Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang
PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Periode
Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi
Jangka Panjang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Yoyok Hariyanto
NIM G54090005
ABSTRAK
YOYOK HARIYANTO. Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and
Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang. Dibimbing
oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Karya ilmiah ini bertujuan untuk menentukan periode optimal spreading
gains and losses pada rencana pendanaan pensiun manfaat-pasti. Prinsip metode
spreading gains and losses adalah dengan menyebarkan keuntungan dan kerugian
ke beberapa periode. Periode optimal ditentukan dengan meminimumkan ragam
kontribusi dalam jangka panjang. Pada karya ilmiah ini diasumsikan bahwa
kerugian disebabkan oleh perbedaan tingkat bunga investasi aktuaria dengan
tingkat bunga investasi aktual. Ilustrasi pada karya ilmiah ini menggunakan tiga
kasus dengan nilai standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual sebesar
0.0025, 0.1, dan 0.25. Nilai periode optimal yang diperoleh dari ketiga kasus
berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun, serta besarnya standar
deviasi dari kontribusi jangka panjang yang diperoleh berturut-turut sebesar 0.011,
0.469, dan 1.355. Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa ragam dari
tingkat bunga investasi aktual berbanding lurus dengan ragam dari kontribusi
dalam jangka panjang namun ragam dari tingkat bunga investasi aktual
berbanding terbalik dengan periode optimal penyebaran kerugian.
Kata kunci: metode spreading gains and losses, minimum ragam kontribusi,
pensiun manfaat-pasti, periode optimal
ABSTRACT
YOYOK HARIYANTO. Determining Optimal Periods of Spreading Gains
and Losses by Minimizing the Variance of Long-Term Contribution. Supervised
by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
The purpose of this paper is to determine optimal periods of spreading gains
and losses on defined benefit pension funding plan. The principle of spreading
gains and losses method is by spreading gains and losses to some periods. The
optimal period is determined by minimizing the variance of long-term
contribution. This paper assumes that losses are caused by the difference of
actuarial rate and actual rate of investment return. The illustration of this paper
uses three cases which standard deviations of actual rate of investment return are
0.0025, 0.1, and 0.25. The optimal period for three cases are acquired 12 years, 11
years, and 8 years, and standard deviation of long-term contribution for three
cases are acquired 0.011, 0.469, and 1.355. It is concluded that the variance of
actual rate of investment return and the variance of long-term contribution are
comparable but the variance of actual rate of investment return and the optimal
period of spreading losses are inversely proportional.
Keywords: defined benefit pension, minimum variance of contribution, optimal
period, spreading gains and losses method
PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan
Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang
Nama
: Yoyok Hariyanto
NIM
: G54090005
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 orangtua tercinta (Yatimi dan Alm Supangat), kakak (Tina Wati, Zeni Sunyoto,
dan Rika Umami) serta seluruh keluarga atas segala doa, kasih sayang, dan
motivasinya,
2 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing I dan Ibu Ir
Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II yang telah membimbing
dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku
dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran dalam penulisan karya
ilmiah ini,
3 Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku ketua Departemen Matematika IPB dan
Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc selaku dosen pembimbing akademik yang telah
memberikan dukungan, motivasi, dan semangatnya kepada penulis,
4 seluruh jajaran yang berwenang dan donatur Yayasan Karya Salemba Empat
yang telah memberikan beasiswa selama tiga tahun kepada penulis,
5 teman organisasi daerah Ponorogo Manggolo Putro dan teman Pondok Anak
Sholeh (Aziz, Danang, Doni, Febri, Iddea, dan Irfan) yang senantiasa menjadi
tempat berbagi,
6 teman matematika angkatan 46 (Syaepul, Fenny, Aldi, Nurul, Lestari, Mirna,
Hendra, Irma, Desyi, Evy, Fitri, Danty, Windi, dan lainnya) yang telah
membantu penulis dalam kegiatan belajar,
7 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa angkatan 44, 45, 47, dan 48 Departemen
Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Yoyok Hariyanto
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
2
Nilai Sekarang Aktuaria
3
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti
4
Metode Spreading Gains and Losses
7
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses
7
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
11
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti dengan Metode Spreading Gains
and Losses
13
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian
Investasi Aktual terhadap Kontribusi
SIMPULAN DAN SARAN
18
21
Simpulan
21
Saran
21
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.0025 dan ms = 12
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.1 dan ms = 11
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ )= iA = 6% ,
� = 0.25 dan m*s = 8
Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode
(ms ) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual ( �) yang
berbeda
15
16
17
20
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Grafik kontribusi dengan ( ′ ) =
= 6% saat dipilih periode
optimal ( ∗ ) dengan nilai σ yang berbeda
Grafik perbandingan laju kontribusi saat � = 0.0025 dan ms =
1 dengan nilai ms yang berbeda
Grafik laju kontribusi saat � = 0.0025 dengan variasi nilai ms = 8,
∗
= 12, dan ms = 20
18
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
English Life Table No. 16.1 Males
109
, 25:31| , dan 56
Perhitungan 31 25 , 55
=56
x=25 lx ,
∗
′
Perhitungan periode optimal ( ) saat
=
= 6% dan
� = 0.0025 dengan Wolfram Mathematica
Perhitungan periode optimal ( ∗ ) saat ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.1 dengan Wolfram Mathematica
Perhitungan periode optimal ( ∗ ) saat ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.25 dengan Wolfram Mathematica
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
=1
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
=8
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan ∗ = 12
23
24
27
28
29
30
32
34
9
10
11
12
13
14
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
= 20
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 2 ( ( ′ )= iA = 6% dan
� = 0.1) dengan ∗ = 11
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 3 ( ( ′ )= iA = 6% dan
� = 0.25) dengan ∗ = 8
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.0025 dengan berbagai nilai periode
( ) yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.1 dengan berbagai nilai periode ( )
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.25 dengan berbagai nilai periode ( )
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
36
38
40
42
43
44
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kebutuhan tidak pernah lepas dari kehidupan seseorang. Saat usia produktif
orang bekerja untuk mendapatkan penghasilan guna memenuhi segala kebutuhan.
Namun di saat usia tidak produktif (masa tua) orang sudah tidak mampu lagi
bekerja, namun tuntutan kebutuhan hidup tetap harus dipenuhi. Oleh karena itu
seseorang harus selalu dapat menjaga kesinambungan penghasilan sampai pada
saat orang tersebut tidak mampu lagi bekerja pada usia tertentu. Salah satu sistem
yang dapat menjamin kesinambungan penghasilan adalah program dana pensiun.
