Pemodelan Transaksi Pelanggan Menggunakan Model Hidden Markov
DELLA AZIZAH MUNAWAR
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(2)
Markov Model. Supervised by and ARDANA.
A customer transaction is one of the activities needed to establish a market. This event may happen at any time in a long time series and may be repeated in the future. If the causes of customer transactions are assumed not to be observed directly and they form a Markov chain, then the customer transactions can be modeled by using the hidden Markov model.
The hidden Markov model is characterized by some parameters of initial distribution, transition, and transactions. The parameters in this final assignment are estimated by using the Rabiner method, which consists of forward-backward, Viterbi, and Baum-Welch algorithms.
The hidden Markov model for customer transactions is applied to transaction data of Anisa Cell’s cellular company. By using the transactions data, a computer program is created using Mathematica 7.0 and LINGO 11.0 to estimate the parameters of the hidden Markov model.
The results show that the hidden Markov model can model the company’s transactions well. This can be seen from the estimation’s accuracy, which is above 96%.
(3)
Markov. Dibimbing oleh dan ARDANA.
Transaksi pelanggan adalah salah satu kegiatan yang diperlukan untuk membentuk sebuah pasar. Kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam suatu deret waktu yang panjang dan mungkin saja terulang kembali di masa yang akan datang. Jika penyebab terjadinya transaksi pelanggan diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu rantai Markov, maka transaksi pelanggan dapat dimodelkan dengan menggunakan model hidden Markov.
Model hidden Markov dicirikan oleh parameter peluang awal, peluang transisi, dan peluang transaksi. Penduga parameter dalam tugas akhir ini diestimasi menggunakan metode Rabiner yang terdiri dari algoritme forward-backward, Viterbi, dan Baum-Welch.
Model hidden Markov untuk transaksi pelanggan diaplikasikan pada data transaksi suatu perusahaan sellular. Dengan menggunakan data transaksi Anisa Cell, dibuat suatu program komputasi menggunakan software Mathematica 7.0 dan LINGO 11.0 untuk menentukan nilai penduga parameter model hidden Markov.
Hasil yang telah diperoleh, menunjukkan model hidden Markov dapat memodelkan transaksi perusahaan tersebut dengan baik. Hal ini dapat dilihat dari nilai persentase ketepatan dugaan di atas 96%.
(4)
DELLA AZIZAH MUNAWAR
G54070072
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(5)
NIM
: G54070072
Disetujui
Pembimbing I
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Pembimbing II
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc
NIP. 19640823 198903 1 001
Diketahui
Ketua Departemen
Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
(6)
serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tersayang: Bapak dan Ibu (terimakasih atas kasih sayang, kesabaran, kepercayaan, dukungan dan doa yang tiada henti-hentinya) dan adikku Lupita serta Shiyama (terimakasih atas keceriaan, senyum manis, doa, inspirasi, semangat, dan motivasinya). 2. Keluarga besar Bapak: Tante Nina, Tante Nani, Om Edih, Om Deni, Teh Anis, Teh Ulfah,
Teh Tia, dan lainnya (terimakasih atas kasih sayang, motivasi, bantuan, dan doanya). 3. Keluarga besar Ibu: Umi Enggum, Wa Pipih, Wa Yayat, Tante Iin, Teh Dhea, Teh Early, Teh
Yayu, dan lainnnya (terimakasih atas kasih sayang, motivasi, bantuan dan doanya).
4. Dr. Dra. Berlian Setiawaty, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, waktu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini).
5. Ir. Ngakan Komang Kutha Ardana, M.Sc selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, waktu, saran, dan motivasinya).
6. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu, waktu dan sarannya).
7. Segenap dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan.
8. Staf Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, dan Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43: Ka Nia, Ka Wira, Ka Kunto, Ka Adhi, Ka Chopy, Ka Cupit, Ka Apri, Ka Resty, Ka Arum, Ka Tami, Ka, Fachri, Ka Faizal, Ka Cici, Ka Margi, Ka Razono, Ka Ratna, Ka Agung, Ka Andrew, Ka Dandi, Ka Sunarsih, Ka Bertrand, Ka Septiwi, Ka Ardy, Ka Feli, Ka Sendy, Ka Cumi, Ka Kabil, Ka Hikmah, Ka Iputh, Ka
Vera, Ka Aini, Ka Destya, Ka Lia, Ka Putri, Ka Destya, Ka Ro’fah, dan lainnya (terimakasih atas semangat, ilmu, bantuan, doa, motivasi dan kebersamaannya).
10. Teman-teman Matematika angkatan 44: Tyas, Mutia, Sri, Fajar, Rachma, Ayung, Dian, Rofi, Denda, Pandi, Rizqy, Imam, Wenti, Deva, Yuyun, Ndep, Ipul, Selvie, Nurul, Istiti, Ikhsan, Yuli, Ririh, Iresa, Sari, Ihda, Pepi, Aqil, Lilis, Aswin, Eka, Aze, Ali, Fani, Ruhiyat, Wahyu, Ayum, Iam, Endro, Puying, Cita, Tanty, Arina, Lingga, Ima, Dora, Atik, Masay, Diana,
Yanti, Lugina, Lukman, Nurfitriana, Vianey, Yogie, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Nunuy,
Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Tendhy, Chopa, Zae, Fikri dan Gan-gan (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, motivasai, inspirasi dan kebersamaannya).
11. Adik-adik Matematika angkatan 45: Ana, Cipit, Putri, Ari, Irwan, Yunda, Santi, Kunedi, Fuka, Achie, Roni, Rischa, Gita, Tya, Tika, Fikri, Tiwi, Hardono, Fenny, Vivi, Isna, Mega, Izzun, Agustin, Icha, Haryanto, Arbi, Nurul, Maya, Fina, Wulan, Heru, Prama, Bram, Devita, Beni, Irma dan lainnya (terima kasih atas semangat, motivasi, dukungan, Inspirasi, dan kebersamaannya).
12. Teman-teman Asrama Putri Rusunawa TPB: Ka Mega, Resty, Dyah, Priskila, Tia, Saskia, Antari, Boru, Resi, dan lainnya (terima kasih atas inspirasi, dukungan, dan kebersamaannya). 13. Teman-teman kelas A13 TPB: Tifanny, Zafira, Flora, Aci, Norihiko, Ayi, Irma, Asri, Alex,
Novri, Damar, dan lainnya (terima kasih atas motivasi, dukungan, dan kebersamaannya). 14. Sahabat-sahabat tersayang, Annis, Muzha, Sarah, Adis, Diyan, Ushi, Linda, Putri, Mega,
Lusiana, Ka Reni, Ka Eno, Ka Tuti, Ka Mira, Ka Delsi, Ka Vivien, Ka Mpit, Fani, Ria, Agus, Fandi, Chandra, Adi, Ajeng, Shiva, Yunas, Anggie, Dita, Illah, Sari, Om Baist dan lainnya (terimakasih atas semangat, motivasi, inspirasi, kasih sayang, dan kebersamaanya).
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, 2 Agustus 2012
(7)
Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Depok dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Penulis memilih jurusan Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis mengikuti kegiatan kemahasiswaan, yaitu anggota Divisi Sosial, Informasi, dan Komunikasi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2008-2009, anggota tim acara Welcome Ceremony Mathematics 2009, dan anggota tim Dana dan Usaha Pesta Sains Nasional Institut Pertanian Bogor 2009.
