contoh soal fisika kuantum 130703193508 phpapp02
2
2
2
ℏ
∂ r 2 ∂ + L^ − Ze
^
H ( r )=−
2
∂ r 2 m e r 2 4 πε 0 r
2 me r ∂ r
(
1. Buktikan bahwa Buktikan bahwa
)
Penyelesaian:
2
2 1
∂ sinθ ∂ + 1
∂2
L^ =−ℏ
sin θ ∂θ
∂ θ sin2 θ ∂ φ2
L^ 2
1
∂ sin θ ∂ + 1
∂2
=−
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂φ2
ℏ2
(
(
(
)
(
)
)
)
Persamaan Laplacian pada koordinat spheric dapat dituliskan menjadi:
1 ∂
1
2∂
∂ sinθ ∂ + 1
∂2
r
+
∂ θ r 2 sin 2 θ ∂ φ2
r 2 ∂ r ∂ r r 2 sin θ ∂θ
1 1
2 1
2
∂ sin θ ∂ + 1
∂2
∇ = 2∂ r ∂ + 2
∂ θ sin2 θ ∂ φ2
r ∂ r ∂ r r sinθ ∂θ
1
1
L^ 2
∇ 2= 2 ∂ r 2 ∂ + 2 − 2
r ∂r ∂r r
ℏ
(
(
∇ 2=
)
)
(
(
(
( ) (
1
L^
∇ = ∂ ( r ∂ )−
r ∂r ∂r ℏ r
2
)
)
)
)
2
2
2
2 2
Operator Hamiltonian :
2
2
^ ( r )=−ℏ ∇ 2 − Ze
H
2 me
4 πε 0 r
ℏ2 1 ∂
L^ 2
Ze 2
2∂
r
−
−
2 me r 2 ∂ r
∂r ℏ 2 r 2 4 πε 0 r
2
^2 2
Ze 2
^H ( r )=−ℏ 1 ∂ r 2 ∂ + L ℏ
−
2 me r 2 ∂r
∂r 2 me ℏ2 r 2 4 πε 0 r
2
2
Ze 2
∂ r 2 ∂ + L^
^ ( r )=−ℏ
H
−
2
∂r 2 me r 2 4 πε 0 r
2 me r ∂r
(
^ ( r )=−
H
(
)
(
)
(
)
)
−
2. Sebuah atom mempunyai fungsi gelombang radial sebagai berikut
a. Normalisasikan fungsi tersebut
b. Cari energinya
Penyelesaian :
−
R(r )= Ae
Zr
a0
R ( r )= Ae
Zr
a0
.
∞
∫ dr (r 2 R 2 ( r ) )=1
a)
0
(
∫ dr r2( Ae
∞
−
Zr 2
a0
) ) =1
0
∞
A 2∫ r2 e
−2
Zr
a0
dr =1
… (1)
0
−2
Misal n =
Z
a0
, maka :
1
∫ e nr dr= n e nr
∫ ∂n∂ (e nr )dr = dnd ( 1n e nr)
∫ ∂n∂ (e nr )dr = dnd ( 1n e nr)
∫ re nr dr =
nr
nr
nr
e rn−e
e
= 2 ( rn−1 )
2
n
n
∫ ∂n∂ ( renr ) dr= dnd
∫ r 2 enr dr =
∫ r2 enr dr =
(
e nr
( rn−1 )
n2
)
n2 enr r ( rn−1 )+ n2 e nr−2 ne nr ( rn−1 )
n4
e nr r 2 2 e nr 2 enr r
+ 3 − 2
n
n
n
Subsitusi ke persamaan (1)
A
2
∞
∫r
2
−2
e
Zr
a0
dr =1
0
2
[
−2
A e
Zr
a0
(
)]
r 2 a 0 2 ra 0 2 a0 ∞
+
+
| =1
−2 z 4 z2 −8 z 3 0
2
3
[
[(
[ ( )]
(
A 2 0 0−
A 2 0+
a
a
0
3
4z
3
3
0
3
4z
z
A=2
a0
a
) (
) ( )]
A 2 e−∞ ∞−∞−
3
0
3
4z
−e 0 0−0−
a
−1 −
0
3
4 z3
a
0
3
4 z3
)]
=1
=1
=1
3
()
2
… (2)
Dari persamaan (2) diperoleh
z
R(r )=2
a0
3
( )
z
R10 (r )=2
a0
2e
−Zr
a0
(merupakan R(r) saat n=1 dan l=0)
3
( )
2e
−Zr
a0
2
b)
En =
−Z
2 n2
E1 =
−Z −Z
=
2
2 . 12
2
2
3. Sebuah elektron berada dalam medan magnet B (0,B,0) pada waktu t = 0, elektron dalam
keadaan spin down. Cari spinor pada t > 0. Hitung periode getarnya!