Berdasarkan UU Republik Indonesia Nomor 11 tahun 1992 tentang Dana
Pensiun, program dana pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam
upaya untuk memelihara kesinambungan penghasilan pada hari tua untuk
karyawan. Sehingga jika dilihat dari tujuannya, program pensiun merupakan salah
satu solusi agar tuntutan akan kebutuhan tetap dapat terpenuhi dan taraf hidup
tetap terjaga.
Salah satu jenis program pensiun adalah program pensiun manfaat-pasti.
Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya
benefit (manfaat) yang diperoleh peserta pensiun sudah ditetapkan di awal namun
besarnya iuran yang dibayarkan peserta dari waktu ke waktu tidak pasti jumlahnya,
bergantung pada kesediaan dana yang terkumpul untuk memenuhi kewajiban
manfaat pensiun tersebut. Seorang aktuaris melakukan perhitungan secara cermat
dan berkesinambungan untuk menentukan besarnya contribution (kontribusi)
yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya agar dana yang terkumpul dapat
menjamin seluruh kewajiban manfaat pensiun.
Pada proses perhitungan, seorang aktuaris menggunakan asumsi-asumsi
aktuaria untuk memprediksikan segala kemungkinan yang terjadi. Menurut
Winklevoss (1977) asumsi tersebut berkaitan dengan tingkat kematian (mortalitas),
tingkat gaji (termasuk inflasinya), dan tingkat bunga. Asumsi tingkat bunga
terbagi menjadi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat
bunga yang dikenakan atas aset pensiun (pengembalian investasi).
Dalam rencana pendanaan, tingkat bunga pengembalian investasi ditetapkan
oleh aktuaris namun faktanya penetapan ini mungkin berbeda dengan tingkat
bunga pengembalian investasi aktual yang sebenarnya. Perbedaan ini akan
menimbulkan laba atau rugi. Agar dana yang terkumpul tetap mampu mencukupi
kewajiban program pensiun, maka laba atau rugi ini harus ditutupi dengan
supplementary contribution. Supplementary contribution merupakan kontribusi
tambahan yang timbul akibat terjadinya laba atau rugi.
Ada beberapa metode untuk menentukan besarnya nilai kontribusi tambahan,
salah satunya metode spreading gains and losses. Prinsip dasar metode ini adalah
penyebaran loss (kerugian) yang terjadi pada waktu yang didistribusikan pada
waktu t, t+1, t+2, dan seterusnya. Penentuan kontribusi tambahan ini sebanding
dengan suatu proporsi dari besarnya kerugian yang terjadi. Pemilihan proporsi ini
dipengaruhi oleh periode m (tahun) untuk menyebarkan kerugian. Pemilihan nilai
periode m adalah bebas. Namun Owadally dan Haberman (2004) menyatakan
bahwa pada kondisi ekonomi modern, pemilihan periode m yang cocok antara
2
skala 1 sampai 10 tahun. Karya ilmiah ini menjelaskan tentang penentuan periode
(m) yang optimal. Penentuan periode optimal ini didasarkan pada prinsip ragam
minimum dari kontribusi dalam jangka panjang agar stabilitas kontribusi
maksimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally
dan Haberman (1999) yang berjudul “Pension Fund Dynamics and Gains/Losses
Due to Random Rates of Investment Return”.
Tujuan Penelitian
1
2
3
4
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
menjelaskan dan memberikan ilustrasi mengenai metode spreading gains and
losses pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dengan asumsi terjadinya
kerugian disebabkan oleh perbedaan antara tingkat bunga pengembalian
investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
menentukan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading
gains and losses dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka
panjang,
menganalisis dampak pemilihan periode optimal penyebaran kerugian terhadap
laju kontribusi,
menjelaskan pengaruh ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual
terhadap besarnya periode optimal penyebaran kerugian dan besarnya ragam
kontribusi dalam jangka panjang.
TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah asuransi pensiun yang penentuan
besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun
normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan
digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya penetapan kontribusi yang
harus dibayarkan peserta setiap periodenya. Menurut Dufresne (1988) terdapat
beberapa asumsi tingkat bunga yang digunakan pada pendanaan pensiun manfaatpasti, yaitu tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria ( ), tingkat bunga
yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( � ), dan tingkat bunga pengembalian
investasi aktual ( ′ ).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi ( ) merupakan asumsi yang
digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas dana (aset)
program pensiun. Besar kecilnya perkiraan tingkat pengembalian investasi ini
berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi dari dana yang akan
diperoleh. Asumsi tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( � ) merupakan tingkat
bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun
yang akan diterima di masa saat manfaat-pensiun diterima. Besarnya � biasanya
ditentukan dari perkiraan awal oleh aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat
bunga yang dikenakan atas aset bebas resiko, obligasi yang dikeluarkan
3
pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu. Asumsi
tingkat bunga ketiga yang digunakan adalah ′ , yaitu tingkat bunga yang diperoleh
dari investasi dana secara aktual yang diketahui di akhir suatu periode tertentu
(Dufresne 1988).
Program pensiun manfaat-pasti menerapkan metode entry age normal, yaitu
metode yang menerapkan pendanaan dengan memandang manfaat pensiun pada
usia pensiun normal. Metode ini menentukan normal contribution (kontribusi
normal) yang akan dibayarkan setiap peserta berpedoman awal dari besarnya
manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji
peserta di masa depan, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, gaji rata-rata
dari peserta selama masa kerja, dan masa pembayaran pembayaran kontribusi
(Haberman 1995).
Ketentuan lain pada metode entry age normal pada pensiun manfaat-pasti
yaitu kontribusi normal dibayarkan dari peserta dimulai saat umur peserta mulai
bekerja, bukan saat umur peserta mulai mengikuti program pensiun serta besarnya
kontribusi normal ini tetap setiap periodenya dan ditentukan dari proses
perhitungan (Owadally dan Haberman 1999).
Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Nilai sekarang atas pembayaran manfaat pensiun masa depan disebut juga
actuarial present value of future benefit (APVFB). Besaran APVFB merupakan
sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang
ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai
APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah
−
�
=
�
−
dengan:
= manfaat pensiun pada usia pensiun normal z,
= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang dibayarkan
dimulai usia pensiun z,
= peluang bahwa seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai
−
usia pensiun z,
=
1 + � −1 (tingkat diskonto), � merupakan tingkat bunga yang
�
dikenakan atas kewajiban pensiun.
Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal
Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal disebut juga dengan
actuarial present value of future normal contribution (APVFNC). Besaran
APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan
di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai APVFNC
bagi seseorang yang berumur y adalah
( �
� ) =
−1
(� )
=
dengan (� ) = kontribusi normal pada waktu t.
�
−
−
4
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu
Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel
takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.
Menurut Stewart (1998) turunan fungsi � pada bilangan
dinyatakan
dengan � ′ ( ) adalah
� +ℎ − �( )
�′
,
= lim
ℎ→0
ℎ
jika limit ini ada.
