Optimisasi portofolio point and figure menggunakan hidden markov

(1)

OPTIMISASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE

MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Oleh:

ANDRI SURYANA

G54102017

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

OPTIMISASI PORTOFOLIO POINT AND FIGURE

MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

ANDRI SURYANA

G54102017

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

RINGKASAN

ANDRI SURYANA. Optimisasi Portofolio Point and Figure Menggunakan Hidden Markov. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan EFFENDI SYAHRIL.

Dalam membuat keputusan investasi, investor tidak mengetahui secara pasti tingkat return (imbal hasil) dari saham. Ketidakpastian tingkat return yang diperoleh investor berkaitan dengan adanya resiko (naik-turunnya harga saham) dalam setiap aktivitas investasi. Resiko investasi dapat diprediksi melalui kinerja perusahaan yang tercermin dalam harga sahamnya.

Untuk memperoleh keuntungan, investor yang akan membeli saham dari suatu perusahaan harus melakukan analisis terhadap nilai sahamnya. Salah satu analisis yang digunakan adalah analisis teknikal. Analisis teknikal merupakan metode analisis yang berdasarkan diagram/grafik dari harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa depan yang logis. Dasar dari analisis teknikal adalah diagram/grafik dari gerakan harga saham. Tipe diagram yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah diagram PF (Point and Figure Chart). Diagram PF adalah salah satu tipe diagram dari analisis teknikal yang hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan.

Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Tujuannya adalah untuk meminimumkan resiko. Portofolio ini terdiri atas aset bebas resiko dan aset beresiko (saham). Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF.

Optimisasi portofolio PF merupakan masalah pemilihan portofolio diskret. Hal ini dikarenakan oleh saham (aset beresiko) diperdagangkan dalam waktu acak diskret. Akibatnya, diperlukan model waktu diskret. Model tersebut mempelajari hubungan antara masalah portofolio waktu diskret dengan konsep martingale dalam optimisasi portofolio. Model tersebut menjelaskan eksistensi dari portofolio PF yang optimal.

Dalam perdagangan saham di pasar dunia, harga saham saat ini (harga didiskon) dipengaruhi oleh tingkat volatilitas (naik-turunnya harga). Tingkat volatilitas ini dihitung dengan Model Hidden Markov (HMM). HMM menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai harapan (EM-Algorithm) dan metode peluang acuan (Reference Probability Method). EM-Algorithm untuk menduga parameter-parameter dalam HMM berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang acuan yang dikombinasikan dengan konsep martingale dalam model waktu diskret untuk memperoleh portofolio PF yang optimal.

Portofolio PF yang optimal dari fungsi utilitas logaritmik diperoleh secara eksplisit dengan menggunakan model waktu diskret dan model Hidden Markov.

(4)

Judul

: Optimisasi Portofolio

Point and Figure

Menggunakan

Hidden

Markov

Nama

: Andri Suryana

NRP

: G54102017

Menyetujui :

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Tanggal Lulus : ………..

Pembimbing I,

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 131 835 248

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS

NIP. 131 473 999

Pembimbing II,

Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. Sc.

NIP. 131 804 163

(5)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sukabumi pada tanggal 16 Juni 1983 sebagai anak kelima dari lima bersaudara dari pasangan Bapak Atang dan Ibu Neneng.

Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SDN Dwi Tunggal pada tahun 1996, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama di SLTPN 1 Warungkiara pada tahun 1999, Sekolah Menengah Umum di SMUN 1 Cibadak pada tahun 2002, dan masuk Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) pada tahun yang sama.

Selain mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Pengantar Matematika pada tahun ajaran 2005/2006, Kalkulus 1 pada tahun ajaran 2003/2004 dan 2004/2005, serta Kalkulus 2 pada tahun ajaran 2003/2004. Penulis sempat menjadi tenaga pengajar di Aljabar Power Institut, Exacta Privat dan Math Art Privat. Penulis juga aktif dalam kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2002/2003 sebagai anggota Departemen Kajian Ilmiah dan pada periode 2003/2004 sebagai ketua Departemen Kajian Ilmiah.

(6)

PRAKATA

Bismillaahirrahmaanirrahiim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. yang selalu memberikan rahmat dan karunia sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pengikutnya sampai akhir zaman.

Dengan segala ketulusan hati, penulis ingin berterima kasih kepada orang-orang yang secara langsung ataupun tidak langsung telah berkontribusi besar dalam membantu, mendukung dan memberi semangat dalam menyelesaikan karya ilmiah ini :

1. Ibu Berlian Setiawaty selaku pembimbing 1 yang telah memberikan saran, masukan serta bantuan dalam penulisan karya ilmiah ini.

2. Bapak Effendi Syahril selaku pembimbing 2 yang telah banyak membantu dalam penulisan karya ilmiah ini.

3. Ibu Endar Hasafah Nugrahani atas bimbingan dan kesediaannya sebagai penguji.

4. Bapak dan Ibu tercinta yang tiada hentinya memberikan nasihat, do’a, dukungan serta semangat. Terima kasih atas segenap kasih sayang yang tak terbalaskan.

5. Kakak-kakak tersayang yang senantiasa memberi nasihat dan support . 6. Keponakan-keponakan tersayang yang telah memberikan keceriaan.

7. Warga kamar C1-024 Asrama Putra TPB ’39 (Panji, Azmi, Dzulfikar), kosan Bafak 7 (Kharisma, Mukmin, Ilham, Suyadi, Dase dan lain-lain), Kosan KC-Math (Yana, Riswan, Agus, Ekam, Aden, Ungkap), kosan Aljabar (Lukman, Rodih, DC, Febri, Jayu, Yusuf) dan Wisma Gizi Abadi yang telah memberikan motivasi dan keceriaan.

8. Agus, Merdina dan Aden yang telah bersedia menjadi pembahas, serta Mar’atun dan Arif yang telah menyediakan konsumsi dalam seminar.

9. Alumni SMUN 1 Cibadak angkatan 39 di IPB : Febi (MATH), Mar’atun (THP), Arif (TMA), Desy (BIO), Lucky (TEP), Eka (STK), Neli (THH) dan Adel (INMT). Kalian adalah teman seperjuanganku. Terimakasih atas kebersamaannya.

10. Resti (atas dukungan dan kebersamaannya), Riswan (atas kritik dan sarannya), Yana (atas support-nya), Lusy MNJ ’39 (atas referensinya) dan Rahma FIS ’39 (atas persahabatannya). 11. Dosen-dosen Departemen Matematika atas segala ilmu yang telah diberikan tanpa lelah. 12. Staf-staf Departemen Matematika : Ibu Susi (atas segala nasihat dan ceritanya), Ibu Ade, Mas

Deni, Mas Yono, Mas Bono, Ibu Marisi, Pak Juanda dan Mbak Yanti yang senantiasa direpotkan.

13. Teman-teman Math ’39 yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Terima kasih atas segala kebersamaan serta momen-momen terindah selama empat tahun terakhir.

14. Teman-teman Math ’37, Math ’38, Math ’40, Math ’41 serta angkatan 42 yang membuat kisah hidup lebih lengkap.

15. Serta semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi ini. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat. Amin.