(8)
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penulisan ... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 1
2.1 Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang ... 1
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 2
2.3 Rantai Markov ... 3
2.4 Algoritme EM (Expectation Maximization) ... 4
III PEMODELAN TRANSAKSI PELANGGAN ... 6
3.1 Model Hidden Markov ... 6
3.2 Transaksi Pelanggan ... 6
3.3 Model Hidden Markov Untuk Transaksi Pelanggan ... 7
3.4 Proses Estimasi ... 9
IV APLIKASI PEMODELAN TRANSAKSI PELANGGAN ... 12
4.1 Deskripsi Data ... 12
4.2 Interaksi ... 12
4.3 Hasil ... 12
V SIMPULAN ... 14
DAFTAR PUSTAKA ... 15
(9)
2 Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi Terhadap ... 12
3 Frekuensi Nilai Parameter Awal dengan Peluang Observasi di Atas 80% ... 27
DAFTAR TABEL
Halaman 1 Data Transaksi “Anisa Cell” ... 202 Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi ... 29
3 Nilai Peluang Transisi ... 35
4 Nilai Peluang Transaksi ... 35
5 Nilai ... 36
6 Nilai ... 36
7 Nilai ... 36
8 Nilai ... 37
9 Nilai ... 37
10 Nilai ... 37
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Pembuktian Barisan Peluang Pengamatan ... 172 Pembuktian Salah Satu Sifat Matriks Transisi ... 19
3 Data Transaksi “Anisa Cell” ... 20
4 Komputasi Transaksi Pelanggan Menggunakan Software Mathematica 7.0 ... 22
5 Grafik Frekuensi Nilai Parameter Awal dengan Peluang Observasi di Atas 80% ... 27
6 Grafik Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi terhadap ... 28
7 Tabel Frekuensi dan Ketepatan Dugaan ... 29
8 Output Mathematica 7.0 untuk Nilai Parameter Awal dan Nilai Parameter Duga ... 28
9 Komputasi Transaksi Pelanggan Menggunakan Software LINGO 11.0 ... 34
10 Input Komputasi LINGO 11.0 ... 35
11 Output Komputasi LINGO 11.0 untuk Nilai-Nilai Fungsi Peluang Transisi ... 36
(10)
I
PENDAHULUAN
1.1Latar BelakangSecara umum, pertemuan yang terjadi antara pelanggan dengan perusahaan disebut pasar. Untuk membentuk sebuah pasar, diperlukan kegiatan transaksi yang dilakukan oleh pelanggan. Transaksi yang dilakukan oleh pelanggan terjadi secara berulang. Kejadian ini diteliti oleh Customer Relationship Management (CRM) atau Manajemen Hubungan Pelanggan dengan tujuan meningkatkan transaksi pelanggan di masa yang akan datang.
Transaksi pelanggan dapat dipengaruhi antara lain oleh kualitas pelayanan perusahaan, loyalitas pelanggan, dan adanya promosi serta reward yang dilakukan oleh perusahaan. Faktor yang mempengaruhi transaksi pelanggan diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk rantai Markov di mana state yang akan datang hanya dipengaruhi oleh state saat ini dan bebas terhadap semua state yang lalu.
Model hidden Markov terdiri dari sepasang proses stokastik yaitu proses observasi dan proses yang mempengaruhi terjadinya proses observasi yang diasumsikan membentuk rantai Markov, oleh sebab itu transaksi pelanggan dapat dimodelkan dengan menggunakan model hidden Markov.
Model hidden Markov yang digunakan berasal dari jurnal tahun 2008 yang berjudul a hidden Markov model of customer relationship dynamics yang ditulis oleh Oded Netzer, James M. Lattin, dan V Srinivasan. Model hidden Markov dipengaruhi oleh beberapa parameter, yaitu peluang awal, peluang transisi dan peluang transaksi.
Kemudian dengan menggunakan metode Rabiner, akan diperoleh nilai pendugaan parameter hidden Markov menggunakan algoritme forward-backward, Viterbi, dan Baum-Welch.
Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai pemodelan hidden Markov untuk transaksi pelanggan dan aplikasinya pada Anisa Cell. Dengan menggunakan data transaksi Anisa Cell, akan dibuat suatu program komputasi untuk mencari nilai parameter duga dari model hidden Markov menggunakan software Mathematica 7.0 dan LINGO 11.0. Dengan diketahuinya nilai parameter dugaaan yang memaksimumkan proses observasi, maka dapat dilakukan penarikan kesimpulan mengenai cara untuk meningkatkan transaksi pelanggan.
1.2Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Mengkaji transaksi pelanggan dengan
menggunakan model hidden Markov. 2. Mangaplikasikan model hidden Markov
untuk transaksi yang dilakukan Anisa Cell.
1.3Sistematika Penulisan
Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan tugas akhir. Bab dua berisi landasan teori yang merupakan konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Bab tiga menjelaskan pemodelan transaksi pelanggan. Bab empat dan lima mengenai aplikasi pemodelan transaksi Anisa Cell serta simpulan dan saran.
II
LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian, dan PeluangDefinisi 2.1.1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan dengan kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi sama, disebut percobaan acak.
(Hogg et. al. 2005) Definisi 2.1.2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.1.3 (Medan- )
Koleksi dari himpunan bagian disebut medan- jika memenuhi syarat:
1. .
2. Jika maka .
3. Jika maka .
(11)
Definisi 2.1.4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah suatu fungsi
yang memenuhi:
1. , .
2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan , maka
Pasangan disebut ruang peluang. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.1.5 (Peluang Bersyarat)
Jika maka peluang bersyarat dari kejadian setelah diketahui kejadian ialah
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.1.6 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika
.
Misal adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian disebut saling bebas jika
untuk setiap himpunan bagian berhingga dari .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.2.1 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh . Peubah acak merupakan fungsi
di mana untuk setiap .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.
Definisi 2.2.2 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari peubah acak adalah suatu fungsi di mana
.
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak disebut sebagai peubah acak diskret jika nilainya hanya berada pada himpunan bagian yang terhitung
dari .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang) Misalkan adalah ruang peluang dan
adalah himpunan berhingga. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi yang didefinisikan oleh
.
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.5 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret) Misalkan adalah ruang peluang dan
adalah himpunan berhingga. Fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan adalah suatu fungsi
yang didefinisikan oleh
. (Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.6 (Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat)
Jika dan merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari jika diberikan , terdefinisi untuk setiap sedemikian sehingga
adalah
(Ross 1996) Definisi 2.2.7 (Fungsi Kerapatan Marginal) Misalkan adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari peubah acak diskret dan . Misal adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan adalah himpunan nilai yang mungkin dari . Selanjutnya fungsi
(12)
masing-masing disebut fungsi kerapatan marginal dari dan .
(Ghahramani 2005) Definisi 2.2.8 (Bebas Stokastik Identik) Misalkan adalah peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu sehingga
Dan fungsi kepekatan bersamanya adalah . . … . . Peubah
disebut bebas stokastik Identik.
(Hogg et. al. 2005) Definisi 2.2.9 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang maka nilai harapan dari adalah
asalkan jumlah di atas konvergen.