Jika = + ℎ, maka ℎ = − dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x
mendekati . Jika limit ini ada, maka dapat ditulis
�
− �( )
.
�′
= lim
→
−
Prinsip Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai minimum
(terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua.
Menurut Stewart (1998) andaikan � ′′ kontinu di sekitar , jika � ′
= 0 dan
′′
�
> 0, maka � mempunyai nilai minimum lokal pada .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti
Beberapa konsep dasar pada pendanaan pensiun manfaat-pasti antara lain:
Manfaat Pensiun (B)
Manfaat pensiun adalah jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh
perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Besar
nilainya merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang
mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu. Besarnya manfaat pensiun
ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan
sebagai acuan untuk menentukan berbagai perhitungan aktuaria.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi
pensiun selama peserta mengikuti program ini dimulai dari usia awal y sampai
usia pensiun z. Nilai kontribusi normal yang dibayarkan oleh peserta pada waktu t
dilambangkan dengan (NC)t . Pada pensiun program manfaat-pasti nilai kontribusi
normal konstan setiap tahunnya. Rumus untuk menentukan kontribusi normal
sebagai berikut:
� =
�
−
−
: − |
,
(1)
5
dengan : − | merupakan anuitas hidup diskret di awal periode berjangka waktu
(z-y) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y.
Bukti :
Berdasarkan ketentuan bahwa nilai sekarang seseorang berusia y dari
pembayaran berkala kontribusi normal besarnya harus sama dengan nilai sekarang
dari pembayaran berkala manfaat pensiun seseorang berusia y yaitu
� �
= �
−1
−
−
⇔ = �
=
�
�
−
−
−
−1
−
⇔
�
.
=
�
�
−
=
−
−
−1
−
.=
⇔ �
�
−
�
−
=
⇔
�
⇔
�
=
=
�
−1
=
�
−
�
−
−
−
−
: − |
−
.
■
Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability merupakan kewajiban aktuaria untuk menjamin suatu
kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability sering disebut juga dengan
cadangan manfaat untuk menjamin pembayaran benefit. Actuarial liability
dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB)
saat usia x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution
(APVFNC) pada saat usia x. Rumus actuarial liability saat orang berumur x adalah
sebagai berikut:
−
�� =
− �
�
−
: − |.
Bukti :
Untuk usia pensiun z (
< )
� = ( �
) −( � � )
−
=
− =−1(� ) � − −
�
−
−
=
− (� ) =−1 � − −
�
−
−
=
− �
■
�
−
: − |.
Jika secara agregrat (keseluruhan) besarnya NC, B dan � sudah diketahui
dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
�=
( −� )
(1− � )
.
(2)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun t dan manfaat pensiun
juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban
pensiun. Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun
karena penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun. Jika
dilihat pada waktu t berlaku
+ � � +1 − .
�∆ � =�
Karena � = � +1 = � konstan, maka ∆ � = 0 , B dan NC juga
konstan, sehingga berlaku juga
� + � �− =0
⇔
−�
� � =
6
⇔ (1 −
⇔
�)
�= −�
( −� )
�=
.
(1− � )
■
Kontribusi (C)
Kontribusi merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program
pensiun. Nilai kontribusi ini tidak konstan setiap periodenya. Hal ini dikarenakan
nilai kontribusi pada waktu ke-t ( ) dipengaruhi oleh kontribusi tambahan
(� ) yang nilainya bisa berubah setiap waktu ke-t bergantung pada keadaan laba
atau rugi. Kontribusi dirumuskan
=� +� .
(3)
Di dalam karya ilmiah ini perhitungan nilai kontribusi tambahan menggunakan
metode spreading gains and losses.
Dana (F)
Dana (fund) pada saat waktu t ( ) merupakan nilai total dana yang dimiliki
suatu program pensiun pada waktu t. Dana ini terdiri dari total pembayaran
kontribusi seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun, dan
termasuk hasil pengembangan investasi dari dana pensiun tersebut. Secara
matematis dirumuskan sebagai berikut:
Rumus untuk nilai dana atas asumsi aktuaria
(4)
= 1 + ( −1 + −1 − )
dan rumus untuk nilai dana aktual
= 1+ ′
.
(5)
−1 +
−1 −
Unfunded Liability (UL)
Unfunded liability pada waktu ke-t adalah selisih nilai actuarial liability
pada waktu ke-t dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut.
Unfunded liability dirumuskan
� = � − .
(6)
Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan
dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun kedepannya. Jika
nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan
pensiun tersebut dan sebaliknya.
Kerugian (L)
Kerugian merupakan indikasi terjadi situasi laba atau rugi pada pendanaan
pensiun yang telah direncanakan. Kerugian bernilai positif artinya telah terjadi
kerugian dan sebaliknya. Nilai kerugian diperoleh dari selisih unfunded liability
yang dihitung dari asumsi aktuaria dan dari perhitungan yang sebenarnya yaitu
(7)
� = � − � ,
dihitung dengan asumsi aktuaria.
dengan � = � −
7
Metode Spreading Gains and Losses
Metode spreading gains and losses adalah metode penentuan kontribusi
tambahan (supplementary contribution) pada asuransi pensiun manfaat-pasti yang
mengikuti prinsip aggregate actuarial cost menthod. Aggregate actuarial cost
menthod adalah metode perhitungan aktuaria yang menggunakan total nilai
keseluruhan. Metode ini diterapkan di negara-negara Benua Eropa Utara terutama
di Inggris (United Kingdom) (Owadally 2003).
Prinsip yang mendasari metode ini adalah perumusan kontribusi tambahan
pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti oleh suatu
proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode selama m
tahun untuk mencicil unfunded liability seperti yang dikemukakan Dufresne
(1988) yaitu
1
� =
� ,
=
,
(8)
|
dengan penentuan
| didasarkan pada tingkat bunga investasi aktuaria ( ) .
Selanjutnya periode (m) pada metode spreading gains and losses dilambangkan
dengan ms .
Penentuan kontribusi tambahan digunakan untuk menutupi loss atau
kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga investasi. Dufresne
(1988) menyatakan bahwa tujuan dari metode ini agar nilai harapan dari
kontribusi tambahan konvergen menuju 0 (nol) untuk waktu t dalam jangka
panjang. Hal ini karena kestabilan kontribusi tambahan akan menentukan
kestabilan kontribusi.
Menurut Dufresne (1988) terdapat dua tujuan utama dalam jangka panjang
pada pendanaan pensiun. Pertama, untuk memaksimumkan jaminan manfaat
pensiun dapat dilakukan dengan cara meminimumkan ragam dana. Kedua, untuk
memaksimumkan stabilitas kontribusi dengan cara meminimumkan ragam dari
kontribusi.