Bogor, Juni 2006 Andri Suryana

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

RINGKASAN ... ii

RIWAYAT HIDUP ... iv

PRAKATA ... v

DAFTAR ISI... vi

DAFTAR GAMBAR ... vii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penulisan ... 2

1.3. Metode dan Sistematika Penulisan ... 2

LANDASAN TEORI ... 2

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang... 2

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran... 3

2.3 Penduga dan Kekonvergenan... 4

2.4 Proses Stokastik... 4

2.5 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, Konveks dan Concave... 6

2.6 Vektor... 7

2.7 EM-Algorithm... 7

KONSTRUKSI DIAGRAM PF ... 8

PORTOFOLIO PF ... 11

MODEL WAKTU DISKRET ... 14

MODEL HIDDEN MARKOV... 15

OPTIMISASI PORTOFOLIO PF... 17

SIMPULAN DAN SARAN ... 18

8.1 Simpulan ... 18

8.2 Saran ... 18

DAFTAR PUSTAKA ... 19

(8)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1 : Perbandingan Diagram Harga Saham UNVR dengan Diagram PF-nya ... 10 Gambar 2 : Pohon Biner dari Sk1: 0 k n dengan 2 Step ... 23

(9)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran A : Perhitungan dalam Masalah 1 ... 21

Lampiran B : Penurunan Persamaan 7 ... 22

Lampiran C : Penjelasan Mengenai Sebaran dari y1,...,yn terhadap P ... 23

(10)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Saham adalah surat berharga sebagai bukti kepemilikan individu maupun institusi atas suatu perusahaan. [Salim, 2003]

Dalam membuat keputusan investasi, investor tidak mengetahui tingkat return (imbal hasil) dari saham secara pasti. Ketidakpastian tingkat return yang diperoleh investor berkaitan dengan adanya resiko dalam setiap aktivitas investasi. Resiko adalah kemungkinan kerugian yang akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan terjadi. Resiko investasi harus diperhitungkan secara tepat ketika memilih saham untuk menghindari kerugian.

Dalam melakukan investasi, kekayaan dialokasikan dengan membentuk portofolio. Portofolio ini terdiri atas aset bebas resiko dan aset beresiko (saham). Portofolio

tersebut dimaksudkan untuk

meminimumkan resiko kerugian.

Dalam kondisi normal, resiko investasi dapat diprediksi melalui kinerja perusahaan yang tercermin dalam harga sahamnya. Jika aktivitas perusahaan menunjukkan pertumbuhan yang prospektif maka harga sahamnya akan mengalami kenaikan. Saham-saham dari perusahaan dengan pertumbuhan seperti itu dapat memberikan capital gain. Capital gain adalah keuntungan yang diperoleh pemegang saham selain dividen jika harga jual sahamnya melebihi harga belinya. Dividen itu sendiri adalah bagian dari laba perusahaan yang dibagikan kepada pemegang saham. Setiap waktu, harga saham berfluktuasi naik-turun. Fluktuasi harga saham inilah yang merupakan resiko investasi saham karena menjadikan ketidakpastian tingkat return. Resiko investasi saham berupa standar deviasi dari nilai keuntungan real.

Untuk memperoleh keuntungan, seorang investor yang akan membeli saham dari suatu perusahaan harus melakukan analisis terhadap nilai sahamnya. Analisis seperti ini terbagi atas 2 bagian, yaitu : 1) Analisis teknikal, yaitu metode analisis

yang berdasarkan diagram/grafik dari harga saham. Metode ini dilakukan dengan cara membandingkan gerakan harga saham saat ini dengan gerakan harga saham di masa lalu untuk memprediksi harga saham di masa

depan yang logis. Dasar dari analisis teknikal adalah diagram/grafik dari gerakan harga saham.

2) Analisis fundamental, yaitu metode analisis yang berdasarkan fundamental ekonomi suatu perusahaan. Metode ini menitik-beratkan pada rasio finansial dan kejadian-kejadian yang secara langsung maupun tidak langsung mempengaruhi kinerja keuangan perusahaan.

Kedua analisis tersebut bertujuan untuk memprediksi aliran pendapatan di masa depan baik dividen maupun capital gain. Aliran pendapatan diperoleh dengan mengoptimalkan portofolio, yaitu mencari strategi perdagangan yang memaksimumkan return.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas mengenai analisis teknikal. Adapun tipe diagram yang digunakan adalah diagram PF (Point and Figure Chart).

Permasalahan di atas merupakan permasalahan dari suatu proses stokastik, yaitu permasalahan yang terkait dengan peluang suatu kejadian, dimana kejadian pada waktu yang akan datang tidak dapat diprediksi dengan pasti. Setiap kejadian tentu ada penyebabnya, hanya saja terkadang penyebabnya tidak diamati secara langsung. Penyebab kejadian dapat membentuk berbagai model matematika, salah satunya adalah Model Rantai Markov. Pasangan kejadian dan penyebabnya disebut sebagai Model Hidden Markov. Model tersebut dibangun oleh parameter-parameter yang akan digunakan untuk memprediksi kejadian di masa yang akan datang. Parameter tersebut dapat diduga berdasarkan data historis dengan menggunakan EM-Algorithm (algoritma yang memaksimumkan nilai harapan), yaitu salah satu metode pendugaan parameter yang akan memaksimumkan prediksi terhadap kejadian

di masa yang akan datang. Dalam tulisan ini, dikaji metode adaptif

dari optimisasi portofolio. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan gerakan-gerakan penting dari harga saham dengan menggunakan Model Hidden Markov (HMM) dan menentukan portofolio optimal dengan menggunakan algoritma rekursif. Optimisasi portofolio ini bersifat adaptif, artinya EM-Algorithm sesuai dengan model berdasarkan data historis yang meningkatkan kinerja portofolio.

(11)

1.2 Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah

1. Mempelajari diagram PF. 2. Mempelajari portofolio PF.

3. Menentukan portofolio PF optimal dengan model waktu diskret dan model Hidden Markov (HMM).

1.3 Metode dan Sistematika Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur dan materi karya ilmiah ini diambil dari jurnal yang berjudul

”Portfolio optimization, hidden Markov models, and technical analysis of P&F-Charts” oleh Robert Elliot dan Juri Hinz

pada tahun 2004.

Karya ilmiah ini terdiri atas 8 bagian. Bagian ke-1 menjelaskan latar belakang masalah optimisasi portofolio, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian ke-2 menyajikan landasan teori yang membahas ruang contoh, kejadian dan peluang; peubah acak dan fungsi sebaran; penduga dan kekonvergenan; proses stokastik; barisan bilangan real, kekontinuan, konveks dan concave ; vektor; dan EM-Algorithm. Bagian ke-3 membahas konstruksi diagram PF dan bagian ke-4 membahas portofolio PF. Selanjutnya, bagian ke-5 membahas model waktu diskret dan bagian ke-6 membahas model Hidden Markov (HMM). Selain itu, bagian ke-7 membahas optimisasi portofolio PF serta bagian ke-8 menyajikan simpulan dan saran dari pembahasan sebelumnya.

II. LANDASAN TEORI

Berikut ini adalah aspek teoritis yang menjadi landasan teori bagi penulisan karya ilmiah ini.

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini yang dapat diulang dalam kondisi yang sama disebut percobaan acak.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.2 (Medan - )

Medan - adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut :

1. .

2. Jika A A1, 2,... maka 1

i i

A .

3. Jika A maka AC .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.3 (Medan Borel)

Medan borel adalah medan - terkecil yang mengandung semua selang berbentuk

, , r r

,

dinotasikan .

Contoh :

Jika a b , maka

• a b, ,b ,a

.

• a b, a b, b

.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 1.4 (Ukuran Peluang)

Misalkan adalah medan - dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah suatu fungsi P: 0,1 pada , yang memenuhi :

1. P( ) 0 , P( ) 1.

2. Jika A A₁, ₂,... adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai Aj

untuk setiap pasangan i j, maka

1 1

i i

P A P A . Pasangan , ,P disebut ruang peluang.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.5 (Kejadian Saling Bebas)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang dan A B, . Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

(12)

P A B P A P B

Misalkan I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian A ii, I dikatakan

saling bebas jika

i i

i J i J

P A P A

untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.6 (Keekivalenan Ukuran Peluang)

Ukuran peluang P dan Q pada ruang contoh disebut ekivalen jika untuk kejadian A berlaku :

( ) 0 jika dan hanya jika ( ) 0

Q A P A .

