Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Saat Inteval Antar Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama
PELUANG KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI
SAAT INTERVAL ANTAR PEMBAYARAN MEMILIKI
SEBARAN EKSPONENSIAL YANG TIDAK SAMA
LUSSI KURNIAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peluang Kebangkrutan
Perusahaan Asuransi Saat Interval Antar Pembayaran Memiliki Sebaran
Eksponensial yang Tidak Sama adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Lussi Kurniawati
NIM G54100045
ABSTRAK
LUSSI KURNIAWATI. Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Saat Interval
Antar Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama. Dibimbing
oleh RUHIYAT dan HADI SUMARNO.
Pada model risiko klasik, keuntungan perusahaan asuransi dipengaruhi oleh
tiga hal, yaitu besarnya keuntungan awal perusahaan, besarnya pendapatan (premi)
yang dibayarkan para pemegang polis, dan besarnya klaim yang dikeluarkan
perusahaan untuk pemegang polis. Perusahaan asuransi dikatakan bangkrut jika
keuntungan perusahaan asuransi bernilai negatif, yaitu ketika besarnya klaim yang
dibayarkan melebihi besarnya keuntungan awal ditambah dengan besarnya
pendapatan (premi) yang diterima dari para pemegang polis. Pada penelitian ini
ditentukan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi saat interval antar
pembayaran memiliki sebaran eksponensial yang tidak sama dan besarnya
pembayaran memiliki sebaran eksponensial yang identik. Selain itu, diberikan pula
ilustrasi proses keuntungannya.
Kata kunci: asuransi, interval antar pembayaran, peluang kebangkrutan, sebaran
eksponensial yang tidak sama
ABSTRACT
LUSSI KURNIAWATI. Ruin Probability of an Insurance Company in a Case of
Intervals between Payments are Distributed Exponentially Unequally. Supervised
by RUHIYAT and HADI SUMARNO.
In the classical risk model, insurance company profit is affected by three
factors i.e., the amount of the initial profit, the amount of revenue (premium)
obtained, and the amount of the claims insurance company paid for the customers.
The insurance company is called to get ruined if the profit is negative, when the
amount of claims paid exceeds the initial profit plus the amount of income
(premium) received. In this study such ruin probability was determined for the
insurance company in the case where intervals between payments are distributed
exponentially unequally and the amount of payments have identical exponential
distributions. In this work, we also provide an illustrative surplus process.
Key words: insurance, interval between payments, probability of ruin, unequal
exponential distributions
PELUANG KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI
SAAT INTERVAL ANTAR PEMBAYARAN MEMILIKI
SEBARAN EKSPONENSIAL YANG TIDAK SAMA
LUSSI KURNIAWATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Saat Inteval Antar
Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama
Nama
: Lussi Kurniawati
NIM
: G54100045
Disetujui oleh
Ruhiyat, MSi
Pembimbing I
Dr Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2013 ini ialah
asuransi, dengan judul Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi saat Interval
antar Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ruhiyat, MSi dan Dr Hadi Sumarno,
MS selaku pembimbing, serta Ir Retno Budiarti, MS yang telah banyak memberi
saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh dosen dan
staf di Departemen Matematika atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan semasa
perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik, serta
seluruh keluarga besar, atas segala doa dan kasih sayangnya. Tak lupa juga, penulis
ucapkan terimakasih kepada seluruh keluarga di Departemen Matematika,
khususnya angkatan 47, kakak dan adik kelas, teman kos wisma Do’i serta seluruh
pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya
ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Lussi Kurniawati
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Peluang
2
Proses Stokastik
4
Asuransi
5
Peluang Kebangkrutan pada Proses Risiko Klasik
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Peluang Kebangkrutan
Perhitungan Peluang Kebangkrutan dan Simulasi Keuntungan Perusahaan
7
7
12
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
35
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
Contoh proses keuntungan perusahaan
Ilustrasi proses kedatangan klaim
Ilustrasi proses keuntungan perusahaan
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 10
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 20
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 30
Proses keuntungan saat modal awal 5 dan banyaknya klaim 10
5
7
8
13
14
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pembuktian persamaan (6)
Pembuktian
adalah polinomial berderajat −
Pembuktian persamaan (8), (9), dan (10)
Pembuktian persamaan (11)
Pembuktian persamaan (13)
Pembuktian persamaan (15), (16), dan (17)
Pembuktian persamaan (18), (19), dan (20)
Pembuktian persamaan (21)
Contoh program perhitungan peluang kebangkrutan
Contoh program pembangkitan data
Hasil Ilustrasi proses keuntungan
17
18
20
22
23
24
26
28
30
31
33
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang mungkin memiliki peluang tertimpa kejadian-kejadian yang
tidak diharapkan sehingga akan timbul kerugian keuangan semenjak lahir sampai
proses kematiannya, karena hidup seseorang dikelilingi dengan risiko. Oleh karena
itu, perlu usaha untuk mengantisipasi atau mengurangi kerugian keuangan yang
timbul dari kejadian tersebut. Salah satu cara mengantipasi kerugian keuangan yang
akan terjadi akibat kejadian yang tidak diharapkan adalah dengan mengikuti
program asuransi.
Perusahaan asuransi memperoleh pendapatan dari pembayaran premi yang
diterima dari peserta asuransi. Di lain pihak perusahaan asuransi juga mengeluarkan
klaim. Perusahaan asuransi memiliki modal awal yang diasumsikan sebagai
keuntungan awal. Maka dari itu keuntungan perusahaan asuransi dapat dilihat dari
modal awal ditambah dengan total premi dikurangi total klaim yang dikeluarkan.
Besarnya premi dan klaim yang dikeluarkan biasanya telah diatur dalam suatu
kontrak antara perusahaan asuransi dengan peserta asuransi. Perusahaan asuransi
dikatakan bangkrut jika modal awal ditambah dengan total pendapatan (premi)
yang masuk dari peserta asuransi lebih kecil dibandingkan dengan klaim yang
diberikan kepada peserta asuransi.
Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi pada
dasarnya perusahaan asuransi ingin mengetahui perkembangan operasional dan
keuangan yang dimiliki, sehingga dapat membantu mengubah strategi perusahaan.
Jika strategi yang dijalankan berdampak baik maka strategi tersebut dapat terus
digunakan. Sebaliknya jika tidak maka perusahaan harus mengganti strategi agar
kondisinya tidak semakin buruk. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu model untuk
menduga bagaimana kondisi perusahaan asuransi tersebut. Salah satunya adalah
dengan melihat peluang kebangkrutan.
Teori kebangkrutan dapat dimanfaatkan oleh berbagai pihak. Salah satunya
dalam bidang asuransi yaitu dari para pemegang kepentingan dalam perusahaan
asuransi. Hal tersebut dikarenakan dengan melihat peluang kebangkrutan dari
perusahaan asuransi akan mempengaruhi para investor untuk menanamkan
modalnya. Semakin kecil peluang kebangkrutan yang dimiliki perusahaan asuransi
akan semakin menarik para investor untuk menanamkan modalnya dan begitu juga
sebaliknya.
Selain itu pengembangan teori kebangkrutan juga dapat dijadikan sebagai
suatu rujukan bagi pemerintah. Rujukan tersebut dapat digunakan untuk membuat
kebijakan pada bidang asuransi dalam menentukan jumlah dana minimal yang
harus dimiliki oleh suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan asuransi itu
dapat diizinkan beroperasi pada periode waktu tertentu. Hal tersebut sangat
membantu pemerintah agar perusahaan asuransi yang beroperasi dapat berjalan
dengan baik dan dapat membantu perekonomian negara. Usaha pemerintah ini juga
akan membuat masyarakat merasa nyaman untuk berasuransi. Karya ilmiah ini
berlandaskan pada artikel yang ditulis oleh Vinogradov (1997) yang berjudul Ruin
Probability of an Insurance Company in the Case where Intervals between Payment
Have Unequal Exponential Distributions.
2
Perumusan Masalah
Perusahaan asuransi dapat terus beroperasi jika keuntungan bersihnya positif
atau baik. Pada umumnya keuntungan dalam perusahaan asuransi tidak selamanya
positif atau baik, karena dipengaruhi oleh beberapa faktor. Faktor tersebut di
antaranya dari klaim asuransi yang datang. Ketidakmampuan perusahaan asuransi
dalam membayar klaim bisa saja terjadi, bila jumlah kejadian klaim yang datang
cenderung lebih besar sehingga melebihi modal awal ditambah premi yang diterima
perusahaan asuransi tersebut.
Pada intinya, hal ini terjadi karena klaim-klaim yang datang tidak seperti
perkiraan yang diharapkan. Akibatnya perusahaan asuransi akan mengalami
kebangkrutan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan peluang kebangkrutan asuransi saat interval antar pembayaran
memiliki sebaran eksponensial yang tidak sama.
2. Menghitung peluang kebangkrutan dan melakukan ilustrasi proses
keuntungannya.
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
sebagai berikut.
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam
kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui,
tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat (Grimmett
& Stirzaker 1992).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang
contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut:
1. ∅ ∈ ℱ;
2. Jika , , … . ∈ ℱ, maka ⋃∞=
∈ ℱ;
�
3. Jika ∈ ℱ, maka
∈ ℱ
(Grimmet & Stirzaker 1992).
3
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi �: ℱ → [ , ] pada (ℱ, Ω) yang memenuhi:
1. � ∅ = , � Ω = ;
2. Jika , , … . ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
∩
= ∅
untuk setiap pasangan ≠ , maka
.
� ⋃∞= = Σ ∞= �
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi
yang
terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ∈ Ω ke satu dan hanya satu
bilangan real
= disebut peubah acak. Ruang dari adalah himpunan
bagian bilangan real.
�={ : =
, ∈ Ω}.
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 6 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan ruang �. Misalkan kejadian =
−∞, ] ⊂ �, maka peluang dari kejadian adalah
�
= �� .
Fungsi �� disebut fungsi sebaran dari peubah acak (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi �� : ℝ → [ , ] yang
= � = (Grimmet & Stirzaker 1992).
diberikan oleh ��
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya adalah
��
=∫
−∞
untuk fungsi : ℝ → [ , ∞ yang dapat diintegralkan. Fungsi
kepekatan peluang bagi (Grimmett & Stirzaker 1992).
=
�
disebut fungsi
Definisi 9 (Peubah Acak Eksponensial)
Peubah acak kontinu disebut menyebar eksponensial dengan parameter � > ,
jika fungsi kepekatan peluanganya adalah
� −�
,
� ;� = {
, <
(Ross 1996).
Definisi 10 (Peubah Acak Gamma)
Peubah acak disebut menyebar gamma dengan parameter
fungsi kepekatan peluangnya adalah
� −� � −
,
� ; ,� =
− !
(Ross 1996).
,� , � >
jika
4
Proses Stokastik
Definisi 11 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik � = {
, ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (Ross 1996).
Definisi 12 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik {� ,
} disebut proses pencacahan (counting process)
jika �
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
Proses pencacahan �
harus memenuhi:
1. �
;
2. Nilai �
adalah integer;
3. Jika < , maka �
� ;
4. Untuk < , maka � − �
sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang , ]
(Ross 1996).
Definisi 13 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {� ,
} disebut proses Poisson dengan intensitas �,
� > jika:
1. �
= ;
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas;
3. Banyaknya kejadian pada sembarang , memiliki sebaran Poisson dengan rataan
� . Jadi untuk semua > , > , maka:
�
�{� + − �
= } = −�
, = , …
!
(Ross 1996).
Definisi 14 (Proses Poisson Majemuk)
Suatu proses {
,
} disebut proses Poisson majemuk jika proses tersebut
dinyatakan sebagai:
�
=∑
=
,
dengan {� ,
} adalah suatu proses Poisson dengan intensitas � dan , , …
adalah suatu barisan peubah acak independent and identically distributed (i.i.d.)
} (Ross 1996).
yang juga bebas terhadap {� ,
Definisi 15 (Waktu antar Kedatangan)
Barisan { , = , , … } disebut barisan waktu antar kedatangan dari suatu proses
Poisson dengan
menyatakan jarak antarwaktu kejadian proses Poisson ke- −
dengan kejadian proses Poisson ke- (Ross 1996).