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses
Periode (ms ) pada metode spreading gains and losses adalah besaran tahun
untuk menentukan berapa periode kerugian akan didistribusikan. Penentuan
kontribusi tambahan dipengaruhi oleh pemilihan periode ( ) ini. Pemilihan
periode ( ) umumnya bebas, namun Owadally dan Haberman (2004)
menyatakan bahwa pada kondisi ekonomi modern di Eropa umumnya pemilihan
yang sesuai yaitu
∈ [1,10] tahun.
Ada tiga temuan penting menurut Dufresne (1988) mengenai karakteristik
dana (fund) dan kontribusi (contribution) pada metode spreading gains and
losses. Temuan ini akan digunakan sebagai dasar menentukan periode optimal
( ∗ ) . Tiga temuan itu antara lain:
1 ragam dana akan meningkat berbanding lurus dengan besarnya periode,
2 ragam kontribusi akan menurun jika besarnya periode meningkat, namun
ragam kontribusi akan meningkat setelah mencapai titik periode
= ∗.
Titik ∗ ini disebut periode optimal dengan ragam kontribusi yang minimum,
3 berdasarkan kriteria minimum ragam dana dan kontribusi, maka lebih efisien
memilih periode
∈ [1, ∗ ] tahun.
8
Nilai Harapan Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang
Nilai harapan kontribusi jangka panjang diharapkan stabil mendekati
besarnya kontribusi normal dan nilai harapan dana diharapkan stabil mendekati
besarnya actuarial liability. Nilai harapan dana dirumuskan sebagai berikut:
=
+
0
1−
1−
,
0
(9)
1− .
dengan = 1 +
Bukti :
Pertama, dari persamaan (3) dan (6) diperoleh = �
′
+
Dari persamaan (5) diperoleh
+1 = 1 + +1
persamaan dan +1 di atas diperoleh
′
1−
+� − +
+1 = 1 + +1
= +1 (
+ ),
dengan
+1
=
1+ ′ +1
(1+ )
1−
= 1+
,
= 1+
, dan
(�
+ ( � + ).
. Dari dua
−
�
−
(10)
+
� ).
Kedua, untuk nilai harapan dana, dari persamaan (10) yang merupakan
bentuk rekursif dari dana (F) dan bergantung pada ′ ,
, akibatnya +1 dan
+ adalah peubah acak yang independen. Untuk = 1,2,3, … berlaku
( + 1) =
( + 1)
(
+ ) .
(11)
Untuk = 1 berlaku
+ 1 = 1. Kemudian diperoleh
+1 =
+ . Karena � , B , dan NC konstan, maka
� ), sehingga akan
� )= 1+ (� − +
= 1+ (� − +
diperoleh
=
0
+
1−
1−
,
■
0.
Nilai harapan dana dan kontribusi untuk waktu jangka panjang adalah
= �
(12)
∞ =
1−
dan
∞ =� .
Bukti:
akan konvergen ke
dan
∞ =
1−
, karena
= 1+
> 1+ , dari bentuk lain persamaan (2) didapatkan
� = 1+ �
= 1+ (
�−� −
atau � � =
− � ) �. Akibatnya
1−
=
1−
1−
atau
1
1+
2 +� 2
>1−
lim sup
→∞
1
1+
( )
lim sup
→∞
= , maka
lim sup
→∞
( )
→ �, sehingga
( )+
�2
.
(1 − )
�2
10
Hal yang sama diperoleh
lim inf
( )
→∞
atau
lim inf
→∞
lim inf
sehingga
lim
�2
( )
→∞
( ) = (1− ) .
→∞
( )+
�2
,
(1 − )
�2
■
Persamaan ragam kontribusi jangka panjang diberikan sebagai berikut:
lim
�2
2
→∞
( )=
(1− )
.
(15)
Bukti:
Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh
=� +�
=� +
�
=� + ( � − )
=� + ( �− )
]
=
[� +
�−
]
=
� +
[
�−
=
� + 2
�+ 2
.
Karena NC dan AL konstan, maka untuk → ∞ berlaku
sehingga
lim
→∞
( ) =
2
lim
→∞
�( ) =
2
=
�2
(1− )
2
,
■
.
Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode
Dengan asumsi penggunaan tingkat bunga dan � yang sama sebesar ,
maka kerugian hanya terjadi karena adanya perbedaan asumsi tingkat bunga
pengembalian investasi aktuaria( ) dan tingkat bunga pengembalian investasi
aktual ( ′ ) . Sehingga fungsi ragam jangka panjang dari kontribusi dapat
dinyatakan sebagai fungsi yang kontinu dari periode ( ) sebagai berikut:
lim
→∞
( )=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
−
2
(16)
dengan:
= tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria atau tingkat bunga
atas kewajiban pensiun ( = � ),
2
� = ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
= (1 + ), dan = 1 + −1 .
Bukti :
Dari persamaan (15) diperoleh
2
�2
lim
( )=
→∞
(1 − )
2 2
� �2 2
=
1 − ( 2 + �2) 1 − 2
11
1
(
|
=
=
=
lim
=
→∞
(
∗
1−(
1−
1−
1−
2
)2 � 2 �2
2
2
1
+ �2) 1 − (
)
|
2
2 2
1−(
2
2 2
2
1−
� 2 �2
+ �2
�
2
2 2
�
−(
�
2
2
�
2
2
−
1−
1−
2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
2
2
)
−
1−
2 2
2 2
−
+ �2) 1 −
2
.
2
■
Persamaan (16) di atas akan digunakan untuk menentukan periode optimal
) dengan meminimumkan nilai limit takhingga ragam kontribusi yaitu
∗
=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
−
2
.
(17)
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
Asumsi
Ilustrasi akan diberikan untuk menentukan periode optimal ( ∗ ) dengan
cara meminimumkan ragam kontribusi jangka panjang pada kondisi yang
memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut:
1 tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table No.16.1 Males
(di Lampiran 1),
2 populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua
peserta program pensiun mulai bekerja pada usia y yaitu 25 tahun dan usia
pensiun normal z yaitu 56 tahun,
3 gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun
sebesar 2%,
4 manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir,
5 tidak terjadi inflasi dan tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan
′
nilai harapan
= sebesar 6% dan standar deviasi tertentu (dijelaskan
pada ilustrasi perhitungan di tiga kasus dengan nilai standar deviasi yang
berbeda pada pembahasan berikutnya),
6 tingkat pengembalian investasi asumsi aktuaria (iA ) dan tingkat bunga atas
kewajiban pensiun ( � ) besarnya sama yaitu sebesar 6%,
7 perhitungan seluruh besaran dinyatakan ke dalam proporsi dari total manfaat
pensiun.