[Loeve,1962]

Definisi 1.7 (Peluang Bersyarat)

Misalkan A₁ sehingga P A₁ 0. Misalkan pula A₂ adalah sebarang himpunan dalam . Peluang bersyarat dari

A jika diketahui A₁, dinotasikan dengan

2 1

P A A ialah

1 2

2 1

P A A

P A A

P A

[Hogg dan Craig, 1995]

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 2.1 (Peubah Acak)

Misalkan adalah medan - dari ruang contoh . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X: dengan sifat

:X( ) x untuk setiap . [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Catatan :

Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X,Y,Z , sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z.

Definisi 2.2 (Fungsi Sebaran)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah

suatu fungsi F: 0,1 yang

didefinisikan oleh

F x P X x .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.3 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari

.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Catatan :

Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskretXadalah fungsi p: 0,1 yang diberikan oleh

( ) ( )

p x P X x

.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 2.5 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang, maka nilai harapan dari X adalah

( ) X x

E X xp x

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995]

Lema 2.6 (Sifat Nilai Harapan)

Beberapa sifat nilai harapan, antara lain : 1) Jika k adalah suatu konstanta, maka

E k k

2) Jika k adalah suatu konstanta dan V

adalah peubah acak, maka

E kV kE V

3) Jika k k1, 2 adalah konstanta dan V V1, 2

adalah peubah acak, maka

1 1 2 2 1 1 2 2 .

E k V k V k E V k E V

[Bukti lihat Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.7 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi

: 0,1

F yang didefinisikan oleh

, ,

F x y P X x Y y .

(13)

2.3 Penduga dan Kekonvergenan Definisi 3.1 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada parameter (yang tidak diketahui).

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 3.2 (Penduga/estimator dan Dugaan/estimate)

Misalkan X X1, 2,...,Xn adalah peubah acak.

Suatu statistik

1, 2,..., n

U U X X X U X yang

digunakan untuk menduga fungsi parameter

g , dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi g . Nilai amatan

1, 2,..., n

U X X X dari U dengan nilai

amatan X1 x1,...,Xn xn disebut sebagai

dugaan (estimate) bagi g .

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 3.3 (Konvergen Hampir Pasti)

Misalkan X X1, 2,... adalah peubah acak

dalam ruang peluang , ,P . Suatu barisan peubah acak X X1, 2,... dikatakan

konvergen hampir pasti ke peubah acak X, ditulis

. a s n

X X untuk n , jika 0

berlaku :

lim n 1.

P X X

Dengan kata lain, konvergen hampir pasti adalah konvergen dengan peluang 1.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

2.4 Proses Stokastik Definisi 4.1 (Ruang State)

Misalkan S merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang state .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.2 (Proses Stokastik)

Proses Stokastik Xt:t T yang

terdefinisi pada ruang peluang , ,P

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke ruang state S.

[Ross, 1996]

Definisi 4.3 (Proses Stokastik dengan Waktu Diskret dan Kontinu)

Suatu proses stokastik Xt:t T disebut

proses stokastik dengan waktu diskret jika gugus indeks T adalah gugus tercacah (countable set), sedangkan Xt:t T

disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

[Ross, 1996]

Catatan :

Contoh gugus indeks T pada proses stokastik dengan waktu diskret adalah

0,1, 2,...

T , sedangkan contoh gugus

indeks T pada proses stokastik dengan waktu kontinu adalah T [0, ), atau gugus bilangan nyata.

Definisi 4.4 (Filtrasi)

Misalkan 0, 1,... adalah barisan

submedan- dari , disebut filtrasi jika k k 1 untuk semua k [0, ) .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.5 (Measurable/ Terukur)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang. Jika fungsi X: memiliki sifat

:X( ) x untuk setiap makaX dikatakan terukur-

.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.6 (Adapted)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang. Barisan peubah acak X {Xt:t!0}

dikatakan adapted ke filtrasi jika Xt

merupakan terukur- untuk semua t. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.7 (Martingale)

Proses Stokastik Xt:t!0 disebut

proses Martingale jika

| t | < E X

untuk semua t dan

1 0 1

[ t | , ,..., t] t

E X X X X X

.

[Ross, 1996]

Teorema 4.8 (Representasi Martingale)

Misalkan Xt:t!0 adalah proses

martingale. Xt:t!0 dapat

(14)

1 0 1 0

1 ,

t j j

X X m y

dengan mj adalah adapted- dan yj 1

adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada { , }d u dengan 0 d 1 u

,

0 P y( k d) 1 !k 1

.

[Bukti lihat Williams, 1991]

Definisi 4.9 (Waktu Acak)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang.

: { }

T . T disebut waktu acak

dari proses {Xt:t!0} jika kejadian {T t} ditentukan oleh peubah acak

1,..., t

X X . Artinya, dengan mengetahui

1,..., t

X X apakah T t atau tidak. Jika

{ } 1

P T , maka waktu acak T disebut sebagai stopping time.

[Ross, 1996]

Definisi 4.10 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang dan S adalah ruang state. Proses stokastik

: 0

X t! dengan ruang state S disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika

t berlaku :

1 1 1 0 0

( , ,..., )

( )

t t t t t

t t

P X j X i X i X i P X j X i

untuk semua kemungkinan nilai dari

0, ,...,1 t 1, ;t

i i i i j S.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.11 (Matriks Transisi)

Misalkan Xt:t!0 adalah rantai Markov dan S adalah ruang state yang berukuran

N Matriks transisi X Xi j

berukuran N"N adalah matriks dari peluang transisi

i t t

X j P X j X i untuk , i j 1, 2,...,N.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.12 (Rantai Markov yang Homogen)

Rantai Markov Xt:t!0 disebut homogen jika

1 1 0

t t i

P X j X i P X j X i X j

untuk semua t!0 dan ,i j S.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 4.13 (Gerak Brown)

Suatu proses stokastik Xt:t T disebut proses gerak Brown dimensi 1 jika untuk

0 0

t berlaku : (i) X0 0 ,

(ii) untuk 0 t1 t2 ... tn

,

peubah acak 1

i i

t t

X X , i 1, 2,...n adalah saling bebas

,

(iii) untuk 0 s t, berlaku :

~ (0, )

t s

X X N t s .

[Karatzas dan Shreve, 1987]

Definisi 4.14 (Kontinu Absolut)

Jika v dan adalah ukuran peluang pada , . Ukuran peluang v dikatakan kontinu absolut ke ukuran peluang jika A 0 maka vA 0, untuk setiap A . Dinotasikan v .

[Royden, 1963]

Teorema 4.15 (Radon-Nikodym)

Jika P dan P merupakan dua ukuran peluang pada , sehingga untuk setiap B , P B 0 menyebabkan P B 0, akibatnya ada peubah acak tak-negatif#, sehingga

P C

$

# dP untuk semua C .

Notasikan : dP .

dP #

[Bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]

Catatan :

• Untuk dP

dP , disebut Kerapatan

Radon-Nikodym dari dP terhadap

dP.

• Untuk dP 1

dP ,

disebut Kerapatan Radon-Nikodym dari dP terhadap dP.

Definisi 4.16 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang dan adalah submedan- dari . Jika X adalah peubah acak tak negatif dan

(15)

terintegralkan, maka E X%_' &₍ didefinisikan sebagai peubah acak yang terukur- dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian berpeluang nol, serta memenuhi :

, .

A A

XdP E X%_' &₍dP A

$

[Elliott dkk, 1995]

Teorema 4.17 (Teorema Bersyarat Bayes)

Misalkan , ,P adalah ruang peluang dan adalah submedan dari . Misalkan P adalah ukuran peluang lain yang kontinu absolut terhadap P serta berlaku aturan turunan Radon-Nikodym :

dP dP #.

