t = μ + θ q ( B)ε t
Untuk kondisi tertentu proses MA (q)
dapat ditulis ke dalam bentuk AR (∞). Kondisi
ini disebut invertibility bagi MA (q). Syarat
agar proses MA (q) dapat dirubah menjadi
proses AR (∞) adalah akar dari polinomial θq
(B) = 0 berada diluar unit lingkaran. Proses
MA (q) dapat dikenali dengan melihat plot
ACF yang terpotong pada lag q dan plot
PACF yang berpola polinomial. Dapat
disimpulkan bahwa proses tidak memiliki
korelasi setelah lag q.
Proses MA yang paling sederhana adalah
MA (1) yang di modelkan sebagai:
X t = ε t + θ ε t −1
Nilai tengah model ini bernilai nol, ragamnya
(1+θ2) σ 2 dan autokorelasi lag 1 sama dengan
-θσ 2 serta autokorelasi untuk lag k, k > 1 akan
bernilai nol.
Seringkali dijumpai proses autoregresi
dimasukkan bersamaan dengan moving
average dalam satu model deret waktu. Hal
ini dilakukan karena model tersebut lebih baik
dibandingkan dengan model autoregresi saja
atau model moving average saja. Model
3
campuran autoregresi-moving average order
(p,q) (ARMA (p,q)) dapat dituliskan sebagai :
X t = ξ + φ1 X t −1 + φ2 X t −2 + L + φ p X t − p + ε t −
θ1ε t −1 − θ2ε t − 2 − L − θqε t − q
Model campuran ini akan stasioner jika
dari polinomial φp (B) berada diluar
lingkaran dan invertible jika akar
polinomial θq (B) = 0 berada diluar
lingkaran.
akar
unit
dari
unit
Uji Portmanteau
Ada dua cara untuk melihat asumsi
kebebasan galat. Pertama dengan melihat plot
sisaan dengan waktu. Jika plot ini tidak
berpola maka dapat disimpulkan bahwa sisaan
bebas. Yang kedua melihat ACF sisaan. Jika
autokorelasi sisaan bernilai nol maka dapat
dikatakan sisaan saling bebas.
Uji formal untuk menguji asumsi
kebebasan galat adalah uji portmanteau. Uji
ini pertama kali diperkenalkan oleh BoxPierce pada tahun 1970 berdasarkan pada
autokorelasi sisaan yang dirumuskan sebagai:
2
Q = n∑m
k =1 rk
Jika model ARMA(p,q) teridentifikasi
dengan benar maka untuk n yang besar Q
akan menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Hipotesis yang digunakan adalah
sisaan saling bebas melawan sisaan tidak
bebas (berkorelasi).
Uji Portmanteau Ljung-Box (QLB)
Persoalan muncul jika n tidak besar. Ljung
dan Box (1978) menunjukan bahwa untuk n =
100 pun pendekatan Q ke sebaran khi-kuadrat
tidak memuaskan. Uji portmanteau kemudian
diperbaiki menjadi uji portmanteau LjungBox (QLB) dengan mengantikan koefisien
autokorelasi sisaan (rk) dengan nilai
standarnya ( ~
rk ) (Pena dan Rodriguez 2002).
( n + 2) 2
~
rk2 =
rk
(n − k )
sehingga
Q LB = n(n + 2)∑
m
k =1 ( n
−
k ) −1 rk2
QLB menyebar khi-kuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Ljung (1986) dalam Pena dan
Rodriguez (2002) memperlihatkan bahwa
menghitung QLB dengan banyak autokorelasi
sisaan dapat mengurangi kekuatan ujinya.
Uji Portmanteau Monti (QMT)
Monti (1994) memperkenalkan uji
portmanteau QMT yang berdasarkan pada
autokorelasi parsial ( πˆ k ).
−1 2
ˆ
QMT = n(n + 2)∑m
k =1 ( n − k ) π k
QMT menyebar khi khuadrat dengan derajat
bebas m-p-q. Melalui simulasi, Monti (1994)
menunjukan bahwa ketika alternatif model
memiliki ordo moving average yang lebih
tinggi, QMT lebih sensitif dibandingkan
dengan QLB. Kwan dan Wu (1997) dalam
Pena dan Rodriquez (2002) mengevaluasi via
simulasi Monte Carlo untuk data bangkitan
dengan siklus bulanan dan menemukan
perbedaan yang kecil antara kekuatan uji QLB
dan QMT.