Perhitungan
Gaji diasumsikan sebesar 1 satuan yang mengalami kenaikan 2% setiap
tahun, maka besarnya gaji terakhir di usia 55 tahun yaitu
12
Gaji55 = 1 + 0.02 30 1 = 1.81136.
Asumsi penentuan manfaat pensiun ditentukan dengan proporsi 2/3 dari gaji
terakhir, sehingga diperoleh total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahun
adalah
2
109
= 1.81136 2176943 = 2628820.614,
=
=56
3
dijelaskan di Lampiran 2.
perhitungan 109
=56
Selanjutnya dilakuan perhitungan kontribusi normal berdasarkan persamaan
(1),
�
� =
1.20757
=
=
=
−
−
−1
=
: − |
56 −25
�
56 −25 25
25 :56 −25 |
(1.2057 ) � 31 31 25 56
(1.2057 )
56
55
=25
(2989784)
25 :31 |
1.06 −31 (0.93217 )(12.44323 )
14.569
= 472139.409,
perhitungan 31 25 , 55
x=25 lx ,
25:31| ,
(2989784)
dan
56 dijelaskan di
472139 .409
Lampiran 2, sehingga
proporsi NC terhadap B setiap tahunnya adalah
= 0.180.
2628820 .614
Dari persamaaan (2) actuarial liability setiap tahunnya dihitung dengan
persamaan
( −� )
(2628820 .614−472139 .409)
� = 1− =
1
=
�
1−
1.06
(2156681 .205)
0.056603773
= 38101367.950,
38101367 .950
sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar
= 14.494.
2628820 .614
∗
Perhitungan periode optimal ( ) dipengaruhi oleh standar deviasi dari
tingkat bunga investasi aktual (�) . Agar hasil periode optimal ( ∗ ) yang
diperoleh dapat dibandingkan dan dapat dijelaskan hubungannya dengan standar
deviasi dari tingkat bunga investasi aktual, maka perhitungannya akan dibagi ke
dalam tiga kasus dengan nilai � yang berbeda. Tiga kasus tersebut dan
perhitungan periode optimalnya ( ∗ ) adalah sebagai berikut:
Kasus 1 Nilai � = .
�
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.0025 sehingga
∗
=
(
=
(
1−
� 2 �2 2 2
1−1.06 −
2
)
−
1−
0.0025 2 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 2 −( 2 +� 2 )
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.0025 2 )
1−1.06 −
1.06−0.06
2
).
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 12.402 atau dibulatkan ∗ = 12 . Uji turunan kedua diperoleh nilai
turunan kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 8.731 × 10−7 , sehingga
terbukti bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 3).
∗
13
Kasus 2 Nilai � = .
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.1 sehingga
∗
=
(
=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−1.06 −
1−
−
2
)
0.12 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.12 )
1−1.06 −
1.06−0.06
.
2
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 11.232 atau dibulatkan ∗ = 11 . Uji turunan kedua diperoleh nilai
turunan kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 0.002, sehingga terbukti
bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 4).
∗
Kasus 3 Nilai � = . �
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.25 sehingga
∗
=
=
(
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−1.06 −
1−
−
2
)
0.25 2 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.25 2 )
1−1.06 −
1.06−0.06
2
.
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 7.680 atau dibulatkan ∗ = 8. Uji turunan kedua diperoleh nilai turunan
kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 0.046, sehingga terbukti bahwa ∗
adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 5).
∗
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti dengan
Metode Spreading Gains and Losses
Dalam ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti di dalam karya ilmiah ini
digunakan asumsi yang sama dengan asumsi sebelumnya. Karena asumsi tingkat
′
bunga investasi aktual menyebar normal dengan
= sebesar 6% dan nilai
� yang berbeda menjadi tiga kasus, maka tingkat bunga investasi aktual besarnya
tidak konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data yang menyebar normal
sebanyak 50 untuk tingkat bunga investasi aktual dengan nilai harapan 6% dan
standar deviasi yang sesuai pada masing-masing kasus. Ilustrasi pendanaan ini
dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50.
Kasus 1 Nilai � = .
�
Tahap-tahap perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti
1. Untuk tahun ke-0
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi
� = 0 dan � = 0 untuk
0, yaitu
�0 = 0
⇔ �− 0 = 0
⇔ 0 = �. = 14.494.
14
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8), karena �0 = 0, maka
�0 =
�0 = 0.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
0 = � + �0 = 0.180.
2. Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu
′
1
1 = 1+
0+ 0−
= 1 + 0.060274 (14.494 + 0.180 − 1)
= 14.498
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu
�1 = � − 1 = 14.494 − 14.498 = −0.004.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (7),
yaitu �1 = �1 − �1 . Nilai �1 ditentukan terlebih dahulu, yaitu
�1 = � − 1 = � − 1 + ( 0 + 0 − )
= 14.494 − 1 + 0.06 (14.494 + 0.180 − 1)
= −0.00044,
sehingga �1 = −0.004 − 0.00044 = −0.00444.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan 12 atau
= 0.112525, maka
�1 =
�1 = 0.112525 −0.004 = −0.0004501.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
1 = � + �1 = 0.180 − 0.0004501 = 0.179549.
3. Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu
′
2
2 = 1+
1+ 1−
= 1 + 0.057338 (14.498 + 0.179549 − 1)
= 14.462.
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu
�2 = � − 2 = 14.494 − 14.462 = 0.032.
Kerugian dihitung dengan menggunakan persamaan (7),
yaitu �2 = �2 − �2 . Nilai �2 ditentukan terlebih dahulu, yaitu
�2 = � − 2 = � − 1 + ( 1 + 1 − )
= 14.494 − 1 + 0.06 (14.498 + 0.179549 − 1)
= −0.0042,
sehingga �2 = 0.032 − (−0.0042) = 0.036.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan
= 11 atau = 0.112525, maka
�2 =
�2 = 0.112525 0.032 = 0.0036.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
2 = � + �2 = 0.180 + 0.0036 = 0.1836.
4. Untuk
3
Untuk
3 berlaku langkah-langkah yang serupa dengan t sebelumnya.