5
Asuransi
Definisi 16 (Perusahaan Asuransi)
Berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 2 Tahun 1992
tentang Usaha Perasuransian, asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara
dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada
tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian
kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang
diharapkan, atau tanggung jawab hukum pihak ketiga yang mungkin akan diderita
tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan
suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang
dipertanggungkan.
Definisi 17 (Polis, Premi, dan Klaim Asuransi)
Polis adalah suatu kontrak yang dibuat oleh perusahaan asuransi dengan
peserta asuransi yang berisi perjanjian membayar cicilan dengan jumlah tertentu
selama periode tertentu. Premi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta
asuransi kepada perusahaan asuransi sesuai dengan polis yang disepakati. Klaim
adalah jaminan terhadap risiko atau kerusakan yang terjadi oleh perusahaan
asuransi kepada peserta asuransi sesuai kesepakatan polis (Bowers et al. 1997).
Peluang Kebangkrutan pada Proses Risiko Klasik
Keuntungan perusahaan asuransi pada saat > dalam model risiko klasik
ditentukan oleh tiga hal, yaitu besarnya keuntungan awal, besarnya pendapatan
(premi) yang diperoleh dari pemegang polis sampai waktu , dan besarnya klaim
yang dibayarkan kepada pemegang polis sampai waktu .
Gambar 1 Contoh proses keuntungan perusahaan
Gambar 1 menunjukkan bahwa nilai keuntungan perusahaan asuransi berubah
dari waktu ke waktu dikarenakan oleh pembayaran klaim. Suatu saat, pembayaran
klaim menyebabkan nilai keuntungan perusahaan asuransi negatif, dengan kata lain
< . Dari Gambar 1 terlihat bahwa kebangkrutan terjadi pada saat �, di mana
� < .
6
Misalkan {� ,
} adalah proses kedatangan klaim, maka untuk > ,
peubah acak �
menyatakan banyaknya klaim yang datang pada interval waktu
[ , ]. Dalam proses risiko klasik diasumsikan bahwa {� ,
} adalah proses
Poisson. Besarnya klaim yang datang dimodelkan sebagai barisan peubah acak
independent and identically distributed (i.i.d.) { ,
} , maka
merupakan
besarnya klaim pada saat ke- . Besarnya klaim agregrat sampai waktu adalah
�
=∑
=
dengan
= saat �
proses Poisson majemuk.
Misalkan {
,
dengan {
,
}.
= . Proses klaim agregrat {
,
} merupakan
} adalah proses keuntungan perusahaan asuransi
=
+
−
<
untuk suatu >
dengan adalah modal awal perusahaan asuransi dan adalah laju peningkatan
premi per satuan waktu yang diterima secara kontinu.
Peluang kebangkrutan perusahaan asuransi didefinisikan sebagai
=�
.
Dengan kata lain,
adalah peluang bahwa keuntungan perusahaan asuransi
berada di bawah nol pada suatu waktu di masa depan dikarenakan klaim yang
datang melebihi modal awal ditambah dengan premi yang masuk pada perusahaan
asuransi.
Definisikan
= −
sebagai peluang ketidakbangkrutan dengan
keuntungan perusahaan awal sebesar . Dengan mempertimbangkan waktu dan
besarnya klaim pertama, didapatkan
∞
−�
=∫ �
∫
+
+
−
dengan catatan jika klaim pertama terjadi pada waktu , besarnya tidak melebihi
+ , agar tidak terjadi kebangkrutan. Dengan melakukan substitusi = +
diperoleh
∞
= ∫ �
=
�
�
�
∫
−
∞
Penyelesaian eksplisit bagi
penurunan sebagai berikut.
� −� / ∞ −��
=
∫
∫
=
�
(Dickson 2005).
�
− ∫
� �−�
−�
−
�
∫
−
∫
−
.
dapat diperoleh dengan melakukan
−
.
�
− ∫
−
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Peluang Kebangkrutan
Keuntungan perusahaan asuransi diperoleh dari modal awal perusahaan
asuransi ditambah dengan total pendapatan (premi) dari peserta asuransi dikurang
dengan total pembayaran klaim-klaim yang datang pada perusahaan asuransi.
Modal awal perusahaan asuransi dinotasikan dengan yang diasumsikan sebagai
keuntungan awal
= . Keuntungan perusahaan asuransi pada waktu , di
mana
dinotasikan dengan
. Nilai
selalu berubah dari waktu ke
waktu, bergantung dari total premi yang diterima dan pembayaran klaim yang
datang dari peserta asuransi. Oleh karena itu nilai keuntungan perusahaan asuransi
pada waktu didefinisikan sebagai:
=
+
�
−∑
=
, >
dengan
a. =
adalah modal awal perusahaan asuransi, dengan > .
b.
adalah total pendapatan (premi) yang diterima dari peserta asuransi pada
interval waktu [ , ].
c.
adalah besarnya klaim ke- yang dibayarkan perusahaan asuransi,
.
d. � = max( :
adalah banyaknya klaim yang datang pada interval waktu
[ , ], dengan
adalah waktu pembayaran klaim ke- ,
dengan
⋯
dan
= , = − − , untuk
.
Asumsi-asumsi untuk model pada analisis sebagai berikut:
a. Besarnya klaim
, , … saling bebas dan menyebar eksponensial dengan
fungsi sebaran �
= − − .
b. Premi dari peserta asuransi meningkat secara linear pada setiap interval
dengan kenaikan sebesar
.
c. { }, { } saling bebas dan setiap interval
memiliki sebaran eksponensial
dengan parameter � .
0
t
Gambar 2 Ilustrasi proses kedatangan klaim
Gambar 2 menunjukkan proses kedatangan klaim pada interval waktu [ , ].
Ada tiga kejadian klaim { , , } yang terjadi pada interval tersebut dengan
kenaikan premi berturut-turut { , , }. Total premi yang diperoleh perusahaan
8
asuransi pada interval waktu tersebut adalah
.
−
=
+
+
+
Gambar 3 Ilustrasi proses keuntungan perusahaan
Gambar 3 menunjukkan proses kedatangan klaim berdasarkan ilustrasi
Gambar 2 ada tiga klaim yang terjadi saat interval waktu [ , ] kondisi keuntungan
perusahaan positif. Namun saat interval waktunya ditambah dengan premi menjadi
=
+
+
+
terjadi klaim ke-4 yang besarnya melebihi
modal awal dan total premi yang diterima perusahaan, sehingga keuntungan
perusahaan negatif.
Peluang kebangkrutan didefinisikan sebagai
=�
< untuk suatu > .
Untuk mencari peluang kebangkrutan perusahaan asuransi, dicari terlebih
dahulu peluang ketidakbangkrutan. Peluang ketidakbangkrutan adalah peluang
keadaaan keuntungan perusahaan asuransi tidak pernah negatif. Peluang
ketidakbangkrutan dilambangkan dengan
. Karena penjumlahan dalam ukuran
peluang adalah satu, maka
=
−
.
(1)
Persamaan (1) menggambarkan peluang ketidakbangkrutan dan peluang
kebangkrutan. Waktu kebangkrutan dinotasikan dengan � adalah waktu di mana
nilai keuntungan perusahaan pada saat itu negatif, sehingga dapat dimodelkan
dalam bentuk
� = inf :
<
.
Untuk menghitung
dan
, pertama diasumsikan bahwa banyaknya
pembayaran klaim berhingga dan sama dengan
. Misalkan
dan
berturut-turut melambangkan peluang kebangkrutan dan peluang
ketidakbangkrutan dengan pembayaran klaim. Jadi,
= lim
→∞
Untuk keperluan selanjutnya,
= lim
→∞
,
.
ditulis sebagai
9
,� ,
=
,� ,
,� ,
,…,� ,
,�
,
.
Untuk mempermudah dalam proses perhitungan akan digunakan permutasi
terhadap barisan {� } dan { }. Permutasi yang digunakan adalah � → � − + dan
→ − + , = , … , . Setelah dilakukan permutasi, interval waktu sebelum
pembayaran pertama memiliki sebaran eksponensial dengan parameter � dan laju
pertambahan premi pada interval ini menjadi . Interval waktu antara pembayaran
pertama dan pembayaran kedua memiliki sebaran eksponensial dengan parameter
� − dan laju pertambahan premi menjadi − dan seterusnya.
Lambangkan ̃
dan ̃
berturut-turut sebagai peluang kebangkrutan
dan peluang ketidakbangkrutan yang telah dipermutasi, sehingga
̃
,� ,
=
,�
−
,
−
−
−
,…,� ,
.
Misalkan klaim pertama terjadi pada waktu > dan besarnya klaim
tersebut adalah . Ada dua kemungkinan kejadian, yaitu:
a. Kebangkrutan terjadi pada saat klaim pertama, sehingga > +
atau
b. Kebangkrutan tidak terjadi pada saat klaim pertama, sehingga keuntungan
perusahaan setelah pembayaran pertama, +
− tidak negatif atau <
+
, sehingga diperoleh persamaan berikut:
̃
∞
=∫�
−�
=� ∫
−�
∞
= .
dengan ̃
Misalkan +
diperoleh
=
̃
Misalkan
�
dan
=
�
+
→ ∞ diperoleh
∞
∫
−
�
−
+
̃−
[ ∫
= , maka
=
∞
∫
=
�
̃−
∫
=
−
∞
∫
−
−
−
+
�
−
−
]
,
=
sehingga
. Ketika
→ ∞. Persamaan (2) akan menjadi
[∫ ̃ −
−
−
]
.
[∫ ̃
−
−
]
.
= , maka persamaan (3) menjadi
̃
−
+
−
[∫ ̃ −
−
−
]
.
=
+�− ∫
−
+�−
∞
∫
−
�
−
=
(3)
(4)
Untuk mencari peluang ketidakbangkrutan pertama misalkan ̃
dengan � = ⁄ +
dan fungsi
�
(2)
,
=
(5)
10
−
= untuk = , , … , .
dengan
=� = , = +
dan
Untuk sembarang bilangan positif b dan bilangan bulat taknegatif k, berlaku
persamaan
∞
/
− /
∫
− +
= !∑
.
!
=
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Berdasarkan persamaan (5) dan (6)
dapat dituliskan dalam bentuk
sehingga
(6)
adalah polinom berderajat − ,
−
=∑ ̃
(7)
=
= , untuk
. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Substitusi
dan ̃
persamaan (7) ke persamaan (5), lalu gunakan persamaan (6), maka untuk =
,…,
̃
untuk
−
=
̃
= , … , − , dan
̃
=
�−
−
−
=
= −
=�−
̃
̃
+
∑ !
!
̃
+
+�− ∑ !
,
−
,
−
(8)
(9)
−
−
(10)
.
−
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Agar mendapatkan bentuk eksplisit untuk
}, di mana = , … , , = , … , − , persamaan (8), (9),
rumus barisan { ̃
dan (10) diubah menjadi bentuk yang sederhana. Masukkan nilai = pada
persamaan (9), maka diperoleh
̃
=
�−
−
∑ !
=
+
sehingga berdasarkan persamaan (8) menjadi:
̃
=
+
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4. Jika
(9):
̃
̃
−
.
,
(11)
< − , maka berdasarkan persamaan
11
̃
+
�−
+ !
=
−
− k−
+
[ ∑ !
+
= −
̃
!
−
−
̃−
(12)
].
Dari persamaan persamaan (9) dan (12) didapatkan untuk
̃
=
̃
+
+
+
�−
̃
−
−
<
.
< −
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5. Jadi terbukti bahwa barisan { ̃
memenuhi persamaan (10)-(13). Untuk > diatur sebagai berikut:
̃
=
� − � − + …� −
!
, ̃
̃
= ̃
Dari definisi persamaan (10)-(13) diperoleh
untuk
<
̃
< −
̃
=
dan
̃
=
�−
−
−
+
�− ̃
= ̃
+
+ ̃
−
−
̃
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6. Karena
= , sehingga
didapatkan bahwa
̃
,
.
= .
.
(13)
}
(14)
(15)
−
,
(16)
(17)
= , maka dari persamaan (5)
(18)
Ditunjukkan bahwa persamaan (15)-(18) mendefinisikan secara unik barisan ̃
. Persamaan (17) dan (18) akan berimplikasi bahwa
dan begitu pula barisan ̃
untuk = , … dipenuhi persamaan
̃
−
−
=
= .