Uji Portmanteau Pena dan Rodriquez
Adanya fakta bahwa berkurangnya
kekuatan uji QLB dengan bertambahnya lag
serta hanya terdapat sedikit perbedaan
kekuatab uji QLB dan QMT mendorong Pena
dan Rodriquez mengusulkan sebuah uji
portmanteau yang baru. Uji yang diusulkan
pada tahun 2002 ini menggunakan
transformasi dari determinan R̂ m untuk
menguji adanya autokorelasi pada sisaan.
Dimana R̂m adalah matriks korelasi sisaan
data deret waktu stasioner ordo m yang
didefinisikan sebagai:
r1 L rm ⎤
⎡1
⎢r
1 L rm −1 ⎥⎥
Rˆ m = ⎢ 1
⎢M
M
O
M ⎥
⎢
⎥
1
r
r
L
⎦
⎣ m m−1
Uji portmanteau Pena-Rodriquez dirumuskan
sebagai:
Dˆ m = n[1− | Rˆ m |1 / m ]
Determinan R̂ m akan bernilai 1 dan D̂m
bernilai 0 ketika r1 = r2 = ... = rm = 0. Ketika r1
= r2 = ... = rm = 1, determinan R̂ m akan bernilai
0 dan D̂m bernilai n. Untuk semua nilai rk,
D̂m bernilai lebih dari sama dengan nol.
rˆ( m) = (r1 , r2 , K, rm ) ' ,
Misalkan
maka
matriks korelasi dapat ditulis sebagai:
rˆ(′m ) ⎤
⎡ 1
Rˆ m = ⎢
ˆ ⎥
ˆ
⎢⎣r( m ) Rm −1 ⎥⎦
Dengan menggunakan sifat determinan
matriks
terbagi
didapatkan
| Rˆ m | =
| Rˆ
| (1 − R 2 ) dimana R 2 = rˆ ′ Rˆ −1 rˆ
m −1
m
m
(m)
m −1 ( m )
adalah perkalian koefisien korelasi yang
dikuadratkan dari model linear εˆt =
m
∑ j =1 b jεˆt − j + ut . Secara rekursif didapatkan :
4
1/ m
⎤
⎡m
| Rˆ m |1 / m = ⎢∏ (1 − Ri2 )⎥
⎦
⎣ i =1
1− | Rˆ |1 / m dapat dinteprestasikan
dan
m
sebagai rataan kuadrat koefisien korelasi
(Pena dan Rodriguez 2002).
D̂m dapat pula ditafsirkan berdasarkan
koefisian autokorelasi parsial. Perhatikan
bahwa 1 - Ri2 = JKG(1,i)/JKT dan dengan cara
yang sama didapatkan 1 – Ri-12 = JKG(1, i-1)/
JKT sehingga
1 − Ri2
JKG (1, i )
=
= (1 − πˆ i2 )
1 − Ri2−1 JKG (1, i − 1)
JKG(1, i − 1) − JKG(1, i )
adalah
JKG (1, i − 1)
kuadrat koefisien autokorelasi ke-i. Sehingga
determinan R̂m dapat dituliskan sebagai
Dimana πˆ i2 =
m
| Rˆ m |1 / m = ∏ (1 − πˆ i2 )
( m +1−i ) / m
i −1
Jika model teridentifikasi dengan benar
maka D̂m akan menyebar secara asymtot
sebagai
m
∑i =1 λi χ12.i (Lampiran 3). Peluang
Pr( D̂m > x) dapat dievaluasi dengan membalik
fungsi karateristik dari ∑im=1 λi χ 12.i (Imhof
1961). Pendekatan sebaran λi χ12.i dilakukan
oleh sebaran aχ b2 dengan mean dan ragam
yang sama dengan sebaran yang sebenarnya
serta derajat bebas b yang berupa pecahan.
Akan didapatkan bahwa a = ∑ λi2 / ∑ λi dan
b = ( ∑ λi ) 2 / ∑ λi2 .
