Saran SIMPULAN DAN SARAN
DAFTAR PUSTAKA
Funada, Joseph, Wang. 2008. Potential Flows of Viscous and Viscoelastic Fluids. Cambridge University Press: New York.
Gordon, A. L., C. F. Giulivi, and A. G. Ilahude. 2003.Deep topographic barriers within the Indonesian Seas.Deep Sea Res., Part II, 50, 2205
–2228. Hautala, S.H., Sprintall, J., Potemra, J.T., Chong, J.C., Pandoe,W., Bray, N.,
Ilahude, A.G. 2001. Velocity structure and transport of the Indonesian Throughflow in the major straits restricting flow into the Indian Ocean.J.
Geophysical Research, 106, p.19527-19546. Jaharuddin.2006. Prediksi Kekuatan Gelombang Soliter Internal di Selat Lombok.
Jurnal Matematika dan Aplikasinya5:43-57. Bogor: Departemen Matematika IPB.
Murray, S.P., Arief, D.1988. Throughflow into the Indian Ocean throughthe
LombokStrait.Nature, 333, p.444-447. Murray, S.P., Arief, D.,Kindle, J.C., Hurlburt, H.E. 1990. Characteristics of
circulation in an Indonesian Archipelagostrait from hydrography, current measurements and modeling results.Physical Oceanaography of Sea
Strait,318, p. 3-23.
Pujiana Kandaga.2005. Dinamika Gelombang Internal Di Selat Lombok.Bandung: ITB Central LibraryÂ’s CD Collection.
PujianaKandaga, Gordon, Sprintall, Susanto. 2009. Intraseasonal variability in the Makassar Strait thermocline. Journal of Marine Research, 67, 757
–777. Rachmayani Rima.2008. Dinamika Penjalaran Gelombang Internal di Selat
Lombok. Jurnal Ilmu Kelautan. Vol. 13 1: 1 – 12, ISSN 0853 – 7291.
Bandung: Institut Teknologi Bandung. Saidah, 2006.Gelombang Soliter Internal pada Aliran Tunak. Bogor: Departemen
Matematika IPB. Schiller, A.2004.E
ffects of explicit tidal forcing in an OGCM on thewater-mass structure and circulation in the Indonesian throughflow region.Ocean
Modeling, 6, p.31 –49.
Vallis Geoffrey. 2006. Atmospheric And Oceanic Fluid Dynamics. New York: Cambridge University Press.
Visser, W.P. 2004.On the generation of internal waves in Lombok Strait through Kelvin-Helmholtz instability. The Netherlands: Department of Applied
Mathematics, University of Twente. WajsowiczRoxana C, GordonArnold L, Field Amy, Susanto R.D. 2003.
Estimating transport in Makassar Strait.Deep-Sea Research II 50:2163 –
2181.
LAMPIRAN
Lampiran 1 Penurunan persamaan 2.17
Dengan asumsi fluida tak termampatkan diperoleh: ��
�� = 0
atau ��
�� =
� �
+ �
+ �
= 0
atau �
, � − �
+ �
, � − +
� , � −
= 0 atau
�
�
+ �
− = 0 atau
�
�
+ � �
− � = 0 atau
� �
+ � �
− �
= 0.
Lampiran 2 Penurunan persamaan 2.18
Berdasarkan asumsi fluida tak termampatkan, diperoleh ��
�� = 0
atau �
� =
� �
+ �
+ �
= 0
atau − −ℎ
� +
− −ℎ +
− −ℎ = 0
atau +
ℎ �
+ +
ℎ +
+ ℎ
= 0 atau w =0
atau �
= 0.
Lampiran 3 Penurunan persamaan 2.19
Tinjau persamaan dasar fluida berikut: �
�
+ +
+ � = 0 �
�
+ +
+ � = 0 atau
� �
�� =
−� �
� ��
= −� + ��.
