Sebaran Peluang Bersama

SEBARAN PELUANG

BERSAMA

Peubah Acak Yang Menyebar Bersama

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah

p(x,y) = P(X=x, Y=y)

Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y)

Sifat fungsi peluang bersama p(x,y)

1. p(x,y) ≥ 0

2.  _

) ,

Contoh 1

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari

sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah

banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang

terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

 Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang

mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)

 f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola

merah dan 0 bola putih

 Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola

adalah =220

 Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah,

0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10

 f(0,0) adalah 10/220

      3 12                   3 5 0 4 0 3

 Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

 Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk

contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut

 Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

p(x,y) _{0 1} x_{2 3} Total Baris

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/22₀ 108/2₂₀ 27/22₀ 1/220 1

3 4 5 3 ( , )

12 3

x x x y p x y

����� �

�����_{ } �

����� �



� � � � � �

Definisi

Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi

sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah

F(a,b) = P{Xa,Yb}

Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk

F(a,b) =

 



 

a x

b

Definisi

 Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang

kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga

 untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X

dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.

 Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan

peluang bersama.

  

   

a b

dxdy y

x f b

a

Contoh

 Fungsi kepekatan bersama X dan Y

adalah

Hitung a. P(X>1,Y<1) b. P(X<Y)

c. P(X<a)

2

2 0 ,0

( , )

0

x y

e e x y

f x y

selainnya

 

� _{ } � _{ } �

 _�

Jawab.

a. P(X>1,Y<1) = = =

b. P(X<Y) = = = =

= 1-2/3 = 1/3

1

2 0 1

2e e dxdyx y

�

  _

�

�

_

e y e x dy

      _   1 0 1 2 2



  1 0 2 1 _{2e dy}

e y

e

 1



1



e

 2





   y x y x y

x_{e dxdy}

e ); , ( 2 2

_

   0 0 2 2 y y

x_{e dxdy} e



   _ 0

2 _{(1 )}

2e y e y dy



e ydy



e ydy

    _ 0 0 3 2 ₂ 2

c. P(X<a) = = = 1-e -a





 

a

x

y_{e dydx}

e

0 0

2

2 _{e dx}

a x



 0

Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)

 F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0  F(, ) = 1

 Jika a

2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka

F(a₂,b₂)+F(a₁,b₁)-F(a₁,b₂)-F(a₂,b₁) ≥ 0  

Sifat dari fungsi kepekatan bersama

1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y

2.   



 



 

1 )

,

(x y dxdy f

Contoh

Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani

pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk

melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan

drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah           selainnya y x y x y x f 0 1 0 , 1 0 ) ( 5 6 ) , ( 2

1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi

kepekatan peluang yang sah

2. Berapa peluang bahwa kedua layanan

digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

Jawab a. = =





  _  _       1 0 1 0 2 5 6 ) ,

(x y dxdy x y dxdy

f    1 0 1 0 2 1 0 1 0 5 6 5 6 dxdy y xdxdy 1 15 6 10 6 5 6 5 6 1 0 2 1 0   _{ } 

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah

= =



x y



dxdy

Y X

P  _   _

         4 / 1 0 4 / 1 0 2 5 6 4 1 0 , 4 1 0 dxdy y

xdxdy _  

  1 / 4

0 4 / 1 0 2 4 / 1 0 4 / 1 0 5 6 5 6 640 7 3 20 6 2 20

6 1/ 4

0 3 4 / 1 0         y y x x y x

Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat

 Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi

peluang marginal dari X dan Y adalah dan

 

y

x x p x y

p ( ) ( , )  

x

y y p x y

 Misalkan X dan Y adalah peubah acak

kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama

f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah

 dan

 

  

dy y

x f x

f _x ( ) ( , ) _ 

 

dx y

x f y

Contoh

Misalkan

Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y.

Jawab

Fungsi kepekatan marginal X adalah

= 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

2 , 0 1,0 1 ( , )

0,

x x y

f x y

selainnya

� � � � �

 _�

�

1

1 0 0

( ) ( , ) 2 2

X

f x f x y dy xdy xy

�

�

Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y

adalah 1 2 1

0 0

( ) ( , ) 2 1

Y

f y f x y dx xdx x

�

�

Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y

P(x|y)=P(X=x|Y=y)=

dengan syarat p_y(y)>0 ( )

) , ( )

(

) ,

(

y p

y x p y

Y P

y Y

x X

P

y

 

 

Contoh

Dari Sebaran bersama berikut

a. P(X=0|Y=1) b. P(X=1|Y=1) c. P(X≥2|Y=1)

p(x,y)

x

Total Baris

0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/22₀ 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/22₀   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Jawab

a. P(X=0|Y=1) =

P(Y=1) = p_Y(1) =

= p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1)