Sebaran D̂m dapat didekati dengan
sebaran gamma, Γ (α=b/2, β=1/2a) dengan
parameter yang didefinisikan sebagai:
3m[(m + 1) − 2( p + q )] 2
α=
2[2( m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )]
3m[(m + 1) − 2( p + q )]
dan β =
2(m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q)
Sebaran ini memiliki rataan α/ β = (m+1)/ 2 –
(p+q) dan ragam α/ β2 = (m+1)(2m+1)/ 3m –
2(p + q).
Pendekatan di atas akan lebih baik jika
menggunakan koefisien autokorelasi yang
distandarkan ( ~
rk ) sehingga uji portmanteau
terbaru menjadi
~
Dm = n [1− | Rm |1/ m ]
~
Rm adalah matriks korelasi yang dibangun
berdasarkan ~
rk . Pendekatan Dm lebih baik
dibandingkan D̂m , terutama untuk contoh
berukuran kecil (Pena dan Rodriguez 2002).
Nilai Dm akan bernilai lebih dari sama dengan
nol untuk semua nilai rk.
METODE ANALISIS
Penelitian dilakukan dengan melakukan
simulasi. Pembangkitan data dilakukan
dengan bantuan perangkat lunak R 2.4.0.
Model yang dibangkitkan adalah model deret
waktu ARMA(p,q)
Xt = φ1Xt-1 + φ2Xt-2 + ... + φpXt-p +at - θ1at-1 θ2at-2 - ... - θqat-q
Dimana p dan q bernilai (0,1,2), at ~ N(0, σa2)
dan bebas stokastik identik. Koefisien
autoregresi (φ) dan koefisien moving average
(θ) dipilih sedemikian sehingga model yang
dibangkitkan stasioner dan invertible.
Pengulangan dilakukan sebanyak 10 000 kali.
Ukuran contoh (n) yang digunakan adalah 30
dan 100. Evaluasi uji dilakukan pada lag 6, 12,
18, dan 24 untuk n = 30, sedangkan pada n =
100 dilakukan pada lag 12, 24, 36 dan 48
dengan taraf nyata uji α = 0.05. Penentuan n
dan lag evaluasi dilakukan secara subjektif
oleh penulis.
Langkah-langkah simulasi yang dilakukan
adalah:
1. Dibangkitkan at yang menyebar normal
dengan rataan 0 dan ragam 1.
2. Data deret waktu di bangun dengan model
dan parameter yang telah ditetapkan
(Lampiran 2) dengan at sebagai galatnya.
3. Data deret waktu di-fit dengan model AR
(1) atau MA (1) atau ARMA (1,1)
(Lampiran 2). Sisaan contoh di hitung
dengan rumus:
εˆt = φˆp−1 ( B)θˆq ( B ) X t
4. Nilai autokorelasi sisaan contoh (rk) dan
autokorelasi parsial sisaan contoh ( πˆ k )
dicari.
5. Uji QLB dihitung berdasarkan nilai
koefisien autokorelasi sisaan contoh (rk).
−1 2
Q LB = n( n + 2) ∑m
k =1 ( n − k ) rk
6. Peluang QLB dihitung dengan merujuk
pada persentil sebaran Khi-Khuadrat
dengan derajat bebas m-p-q.
7. Uji QMT dilakukan berdasarkan nilai
koefisien autokorelasi parsial sisaan
contoh ( πˆ k ).
−1 2
ˆ
QMT = n(n + 2)∑m
k =1 ( n − k ) π k
5
11. Jika nilai peluang kurang dari α maka
tolak H0 yaitu autokorelasi sisaan contoh
berbeda nyata dengan nol
12. Langkah 1-11 dilakukan sebanyak 10 000
kali ulangan.
13. Langkah 1-12 diulang untuk setiap model.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
Pemeriksaan program dilakukan untuk
melihat apakah program yang digunakan telah
berjalan dengan baik dan memberikan hasil
benar. Perintah pelaksanaan simulasi pada
perangkat lunak R 2.4.0 dapat dilihat pada
Lampiran 1.
Program Pembangkitan Data
Program pembangkitan data yang baik dan
benar akan menghasilkan keluaran sesuai
dengan yang diinginkan. Hal ini sangatlah
penting karena sangat berpengaruh pada hasil
yang akan dicapai. Jika data yang
dibangkitkan salah maka akan salah pula
kesimpulan yang kita ambil.