Jika ) adalah sebarang peubah acak yang bisa diintegralkan dari terukur- , maka

E E

%_)# &

' (

%) &

' ( _%_# _&

' (

[Bukti lihat Elliott dkk, 1995]

2.5 Barisan Bilangan Real, Kekontinuan, Konveks dan Concave

Definisi 5.1 (Barisan)

Suatu barisan S S_{i i} ₁ dari bilangan real adalah suatu fungsi dari (himpunan bilangan bulat positif) ke himpunan bilangan real).

[Goldberg, 1976]

Definisi 5.2 (Batas Atas dan Batas Bawah)

Misalkan S

.

(i) Suatu u disebut batas atas dari S jika s u s S

.

(ii) Suatu w disebut batas bawah dari S jika w s s S

.

Himpunan S terbatas di atas jika memiliki batas atas, dan terbatas di bawah jika memiliki batas bawah. Jika himpunan S memiliki batas atas dan batas bawah, maka himpunan tersebut disebut terbatas.

[Bartle dan Sherbert, 1982]

Definisi 5.3 (Supremum dan Infimum)

(i) Suatu bilangan u disebut supremum (batas atas terkecil) dari S

,

jika memenuhi dua kondisi berikut :

1. s u s S,

2. jika s v s S, maka u v. (ii) Suatu bilangan w disebut infimum

(batas bawah terbesar ) dari S , jika memenuhi dua kondisi berikut :

1. w s s S,

2. jika v s s S, maka v w. [Bartle dan Sherbert, 1982]

Definisi 5.4 (Kontinu Kanan)

Suatu fungsi f disebut kontinu kanan pada bilangan c jika dan hanya jika

lim ( ) ( )

x c

f x f c .

[Purcell dan Varberg, 1999]

Definisi 5.5 (Himpunan Konveks)

Suatu himpunan S di n disebut himpunan konveks jika untuk setiap x dan y di S, segmen garis yang menghubungkan x dan

y juga terletak di S.

[Peressini dkk, 1988]

Definisi 5.6 (Concave)

Suatu fungsi f x( ) f x x( ,1 2,...,xn)

didefinisikan pada himpunan konveks S

disebut concave di S jika

0 0

((1 ) ) (1 ) ( ) ( )

f x x ! f x f x

x x S dan (0,1) .

Jika (0,1) dan x x0 sehingga

0 0

((1 ) ) (1 ) ( ) ( )

f x x f x f x

maka f adalah strictly concave .

[Sydsaeter dan Hammond, 1995]

Definisi 5.7 (Fungsi Naik dan Fungsi Turun)

(i) Jika f x( )1 f x( 2) ketika x1 x2,

maka f disebut fungsi naik.

(ii) Jika f x( )1 f x( 2) ketika x1 x2,

maka f disebut fungsi turun.

[Sydsaeter dan Hammond, 1995]

Definisi 5.8 (Fungsi Indikator)

Fungsi indikator dari himpunan A, dinotasikan dengan IA x

,

didefinisikan

sebagai fungsi :

1; 0; .

x A I x

x A

*++

-+.

(16)

Definisi 5.9 (Ruang Lp)

Misalkan , , adalah ruang peluang. , ,

p p

L L untuk p 1, adalah

kelas dari fungsi real f yang terukur dimana f p adalah terintegralkan. Notasikan untuk f dalam _Lp

p p

f %_/ f d &₀

$

(

[Billingsley,1995]

Definisi 5.10 (Ruang Metrik Diskret)

Misalkan d: " 0, . Definisikan ( , ) 0,

x y

d x y

x y

*++ ,+

yang memenuhi :

1. ( , ) 0, 2. ( , ) 0, , 3. ( , ) ( , ),

4. ( , ) ( , ) ( , ), d x x

d x y x y

d x y d y x

d x y d x z d z y

, ,x y z .

disebut jarak (metrik) diskret untuk . d

,d disebut ruang metrik diskret, dinotasikan d.

[Goldberg, 1976]

Definisi 5.11 (M d )

M adalah keluarga dari fungsi terukur bernilai real di d. M1 d M d adalah subkeluarga fungsi dari M d

dengan supremum norm : sup

d x

g g x

1 d

g M

.

[Rolski dkk, 2000]

2.6 Vektor

Definisi 6.1 (Ruang Vektor)

V disebut sebuah ruang vektor, jika untuk setiap vektor u v w, , V dan sebarang skalar k dan l dipenuhi aksioma berikut :

1. Jika u v, V, maka u v V.

2. u v v u.

3. u (v w) (u v) w.

4. Ada 0 V sehingga 0 u u 0 u, u V .

5. Untuk u V, ada u V yang dinamakan negatif u sehingga

( ) ( ) 0

u u u u .

6. Jika k adalah sebarang skalar dan u V , maka ku V .

7. k u( v) ku kv . 8. (k l u) ku lu. 9. k lu( ) ( )kl u . 10. 1u u.

[H. Anton, 1997]

Definisi 6.2 (Perkalian Dalam)

Jika u u u1, 2, un dan

1, 2, , n

v v v v adalah sebarang vektor pada n, maka hasil kali dalam euclid

u v1 didefinisikan dengan

1 1 2 2 n n

u v1 u v u v u v . [H. Anton,1997]

Definisi 6.3 (Ruang Hasil Kali Dalam)

Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real u,v dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua u v w, , V dan skalar k :

1. u v, v u, .

2. u v w, u w, v w, . 3. ku v, k u v, .

4. v v, !0; dan v v, 0 jika dan hanya jika v 0.

Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalam real .

[H. Anton,1997]

2.7 (EM-Algorithm/Algoritma yang

Memaksimumkan Nilai Harapan)

Misalkan v:

P v V adalah keluarga dari ukuran peluang pada ruang terukur ( , ) yang kontinu absolut terhadap ukuran peluang _P0

. Misalkan pula . Fungsi likelihood untuk menghitung pendugaan dari parameter v berdasarkan informasi yang ada pada adalah

(17)

0 0 v

dP L v E

% &

/ 0

' (

dan penduga maksimum likelihood (MLE) didefinisikan sebagai :

arg max .

v V

v L v

Secara umum, penghitungan secara langsung dengan menggunakan MLE cukup sulit. Untuk mengatasinya, digunakan EM-Algorithm. EM-Algorithm adalah metode aproksimasi iteratif yang digunakan untuk menghitung secara langsung pendugaan dari parameter v. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

1) Menetapkan k 0 dan memilih v0.

2) (Langkah E) Menetapkan * _ˆ k

v v dan menghitung Q v v, * , dimana

* *

, log .

v v

dP Q v v E

% &

/ 0

' (

3) (Langkah M) Mencari

arg max , .

v V

v Q v v

4) Mengganti k dengan k+1 dan mengulangi proses tersebut dari langkah 2 sampai kriteria penghentian dipenuhi. EM-Algorithm menghasilkan barisan

: 0

v j! dari parameter yang membuat nilai dari fungsi likelihood adalah tak turun.

[Elliott dkk, 1995]

III. KONSTRUKSI DIAGRAM PF

Dalam konteks Black-Scholes, terdapat 2 jenis aset dalam pasar modal yaitu aset bebas resiko 0

( ) : 0

S t t! dan aset

beresiko S t1( ) :t!0 .

Masalah dari optimisasi portofolio (tanpa konsumsi) ialah untuk mencari strategi perdagangan yang memaksimumkan return. Secara nyata dalam pasar dunia, saham (aset beresiko) diperdagangkan dalam waktu acak diskret. Dalam hal ini, diperlukan metode sampling waktu. Diskretisasi yang tepat hanya meliputi waktu penting, yaitu waktu yang dapat menghasilkan portofolio tidak setimbang akibat perubahan harga saham.

