Estimasi Heteroskedastis Tak Linear Model Deret Waktu

ESTIMASI HETEROSKEDASTIS TAK LINEAR
MODEL DERET WAKTU

TESIS

Oleh
SINDAK SITUMORANG
097021069/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

ESTIMASI HETERODKEDASTIS TAK LINIEAR
MODEL DERET WAKTU

TESIS


Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
SINDAK SITUMORANG
097021069/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: ESTIMASI HETERODKEDASTIS TAK LINIEAR

MODEL DERET WAKTU
Nama Mahasiswa : Sindak Situmorang
Nomor Pokok
: 097021069
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota


Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 14 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal : 14 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
Anggota

:
:

Dr. Sutarman, M.Sc
1. Prof. Dr. Herman Mawengkang

2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
3. Drs. Marihat Situmorang, M.Kom.

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Penaksiran parameter dalam model time series heteroskedastik yang diteliti. Eksisistensi kuadrat-terkecil bersyarat dan estimator likelihood bersyarat dibuktiikan.
Konsistensi dan normalitas asymptotiknya dipastikan. Estimator densitas dengan
kernel dan derivatifnya didefenisikan dan ditunjukkan konsisten keseragamannya.
Percobaan simulasi yang dilaksanakan menunjukkan bahwa estimator berkinerja
dengan baik untuk ukuran sampel besar.
Kata kunci : Estimasi Kuadrat Terkecil Bersyarat, Estimasi Likelihood Bersyarat,
Model Heteroskedastis, dan Estimasi densitas dengan Kernel .

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT


Parameter estimation in a class of heteroscedastic time series models is investigated. The existence of conditional least-squares and conditional likelihood estimators
is proved. Thei consistency and their asymptotic normality are established. Kernel estimators of the noises density and its derivatives are defined and shown to be
uniformly consistent. A simulation experiment conducted shows that the estimators
perform well for large sample size.
Keyword : Conditional least-squares estimation, Conditional likelihood estimation,
Heteroscedastic models, , and Kernel density estimation.

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa atas berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan
studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah
satu syarat penyelesaian studi para Program Studi Magister Matematika FMIPA USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A
(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada
penulis untuk menempub pendidikan di Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing
tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga menjadi pembimbing tesis
ini.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom., selaku Penguji tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
; Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si., Prof. Dr. Tulus, M.Si., Drs.
Marwan Harahap, M.Eng., Drs. Open Darnius, M.Sc., Drs. Sawaluddin,
M.IT., Drs. Arriswoyo, M.Si, dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., yang
telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
Gubernur Sumatera Utara, yang telah member bantuan beasiswa pendidikan
kepada penulis melalui BAPEDASU.
Bapak Bupati dan Bapak Kepala Dinas Pendidikan, Kabupaten Serdang
iii
Universitas Sumatera Utara

Bedagai dan jajarannya yang telah memberi ijin untuk mengikuti perkuliahan Program Pasca Sarjana Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
Bapak Kepala Sekolah SMA Negeri 1 Tanjung Beringin Drs. Mangara Sagala atas arahan dan petunjuknya serta memberikan ijin untuk mengikuti
perkuliahan Program Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara.

Rekan-rekan Guru SMA Negeri 1 Tanjung Beringin yang telah memberi
dorongan dan semangat yang mendalam selama mengikuti perkuliaahan.
Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti
pendidikan.
Ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis ucapkan kepada istri tercinta Nurmida Sihaloho dan juga putriku yang tersayang Dian Lasmarito br Situmorang yang selalu memberi dukungan dan semangat serta mendoakan penulis
selama mengikuti perkuliahan di program studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih dan saying yang mendalam
kepada ibunda tersayang D br Sinaga semasa hidupnya yang senantiasa memberi
dukungan dan Doa kepada penulis dalam menyelesaikan perkuliahaan ini.
Tak lupa rekan-rekan Mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2009 Tohom Paha Mei Banjarnahor, Atur Hamonangan,
Sopar Siregar Bistok Purba, M.Nur Edi ,atas kerjasama dan hubungan yang
baik selama perkuliahaan, Semoga persahabatan yang kita jalin abadi, dan terus
menyemangati panggilan kita sebagai pendidik yang profesional.
Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan
tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai
manusia yan tidak sempurna memiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini.
Medan,

14 Juni 2011


Penulis,
Sindak Situmorang
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP
Sindak Situmorang anak dari pasangan M. Situmorang (Alm) dan D. br.
Sinaga (Alm), dilahirkan di Kampung Sotul pada tanggal 4 Agustus 1968. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 102080 Kampung Sotul pada tahun
1981, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Negeri-1 Bandar Khalipah pada
tahun 1984, Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri-1 Tebing Tinggi pada
tahun 1987. Tahun 1988, penulis memasuki Perguruan Tinggi IKIP Negeri Medan
pada Fakultas Keguruan Ilmu Pendidikan Program Studi D-2 Matematika dan lulus tahun 1990. Sejak tahun 1990 penulis bekerja sebagai Guru. Tahun 1990 1995, Guru Matematika di SMP Swasta Utama Kampung Juhar Kecamatan Bandar Khalipah. Tahun 1992 - 1995, Guru Matematika di SMP Negeri 2 Tanjung
Beringin Kecamatan Tanjung Beringin. Tahun 1995 - 1997, Guru Matematika di
SMP Swasta Timbul Jaya -2 Medan. Tahun 1995, penulis kembali studi S-1 di Universitas Negeri Medan dan lulus tahun 1998. Tahun 1998 - 2001, Guru Matematika
di SMP Swasta R.A. Kartini Kecamatan Sei Rampah. Tahun 2002 menjadi PNS
dan mengajar di SMA Negeri 1 Salak Kabupaten Pakpak Bharat hingga tahun
2005. Sejak tahun 2005 sampai sekarang menjadi guru di SMA Negeri 1 Tanjung
Beringin Kabupaten Serdang Bedagai. Pada tahun 1996 penulis menikah dengan
Nurmida br. Sihaloho, S.Pd, dan telah dikaruniai seorang putri bernama Dian Lasmarito br. Situmorang. Tahun 2009 penulis mengikuti pendidikan Program Studi
Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara. Selama

kurun waktu 2 tahun belajar di Pascasarjana USU, penulis banyak mendapatkan
pengalaman belajar yang sangat berharga. Berkat doa dan dukungan keluarga,
akhirnya penulis dapat menyelesaikan pendidikan S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara di tahun 2011, dan memperoleh gelar
Magister Sains Matematika (M.Si) dengan judul Tesis : ”Estimasi Heteroskedastis
Tak Liniear Model Deret Waktu”.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR


iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

ix

BAB 1 PENDAHULUAN


1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Rumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

2.1 Heteroskedastis

5

2.2 Asumsi Umum

8

BAB 3 TINJAUAN PUSTAKA

10

3.1 Model Deret Waktu

10

vi
Universitas Sumatera Utara

3.2 Konsep Dasar pada Analisis Model Deret Waktu
BAB 4 PEMBAHASAN ESTIMASI KUADRAT TERKECIL BERSYARAT,
ESTIMASI LIKELIHOOD BERSYARAT DAN ESTIMASI DENSITAS DENGAN KERNEL DAN DERIVATIFNYA

11

13

4.1 Estimasi Kuadrat Terkecil Bersyarat

13

4.2 Estimasi Likehood Bersyarat

18

4.3 Estimasi Densitas dengan Kernel

22

4.4 Studi Simulasi

26

BAB 5 KESIMPULAN

32

DAFTAR PUSTAKA

33

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor
4.1

Judul

Halaman

Estimator kuadrat terkecil bersyarat untuk parameter dari model
(i) dengan Gaussian (2 kolom ditengah) dan fungsi Laplace (dua
kolom terakhir) dan ukuran sampel n = 50

4.2

27

Estimator kuadrat terkecil bersyarat untuk parameter dari model
ARCH (1) pada model (ii) (ρ0 = ρ1 = 0) dan fungsi Gaussian,
untuk sampel berukuran n = 100, n = 200, dann = 400