Sebagai ilustrasi diberikan gambaran
pembangkitan untuk model 16 yaitu model
MA (2) dengan θ1 = 0.80 dan θ2 = -0.50.
Pembangkitan data dilakukan dengan R 2.4.0.
Galat yang menyebar normal dengan rataan
nol dan ragam satu dibangkitkan dengan
perintah rnorm. Dari plot normal AndersonDarling (Gambar 1) didapatkan nilai AD
sebesar 0.575 dengan peluang 0.132. Hal ini
menunjukkan bahwa tidak cukup bukti untuk
menyatakan bahwa galat yang dibangkitkan
tidak menyebar normal dengan selang
kepercayaan 95%. Berdasarkan galat ini, data
deret waktu dibangkitkan dengan perintah
arima.sim. Hasil bangkitan dapat dilihat pada
Tabel 1.
Probability Plot of Galat
Normal
99.9
Mean
StDev
N
AD
P-Value
99
95
-0.002169
1.031
100
0.575
0.132
90
Percent
8. Peluang QMT dihitung dengan merujuk
pada persentil sebaran Khi-Khuadrat
dengan derajat bebas m-p-q.
9. Uji Dm dilakukan berdasarkan autokorelasi
sisaan contoh yang telah distandarkan ( ~
rk ).
~ 1/ m
Dm = n [1− | Rm | ]
10. Peluang Dm dihitung mengunakan
pendekatan sebaran gamma Γ(α, β) dengan
parameter:
3m[(m + 1) − 2( p + q )] 2
α=
2[2( m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )]
3m[(m + 1) − 2( p + q )]
dan β =
2(m + 1)(2m + 1) − 12m( p + q )
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
C1
Gambar 1 Plot
Normal
Galat
yang
Dibangkitkan dengan rnorm
Tabel 1
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Xt
1.87875
-1.86217
0.09728
1.98972
-2.53334
2.32822
-0.46057
-1.69587
2.04349
0.06282
-2.39420
2.52487
-1.70744
0.21102
0.09416
-1.94587
0.04052
-0.63292
0.93784
-1.47801
-0.61044
0.55084
-0.16068
0.13870
-0.08029
Data
Deret
Waktu
Hasil
Pembangkitan dengan arima.sim
t
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Xt
-0.13581
1.25494
-3.61164
2.76696
-0.62557
-0.42332
1.92850
-0.98067
1.36474
0.58929
2.32053
-0.24014
1.07896
-1.23126
1.25734
1.37608
-1.59707
0.40975
-0.60036
0.70754
-1.01504
-0.16186
1.22140
-0.22561
1.57237
t
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Xt
t
-1.96563 76
1.52891 77
-1.94352 78
1.72447 79
-1.82335 80
-0.17967 81
2.54184 82
-2.65754 83
0.42772 84
1.65516 85
-0.31151 86
1.63632 87
-1.35229 88
0.91447 89
1.02728 90
0.16126 91
0.36149 92
0.05844 93
-0.75412 94
0.25106 95
-0.18151 96
-0.30045 97
0.24340 98
-2.41329 99
3.16517 100
Xt
-2.43688
2.34934
-2.40793
0.28129
-0.58299
-0.28430
-0.59148
-0.46443
0.63201
0.10978
-0.51707
-0.89802
0.54074
0.35270
-1.62499
2.57518
-1.54035
0.53572
-0.14778
1.59147
-0.34211
0.90887
0.02494
0.78483
-0.59322
Keterangan : Xt adalah model MA (2) dengan θ1 = 0.80
dan θ2 = -0.50)
Gambar 2 Plot Data Bangkitan Terhadap
Waktu
Tahap selanjutnya adalah memeriksa
apakah deret waktu yang terbangkitkan telah
6
sesuai dengan apa yang diharapkan. Proses ini
dilakukan dengan melihat plot data terhadap
waktu, plot ACF, plot PACF, pendugaan
parameter dan analisis sisaannya.