Penyelesaian :
Fungsi gelombang spin down adalah
[]
−¿= 0
1
χ¿
Memenuhi persamaan Schrodinger iℏ
∂
χ =^
H s χ (t) … (1)
∂ x (t )
^
H s adalah Hamiltonian gerak spinor, dapat ditulis :
^
H s=M . B=−μ B σ . B=−μB σ y B … (2)
μB
adalah Magneton Bohr dan B adalah medan magnetik magnitude
Pada waktu t, misal fungsi spinor electron adalah sbb :
χ (t )=
[ ]
a(t )
b(t )
maka, disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)
iℏ
[ ]
[ ]
∂ a( t)
a(t)
=−μ B σ y B
∂ x b( t)
b (t)
[
, dengan σ y = 0 −i
i 0
]
∂ a(t ) −μ B B 0 −i a(t )
=
∂ x b(t )
i ℏ i 0 b (t )
[ ]
Maka, jika ω=
[
][ ]
μB B
ℏ
da(t) −μ B B
=
b ( t )=−ωb ( t )
dt
ℏ
db(t) μB B
=
a ( t )=ωa ( t )
dt
ℏ
Setelah menyelesaikan diferensial fungsi di atas, diperoleh :
a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt
b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt
jadi,
χ (t )=
[ ][
a(t )
c cos ω t+ c2 sin ω t
= 1
b(t ) c 1 sin ω t−c 2 cos ω t
karena χ(t) = χ-
]
… (3)
[ ][]
a(t) 0
=
b(t) 1
[
][]
c 1 cos ω t+ c2 sin ω t
=0
1
c1 sin ω t−c 2 cos ω t
Maka,
a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = 0 … (4)
b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt = 1 … (5)
pada t = 0, persamaan (4) diperoleh :
c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
c1 = 0
dan persamaan (5) diperoleh :
c1 sin 0 - c2 cos 0 = 1
c2 = -1
dengan memasukkan nilai c1 = 0 dan c2 = -1 pada persamaan (3), diperoleh :
χ (t )=
[
][
][
c 1 cos ω t+ c 2 sin ω t
0+(−1)sin ω t
=
= −sin ω t
cos ω t
c 1 sin ω t−c2 cos ω t
0−(−1)cos ω t
]
Jadi, spinor pada :
[
][
][]
t 1 =0, χ (t )= −sin ω t = −sin 0 = 0
cos ω t
cos 0
1
t2 =
“spin down”
[ ][ ]
π
π
−sin
(
)
2ω
−sin ω t
2
−1
=[
=
=
=[ ]
]
cos ω t
π
0
π
cos
cos ω (
)
2
2ω
π
,χ
2 ω (t )
−sin ω
“spin up”
t3 =
π
,χ
ω (t)
[ ]
π
(
) = −sin π = 0
ω
=[ −sin ω t ]=
[ cos π ] [ 1]
cos ω t
π
cos ω ( )
ω
−sin ω
“spin down”
Mencari Δt, t2 – t1 atau t3 – t2
Δ t=t 2−t 1=
π
π
−0=
2ω
2ω
π
π 2 π −π
π
Δ t=t 3−t 2= −
=
=
ω 2ω
2ω
2ω
Jadi,
Δ t=
π
2ω
Mencari periode getar (T)
T =2 Δt=
2π π
=
2ω ω
Karena ω=
μB B
ℏ
Maka
π πℏ
T= =
ω μB B
4. Buktikan persamaan Schwarz’s
|⟨⃗a|⃗b⟩|≤||⃗a||⃗b||
(1)Schwarz'sinequality
⟨a|b⟩≤‖a‖b ⇒the qualityhold,when {a=λb, λisa cal r
Penyelesaian :
2 22
⟨a|b⟩ 2 (4⟨a|b⟩ −4‖a ‖b ) 2 2 2