4.3

27

Estimator likelihood maximum bersyarat untuk parameter model
ARCH (1) pada model (ii) (ρ0 = ρ1 = 0) dan fungsi Gaussian,
untuk sampel berukuran n = 100, n = 200, dann = 400

4.4

28

Estimator Kuadrat terkecil bersyarat untuk parameter dari model
iii dengan ρ1 = 0 dan fungsi Gaussian, untuk sampel berukuran
n = 100, n = 200, dann = 400

28

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor
4.1

Judul

Halaman

Estimasi fungsi densitas pada model (i), (ii), dan (iii) untuk n =
100, 200, 400, 600

4.2

29

Estimasi fungsi densitas dari turunan pertama dalam model (i),
(ii), dan (iii) untuk n = 100, 200, 400, 600

30

ix
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Penaksiran parameter dalam model time series heteroskedastik yang diteliti. Eksisistensi kuadrat-terkecil bersyarat dan estimator likelihood bersyarat dibuktiikan.
Konsistensi dan normalitas asymptotiknya dipastikan. Estimator densitas dengan
kernel dan derivatifnya didefenisikan dan ditunjukkan konsisten keseragamannya.
Percobaan simulasi yang dilaksanakan menunjukkan bahwa estimator berkinerja
dengan baik untuk ukuran sampel besar.
Kata kunci : Estimasi Kuadrat Terkecil Bersyarat, Estimasi Likelihood Bersyarat,
Model Heteroskedastis, dan Estimasi densitas dengan Kernel .

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Parameter estimation in a class of heteroscedastic time series models is investigated. The existence of conditional least-squares and conditional likelihood estimators
is proved. Thei consistency and their asymptotic normality are established. Kernel estimators of the noises density and its derivatives are defined and shown to be
uniformly consistent. A simulation experiment conducted shows that the estimators
perform well for large sample size.
Keyword : Conditional least-squares estimation, Conditional likelihood estimation,
Heteroscedastic models, , and Kernel density estimation.

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Pemodelan statistik parametik merupakan salah satu model statistik yang
berkembang dengan pesat seiring dengan perkembangan komputasi. Teknik peramalan pemodelan sangat beragam, dikembangkan dari berbagai disiplin ilmu dan
untuk berbagai maksud. Setiap teknik yang akan dipilih memiliki sifat tertentu,
tingkat kesulitan dan biaya tersendiri yang harus dipertimbangkan. Dan pemodelan ini digunakan untuk menjelaskan hubungan tak linier antar variabel dan
beberapa prosedur pengujian untuk mendeteksi adanya keterkaitan tak linier.
Model deret waktu merupakan salah satu contoh model non linier yang mempunyai bentuk fungsional yang fleksibel dan mengandung beberapa parameter yang
tidak dapat diinterpretasikan seperti pada model parametrik. Pada saat ini banyak
penelitian dilakukan secara luas dengan motivasi adanya kemungkinan untuk menggunakan model deret waktu sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah terapan.
Model deret waktu dalam beberapa studi empirik seringkali terdiri atas pengamatan dari beberapa variabel sebagai contoh, sering kali dalam kehidupan seharihari dijumpai data yang tidak hanya mengandung keterkaitan dengan kejadian
pada waktu-waktu sebelumnya,tetapi juga mempunyai keterkaitan dengan lokasi
atau tempat yang lain.
Dalam suatu estimasi model seharusnya konstan sehingga variansnya sama
(homogen) tetapi seringkali justru berubah-ubah, hal ini biasa terjadi pada data
cross section. Estimasi diartikan menaksir ciri-ciri tertentu dari populas (parameter) dengan nilai sampel.
Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter berhubungan dengan caracara menaksir harga parameter. Jadi harga parameter sebenarnya yang tidak dike1
Universitas Sumatera Utara

2
tahui akan diestimasi berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang
bersangkutan.
Estimasi nilai parameter memiliki dua cara yaitu estimasi titik dan estimasi
selang. Estimasi titik adalah estimasi dengan menyebut satu nilai sedangkan estimasi selang adalah estimasi dengan menyebut daerah pembatasan dimana ditentukan batas minimum dan maksimum suatu estimator
Nachrowi dan Usman(2006) menjelaskan bahwa data cross section sering
memunculkan varians error yang heteroskedastis. Analogi sederhana pada kejadian
heteroskedastis dapat dilihat pada model hubungan antara harga dengan permintaan (demand). Berdasarkan hipotesis jika harga meningkat, maka permintaan
akan turun, demikian juga sebaliknya. Pada kejadian adanya indikasi masalah
heteroskedastis adalah jika harga meningkat maka permintaan akan konstan. Jika keragaman residual/error tidak bersifat konstan.data dapat dikatakan bersifat
heteroskedastis. Kondisi heteroskedastis memperlihatkan bahwa semakin besar nilai variabel bebas semakin jauh koordinat tersebut dari garis regresi. Beberapa
asumsi dalam model regresi yang terkait dengan heteroskedastis antara lain adalah
residual (e) memiliki nilai rata-rata nol, keragaman yang konstan, dan residual
pada model tidak saling berhubungan. Adanya heteroskedastis menyebabkan estimasi (perkiraan) parameter menjadi tidak efisien baik dalam sampel kecil maupun
sampel besar sehingga estimasi varians akan bias.
Bagaimana cara mendeteksi dan mengatasi adanya heteroskedastis akan dibahas pada bab berikutnya. Heteroskedastis dipandang bukan sebagai suatu masalah tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model. Bahkan
dengan memanfaatkan heteroskedastis dalam residu dengan tepat maka akan diperoleh varians yang lebih efisien. Model ini dikenal dengan model ARCH dan GARCH.
Ada beberapa model yang memuat data deret waktu, seperti ARMA, EXPAR, ARCH, GARCH, SETAR-ARCH, B-ARCH dan banyak lagi yang lain, sepanjang menyangkut sifat-sifat probabilis dari model ini, dan invertibilitasnya mudah
diperoleh, misalnya untuk |σ(θ; z| > 0.

Universitas Sumatera Utara

3
Dalam penelitian ini akan digunakan model deret waktu dalam mengestimasi
parameter yang heteroskedastis tak linier, dengan mengingat eksistensi kuadratterkecil bersyarat (estimasi conditional least-Squares) dan estimator likelihood
bersyarat (estimasi conditional Likelihood),kemudian. Konsistensi dan normalitas asymptotiknya dipastikan serta Estimator densitas dengan kernel didefenisikan
dan ditunjukkan konsisten keseragamannya.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, permasalahan yang akan dikaji dalam
penelitian ini adalah : Bagaimana cara menentukan nilai-nilai parameter dalam
mengestimasi data yang heteroskedastis tak linier dengan menggunakan model
deret waktu.

1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah :
1. Mempelajari cara mengkontruksi data yang hetereskedastis tak linier
2. Menentukan estimator untuk parameter-parameter yang ada pada model
deret waktu dengan menggunakan metode estimasi heteroskedastis tak linier

1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat antara lain :
1. Bagi peneliti diharapkan dapat menambah wawasan pengetahuan yang lebih
luas terutama yang berkaitan dengan masalah estimasi heteroskedastis tak
linier model deret waktu

Universitas Sumatera Utara

4
2. Secara umum diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan
gambaran tentang estimasi heteroskedastis tak linier model deret waktu.