= Sehingga

P(X=0|Y=1) =

( 0, 1) ( 1)

P X Y P Y

 



3 0

( ,1)

x

p x



�

40 60 12 112 220 220 220   220

( 0, 1) 40 / 220 40 ( 1) 112 / 220 112

P X Y P Y

 _{  }

b. P(X=1|Y=1) = c. P(X≥2|Y=1) =

=

( 1, 1) 60 / 220 ( 1) 112 / 220

P X Y P Y

 _{ } 

( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)

( 1) ( 1)

P X Y P X Y P X Y

P Y P Y

     

�



 

12 / 220 0 12 112 / 220  112

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak

kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal f_x(x) dan f_y(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

      selainnya y f y f y x f y x

f _y y

, 0 0 ) ( , ) ( ) , ( ) | (

 Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika

diketahui X=x adalah

   

 

selainnya x

f x

f

y x f x

y

f _x x

, 0

0 )

( ,

) (

) , ( )

| (

Contoh

Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan

banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut

a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang

dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

1/ 2, 0 ,0 2 ( , )

0,

x y y

f x y

selainnya

� � � � �

 _�

Jawab

a.

0 0

1 1

( ) ( , ) 1/ 2

2 2

y y

Y

f y f x y dx dx x y

�

�



_�



_�

 

1

, 2 ( ) ₂

0,

Y

y x y f y selainnya � _{� �} �  _� � �

( , ) 1/ 2

( | ) 1/

( ) (1/ 2)

Y

f x y

f x y y

f y y

  

1/ , 0 2

( | )

0,

y x y

f x y

selainnya

 � �

�

 _�

b. P(X1/2|Y=1) = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0

0 0

1

( | ) 1/ 2

1

f x y dx  dx x 

Peubah Acak yang Bebas

(

Independent

)

Definisi

Misalkan X mempunyai fungsi sebaran F_x(x), Y mempunyai fungsi sebaran F_y(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika

F(x,y) = F_x(x) . F_y(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal p_x(x) dan p_y(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

p(x,y) = p_x(x)p_y(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama

f(x,y) dan kepekatan marginal f_x(x) dan f_y(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

f(x,y) = f_x(x)f_y(y)

Contoh

p(x,y) _{0 1} x_{2 3} Total Baris

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/22₀ 108/2₂₀ 27/22₀ 1/220 1

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Apakah X dan Y bebas? Jawab.

Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan p_X(0) = 84/220 dan p_Y(0) = 56/220 sehingga

Contoh

Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut?

Jawab.

Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

1/ 2, 0 ,0 2

( , )

0,

x y y f x y

selainnya � � � � �  _� � 1

, 0 2 ( ) ₂

0, Y y y f y selainnya � _{� �} �  _� � � 2 2 0 0 1 1

( ) ( , ) 1

2 2

X

f x f x y dy dy y

� �



_�



_�

 

( , ) _X ( ) _Y ( )

Theorema

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X

dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)

dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

Contoh

a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1

Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

2 , 0 1,0 1

( , )

0,

x x y

f x y

selainnya � � � � �

 _�

 Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

fungsi kepekatan bersama positif jika dan

hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

5 , 0 1

( , )

0,

x y x

f x y

selainnya

� � � �

 _�

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan.

Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena

fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.

Contoh

p(x,y) _{0 1} x_{2 3} Total Baris

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220   112/220

2 30/220 18/220     48/220

3 4/220       4/220

Total Kolom 84/22₀ 108/2₂₀ 27/22₀ 1/220 1

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Apakah X dan Y bebas? Jawab.

Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan p_X(0) = 84/220 dan p_Y(0) = 56/220 sehingga

Contoh

Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut?

Jawab.

Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

1/ 2, 0 ,0 2

( , )

0,

x y y f x y

selainnya � � � � �  _� � 1

, 0 2

( ) ₂ 0, Y y y f y selainnya � _{� �} �  _� � � 2 2 0 0 1 1

( ) ( , ) 1

2 2

X

f x f x y dy dy y

�

�



_�



_�

 

( , ) _X ( ) _Y ( ) f x y �f x f y�

Theorema

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X

dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)

dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

Contoh

a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan

bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1

Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

2 , 0 1,0 1

( , )

0,

x x y f x y

selainnya

� � � � �

 _�

 Misalkan X dan Y memiliki kepekatan

bersama

Apakah X dan Y bebas Jawab

fungsi kepekatan bersama positif jika dan

hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

5 , 0 1

( , )

0,

x y x

f x y

selainnya

� � � �

 _�

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan.

Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena

fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.