¿Pro f:¿ ‖a+λb‖=⟨a+λb|a+λb⟩=⟨a| ⟩+λ⟨a|b⟩+λ⟨b|a⟩+λ ⟨b| ⟩¿ if⟨a|b⟩=⟨a|b⟩e ⇒‖a+λb‖=‖a +|λ ‖b +λ⟨a|b⟩e +λ ⟨a|b⟩e ¿ for‖a+λb‖≥0foral λ,cho se λ=re ¿ ⇒0≤‖a+λb‖=‖a +r‖b +2r ⟨a|b⟩ ¿ ⇒(r+ 2 )− 2 ≥0¿ ⇒⟨a|b⟩ ≤‖a ‖b ¿
‖b 4‖b
2
¿ ¿
iα 2 2 2 2 iα ¿ −iα 2
−iα 2 2 2 2
5. Cari nilai eigen dan fungsi eigen ternormalisasi dari operator :
(
1 1
0
A= 1 1 −3
0 −3 −3
)
Penyelesaian :
Diketahui bahwa det (A – λI) = 0
(
) ( )
(
)( )
1 1
0
1 0 0
A – λ I = 1 1 −3 −λ 0 1 0
0 −3 −3
0 0 1
1 1
0
λ 0 0
A – λ I = 1 1 −3 − 0 λ 0
0 −3 −3
0 0 λ
A – λ I=
(
1−λ
1
0
1
1− λ
−3
0
−3 −3−λ
)
Jadi, det (A – λI) = 0
|
|
1− λ
1
0 1− λ
1
1
1− λ
−3
1
1−λ=0
0
−3 −3−λ 0
−3
(1 – λ)(1 – λ)(-3 – λ) + (1)(-3)(0) + (0)(1)(-3) - (0)(1-λ)(0) - (-3)(-3)(1-λ) - (-3 – λ)(1)(1) = 0
-3 + 5λ - λ2 - λ3 + 0 + 0 - 0 - 9 + 9λ + 3 + λ = 0
-λ3 - λ2 + 15λ - 9 = 0
λ3 + λ2 - 15λ + 9 = 0
(λ – 3)( λ2 + 4λ – 3) = 0
λ1 = 3
mencari λ2 dan λ3 menggunakan rumus abc dengan persamaan λ2 + 4λ – 3 = 0
λ2,3 =
−b ± √ b2−4 ac
2a
λ2,3 =
−4 ± √ 42−4 ( 1 ) (−3 )
2 (1 )
λ2,3 =
−4 ± √ 16+12
2
λ2,3 =
−4 ± √ 28
2
λ2,3 =
−4 ±5,29
2
λ2 =
−4 +5,29 1,29
=
=0 ,645
2
2
λ3 =
−4−5,29 −9,29
=
=−4 ,645
2
2
Mencari fungsi eigen untuk λ1 = 3
Ax1 = λ1x1
x1
1
x
=
x2
misal
x3
()
)( ) ( )
x1
1 1
0 x1
maka, 1 1 −3 x 2 =3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = 3x1
-2x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = 3x2
x1 – 2x2 – 3x3 = 0
(
(3) -3x2 – 3x3 = 3x3
-3x2 – 6x3 = 0
Misal x1 = k,
Pada persamaan (1)
-2x1 + x2 = 0
-2k = - x2
x2 = 2k
pada persamaan (3)
-3x2 – 6x3 = 0
-3(2k) = 6x3
-6k = 6x3
x3 = -k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
k2 + (2k)2 + (-k)2 = 1
k2 + 4k2 + k2 = 1
6k2 = 1
1
k=
6
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ1 = 3 adalah
x1
k
1
1
1
1
x = x 2 = 2 k =k 2 =
2
6
−k
−1
−1
x3
Mencari fungsi eigen untuk λ2 = 0,645
Ax2 = λ2x2
x1
2
misal x = x 2
x3
√
()( ) ( )√( )
()
)( ) ( )
x1
1 1
0 x1
=0,645
x2
maka, 1 1 −3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = 0,645x1
0,355x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = 0,645x2
x1 + 0.355x2 – 3x3 = 0
(3) -3x2 – 3x3 = 0,645x3
-3x2 – 3,645x3 = 0
Misal x2 = k,
Pada persamaan (1)
0,355x1 + x2 = 0
0,355x1 = - k
x1 = -2,817k
pada persamaan (3)
-3x2 – 3,645x3 = 0
(
-3(k) = 3,645x3
-3k = 3,645x3