1.5 Metode Penelitian
Metedologi penelitian yang dilakukan adalah bersifat literatur dengan mengumpulkan informasi dari berbagai referensi buku, jurnal dan hasil-hasil penelitian yang
berhubungan dengan judul.
Adapun langkah-langkah yang ditempuh adalah sebagai berikut :
a. Menjelaskan tentang Heteroskedastis
b. Menjelaskan Model Deret Waktu
c. Menjelaskan estimasi Kuadrat terkecil bersyarat.
d. Menjelaskan estimasi likelihood bersyarat
e. Menjelaskan estimasi densitas dengan Kernel dan derivatifnya

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Heteroskedastis
Masalah serius lainnya yang mungkin kita hadapi dalam analisis regresi adalah heteroskedastis.Ini timbul pada saat bahwa varians dari faktor konstan untuk
semua nilai dari variabel bebas yang tidak terpenuhi.
Heteroskedastis adalah keadaan dimana faktor gangguan tidak memiliki varian yang sama. Heteroskedastis merupakan suatu fenomena dimana estimator
regresi bias, namun tidak efisien,sebagai contoh yang berhubungan dengan pengeluaran dari keluarga yang berpendapatan rendah biasanya lebih kecil dibandingkan
dari keluarga yang berpendapatan tinggi karena kebanyakan pengeluaran keluarga
yang berpendapatan rendah biasanya merupakan barang kebutuhan pokok,dengan
kemungkinan yang terbatas untuk kehendak lainnya.Maka jika data tentang pengeluaran keluarga digunakan sebagai variabel penjelas,analisis regresi akan cenderung
memiliki masalah heteroskedastis. Gangguan heteroskedastis ini membawa kita
pada hasil uji statistik yang tidak tepat serta interval keyakinan untuk estimasi
parameter yang kurang tepat pula.
Uji heteroskedastis bertujuan untuk menguji apakah dalam model regresi
terjadi ketidaksamaan varian dari residual satu pengamatan ke pengamatan lain.
Jika varian residual satu pengamatan ke pengamatan lain tetap, maka disebut
homoskedastis, dan jika berbeda disebut heteroskedastis. Keadaan heteroskedastis
tersebut dapat terjadi karena beberapa sebab, antara lain:
1. Data dari satu variabel atau lebih mengandung nilai dengan jarak (range)
yang lebar antara data paling kecil dengan data paling besar.
2. Perbedaan laju pertumbuhan antara variabel dependen dan independen signifikan pada periode pengamatan untuk data deret waktu.
5
Universitas Sumatera Utara

6
3. Dalam data sendiri terdapat heteroskedastis.
Model heteroskedastis yang memperhitungkan perubahan tersebut dapat membuat penggunaan dan estimasi data menjadi lebih efisien.
Beberapa asumsi/ contoh dalam model regresi yang terkait dengan heteroskedastis antara lain, misalnya:
1. Kesalahan orang yang baru belajar mengetik. Semakin dia berlatih, kesalahan yang dilakukan semakin sedikit.
2. Meningkatnya pendapatan, maka tabungan secara rata-rata juga meningkat.
Artinya keluarga yang berpendapatan tinggi secara rata-rata menabung lebih
banyak daripada keluarga berpendapatan rendah,tetapi variabilitas dalam
tabungannya juga besar.
Konsekuensi heteroskedastis adalah:
1. Koefisien tetap tidak bias namun nilai koefisien berfluktuasi tajam jika model
diperbaharui dengan menambah data atau sampel yang berbeda.
2. Estimasi menjadi tidak akurat.
Makridakis et.al (1992), mengatakan ada beberapa cara untuk mendeteksi ada
atau tidaknya heteroskedastis, yaitu metode informal dan metode formal. Metode
informal biasanya dilakukan dengan melihat grafik dari nilai prediksi variabel independen dengan residualnya. Variabel dinyatakan tidak terjadi heteroskedastis jika
terdapat pola yang jelas dan titik-titik menyebar disekitar angka nol pada sumbu
y, dan metode formal untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastis antara lain
dengan : Uji Park, Uji Glijser, Uji White dan uji Goldfold-Quandt.
Data cross section(data panel) sering memunculkan varians error yang heteroskedastis, akan tetapi bukan berarti data deret waktu terhindar dari permasalahan ini, misalnya : indeks harga saham, inflasi, nilai tukar,atau suku bunga, sering

Universitas Sumatera Utara

7
kali mempunyai varians error yang tidak konstan. Sekalipun keberadaan heteroskedastis masih memberikan pendugaan yang tidak bias dan konsisten, pendugaan
tersebut sudah tidak efisien yaitu varians dari estimator tidak minimum. Akibatnya pada uji t, interval kepercayaan dan berbagai ukuran lainnya menjadi tidak
tepat. Salah satu cara untuk mengakomodasi heteroskedastis adalah dengan melakukan pemodelan varians yang dapat melakukan estimasi dengan tepat. Ini berarti
penyimpangan antara varians aktual dengan varians ramalan tidak jauh berbeda.
Berbagai model parametrik telah banyak dibuktikan pada dekade terakhir
ini, untuk lebih jelas lihat, Brockwell dan Davis (1996), Shumway dan Stofler
(2001) dan Tong (1990). Estimasi parameter untuk model linier telah banyak
dikaji, sementara untuk model tak linier masih sedikit karena kompleksitasnya/
kerumitannya.
Penelitian pada umunya dilakukan untuk kasus tertentu saja,misalnya :Estimasi parameter model ARCH (Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) dan
GARCH (Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity) yang masingmasing diperkenalkan oleh Engle (1982) dan Bollerslev (1986). Bahwa dalam model
ARCH (Q), perubahan varians dipengaruhi oleh sejumlah Q data acak sebelumnya. Model GARCH merupakan penyempurnaan dari model ARCH, yaitu sebuah
konsep tentang ketidakkonstanan varians dari data acak, dan perubahan varians ini
dipengaruhi oleh data acak sebelumnya yang tersusun dalam urutan waktu. Model GARCH cukup baik untuk memodelkan data yang berubah variansnya, namun
tidak untuk data yang benar-benar acak.
Beberapa tulisan yang relevan antara lain : Giraitis dan Robinson (2001) yang
mengajukan Estimasi parameter Wittle (∼). Pada tahun 2003, Chatterjee dan Das
mengkaji Estimator yang diperoleh dengan meminimumkan fungsi tertentu pada
model ARCH, sedangkan Peng dan Yao (2003) memperkenalkan Estimator LeastAbsolut pada model ARCH, kemudian Berkes dan Horvath (2004) yang mengkaji
Estimator Likelihood pada model ARCH.

Universitas Sumatera Utara

8
Pendekatan stokastik pada analisis estimasi heteroskedastis tak linier model
deret waktu dilakukan dengan menggunakan model-model statistik untuk menjelaskan perilaku dinamis, dari suatu model deret waktu. Hal ini mengasumsikan
bahwa suatu deret waktu dibangkitkan dari suatu mekanisme atau model stokastik
yang didefenisikan dengan suatu persamaan :
Xi = m (ρ; Zi − 1) + σ(θ; Zi − 1)ε i, i ∈ Z

(2.1.1)

Dimana (Xi )i∈ adalah titik stasioner dan titik ergodik; (Zi = Xi , . . . , Xi−q+1 ;
Xi−q )i∈Z adalah barisan dimensi −q dengan q bilangan bulat positif tak hingga ;

(∈i )i∈Z adalah variabel acak dengan variansi satu sedemikian sehingga ∈i indepen-

den pada σ(Zj , j < i); parameter vektor kolomnya Ψ = (ρ, θ)′ merupakan anggota
˜ ⊂ RI xRJ untuk I, J bilangan bulat positif dan fungsi m (ρ; z) dan
dari Ψ = Θ xΘ
σ(θ; z) mempunyai bentuk yang diketahui.