(19)
Substitusikan = − pada persamaan (16) dan menggunakan persamaan (19),
maka didapatkan untuk <
adalah
̃
+� ∑
=
.
(20)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7.
Menggunakan persamaan (16) dan (20) dan argumen yang serupa, didapatkan
bentuk eksplisit dari ̃ − , jika < < + . Secara analogi didapatkan
untuk = , … , + , = , … , − . Jadi telah
bentuk eksplisit untuk ̃
.
terbukti bahwa persamaan (15)-(18) mendefiniskan secara unik barisan ̃
Menggunakan teknik dasar komputasi didapatkan barisan
12
̃
=
+�−
+�−
∑
−
=−
+ � � …� −
−
�−
∑
−
∑
−
=−
∑
=−
=− −
− −
…
∑
…
=− −
+⋯
∑
− −
=
− −
(21)
dengan �� = untuk �
memenuhi persamaan (15)-(18) dengan
− . Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8.
Teorema 1
̃
−
=
−
�
[∑
=
�
−
…�
− +
!
̃
,
],
berlaku yang diberikan pada persamaan (21) dengan = .
dengan ̃
Menggunakan permutasi dengan membuat perubahan kembali pada indeks
→ − + , diperoleh:
Teorema 2
=
dengan �� = , jika � >
=
+�
dan
+
+
∑
+�
+
=
−
−
[∑
=
+�
+
+
� …�
!
�
+
+
],
+
+
=
=
−
+⋯
∑ ∑
…� ∑ ∑ …
=
+
=
∑
− −
= − −
…
− −
.
Perhitungan Peluang Kebangkrutan dan Simulasi Keuntungan Perusahaan
Perhitungan peluang kebangkrutan dan keuntungan perusahaan asuransi
dilakukan menggunakan bantuan perangkat lunak Mathematica 9.0 dan Microsoft
Excel. Satuan mata uang yang digunakan adalah Rp10 000 000, sedangkan satuan
waktu yang digunakan adalah bulan. Perhitungan peluang kebangkrutan dapat
dilihat pada Lampiran 9. Pembangkitan data dapat dilihat pada Lampiran 10.
Simulasi keuntungan perusahaan dapat dilihat pada Lampiran 11.
Contoh proses perhitungan di mana modal awal 10 dan terjadi satu kali klaim
=
dengan � =
� = parameter interval klaim) dan
=
= laju
premi perbulan) agar bisa menggunakan rumus peluang kebangkrutan yang telah
�
diperoleh. Terlebih dahulu dicari nilai , �, dan . Nilai diperoleh dari
= ,
untuk � =
⁄
+
, sedangkan
= ⁄
+
. Kemudian akan diperoleh
13
dan akhirnya akan diperoleh peluang kebangkrutan saat modal awal 10
).
dengan satu kejadian klaim (
Ilustrasi 1
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , }, dan { ,
} = { , . , . , , , . , , , , }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh proses
perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.0627361. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 4.
X t
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t
Gambar 4 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 10
Gambar 4 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 10 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-10 terjadi
setelah 13.8 bulan sebesar Rp19 525 600, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-10 menjadi Rp115 276 943.
Ilustrasi 2
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }, { ,
}={ , . , . , ,
, . , , , , , . , . , . , . , , . , . , , . , }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.255399. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 5.
14
X t
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
t
Gambar 5 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 20
Gambar 5 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 20 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-20 terjadi
setelah 29 bulan sebesar Rp10 765 300, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-20 menjadi Rp237 124 434.
Ilustrasi 3
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , },
dan
{ ,
}={ , . , . , , , . , , , , , . , . , . , . , , . , . , ,
. , , . , . , , , . , . , , , . , . }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.447122. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 6.
X t
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
t
Gambar 6 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 30
Gambar 6 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 30 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-30 terjadi
setelah 37.4 bulan sebesar Rp8 347 420, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-30 menjadi Rp266 500 479.
15
Ilustrasi 4
Parameter yang digunakan adalah = ,
= , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , }, dan { ,
}={ . , . , . , . , . , . , . ,
. , . , . }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.832354. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 7.
X t
8
6
4
2
0
5
10
15
20
t
2
Gambar 7 Proses keuntungan saat modal awal 5 dan banyaknya klaim 10
Gambar 7 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp50 000 000 ada 10 kejadian klaim mengalami naik turun. Pada saat klaim ke-7
yang terjadi setelah 11.4 bulan sebesar Rp76 651 500 mengakibatkan keuntungan
perusahaan sudah negatif (bangkrut) dikarenakan klaim yang datang melebihi
modal awal ditambah dengan premi.
Dari empat ilustrasi di atas jika dibandingkan satu dengan yang lainnya,
semakin banyak klaim yang datang mengakibatkan semakin besar peluang
kebangkrutannya. Semakin kecil modal awal yang dimiliki perusahaan asuransi
juga mengakibatkan semakin besar hasil peluang kebangkrutannya.
SIMPULAN
Perusahaan asuransi akan memiliki peluang untuk bangkrut, meskipun
perusahaan asuransi tersebut telah memperhitungkan terjadinya klaim asuransi
pada kurun waktu tertentu dengan berbagai cara, seperti menetapkan premi yang
masuk. Perusahaan asuransi dikatakan bangkrut jika keuntungan perusahaan
bernilai negatif.
Dengan mengasumsikan banyaknya pembayaran terbatas dan sama dengan
maka peluang kebangkrutan setelah kali pembayaran klaim dapat dihitung
dengan rumus
=
−
−
[∑
=
� …�
!
+
].
16
Keuntungan perusahaan asuransi tidak akan terus menaik akan ada kalanya
turun dikarenakan klaim yang datang. Oleh kerena itu peluang kebangkrutannya
juga akan berubah-ubah. Jika peluang kebangkrutan yang diperoleh kecil, maka
perusahaan asuransi dapat terus beroperasi sampai batas waktu tertentu di waktu
mendatang. Jika peluang kebangkrutan yang diperoleh besar maka perusahaan
asuransi akan bangkrut atau keuntungan perusahaannya di bawah nol.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics. Ed ke-2. Schaumburg (US): The Society of Actuaries.
Dickson DCM. 2005. Insurance Risk and Ruin. Cambridge (GB): Cambridge
University Press.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
New York (US): Clarendon Press Oxford.
Pemerintah Republik Indonesia. 1992. Undang-Undang Republik Indonesia Nomor
2 Tahun 1992 tentang Usaha Perasuransian. Jakarta (ID): Sekretariat Negara.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York (US): John Wiley &
Sons.
Vinogradov OP. 1997. Ruin probability of an insurance company in the case where
intervals between payment have unequal exponential distributions. Theory
Probab. Appl. 43(2):337-342.
17
Lamipran 1 Pembuktian persamaan (6)
Akan dibuktikan bahwa
/
∞
− /
∫
− +
= !∑
!
=
mengikuti sebaran Gamma ( > , � > ).
Bukti: Misalkan
Fungsi kepekatan peluangnya adalah
=
dan fungsi sebarannya adalah
�
>
∞
�
−�
∫
−
−�
∫
−
−�
∞
∞
�
=
=
∫
−�
−
−
=∑
=
=
�
=
�
=
−�
−∑
=
�
∑
=
!
�
!
Dengan melakukan substitusi � = ,
�
∞
∫
−�
=
+
− −
= !∑
=
∑
=
− +
!
�
−�
∑
−
−�
−�
�
!
.
−�
−
=
α
−
Diperoleh
�
−
�
!
.
!
.
−
= ,
=
+ , diperoleh
18
adalah polinom berderajat −
Lampiran 2 Pembuktian
=
Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa
�− ∫
− .
/
+�−
−
∫
∞
− /
+
adalah polinom berderajat
−
Bukti:
adalah polinom berderajat 0 =
Basis induksi: akan dibuktikan
= + = yang
= , maka
Karena
= � = dan
merupakan polinom berderajat 0.
Hipotesis induksi: dianggap benar untuk = , yaitu
adalah
polinom berderajat − , maka
I.
II.
−
.
= ∑
=
III.
.
Langkah induksi: akan dibuktikan (berdasarkan hipotesis induksi) benar
untuk = + , yaitu
.
+ adalah polinom berderajat
Berdasarkan hipotesis induksi,
−
∫
=∫∑
−
=
∫
= ∑
=
−
+
= ∑
+
=
dan
�
+
∞
∫
−
�
+
�
=
+
−
= ∑
=
−
= ∑
=
−
=
�
+
�
−
∫∑
∫
! ∑
=
−
+
�
− +
+
!
+
,
19
sehingga
+
+
=
−
+
+ � [∑
=
adalah polinom berderajat
.
+
−
+∑
=
! ∑
=
− +
+
!
].
20
Lampiran 3 Pembuktian persamaan (8), (9) dan (10)
Pembuktian persamaan (8): Akan dibuktikan bahwa
̃
−
=
=
untuk = , , … , .
= ∑ −= ̃
Bukti: Diketahui bahwa
= ∑ −= ̃ −
akan didapat −
= +�− ∫ −
+�−
=
=
−
+ � − ∫ [∑ ̃ −
+�− ∑
−
=
=
̃
=
+ � − ∑ −= ̃
=
+�− ∑ ̃
persamaan (6)
−
=
−
∫
−
−
[(
]
+�−
=
→ �− ̃−
�
+
)
+
∫
∞
− /
∞
∫[
−
=
−
,dengan mengganti indeks → −
−
−
�
−
∑ ̃
=
̃−
+ � − ∑ −= ̃
+
+
[
.
+�− ∑
dimana = , … ,
= ∑ −= ̃
maka persamaan
+ ̃
+ ̃
= ̃
Perhatikan � − ∑ −= ̃ −
Jika
= →�− ̃−
= → �− ̃−
/
̃
+
+�− ∑ !
−
− +
+ !∑
/
∫
∞
!∑
=
]
− /
,
− +
!
dari
]
!
=
−
, jika diuraikan menjadi
−
+ ⋯+ ̃ −
+
+
+ !∑
+�− ̃ −
+�− ̃ −
+�− ̃ −
− +
=
![
![
!
+
],
+
dan seterusnya maka didapat, ambil variabel yang
untuk ̃
̃
!
! + ̃−
! + ̃−
= +�− (̃ −
−
− !
)
+ ̃− −
+ ̃
−
.
= +�− ∑= !
−
]
+
!
+⋯
],
Pembuktian persamaan (9): Akan dibuktikan bahwa
̃
=
�−
!
−
∑ !
= −
untuk = , , … , − dan = , , … , .
Bukti: Sebelumnya telah didapatkan
=
+ � − ∑ −= ̃ −
[
+
+
+
̃−
+ !∑
sedangkan dari persamaan (7) diketahui bahwa
−
̃
.
+ ⋯+ ̃ −
=
− +
!
= ̃
],
+ ̃
+
21
Perhatikan � −
[
−
→�− ̃−
→ �− ̃−
=
=
Jika
∑ −= ̃
+
+
+ !∑
+�− ̃ −
+�− ̃ −
− +
=
[
![
+�− ̃ −
= → �− ̃−
dan seterusnya sehingga didapat
̃−
! + ̃−
! + ̃−
̃
=�− [
− ! −
−
=�− ∑ ̃
=
̃
=
�−
!
=�−
=
=
̃
=
�−
!
�−
�−
!
!
[̃
−
− ̃
∑=
−
− ̃
∑=
−
∑−
=
−
̃
+
!
],
],
+
!
]
+ ⋯+ ̃
−
−
!
−
− ̃
∑=
−
+
!
!
−
!
!
!
!
+
+ ̃−
−
+
!
!
!
+⋯+ ̃ −
−
−
!
−
!
]
]
dan seterusnya
+
.
Pembuktian persamaan (10): Akan dibuktikan bahwa
̃−
−
̃ − =�−
−
untuk = , , … , .
=
Bukti: Diketahui dari persamaan (9) bahwa untuk = , , … , − maka ̃
�−
+
−
∑= − ̃−
!
dengan memasukan nilai = − pada persamaan
!
tersebut, maka
̃
−
=
=
−
−
�−
−
�−
=�−
!
−
∑ ̃
=−
− !
̃− −
−
−
.
!