x3 = -0,8230k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
(-2,817k)2 + k2 + (-0,8230k)2= 1
7,935489k2 + k2 + 0,677329k2 = 1
9,612818k2 = 1
1
k=
9,612818
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ2 = 0,645 adalah
x1
−2,817 k
−2,817
−2,817
1
2
x = x2 =
=k
=
k
1
1
9,612818
−0,8230
k
−0,8230
−0,8230
x3
Mencari fungsi eigen untuk λ3 = -4,645
Ax3 = λ3x3
x1
3
misal x = x2
x3
√
()(
) (
)√
)( )
()
()
x1
1 1
0 x1
=−4,645
x2
maka, 1 1 −3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = -4,645x1
5,645x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = -4,645x2
x1 + 5,645x2 – 3x3 = 0
(3) -3x2 – 3x3 = -4,645x3
-3x2 + 1,645x3 = 0
Misal x1 = k,
Pada persamaan (1)
5,465x1 + x2 = 0
5,465k = -x2
x2 = -5,465k
pada persamaan (3)
-3x2 + 1,645x3 = 0
-3(-5,465k) = -1,645x3
16,935k = -1,645x3
x3 = -10,2948k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
k2 + (-5,645k)2 + (-10,2948k)2 = 1
k2 + 31,866025k2 + 105,98291k2 = 1
138,84894k2 = 1
(
(
)
√
1
138,84894
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ3 = -4,645 adalah
x1
k
1
1
1
3
x = x2 = −5,645 k =k −5,645 =
−5,645
138,84894
−10,2948 k
−10,2948
−10,2948
x3
k=
()(
) (
)√
(
)
2
2
ℏ
∂ r 2 ∂ + L^ − Ze
^
H ( r )=−
2
∂ r 2 m e r 2 4 πε 0 r
2 me r ∂ r
(
1. Buktikan bahwa Buktikan bahwa
)
Penyelesaian:
2
2 1
∂ sinθ ∂ + 1
∂2
L^ =−ℏ
sin θ ∂θ
∂ θ sin2 θ ∂ φ2
L^ 2
1
∂ sin θ ∂ + 1
∂2
=−
sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂φ2
ℏ2
(
(
(
)
(
)
)
)
Persamaan Laplacian pada koordinat spheric dapat dituliskan menjadi:
1 ∂
1
2∂
∂ sinθ ∂ + 1
∂2
r
+
∂ θ r 2 sin 2 θ ∂ φ2
r 2 ∂ r ∂ r r 2 sin θ ∂θ
1 1
2 1
2
∂ sin θ ∂ + 1
∂2
∇ = 2∂ r ∂ + 2
∂ θ sin2 θ ∂ φ2
r ∂ r ∂ r r sinθ ∂θ
1
1
L^ 2
∇ 2= 2 ∂ r 2 ∂ + 2 − 2
r ∂r ∂r r
ℏ
(
(
∇ 2=
)
)
(
(
(
( ) (
1
L^
∇ = ∂ ( r ∂ )−
r ∂r ∂r ℏ r
2
)
)
)
)
2
2
2
2 2
Operator Hamiltonian :
2
2
^ ( r )=−ℏ ∇ 2 − Ze
H
2 me
4 πε 0 r
ℏ2 1 ∂
L^ 2
Ze 2
2∂
r
−
−
2 me r 2 ∂ r
∂r ℏ 2 r 2 4 πε 0 r
2
^2 2
Ze 2
^H ( r )=−ℏ 1 ∂ r 2 ∂ + L ℏ
−
2 me r 2 ∂r
∂r 2 me ℏ2 r 2 4 πε 0 r
2
2
Ze 2
∂ r 2 ∂ + L^
^ ( r )=−ℏ
H
−
2
∂r 2 me r 2 4 πε 0 r
2 me r ∂r
(
^ ( r )=−
H
(
)
(
)
(
)
)
−
2. Sebuah atom mempunyai fungsi gelombang radial sebagai berikut
a. Normalisasikan fungsi tersebut
b. Cari energinya
Penyelesaian :
−
R(r )= Ae
Zr
a0
R ( r )= Ae
Zr
a0
.