2.2 Asumsi Umum
Transpose dari suatu vektor atau matriks fungsi dari H(x) dinotasikan dengan H(x).
Misalkan r adalah fungsi riil untuk I atau j diberikan untuk fungsi F (α; z) yang
terdefenisi pada himpunan tak kosong dan fungsi Rr × Rq dan fungsi K(Ψ; z) yang

terdefenisi pada himpunan bagian tak kosong dari RI × RJ × Rq , maka didapat :

′

 2
∂F (α;z)
∂F (α;z)
∂ F (α;z)
2
∂F (α; z) =
, ... ∂αr
, ∂ F (α; z) = ∂αi∂αj : 1 6 i, j 6 r),
∂αr
∂ρ K(ψ; z) =



2
∂pθ
K(ψ; z) =
2
∂θρ
K(ψ; z) =

∂ρ22 K(ψ; z) =
∂θ22 K(ψ; z) =

∂K(ψ;z
, ... ∂K(ψ;z
∂ρ1
∂ρ1

′

∂θ K(ψ; z) =



∂K(ψ;z)
, ... ∂K(ψ;z)
∂θ1
∂θJ



∂ 2 K(ψ;z)
∂ρi ∂θj

: 1 6 i 6 I, 1 6 j 6 J

∂ 2 K(ψ;z)
∂θj ∂ρi



∂ 2 K(ψ;z)
∂ρi ∂pj


: 1 6 i 6 I, 1 6 i 6 I ,





∂ 2 K(ψ;z)
∂θi ∂θj



′


: 1 6 i, j 6 I ,


: 1 6 i, j 6 J ,

Untuk vektor atau fungsi matriks H(x) dinotasikan dengan ∂ ′H(x) adalah trans-

Universitas Sumatera Utara

9
pose dari ∂H(x) dimana ∂K(ψ; z) = (∂p′ K(ψ; z); ∂θ′ K(ψ; z))′ maka didefenisikan
:



∂ 2K(ψ; z) = 

2
K(ψ; z)
∂ 2K(ψ ′; z) ∂pθ
2
K(ψ; z)
∂0ρ

∂θ22 K(ψ; z)




Untuk fungsi h yang riil, h(p) adalah turunan pertama orde p, dengan h(0) = h kV k ε
adalah Eucliden dari vektor V dan kMk M = maxi,j |Mij | dari matriks kuadrat :

M = (Mij )

Selanjutnya diasumsikan bahwa vektor parameter Ψ0 = (ρ0 , Θ0) dari (2.1) sedemi˜ di mana int(Θ) dan int(Θ)
˜ menokian sehingga ρ0 ∈ int(Θ) dan Θ0 ∈ int(Θ),

˜ andaikan juga bahwa
tasikan masing-masing interior tak-kosong dari Θ dan Θ.
semua variabel acak dalam tulisan ini didefinisikan atas ruang probabilitas yang

sama (Ω, W, P ), di mana Ω adalah suatu himpunan, W adalah suatu field-σ dari
Ω dan P adalah ukuran probabilitas W . Dengan asumsi-asumsi berikut:
(A1) Momen orde empat dari himpunan berhingga εi
(A2) Fungsi m(ρ; z) dan σ(Θ; z) terdiferensialkan dua kali secara kontinu masing˜ dan terdapat suatu
masing terhadap ρ ∈ int(Θ) dan terhadap Θ ∈ int(Θ),
fungsi positip α(z) sedemikian sehingga E[α4 (Z0 )] < ∞ dan

max sup |m(ρ; z)|, sup ||ˆ
cm(ρ; z)||ε , sup ||∂ 2m(ρ; z)||M,
ρ∈Θ

ρ∈Θ

ρ∈Θ

2

sup |σ(θ; z)|, sup ||∂σ(θ; z)||ε, sup ||∂ σ(θ; z)||M
ρ∈Θ

ρ∈Θ

ρ∈Θ



6 α(z)

(A3) Terdapat suatu fungsi positip β(z) sedemikian sehingga E [β 4(Z0 )] < ∞ dan
˜
untuk semua ρ1, ρ2 ∈ Θ dan Θ1 , Θ2 ∈ Θ,
max{|m (ρ1 ; z) − m (ρ2 ; z)| , k∂m (ρ1; z) − ∂m (ρ2 ; z)ke ,
k∂ 2m (ρ1 ; z) − − ∂ 2m (ρ2 ; z)kM , |σ (θ1; z) − σ (θ2 ; z)| ,
k∂σ (θ1; z) − − ∂σ (θ2; z)kε , k∂ 2σ (θ1 ; z) − − ∂ 2σ (θ2 ; z)kM }
6 β(z) min {kρ1 − ρ2 kε , kθ1 − θ2kε }
Asumsi (A1) setidaknya dipenuhi oleh εi Gauss dan Student. (lihat, misalnya,
Ngatchou dan Wandji (2005))

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
TINJAUAN PUSTAKA

3.1 Model Deret Waktu
Secara umum analisis deret waktu menurut Chatfield (2001) mempunyai beberapa tujuan, yaitu estimasi, pemodelan dan kontrol. Estimasi berkaitan dengan
problem, pembentukan model dan metode yang dapat digunakan untuk menghasilkan suatu ramalan yang akurat. Pemodelan bertujuan untuk mendapatkan
suatu model statistik yang sesuai dalam mempresentasikan perilaku jangka panjang suatu deret waktu.
Dalam perkembangan analisis deret waktu telah banyak diketahui berbagai
fenomena yang menarik dan sederhana seringkali merupakan fenomena yang tak
linier, misalnya hubungan antara kejadian di masa lalu dan saat ini adalah tak
linier. Dengan demikian kelompok pemodelan deret waktu yang linier telah banyak
dikaji. Sementara untuk model deret waktu tak linier masih sedikit dan saat ini
telah menjadi fokus perhatian utama peneliti. Beberapa bentuk model tak linier
telah dikembangkan dan diaplikasikan pada beberapa kasus deret waktu, hal ini
dapat dilihat pada Tjosthein (1986), Tjosthein (1990), dan Tong (1990).
Data deret waktu adalah data yang disusun berdasarkan urutan waktu atau
data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu. Waktu yang digunakan dapat berupa
minggu, bulan, tahun dan sebagainya. Dengan adanya data berkala maka pola
gerakan data atau nilai-nilai variabel dapat diikuti atau diketahui.
Dengan demikian data berkala dapat dijadikan sebagai dasar untuk :
1. Pembuatan keputusan pada saat ini.
2. Estimasi perdagangan dan ekonomi pada masa yang akan dating.
3. Perencanaan kegiatan untuk masa depan.

10
Universitas Sumatera Utara

11
Menurut Makridakis, et al (1992), langkah penting dalam memilih suatu
metode deret waktu yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola datanya. Pola data dapat dibedakan menjadi empat, yaitu :
1. Pola horizontal, terjadi bilamana data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata
yang konstan atau stasioner terhadap nilai rat-ratanya.
2. Pola musiman, terjadi bilamana suatu deret data dipengaruhi oleh faktor
musiman ( misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari pada minggu
tertentu).
3. Pola siklis, terjadi bilamana datanya dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis atau ekonomi.
4. Pola tren, terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan jangka panjang
dalam data.

3.2 Konsep Dasar pada Analisis Model Deret Waktu
Pada bagian ini akan dijelaskan secara ringkas beberapa konsep dasar pada analisis model deret waktu, berkaitan dengan ide dasar dan beberapa konsep
definisi yang sering digunakan. Secara lebih lengkap hal ini dapat dilihat pada
Brockwell dan Davis (1991).
Model deret waktu adalah suatu deret (barisan) dari pengamatan Yt pada
suatu variabel Y , yang tiap-tiap pengamatan dicatat pada suatu waktu tertentu t ∈

T . Dalam hal ini T adalah himpunan dari waktu dimana pengamatan-pengamatan

tersebut dilakukan. Jika T adalah suatu himpunan yang diskrit, maka {Yt , t ∈

T ) adalah suatu model deret waktu yang diskrit {Yt , t ∈ T } merupakan notasi
keseluruhan suatu model deret waktu, dimana Yt adalah pengamatan dari {Yt , t ∈

T ) pada waktu ke t. Pada kasus model deret waktu yang diskrit, pengamatan
biasanya diambil pada interval waktu yang sama. Dalam hal ini axis waktu T

diasumsikan sama dengan N = {0, 1, 2, . . .} sehingga secara umum untuk axis

waktu T adalah sama dengan Z = {0, ±1, ±2 . . .}

Universitas Sumatera Utara

12
Pendekatan statistik pada analisis model deret waktu dilakukan dengan menggunakan model-model statistik untuk menjelaskan perilaku dinamis dari model
deret waktu. Hal ini mengasumsikan bahwa suatu deret waktu dibangkitkan dari
suatu mekanisme atau model yang stokastik, yang biasanya didefenisikan dengan
suatu persamaan beda yang stokastik.persamaan beda yang stokastik terdiri dari
suatu persamaan dan beberapa kondisi awal. Hasil atau solusi dari model ini adalah suatu proses stokastik, yaitu suatu barisan dari variabel random {Yt } yang
didefenisikan pada ruang probabilitas (Ω, F, P ). Untuk ω ∈ Ω tertentu, Yt (ω) ada-

lah suatu nilai realisasi dari variabel random Yt yang nilai-nilainya diperoleh dalam
ruang Euclidean d-dimensi Rd
Contoh diberikan suatu model linear AR orde pertama
Yt = φ1Yt−1 + εt ,

t = 1, 2, . . .