(Hogg et. al. 2005) Definisi 2.2.10 (Teorema Bayes)
Misalkan adalah ruang peluang. . Misalkan kejadian terjadi hanya dengan salah satu kejadian , maka peluang bersyarat dari setelah diketahui adalah
(Hogg et. al. 2005) Definisi 2.2.11 (Filtrasi)
Misalkan adalah medan- dan merupakan barisan submedan- dari . disebut filtrasi jika untuk semua .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.12 (Terukur (Measurable)) Misalkan adalah peubah acak diskret yang terdefinisi pada ruang peluang dan adalah ruang state. Jika
, maka dinyatakan terukur- . (Grimmet dan Stirzaker 2001)
Definisi 2.2.13 (Adapted)
Misalkan adalah ruang peluang. Barisan peubah acak dikatakan adapted terhadap filtrasi jika
untuk setiap .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.2.14 (Terduga)
Misalkan adalah filtrasi. Barisan peubah acak dikatakan terduga, jika terukur - untuk setiap .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) 2.3 Rantai Markov
Definisi 2.3.1 (Ruang State)
Misalkan merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka disebut ruang state.
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.3.2 (Proses Stokastik)
Proses Stokastik adalah suatu koleksi dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state . Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks ,
adalah suatu peubah acak.
(Ross 1996) Dalam hal ini anggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu .
Definisi 2.3.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)
Misalkan suatu peubah acak. Proses stokastik dengan ruang state disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap
berlaku
untuk semua kemungkinan nilai dari .
(Ross 1996) Jadi untuk suatu Rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini dengan syarat state yang lalu
dan state kemarin adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state kemarin.
(13)
Proses di atas dapat digambarkan sebagai -state rantai Markov dengan peluang transisi
dengan . Nilai dari peluang transisi menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state maka berikutnya akan beralih ke state . Karena nilai peluang adalah tak negatif dan karena proses tersebut harus mengalami transisi ke suatu state maka,
a. , untuk semua .
b. untuk semua .
Peluang transisi dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang disebut juga sebagai matriks peluang transisi, yaitu
Definisi 2.3.4 (Matriks Transisi)
Misalkan adalah rantai Markov dengan ruang state . Matriks transisi adalah matriks dari peluang transisi
untuk .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.3.5 (Rantai Markov Homogen) Misalkan adalah rantai Markov dengan ruang state , dikatakan homogen jika
untuk .
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 2.3.6 (Peluang Transisi n-step) Peluang transisi n-step dari rantai Markov adalah peluang proses berpindah dari state ke state dengan langkah yang didefinisikan sebagai berikut:
(Ross 1996) Definisi 2.3.6 (Terakses)
Peluang bahwa pada waktu ke- , proses berada pada state dengan syarat state awal adalah dinotasikan dengan . Suatu state
disebut terakses dari state (notasi: ) jika minimal ada sebuah bilangan bulat sehingga dimana adalah peluang bahwa pada waktu ke- proses berada pada state dengan syarat state awal adalah .
(Ross 2007) Definisi 2.3.7 (Berkomunikasi)
Dua state dan dikatakan berkomunikasi (notasi: ) jika state dapat diakses dari state dan state dapat diakses dari state .
(Ross 2007) Definisi 2.3.8 (Kelas State)
Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong sehingga semua pasangan state yang merupakan anggota dari berkomunikasi satu dengan yang lainnya, serta tidak ada yang merupakan anggota yang berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari .
(Ross 2007) Definisi 2.3.9 (Tak Tereduksi)
Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya.
(Ross 2007)
Definisi 2.3.10 (Recurrent dan Transient) State adalah recurrent jika
dan transient jika .
(Ross 2007) 2.4 Algoritme Expectation Maximization (EM)
Misalkan adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada dan kontinu absolute terhadap . Misalkan
. Fungsi Likelihood yang digunakan untuk menghitung penduga parameter berdasarkan informasi adalah
Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh
Umumnya MLE sulit dihitung secara langsng, oleh karena itu diperlukan suatu metode aproksimasi berulang, yakni algoritme
(14)
Expectation Maximization. Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:
1. Set nilai awal parameter dengan . 2. Set dan hitung dengan
3. Cari .
4. Ganti dengan dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya tercapai, yaitu ketika selisih dan kurang dari suatu bilangan yang sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar ketelitian yang diinginkan. Misalkan , karena turunan kedua dari selalu positif
Maka merupakan fungsi konveks. Karena merupakan fungsi konveks, maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat
dihasilkan barisan yang
merupakan fungsi likelihood yang tak turun, yaitu:
Bentuk disebut Pseudo Likelihood bersyarat.
(15)
III
PEMODELAN TRANSAKSI PELANGGAN
3.1 Model Hidden MarkovModel hidden Markov terdiri dari pasangan proses stokastik . merupakan penyebab terjadinya proses observasi dan merupakan rantai Markov. Sedangkan adalah proses observasinya.
Model hidden Markov dicirikan dengan parameter sebagai berikut:
1. Peluang awal,
merupakan peluang state pada waktu ke-1. 2. Peluang transisi,
merupakan peluang transisi dari state pada waktu ke state pada waktu dengan adalah matriks transisi Markov yang menyatakan bahwa peluang
state sebelumnya ( ) cukup kuat untuk bertransisi ke state selanjutnya ( ).
3. Peluang observasi,
di mana:
adalah penyebab terjadinya proses observasi pada waktu yang merupakan proses Markov dengan ruang state
, dan
adalah proses observasi pada waktu dengan ruang state . Dengan menggunakan tiga ciri model hidden Markov, model peluang pengamatan dapat digambarkan pada Lampiran 1, sehingga secara umum dapat dituliskan sebagai berikut,
3.2 Transaksi Pelanggan
Transaksi pelanggan adalah salah satu kegiatan yang diperlukan untuk membentuk sebuah pasar dan dapat terjadi kapan saja dalam suatu deret waktu yang panjang. Transaksi yang terjadi dipengaruhi oleh interaksi antara pelanggan dengan perusahaan yang terjadi secara berulang, seperti pelayanan perusahaan, loyalitas pelanggan, dan adanya promosi serta reward yang dilakukan oleh perusahaan. Transaksi tersebut mungkin saja terulang kembali di masa yang akan datang, misal, di waktu sebelumnya perusahaan memberikan pelayanan yang tidak baik kepada pelanggan, akibatnya hubungan antara pelanggan dengan perusahaan menjadi lebih lemah sehingga pelanggan tidak melakukan transaksi untuk saat ini.
Karena transaksi pelanggan bisa kembali terjadi di masa yang akan datang, tetapi tidak bisa dipastikan kurun waktunya, besar kemungkinan di waktu yang akan datang
penyebab terjadinya transaksi pelanggan adalah bagaimana hubungan antara pelanggan dengan perusahaan saat ini jika sebelumnya diketahui interaksi yang terjadi antara pelanggan dengan perusahaan.
Selain itu interaksi antara pelanggan dengan perusahaan yang merupakan penyebab terjadinya tansaksi, diasumsikan bersifat Markov. Artinya, meskipun di waktu yang lalu banyak terjadi interaksi antara pelanggan dengan perusahaan yang mempengaruhi terjadinya transaksi, tetapi penyebab terjadinya transaksi saat ini cukup dipengaruhi oleh interaksi di satu waktu sebelumnya. Sehingga, dengan menggunakan rantai Markov, transaksi pelanggan dapat ditentukan melalui state transaksi pelanggan, di mana transaksi tersebut akan bernilai 1 jika pelanggan melakukan transaksi dan bernilai 0 jika pelanggan tidak melakukan transaksi (lihat Gambar 1).