∞
∫ dr (r 2 R 2 ( r ) )=1
a)
0
(
∫ dr r2( Ae
∞
−
Zr 2
a0
) ) =1
0
∞
A 2∫ r2 e
−2
Zr
a0
dr =1
… (1)
0
−2
Misal n =
Z
a0
, maka :
1
∫ e nr dr= n e nr
∫ ∂n∂ (e nr )dr = dnd ( 1n e nr)
∫ ∂n∂ (e nr )dr = dnd ( 1n e nr)
∫ re nr dr =
nr
nr
nr
e rn−e
e
= 2 ( rn−1 )
2
n
n
∫ ∂n∂ ( renr ) dr= dnd
∫ r 2 enr dr =
∫ r2 enr dr =
(
e nr
( rn−1 )
n2
)
n2 enr r ( rn−1 )+ n2 e nr−2 ne nr ( rn−1 )
n4
e nr r 2 2 e nr 2 enr r
+ 3 − 2
n
n
n
Subsitusi ke persamaan (1)
A
2
∞
∫r
2
−2
e
Zr
a0
dr =1
0
2
[
−2
A e
Zr
a0
(
)]
r 2 a 0 2 ra 0 2 a0 ∞
+
+
| =1
−2 z 4 z2 −8 z 3 0
2
3
[
[(
[ ( )]
(
A 2 0 0−
A 2 0+
a
a
0
3
4z
3
3
0
3
4z
z
A=2
a0
a
) (
) ( )]
A 2 e−∞ ∞−∞−
3
0
3
4z
−e 0 0−0−
a
−1 −
0
3
4 z3
a
0
3
4 z3
)]
=1
=1
=1
3
()
2
… (2)
Dari persamaan (2) diperoleh
z
R(r )=2
a0
3
( )
z
R10 (r )=2
a0
2e
−Zr
a0
(merupakan R(r) saat n=1 dan l=0)
3
( )
2e
−Zr
a0
2
b)
En =
−Z
2 n2
E1 =
−Z −Z
=
2
2 . 12
2
2
3. Sebuah elektron berada dalam medan magnet B (0,B,0) pada waktu t = 0, elektron dalam
keadaan spin down. Cari spinor pada t > 0. Hitung periode getarnya!
Penyelesaian :
Fungsi gelombang spin down adalah
[]
−¿= 0
1
χ¿
Memenuhi persamaan Schrodinger iℏ
∂
χ =^
H s χ (t) … (1)
∂ x (t )
^
H s adalah Hamiltonian gerak spinor, dapat ditulis :
^
H s=M . B=−μ B σ . B=−μB σ y B … (2)
μB
adalah Magneton Bohr dan B adalah medan magnetik magnitude
Pada waktu t, misal fungsi spinor electron adalah sbb :
χ (t )=
[ ]
a(t )
b(t )
maka, disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2)
iℏ
[ ]
[ ]
∂ a( t)
a(t)
=−μ B σ y B
∂ x b( t)
b (t)
[
, dengan σ y = 0 −i
i 0
]
∂ a(t ) −μ B B 0 −i a(t )
=
∂ x b(t )
i ℏ i 0 b (t )
[ ]
Maka, jika ω=
[
][ ]
μB B
ℏ
da(t) −μ B B
=
b ( t )=−ωb ( t )
dt
ℏ
db(t) μB B
=
a ( t )=ωa ( t )
dt
ℏ
Setelah menyelesaikan diferensial fungsi di atas, diperoleh :
a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt
b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt
jadi,
χ (t )=
[ ][
a(t )
c cos ω t+ c2 sin ω t
= 1
b(t ) c 1 sin ω t−c 2 cos ω t
karena χ(t) = χ-
]
… (3)
[ ][]
a(t) 0
=
b(t) 1
[
][]
c 1 cos ω t+ c2 sin ω t
=0
1
c1 sin ω t−c 2 cos ω t
Maka,
a(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = 0 … (4)
b(t) = c1 sin ωt - c2 cos ωt = 1 … (5)