Dalam kenyataannya, sampling dari harga saham digunakan oleh analis teknikal dalam Point and Figure Chart (diagram PF). Diagram PF hanya menampilkan perubahan harga yang signifikan. Diagram tersebut menampilkan penawaran dan permintaan yang mendasari suatu harga. Adapun aspek terpenting dari diagram tersebut adalah pola-pola yang ditampilkan oleh kolom x dan o.

Kolom x menggambarkan permintaan melebihi panawaran sehingga harga menjadi naik, sedangkan kolom o menggambarkan penawaran melebihi permintaan sehingga harga menjadi turun.

Setiap kolom dapat berisi x atau o, tetapi tidak pernah berisi keduanya. Perubahan kolom menandakan perubahan arah pergerakan harga. Ketika kolom x

tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak naik dan ketika kolom o

tampil, ini menunjukkan bahwa harga sedang bergerak turun.

Secara umum, diagram PF dari harga saham dapat dikonstruksi sebagai berikut. 1. Menentukan 2 0.

2. Memulai pengamatan pada waktu 0.

3. Menuliskan salah satu simbol x atau o

pada waktu 1 ketika harga saham

melewati interval

1 1

0 0

( ) , ( )

S S

% ₂ ₂&

/ 0

' (

.

Jika harga

saham berada pada S1( 0) 2, maka

pada diagram tersebut dituliskan simbol x dan jika harga saham berada pada S1( 0) 2, maka pada diagram

tersebut dituliskan simbol o.

4. Mengulangi dengan prosedur yang sama terhadap interval berikutnya

1 1

( ) , ( )

S S

% ₂ ₂&

/ 0

' (.

Cara kerjanya berlangsung secara rekursif sehingga diperoleh waktu { k:k }. Setiap waktu { k:k }

memiliki salah satu simbol x atau o. Simbol tersebut diatur dalam kolom suatu diagram PF.

Sebagai ilustrasi, diberikan data historis dari harga saham UNVR (Unilever Indonesia Tbk) sebagai berikut.

(18)

Data Harga Saham UNVR

k tk Sk

0 29/7/2005 4300

1 1/8/2005 4500

2 2/8/2005 4600

3 3/8/2005 4675

4 4/8/2005 4550

5 5/8/2005 4400

6 8/8/2005 4300

7 9/8/2005 4325

8 10/8/2005 4375

9 11/8/2005 4400

10 12/8/2005 4500

11 15/8/2005 4325

12 16/8/2005 4250

13 17/8/2005 4250

14 18/8/2005 4250

15 19/8/2005 4450

16 22/8/2005 4425

17 23/8/2005 4500

18 24/8/2005 4450

19 25/8/2005 4525

20 26/8/2005 4400

Sumber data : Kompas (29 Juli – 26 Agustus 2005)

Adapun diagram PF-nya dapat dikonstruksi sebagai berikut.

1. Misalkan 2 100.

2. Pengamatan awal 0 diambil dari t0

dari data harga saham UNVR dengan

0 0 4300.

S S

3. Untuk interval :

1 1

0 0

( ) , ( ) 4200, 4400 .

S S

% ₂ ₂&

/ 0

' (

Berdasarkan diagram (a) pada gambar 1, harga saham bergerak naik dari pengamatan awal dan melewati interval 4200, 4400 . Harga saham tersebut berada pada waktu 1 ketika harganya

berada pada level 4400 dan pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol

4. Untuk interval berikutnya :

1 1

( ) , ( ) 4300, 4500 .

S S

% ₂ ₂&

/ 0

' (

Berdasarkan diagram (a) pada gambar 1, harga saham masih bergerak naik dari waktu 1 dan melewati interval

4300, 4500 . Harga saham tersebut berada pada waktu 2 ketika harganya

berada pada level 4500 dan masih pada kolom pertama diagram PF dituliskan simbol x. Hal ini dikarenakan oleh kenaikan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol x pada kolom diagram PF dan penurunan harga saham ekivalen dengan tingginya simbol o pada kolom diagram PF.

5. Mengulangi proses tersebut untuk interval berikutnya :

1 1

( k) , ( k)

S S

% ₂ ₂&

/ 0

' (

dengan k 2,...,12.

Akhirnya, diperoleh waktu

{ k:k 1, 2,...,13} yang merupakan stopping time dari harga saham dengan

1 1 1

2 1

3 1

4400 4500 4600 4500 S

1 5 1

4400 4300 S

1 7 1

4400 4500 S

1 9 1

10 1

11 1

12 1

4400 4300 4400 4500 4400. S

Diagram harga saham UNVR (dalam waktu tk dan k) dan diagram PF-nya

(19)

Diagram Harga Saham UNVR

4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

k saham

(a) (c)

(b)

Gambar 1. Perbandingan Diagram Harga Saham UNVR (dalam waktu tk (a) dan k(b))

dengan Diagram PF-nya (c)

Diagram Harga Saham UNVR

4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800

saham

3 ₄

6 7

1 2

Diagram PF Harga Saham UNVR

4700

4600 4500 4400 4300

4200 4100

4000

X X

O O

O O O

(20)

Pergerakan harga saham yang kecil dan tidak signifikan yaitu harga saham yang

berada dalam interval

1₍ ₎ _, 1₍ ₎

k k

S 2 S 2 dengan

0,1,...

k dapat dihilangkan dalam diagram PF, dan hanya ciri-ciri terpentinglah yaitu harga saham yang melewati interval %_'/S1( k) 2,S1( k) 2&0₍ dengan k 0,1,... yang berada dalam diagram tersebut. Beberapa analis teknikal berpendapat bahwa metode tersebut seperti sebuah filter yang hanya menampilkan informasi terpenting dari harga saham. Portofolio yang hanya berdasarkan informasi yang termuat dalam diagram PF disebut portofolio PF. Seorang investor yang mengikuti portofolio PF akan memperjual-belikan sahamnya hanya pada waktu { k:k }. Setiap waktu k

hanya berdasarkan pengamatan

1 1

( ),..., ( k)

S S .

Optimisasi portofolio PF merupakan masalah pemilihan portofolio diskret. Catatan bahwa diskretisasi dari perubahan harga saham diberikan oleh dua nilai, yaitu x

atau o. Hal ini mempunyai beberapa keuntungan dari sudut pandang matematika ketika harga sample digambarkan dalam Model Cox-Ross-Rubinstein sehingga diperlukan metode martingale dari optimisasi portofolio.

Definisi 1 : Model Cox-Ross-Rubinstein (CRR) adalah bentuk khusus dari model biner multiperiodik untuk setiap interval

waktu dari harga saham yang bergerak dari nilai sekarang S ke salah satu Su atau Sd dengan u dan d adalah konstanta tetap dengan _d _er T2 _u

Catatan :

Bentuk seperti ini berupa model binomial. Peluang dari harga saham pada waktu k :

0 1

k j

j k j j

P S S u d p p

j dengan j 0,1,...,k

1 .

r T

e d

u d

Untuk menentukan portofolio PF yang optimal, diperlukan pendugaan sebaran peluang terhadap proses harga sample. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan harga sample dengan Model Hidden Markov (HMM). Model tersebut menyediakan dua alat yang sangat penting, yaitu algoritma yang memaksimumkan nilai harapan (EM-Algorithm) dan metode peluang acuan (Reference Probability Method). EM-Algorithm sesuai dengan Model Hidden Markov yang berdasarkan data historis, sedangkan metode peluang acuan yang dikombinasikan dengan pendekatan martingale terhadap pemilihan portofolio untuk mendapatkan portofolio PF yang optimal.