−
! ̃
−
+
−
−
22
Lampiran 4 Pembuktian persamaan (11)
Akan dibuktikan bahwa
̃
= + ̃
Bukti: Dari persamaan (8) diketahui
̃
−
=
sehingga ̃
̃
=
=
̃
̃
−
�−
+
∑ !
=
−
=
+�− ∑ !
=
+[
=
̃
,
−
dengan mensubstitusi
dapat disederhanakan menjadi
̃
.
+
+�− ∑ !
sedangkan dari persamaan umum ̃
.
�−
+ ̃
=
−
∑ !
=
.
̃−
̃
+
+
,
−
̃−
]
= ,
23
Lampiran 5 Pembuktian persamaan (13)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+
̃
+
+
�−
̃
−
−
Bukti: Diketahui dari persamaan (12) kita dapatkan persamaan ̃
̃
+
=
̃
+
=
̃
̃
̃
+
+
+
=
=
=
�−
+ !
�−
+ !
−
+
−
+
−
̃
+
̃
+
[ ∑ !
+
∑ !
�−
+ !
�−
+
�−
+
!
= −
−
= −
+
−
k−
∑ !
= −
�−
−
̃
�−
!
!
−
!
�−
−
−
+
+
!
+
!
!
!
̃−
̃−
̃−
̃−
!
!
̃−
−
−
!
̃−
−
!
−
!
�−
̃−
− .
+
+
kalikan kedua ruas dengan
Kemudian untuk mendapatkan ̃
�−
̃
̃−
−
+ = ̃
+
−
̃
̃
+
=
=
+
̃
−
+
+
�−
̃−
−
̃
−
+
−
]
−
−
�−
−
+
− k−
.
.
̃−
+
−
24
Lampiran 6 Pembuktian persamaan (15), (16) dan (17)
Pembuktian persamaan (15)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+
�− ̃
̃
+
untuk = , , … , .
, sedangkan dari
= + ̃
Bukti: Dari persamaan (11) diketahui ̃
� − � − + …� −
̃
=
definisi diketahui pula ̃
untuk > .
= ̃
, ̃
!
Substitusikan nilai = pada persamaan tersebut menjadi
�
̃
= − ̃
maka
!
̃
= + ̃
= ̃
�
= + [ − ̃
]
=
!
�− ̃
+
Pembuktian persamaan (16)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
.
�−
−
+ ̃
−
untuk < < − dan = , , … , .
̃
+
= +
Bukti: Dari persamaan (13) diketahui ̃
�−
̃−
− , sedangkan dari pendefinisian diketahui juga bahwa ̃
� − � − + …� −
!
̃
̃
̃
̃
̃
̃
=
=
=
̃�
�− �−
�− �−
�− �−
+
!
+
!
+
!
+
�−
…� −
…� −
…� −
(
�−
�−
+ !
! +
�−
=
+
!
= � − − ̃� +
=
!
+
> , sehinggga
untuk
−
−
Pembuktian persamaan (17)
Akan dibuktikan bahwa
̃
(
− +
̃
̃
+
̃
+
(
�−
−
+
+
+
!
�−
…� −
+
+
+ ̃−
−
̃
= ̃−
untuk = , , … . , .
Bukti: Dari persamaan (17) ̃
−
=
+
�−
.
−
−
+
̃
−
� − + …� −
+ !
̃
!
−
−
−
̃
�−
−
−
̃
!
!
̃
!
+
−
−
−
̃
−
)
+
)
)
−
−
+ ̃−
−
.
+
=
25
Masukkan nilai = − menjadi
̃ − = �−+ − ̃ − +
̃ − = � ̃
+ ̃− −
̃ −
� =
+ ̃
−
= ̃
−
− −
−
.
26
Lampiran 7 Pembuktian persamaan (18), (19), dan (20)
Pembuktian persamaan (18)
Akan dibuktikan bahwa
̃
= .
= maka dari persamaan (7)
= sehingga
Bukti: Karena
didapatkan
=∑
=∑
−
=
=
̃
= ∑ −= ̃
̃
= ̃
= ̃
̃
=
Diketahui sebelumnya ̃
Pembuktian persamaan (19)
Akan dibuktikan bahwa
, karena ̃
= ̃
̃
−
−
=
=
maka ̃
= .
=
untuk = , , … , .
Bukti :
i. Basis induksi untuk = akan dibuktikaan persamaan tersebut benar.
= . Benar berdasarkan persamaan (18).
− = ̃
= → ̃
ii. Hipotesis induksi anggap benar untuk =
̃
− =
=
iii. Langkah induksi akan dibuktikan untuk = + → ̃ +
benar
̃ +
− berdasarkan persamaan (6)
= ̃ + −
̃
−
=
=
Pembuktian persamaan (20)
Akan dibuktikan bahwa
dengan
.
̃
+� ∑
=
= �−
Bukti: Diketahui dari persamaan (16) bahwa ̃
̃−
− . Substitusi = − pada persamaan diperoleh
̃ − = �− − − ̃ − + ̃− −
= � + ̃− −
= � + − � ̃− − + ̃− −
+ − + − � + ̃− −
=�
+ − + − + ̃− −
=�
.
−
̃
+
+
27
.
.
+ − + − +⋯+
=�
= ̃
Dari defisini diketahui bahwa ̃
̃
= ̃
̃
= +
�
= + [
]
! ̃
= + �
sehingga diperoleh
̃ − =�
+
=
+� ∑
=
−
.
+
−
+⋯+
+ ̃
, maka
+
+
buat seperti definisi
28
Lampiran 8 pembuktian persamaan (21)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+�−
−
+�−
∑
=−
+ � � …� −
∑
−
�−
−
∑
=−
=− −
−
∑
…
∑
+⋯
∑
=−
=− −
− −
− −
=
−
−
…
− −
,
dengan �� = untuk �
dan
,
− .
̃
+ + ̃
= �− − ̃
Bukti: Dari persamaan (16) bahwa
, sehingga
sedangkan diketahui pula bahwa ̃ − = + � ∑ =
̃ − = �− − − ̃ − + ̃− −
+
�
=
� +
� � ∑
+
−
�
=
� +
� � ∑
+
−
� +
=�
+� ∑
� ̃
=
=
=
+ ̃−
+
=
+ ̃−
− +
−
−
+� �
−
=
−
−
+
−
� � ∑
=
+ ⋯+
= ̃
Dari definisi diketahui bahwa ̃
̃
= ̃
̃
= +
�
+ ! ̃
! ̃
= + [
+
= +� [
= + � +
Dari (a) dan (b) didapat
̃ − = +�
+
=
� + � ]
� � + � �
−
∑
+� ∑
+� � ∑ ∑
−
=
=
, didapat
=
, maka
=
�
−
+
−
∑
=
+� ∑
=
� +
−
� � ∑
=
+ ̃
(a)
]
(b)
+� �
+ ⋯+
+ ⋯+
Berlaku untuk ̃
+
+� ∑
−
+ ⋯+
+
+ ̃
−
−
−
+� �
+
−
29
̃
−
=
=
=
=
+� � � ∑ ∑ ∑
=
.
.
.
̃
+� � ∑ ∑
+� ∑
−
=
Ganti indeks
̃
=
=
=
+�
−
∑
+�
−
�− ∑ ∑
=
+ � …�
= −
+�−
(*)
−
=
−
→
+⋯
= −
−
∑ ∑ … ∑
=
= −
∑
=−
= −
+ � � …� −
−
=
−
pada persamaan (*) menjadi :
+�−
−
…
−
∑
=−
�−
−
∑
=− −
∑
=−
…
+⋯
∑
=− −
− −
∑
− −
=
…
− −
.
30
Lampiran 9 Contoh program perhitungan peluang kebangkrutan
Program
perhitungan
peluang
kebangkrutan
untuk
=
dan
=
31
Lampiran 10 Contoh program pembangkitan data
Data bangkitan untuk
=
dan
=
32
33
Lampiran 11 Hasil ilustrasi proses keuntungan
Modal Awal
(x)
10
Delta { }
Modal Awal
(x)
5
Delta { }
2.0858700
0.7935190
1.5516700
0.4169070
2.5182600
0.3276160
2.6542000
2.4944100
0.5906240
0.3814550
0.1196910
2.2540700
1.1176900
0.7108830
0.4825790
1.7040000
3.1860700
3.0431200
2.3485900
0.3036270
2.7733000
1.0447400
0.0581612
0.8096410
1.0976600
1.1039800
0.2573420
0.0287411
0.9430240
0.2110240
0.639588
1.024090
1.536400
0.943477
1.0
1.2
1.5
2.0
1.0
1.5
2.0
1.0
1.0
2.0
1.5
1.2
1.5
1.2
1.0
1.6
1.1
2.0
1.2
1.0
1.3
1.1
1.0
1.0
1.4
1.3
1.0
1.0
1.1
1.2
0.8
0.5
0.4
0.3
Klaim { }
1.3255500
4.0311600
0.4966790
0.0238875
4.6155300
1.0950200
0.6394340
1.6746400
0.9832850
1.9525600
0.1279180
0.5120430
0.7817000
0.2358690
1.1175000
1.9660100
0.3517730
0.5440140
2.4377400
1.0765300
2.2287900
0.8535380
0.2795260
0.1089480
0.5422330
0.2460170
0.9939820
0.6455440
0.4999180
0.8347420
Klaim { }
0.303637
2.773300
0.058162
0.214710
Keuntungan
{
}
10.7603200
7.6813828
9.5122088
10.3221353
8.2248653
7.6212693
12.2902353
13.1100053
12.7173443
11.5276943
11.5793128
13.7721538
14.6669888
15.2841794
14.6492584
15.4096484
18.5625524
24.1047784
24.4853464
23.7124434
25.0889434
25.3846194
25.1632546
25.8639476
26.8584386
28.0475956
27.3109556
26.6941527
27.2315611
26.6500479
Keuntungan
{
}
5.208033
2.946778
3.503176
3.571510
34
2.234990
3.932030
1.055320
1.088030
2.437740
2.153070
0.5
0.7
0.1
0.2
0.5
0.2
0.365886
1.103980
7.665150
0.009580
0.471512
0.070341
4.323119
5.971560
-1.588059
-1.380033
-0.632675
-0.272402
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan pada tanggal 13 Oktober 1991. Penulis
merupakan puteri pertama dari dua bersaudara dari Bapak Wawan dan Ibu Eti
Kurniati. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kuningan dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA). Selain itu penulis juga tercatat merupakan mahasiswi yang
beruntung mendapatkan Beasiswa Bidik Misi dari Pemerintah.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepungurusan Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) selama dua periode yaitu 2012 dan 2013. Selama dua tahun
tersebut, penulis diamanahi sebagai bendahara divisi Informasi dan Komunikasi
dan Staf Divisi Sosial Lingkungan. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan
kepanitiaan, di antaranya menjadi anggota divisi Lead Oficcer (LO) dari kegiatan
Pesta Sains Nasional, bendahara divisi konsumsi dari Mathematics Camp tahun
2011, anggota divisi Master of Discipline (MOD) dalam kegiatan Masa Perkenalan
Fakultas tahun 2012, anggota MOD dalam Masa Perkenalan Departemen dua
periode tahun 2012 dan 2013, bendahara Divisi Kesekretariatan dalam acara IPB
Mathematics Challenge (IMC) pada tahun 2013.
Penulis juga berkesempatan magang di Bank Indonesia pada bulan JuliAgustus 2013. Prestasi yang pernah diraih penulis dalam bidang olahraga dan seni
adalah menjadi juara 2 bola basket tingkat fakultas dalam acara Gebyar Semarak
Bidik Misi pada tahun 2012 dan menjadi juara 3 dalam lomba bola basket pada
acara SPIRIT FMIPA pada tahun 2013.
SAAT INTERVAL ANTAR PEMBAYARAN MEMILIKI
SEBARAN EKSPONENSIAL YANG TIDAK SAMA
LUSSI KURNIAWATI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peluang Kebangkrutan
Perusahaan Asuransi Saat Interval Antar Pembayaran Memiliki Sebaran
Eksponensial yang Tidak Sama adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2014
Lussi Kurniawati
NIM G54100045
ABSTRAK
LUSSI KURNIAWATI. Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Saat Interval
Antar Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama. Dibimbing
oleh RUHIYAT dan HADI SUMARNO.