pada t = 0, persamaan (4) diperoleh :
c1 cos 0 + c2 sin 0 = 0
c1 = 0
dan persamaan (5) diperoleh :
c1 sin 0 - c2 cos 0 = 1
c2 = -1
dengan memasukkan nilai c1 = 0 dan c2 = -1 pada persamaan (3), diperoleh :
χ (t )=
[
][
][
c 1 cos ω t+ c 2 sin ω t
0+(−1)sin ω t
=
= −sin ω t
cos ω t
c 1 sin ω t−c2 cos ω t
0−(−1)cos ω t
]
Jadi, spinor pada :
[
][
][]
t 1 =0, χ (t )= −sin ω t = −sin 0 = 0
cos ω t
cos 0
1
t2 =
“spin down”
[ ][ ]
π
π
−sin
(
)
2ω
−sin ω t
2
−1
=[
=
=
=[ ]
]
cos ω t
π
0
π
cos
cos ω (
)
2
2ω
π
,χ
2 ω (t )
−sin ω
“spin up”
t3 =
π
,χ
ω (t)
[ ]
π
(
) = −sin π = 0
ω
=[ −sin ω t ]=
[ cos π ] [ 1]
cos ω t
π
cos ω ( )
ω
−sin ω
“spin down”
Mencari Δt, t2 – t1 atau t3 – t2
Δ t=t 2−t 1=
π
π
−0=
2ω
2ω
π
π 2 π −π
π
Δ t=t 3−t 2= −
=
=
ω 2ω
2ω
2ω
Jadi,
Δ t=
π
2ω
Mencari periode getar (T)
T =2 Δt=
2π π
=
2ω ω
Karena ω=
μB B
ℏ
Maka
π πℏ
T= =
ω μB B
4. Buktikan persamaan Schwarz’s
|⟨⃗a|⃗b⟩|≤||⃗a||⃗b||
(1)Schwarz'sinequality
⟨a|b⟩≤‖a‖b ⇒the qualityhold,when {a=λb, λisa cal r
Penyelesaian :
2 22
⟨a|b⟩ 2 (4⟨a|b⟩ −4‖a ‖b ) 2 2 2
¿Pro f:¿ ‖a+λb‖=⟨a+λb|a+λb⟩=⟨a| ⟩+λ⟨a|b⟩+λ⟨b|a⟩+λ ⟨b| ⟩¿ if⟨a|b⟩=⟨a|b⟩e ⇒‖a+λb‖=‖a +|λ ‖b +λ⟨a|b⟩e +λ ⟨a|b⟩e ¿ for‖a+λb‖≥0foral λ,cho se λ=re ¿ ⇒0≤‖a+λb‖=‖a +r‖b +2r ⟨a|b⟩ ¿ ⇒(r+ 2 )− 2 ≥0¿ ⇒⟨a|b⟩ ≤‖a ‖b ¿
‖b 4‖b
2
¿ ¿
iα 2 2 2 2 iα ¿ −iα 2
−iα 2 2 2 2
5. Cari nilai eigen dan fungsi eigen ternormalisasi dari operator :
(
1 1
0
A= 1 1 −3
0 −3 −3
)
Penyelesaian :
Diketahui bahwa det (A – λI) = 0
(
) ( )
(
)( )
1 1
0
1 0 0
A – λ I = 1 1 −3 −λ 0 1 0
0 −3 −3
0 0 1
1 1
0
λ 0 0
A – λ I = 1 1 −3 − 0 λ 0
0 −3 −3
0 0 λ
A – λ I=
(
1−λ
1
0
1
1− λ
−3
0
−3 −3−λ
)
Jadi, det (A – λI) = 0
|
|
1− λ
1
0 1− λ
1
1
1− λ
−3
1
1−λ=0
0
−3 −3−λ 0
−3
(1 – λ)(1 – λ)(-3 – λ) + (1)(-3)(0) + (0)(1)(-3) - (0)(1-λ)(0) - (-3)(-3)(1-λ) - (-3 – λ)(1)(1) = 0
-3 + 5λ - λ2 - λ3 + 0 + 0 - 0 - 9 + 9λ + 3 + λ = 0
-λ3 - λ2 + 15λ - 9 = 0
λ3 + λ2 - 15λ + 9 = 0
(λ – 3)( λ2 + 4λ – 3) = 0
λ1 = 3
mencari λ2 dan λ3 menggunakan rumus abc dengan persamaan λ2 + 4λ – 3 = 0
λ2,3 =
−b ± √ b2−4 ac
2a
λ2,3 =
−4 ± √ 42−4 ( 1 ) (−3 )
2 (1 )
λ2,3 =
−4 ± √ 16+12
2
λ2,3 =
−4 ± √ 28
2
λ2,3 =
−4 ±5,29
2
λ2 =
−4 +5,29 1,29
=
=0 ,645
2
2
λ3 =
−4−5,29 −9,29
=
=−4 ,645
2
2
Mencari fungsi eigen untuk λ1 = 3