(3.2.1)

dan Yo adalah suatu variabel random yang mempresentasikan kondisi awal. Dalam
hal ini {εt} adalah suatu barisan yang terdistribusikan secara identik dan independen dari variabel random yang merepresentasikan gangguan atau error atau
disturbance term. Penyelesaian {Yt } dari persamaan (3.1) adalah suatu proses
stokastik

Yt =

φt1Y0

+

t−1
X

φt1εt−1 , t = 1, 2, . . .

(3.2.2)

t=0

Sifat penting untuk analisis model deret waktu adalah proses-proses (stokastik)
tersebut merupakan proses yang stasioner, yaitu fungsi-fungsi distribusinya secara
keseluruhan adalah independen terhadap waktu.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN ESTIMASI KUADRAT TERKECIL BERSYARAT,
ESTIMASI LIKELIHOOD BERSYARAT DAN ESTIMASI
DENSITAS DENGAN KERNEL DAN DERIVATIFNYA

4.1 Estimasi Kuadrat Terkecil Bersyarat
Bagian ini akan menjelaskan estimator ψ0 = (ρ0 , θ0) dengan menggunakan
conditional least-squares. Bahwa fungsi mean conditional dan fungsi varians conditional dari (2.1) dapat didefenisikan untuk semua z ∈ Rq oleh E(X1|Z0 = z) =
m(ρ; z) and E{[X1 − m(ρ; Z0 )]2|Z0 = z} = σ 2(θ; z).]

Dari persamaan ini fungsi terukur terbatasnya γ(z) and λ(z), dimana E[(X1 −
m(ρ; Z0 ))λ(Z0 )] = 0 dan E[(X1 − m(ρ; Z0 ))2 − σ 2(θ; Z0 )γ(Z0 )] = 0

Untuk estimasi ψ0 diperoleh dengan menentukan gradien nolnya dari varians sampel dari barisan variabel randomnya
(Xi − m(ρ; Zi−1 )), i = 1, . . . , n dan ([Xi − m(ρ; Zi−1 )]2 − σ 2(θ; Zi−1 )), i = 1, ..., n

Diberikan barisan X−q , . . . , X−1 , X0 , X1 , . . . , Xn , dan dinotasikan dengan Xn =

(Xn , . . . , X1 , X0 , X−1 , . . . , X−q ) dan barisan fungsi randomnya didefenisikan dengan
:
U n(ρ; Xn ) =

n
X
i=1

Sn(ψ; Xn ) =

n
X
i=1

Dan matriksnya

[Xi − m(ρ; Zi − 1)]2 λ2 (Zi − 1)

[Xi − m(ρ; Zi −1 )]2 − θ2 (θ; Zi−1 )}γ 2 (Zi−1 )

(4.1.1)
(4.1.2)



Ψ11 = 2E λ2 (Z0 )σ(θ0; Z0 )∂m(ρ0; Z0 )∂m(ρ0; Z0 )


Ψ22 = 8E λ2 (Z0 )σ 2(θ0; Z0 )∂σ(θ0; Z0)∂σ(θ0; Z0 )

Diasumsikan pada positif tertentu. Matriksnya didefenisikan


−1
△11 = 4E λ4 (Z0 )σ 2(θ0 ; Z0 )(Φ−1
11 )∂m(ρ0 ; Z0 )∂m(ρ0 ; Z0 )Φ11
△12 = △21

13
Universitas Sumatera Utara

14


−1
2
= 8E λ2 (Z0 )γ 2 (Z0 )σ 4(θ0 ; Z0 )(Φ−1
)∂m(ρ0;
Z0)∂σ(θ
;
Z
ρ0;
Z0)Φ
0
0
11
22 E [ε0 (ε0 − 1)]
 4

−1
2
2
△22= 16E γ (Z0 )σ 6(θ0 ; Z0 )(Φ−1
11 )∂σ(θ0; Z0 )∂σ(θ0 ; Z0 )Φ22 E [(ε0 − 1) ] ,
dan
∆=



∆11 ∆12
∆21 ∆22



Teorema 4.1. Asumsikan bahwa asumsi-asumsi (A1) − (A3) berlaku dan △ adalah

definit positif, Maka,

a.s

(i) Terdapat suatu barisan estimator ψn = (ρn, θ′ n) sedemikian sehingga ψn −→
ψ0, dan untuk setiap c > 0, terdapat suatu kejadian S1 dengan P (S1 ) < 1−ε,

dan suatu bilangan nonnegatif n1 sedemikian sehingga pada S1, untuk n > n1
a. ∂U n(′ ρn ; Xn ) = 0 dan U n(ρ; Xn ) mencapai minimum relatip di ρ = ρn
b. Dengan mengasumsikan ρn tetap, ∂θSn ((ρn , θn ); Xn ) = 0 dan Sn ((ρn , θ); Xn )
mencapai minium relatif di θ = θn .
D

(ii) n1/2(ψn − ψ0) −
→ N (0, △).

Bukti. Cukup diperiksa hipotesa-hipotesa dari Teorema 3.2.23 Taniguchi dan
Kakizawa (2000), yang dibuktikan Klimko dan Nelson (1978) dengan menggunakan Teorema Egorov (lihat, misalnya, Taniguchi dan Kakizawa (2000).
Dari perhitungan sederhana dapat diperoleh :
∂Un (ρ; Xn ) = −2

n
X
i−1

λ2 (Zi−1 )∂m(ρ; Zi−1)[Xi − m(ρ; Zi−1 )]

dan
2

∂ Un (ρ; Xn ) = 2

n
X
i=1

λ2 (Zi−1 )∂(ρ; Zi−1 )∂ ′m(ρ; Zi−1 )−∂ 2m(ρ; Zi−1 )[Xi −m(ρ; Zi−1 )]

Berdasarkan ergodisitas, apabila n mendekati tak berhingga, diperoleh segera
bahwa

1
1
a,s
a,s
∂Un (ρ0; Xn ). −→ 0 dan ∂ 2 Un (ρ0 ; Xn ) −→ φ11
n
n

Universitas Sumatera Utara

15
Untuk setiap vektor p∗ ∈ int (Θ) mendefenisikan barisan fungsi-fungsi matriks acak
V n(ρ∗ ; Xn ) = ∂ 2Un (ρ∗ ; Xn ) − ∂ 2Un (ρ0 ; Xn )
Dan notasikan dengan V n(ρn ; Xn )ℓk entri ke (ℓ, k) nya. Maka V n(ρn ; Xn ) ke
i
h
n
P
∂m(p∗;Zi−1)
∂m(ρ0 :Zi−1 ) ∂m(ρ0 ;Zi−1 )
∂m(p∗;Zi−1)
= 2 (Zi−1 )
∂ρl

∂ρk
∂ρl
∂ρk
i=1

− [∂ 2m(p∗ ; Zi−1 ) [Xi − m(p∗ ; Zi−1 )] − ∂ 2 m(ρ; Zi − 1) [Xi − m(ρ; Zi−1 )]]]