Pada model risiko klasik, keuntungan perusahaan asuransi dipengaruhi oleh
tiga hal, yaitu besarnya keuntungan awal perusahaan, besarnya pendapatan (premi)
yang dibayarkan para pemegang polis, dan besarnya klaim yang dikeluarkan
perusahaan untuk pemegang polis. Perusahaan asuransi dikatakan bangkrut jika
keuntungan perusahaan asuransi bernilai negatif, yaitu ketika besarnya klaim yang
dibayarkan melebihi besarnya keuntungan awal ditambah dengan besarnya
pendapatan (premi) yang diterima dari para pemegang polis. Pada penelitian ini
ditentukan peluang kebangkrutan perusahaan asuransi saat interval antar
pembayaran memiliki sebaran eksponensial yang tidak sama dan besarnya
pembayaran memiliki sebaran eksponensial yang identik. Selain itu, diberikan pula
ilustrasi proses keuntungannya.
Kata kunci: asuransi, interval antar pembayaran, peluang kebangkrutan, sebaran
eksponensial yang tidak sama
ABSTRACT
LUSSI KURNIAWATI. Ruin Probability of an Insurance Company in a Case of
Intervals between Payments are Distributed Exponentially Unequally. Supervised
by RUHIYAT and HADI SUMARNO.
In the classical risk model, insurance company profit is affected by three
factors i.e., the amount of the initial profit, the amount of revenue (premium)
obtained, and the amount of the claims insurance company paid for the customers.
The insurance company is called to get ruined if the profit is negative, when the
amount of claims paid exceeds the initial profit plus the amount of income
(premium) received. In this study such ruin probability was determined for the
insurance company in the case where intervals between payments are distributed
exponentially unequally and the amount of payments have identical exponential
distributions. In this work, we also provide an illustrative surplus process.
Key words: insurance, interval between payments, probability of ruin, unequal
exponential distributions
PELUANG KEBANGKRUTAN PERUSAHAAN ASURANSI
SAAT INTERVAL ANTAR PEMBAYARAN MEMILIKI
SEBARAN EKSPONENSIAL YANG TIDAK SAMA
LUSSI KURNIAWATI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi Saat Inteval Antar
Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama
Nama
: Lussi Kurniawati
NIM
: G54100045
Disetujui oleh
Ruhiyat, MSi
Pembimbing I
Dr Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2013 ini ialah
asuransi, dengan judul Peluang Kebangkrutan Perusahaan Asuransi saat Interval
antar Pembayaran Memiliki Sebaran Eksponensial yang Tidak Sama.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ruhiyat, MSi dan Dr Hadi Sumarno,
MS selaku pembimbing, serta Ir Retno Budiarti, MS yang telah banyak memberi
saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada seluruh dosen dan
staf di Departemen Matematika atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan semasa
perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik, serta
seluruh keluarga besar, atas segala doa dan kasih sayangnya. Tak lupa juga, penulis
ucapkan terimakasih kepada seluruh keluarga di Departemen Matematika,
khususnya angkatan 47, kakak dan adik kelas, teman kos wisma Do’i serta seluruh
pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya
ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2014
Lussi Kurniawati
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Peluang
2
Proses Stokastik
4
Asuransi
5
Peluang Kebangkrutan pada Proses Risiko Klasik
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Peluang Kebangkrutan
Perhitungan Peluang Kebangkrutan dan Simulasi Keuntungan Perusahaan
7
7
12
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
16
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
35
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
Contoh proses keuntungan perusahaan
Ilustrasi proses kedatangan klaim
Ilustrasi proses keuntungan perusahaan
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 10
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 20
Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 30
Proses keuntungan saat modal awal 5 dan banyaknya klaim 10
5
7
8
13
14
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Pembuktian persamaan (6)
Pembuktian
adalah polinomial berderajat −
Pembuktian persamaan (8), (9), dan (10)
Pembuktian persamaan (11)
Pembuktian persamaan (13)
Pembuktian persamaan (15), (16), dan (17)
Pembuktian persamaan (18), (19), dan (20)
Pembuktian persamaan (21)
Contoh program perhitungan peluang kebangkrutan
Contoh program pembangkitan data
Hasil Ilustrasi proses keuntungan
17
18
20
22
23
24
26
28
30
31
33
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang mungkin memiliki peluang tertimpa kejadian-kejadian yang
tidak diharapkan sehingga akan timbul kerugian keuangan semenjak lahir sampai
proses kematiannya, karena hidup seseorang dikelilingi dengan risiko. Oleh karena
itu, perlu usaha untuk mengantisipasi atau mengurangi kerugian keuangan yang
timbul dari kejadian tersebut. Salah satu cara mengantipasi kerugian keuangan yang
akan terjadi akibat kejadian yang tidak diharapkan adalah dengan mengikuti
program asuransi.
Perusahaan asuransi memperoleh pendapatan dari pembayaran premi yang
diterima dari peserta asuransi. Di lain pihak perusahaan asuransi juga mengeluarkan
klaim. Perusahaan asuransi memiliki modal awal yang diasumsikan sebagai
keuntungan awal. Maka dari itu keuntungan perusahaan asuransi dapat dilihat dari
modal awal ditambah dengan total premi dikurangi total klaim yang dikeluarkan.
Besarnya premi dan klaim yang dikeluarkan biasanya telah diatur dalam suatu
kontrak antara perusahaan asuransi dengan peserta asuransi. Perusahaan asuransi
dikatakan bangkrut jika modal awal ditambah dengan total pendapatan (premi)
yang masuk dari peserta asuransi lebih kecil dibandingkan dengan klaim yang
diberikan kepada peserta asuransi.
Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi pada
dasarnya perusahaan asuransi ingin mengetahui perkembangan operasional dan
keuangan yang dimiliki, sehingga dapat membantu mengubah strategi perusahaan.
Jika strategi yang dijalankan berdampak baik maka strategi tersebut dapat terus
digunakan. Sebaliknya jika tidak maka perusahaan harus mengganti strategi agar
kondisinya tidak semakin buruk. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu model untuk
menduga bagaimana kondisi perusahaan asuransi tersebut. Salah satunya adalah
dengan melihat peluang kebangkrutan.
Teori kebangkrutan dapat dimanfaatkan oleh berbagai pihak. Salah satunya
dalam bidang asuransi yaitu dari para pemegang kepentingan dalam perusahaan
asuransi. Hal tersebut dikarenakan dengan melihat peluang kebangkrutan dari
perusahaan asuransi akan mempengaruhi para investor untuk menanamkan
modalnya. Semakin kecil peluang kebangkrutan yang dimiliki perusahaan asuransi
akan semakin menarik para investor untuk menanamkan modalnya dan begitu juga
sebaliknya.
Selain itu pengembangan teori kebangkrutan juga dapat dijadikan sebagai
suatu rujukan bagi pemerintah. Rujukan tersebut dapat digunakan untuk membuat
kebijakan pada bidang asuransi dalam menentukan jumlah dana minimal yang
harus dimiliki oleh suatu perusahaan asuransi, sehingga perusahaan asuransi itu
dapat diizinkan beroperasi pada periode waktu tertentu. Hal tersebut sangat
membantu pemerintah agar perusahaan asuransi yang beroperasi dapat berjalan
dengan baik dan dapat membantu perekonomian negara. Usaha pemerintah ini juga
akan membuat masyarakat merasa nyaman untuk berasuransi. Karya ilmiah ini
berlandaskan pada artikel yang ditulis oleh Vinogradov (1997) yang berjudul Ruin
Probability of an Insurance Company in the Case where Intervals between Payment
Have Unequal Exponential Distributions.
2
Perumusan Masalah
Perusahaan asuransi dapat terus beroperasi jika keuntungan bersihnya positif
atau baik. Pada umumnya keuntungan dalam perusahaan asuransi tidak selamanya
positif atau baik, karena dipengaruhi oleh beberapa faktor. Faktor tersebut di
antaranya dari klaim asuransi yang datang. Ketidakmampuan perusahaan asuransi
dalam membayar klaim bisa saja terjadi, bila jumlah kejadian klaim yang datang
cenderung lebih besar sehingga melebihi modal awal ditambah premi yang diterima
perusahaan asuransi tersebut.
Pada intinya, hal ini terjadi karena klaim-klaim yang datang tidak seperti
perkiraan yang diharapkan. Akibatnya perusahaan asuransi akan mengalami
kebangkrutan.
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan peluang kebangkrutan asuransi saat interval antar pembayaran
memiliki sebaran eksponensial yang tidak sama.
2. Menghitung peluang kebangkrutan dan melakukan ilustrasi proses
keuntungannya.
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi
sebagai berikut.
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam
kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui,
tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat (Grimmett
& Stirzaker 1992).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-�)
Medan-� adalah himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang
contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut:
1. ∅ ∈ ℱ;
2. Jika , , … . ∈ ℱ, maka ⋃∞=
∈ ℱ;
�
3. Jika ∈ ℱ, maka
∈ ℱ
(Grimmet & Stirzaker 1992).
3
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu
fungsi �: ℱ → [ , ] pada (ℱ, Ω) yang memenuhi:
1. � ∅ = , � Ω = ;
2. Jika , , … . ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
∩
= ∅
untuk setiap pasangan ≠ , maka
.
� ⋃∞= = Σ ∞= �
(Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi
yang
terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ∈ Ω ke satu dan hanya satu
bilangan real
= disebut peubah acak. Ruang dari adalah himpunan
bagian bilangan real.
�={ : =
, ∈ Ω}.
(Grimmett & Stirzaker 1992).
Definisi 6 (Fungsi Sebaran)
Misalkan
adalah peubah acak dengan ruang �. Misalkan kejadian =
−∞, ] ⊂ �, maka peluang dari kejadian adalah
�
= �� .
Fungsi �� disebut fungsi sebaran dari peubah acak (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 7 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi �� : ℝ → [ , ] yang
= � = (Grimmet & Stirzaker 1992).
diberikan oleh ��
Definisi 8 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak dikatakan peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya adalah
��
=∫
−∞
untuk fungsi : ℝ → [ , ∞ yang dapat diintegralkan. Fungsi
kepekatan peluang bagi (Grimmett & Stirzaker 1992).
=
�
disebut fungsi
Definisi 9 (Peubah Acak Eksponensial)
Peubah acak kontinu disebut menyebar eksponensial dengan parameter � > ,
jika fungsi kepekatan peluanganya adalah
� −�
,
� ;� = {
, <
(Ross 1996).
Definisi 10 (Peubah Acak Gamma)
Peubah acak disebut menyebar gamma dengan parameter
fungsi kepekatan peluangnya adalah
� −� � −
,
� ; ,� =
− !
(Ross 1996).
,� , � >
jika
4
Proses Stokastik
Definisi 11 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik � = {
, ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (Ross 1996).
Definisi 12 (Proses Pencacahan)
Proses stokastik {� ,
} disebut proses pencacahan (counting process)
jika �
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu .
Proses pencacahan �
harus memenuhi:
1. �
;
2. Nilai �
adalah integer;
3. Jika < , maka �
� ;
4. Untuk < , maka � − �
sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada selang , ]
(Ross 1996).
Definisi 13 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan {� ,
} disebut proses Poisson dengan intensitas �,
� > jika:
1. �
= ;
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas;
3. Banyaknya kejadian pada sembarang , memiliki sebaran Poisson dengan rataan
� . Jadi untuk semua > , > , maka:
�
�{� + − �
= } = −�
, = , …
!
(Ross 1996).
Definisi 14 (Proses Poisson Majemuk)
Suatu proses {
,
} disebut proses Poisson majemuk jika proses tersebut
dinyatakan sebagai:
�
=∑
=
,
dengan {� ,
} adalah suatu proses Poisson dengan intensitas � dan , , …
adalah suatu barisan peubah acak independent and identically distributed (i.i.d.)
} (Ross 1996).
yang juga bebas terhadap {� ,
Definisi 15 (Waktu antar Kedatangan)
Barisan { , = , , … } disebut barisan waktu antar kedatangan dari suatu proses
Poisson dengan
menyatakan jarak antarwaktu kejadian proses Poisson ke- −
dengan kejadian proses Poisson ke- (Ross 1996).
