Misalkan kecepatan arus pada lapisan bawah sangat kecil U
b
= 0 dan tegangan permukaan
�=0, maka persamaan 3.9 menjadi: −� � �
2
�
2
+ �� � − � � + � = 0. 3.10
Kestabilan temporal dihasilkan dari −� � �
2
�
2
+ �� � − � � + � 0,
atau �
2
� � − �
� + � �� �
. Nilai kritis dari kestabilan temporal adalah
�
��
= �
� − � � + �
�� �
. 3.12
Dengan demikian kestabilan temporal terjadi bilamana |U
a
| U
acrit
.
3.2.2. Ketakstabilan Spasial
Misalkan � = 0 dan U
b =
0, maka persamaan 3.7menjadi � + �
2
− 2� � � + �
2
� �
2
− �� � − � = 0 3.13 Persamaan 3.13 merupakan persamaan taklinear terhadap k yang
penyelesaiannya secara analitik sulit dilakukan, untuk itu diperlukan beberapa asumsi. Misalkan diasumsikan domain fluida dua lapisan masing-masing
memiliki ketebalan yang cukup besar kh
a
0 dan kh
b
0, sehingga S
a
= � dan
S
b
= � . Berdasarkan asumsi tersebut persamaan 3.13 menjadi
� + �
2
− 2� � � + �
2
� �
2
− �� � − � = 0, atau
�
2
� �
2
− � 2� � +
� � − � + � + �
2
= 0. 3.14 Persamaan 3.14 berupa persamaan kuadrat dalam k dengan penyelesaian
dalam bentuk:
�
,
, � = 2
� � +
� � − � 2
� �
2
± 2� � + � � − �
2
− 4� �
2
� + �
2
2 � �
2
,
3.11
atau
�
,
, � = 2
� � +
� � − � 2
� �
2
± 4�
2
�
2 2
+ 4 � � � � − � + �
2
� − �
2
− 4� �
2
� + �
2
2 � �
2
,
atau
�
,
, � = 2
� � +
� � − � 2
� �
2
± 4�
2
�
2
−4� �
2
� + �
2
+ 4 � � − � �� + �
2
� − �
2
2 � �
2
,
atau
�
,
, � = 2
� � +
� � − � 2
� �
2
± −4� � �
2 2
+ 4 � � − � �� + �
2
� − �
2
2 � �
2
. 3.15
Ketakstabilan dari gelombang internal ditentukan dari bagian imajiner pada persamaan 3.15.Bagian imajiner dari persamaan 3.15 diperoleh bilamana
2 � �
2 2
0,sehingga nilai kritis dari kestabilan spasial berbentuk 4
� � �
2 2
− 4� � − � �� − �
2
� − �
2
= 0 3.16 Persamaan 3.16 merupakan persamaan kuadrat dalam
dengan penyelesaian dalam bentuk:
, ��
= � � − � �
2 � � �
± 4� � − � ��
2
+ 44 � � �
2
�
2
� − �
2
2 � � �
2
, atau
, ��
= � � − � �
2 � � �
± 16�
2
� − �
2
�
2
�
2
+ 16 � � �
2
�
2
� − �
2
8 � � �
2
, atau
, ��
= � � − � �
2 � � �
± 4
� � � − � � � + �
2
8 � � �
2
,