IV. PORTOFOLIO PF

Misalkan {S0( ) :t t!0} adalah harga aset bebas resiko dan {S t1( ) :t!0} adalah harga aset beresiko (saham) yang mempunyai dinamika :

0 0 0

1 1 1

( ) ( ) ( ) , (0) 1;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (0) (0, )

dS t S t r t dt S

dS t S t b t dt t dW t S

dengan { ( ) :r t t!0} adalah tingkat bunga, { ( ) :b t t!0} adalah rataan tingkat return dan { ( ) :t t!0} adalah volatilitas (standar deviasi dari return harga saham). Ketiganya adalah proses stokastik yang terukur dan

adapted dalam ruang peluang , , ,{P t:t!0} dengan filtrasi { t:t!0} adalah kontinu kanan dan { t,W t( ) :t!0} adalah gerak Brown. Misalkan r(.), (.)b , (.) dan 1(.) adalah terbatas, r(.) adalah deterministik dan

(.) 0 hampir pasti !t 0

.

Misalkan t adalah filtrasi lengkap

yang dihasilkan oleh {S t1( ) :t!0} . t

menunjukkan informasi dari pengamatan atas harga saham sampai waktu t. Asumsikan bahwa t adalah satu-satunya

(21)

informasi yang tersedia untuk investor pada waktu t.

Berikut ini adalah beberapa definisi yang dibutuhkan dalam membahas portofolio PF.

Definisi 2 : Suatu portofolio 3(.) adalah pasangan (30(.),31(.)) dari { t:t!0} yang prosesnya terukur dan adapted

dengan 2

i _s _ds

$

hampir pasti

(i 0,1) !t 0. Dalam hal ini, 3i( )t menunjukkan jumlah unit aset ke–i (i 0,1) yang dimiliki pada waktu t.

Definisi 3 : Proses kekayaan investor yang bersesuaian dengan 3(.) pada waktu t adalah

1 0

( ) i( ) i( ); 0

X3 t 3 t S t !t .

Definisi 4 : Portofolio 3(.) disebut self-financed pada waktut, jika

0 ₀

( ) (0) ( ) ( ); 0

i i

X3 t X3

$

3 u dS u !t dengan asumsi bahwa investor tidak melibatkan konsumsi.

Catatan :

Self-financed merupakan strategi perdagangan dimana pembelian terhadap sejumlah aset hanya didanai dari hasil penjualan aset dalam portofolio.

Seorang investor dalam melakukan investasinya mementingkan tingkat kepuasan. Tingkat kepuasan investor bergantung pada tingkat return dan resiko. Dalam ilmu ekonomi, tingkat kepuasan diukur dengan fungsi utilitas.

Definisi 5 : Suatu fungsi U C1((0, )) disebut fungsi utilitas jika fungsi tersebut merupakan strictly concave dan fungsi naik, dan U merupakan fungsi turun dengan

lim ( )

z U z dan zlimU z( ) 0

.

Definisikan U max U, 0 , dengan U adalah bagian negatif dari U

.

Fungsi utilitas tersebut dapat berupa fungsi objektif dengan kendala yang ada. Fungsi utilitas pada karya ilmiah ini berupa fungsi objektif investor yang memaksimumkan nilai harapan utilitas dari kekayaan selama horison waktu (periode perencanaan investasi). Fungsi objektifnya dapat ditulis sebagai berikut :

supE U X3 T

% &

/ 0

' (.

Adapun kendalanya adalah kekayaan yang dimiliki oleh investor selama horison waktu tidak negatif.

Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan horison waktu kontinu.

Masalah 0 :

Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu berhingga T 0, untuk menentukan

(.)

3 yang memberikan supremum

E U X3 T

3 pada himpunan

(.) :

3 portofolio self-financed,

(0)

X3 x, E U%_/ X3 T &₀ .

' (

Untuk memperoleh 3*(.), saham harus diperdagangkan secara kontinu. Hal ini tidak mungkin terjadi secara nyata dalam pasar dunia. Selain itu, aproksimasi dari perdagangan tersebut melibatkan biaya transaksi yang tinggi. Untuk alasan itulah, diperlukan suatu sampling waktu dalam diagram PF.

Untuk membahas lebih lanjut mengenai sampling waktu, definisikan terlebih dahulu proses harga didiskon yang merupakan harga saat ini (present value).

Definisi 6 : Proses harga didiskon S t1( ) didefinisikan sebagai

:

1 1

( )

( ) : , 0.

( ) S t

S t t

S t !

Catatan :

S t adalah faktor diskon.

Diberikan 0 d 1 u. Definisikan secara rekursif barisan hampir pasti

(22)

berhingga { k:k } stopping time-{ t:t!0} :

0: 0 ,

1 1

( ) : inf ( ) : ( )( ) ( ( ))( ), ( ( ))( )

k k

t S t

d S u S

-% ₁ ₁ &

/ 0

' (

untuk proses harga didiskon 1

( ) S t .

Definisikan proses waktu acak diskret oleh sampling :

0 0 1 1 1 1

: , : , : ( ),

k k

k k k k k

S S S S S S k .

...(1) Diketahui bahwa S1k:k memenuhi persamaan rekursif :

1 1

k k k

S S y

...(2)

dengan {yk:k!1} adalah proses stokastik yang mengambil nilai pada { , }d u dengan

0 P y( k d) 1 !k 1

.

Definisi 7 : Suatu portofolio self-financed (.)

3 disebut portofolio PF jika !t 0 berlaku :

0 1 1

0 [ , ] ( , ]

( ) : 1 ( ) 1 _k _k ( ), ( 0,1)

i i i

k k

t t t i

3 3 3

... 3

{3k:k } dan

{3k:k } adalah adapted- , dengan

( ( ) : ) : 1

( : ) : 1 .

S j k k

y j k k

! !

✁

Catatan :

Jika 3(.) adalah self-financed, maka kekayaan X3(.) memenuhi :

1 1

( k ) ( k) ik( (i k ) i( k)), i

X3 X3 3 S S

k .

Dalam hal ini, kekayaan tidak akan dimaksimumkan pada waktu T, tetapi pada waktu acak n. Hal ini dikarenakan oleh

penggantian masalah optimisasi dari waktu kontinu ke waktu diskret dalam rangka memperkenalkan sampling waktu acak.

Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan waktu acak n.

Masalah 1 :

Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu n untuk menentukan portofolio PF 3*(.)

yang memberikan supremum

E U X% 3 &

3 _/_' ₀₍ pada himpunan

( ) = (.) :

A x 3 portofolio PF, X3(0) x, ( n) 0 .

Masalah ini akan diselesaikan dengan teknik optimisasi portofolio waktu diskret. Untuk menyelesaikan masalah ini, definisikan proses :

, 1 1 1 1 0 : x k

k j j j

X x S S

x, 0 x, _,

k k k

X S X k

... 4 untuk setiap { k:k } adapted-

,

dan x (0, ).

Misalkan pula Jx( ) merupakan portofolio PF seperti dalam persamaan (3) dengan

, 0

: x ,

k Xk k

3 1

: ,

k k

3 k .

... 5 Misalkan diketahui proses :

( ) : : - dengan x 0

a x adapted X

untuk x (0, ).

Suatu perhitungan langsung (lihat lampiran A) menunjukkan bahwa jika supremum x,

E U X%_/_' &₀₍ pada a x( ) diberikan oleh *, maka supremum

E U X% 3 T &

3 _/_' ₀₍ pada himpunan A x( ) diberikan oleh Jx * . Masalah 1

merupakan masalah optimisasi portofolio waktu diskret.

(23)

V. MODEL WAKTU DISKRET

Berikut ini akan dibahas mengenai model waktu diskret. Model tersebut mempelajari hubungan antara masalah portofolio waktu diskret dengan konsep martingale. Hal ini meliputi Model Cox-Ross-Rubinstein yang merupakan versi waktu diskret dari Model Black-Scholes.