5
Asuransi
Definisi 16 (Perusahaan Asuransi)
Berdasarkan Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 2 Tahun 1992
tentang Usaha Perasuransian, asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara
dua pihak atau lebih, dengan mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada
tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian
kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang
diharapkan, atau tanggung jawab hukum pihak ketiga yang mungkin akan diderita
tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan
suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang
dipertanggungkan.
Definisi 17 (Polis, Premi, dan Klaim Asuransi)
Polis adalah suatu kontrak yang dibuat oleh perusahaan asuransi dengan
peserta asuransi yang berisi perjanjian membayar cicilan dengan jumlah tertentu
selama periode tertentu. Premi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta
asuransi kepada perusahaan asuransi sesuai dengan polis yang disepakati. Klaim
adalah jaminan terhadap risiko atau kerusakan yang terjadi oleh perusahaan
asuransi kepada peserta asuransi sesuai kesepakatan polis (Bowers et al. 1997).
Peluang Kebangkrutan pada Proses Risiko Klasik
Keuntungan perusahaan asuransi pada saat > dalam model risiko klasik
ditentukan oleh tiga hal, yaitu besarnya keuntungan awal, besarnya pendapatan
(premi) yang diperoleh dari pemegang polis sampai waktu , dan besarnya klaim
yang dibayarkan kepada pemegang polis sampai waktu .
Gambar 1 Contoh proses keuntungan perusahaan
Gambar 1 menunjukkan bahwa nilai keuntungan perusahaan asuransi berubah
dari waktu ke waktu dikarenakan oleh pembayaran klaim. Suatu saat, pembayaran
klaim menyebabkan nilai keuntungan perusahaan asuransi negatif, dengan kata lain
< . Dari Gambar 1 terlihat bahwa kebangkrutan terjadi pada saat �, di mana
� < .
6
Misalkan {� ,
} adalah proses kedatangan klaim, maka untuk > ,
peubah acak �
menyatakan banyaknya klaim yang datang pada interval waktu
[ , ]. Dalam proses risiko klasik diasumsikan bahwa {� ,
} adalah proses
Poisson. Besarnya klaim yang datang dimodelkan sebagai barisan peubah acak
independent and identically distributed (i.i.d.) { ,
} , maka
merupakan
besarnya klaim pada saat ke- . Besarnya klaim agregrat sampai waktu adalah
�
=∑
=
dengan
= saat �
proses Poisson majemuk.
Misalkan {
,
dengan {
,
}.
= . Proses klaim agregrat {
,
} merupakan
} adalah proses keuntungan perusahaan asuransi
=
+
−
<
untuk suatu >
dengan adalah modal awal perusahaan asuransi dan adalah laju peningkatan
premi per satuan waktu yang diterima secara kontinu.
Peluang kebangkrutan perusahaan asuransi didefinisikan sebagai
=�
.
Dengan kata lain,
adalah peluang bahwa keuntungan perusahaan asuransi
berada di bawah nol pada suatu waktu di masa depan dikarenakan klaim yang
datang melebihi modal awal ditambah dengan premi yang masuk pada perusahaan
asuransi.
Definisikan
= −
sebagai peluang ketidakbangkrutan dengan
keuntungan perusahaan awal sebesar . Dengan mempertimbangkan waktu dan
besarnya klaim pertama, didapatkan
∞
−�
=∫ �
∫
+
+
−
dengan catatan jika klaim pertama terjadi pada waktu , besarnya tidak melebihi
+ , agar tidak terjadi kebangkrutan. Dengan melakukan substitusi = +
diperoleh
∞
= ∫ �
=
�
�
�
∫
−
∞
Penyelesaian eksplisit bagi
penurunan sebagai berikut.
� −� / ∞ −��
=
∫
∫
=
�
(Dickson 2005).
�
− ∫
� �−�
−�
−
�
∫
−
∫
−
.
dapat diperoleh dengan melakukan
−
.
�
− ∫
−
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Perumusan Peluang Kebangkrutan
Keuntungan perusahaan asuransi diperoleh dari modal awal perusahaan
asuransi ditambah dengan total pendapatan (premi) dari peserta asuransi dikurang
dengan total pembayaran klaim-klaim yang datang pada perusahaan asuransi.
Modal awal perusahaan asuransi dinotasikan dengan yang diasumsikan sebagai
keuntungan awal
= . Keuntungan perusahaan asuransi pada waktu , di
mana
dinotasikan dengan
. Nilai
selalu berubah dari waktu ke
waktu, bergantung dari total premi yang diterima dan pembayaran klaim yang
datang dari peserta asuransi. Oleh karena itu nilai keuntungan perusahaan asuransi
pada waktu didefinisikan sebagai:
=
+
�
−∑
=
, >
dengan
a. =
adalah modal awal perusahaan asuransi, dengan > .
b.
adalah total pendapatan (premi) yang diterima dari peserta asuransi pada
interval waktu [ , ].
c.
adalah besarnya klaim ke- yang dibayarkan perusahaan asuransi,
.
d. � = max( :
adalah banyaknya klaim yang datang pada interval waktu
[ , ], dengan
adalah waktu pembayaran klaim ke- ,
dengan
⋯
dan
= , = − − , untuk
.
Asumsi-asumsi untuk model pada analisis sebagai berikut:
a. Besarnya klaim
, , … saling bebas dan menyebar eksponensial dengan
fungsi sebaran �
= − − .
b. Premi dari peserta asuransi meningkat secara linear pada setiap interval
dengan kenaikan sebesar
.
c. { }, { } saling bebas dan setiap interval
memiliki sebaran eksponensial
dengan parameter � .
0
t
Gambar 2 Ilustrasi proses kedatangan klaim
Gambar 2 menunjukkan proses kedatangan klaim pada interval waktu [ , ].
Ada tiga kejadian klaim { , , } yang terjadi pada interval tersebut dengan
kenaikan premi berturut-turut { , , }. Total premi yang diperoleh perusahaan
8
asuransi pada interval waktu tersebut adalah
.
−
=
+
+
+
Gambar 3 Ilustrasi proses keuntungan perusahaan
Gambar 3 menunjukkan proses kedatangan klaim berdasarkan ilustrasi
Gambar 2 ada tiga klaim yang terjadi saat interval waktu [ , ] kondisi keuntungan
perusahaan positif. Namun saat interval waktunya ditambah dengan premi menjadi
=
+
+
+
terjadi klaim ke-4 yang besarnya melebihi
modal awal dan total premi yang diterima perusahaan, sehingga keuntungan
perusahaan negatif.
Peluang kebangkrutan didefinisikan sebagai
=�
< untuk suatu > .
Untuk mencari peluang kebangkrutan perusahaan asuransi, dicari terlebih
dahulu peluang ketidakbangkrutan. Peluang ketidakbangkrutan adalah peluang
keadaaan keuntungan perusahaan asuransi tidak pernah negatif. Peluang
ketidakbangkrutan dilambangkan dengan
. Karena penjumlahan dalam ukuran
peluang adalah satu, maka
=
−
.
(1)
Persamaan (1) menggambarkan peluang ketidakbangkrutan dan peluang
kebangkrutan. Waktu kebangkrutan dinotasikan dengan � adalah waktu di mana
nilai keuntungan perusahaan pada saat itu negatif, sehingga dapat dimodelkan
dalam bentuk
� = inf :
<
.
Untuk menghitung
dan
, pertama diasumsikan bahwa banyaknya
pembayaran klaim berhingga dan sama dengan
. Misalkan
dan
berturut-turut melambangkan peluang kebangkrutan dan peluang
ketidakbangkrutan dengan pembayaran klaim. Jadi,
= lim
→∞
Untuk keperluan selanjutnya,
= lim
→∞
,
.
ditulis sebagai
9
,� ,
=
,� ,
,� ,
,…,� ,
,�
,
.
Untuk mempermudah dalam proses perhitungan akan digunakan permutasi
terhadap barisan {� } dan { }. Permutasi yang digunakan adalah � → � − + dan
→ − + , = , … , . Setelah dilakukan permutasi, interval waktu sebelum
pembayaran pertama memiliki sebaran eksponensial dengan parameter � dan laju
pertambahan premi pada interval ini menjadi . Interval waktu antara pembayaran
pertama dan pembayaran kedua memiliki sebaran eksponensial dengan parameter
� − dan laju pertambahan premi menjadi − dan seterusnya.
Lambangkan ̃
dan ̃
berturut-turut sebagai peluang kebangkrutan
dan peluang ketidakbangkrutan yang telah dipermutasi, sehingga
̃
,� ,
=
,�
−
,
−
−
−
,…,� ,
.
Misalkan klaim pertama terjadi pada waktu > dan besarnya klaim
tersebut adalah . Ada dua kemungkinan kejadian, yaitu:
a. Kebangkrutan terjadi pada saat klaim pertama, sehingga > +
atau
b. Kebangkrutan tidak terjadi pada saat klaim pertama, sehingga keuntungan
perusahaan setelah pembayaran pertama, +
− tidak negatif atau <
+
, sehingga diperoleh persamaan berikut:
̃
∞
=∫�
−�
=� ∫
−�
∞
= .
dengan ̃
Misalkan +
diperoleh
=
̃
Misalkan
�
dan
=
�
+
→ ∞ diperoleh
∞
∫
−
�
−
+
̃−
[ ∫
= , maka
=
∞
∫
=
�
̃−
∫
=
−
∞
∫
−
−
−
+
�
−
−
]
,
=
sehingga
. Ketika
→ ∞. Persamaan (2) akan menjadi
[∫ ̃ −
−
−
]
.
[∫ ̃
−
−
]
.
= , maka persamaan (3) menjadi
̃
−
+
−
[∫ ̃ −
−
−
]
.
=
+�− ∫
−
+�−
∞
∫
−
�
−
=
(3)
(4)
Untuk mencari peluang ketidakbangkrutan pertama misalkan ̃
dengan � = ⁄ +
dan fungsi
�
(2)
,
=
(5)
10
−
= untuk = , , … , .
dengan
=� = , = +
dan
Untuk sembarang bilangan positif b dan bilangan bulat taknegatif k, berlaku
persamaan
∞
/
− /
∫
− +
= !∑
.
!
=
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Berdasarkan persamaan (5) dan (6)
dapat dituliskan dalam bentuk
sehingga
(6)
adalah polinom berderajat − ,
−
=∑ ̃
(7)
=
= , untuk
. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2. Substitusi
dan ̃
persamaan (7) ke persamaan (5), lalu gunakan persamaan (6), maka untuk =
,…,
̃
untuk
−
=
̃
= , … , − , dan
̃
=
�−
−
−
=
= −
=�−
̃
̃
+
∑ !
!
̃
+
+�− ∑ !
,
−
,
−
(8)
(9)
−
−
(10)
.
−
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Agar mendapatkan bentuk eksplisit untuk
}, di mana = , … , , = , … , − , persamaan (8), (9),
rumus barisan { ̃
dan (10) diubah menjadi bentuk yang sederhana. Masukkan nilai = pada
persamaan (9), maka diperoleh
̃
=
�−
−
∑ !
=
+
sehingga berdasarkan persamaan (8) menjadi:
̃
=
+
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4. Jika
(9):
̃
̃
−
.
,
(11)
< − , maka berdasarkan persamaan
11
̃
+
�−
+ !
=
−
− k−
+
[ ∑ !
+
= −
̃
!
−
−
̃−
(12)
].
Dari persamaan persamaan (9) dan (12) didapatkan untuk
̃
=
̃
+
+
+
�−
̃
−
−
<
.
< −
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5. Jadi terbukti bahwa barisan { ̃
memenuhi persamaan (10)-(13). Untuk > diatur sebagai berikut:
̃
=
� − � − + …� −
!
, ̃
̃
= ̃
Dari definisi persamaan (10)-(13) diperoleh
untuk
<
̃
< −
̃
=
dan
̃
=
�−
−
−
+
�− ̃
= ̃
+
+ ̃
−
−
̃
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 6. Karena
= , sehingga
didapatkan bahwa
̃
,
.
= .
.
(13)
}
(14)
(15)
−
,
(16)
(17)
= , maka dari persamaan (5)
(18)
Ditunjukkan bahwa persamaan (15)-(18) mendefinisikan secara unik barisan ̃
. Persamaan (17) dan (18) akan berimplikasi bahwa
dan begitu pula barisan ̃
untuk = , … dipenuhi persamaan
̃
−
−
=
= .