Ax1 = λ1x1
x1
1
x
=
x2
misal
x3
()
)( ) ( )
x1
1 1
0 x1
maka, 1 1 −3 x 2 =3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = 3x1
-2x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = 3x2
x1 – 2x2 – 3x3 = 0
(
(3) -3x2 – 3x3 = 3x3
-3x2 – 6x3 = 0
Misal x1 = k,
Pada persamaan (1)
-2x1 + x2 = 0
-2k = - x2
x2 = 2k
pada persamaan (3)
-3x2 – 6x3 = 0
-3(2k) = 6x3
-6k = 6x3
x3 = -k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
k2 + (2k)2 + (-k)2 = 1
k2 + 4k2 + k2 = 1
6k2 = 1
1
k=
6
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ1 = 3 adalah
x1
k
1
1
1
1
x = x 2 = 2 k =k 2 =
2
6
−k
−1
−1
x3
Mencari fungsi eigen untuk λ2 = 0,645
Ax2 = λ2x2
x1
2
misal x = x 2
x3
√
()( ) ( )√( )
()
)( ) ( )
x1
1 1
0 x1
=0,645
x2
maka, 1 1 −3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = 0,645x1
0,355x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = 0,645x2
x1 + 0.355x2 – 3x3 = 0
(3) -3x2 – 3x3 = 0,645x3
-3x2 – 3,645x3 = 0
Misal x2 = k,
Pada persamaan (1)
0,355x1 + x2 = 0
0,355x1 = - k
x1 = -2,817k
pada persamaan (3)
-3x2 – 3,645x3 = 0
(
-3(k) = 3,645x3
-3k = 3,645x3
x3 = -0,8230k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
(-2,817k)2 + k2 + (-0,8230k)2= 1
7,935489k2 + k2 + 0,677329k2 = 1
9,612818k2 = 1
1
k=
9,612818
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ2 = 0,645 adalah
x1
−2,817 k
−2,817
−2,817
1
2
x = x2 =
=k
=
k
1
1
9,612818
−0,8230
k
−0,8230
−0,8230
x3
Mencari fungsi eigen untuk λ3 = -4,645
Ax3 = λ3x3
x1
3
misal x = x2
x3
√
()(
) (
)√
)( )
()
()
x1
1 1
0 x1
=−4,645
x2
maka, 1 1 −3 x 2
0 −3 −3 x 3
x3
(1) x1 + x2 = -4,645x1
5,645x1 + x2 = 0
(2) x1 + x2 – 3x3 = -4,645x2
x1 + 5,645x2 – 3x3 = 0
(3) -3x2 – 3x3 = -4,645x3
-3x2 + 1,645x3 = 0
Misal x1 = k,
Pada persamaan (1)
5,465x1 + x2 = 0
5,465k = -x2
x2 = -5,465k
pada persamaan (3)
-3x2 + 1,645x3 = 0
-3(-5,465k) = -1,645x3
16,935k = -1,645x3
x3 = -10,2948k
menormalisasikan :
x12 + x22 + x32 = 1
k2 + (-5,645k)2 + (-10,2948k)2 = 1
k2 + 31,866025k2 + 105,98291k2 = 1
138,84894k2 = 1
(
(
)
√
1
138,84894
Fungsi eigen ternormalisasi pada λ3 = -4,645 adalah
x1
k
1
1
1
3
x = x2 = −5,645 k =k −5,645 =
−5,645
138,84894
−10,2948 k
−10,2948
−10,2948
x3
k=
()(
) (
)√
(
)