Dengan demikian, dari sudut pandang (A1) − (A3), tidak sulit dilihat bahwa ter-

dapat suatu fungsi bernilai riil positif Vlk dengan ℓk(z) dengan E[?4ℓk(Z0)] < ∞
sedemikian sehingga

|Vn (ρ∗; Xn )ℓk| ≤ kρ∗ − ρ0k ε

n
X

vlk (Zi).

i=1

Sekarang untuk δ > 0 sedemiian sehingga kρ − ρ0k E < δ, dan untuk p∗ yang
terletak di antara ρ dan ρ0 , di peroleh menurut ketaksamaan di atas bahwa :
n

n

X
1
1
1X
|Vn (p∗; Xn )lk | 6
kp ∗ −p0 k ε
Vlk (Zi−1 ) 6
Vlk (Zi−1 )


n
i=1
i=1
Selanjutnya, menurut ergoditas, ruas kanan dari ketaksamaan terakhir konvergen
a.s. ke E[ℓk(Z0)] < ∞ apabila n mendekati tak berhingga. Maka jelaslah bahwa
untuk setiap (l, k)

1
|Vn (p∗; Xn )lk| < ∞
(4.1.3)

Dari teorema 3.1.3 ( Taniguchi dan Kakizawa, 2000) diperoleh bahwa terdapat
lim sup

suatu barisan estimator-estimator ρn sedemikian sehingga ρn → p0 hampir pasti,

apabila n → ∞ dan untuk ε > 0, bisa didapat kejadian E1 dengan P (E1 ) >

1 − ε dan bilangan bulat non negatif n sedemikian sehingga atas E1, untuk n >
n
¯ , ∂Un (˜
ρn ; Xn ) = 0 dan Un (ρ; Xn ) mencapai minimum relatif di p = ρn . Maka

bagian pertama dari (i) diperoleh. Untuk bagian kedua, untuk ρn tetap, diperoleh

Universitas Sumatera Utara

16
dari perhitungan sederhana :
∂θ Sn ((ρn , θ0) ; Xn )
N
P
= −4 γ 2 (Zi−1 ) σ (θ0; Zi−1 ) ∂σ (θ0; Zi−1 )

 i=1
× [Xi − m (ρn ; Zi−1 )]2 − σ2 (θ0; Zi)
N
P
= −4 γ 2 (Zi−1 ) σ (θ0; Zi−1 ) ∂σ (θ0; Zi−1 )

(4.1.4)

i=1

× {σ 2 (θ0; Zi−1 ) (ε2i − 1) + 2σ (θ0; Zi−1 ) εi [m (ρ0; Zi−1 ) − m (ρn ; Zi−1 )]
+ [m (ρ0; Zi − 1) − m (˜
ρn; Zi − 1)]2

dan

∂2θ2 Sn((ρn , θ0 ); Xn )
=8

N
P

γ 2 (Zi−1 ) ∂ 2 (θ0; Zi−1 ) ∂σ (θ0 ; Zi−1 )∂ ′σ (θ0; Zi−1 )

i=1
N
P

γ 2 (Zi−1 ) ∂δ (θ0; Zi−1 ) ∂ ′σ (θ0; Zi−1 )∂ ′ σ (θ0 ; Zi−1 )
i=1


x = [Xi − m (ρn ; Zi−1 )]2 − ∂ 2 (θ0; Zi−1 )
N
P
γ 2 (Zi−1 ) ∂ (θ0 ; Zi−1 ) ∂σ (θ0; Zi−1 )∂ ′σ (θ0 ; Zi−1 )
=8
=4

=4

i=1
N
P

(4.1.5)

γ 2 (Zi−1 ) ∂δ (θ0; Zi−1 ) ∂ ′σ (θ0; Zi−1 ) + ∂ ′2σ (θ0 ; Zi−1 )

i=1
2

x {∂ (θ0 ; Zi−1 ) (c2i − 1) + 2σ (θ0 ; Zi−1 ) ci [m (ρ0 ; Zi−1 ) − m (ρn ; Zi−1 )]
+ [m (θ0; Zi−1 ) − m (pn ; Zi−1 )]2
Dari sudut pandang (A1) − (A3 ), dengan mengaplikasikan teorema nilai mean pa-

da (4.1.4) dan (4.1.5), menurut ergodisitas jelas bahwa apabila n mendekati tak
berhingga,
a.s
1
∂ S (p ; Xn ) −→ 0 dan n1 ∂θ22 Sn (θ∗; Xn )
n θ n n

0 ;Zi−1 )
−σ(θ0; Zi−1 ) ∂σ(θ∂θ;Zl i−1 ) ∂σ(θ∂θ
k
nh
n
P
∗ ;Z
∂σ(θ
)
∂σ(θ∗ ;Zi−1 )
i−1
−4 γ 2 (Zi−1 )
+
∂θl
∂θk
i=1
2
2 ∗

− ∂θ22 Sn (θ0; Xn )

σ(θ

× [Xi − m(ρn; Zi − 1)] − σ (θ ; Zi− 1)



2
∗ ;Z
i−1 )
; Zi−1 ) ∂ σ(θ
∂θl ∂θk

2
∂σ(θ0 ;Zi−1 ) ∂σ(θ0 ;Zi−1 )
0 ;Zi−1 )
+ σ(θ0; Zi−1 ) ∂ σ(θ
∂θl
∂θk
∂θl ∂θk
([X1 − m(pn ; Zi−1 ]2 − σ 2(θ0 − Zi−1 ))] Dari sudut



io

pandang (A1) − (A3) mudah dili-

hat bahwa terdapat suatu fungsi bernilai riil positif olk (z) dengan E(o4 lk(Z0 )] < ∞

sedemikian sehingga





|Tn (θ ; Xn )lk| 6 kθ − θ0k ε

n
X

olk (Zi−1 )

i=1

Universitas Sumatera Utara

17
Untuk δ > 0 sedemikian sehinggakθ − θ0k ε < δ, dan untuk θ∗ terletak di antara

θdan θ0, diperoleh dari rumus di atas bahwa :


n


X
1
1


|Tn (θ∗; Xn | 6
olk (Zi−1 )

kθ − θ0k ε



i=1

Menurut teorema ergodik, bahwa ruas kanan pertikdasamaan terakhir konvergen
ke E[olk (Z0 )] < ∞

Apabila n mendekati tak berhingga Maka jelaslah bahwa untuk setiap (l, k) (3.3)

berlaku dengan Tn (θ∗ ; Xn )ℓk. Karena itu dengan mengaplikasikan Teorema 3.2.23.
Taniguchi dan Kakizawa 2000), bisa ditentukan barisan estimator-estimator θn
sedemikian sehingga θn → θ0 hampir pasti, apabila n → ∞ dan untuk ε > 0,
dapat ditentukan suatu kejadian E2 dengan P (E2 ) < 1 − ε dan bilangan bulat

non negatif n sedemikian sehingga atas E1 ∩ E2 , untuk n > nn , ∂θ Sn (ψn ; Xn ) = 0

dan Sn ((ρn , θ); Xn ) mencapai minimum relatip di θ = θn . Adalah mudah untuk
memeriksa bahwa untuk semua ε > 0, P (E1 ∩ E2) > 1 − ε). Dengan demikian,
dengan mengambil S1 = E1∩E2 dan n1 = max(n, n) menghasilkan bagian pertama

dari Teorema 3.1.1. Untuk menyelesaikan bagian kedua dapat dilihat bahwa:
n

2 X 2
1
√ ∂Un (ρ0 ; Xn ) = √
λ (Zi−1 )σm (e; Zi−1 )λ(p; Zi−1 ) ∈i
n
n i=1
dan dengan ekspansi Taylor orde satu fungsi ∂U n(ρ; Xn) di sekitar ρ0, untuk nilai
n yang lebih besar ditulis:


n

2 X 2
λ (Zi−1 ) σ (ρ; z) εi∂ ′m (ρ0 ; Zi−1 ) Θ−1
n (ρn − ρ0 ) = √
11 + op (1)
n i=1

Juga bisa dilihat bahwa
n

1
4 X 2
√ ∂θ Sn ((ρn , θ0) ; Xn ) = − √
λ (Zi−1 ) σ3 (θ0; Zi − 1) ∂σ (θ0; Zi − 1) (ε2i − 1)+oP (1)
n
n i=1
Dan ditulis untuk nilai n yang lebih besar,
n