(19)
Substitusikan = − pada persamaan (16) dan menggunakan persamaan (19),
maka didapatkan untuk <
adalah
̃
+� ∑
=
.
(20)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 7.
Menggunakan persamaan (16) dan (20) dan argumen yang serupa, didapatkan
bentuk eksplisit dari ̃ − , jika < < + . Secara analogi didapatkan
untuk = , … , + , = , … , − . Jadi telah
bentuk eksplisit untuk ̃
.
terbukti bahwa persamaan (15)-(18) mendefiniskan secara unik barisan ̃
Menggunakan teknik dasar komputasi didapatkan barisan
12
̃
=
+�−
+�−
∑
−
=−
+ � � …� −
−
�−
∑
−
∑
−
=−
∑
=−
=− −
− −
…
∑
…
=− −
+⋯
∑
− −
=
− −
(21)
dengan �� = untuk �
memenuhi persamaan (15)-(18) dengan
− . Bukti dapat dilihat pada Lampiran 8.
Teorema 1
̃
−
=
−
�
[∑
=
�
−
…�
− +
!
̃
,
],
berlaku yang diberikan pada persamaan (21) dengan = .
dengan ̃
Menggunakan permutasi dengan membuat perubahan kembali pada indeks
→ − + , diperoleh:
Teorema 2
=
dengan �� = , jika � >
=
+�
dan
+
+
∑
+�
+
=
−
−
[∑
=
+�
+
+
� …�
!
�
+
+
],
+
+
=
=
−
+⋯
∑ ∑
…� ∑ ∑ …
=
+
=
∑
− −
= − −
…
− −
.
Perhitungan Peluang Kebangkrutan dan Simulasi Keuntungan Perusahaan
Perhitungan peluang kebangkrutan dan keuntungan perusahaan asuransi
dilakukan menggunakan bantuan perangkat lunak Mathematica 9.0 dan Microsoft
Excel. Satuan mata uang yang digunakan adalah Rp10 000 000, sedangkan satuan
waktu yang digunakan adalah bulan. Perhitungan peluang kebangkrutan dapat
dilihat pada Lampiran 9. Pembangkitan data dapat dilihat pada Lampiran 10.
Simulasi keuntungan perusahaan dapat dilihat pada Lampiran 11.
Contoh proses perhitungan di mana modal awal 10 dan terjadi satu kali klaim
=
dengan � =
� = parameter interval klaim) dan
=
= laju
premi perbulan) agar bisa menggunakan rumus peluang kebangkrutan yang telah
�
diperoleh. Terlebih dahulu dicari nilai , �, dan . Nilai diperoleh dari
= ,
untuk � =
⁄
+
, sedangkan
= ⁄
+
. Kemudian akan diperoleh
13
dan akhirnya akan diperoleh peluang kebangkrutan saat modal awal 10
).
dengan satu kejadian klaim (
Ilustrasi 1
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , }, dan { ,
} = { , . , . , , , . , , , , }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh proses
perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.0627361. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 4.
X t
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t
Gambar 4 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 10
Gambar 4 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 10 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-10 terjadi
setelah 13.8 bulan sebesar Rp19 525 600, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-10 menjadi Rp115 276 943.
Ilustrasi 2
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }, { ,
}={ , . , . , ,
, . , , , , , . , . , . , . , , . , . , , . , }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.255399. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 5.
14
X t
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
30
t
Gambar 5 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 20
Gambar 5 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 20 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-20 terjadi
setelah 29 bulan sebesar Rp10 765 300, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-20 menjadi Rp237 124 434.
Ilustrasi 3
Parameter yang digunakan adalah = , = , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , },
dan
{ ,
}={ , . , . , , , . , , , , , . , . , . , . , , . , . , ,
. , , . , . , , , . , . , , , . , . }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.447122. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 6.
X t
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
t
Gambar 6 Proses keuntungan saat modal awal 10 dan banyaknya klaim 30
Gambar 6 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp100 000 000 ada 30 kejadian klaim mengalami naik turun. Klaim ke-30 terjadi
setelah 37.4 bulan sebesar Rp8 347 420, sehingga keuntungan perusahaan asuransi
di akhir klaim ke-30 menjadi Rp266 500 479.
15
Ilustrasi 4
Parameter yang digunakan adalah = ,
= , {� ,
}=
{ , , , , , , , , , }, dan { ,
}={ . , . , . , . , . , . , . ,
. , . , . }.
Hasil yang diperoleh dengan melakukan proses perhitungan seperti contoh
proses perhitungan menghasilkan peluang kebangkrutan sebesar 0.832354. Grafik
keuntungan perusahaan asuransinya ditunjukkan oleh Gambar 7.
X t
8
6
4
2
0
5
10
15
20
t
2
Gambar 7 Proses keuntungan saat modal awal 5 dan banyaknya klaim 10
Gambar 7 menunjukkan keuntungan perusahaan asuransi dengan modal awal
Rp50 000 000 ada 10 kejadian klaim mengalami naik turun. Pada saat klaim ke-7
yang terjadi setelah 11.4 bulan sebesar Rp76 651 500 mengakibatkan keuntungan
perusahaan sudah negatif (bangkrut) dikarenakan klaim yang datang melebihi
modal awal ditambah dengan premi.
Dari empat ilustrasi di atas jika dibandingkan satu dengan yang lainnya,
semakin banyak klaim yang datang mengakibatkan semakin besar peluang
kebangkrutannya. Semakin kecil modal awal yang dimiliki perusahaan asuransi
juga mengakibatkan semakin besar hasil peluang kebangkrutannya.
SIMPULAN
Perusahaan asuransi akan memiliki peluang untuk bangkrut, meskipun
perusahaan asuransi tersebut telah memperhitungkan terjadinya klaim asuransi
pada kurun waktu tertentu dengan berbagai cara, seperti menetapkan premi yang
masuk. Perusahaan asuransi dikatakan bangkrut jika keuntungan perusahaan
bernilai negatif.
Dengan mengasumsikan banyaknya pembayaran terbatas dan sama dengan
maka peluang kebangkrutan setelah kali pembayaran klaim dapat dihitung
dengan rumus
=
−
−
[∑
=
� …�
!
+
].
16
Keuntungan perusahaan asuransi tidak akan terus menaik akan ada kalanya
turun dikarenakan klaim yang datang. Oleh kerena itu peluang kebangkrutannya
juga akan berubah-ubah. Jika peluang kebangkrutan yang diperoleh kecil, maka
perusahaan asuransi dapat terus beroperasi sampai batas waktu tertentu di waktu
mendatang. Jika peluang kebangkrutan yang diperoleh besar maka perusahaan
asuransi akan bangkrut atau keuntungan perusahaannya di bawah nol.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics. Ed ke-2. Schaumburg (US): The Society of Actuaries.
Dickson DCM. 2005. Insurance Risk and Ruin. Cambridge (GB): Cambridge
University Press.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
New York (US): Clarendon Press Oxford.
Pemerintah Republik Indonesia. 1992. Undang-Undang Republik Indonesia Nomor
2 Tahun 1992 tentang Usaha Perasuransian. Jakarta (ID): Sekretariat Negara.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York (US): John Wiley &
Sons.
Vinogradov OP. 1997. Ruin probability of an insurance company in the case where
intervals between payment have unequal exponential distributions. Theory
Probab. Appl. 43(2):337-342.
17
Lamipran 1 Pembuktian persamaan (6)
Akan dibuktikan bahwa
/
∞
− /
∫
− +
= !∑
!
=
mengikuti sebaran Gamma ( > , � > ).
Bukti: Misalkan
Fungsi kepekatan peluangnya adalah
=
dan fungsi sebarannya adalah
�
>
∞
�
−�
∫
−
−�
∫
−
−�
∞
∞
�
=
=
∫
−�
−
−
=∑
=
=
�
=
�
=
−�
−∑
=
�
∑
=
!
�
!
Dengan melakukan substitusi � = ,
�
∞
∫
−�
=
+
− −
= !∑
=
∑
=
− +
!
�
−�
∑
−
−�
−�
�
!
.
−�
−
=
α
−
Diperoleh
�
−
�
!
.
!
.
−
= ,
=
+ , diperoleh
18
adalah polinom berderajat −
Lampiran 2 Pembuktian
=
Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa
�− ∫
− .
/
+�−
−
∫
∞
− /
+
adalah polinom berderajat
−
Bukti:
adalah polinom berderajat 0 =
Basis induksi: akan dibuktikan
= + = yang
= , maka
Karena
= � = dan
merupakan polinom berderajat 0.
Hipotesis induksi: dianggap benar untuk = , yaitu
adalah
polinom berderajat − , maka
I.
II.
−
.
= ∑
=
III.
.
Langkah induksi: akan dibuktikan (berdasarkan hipotesis induksi) benar
untuk = + , yaitu
.
+ adalah polinom berderajat
Berdasarkan hipotesis induksi,
−
∫
=∫∑
−
=
∫
= ∑
=
−
+
= ∑
+
=
dan
�
+
∞
∫
−
�
+
�
=
+
−
= ∑
=
−
= ∑
=
−
=
�
+
�
−
∫∑
∫
! ∑
=
−
+
�
− +
+
!
+
,
19
sehingga
+
+
=
−
+
+ � [∑
=
adalah polinom berderajat
.
+
−
+∑
=
! ∑
=
− +
+
!
].
20
Lampiran 3 Pembuktian persamaan (8), (9) dan (10)
Pembuktian persamaan (8): Akan dibuktikan bahwa
̃
−
=
=
untuk = , , … , .
= ∑ −= ̃
Bukti: Diketahui bahwa
= ∑ −= ̃ −
akan didapat −
= +�− ∫ −
+�−
=
=
−
+ � − ∫ [∑ ̃ −
+�− ∑
−
=
=
̃
=
+ � − ∑ −= ̃
=
+�− ∑ ̃
persamaan (6)
−
=
−
∫
−
−
[(
]
+�−
=
→ �− ̃−
�
+
)
+
∫
∞
− /
∞
∫[
−
=
−
,dengan mengganti indeks → −
−
−
�
−
∑ ̃
=
̃−
+ � − ∑ −= ̃
+
+
[
.
+�− ∑
dimana = , … ,
= ∑ −= ̃
maka persamaan
+ ̃
+ ̃
= ̃
Perhatikan � − ∑ −= ̃ −
Jika
= →�− ̃−
= → �− ̃−
/
̃
+
+�− ∑ !
−
− +
+ !∑
/
∫
∞
!∑
=
]
− /
,
− +
!
dari
]
!
=
−
, jika diuraikan menjadi
−
+ ⋯+ ̃ −
+
+
+ !∑
+�− ̃ −
+�− ̃ −
+�− ̃ −
− +
=
![
![
!
+
],
+
dan seterusnya maka didapat, ambil variabel yang
untuk ̃
̃
!
! + ̃−
! + ̃−
= +�− (̃ −
−
− !
)
+ ̃− −
+ ̃
−
.
= +�− ∑= !
−
]
+
!
+⋯
],
Pembuktian persamaan (9): Akan dibuktikan bahwa
̃
=
�−
!
−
∑ !
= −
untuk = , , … , − dan = , , … , .
Bukti: Sebelumnya telah didapatkan
=
+ � − ∑ −= ̃ −
[
+
+
+
̃−
+ !∑
sedangkan dari persamaan (7) diketahui bahwa
−
̃
.
+ ⋯+ ̃ −
=
− +
!
= ̃
],
+ ̃
+
21
Perhatikan � −
[
−
→�− ̃−
→ �− ̃−
=
=
Jika
∑ −= ̃
+
+
+ !∑
+�− ̃ −
+�− ̃ −
− +
=
[
![
+�− ̃ −
= → �− ̃−
dan seterusnya sehingga didapat
̃−
! + ̃−
! + ̃−
̃
=�− [
− ! −
−
=�− ∑ ̃
=
̃
=
�−
!
=�−
=
=
̃
=
�−
!
�−
�−
!
!
[̃
−
− ̃
∑=
−
− ̃
∑=
−
∑−
=
−
̃
+
!
],
],
+
!
]
+ ⋯+ ̃
−
−
!
−
− ̃
∑=
−
+
!
!
−
!
!
!
!
+
+ ̃−
−
+
!
!
!
+⋯+ ̃ −
−
−
!
−
!
]
]
dan seterusnya
+
.