(16)
Gambar 1 Pemodelan Transaksi Pelanggan dengan Menggunakan Model Hidden Markov
3.3 Model Hidden Markov Untuk Transaksi Pelanggan
Model hidden Markov untuk transaksi pelanggan dicirikan sebagai berikut:
3.3.1 Indeks = pelanggan,
= hubungan perusahaan dengan pelanggan,
= hubungan perusahaan dengan pelanggan,
= waktu, 3.3.2 Peluang Awal
didefinisikan sebagai peluang hubungan perusahaan dengan pelanggan ke- pada state pada waktu ke-1. Peluang ini memenuhi persamaan , dimana adalah matriks transisi.
3.3.3 Peluang Transisi
didefinisikan sebagai peluang transisi hubungan perusahaan dengan pelanggan ke- dari state pada waktu ke state pada waktu , dengan . Misal adalah matriks transisi Markov berukuran sebagai berikut:
State pada waktu
State pada
waktu 1 2 3 …
1 …
2 …
(17)
Secara khusus, dapat didefinisikan sebagai berikut,
dan memenuhi sifat,
(dijelaskan pada Lampiran 2)
dengan,
= dampak pelanggan ke- yang bertransisi dari state , = hubungan perusahaan dengan
pelanggan ke- antara sampai ,
= batas hubungan perusahaan dengan pelanggan ke- yang berada pada state .
3.3.4 Peluang Transaksi Pelanggan
dengan,
didefinisikan sebagai peluang bahwa pelanggan ke- melakukan transaksi pada waktu , dan
didefinisikan sebagai peluang bahwa pelanggan ke- tidak melakukan transaksi pada waktu , di mana:
adalah hubungan perusahaan dengan pelanggan ke- pada waktu yang merupakan proses Markov dengan ruang state , dan
adalah transaksi pelanggan ke- pada waktu dengan ruang state .
Transaksi pelanggan diasumsikan sebagai kondisi yang bebas dan jika pelanggan melakukan transaksi, akan memenuhi persamaan,
dengan,
= koefisien state
= rata-rata transaksi pelanggan ke- pada waktu
= respon pelanggan terhadap transaksi pada state
di mana,
dibatasi oleh:
dan memenuhi,
3.3.5 Peluang Urutan Transaksi Pelanggan Peluang barisan transaksi pelanggan adalah sebagai berikut,
(18)
3.4 Transaksi Pelanggan
Transaksi yang dilakukan pelanggan, diasumsikan dipengaruhi oleh dua interaksi, yaitu:
1. Interaksi berdampak jangka panjang Interaksi yang memiliki dampak jangka panjang misalnya, diberikan informasi mengenai upaya mengembangkan usaha, iklan, dan kualitas pelayanan perusahaan. Interaksi ini didefinisikan oleh vektor . 2. Interaksi berdampak jangka pendek
Interaksi yang memiliki dampak jangka pendek misalnya, adanya reward setelah melakukan transaksi sebesar nominal tertentu, lokasi tempat usaha yang strategis, dan promosi. Interaksi ini didefinisikan oleh vektor .
Bentuk data transaksi yang bisa digunakan untuk model ini berupa barisan yang bernilai 1 jika pelanggan melakukan transaksi atau 0 jika pelanggan tidak melakukan transaksi. Barisan tersebut kemudian diestimasi dengan menggunakan fungsi peluang barisan transaksi pelanggan sehingga diperoleh nilai
dari parameter .
Setelah diperoleh nilai parameter tersebut, nilai yang menggambarkan interaksi berdampak jangka panjang dan nilai yang menggambarkan interaksi berdampak jangka pendek, dapat diperoleh dengan mengestimasi
parameter dan .
Sehingga melalui nilai dan yang telah diperoleh, dapat diketahui interaksi yang paling mempengaruhi terjadinya transaksi pelanggan.
3.5 Proses Estimasi
Dalam proses estimasi diasumsikan banyaknya pelanggan adalah satu. Banyaknya barisan observasi (data transaksi) juga diasumsikan dibangkitkan oleh model hidden Markov yang dicirikan oleh parameter , sehingga
dapat diestimasi dengan menggunakan metode Rabiner (Wijayanti 2010).
Tujuan metode Rabiner adalah:
1. Menduga barisan observasi , dan
2. Menentukan nilai parameter duga yang memaksimumkan fungsi Likelihood, yaitu
.
Langkah-langkah algoritme pemrograman untuk metode Rabiner dalam pemodelan transaksi pelanggan adalah sebagai berikut: 1. Menginput data (banyaknya
data adalah )
2. Menginput awal,
(berfungsi untuk mencatat nilai parameter yang telah dibangkitkan)
3. Menetapkan ( adalah banyaknya state penyebab kejadian) 4. Membangkitkan nilai peluang awal
yang dibangkitkan secara acak dan dicatat dengan .
, ,
, dan memenuhi:
a. ,
b. , dan
c. .
5. Menggunakan algoritme forward.
Tujuan algoritme forward adalah menghitung nilai
Nilai , dapat diperoleh dengan cara menghitung nilai . Nilai diperoleh dengan cara menghitung nilai secara rekursif untuk
(19)
6. Menggunakan algoritme Viterbi.
Tujuan algoritme viterbi adalah
mencari barisan yang
membuat nilai maksimum. Barisan yang membuat nilai
maksimum, dapat diperoleh dengan cara menghitung nilai terlebih dahulu. Nilai diperoleh dengan cara menghitung nilai secara rekursif
untuk .
Melalui nilai yang telah diperoleh, maka dapat ditentukan state yang menghasilkan nilai , dengan cara menelusuri kembali melalui
perhitungan nilai untuk .
Dengan adalah barisan yang menghasilkan , yaitu
. 7. Menduga barisan observasi berdasarkan barisan state
yang membuat nilai maksimum. 8. Jika barisan observasi yang duga
memiliki ketepatan lebih besar dari 80% maka hal-hal di bawah ini disimpan:
Nilai observasi duga , Nilai persentase ketepatan dugaan terbesar, dan
Frekuensi nilai peluang yang dibangkitkan.
9. Kembali ke langkah ke-5, dan lakukan
untuk .
10.Menggunakan algoritme Baum-Welch. Tujuan algoritme Baum-Welch adalah menentukan nilai sehingga maksimum. Dengan menggunkan algoritme Expectation Maximization (EM) akan di peroleh nilai yang memaksimumkan nilai . Berikut Algoritme EM:
a. Berikan nilai parameter ,
b. Hitung fungsi Baum-Welch , c. Jika kondisi berikut terpenuhi:
maka . Jika tidak terpenuhi, maka menjadi , lalu ulangi prosedur a.
(20)
Dengan menggunkan Metode Lagrange, dapat diperoleh kondisi parameter yang
membuat maksimum, yaitu
Dengan
Nilai dan diperoleh dengan menggunakan algoritme
backward, yang dihitung secara rekursif
untuk .
d. Mencetak nilai parameter duga .
e. Mencetak grafik persentase ketepatan barisan observasi duga .
f. Kembali ke langkah ke-3, lakukan untuk .
g. Berhenti di atau saat nilai perubahan persentase kurang dari 1%.
(21)
IV
APLIKASI PEMODELAN TRANSAKSI PELANGGAN PADA
TRANSAKSI ANISA CELL
Pada bab ini akan dibahas aplikasi pemodelan transaksi pelanggan pada transaksi perusahaan sellular Anisa Cell. Terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai input data yang digunakan sebagai data observasi (transaksi) pada model hidden Markov. 4.1 Deskripsi Data
Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini berasal dari “Cempaka Cell”. Sampel yang digunakan adalah transaksi yang dilakukan oleh “Anisa Cell” sejak 11 April 2011 sampai dengan 14 Februari 2012, sehingga terdapat 310 data observasi . Jika “Anisa Cell” melakukan transaksi lebih dari satu kali pada
hari tersebut, maka akan diberi nilai 1 dan akan diberi nilai 0 jika pada hari tersebut tidak melakukan transaksi.