Plot data bangkitan terhadap waktu
(Gambar 2) memperlihatkan kestasioneran,
baik pada rataan maupun pada ragam,
sehingga tidak perlu dilakukan pembedaan
pada data. Plot ACF dan plot PACF data
(Gambar 3 dan Gambar 4) dapat digunakan
sebagai dasar penentuan model tentatif. Dari
plot ACF yang memperlihatkan hanya
autokorelasi pada lag 1 dan lag 2 yang
berbeda nyata dengan nol dan plot PACF yang
turun secara lambat, dapat kita tentukan model
tentatifnya adalah MA (2). Jika dianggap plot
PACF nyata untuk lag 1, lag 2 dan lag 3 dan
plot ACF turun secara lambat maka model
tentatif data diatas adalah AR (3).
adanya autokorelasi sisaan dan autokorelasi
parsial sisaan yang berbeda nyata dari nol.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa model
MA (2) layak.
Call:
arima(x = data, order = c(0, 0, 2))
Coefficients:
ma1
0.8117
s.e.
0.1004
ma2
-0.4906
0.0843
intercept
0.0402
0.0694
sigma^2 estimated as 1.049:
log likelihood = -144.73, aic = 297.46
Gambar 5 Pendugaan Parameter Model MA
(2)
Gambar 6 Plot Sisaan Model
Terhadap Waktu
MA
(2)
Gambar 3 Plot ACF Data Bangkitan
Gambar 7 Plot ACF Sisaan Model MA (2)
Gambar 4 Plot PACF Data Bangkitan
Pendugaan parameter dengan model MA
(2) memperlihatkan bahwa nilai dugaan
parameter θˆ = 0.8117 dan θˆ = -0.4906
1
2
mendekati nilai parameter aslinya θ1 = 0.80
dan θ2 = -0.50 (Gambar 5). Secara visual
dapat diperlihatkan bahwa sisaan model telah
saling bebas, karena plot residual terhadap
waktu (Gambar 6) tidak memperlihatkan
adanya pola. Hal ini diperkuat dengan plot
ACF sisaan (Gambar 7) dan plot PACF
sisaan (Gambar 8) yang memperlihatkan tidak
Gambar 8 Plot PACF Sisaan Model MA (2)
7
Hasil pendugaan parameter untuk model
AR (3) dapat dilihat pada Gambar 9. Nilai
dugaan parameternya adalah φˆ = -0.7117,
1
model yang paling sederhana dengan nilai
AIC = 297.46 lebih kecil dibandingkan
dengan nilai AIC model AR (3) = 301.26.
φˆ2 = -0.0471, dan φˆ3 = 0.02318 dengan
dugaan ragam sebesar 1.069. Plot sisaan
terhadap waktu yang tidak berpola (Gambar
10), serta tidak adanya autokorelasi sisaan
(Gambar 11) dan parsial autokorelasi sisaan
(Gambar 12) yang berbeda nyata dengan nol
menandakan sisaan model AR (3) telah saling
bebas. Berdasarkan hal ini dapat disimpulkan
bahwa model AR (3) juga layak.
Call:
arima(x = data, order = c(3, 0, 0))
Coefficients:
ar1
-0.7117
s.e. 0.0966
ar2
-0.0471
0.1206
ar3
0.2318
0.0973
Gambar 12 Plot PACF Sisaan Model AR (3)
intercept
0.0386
0.0678
sigma^2 estimated as 1.069:
log likelihood = -145.63, aic = 301.26
Gambar 9 Pendugaan Parameter Model AR
(3)
Gambar 10 Plot Sisaan Model AR (3)
Terhadap Waktu
Gambar 11 Plot ACF Sisaan Model AR (3)
Dikarenakan kedua model terbukti layak,
maka harus dipilih salah satu sebagai model
terbaik. Model terbaik untuk data deret waktu
diatas adalah MA (2), karena model ini adalah
Keseluruhan
proses
di
atas
memperlihatkan pembangkitan data dengan
model MA (2) memberikan hasil yang baik
dan benar. Model terbaik yang didapatkan
sesuai dengan model pembangkit dengan
dugaan parameter yang mendekati paameter
aslinya. Hal ini membuktikan bahwa program
pembangkitan telah terbukti baik dalam
membangkitkan model sesuai dengan yang
diinginkan.