Hal-hal yang diperlukan dalam optimisasi portofolio PF adalah

• Nilai S10, Sn0 (0, ), 0 d 1 u,

dan nilai { , }d u

.

• Proses {yk:1 k n} pada ( , , )P

dengan 0 P y( k d) 1

1, 2,..., .

k n

... 6 Nilai S10 (seperti dalam persamaan (1))

adalah harga dari aset beresiko (saham) pada waktu 0 dan

S (seperti dalam persamaan (1)) adalah harga dari aset bebas resiko pada waktu n. Berdasarkan persamaan (2),

proses {yk:1 k n} menggambarkan naik-turunnya harga didiskon dari aset beresiko. Proses tersebut merupakan pengamatan berdasarkan komponen/pola dari diagram PF. Harga sample didiskon

: 0

S k n dari aset beresiko diperoleh dari {yk:1 k n} secara rekursif oleh

persamaan 1 1

1 1

k k k

S S y dengan nilai awal S10 (0, ). Filtrasi historis diberikan

oleh

k: 0 k n k (yj :j k)

0 { , } .

Misalkan x (0, ) adalah endowment awal dan U adalah fungsi utilitas. Definisikan x,

X dan x, n

X seperti dalam persamaan (4) untuk setiap proses

{ k: 0 k n} adapted - .

Berikut ini adalah masalah optimisasi portofolio yang berkaitan dengan model waktu diskret.

Masalah 2 :

Diberikan fungsi utilitas U , endowment awal x (0, ) dan horison waktu n

.

Tentukanlah proses * a x( ) adapted - yang memberikan supremum

, x n

E U X%/ &0

/ 0

' ( pada himpunan

( ) : - dengan x 0

a x adapted X .

Hubungan antara * a x( ) dengan

* , x n

U X dalam Masalah 2 dijelaskan oleh metode martingale untuk optimisasi portofolio dalam Proposisi 1 berikut.

Proposisi 1 :

1) Ada ukuran peluang tunggal Q pada

n ekivalen dengan P pada n

sehingga 1

: 0

S k n adalah

martingale-Q. Definisikan :

: .

dQ dP S

)

2) Jika B 0 adalah terukur- n dan

E )B x, maka ada a x( ) dengan

, x n

X B.

3) Pemetaan : (0, ) (0, ) , dengan

' z E%_/) U z)&₀

' ( mempunyai

invers.

4) x 0, dan U, ada * a x( ) sehingga Xnx, * U' 1 1( )x)

dan

, * ,

( )

sup .

x x

n n

a x

E U X%_/ &₀ E U X%_/ &₀

/ 0 ' (

' (

Bukti : lihat Elliot & Hinz, 2004.

Proposisi 1 menjelaskan eksistensi dari

. Kuantitas yang utama dalam proposisi

tersebut adalah 1₀ .

dQ dP S

) Jika

kuantitas tersebut sudah ditentukan, maka dijamin ada * ketika alur 1

: 0

S k n

membentuk suatu pohon biner. Meskipun demikian, untuk memperoleh nilai P jika diketahui _n merupakan masalah yang

(24)

sulit. Solusinya meliputi uraian terperinci

mengenai yk:1 k n yang

dikombinasikan dengan pendugaan parameter berdasarkan data historis.

Misalkan keadaan pasar global yang tidak diamati secara langsung dapat diidentifikasi oleh elemen dari himpunan S setiap waktu. Himpunan tersebut menggambarkan semua state pasar yang penting untuk perilaku aset beresiko. Evolusi dari state pasar akan menjadi proses xk: 0 k n dan nilainya berada di S ketika keadaan global berubah secara permanen. Misalkan S adalah berhingga dan

: 0

x k n adalah rantai Markov. State global mempengaruhi pergerakan harga saham. Pergerakan harga yk 1 bergantung

pada pergerakan sebelumnya y1,...,yk yang

hanya melalui state global xk pada waktu k.

Dalam hal ini, diperlukan aproksimasi berikut.

Ada proses xk: 0 k n sehingga , , ,P xk: 0 k n , yk:1 k n adalah Model Hidden Markov (HMM).

Kegunaan dari Teori Hidden Markov untuk optimisasi portofolio diuraikan sebagai berikut.

Setelah sampling waktu berada dalam diagram PF, setiap alur 1

( )( ) : 0 S t t! dari aset beresiko yang didiskon memberikan barisan y1( ),y2( ),... dari

pengamatan dalam u d, . Deret acak

: 1

y k! secara aproksimasi diuraikan oleh HMM sehingga diperlukan kumpulan pengamatan sebelumnya yk( ) :1 k n dan penerapan EM-Algorithm untuk menduga parameter-parameter dalam HMM.

VI. MODEL HIDDEN MARKOV (HMM)

Pada umumnya, HMM digunakan untuk pemodelan berbagai fenomena stokastik. Gagasan utamanya ialah untuk menjelaskan deret waktu {yk:1 k n} dengan asumsi bahwa y bersifat acak dan bergantung pada operasi rejim. Operasi tersebut tidak diamati secara langsung dan merupakan rantai Markov.

Pada awal perumusan HMM,

pengamatan diasumsikan bersifat diskret. Hal tersebut merupakan realisasi dari

y k n yang berada dalam

himpunan berhingga.

Definisi 8 : Misalkan , ,P adalah ruang peluang. Diketahui bahwa proses sistem xk: 0 k n berada pada ruang state berhingga S yang mempunyai N elemen. Tanpa kehilangan keumuman, S dapat diidentifikasi oleh himpunan

1,..., N

e e dari vektor unit di N i

e dimana

hanya elemen ke-i yang bernilai 1 dan sisanya 0. Proses output yk:1 k n mengambil nilai dalam ruang output d.

Pasangan proses stokastik

, , ,P xk: 0 k n , yk:1 k n disebut Model Hidden Markov (HMM) jika

1) xk: 0 k n merupakan Rantai Markov dengan sebaran awal p dan matriks transisi X.

2) Sebaran dari y1,...,yn ketika 0 0,..., n n

x x adalah 1 j.

j Y

3) Ukuran Y : S adalah bebas

stokastik identik.

Catatan bahwa HMM secara tunggal digambarkan oleh tripel p X Y, , yang terdiri atas sebaran peluang

0 0

p P x pada S, matriks transisi

j j

X X pada S, dan matriks

transisi

j j

Y Y C dari S ke d

seperti dalam syarat (3) HMM. Sebaran bersama dari x0, x y1, 1 ,..., x yn, n ditentukan oleh

1 1

0 0 1

0 0 ₁

j j

j j j j

j n

j j

P x x y C

P x X Y C

... 7

0,..., , 1,...,

n S C Cn .

Adapun penurunan persamaan 7, diberikan pada lampiran B.

(25)

Misalkan , , ,P xk: 0 k n , :1

y k n adalah HMM. Definisikan filtrasi dan sebagai berikut :

: _k: 0 k n

k: yj: j k

: k: 0 k n

k: x yj, j: j k .

HMM terkenal dalam aplikasi. Hal ini dikarenakan oleh HMM menyediakan solusi rekursif yang efisien dari masalah berikut.

Diberikan proses tanpa diamati secara langsung hk: 0 k n adapted- untuk menentukan penduganya

: : 0

k k k

h E h%_' &₍ k n

berdasarkan pengamatan dari proses output

: 0 .

y k n Masalah ini dapat

diselesaikan dengan Metode Peluang Acuan yang akan diuraikan berikut.

Definisi 9 : Ukuran peluang di d

disebut Ukuran Peluang Acuan jika hal tersebut ekivalen dengan Y, S.

Gagasan dari metode peluang acuan adalah untuk memperkenalkan ukuran peluang baru P yang ekivalen dengan P, dengan kerapatan #n sehingga

: .

d P dP

Definisikan #k untuk 0 k n

sebagai berikut :

1 1 : j k

k j j

d y dY

#0: 1.