4.2 Hasil
Dengan menggunakan metode Rabiner dan software Mathematica 7.0, melalui data yang telah diperoleh akan dihasilkan persentase ketepatan dugaan barisan observasi dan nilai parameter dugaan . Persentase ini akan terus meningkat, seiring dengan bertambahnya nilai .
Gambar 2 Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi Terhadap
Untuk selanjutnya, akan digunakan nilai parameter dugaan saat . Karena pada kondisi tersebut, nilai persentase ketepatan
dugaan barisan observasi sudah mulai stabil. Dengan menggunakan software LINGO 11.0 dan nilai parameter dugaan saat yaitu, 96.45 97.74 97.74 98.06 98.06 100.00
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1 2 3 4 5 6 7 8
P
e
r
se
n
tas
e
(%
)
(22)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh nilai dan sebagai berikut,
.
Dari hasil yang telah diperoleh, vektor-vektor yang terdapat di dalam memiliki nilai yang lebih besar dan beragam dibandingkan dengan vektor-vektor yang terdapat di dalam yang hanya memiliki nilai 0 di setiap vektornya. Sehingga interaksi yang memiliki dampak jangka panjang, memiliki nilai yang jauh lebih besar
dibandingkan dengan interaksi yang memiliki dampak jangka pendek.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa interaksi yang paling mempengaruhi transaksi yang dilakukan “Anisa Cell” adalah interaksi yang memiliki dampak jangka panjang, seperti diberikannya informasi mengenai cara mengembangkan usaha setiap bulannya serta iklan yang mendukung usaha tersebut.
(23)
Dari pembahasan dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut,
1. Transaksi pelanggan dapat dikaji dengan menggunakan model hidden Markov. 2. Transaksi yang dilakukan Anisa Cell
dapat dimodelkan dengan menggunakan model hidden Markov dengan cukup baik. Hal ini dapat ditunjukkan melalui nilai persentase ketepatan dugaan di atas 96.4516% (mulai dari ).
3. Parameter model hidden Markov untuk transaksi Anisa Cell dapat diduga dengan menggunakan metode Rabiner.
4. Melalui nilai dan yang diperoleh, diketahui bahwa hal yang paling mempengaruhi terjadinya transaksi yang dilakukan “Anisa Cell” adalah interaksi yang berdampak jangka panjang.
5.2 Saran
1. Hasil yang diperoleh dalam karya ilmiah ini masih belum sempurna, karena data transaksi yang digunakan masih sederhana dengan membagi kejadian transaksi menjadi dua kriteria, sehingga masih dimungkinkan untuk melakukan penelitian menggunakan data transaksi dengan kriteria yang lebih baik.
2. Program yang digunakan untuk memperoleh nilai parameter dan nilai variabel menggunakan software yang berbeda, sehingga kemungkinan besar masih ada hasil yang lebih baik jika menggunakan software yang sama, agar hasil yang diperoleh menjadi lebih maksimal.
(24)
D AFTAR PUSTAKA
Elliot RJ, Aggoun L, Moore JB. 1995.Hidden Markov Models Estimation and Control. Springer Verlag. New York. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of
Probability. Second Ed. Pretince Hall. New Jersey.
Grimmet, G. R. and D. R. Stirzaker. 2001. Probability and Random Processes. Third Ed. Clarendon Press. Oxford. Hogg, RV. and AT Craig. JW McKean.
2005. Introduction to Mathematical Statistics. Sixth Ed. Pretince Hall, Pearson Education, New Jersey.
Netzer O, Lattin JM, Srinivasan V. 2008. A Hidden Markov Model of Customer Relationship Dynamics. Journal of Marketing Science 27:185-204.
Ross, S. M. 1996. Stochastic Process. Second Ed. John Wiley & Sons. New York.
Ross, S. M. 2007. Introduction to Probability Model. Ninth Ed. Elsevier. New York.
Wijayanti, H. 2010. Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. Tesis. Institut Pertanian Bogor.
(25)
(26)
Lampiran 1 Pembuktian Barisan Peluang Pengamatan Pada waktu 1:
Pada waktu 2:
(27)
(28)
(29)
Lampiran 3 Data Transaksi “Anisa Cell”
Tabel 1 Data Transaksi “Anisa Cell”
Tanggal t Anisa Cell
11-Apr-2011 1 1
12-Apr-2011 2 0
13-Apr-2011 3 0
14-Apr-2011 4 0
15-Apr-2011 5 0
16-Apr-2011 6 0
17-Apr-2011 7 0
18-Apr-2011 8 1
19-Apr-2011 9 0
20-Apr-2011 10 0
21-Apr-2011 11 0
22-Apr-2011 12 0
23-Apr-2011 13 0
24-Apr-2011 14 0
25-Apr-2011 15 0
26-Apr-2011 16 0
27-Apr-2011 17 0
28-Apr-2011 18 0
29-Apr-2011 19 0
30-Apr-2011 20 0
1-Mei-2011 21 1
2-Mei-2011 22 1
3-Mei-2011 23 0
4-Mei-2011 24 0
5-Mei-2011 25 1
6-Mei-2011 26 1
7-Mei-2011 27 0
8-Mei-2011 28 1
9-Mei-2011 29 1
10-Mei-2011 30 0
11-Mei-2011 31 1
12-Mei-2011 32 0
13-Mei-2011 33 1
14-Mei-2011 34 1
15-Mei-2011 35 1
16-Mei-2011 36 0
17-Mei-2011 37 1
18-Mei-2011 38 1
19-Mei-2011 39 1
20-Mei-2011 40 1
21-Mei-2011 41 1
22-Mei-2011 42 1
23-Mei-2011 43 1
24-Mei-2011 44 0
25-Mei-2011 45 1
26-Mei-2011 46 1
27-Mei-2011 47 0
28-Mei-2011 48 1
29-Mei-2011 49 1
30-Mei-2011 50 1
31-Mei-2011 51 1
1-Jun-2011 52 0
2-Jun-2011 53 1
3-Jun-2011 54 1
4-Jun-2011 55 1
5-Jun-2011 56 1
6-Jun-2011 57 1
7-Jun-2011 58 1
8-Jun-2011 59 1
9-Jun-2011 60 0
10-Jun-2011 61 0
11-Jun-2011 62 1
12-Jun-2011 63 0
13-Jun-2011 64 1
14-Jun-2011 65 0
15-Jun-2011 66 1
16-Jun-2011 67 1
17-Jun-2011 68 1
18-Jun-2011 69 0
19-Jun-2011 70 0
20-Jun-2011 71 0
21-Jun-2011 72 0
22-Jun-2011 73 1
23-Jun-2011 74 1
24-Jun-2011 75 1
25-Jun-2011 76 1
26-Jun-2011 77 1
27-Jun-2011 78 1
28-Jun-2011 79 0
29-Jun-2011 80 1
30-Jun-2011 81 0
1-Jul-2011 82 0
2-Jul-2011 83 1
3-Jul-2011 84 1