Dengan lembar kerja Microsoft Excel secara rekursif (perhitungan lengkap di
Lampiran 8) diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 1 berikut:
15
Tabel 1 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.0025 dan ms = 12
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.060
0.057
0.061
0.061
0.059
0.060
0.060
0.060
0.063
0.059
0.063
0.062
0.061
0.060
0.061
0.057
0.063
0.061
0.063
14.494
14.498
14.462
14.476
14.486
14.480
14.478
14.476
14.476
14.513
14.493
14.531
14.562
14.568
14.558
14.566
14.517
14.555
14.559
14.601
�
0
-0.004
0.032
0.018
0.008
0.014
0.016
0.018
0.018
-0.019
0.001
-0.037
-0.068
-0.074
-0.064
-0.072
-0.023
-0.061
-0.065
-0.107
�
0
-0.004
0.036
-0.012
-0.009
0.007
0.003
0.004
0.001
-0.035
0.020
-0.038
-0.032
-0.010
0.006
-0.012
0.046
-0.039
-0.007
-0.046
0.180
0.180
0.184
0.182
0.181
0.182
0.182
0.182
0.182
0.178
0.180
0.176
0.172
0.172
0.173
0.172
0.177
0.173
0.173
0.168
�
0
-0.000
0.004
0.002
0.001
0.002
0.002
0.002
0.002
-0.002
0.000
-0.004
-0.008
-0.008
-0.007
-0.008
-0.003
-0.007
-0.007
-0.012
Dari Tabel 1 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.0025, nilai dana
bergerak naik dan turun secara fluktuatif yang sangat halus, nilai dana tidak
berselisih jauh dengan besarnya actuarial liability. Unfunded liability bernilai
negatif dan terkadang bernilai positif, artinya tidak terjadi loss yang cukup berarti.
Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa pendanaan sesuai
dengan rencana awal dan sebaliknya. Berkurang atau bertambahnya nilai
unfunded liability akan mengakibatkan perubahan kontribusi tambahan. Besarnya
kontribusi dari waktu ke waktu bergerak naik turun namun besarnya tidak jauh
signifikan dari besarnya kontribusi normal. Semua keadaan ini dikarenakan
standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (�) yang kecil
sehingga perbedaan antara iA dan ′ tidak terlalu signifikan. Bahkan tingkat bunga
investasi aktual yang menyebar acak normal sering menunjukkan bahwa nilai
′
> , artinya sering terjadi surplus atau tidak timbul kerugian yang cukup
berarti. Keadaan inilah yang diharapkan dalam suatu pendanaan program pensiun.
16
Kasus 2 Nilai � = .
Perhitungan untuk kasus 2 dengan cara yang serupa dengan kasus 1
sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′ ) =
= 6% , � = 0.1 dan m*s = 11.
Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 2 berikut: (perhitungan lengkap di
Lampiran 10)
Tabel 2 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ ) =
= 6% , � = 0.1
*
dan ms = 11
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.027
0.061
0.016
0.163
0.093
0.007
-0.030
0.192
0.243
0.025
-0.030
0.144
0.191
0.148
-0.000
0.039
0.326
0.054
0.008
14.494
14.038
14.081
13.524
14.913
15.343
14.522
13.345
15.089
17.653
16.862
15.346
16.500
18.390
19.630
18.139
17.543
21.685
21.082
19.625
�
0
0.456
0.413
0.970
-0.419
-0.849
-0.028
1.149
-0.595
-3.159
-2.368
-0.852
-2.006
-3.896
-5.136
-3.645
-3.049
-7.191
-6.588
-5.131
�
0
0.457
-0.013
0.586
-1.324
-0.457
0.765
1.176
-1.667
-2.604
0.580
1.359
-1.211
-2.023
-1.500
1.148
0.354
-4.346
0.123
1.018
0.180
0.235
0.229
0.296
0.130
0.078
0.177
0.317
0.109
-0.200
-0.100
0.078
-0.060
-0.290
-0.430
-0.260
-0.180
-0.680
-0.610
-0.430
�
0
0.055
0.049
0.116
-0.050
-0.102
-0.003
0.137
-0.071
-0.378
-0.283
-0.102
-0.240
-0.466
-0.614
-0.436
-0.365
-0.860
-0.788
-0.614
Dari Tabel 2 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.1 , nilai dana
kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan
unfunded liability. Besarnya dana sering menunjukkan nilai yang lebih besar dari
actuarial liability. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa
dana sesuai dengan rencana awal pendanaan dan sebaliknya. Berkurangnya dan
bertambahnya nilai unfunded liability akan mengakibatkan kontribusi tambahan
setiap tahunnya juga bertambah dan berkurang yang berbanding lurus. Besarnya
kontribusi juga bergerak fluktuatif setiap tahunnya. Semua keadaan ini
dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang besarnya
relatif sedang sehingga terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang cukup
signifikan. Hal ini berarti terkadang terjadi surplus dan terjadi defisit.
17
Kasus 3 Nilai � = . �
Perhitungan untuk kasus 3 dengan cara yang serupa dengan kasus 1
sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′ ) =
= 6% , � = 0.25 dan m*s = 8.
Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 3 berikut: (perhitungan lengkap di
Lampiran 11)
Tabel 3 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ )= iA = 6% , � = 0.25
dan m*s = 8
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.474
0.264
-0.189
-0.205
0.398
-0.183
-0.105
0.068
0.194
-0.125
-0.323
0.147
0.404
0.428
0.269
0.224
0.227
-0.150
0.037
14.494
20.160
23.352
17.180
12.679
16.964
12.882
11.019
11.455
13.250
11.044
7.276
8.660
12.249
16.811
19.840
22.288
24.880
19.110
18.236
�
0
-5.666
-8.858
-2.686
1.815
-2.470
1.612
3.475
3.039
1.244
3.450
7.218
5.834
2.245
-2.317
-5.346
-7.794
-10.390
-4.616
-3.742
�
0
-5.666
-3.764
5.278
4.230
-4.102
3.833
2.027
-0.084
-1.488
2.333
4.117
-0.654
-2.999
-4.335
-3.262
-2.988
-3.379
4.722
0.408
0.180
-0.680
-1.170
-0.230
0.456
-0.200
0.425
0.708
0.642
0.369
0.704
1.277
1.066
0.521
-0.170
-0.630
-1.000
-1.400
-0.520
-0.390
�
0
-0.861
-1.346
-0.408
0.276
-0.375
0.245
0.528
0.462
0.189
0.524
1.097
0.886
0.341
-0.352
-0.812
-1.184
-1.578
-0.701
-0.569
Dari Tabel 3 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.25 yang relatif
tinggi, nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan
kerugian dan unfunded liability. Unfunded liability kadang bernilai positif dan
negatif. Hal ini mengartikan bahwa kadang terjadi kerugian dan tidak terjadi
kerugian, pergerakannya juga sangat fluktuatif. Nilai unfunded liability yang
bergerak secara fluktuatif akan mengakibatkan kontribusi tambahan dan
kontribusi juga bergerak secara fluktuatif. Pada pendanaan tahun ke-11 dan ke-12
terlihat bahwa nilai dana besarnya terlalu kecil jika dibandingkan dengan besarnya
actuarial liability. Pergerakan kontribusi tambahan sering memperlihatkan bahwa
besarnya melebihi besar kontribusi normal. Hal ini jelas keadaan yang tidak
diharapkan dalam rencana pendanaan pensiun. Semua keadaan ini dikarenakan
standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang relatif tinggi sehingga
terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang signifikan.