Program Perhitungan QLB, QMT, dan Dm
Pada dasarnya program perhitungan QMT
dan QLB adalah sama. Perbedaannya adalah
QLB dihitung berdasarkan nilai ACF dan QMT
dengan nilai PACF. Perhitungan QLB untuk
sisaan model MA (2) dengan MINITAB dan
R 2.4.0 tidak memperlihatkan adanya
perbedaan (Lampiran 4) menandakan program
perhitungan QLB dan QMT telah berjalan baik.
Pemeriksaan program perhitungan Dm
dilakukan dengan membandingkan hasil
perhitungan program R 2.4.0 dengan hasil
perhitungan secara manual. Perhitungan
secara manual dilakukan karena belum
tersedianya
perangkat
lunak
yang
menyediakan program perhitungan Dm. Tidak
adanya perbedaan nilai Dm untuk sisaan model
MA (2) yang dihitung secara manual dan
dengan
R
2.4.0.
(Lampiran
5)
mengindikasikan bahwa program perhitungan
Dm telah berjalan baik.
P-value
uji
portmanteau
dihitung
berdasarkan pada fungsi kepekatan peluang
bersama. Peluang QMT dan QLB dihitung
berdasarkan pada sebaran khi-khuadrat,
sedangkan peluang Dm dihitung berdasarkan
sebaran gamma. Hasil yang didapatkan dari
perhitungan dengan MINITAB sama dengan
hasil yang diperoleh dari program R 2.4.0
(Lampiran 6).
8
Kelayakan Model
Uji diagnostik terhadap kelayakan model
MA (2) untuk data Tabel 1 dengan
menggunakan
ketiga
uji
portmanteau
memberikan kesimpulan bahwa model MA (2)
layak. Dimana P-value untuk Dm, QLB, dan
QMT untuk sisaan model MA (2) bernilai lebih
dari α = 0.05 untuk semua lag k (k = 6, 12, 18,
24, 30, 36, 42, 48) (Lampiran 7). Model AR
(3) juga merupakan model yang layak untuk
data Tabel 1 berdasarkan pada uji QLB, QMT,
dan Dm, dimana ketiga uji memperlihatkan
nilai yang lebih dari α = 0.05 untuk semua lag
k (k = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48) (Lampiran
7).
Ketika data tersebut di-fit dengan model
yang salah misalnya model MA (1), terlihat
bahwa sisaannya tidak saling bebas dan model
tidak layak. Hal ini dapat dilihat jelas dari plot
ACF sisaan (Gambar 13) dan plot PACF
sisaan (Gambar 14) yang tidak berbeda nyata
dengan nol serta diperkuat oleh ketiga uji
portmanteau dengan P-value yang kurang dari
α = 0.05 untuk semua lag k (k = 6, 12, 18, 24,
30, 36, 42, 48) kecuali dengan uji Dm pada lag
36 dan 42 (Lampiran 7).
Gambar 13 Plot ACF Sisaan Model MA (1)
Gambar 14 Plot PACF Sisaan Model MA (1)
Kelayakan sebuah model ARMA (p,q)
dapat dengan mudah dilihat dari plot ACF
sisaan dan plot PACF sisaan. Tetapi tidak
selamanya kedua plot tersebut dapat dijadikan
patokan layak atau tidaknya sebuah model
ARMA (p,q), sehingga perlu dilakukan uji
portmanteau.
Pembangkitan dan Pengolahan Data
Jika program telah berjalan dengan benar,
maka keseluruhan simulasi dapat dilakukan.
Tahap pertama yang dilakukan dalam
pembangkitan dan pengolahan data adalah
membangkitkan data deret waktu ARMA
(p,q). Data ini lalu di-fit dengan model AR (1)
atau MA (1) atau ARMA (1,1) (Lampiran 2).
Dari pem-fit-an model akan didapatkan sisaan
contoh.
Tahap selanjutnya adalah menghitung nilai
ACF sisaan contoh dan PACF sisaan contoh.
Perhitungan uji portmanteau didasarkan pada
kedua nilai ini. Koefisien autokorelasi sisaan
contoh menjadi dasar perhitungan QLB dan Dm.
Sedangkan QMT dihitung berdasarkan pada
koefisien autokorelasi parsial sisaan contoh.