4 X 2
n (θn − θ0) = √
λ (Zi−1 ) λ3 (θ0; Zi−1 ) εi2 − 1 ∂ ′λ (ρ0 ; Zi−1 ) Θ−1
22 + o)P (1)
n i=1

Universitas Sumatera Utara

18
Kemudian dengan memasukkan dalam Teorema 1( Ngatchou dan Wandji, 2005) :
wi = εi , Yi = Zi−1 , T1(x) = x, T2(x) = x2 − 1, Π1 (z) = 2λ2 (z)σ(θ0; z)∂ ′m(ρ0 ; z)Θ−1
11

, dan Π2 (z) = 4γ 2 (z)σ 3(θ0 ; z)∂ ′σ(θ0; z)Θ−1
11 , dihasilkan:


D

n (ψn − ψ0) −
→ N (0, △)

4.2 Estimasi Likehood Bersyarat
Fungsi dentitas f seperti pada model (2.1.1) berguna untuk penulisan fungsi
likelihood dan/ atau fungsi conditional likehood.
Untuk memilih fungsi densitas ini, rumus (2.1.1) terlebih dahulu dicocokkan
dengan metode kuadrat terkecil (least-squares). Selanjutnya, berbagai tes bisa diaplikasikan pada residual dari model yang dicocokkan tersebut untuk membantu
menetapkan fungsi densitas f-nya (tidak selalu fungsi GAUSS). Akan tetapi, hal
ini akan mempermudah mengestimasi parameter-parameternya, yang secara umum
dapat menggunakan metode estimasi pseudo-likehood. Pengkajian estimasi Likelihood bersyarat atas parameter-parameter tersebut dilakukan bila fungsi densitas
f-nya tidak selalu berupa fungsi GAUSS Hal ini juga telah diteliti oleh Berkes
dan Horvath (2004) dalam kasus model GARCH. Untuk memudahkan, penelitian
ini hanya dilakukan pada model (2.1) dimana hanya untuk fungsi σ(θ, z) yang
memenuhi : (B0 ) untuk semua σ(θ, z) ∈ Rj × Rq , σ(θ, z) ≥ K, untuk K > 0

Dengan (B0), log-likelihood dari sampel tertentu Xn = (Xn . . . X1 , Xn , X0 , X11 , X−q )
Yang bersyarat terhadap Z0 adalah:
Ln (ψ; Xn ) =

n
X
i=1

{− log[σ(θ; Zi−1)] + log[f(∈1 (ψ))]}

(4.2.6)

Dimana ψ = (p, θ; ) ∈ ψ dan untuk semua i ∈ Z, ∈I (ψ) = [Xi − m(p; Zi − 1)] /σ(θ; Zi−1 )
Dalam Ngatchou dan Wandji( 2005) membuat asumsi fungsi densitas f-nya sebagai
berikut:
(B1 ) → f(x) > 0 unttuk x ∈ R1 dan terdifrensial dua kali

(B2 ) → ϕ = −f (1)/f adalah difrensiabel dengan derivatif kontinu.

Selanjutnya , untuk semua i ∈ Z, dedefenisikan atas RI × RJ , dengan fungsi-fungsi

Universitas Sumatera Utara

19
randomnya :
ξi(ψ) = ϕf (εI(ψ))
(1)

ξ ′ i(ψ) = φf (∈i (ψ))
ξ ′ i(ψ) =∈i (ψ)φf (∈i (ψ))
ζi(ψ) = εi(ψ)ϕf(εi(ψ))
ζi(ψ) = ζi(ψ) + εi(ψ)ζ ′i(ψ)
(B3 ) → Terdapat suatu fungsi positif V (z) sedemikian sehingga
E[υ 4(Z0)] < ∞, untuk i ∈ Z dan ψ1, ψ2 ∈ Ψ, a.s.,

max{|ξi(ψ1) − ξi(ψ2)|, |ξ?i(ψ1) − ξ?i(ψ2)|, |ζi(ψ1) − ζi(ψ2)|
|ζ?i(ψ1) − ζ?i(ψ2)|, |ζi(ψ1) − ζi(ψ2)|} ≤ υ(Zi)||ψ1 − ψ2|| ∈

(B4 ) Terdapat suatu fungsi positif τ (z), sedemikian sehingga

tE[τ 4(Z0)] < ∞ Untuk i ∈ Z , a.s.

max{sup| ∈i (ψ)|, sup| ∈i (ψ)|, sup| ∈i (ψ)|, sup| ∈i (ψ)|, sup| ∈i (ψ)|, } ≤ τ (Zi )

Asumsi-asumsi di atas setidaknya dapat dipenuhi oleh model Autoregresif linier
yaitu model EXPAR, dan TAR dan lebih umum model -ARCH dengan Gaussian
f.
Defenisikan
h matriksnya:
R (1)
P

φf (x)f (x)dx
11 = E σ − 2(θ0; Z0)∂m(ρ0; Z0)∂ m(ρ0; Z0)
h
R (2)
P
P
−2

=
σ
(θ0;
Z0)∂m(ρ0;
Z0)∂
m(ρ0;
Z0)
φf (x)f (x)dx
=
12
h21
R
P
(1)
−2

22 = E σ (θ0; Z0)∂m(ρ0; Z0)∂ m(ρ0; Z0) (x)φf (x) + xφf f(x)dx

R
Λ11 = E σ −2(θ0; Z0)∂m(ρ0; Z0)∂ ′ m(ρ0; Z0) φ2f (x)f(x)dx

R
Λ12 = Λ21 = E σ −2(θ0; Z0)∂m(ρ0; Z0)∂ ′ m(ρ0; Z0) φ(x)f(x)dx

R

2
Λ22= E σ −2(θ0;
Z0)∂m(ρ0; Z0)∂
m(ρ0;
Z0)
 P P  (xφf (x) − 1) dx
P
P
P
P
P11 P12
P11 P12
dan Λ =
21

22

21

22

Teorema 4.2.1. Dari Asumsi (A1) − (A3) dan (B0) − (B4 ) berlaku dan bahwa
R
R
P
matriks
definit negatip. Jika φf (x)dx = 0dan xφf f(x)dx = 1 ,maka
a.s

(i) Terdapat suatu barisan estimator ψn = (ρ′ n, θ′ n)′ sedemikian sehingga ψn −→
ψ0, dan untuk setiap c > 0, terdapat suatu kejadian S2 dengan P (S2 ) > 1− ∈,

dan suatu bilangan nonnegatif n2 sedemikian sehingga pada S2 , untuk n >

Universitas Sumatera Utara

20
n2 , ∂Ln (ψn ; Xn ) = 0 dan Ln (ψn ; Xn ) mencapai maksimum relatif di ψ = ψ¯n
D

(ii) n1/2(ψn − ψ0) −
→ N (0,

P −1 P −1
Λ
)

Bukti Cara membuktikannya sama seperti pada teorema 3.1.1
D

Defenisikan Qn (ψn ; ψ0) −
→ −Ln(ψ; Xn ). Maka
n
P
∂Qn(ψ; Xn ) = − σ −1(θ0 ; Zi−1 )[∂ ′σ(θ0; Zi−1 ) (ψ0) − 1)]′
i=1

∂p22 Qn (ψ; Xn )

=

n
P

σ −1 (θ0; Zi−1 )[∂ 2m(p0 : Zi−1 ) (ψ0 )

i=1

τ − ∂ −1 (θ0; Zi−1 )∂m(p0; Zi−1 )∂ ′m(p0 ; Zi−1 ) (ψ0 )]
n
P
∂p22 Qn (ψ; Xn ) =
σ −1 (θ0; Zi−1 ){(ψ0) + (ψ0)}∂m(p0; Zi−1 )∂ ′σ(p0 ; Zi−1 )