18
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga
Pengembalian Investasi Aktual terhadap Kontribusi
Laju Kontribusi terhadap Standar Deviasi dari Tingkat Bunga
Pengembalian Investasi Aktual
Standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ ) akan
mempengaruhi periode optimal ( ∗) untuk menyebarkan kerugian, sehingga akan
mempengaruhi laju kontribusi dalam sistem pendanaannya. Laju kontribusi dari
setiap kasus dengan nilai σ yang berbeda dan bersesuaian dengan periode
optimalnya dijelaskan pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1 Grafik kontribusi saat ( ′ ) =
= 6% saat dipilih periode
optimal ( ∗ ) dengan nilai σ yang berbeda
Dari Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa saat nilai σ yang kecil yaitu sebesar
0.0025 maka laju kontribusi akan bergerak seiring waktu t secara mulus. Artinya
perbedaan besarnya kontribusi dari waktu ke waktu tidak berbeda secara
signifikan. Untuk σ = 0.1 yang relatif sedang maka laju kontribusi akan bergerak
secara fluktuatif dan tidak semulus pada kasus nilai σ sebelumnya yang kecil.
Laju kontribusi bergerak secara fluktuatif yang relatif ekstrim terjadi saat nilai σ
yang besar yaitu saat σ = 0.25, sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar
nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ) maka
laju kontribusi akan bergerak semakin tidak mulus. Hal ini serupa dengan
menyatakan bahwa jika laju kontribusi bergerak semakin fluktuatif yang tidak
mulus maka akan mengakibatkan ragam kontribusi yang semakin besar.
Laju Kontribusi terhadap Periode
Perbandingan besarnya kontribusi untuk setiap waktu t menggunakan
periode ( � ) yang berbeda-beda ditunjukkan dengan ilustrasi kasus 1 yaitu pada
∗
saat ( ′ ) =
= 6% , � = 0.0025 dan
= 12. Kasus 1 dipilih karena
memiliki ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang kecil.
Akibatnya kontribusi akan memiliki laju yang lebih mulus, sehingga akan lebih
mudah dibandingkan lajunya. Perbandingan laju kontribusi saat dipilih periode
19
optimal ∗ = 12 dengan periode ( � ) yang tidak optimal yang berbeda-beda
yaitu sebesar 1, 8, dan 20 dijelaskan pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2 Grafik perbandingan laju kontribusi saat � = 0.0025 dan
ms = 1 dengan nilai ms yang berbeda
Dari Gambar 2 terlihat bahwa besarnya kontribusi yang dibayarkan setiap
tahun dimulai dari tahun ke-1 sampai tahun ke-50 untuk periode terkecil ms = 1
lajunya bergerak secara fluktuatif yang tidak mulus. Hal ini karena terjadinya
kerugian langsung dibayarkan penuh di tahun setelahnya selama 1 periode,
sedangkan laju untuk periode selain ms = 1 dijelaskan di Gambar 3 berikut:
Gambar 3 Grafik laju kontribusi saat � = 0.0025 dengan variasi
nilai ms = 8, ∗ = 12, dan ms = 20
Dari Gambar 3 untuk periode (ms ) semakin besar maka laju kontribusi
semakin halus pergerakannya. Hal ini mencerminkan bahwa semakin besar
periode (ms ) yang dipilih maka semakin lambat besarnya laju kontribusi yang
dibayarkan, artinya semakin lambat pula kerugian yang terjadi ditutupi
20
(didistribusikan) setiap tahunnnya. Untuk periode optimal ∗ = 12, walaupun
kerugian ditutupi secara lambat namun semakin lama dalam jangka panjang nilai
kontribusi ini akan memiliki ragam yang minimum.
Standar Deviasi Kontribusi Jangka Panjang
Periode optimal (m*s ) akan memberikan nilai ragam yang minimum dari
kontribusi yang dibayarkan dalam jangka panjang. Hal ini serupa dengan
menyatakan bahwa periode optimal (m*s ) juga akan memberikan nilai standar
deviasi yang minimum.
Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode optimal
*
(ms ) dari hasil perhitungan sebelumnya akan dibandingkan dengan nilai standar
deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode yang lebih kecil dan yang
lebih besar dari periode optimal (m*s ) (perhitungan di Lampiran 12, 13, dan 14).
Perbandingan nilai standar deviasi kontribusi dalam jangka panjang tersebut
diberikan pada Tabel 4 berikut:
Tabel 4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan
berbagai periode (ms ) dan standar deviasi tingkat
bunga investasi aktual (�) yang berbeda
ms
1
4
∗
= 8
∗
=
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Periode
Optimal Spreading Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi
Jangka Panjang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing
dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.
Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun
tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Yoyok Hariyanto
NIM G54090005
ABSTRAK
YOYOK HARIYANTO. Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and
Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang. Dibimbing
oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Karya ilmiah ini bertujuan untuk menentukan periode optimal spreading
gains and losses pada rencana pendanaan pensiun manfaat-pasti. Prinsip metode
spreading gains and losses adalah dengan menyebarkan keuntungan dan kerugian
ke beberapa periode. Periode optimal ditentukan dengan meminimumkan ragam
kontribusi dalam jangka panjang. Pada karya ilmiah ini diasumsikan bahwa
kerugian disebabkan oleh perbedaan tingkat bunga investasi aktuaria dengan
tingkat bunga investasi aktual. Ilustrasi pada karya ilmiah ini menggunakan tiga
kasus dengan nilai standar deviasi dari tingkat bunga investasi aktual sebesar
0.0025, 0.1, dan 0.25. Nilai periode optimal yang diperoleh dari ketiga kasus
berturut-turut sebesar 12 tahun, 11 tahun, dan 8 tahun, serta besarnya standar
deviasi dari kontribusi jangka panjang yang diperoleh berturut-turut sebesar 0.011,
0.469, dan 1.355. Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa ragam dari
tingkat bunga investasi aktual berbanding lurus dengan ragam dari kontribusi
dalam jangka panjang namun ragam dari tingkat bunga investasi aktual
berbanding terbalik dengan periode optimal penyebaran kerugian.