Peluang
dari
masing-masing
uji
didapatkan dengan menghitung persentil
sebaran asymtot-nya. Jika P-value kurang dari
α maka tolak H0, yang berarti model tidak
layak karena sisaannya berkorelasi. Hal ini
dilakukan sebanyak 10 000 kali untuk tiaptiap model ARMA (p,q) dan ukuran contoh,
sehingga total deret yang dibangkitkan
sejumlah 720 000 deret waktu.
Tujuan dari uji portmanteau adalah untuk
melihat ada atau tidaknya autokorelasi yang
nyata pada sisaan. Jika model tepat, maka
tidak ada autokorelasi pada sisaan (Box dan
Pierce 1970). Pada penelitian ini dilakukan hal
yang sebaliknya. Model sebenarnya dari data
telah diketahui kemudian dilakukan pem-fitan dengan model yang salah. Hasil yang
diharapkan adalah adanya korelasi pada sisaan,
yang menandakan bahwa model yang
digunakan tidak layak. Ketiga uji portmanteau
diharapkan
dapat
mendeteksi
adanya
autokorelasi pada sisaan ini. Semakin banyak
series yang dinyatakan memiliki sisaan
berkorelasi maka semakin sensitif uji tersebut.
Persentase
banyaknya series yang
modelnya dinyatakan tidak layak oleh uji QMT
semakin menurun dengan semakin besarnya
lag baik untuk n=100 maupun n=30
(Lampiran 11 dan 14). Ini sesuai dengan yang
diharapkan bahwa kesensitifan uji akan
semakin menurun dengan bertambahnya lag.
Hasil yang sama ditunjukan oleh uji QLB dan
uji Dm pada sebagian besar model pada n=100
(Lampiran 10 dan 12). Hasil yang bervariasi
dengan perubahan yang fluktuatif diberikan
9
oleh uji QLB dan uji Dm untuk beberapa model
pada n=30 (Lampiran 13 dan 15).
Persentase banyaknya series (series 1 –
series 10000) dengan sisaan berkorelasi
dengan uji Dm pada n=100 dan lag 12 berkisar
antara 9.12% – 99.99%, lag 24 antara
14.45% – 99.96%, lag 36 18.39% – 99.87%,
dan untuk lag 48 antara 22.58% – 99.77%.
Untuk n=30, persentase ini menurun yaitu
untuk lag 6 berkisar antara 2.02% – 81.71%,
untuk lag 12 antara 10.71% – 83.34%, lag 18
antara 15.05% – 78.22%, dan lag 24 selang
12.71% – 71.91% (Lampiran 8 dan 9).
Dari 10000 series, series yang dinyatakan
modelnya tidak layak oleh uji QLB pada n=100
dan lag 12 adalah antara 3.25% – 94.44%
series, untuk lag 24 antara 4.68% – 98.65%
series, lag 36 selang 5.66% – 98.07%, dan lag
48 antara 5.92% – 97.53%. Untuk n=30 lag 6
jumlah series dengan model tidak layak
berjumlah antara 2.14% – 68.50% series,
untuk lag 12 berkisar antara 2.81% – 63.62%
series, lag 18 selang 2.67% – 63.70%, dan lag
24 antara 2.58% – 63.84% (Lampiran 8 dan 9).
Series dengan sisaan berkorelasi dengan
uji QMT pada n=100 lag 12 berkisar 3.32% –
99.98%, lag 24 berkisar 3.45% – 99.82%, lag
36 selang 2.88% – 99.1%, dan lag 48 antara
1.44% – 96.51%. Untuk n=30 lag 6
persentasenya berkisar antara 2.99% – 83.74%,
lag 12 antara 2.76% – 66.13%, lag 18 selang
1.77% – 50.3%, dan lag 24 antara 2.24% –
34.7% (Lampiran 8 dan 9).
Ketiga uji lebih sensitif pada n=100
dibandingkan dengan n=30 kecuali untuk
model ARMA (p,q) dengan θ1 = 0.75 yang difit dengan ARMA (1,1). Pada n=100 lag 12,
banyaknya series yang dinyatakan modelnya
tidak layak sebanyak 9.17 %, sedangkan pada
n=30 sebanyak 78.91% (Lampiran 8 dan 9).