Misalkan = dan � = 0, � , maka persamaan di atas dapat dituliskan
dalam bentuk vektor berikut �
� ��
= −∇� + �� I. 1
atau �
�� =
� +
+
=
�
+ +
=
�
+ +
=
�
+ +
=
�
+ −
− +
+ +
+
=
�
+ −
� + 0. + − +
� + +
+
=
�
+ − � + 0. + − +
� + +
+
=
�
+ �
� −
+ +
+
=
�
+ �
� −
+ , 1
2
2
+ 1
2
2
=
�
+ × ∇ × + ∇ 1
2
2
Misalkan partikel fluida diasumsikan tak berotasi ∇ × = 0 , maka terdapat
suatu fungsi skalar � , , � yang disebut potensial kecepatan dan memenuhi
= ∇� = � , � . Jadi, �
�� =
�
∇� + ∇ 1
2 �
2
+ �
2
I. 2 Selanjutnya, substitusikan persamaan I.2 ke dalam persamaan I.1, maka
diperoleh:
�
∇� + ∇ 1
2 �
2
+ �
2
= − ∇�
� +
�
atau ∇
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ �
� +
� = 0. Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap koordinat ruang, maka
diperoleh:
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ �
� +
� = �
atau
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ � = � − �
�
atau
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ � = � − �
�
atau
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ � =
∗
� Jika tekanan udara konstan, maka tekanan dapat diabaikan, sehingga
∗
� = 0.
Selanjutnya, diperoleh:
�
� + 1
2 �
2
+ �
2
+ � = 0
atau �
∂t +
1 2
∇�
2
+ � �
= 0, pada permukaan =
� ,
�.
Lampiran 4 Penurunan persamaan 2.26
Dari syarat batas kinematik pada permukaan fluida satu lapisan berikut: �
� +
� � −
� = 0
diperoleh �
� =
� −
� �
= −
� � +
�
= �
� − �
1
= ∇� .
− �
1
2
�
2
+ 1
2
�
2
+ 1
= ∇� . �
2
�
2
+ 1
12
dan �
� =
� −
� �
= −
� � +
�
= �
� − �
1
= ∇� .
− �
1
2
�
2
+ 1
2
�
2
+ 1
= ∇� . �
2
�
2
+ 1
12
Lampiran 5 Penurunan persamaan 3.1a dan 3.1b
Tinjau fluida ideal yang tak berotasi irrotational yang diberikan pada persamaan 2.20, 2.21, 2.25, dan 2.26 yang dituliskan kembali sebagai berikut:
2
�
2
+
2
�
2
= 0, untuk 0 ℎ II. 1
2
�
2
+
2
�
2
= 0, untuk − ℎ 0. II. 2
� = 0 pada =
ℎ II. 3 �
= 0 pada y = − ℎ . II. 4
Misalkan penyelesaian persamaan diferensial di atas dinyatakan oleh � = � , �
�� − �
II. 5 dengan
� , akan ditentukan sebagai berikut. Jika persamaan II.5 disubstitusikan ke dalam persamaan Laplace II.1, maka diperoleh
2
�
2
�
�� − �
+ ��
� �
�� − �
+ ��
� �
�� − �
− �
2
� �
�
�� − �
+
2
�
2
�
�� − �
= 0 atau
2
�
2
+
2
�
2
− �
2
� �
�� − �
+ 2 ��
� �
�� − �
= 0. II. 6 Karena nilai eksponen pada persamaan II.6 tidak nol, maka koefisien kedua
suku pada persamaan tersebut harus nol. Jadi, adalah ∂A∂x=0, dan
2
�
2
+
2
�
2
− �
2
� = 0. Karena
∂A∂x=0, maka
2
�
2
− �
2
� = 0 II. 7 Penyelesaian umum dari persamaan II.7 adalah
� = �
�
+ ��
−�
, II. 8 dengan C dan D suatu konstanta. Jadi, potensial kecepatan pada persamaan II.5
berbentuk � = �
�
+ ��
−�
�
�� − �
II. 9 Berdasarkan syarat batas II.3 berbentuk
� ℎ = 0, diperoleh
� �
�ℎ
− ���
−�ℎ
�
�� − �
= 0. II. 10 Karena nilai
�
�� − �
pada persamaan II.10 tidak nol, maka � = �
2 �ℎ
II. 11 Dengan demikian persamaan II.9 menjadi
� = �
�
+ �
2 �ℎ
�
−�
�
�� − �
= �
�ℎ
�
� −ℎ
+ �
−� −ℎ
�
�� − �
= 2 �
�ℎ
1 2
�
� −ℎ
+ �
−� −ℎ
�
�� − �
= 2 �
�ℎ
cosh � − ℎ �
� � − �
. II. 12 Misalkan,
2 �
�ℎ
= � , maka persamaan II.12 dapat ditulis menjadi
� , , � = � cosh � − ℎ �
� � − �
.