... 8 Sebaran dari y1,...,yn terhadap P

adalah 1 dengan n

, adalah fungsi indikator 1 . u d u d q q d q u d 5 5 5

Adapun penjelasan mengenai hal ini, diberikan pada lampiran C.

Definisikan penduga takternormalkan dari

k h h setelah diketahui k : 1

: ,

k h EP%/'#k h k&0(

... 9 untuk setiap peubah acak h L1 , ,P . Dengan menggunakan Teorema Bersyarat Bayes, maka

1 ^

= , 0 1

k k k

k _k _k

k k

E h

h E h

k n

%_# &

/ 0

' (

% &

' ( _%_# _&

/ 0

' (

... 10 untuk suatu proses hk: 0 k n adapted- .

Secara umum, penduga takternormalkan memenuhi hubungan rekursif. Sebagai contoh, penduga takternormalkan

: 0

k xk k n dari state Hidden

Markov diberikan oleh

1 1 1

0 0 0

, . ,

k k k k k

x x y X

d x E x

... 11 dengan

. ,..., N N.

X X e X e

Istilah penormalan k 1 diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen

k xk ketika 1,xk 1

,

yaitu :

1 ,1

= ,1 .

k k k

k k

... 12 1 menunjukkan vektor dari 1,1,...,1 N.

Untuk h 1 pada persamaan (9), maka untuk 0 k n :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 : j j k

k P k k

k x

j k

P j

k x x

j k k

P j E dY E y d dY dY

E y y

d d

%_# &

/ 0 ' ( % & / 0 / 0 / 0 ' ( % & / 0 / 0 / 0 ' (

(1)

Lampiran D. Bukti Proposisi 2 1) Jika U z( ) ln z , maka

1 ₁

1 '( )

' ( ) .

U z z

U z z

Dari proposisi 1(3) diperoleh : 1

1 1 1 1 1

1 1 1

( ) ' ( )

= = = = .

( ) ( ) .

z E U z

E z

E z

z z z z

%₎ ₎ &

/ 0

' (

%_{) )} &

/ 0

' (

%₎₎ &

/ 0

' (

% &

/ 0

' (

Dari proposisi 1(4) diperoleh :

* 1

, 1

1 ₁

1 1

' ( )

x n

X U x

U x

x dP S x

dQ ) ) ) )

dengan Q adalah ukuran peluang dari Proposisi 1(1).

Dengan menggunakan HMM, diperkenalkan ukuran peluang baru P oleh

d P # dP

1 dengan

, adalah fungsi indikator 1

. j

n _j j

u d

d y dY

q q

d q

u d

5 #

5 5 5

Dengan menggunakan persamaan (15), maka

, 0

0 0

1 .

n n

X S x

dQ S x xS

(2)

* *

, , 0 0

(dari persamaan (4)) 1

1 .

x n n

n n n

n n

X X

S xS S x

(

)

... 2.1 Di lain pihak, k 1 : 0 k n adalah martingale- pada ruang peluang , ,Q sehingga k 1 : 0 k n dapat direpresentasikan dalam bentuk :

1 0 1

1 1 1 , 0,..., 1

k j j

m y k n

1 1

1 1 1

k j j

m y

, 1

1 1

1 1 dari persamaan 2.1

x k

j k

j j

S X

m y

x S

* ,

1 1

1 1 0

x _k

j k

j j j

j j

m X

S y S

x S

, 1 1

1 1 1

(dari persamaan (2)).

k j

k j j

j j

X x S S

Berdasarkan persamaan (4) :

, * 1 1

1 1

, 0,..., 1

k j j j

X x S S k n

maka

* *

1 atau 1 , 0,..., 1.

j k

xm xm

k n

S S

Untuk k 0,...,n 1, mk

terukur- k dan ditentukan oleh

1 1

1 1 1

1, 1, (dari persamaan (12))

k k k k

m y

x x

= 1, , . 1, (dari persamaan (11))

= , 1, . ,

, 1 ,

k k k k k

S S

k k k k k

S S

x y X x

d dY

x y X x

d dY

x y x

= k k , k k k ,

x y x

(3)

= , 1

, 1

k k k

k k

x y

Y u Y d

q q

, 1

1 1

, 1

1 1

k k

Y u Y d

d d

u d u d

Y u Y d

d u

u d u d

1 1

, 1 1

1 1 1 1

k k

Y u Y d

x u d u d Y u Y d

d u

Y u Y d Y u Y d

x u d u d d u

d u d u

1 1 1 1

k k

Y u Y u Y d Y d

x u d u d

d d u u

Y u Y u Y d Y d

d u

d d u u

1 1

= ,

1 1 1 1

k k

k k k k

Y u Y d Y u Y d

x u d

d u d u

Y u Y d Y u Y d

x y y

d u d u

1 1

, 1 1

1 1

k k k k

Y u Y d

x y y

d u

, 1

1 1

= , 1

1 1

k k k

Y u Y d

x y

d u

Y u Y d

x y

d u

sehingga , .

1 1

k k k

Y u Y d

m x

(4)

Jadi,

* 1

k k

xm S

1 1

, 0,..., 1.

k k S

Y u Y d

x x

d u

k n

Terbukti.

2) Jika U z( ) 1_pzp

,

maka

1 1

'( )

' ( ) p .

U z z

U z z

Dari proposisi 1(3) diperoleh :

1 1

( ) ' ( )

= .

p p

z E U z

E z

%₎ ₎ &

/ 0

' (

% &

) )

/ 0

' (

% &

))

/ 0

' (

% &

/) 0

/ 0

' (

% &

/) 0

/ 0

' (

1 1

( ) p

p p z z

E%/) &0

/ 0

' (

1 1

1 ( )

( )

0, .

p p

z z

E E

% & % &

/) 0 /) 0

/ 0 / 0

' ( ' (

Dari proposisi 1(4) diperoleh :

1 1

, 1

' ( )

( ) p

x n

X U x

) )

1 1

p p

x E

) % &

/) 0

/ 0

(5)

Karena

0 1

1 (dari persamaan (15))

n n

S dP dQ S )

maka

1 1 *

0 ,

p p

n n x

n n x S X

E S%/ &0

/ 0

' (

1 1

p p

n n

n xS

E%/ &0

/ 0

' (

Akibatnya :

* *

, ,

0 (dari persamaan (4)) x

x n n

X X

1 1

1 0

1 1 =

p p

n n

xS E

% &

/ 0

' (

1 1

p p

E%/ &0

/ 0

' (

.

Di lain pihak, _k 1 : 0 k n adalah martingale- pada ruang peluang , ,Q sehingga _k 1 : 0 k n dapat direpresentasikan dalam bentuk :

1 0 1

1 1 1 , 0,..., 1

k j j

m y k n

1 1

1 1 1

k j j

m y

sehingga

1 1

1 0

1 ₁

1 0

1 1

p p

n p

k k

n k

n _P

k k

m y

E m y

% & % &

/ 0 / 0

' (

/ 0

' (

1 1

1 ₁

1 0

1 1

1 0

1 1

1 1 .

1 1

n p

k k _n

k k

n P

k k

m y

(6)

Akibatnya :

1 1 *

1 1

p x

p p

n n

x X

E%/ &0

/ 0

' (

1 0

1 1

k k

x m y

1 1

0 1

1 1

0 1

1 1

1 1 0

(dari persamaan (2))

n k

k k

n k

k k k

k k

n k

k k

x x m y

S xm

x S y S

S xm

x S S

dengan mk: 0 k n 1 adapted- k.

Berdasarkan persamaan (4) :

* ,

* 1 1

1 0 x

n k k k

X x S S

maka

1 0,..., 1.

k k

k n