Pembuktian persamaan (10): Akan dibuktikan bahwa
̃−
−
̃ − =�−
−
untuk = , , … , .
=
Bukti: Diketahui dari persamaan (9) bahwa untuk = , , … , − maka ̃
�−
+
−
∑= − ̃−
!
dengan memasukan nilai = − pada persamaan
!
tersebut, maka
̃
−
=
=
−
−
�−
−
�−
=�−
!
−
∑ ̃
=−
− !
̃− −
−
−
.
!
−
! ̃
−
+
−
−
22
Lampiran 4 Pembuktian persamaan (11)
Akan dibuktikan bahwa
̃
= + ̃
Bukti: Dari persamaan (8) diketahui
̃
−
=
sehingga ̃
̃
=
=
̃
̃
−
�−
+
∑ !
=
−
=
+�− ∑ !
=
+[
=
̃
,
−
dengan mensubstitusi
dapat disederhanakan menjadi
̃
.
+
+�− ∑ !
sedangkan dari persamaan umum ̃
.
�−
+ ̃
=
−
∑ !
=
.
̃−
̃
+
+
,
−
̃−
]
= ,
23
Lampiran 5 Pembuktian persamaan (13)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+
̃
+
+
�−
̃
−
−
Bukti: Diketahui dari persamaan (12) kita dapatkan persamaan ̃
̃
+
=
̃
+
=
̃
̃
̃
+
+
+
=
=
=
�−
+ !
�−
+ !
−
+
−
+
−
̃
+
̃
+
[ ∑ !
+
∑ !
�−
+ !
�−
+
�−
+
!
= −
−
= −
+
−
k−
∑ !
= −
�−
−
̃
�−
!
!
−
!
�−
−
−
+
+
!
+
!
!
!
̃−
̃−
̃−
̃−
!
!
̃−
−
−
!
̃−
−
!
−
!
�−
̃−
− .
+
+
kalikan kedua ruas dengan
Kemudian untuk mendapatkan ̃
�−
̃
̃−
−
+ = ̃
+
−
̃
̃
+
=
=
+
̃
−
+
+
�−
̃−
−
̃
−
+
−
]
−
−
�−
−
+
− k−
.
.
̃−
+
−
24
Lampiran 6 Pembuktian persamaan (15), (16) dan (17)
Pembuktian persamaan (15)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+
�− ̃
̃
+
untuk = , , … , .
, sedangkan dari
= + ̃
Bukti: Dari persamaan (11) diketahui ̃
� − � − + …� −
̃
=
definisi diketahui pula ̃
untuk > .
= ̃
, ̃
!
Substitusikan nilai = pada persamaan tersebut menjadi
�
̃
= − ̃
maka
!
̃
= + ̃
= ̃
�
= + [ − ̃
]
=
!
�− ̃
+
Pembuktian persamaan (16)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
.
�−
−
+ ̃
−
untuk < < − dan = , , … , .
̃
+
= +
Bukti: Dari persamaan (13) diketahui ̃
�−
̃−
− , sedangkan dari pendefinisian diketahui juga bahwa ̃
� − � − + …� −
!
̃
̃
̃
̃
̃
̃
=
=
=
̃�
�− �−
�− �−
�− �−
+
!
+
!
+
!
+
�−
…� −
…� −
…� −
(
�−
�−
+ !
! +
�−
=
+
!
= � − − ̃� +
=
!
+
> , sehinggga
untuk
−
−
Pembuktian persamaan (17)
Akan dibuktikan bahwa
̃
(
− +
̃
̃
+
̃
+
(
�−
−
+
+
+
!
�−
…� −
+
+
+ ̃−
−
̃
= ̃−
untuk = , , … . , .
Bukti: Dari persamaan (17) ̃
−
=
+
�−
.
−
−
+
̃
−
� − + …� −
+ !
̃
!
−
−
−
̃
�−
−
−
̃
!
!
̃
!
+
−
−
−
̃
−
)
+
)
)
−
−
+ ̃−
−
.
+
=
25
Masukkan nilai = − menjadi
̃ − = �−+ − ̃ − +
̃ − = � ̃
+ ̃− −
̃ −
� =
+ ̃
−
= ̃
−
− −
−
.
26
Lampiran 7 Pembuktian persamaan (18), (19), dan (20)
Pembuktian persamaan (18)
Akan dibuktikan bahwa
̃
= .
= maka dari persamaan (7)
= sehingga
Bukti: Karena
didapatkan
=∑
=∑
−
=
=
̃
= ∑ −= ̃
̃
= ̃
= ̃
̃
=
Diketahui sebelumnya ̃
Pembuktian persamaan (19)
Akan dibuktikan bahwa
, karena ̃
= ̃
̃
−
−
=
=
maka ̃
= .
=
untuk = , , … , .
Bukti :
i. Basis induksi untuk = akan dibuktikaan persamaan tersebut benar.
= . Benar berdasarkan persamaan (18).
− = ̃
= → ̃
ii. Hipotesis induksi anggap benar untuk =
̃
− =
=
iii. Langkah induksi akan dibuktikan untuk = + → ̃ +
benar
̃ +
− berdasarkan persamaan (6)
= ̃ + −
̃
−
=
=
Pembuktian persamaan (20)
Akan dibuktikan bahwa
dengan
.
̃
+� ∑
=
= �−
Bukti: Diketahui dari persamaan (16) bahwa ̃
̃−
− . Substitusi = − pada persamaan diperoleh
̃ − = �− − − ̃ − + ̃− −
= � + ̃− −
= � + − � ̃− − + ̃− −
+ − + − � + ̃− −
=�
+ − + − + ̃− −
=�
.
−
̃
+
+
27
.
.
+ − + − +⋯+
=�
= ̃
Dari defisini diketahui bahwa ̃
̃
= ̃
̃
= +
�
= + [
]
! ̃
= + �
sehingga diperoleh
̃ − =�
+
=
+� ∑
=
−
.
+
−
+⋯+
+ ̃
, maka
+
+
buat seperti definisi
28
Lampiran 8 pembuktian persamaan (21)
Akan dibuktikan bahwa
̃
=
+�−
−
+�−
∑
=−
+ � � …� −
∑
−
�−
−
∑
=−
=− −
−
∑
…
∑
+⋯
∑
=−
=− −
− −
− −
=
−
−
…
− −
,
dengan �� = untuk �
dan
,
− .
̃
+ + ̃
= �− − ̃
Bukti: Dari persamaan (16) bahwa
, sehingga
sedangkan diketahui pula bahwa ̃ − = + � ∑ =
̃ − = �− − − ̃ − + ̃− −
+
�
=
� +
� � ∑
+
−
�
=
� +
� � ∑
+
−
� +
=�
+� ∑
� ̃
=
=
=
+ ̃−
+
=
+ ̃−
− +
−
−
+� �
−
=
−
−
+
−
� � ∑
=
+ ⋯+
= ̃
Dari definisi diketahui bahwa ̃
̃
= ̃
̃
= +
�
+ ! ̃
! ̃
= + [
+
= +� [
= + � +
Dari (a) dan (b) didapat
̃ − = +�
+
=
� + � ]
� � + � �
−
∑
+� ∑
+� � ∑ ∑
−
=
=
, didapat
=
, maka
=
�
−
+
−
∑
=
+� ∑
=
� +
−
� � ∑
=
+ ̃
(a)
]
(b)
+� �
+ ⋯+
+ ⋯+
Berlaku untuk ̃
+
+� ∑
−
+ ⋯+
+
+ ̃
−
−
−
+� �
+
−
29
̃
−
=
=
=
=
+� � � ∑ ∑ ∑
=
.
.
.
̃
+� � ∑ ∑
+� ∑
−
=
Ganti indeks
̃
=
=
=
+�
−
∑
+�
−
�− ∑ ∑
=
+ � …�
= −
+�−
(*)
−
=
−
→
+⋯
= −
−
∑ ∑ … ∑
=
= −
∑
=−
= −
+ � � …� −
−
=
−
pada persamaan (*) menjadi :
+�−
−
…
−
∑
=−
�−
−
∑
=− −
∑
=−
…
+⋯
∑
=− −
− −
∑
− −
=
…
− −
.
30
Lampiran 9 Contoh program perhitungan peluang kebangkrutan
Program
perhitungan
peluang
kebangkrutan
untuk
=
dan
=
31
Lampiran 10 Contoh program pembangkitan data
Data bangkitan untuk
=
dan
=
32
33
Lampiran 11 Hasil ilustrasi proses keuntungan
Modal Awal
(x)
10
Delta { }
Modal Awal
(x)
5
Delta { }
2.0858700
0.7935190
1.5516700
0.4169070
2.5182600
0.3276160
2.6542000
2.4944100
0.5906240
0.3814550
0.1196910
2.2540700
1.1176900
0.7108830
0.4825790
1.7040000
3.1860700
3.0431200
2.3485900
0.3036270
2.7733000
1.0447400
0.0581612
0.8096410
1.0976600
1.1039800
0.2573420
0.0287411
0.9430240
0.2110240
0.639588
1.024090
1.536400
0.943477
1.0
1.2
1.5
2.0
1.0
1.5
2.0
1.0
1.0
2.0
1.5
1.2
1.5
1.2
1.0
1.6
1.1
2.0
1.2
1.0
1.3
1.1
1.0
1.0
1.4
1.3
1.0
1.0
1.1
1.2
0.8
0.5
0.4
0.3
Klaim { }
1.3255500
4.0311600
0.4966790
0.0238875
4.6155300
1.0950200
0.6394340
1.6746400
0.9832850
1.9525600
0.1279180
0.5120430
0.7817000
0.2358690
1.1175000
1.9660100
0.3517730
0.5440140
2.4377400
1.0765300
2.2287900
0.8535380
0.2795260
0.1089480
0.5422330
0.2460170
0.9939820
0.6455440
0.4999180
0.8347420
Klaim { }
0.303637
2.773300
0.058162
0.214710
Keuntungan
{
}
10.7603200
7.6813828
9.5122088
10.3221353
8.2248653
7.6212693
12.2902353
13.1100053
12.7173443
11.5276943
11.5793128
13.7721538
14.6669888
15.2841794
14.6492584
15.4096484
18.5625524
24.1047784
24.4853464
23.7124434
25.0889434
25.3846194
25.1632546
25.8639476
26.8584386
28.0475956
27.3109556
26.6941527
27.2315611
26.6500479
Keuntungan
{
}
5.208033
2.946778
3.503176
3.571510
34
2.234990
3.932030
1.055320
1.088030
2.437740
2.153070
0.5
0.7
0.1
0.2
0.5
0.2
0.365886
1.103980
7.665150
0.009580
0.471512
0.070341
4.323119
5.971560
-1.588059
-1.380033
-0.632675
-0.272402
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan pada tanggal 13 Oktober 1991. Penulis
merupakan puteri pertama dari dua bersaudara dari Bapak Wawan dan Ibu Eti
Kurniati. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kuningan dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA). Selain itu penulis juga tercatat merupakan mahasiswi yang
beruntung mendapatkan Beasiswa Bidik Misi dari Pemerintah.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepungurusan Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) selama dua periode yaitu 2012 dan 2013. Selama dua tahun
tersebut, penulis diamanahi sebagai bendahara divisi Informasi dan Komunikasi
dan Staf Divisi Sosial Lingkungan. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan
kepanitiaan, di antaranya menjadi anggota divisi Lead Oficcer (LO) dari kegiatan
Pesta Sains Nasional, bendahara divisi konsumsi dari Mathematics Camp tahun
2011, anggota divisi Master of Discipline (MOD) dalam kegiatan Masa Perkenalan
Fakultas tahun 2012, anggota MOD dalam Masa Perkenalan Departemen dua
periode tahun 2012 dan 2013, bendahara Divisi Kesekretariatan dalam acara IPB
Mathematics Challenge (IMC) pada tahun 2013.
Penulis juga berkesempatan magang di Bank Indonesia pada bulan JuliAgustus 2013. Prestasi yang pernah diraih penulis dalam bidang olahraga dan seni
adalah menjadi juara 2 bola basket tingkat fakultas dalam acara Gebyar Semarak
Bidik Misi pada tahun 2012 dan menjadi juara 3 dalam lomba bola basket pada
acara SPIRIT FMIPA pada tahun 2013.