Berikut ini akan ditentukan � yang memenuhi persamaan II.2 dengan
syarat batas II.4. misalkan penyelesaian persamaannya dinyatakan dalam bentuk � = , �
�� − �
II. 13 dengan
, akan ditentukan sebagai berikut. Jika persamaan II.13 disubstitusikan ke dalam persamaan Laplace II.2, maka diperoleh
2 2
�
�� − �
+ ��
�
�� − �
+ ��
�
�� − �
− �
2
�
�� − �
+
2 2
�
�� − �
= 0
atau
2 2
+
2 2
− �
2
�
�� − �
+ 2 ��
�
�� − �
= 0. II. 14 Karena nilai eksponen pada persamaan II.14 tidak nol, maka koefisien kedua
suku pada persamaan tersebut harus nol. Jadi, adalah ∂B∂x=0, dan
2 2
+
2 2
− �
2
= 0. Karena
∂B∂x=0, maka
2 2
− �
2
= 0 II. 15 Penyelesaian umum dari persamaan II.15 adalah
= �
�
+ ��
−�
, II. 16 dengan C dan D suatu konstanta. Jadi, potensial kecepatan pada persamaan II.13
berbentuk � = �
�
+ ��
−�
�
�� − �
II. 17 Berdasarkan syarat batas II.4:
� −ℎ = 0, diperoleh:
� �
−�ℎ
− ���
�ℎ
�
�� − �
= 0 II. 18 Nilai
�
�� − �
pada persamaan II.18 tidak nol, sehingga: � = �
−2�ℎ
II. 19 Dengan demikian persamaan II.17 menjadi
� = �
�
+ �
−2�ℎ
�
−�
�
�� − �
= �
−�ℎ
�
� +ℎ
+ �
−� +ℎ
�
�� − �
= 2 �
−�ℎ
1 2
�
� +ℎ
+ �
−� +ℎ
�
�� − �
= 2 �
−�ℎ
cosh � + ℎ �
� � − �
II. 20 Misalkan,
2 �
−�ℎ
= � , maka persamaan II.20 dapat ditulis menjadi:
� , , � = � cosh � + ℎ �
� � − �
ABSTRACT
HADI HERMANSYAH. The Mathematical Approach on the Generation of Internal Waves in Makassar Strait. Under supervision of JAHARUDDIN and
SISWANDI.
In Makassar strait, which is located between the islands of Kalimantan and Sulawesi, the fascinating phenomena of internal waves can be observed. Internal
waves are gravity waves that oscillate within, rather than on the surface of, a fluid medium. Internal waves occur in the interior of water in seas, which exist due to a
di fference in density of the lower and upper layer of the fluid. Typical
characteristics of internal waves are their large wavelength and amplitude. This research aims to derive a dispersion relation based on the basic equations of two-
layers fluid, to determine the internal waves in the Makassar Strait, and to create a simulation of generation of the internal waves using the software Mathematica.
The results show that the generation mechanism of these internal waves can be formulated based on the Kelvin-Helmholtz dispersion relation for a two-layers
fluid. This dispersion relation can also be used as classification criteria of instability of internal waves. Emphasis is given to the types of instability, i.e.
temporal and spatial instability. Temporal stability occurs if current velocity in the upper part of fluid is less than its critical velocity. For the spatial instability,
internal waves in Makassar strait can be approximated for both layers as deep water waves. The spatially stable region is reached when the frequency of the
lower part of fluid is smaller than the critical frequency, or when the frequency of the upper part of fluid is larger than the critical frequency.
Keywords: Makassar strait, generation of internal waves, instability.