4-Jul-2011 85 0
5-Jul-2011 86 1
6-Jul-2011 87 0
7-Jul-2011 88 0
8-Jul-2011 89 0
9-Jul-2011 90 1
10-Jul-2011 91 1
11-Jul-2011 92 1
12-Jul-2011 93 1
13-Jul-2011 94 1
14-Jul-2011 95 1
15-Jul-2011 96 1
16-Jul-2011 97 1
17-Jul-2011 98 1
18-Jul-2011 99 1
19-Jul-2011 100 0
20-Jul-2011 101 0
21-Jul-2011 102 1
22-Jul-2011 103 1
23-Jul-2011 104 1
24-Jul-2011 105 1
25-Jul-2011 106 1
26-Jul-2011 107 1
27-Jul-2011 108 0
28-Jul-2011 109 1
29-Jul-2011 110 0
30-Jul-2011 111 1
31-Jul-2011 112 1
1-Agt-2011 113 0
2-Agt-2011 114 1
3-Agt-2011 115 1
4-Agt-2011 116 1
5-Agt-2011 117 1
6-Agt-2011 118 1
7-Agt-2011 119 1
8-Agt-2011 120 0
9-Agt-2011 121 1
10-Agt-2011 122 0
11-Agt-2011 123 1
12-Agt-2011 124 0
13-Agt-2011 125 1
14-Agt-2011 126 1
15-Agt-2011 127 0
16-Agt-2011 128 1
17-Agt-2011 129 0
18-Agt-2011 130 0
19-Agt-2011 131 1
20-Agt-2011 132 1
21-Agt-2011 133 1
22-Agt-2011 134 1
23-Agt-2011 135 0
24-Agt-2011 136 1
25-Agt-2011 137 1
26-Agt-2011 138 0
27-Agt-2011 139 0
28-Agt-2011 140 0
29-Agt-2011 141 0
30-Agt-2011 142 1
31-Agt-2011 143 1
1-Sep-2011 144 0
2-Sep-2011 145 1
3-Sep-2011 146 0
4-Sep-2011 147 1
5-Sep-2011 148 0
(30)
7-Sep-2011 150 0
8-Sep-2011 151 0
9-Sep-2011 152 1
10-Sep-2011 153 0
11-Sep-2011 154 0
12-Sep-2011 155 1
13-Sep-2011 156 1
14-Sep-2011 157 1
15-Sep-2011 158 1
16-Sep-2011 159 1
17-Sep-2011 160 0
18-Sep-2011 161 0
19-Sep-2011 162 0
20-Sep-2011 163 0
21-Sep-2011 164 0
22-Sep-2011 165 1
23-Sep-2011 166 0
24-Sep-2011 167 1
25-Sep-2011 168 0
26-Sep-2011 169 1
27-Sep-2011 170 0
28-Sep-2011 171 0
29-Sep-2011 172 1
30-Sep-2011 173 1
1-Okt-2011 174 0
2-Okt-2011 175 0
3-Okt-2011 176 0
4-Okt-2011 177 0
5-Okt-2011 178 1
6-Okt-2011 179 1
7-Okt-2011 180 1
8-Okt-2011 181 0
9-Okt-2011 182 1
10-Okt-2011 183 0
11-Okt-2011 184 0
12-Okt-2011 185 0
13-Okt-2011 186 0
14-Okt-2011 187 0
15-Okt-2011 188 0
16-Okt-2011 189 0
17-Okt-2011 190 0
18-Okt-2011 191 1
19-Okt-2011 192 1
20-Okt-2011 193 1
21-Okt-2011 194 0
22-Okt-2011 195 1
23-Okt-2011 196 0
24-Okt-2011 197 0
25-Okt-2011 198 1
26-Okt-2011 199 1
27-Okt-2011 200 1
28-Okt-2011 201 0
29-Okt-2011 202 0
30-Okt-2011 203 0
31-Okt-2011 204 1
1-Nov-2011 205 0
2-Nov-2011 206 0
3-Nov-2011 207 0
4-Nov-2011 208 0
5-Nov-2011 209 0
6-Nov-2011 210 0
7-Nov-2011 211 1
8-Nov-2011 212 0
9-Nov-2011 213 1
10-Nov-2011 214 0
11-Nov-2011 215 1
12-Nov-2011 216 0
13-Nov-2011 217 1
14-Nov-2011 218 1
15-Nov-2011 219 0
16-Nov-2011 220 0
17-Nov-2011 221 1
18-Nov-2011 222 0
19-Nov-2011 223 1
20-Nov-2011 224 1
21-Nov-2011 225 1
22-Nov-2011 226 0
23-Nov-2011 227 1
24-Nov-2011 228 1
25-Nov-2011 229 1
26-Nov-2011 230 0
27-Nov-2011 231 1
28-Nov-2011 232 1
29-Nov-2011 233 1
30-Nov-2011 234 0
1-Des-2011 235 0
2-Des-2011 236 1
3-Des-2011 237 1
4-Des-2011 238 0
5-Des-2011 239 1
6-Des-2011 240 1
7-Des-2011 241 0
8-Des-2011 242 1
9-Des-2011 243 1
10-Des-2011 244 1
11-Des-2011 245 0
12-Des-2011 246 0
13-Des-2011 247 1
14-Des-2011 248 1
15-Des-2011 249 1
16-Des-2011 250 1
17-Des-2011 251 1
18-Des-2011 252 1
19-Des-2011 253 1
20-Des-2011 254 1
21-Des-2011 255 1
22-Des-2011 256 1
23-Des-2011 257 1
24-Des-2011 258 0
25-Des-2011 259 0
26-Des-2011 260 0
27-Des-2011 261 0
28-Des-2011 262 1
29-Des-2011 263 1
30-Des-2011 264 1
31-Des-2011 265 1
1-Jan-2012 266 1
2-Jan-2012 267 0
3-Jan-2012 268 1
4-Jan-2012 269 1
5-Jan-2012 270 1
6-Jan-2012 271 0
7-Jan-2012 272 1
8-Jan-2012 273 0
9-Jan-2012 274 1
10-Jan-2012 275 0
11-Jan-2012 276 1
12-Jan-2012 277 0
13-Jan-2012 278 1
14-Jan-2012 279 1
15-Jan-2012 280 1
16-Jan-2012 281 1
17-Jan-2012 282 1
18-Jan-2012 283 0
19-Jan-2012 284 1
20-Jan-2012 285 0
21-Jan-2012 286 1
22-Jan-2012 287 1
23-Jan-2012 288 0
24-Jan-2012 289 1
25-Jan-2012 290 0
26-Jan-2012 291 1
27-Jan-2012 292 0
28-Jan-2012 293 1
29-Jan-2012 294 1
30-Jan-2012 295 0
31-Jan-2012 296 0
1-Feb-2012 297 0
2-Feb-2012 298 1
3-Feb-2012 299 0
4-Feb-2012 300 1
5-Feb-2012 301 0
6-Feb-2012 302 0
7-Feb-2012 303 1
8-Feb-2012 304 0
9-Feb-2012 305 1
10-Feb-2012 306 0
11-Feb-2012 307 0
12-Feb-2012 308 0
13-Feb-2012 309 0
(31)
Lampiran 4 Komputasi Transaksi Pelanggan Menggunakan Software Mathematica 7.0
Input data transaksi
data1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ;
Input SeedRandom Awal
SeedRandom berfungsi untuk mencatat nilai parameter Lambda yang dibangkitkan secara acak
z0 1;
Menetapkan NS2
NS adalah ruang state untuk memodelkan Transaksi Pelanggan menggunakan Model Hidden Markov
ns 2;
Membangkitkan nilai parameter awal
transisix_,y_: Blocka, b, c, a RandomReal0, 1,x, y; b PlusTransposea;cab;
HasilAkhir;
Forns2,ns 7,frek0; PresBar;zSeedRan;
Forzz0, z2000, SeedRandomz;
transMns_:transisins, 2;
transQns_:transisins, ns;
phiQns_:transisi1,ns;
M transMns;
QtransQns;
phi phiQns;
(32)
23
Algoritme Forward
tMTransposeM;
myt_:TransposetMdata1,t;
Alpha untuk t1
alpha1Transposephimy1;
Alpha untuk t1,2,...,T
Alpha
NestListTransposeTranspose1.Qmy21, 21&, alpha1, 1, LengthTransposedata1;
alphaTAlphaLengthTransposedata1, 1;
PeluangObservasi SumalphaTi, i, ns;
Algoritme Viterbi
Delta
NestListTableMax1TransposeQi,i,nsmy21, 21&,
alpha1, 1, LengthTransposedata1;
deltaTDeltaLengthTransposedata, 1;
PeluangStateMaks MaxdeltaT;
BSTTablePositionDeltai, 1, MaxDeltai, 1, i, LengthTransposedata;
BarisanStateTerbaikTableBSTi, 11,