Uji Dm memberikan jauh lebih banyak
series dengan model yang tidak layak
dibandingkan dengan kedua uji lainnya untuk
semua lag dan semua model kecuali untuk
n=30 lag 6). Untuk n=30 lag 6 pada model
ARMA (p,q) yang di-fit dengan ARMA (1,1),
ketiga uji memberikan hasil yang sebanding
(Lampiran 9). Uji QLB lebih sensitif dibanding
uji QMT untuk n=100 lag 24, 36 dan 48 serta
n=30 lag 12,18, dan 24 kecuali pada model
ARMA (p,q) dengan θ1 ≤ -0.60 yang di-fit
dengan AR (1). Pada n=100 lag 12 dan n=30
lag 6, uji QLB dan uji QMT memberikan hasil
yang relatif sama (Lampiran 8 dan 9).
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dari 36 model ARMA (p,q) yang di-fit
dengan model AR (1) atau MA (1) atau
ARMA (1,1) dapat disimpulkan bahwa uji Dm
merupakan uji yang paling sensitif.
Kesensitifan ini terlihat dari jumlah series
yang dinyatakan modelnya tidak layak oleh
uji Dm lebih banyak dibandingkan kedua uji
portmanteau lainnya. Perbedaan kesensitifan
ini tergantung kepada model dan ukuran
contoh, dimana kesensitifan uji Dm mencapai
30% lebih sensitif dibanding uji QLB dan uji
QMT. Uji QLB memberikan hasil yang sama
sensitifnya dengan uji QMT untuk lag kecil dan
hasil yang lebih sensitif pada lag besar. Tetapi
uji QMT terbukti lebih sensitif ketika model
sebenarnya memiliki order MA yang lebih
tinggi.
Saran
Beberapa saran untuk penelitian lanjutan
antara lain :
1. Pembuatan program perhitungan Dm yang
lebih terintegrasi dan efisien yaitu
program dengan running time yang lebih
singkat.
2. Metode
untuk
membandingkan
kesensitifan uji QLB, QMT, dan Dm untuk
data deret waktu yang tidak stasioner
maupun yang memiliki siklus musiman.
3. Metode
untuk
membandingkan
kesensitifan uji QLB, QMT, dan Dm untuk
data deret waktu yang berupa peubah
ganda.
DAFTAR PUSTAKA
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall
International.
Box GEP dan Pierce DA. 1970. Distribution
of
residual
autocorrelations
in
autoregressive-integrated moving average
time series models. J Amer Statist Assoc
65:1509-25.
Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston:
Duxbury Press.
Davidson J. 1997. Stochastic Limit Theory.
New York: Oxford Univ Pr.
10
Imhof JP. 1961. Computing the distribution of
quadratic form in normal variables.
Biometrika 48: 419-26.
Ljung GM. 1986. Diagnostic testing of
univariate time series models. Biometrika
73:725-730.
Ljung GM dan Box GEP. 1978. On a measure
of mack of fit in time series models.
Biometrika 65:297-303.
Monti AC. 1994. A Proposal for a residual
autocorrelation test in linear models.
Biometrika 81:776-80.
McLeod AI. 1978. On the distribution of
residual autocorrelation in Box-Jenkin
models. J R Statist Soc 40:296-302.
Montgomery DC, Johnson LA, Gardiner JS.
1990. Forecasting and Time Series
Analysis. Ed ke-2. Singapore: McGrawHill. Inc.
Morgan JT. 1984. Element of Simulation. New
York: Chapman and Hall Ltd.
Pena D, Rodriguez J. 2002. A powerful
portmanteau test of lack of fit for time
series. J Amer Statist Assoc 97:601-610.
Pindyck RS, Rubinfield DL. 1997.
Econometric Model and Economic
Forecats. Edisi ke-4. Singapura: MgrawHill.
Velilla S. 1994. A goodness-of-fit test for
autoregressive moving average models
based on the standardized sample spectral
distribution of the residual. Journal of
Time Series Analysis 15:637-647.
LAMPIRAN
11
Lampiran 1 Perintah Pembangkitan Deret Waktu dengan R 2.4.0
#pembangkitan data deret waktu ARMA (p,q) dengan φ =p, θ=q dan n=nbar sebanyak nkol
x.arima