∂p22 Qn (ψ; Xn ) =

i=1
n
P

σ −2 (θ0; Zi−1 ){ξi (ψ0) + (ψ0 )}∂m(p0; Zi−1 )∂ ′σ(p0 ; Zi−1 )

i=1
2

∂p22 Qn (ψ; Xn ) = ∂ ∂(θ0 : Zi−1 )}(ξi (ψ0) − 1 + σ −2 (θ0 : Zi−1 )∂σ(θ0; Zi−1 )ξi (ψ0 )

Dapat dilihat, apabila n mendekati tak hingga:


X X
1
1
a.s
a.s
∂Qn (ψ; Xn ) −→ 0 dan ∂ 2Qn (ψ; Xn ) −→ −
=
n
n
P
Tampak jelas bahwa matriks ¯ adalah definit positif. Untuk setiap vektor ψn ∈
int (Ψ), definisikan barisan fungsi-fungsi acak:

τn (ψn : Xn ) = ∂ 2Qn (ψn ; Xn ) − ∂ 2Qn (ψ0 ; Xn ),
dan notasikan τn (ψn : Xn )lk adalah entri ke(−l, k)-nya. Setiap entri ∂ 2Qn (ψ0 ; Xn )
adalah suatu konstanta dikali penjumlahan atas i = 1, . . . , n dari pergandaan komponen=komponen atau entri-entri dari ∂m(θ0; Zi−1 ), ∂ 2m(θ0; Zi−1 ), ∂σ(θ0; Zi−1 ) dan
fungsi-fungsi acak σ(θ0; Zi−1 ), ∈i (ψ0 ), ξi (ψ0), ξi (ψ0), ξi (ψ0 )ξi (ψ0) dan ξi (ψ0), atau
penjumlahan atau selisih dari suku-suku sedemikian. Maka diperoleh :
2

∂ Qn (ψ0; Xn )12 = −

n
X
i=1

−σ −1(θ0 ; Zi−1

−1

σ (θ0; Zi−1 )




∂ 2m(ρ0; Z i−1 )
ξi (ψ0 )
∂ρ1∂p2

∂m(ρ0; Zi−1 ) ∂m(ρ0; Zi−1 )
ξi (ψ0 )
∂ρ1
∂ρ1

Universitas Sumatera Utara

21
Dari asumsi (A1) − (A3 ) dan (B0 ) − (B4 ), dapat disimpulkan dari contoh di atas

bahwa untuk setiap (l, k),terdapat suatu fungsi bernilai-riil positif µlk dengan
E[µ4lk (Z0 )] > ∞ sedemikian sehingga:


|τn (ψn ; Xn )lk 6 kψ − ψ0 k| ∈

n
X

µlk (Zi−1 )

i=1

Kemudian, untuk δ > 0 sedemikian sehingga:
kψ − ψ0 k ∈< δ, (nδ)−1 |τn (ψ ∗ ; Xn )lk | dibatasi dari kanan oleh n−1

n
P

µlk (Zi−1 ) yang,

i=1

menurut teorema ergodik, adalah konvergen ke E[µlk (Z0 )] < ∞ apabila n mendekati
tak berhingga. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk semua (l, k),
(4.2.1) berlaku dengan τn (ψ ∗, Xn )lk.
Seperti halnya dalam bukti Teorema 4.2.1, terdapat barisan estimator - estimator ψn = (ρ′n , θn′ ), sedemikian hingga, a.s., ψn → ψ0 , dan untuk setiap ∈> 0,

terdapat suatu kejadian S2 dengan P (S2 ) > 1− ∈, dan suatu bilangan bulat n2

sedemikian sehingga atas S2 , untuk n > n2 , ∂Qn (ψn ; Xn ) = 0 dan Qn (ψ; Xn ) mencapai minimum relatif di ψ = ψn . Karena minimum relatip untuk Qn (ψ; Xn )
dan maksimum relatip untuk Ln (ψ; Xn ), bagian pertama dari hasil ini terbukti.
Untuk bagian kedua, harus dibuktikan bahwa n−1/2∂Qn (ψ; Xn ) konvergen dalam
distribusi ke suatu vektor acak Gaussian dengan mean 0 dan matriks kovariansi .
Hasil ini terbukti jika dimasukkan kedalam Teorema 1 Ngatchou dan Wandji (2005)
: wi =∈i (ψ), Yi = Zi−1 , Φi (z) = ∂ −1 (θ0; z)∂m(ρ0; z) dan Φ1 (z) = ∂ −2 (θ0; z)T1(x) =
Φf (x), T2(x) = xφf (x) − 1.

Kemudian, dengan mengaplikasikan kembali bagian kedua dari Teorema 3.2.23 dari
Taniguchi dan Kakizawa (2000) di peroleh bahwa
X
X

D
−1
−1
n(ψn − ψ0) −
→ N (0,
Λ
)

Akibat 4.2.1. Asumsikan bahwa asumsi-asumsi teorema 4.2.1 berlaku dan bahwa:
Z
Z
Z
Z
(1)
2
2
φf (x)f (x)dx = φf (x)f(x)dx, xφf (x)f(x)dx = φf (x)(xφf (x) − 1)f(x)dx
dan

Z

x(φf (x) +

xφ1f (x)f (x)dx

=

Z

(xφf (x) − 1)2 f(x)dx

Universitas Sumatera Utara

22
berlaku. Maka

X

D
−1
n(ψn − ψ0 ) −
→ N(0,
), n → ∞

Karena syarat-syarat integral dalam teorema 4.2.1 dan akibat 4.2.1 dipenuhi untuk
P
fungsi densitas f Gaussian, maka matriks Fisher Konvergen ke . Karenanya,

batas Cramer - Rio dipenuhi secara asymptotik dan ψn efisien secara asymptotik
juga.
4.3 Estimasi Densitas dengan Kernel

Dalam analisis data cenderung diartikan sebagai proses perhitungan dalam
penerapan metode statistika, misalnya perhitungan mean, varian, koefisien regresi ataupun perhitungan jumlah kuadrat dalam analisa varian, sehingga peranan
dan kegunaan sebenarnya menjadi sering terlupakan. Proses analisis data pada
dasarnya meliputi upaya penelusuran dan pengungkapan informasi yang relevan
yang terkandung dalam data seperti penelusuran dan pengungkapan struktur dan
pola data, dan penyajian hasilnya dalam bentuk lebih ringkas dan sederhana, sehingga pada akhirnya mengarah kepada keperluan adanya penjelasan dan penafsiran. Penelusuran struktur dan bertujuan memeriksa apakah suatu data dapat
diwakili oleh suatu model tertentu, sedangkan dalam penelusuran pola data bertujuan untuk memeriksa apakah distribusi datanya cenderung mengumpul di satu
nilai tertentu atau pada beberapa nilai.
Jika diberikan data pengamatan independen (Xi ) = 1, 2, . . . , n untuk menentukan distribusi dari X ekivalen dengan menentukan fungsi densitasnya. Untuk
mengestimasi fungsi densitas f dapat dilakukan dengan dua pendekatan yaitu
pendekatan parametrik dan nonparametrik. Pendekatan parametrik dilakukan jika
asumsi bentuk f diketahui dan tergantung pada suatu parameter, sehingga mengestimasi f ekivalen dengan mengestimasi parameternya, sedangkan pendekatan nonparametrik dilakukan jika asumsi bentuk f tidak diketahui. Dalam hal ini diasumsikan bahwa fungsi f termuat dalam kelas fungsi mulus dalam arti mempunyai
turunan kontinu atau terintegralkan secara kuadrat.

Universitas Sumatera Utara

23
Dalam analisis deret waktu (time series) distribusi bersyarat sangat berguna untuk studi fenomena tak linear seperti simetri dan struktur multimodalitas
dari deret waktu. Dalam model (2.1 ) distribusi bersyarat adalah distribusi densitas. Estimasi nonparametrik atas distribusi bersyarat telah dikaji antara lain
oleh Hyndman dan Yao (2002) yang menggunakan metode Kernel,