i, LengthTransposedata;
Menduga barisan observasi berdasarkan barisan state yang
memiliki nilai peluang maksimum
BarisanObservasiDuga
TableRandomChoiceMBarisanStateTerbaiki1, 2, 1, i, LengthBarisanStateTerbaik Flatten;
Memilih barisan observasi duga yang memiliki ketepatan lebih besar dari 80
banding Flattendata, BarisanObservasiDuga Transpose;
JmldtL_:Countbanding, L, _;
JmldtdgT_,C_:Countbanding, T,C;
PresTepatdgD_:JmldtdgD,D JmldtD100 N;
PresTepatdg1PresTepatdg1;
PresTepatdg2PresTepatdg2;
PresTepDgBar
SumJmldtdgi,i,i, 2 LengthTransposedata 100 N; IfPresTepatdg180 &&PresTepatdg280,
frekfrek1;PresBarAppendPresBar,PresTepDgBar;
zSeedRan AppendzSeedRan,z;
Printz,PresTepatdg1,PresTepatdg2,PresTepDgBar, 0; z;
(33)
24
Printns; Printfrek; PrintMaxPresBar;
PrintzSeedRanPositionPresBar, MaxPresBar Flatten;
Hasil
ns, frek, MaxPresBar,
zSeedRanPositionPresBar, MaxPresBar Flatten Flatten;
HasilAkhir AppendHasilAkhir, Hasil;
ns
;
PrintHasilAkhir;
Grafik frekuensi nilai parameter yang memiliki peluang di atas 80 terhadap NS
THATransposeHasilAkhir; XTHA1;
YTHA2; Z THA3;
XYTableXi, Yi, i, 6; XZTableXi,Zi,i, 6; ListPlotXY, Frame True, Joined True,
PlotMarkers
"\\\StyleBox\"\",\n FontSize18,\n FontColorRGBColor1,0,0\", GridLines Automatic, AxesTrue, True, PlotRange0, 10, 0, 2000, TicksRange0, 10, 1,Range0, 2000, 400,
GridLinesStyle DirectiveOrange, Dashed, FrameLabel
"NS",
"Frekuensi nilai parameter awal dengan peluang observasi di atas 80", AspectRatio1
Grafik perbandingan persentase ketepatan dugaan barisan observasi terhadap NS
ListPlotXZ, Frame True, Joined True, PlotMarkers
"\\\StyleBox\"\",\n FontSize18,\n FontColorRGBColor1,0,0\", GridLines Automatic, AxesTrue, True, PlotRange0, 10, 0, 100, TicksRange0, 10,Range0, 100,
GridLinesStyle DirectiveOrange, Dashed,
FrameLabel "NS", "Presentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi ", AspectRatio1
(34)
THA TransposeHasilAkhir;
X THA1;
Y THA2;
Z THA3;
R THA4;
Fori 1,i7,nsXi;zRi;
transisix_,y_:Blocka, b,c,aRandomReal0, 1, x,y;
bPlusTransposea;cab; SeedRandomz;
transMns_:transisins, 2;
transQns_:transisins,ns;
phiQns_:transisi1,ns;
MtransMns;
QtransQns;
phi phiQns;
Algoritme ForwardBackward tMTransposeM;
myt_:TransposetMdata1,t;
alpha1Transposephimy1;
Alpha
NestListTransposeTranspose1.Qmy21,21&,
alpha1, 1, LengthTransposedata1;
alphaTAlphaLengthTransposedata1, 1;
beta NestListQ.1my2,21&,
ConstantArray1,ns, LengthTransposedata, LengthTransposedata1;
Algoritme BaumWelch
albetm TableAlphai, 1betaLengthTransposedatai, 1
myi1,i, LengthTransposedata1;
EpsiTableTableFlattenalbetmjQi,i,ns,
j, LengthTransposedata1;
SumEpsiTableSumEpsili,j,i,ns,j, ns,
l, LengthTransposedata1;
EpsilonTableEpsii SumEpsii,i, LengthTransposedata1;
GamaTableTotalEpsiloni,j,i, LengthTransposedata1,
j,ns;
(35)
26
j,ns;
SumEpsilon
TableSumEpsiloni,jl,i, LengthTransposedata1, j,ns, l,ns;
SumGamaTableSumGamai,j,i, LengthTransposedata1,j, ns; QdugaanTableSumEpsiloni,j SumGamai, i,ns,j,ns N;
phidugaanListGama1 N;
dataMdugaDeleteFlattendata, LengthFlattendata;
Mduga
Transpose
TableSumGamaPositiondataMduga, 1i, 2,j, i, LengthPositiondataMduga, 1,j,ns, TableSumGamaPositiondataMduga, 2i, 2,j,
i, LengthPositiondataMduga, 2,j,ns;
MdugaanTableMdugai, j SumGamai,i,ns,j, 2 N; Output Parameter Nilai Duga
Print
Grid"NS",ns,
"Urutan parameter yang memiliki ketepatan dugaan barisan observasi paling maksimum",z,
"Persentase ketepatan dugaan barisan observasi",Zi Grid"Nilai parameter awal",
"phi", "", MatrixFormphi, "Q", "", MatrixFormQ, "M", "", MatrixFormM Grid"Nilai parameter dugaan",
"phi", "", MatrixFormphidugaan, "Q", "", MatrixFormQdugaan, "M", "", MatrixFormMdugaan ;
i;
Menyimpan hasil parameter dugaan di file Excel Export"phi.xls", phidugaan;
Export"Q.xls",Qdugaan; Export"M.xls", Mdugaan;
(36)
Lampiran 5 Grafik Frekuensi Nilai Parameter Awal dengan Peluang Observasi di Atas 80%
Gambar 3 Frekuensi Nilai Parameter Awal dengan Peluang Observasi di Atas 80%
0 2 4 6 8 10
0 500 1000 1500 2000
NS
F
re
k
u
en
si
n
il
ai
p
ar
am
et
er
aw
al
d
en
g
an
p
el
u
an
g
o
b
se
rv
as
i
di
at
as
80
(37)
Lampiran 6 Grafik Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi terhadap
Gambar 4 Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi terhadap
0 2 4 6 8 10
0 20 40 60 80 100
NS
P
re
se
n
ta
se
K
et
ep
at
an
D
u
g
aa
n
B
ar
is
an
O
b
se
rv
as
i
(38)
Lampiran 7 Tabel Frekuensi dan Ketepatan Dugaan
Tabel 2 Persentase Ketepatan Dugaan Barisan Observasi
NS SeedRandom ke-
Persentase ketepatan dugaan barisan
observasi (%)
Perubahan Persentase
(%)
2 206 96.4516 -
3 1438 97.7419 1.2903
4 494 97.7419 0
5 1744 98.0645 0.3226
6 1663 98.0645 0
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
Lampiran 9 Komputasi Transaksi Pelanggan Menggunakan Software LINGO 11.0
Sets:
State/1..3/;
Transaction/1 2/;! 1=melakukan transaksi, 2=tidak melakukan transaksi;
Link1(State,State):Myu, a, rho, q, x, B; Link2(State):beta;
Link3(State,Transaction): m;
EndSets
Data:
@Ole('FungsiNS_3.xlsx','Myu_3','a_3','rho_3','x_3','b_3','beta_3') = Myu, a, rho, x, B, beta;
q, m = @ole('FungsiNS_3.xlsx','q_3','m_3');
EndData
@for(link1(i,j)|j#GT#i: a(i,j) = 0);
@for(link1(i,j)|j#GT#i: rho(i,j) = 0);
@for(link1(i,j)|j#GT#i: x(i,j) = 0);
@for(link1(i,j)|j#GT#i: B(i,j) = 0); !untuk mencari nilai myu 1;
@for(Link2(i): q(i,1) = (@exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) /
1 + @exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))); !untuk mencari nilai myu 2;
@for(Link2(i):
q(i,2) = (@exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) / (1 + @exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))) - (@exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) / (1 + @exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j)))))); !untuk mencari nilai myu terakhir;
@for(Link2(i): q(i,3) = 1 - (@exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) /
1 + @exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))); !untuk mencari nilai beta (transaksi);
@for(Link2(i): m(i,1) = (@exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j))) /
(1 + @exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j)))))); !untuk mencari nilai beta (tidak transaksi);
@for(Link2(i): m(i,1) = 1 - (@exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j))) /
(1 + @exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j)))))); !untuk mencari nilai beta;
beta(1) = b(1,1);
@for(Link2(i)|i#GE#2: beta(i) = B(i,1) + @sum(Link2(j)|j#LE#i #AND# j#GE#2: @exp(B(i,j))));
@for(Link2(j): @for(Link2(i)|j#GT#i: beta(i) < beta(j)));
(44)
Lampiran 10 Input Komputasi LINGO 11.0 Tabel 3 Nilai Peluang Transisi
State 1 2 3
1 0.509966627 0.237523354 0.252510019 2 0.455650477 0.32904664 0.215302883 3 0.190170048 0.57058217 0.239247781 Tabel 4 Nilai Peluang Transaksi
State Transaksi Tidak Transaksi 1 0.502409808 0.497590192 2 0.547915474 0.452084526 3 0.612576139 0.387423861
(45)
Lampiran 11 Output Komputasi LINGO 11.0 untuk Nilai-Nilai Fungsi Peluang Transisi Tabel 5 Nilai
State 1 2 3
1 0.181794375 0.25 0
2 0 0.543571787 0
3 0 1.386389041 0
Tabel 6 Nilai
State 1 2 3
1 10000001.13 0 0
2 7.860553143 0.201392753 0 3 11.78793464 0.19316426 0.181239819 Tabel 7 Nilai
State 1 2 3
1 0.25 0 0
2 0.181794375 0.249125625 0 3 0.192811387 0.181781916 0.248411191
(46)
Lampiran 12 Output Komputasi LINGO 11.0 untuk Nilai-Nilai Fungsi Peluang Transaksi Tabel 8 Nilai
State 1 2 3
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
Tabel 9 Nilai
State 1 2 3
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
Tabel 10 Nilai State
1 0
2 0.192251863 3 0.458153903
(1)
(2)
(3)
Lampiran 9 Komputasi Transaksi Pelanggan Menggunakan Software LINGO 11.0 Sets:
State/1..3/;
Transaction/1 2/;! 1=melakukan transaksi, 2=tidak melakukan transaksi;
Link1(State,State):Myu, a, rho, q, x, B; Link2(State):beta;
Link3(State,Transaction): m; EndSets
Data:
@Ole('FungsiNS_3.xlsx','Myu_3','a_3','rho_3','x_3','b_3','beta_3') = Myu, a, rho, x, B, beta;
q, m = @ole('FungsiNS_3.xlsx','q_3','m_3'); EndData
@for(link1(i,j)|j#GT#i: a(i,j) = 0); @for(link1(i,j)|j#GT#i: rho(i,j) = 0); @for(link1(i,j)|j#GT#i: x(i,j) = 0); @for(link1(i,j)|j#GT#i: B(i,j) = 0); !untuk mencari nilai myu 1;
@for(Link2(i): q(i,1) = (@exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) /
1 + @exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))); !untuk mencari nilai myu 2;
@for(Link2(i):
q(i,2) = (@exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) / (1 + @exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))) - (@exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) / (1 + @exp(Myu(i,1) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j)))))); !untuk mencari nilai myu terakhir;
@for(Link2(i): q(i,3) = 1 - (@exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))) /
1 + @exp(Myu(i,2) - @sum(link2(j): a(i,j) * rho(i,j))))); !untuk mencari nilai beta (transaksi);
@for(Link2(i): m(i,1) = (@exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j))) /
(1 + @exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j)))))); !untuk mencari nilai beta (tidak transaksi);
@for(Link2(i): m(i,1) = 1 - (@exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j))) /
(1 + @exp(beta(i) + @sum(link2(j)|j#LE#i: x(i,j) * B(i,j)))))); !untuk mencari nilai beta;
beta(1) = b(1,1);
@for(Link2(i)|i#GE#2: beta(i) = B(i,1) + @sum(Link2(j)|j#LE#i #AND# j#GE#2: @exp(B(i,j))));
@for(Link2(j): @for(Link2(i)|j#GT#i: beta(i) < beta(j))); End
(4)
Lampiran 10 Input Komputasi LINGO 11.0 Tabel 3 Nilai Peluang Transisi
State 1 2 3
1 0.509966627 0.237523354 0.252510019 2 0.455650477 0.32904664 0.215302883 3 0.190170048 0.57058217 0.239247781 Tabel 4 Nilai Peluang Transaksi
State Transaksi Tidak Transaksi
1 0.502409808 0.497590192 2 0.547915474 0.452084526 3 0.612576139 0.387423861
(5)
Lampiran 11 Output Komputasi LINGO 11.0 untuk Nilai-Nilai Fungsi Peluang Transisi Tabel 5 Nilai
State 1 2 3
1 0.181794375 0.25 0
2 0 0.543571787 0
3 0 1.386389041 0
Tabel 6 Nilai
State 1 2 3
1 10000001.13 0 0 2 7.860553143 0.201392753 0 3 11.78793464 0.19316426 0.181239819 Tabel 7 Nilai
State 1 2 3
1 0.25 0 0
2 0.181794375 0.249125625 0 3 0.192811387 0.181781916 0.248411191
(6)
Lampiran 12 Output Komputasi LINGO 11.0 untuk Nilai-Nilai Fungsi Peluang Transaksi Tabel 8 Nilai
State 1 2 3
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
Tabel 9 Nilai
State 1 2 3
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
Tabel 10 Nilai State
1 0
2 0.192251863 3 0.458153903