Kata kunci: metode spreading gains and losses, minimum ragam kontribusi,
pensiun manfaat-pasti, periode optimal
ABSTRACT
YOYOK HARIYANTO. Determining Optimal Periods of Spreading Gains
and Losses by Minimizing the Variance of Long-Term Contribution. Supervised
by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
The purpose of this paper is to determine optimal periods of spreading gains
and losses on defined benefit pension funding plan. The principle of spreading
gains and losses method is by spreading gains and losses to some periods. The
optimal period is determined by minimizing the variance of long-term
contribution. This paper assumes that losses are caused by the difference of
actuarial rate and actual rate of investment return. The illustration of this paper
uses three cases which standard deviations of actual rate of investment return are
0.0025, 0.1, and 0.25. The optimal period for three cases are acquired 12 years, 11
years, and 8 years, and standard deviation of long-term contribution for three
cases are acquired 0.011, 0.469, and 1.355. It is concluded that the variance of
actual rate of investment return and the variance of long-term contribution are
comparable but the variance of actual rate of investment return and the optimal
period of spreading losses are inversely proportional.
Keywords: defined benefit pension, minimum variance of contribution, optimal
period, spreading gains and losses method
PENENTUAN PERIODE OPTIMAL SPREADING GAINS AND
LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG
YOYOK HARIYANTO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Periode Optimal Spreading Gains and Losses dengan
Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang
Nama
: Yoyok Hariyanto
NIM
: G54090005
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I
Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 orangtua tercinta (Yatimi dan Alm Supangat), kakak (Tina Wati, Zeni Sunyoto,
dan Rika Umami) serta seluruh keluarga atas segala doa, kasih sayang, dan
motivasinya,
2 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing I dan Ibu Ir
Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing II yang telah membimbing
dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Dr Ir I Wayan Mangku, MSc selaku
dosen penguji yang telah memberikan koreksi dan saran dalam penulisan karya
ilmiah ini,
3 Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS selaku ketua Departemen Matematika IPB dan
Bapak Dr Ir Amril Aman, MSc selaku dosen pembimbing akademik yang telah
memberikan dukungan, motivasi, dan semangatnya kepada penulis,
4 seluruh jajaran yang berwenang dan donatur Yayasan Karya Salemba Empat
yang telah memberikan beasiswa selama tiga tahun kepada penulis,
5 teman organisasi daerah Ponorogo Manggolo Putro dan teman Pondok Anak
Sholeh (Aziz, Danang, Doni, Febri, Iddea, dan Irfan) yang senantiasa menjadi
tempat berbagi,
6 teman matematika angkatan 46 (Syaepul, Fenny, Aldi, Nurul, Lestari, Mirna,
Hendra, Irma, Desyi, Evy, Fitri, Danty, Windi, dan lainnya) yang telah
membantu penulis dalam kegiatan belajar,
7 seluruh staf tata usaha dan mahasiswa angkatan 44, 45, 47, dan 48 Departemen
Matematika IPB yang telah menemani perjalanan penulis selama perkuliahan.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Yoyok Hariyanto
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
2
Nilai Sekarang Aktuaria
3
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti
4
Metode Spreading Gains and Losses
7
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses
7
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
11
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat Pasti dengan Metode Spreading Gains
and Losses
13
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga Pengembalian
Investasi Aktual terhadap Kontribusi
SIMPULAN DAN SARAN
18
21
Simpulan
21
Saran
21
DAFTAR PUSTAKA
22
LAMPIRAN
23
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.0025 dan ms = 12
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.1 dan ms = 11
Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ )= iA = 6% ,
� = 0.25 dan m*s = 8
Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode
(ms ) dan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual ( �) yang
berbeda
15
16
17
20
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
Grafik kontribusi dengan ( ′ ) =
= 6% saat dipilih periode
optimal ( ∗ ) dengan nilai σ yang berbeda
Grafik perbandingan laju kontribusi saat � = 0.0025 dan ms =
1 dengan nilai ms yang berbeda
Grafik laju kontribusi saat � = 0.0025 dengan variasi nilai ms = 8,
∗
= 12, dan ms = 20
18
19
19
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
English Life Table No. 16.1 Males
109
, 25:31| , dan 56
Perhitungan 31 25 , 55
=56
x=25 lx ,
∗
′
Perhitungan periode optimal ( ) saat
=
= 6% dan
� = 0.0025 dengan Wolfram Mathematica
Perhitungan periode optimal ( ∗ ) saat ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.1 dengan Wolfram Mathematica
Perhitungan periode optimal ( ∗ ) saat ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.25 dengan Wolfram Mathematica
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
=1
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
=8
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan ∗ = 12
23
24
27
28
29
30
32
34
9
10
11
12
13
14
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 1 ( ( ′ ) =
= 6% dan
� = 0.0025) dengan
= 20
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 2 ( ( ′ )= iA = 6% dan
� = 0.1) dengan ∗ = 11
Proses perhitungan pendanaan asuransi manfaat-pasti dengan metode
spreading gains and losses pada kasus 3 ( ( ′ )= iA = 6% dan
� = 0.25) dengan ∗ = 8
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.0025 dengan berbagai nilai periode
( ) yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.1 dengan berbagai nilai periode ( )
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
Perhitungan standar deviasi kontribusi jangka panjang saat
( ′) =
= 6% dan � = 0.25 dengan berbagai nilai periode ( )
yang berbeda (dengan Wolfram Mathematica)
36
38
40
42
43
44
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Kebutuhan tidak pernah lepas dari kehidupan seseorang. Saat usia produktif
orang bekerja untuk mendapatkan penghasilan guna memenuhi segala kebutuhan.
Namun di saat usia tidak produktif (masa tua) orang sudah tidak mampu lagi
bekerja, namun tuntutan kebutuhan hidup tetap harus dipenuhi. Oleh karena itu
seseorang harus selalu dapat menjaga kesinambungan penghasilan sampai pada
saat orang tersebut tidak mampu lagi bekerja pada usia tertentu. Salah satu sistem
yang dapat menjamin kesinambungan penghasilan adalah program dana pensiun.
Berdasarkan UU Republik Indonesia Nomor 11 tahun 1992 tentang Dana
Pensiun, program dana pensiun merupakan badan hukum yang didirikan dalam
upaya untuk memelihara kesinambungan penghasilan pada hari tua untuk
karyawan. Sehingga jika dilihat dari tujuannya, program pensiun merupakan salah
satu solusi agar tuntutan akan kebutuhan tetap dapat terpenuhi dan taraf hidup
tetap terjaga.
Salah satu jenis program pensiun adalah program pensiun manfaat-pasti.
Program pensiun manfaat-pasti adalah program pensiun yang penentuan besarnya
benefit (manfaat) yang diperoleh peserta pensiun sudah ditetapkan di awal namun
besarnya iuran yang dibayarkan peserta dari waktu ke waktu tidak pasti jumlahnya,
bergantung pada kesediaan dana yang terkumpul untuk memenuhi kewajiban
manfaat pensiun tersebut. Seorang aktuaris melakukan perhitungan secara cermat
dan berkesinambungan untuk menentukan besarnya contribution (kontribusi)
yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya agar dana yang terkumpul dapat
menjamin seluruh kewajiban manfaat pensiun.
Pada proses perhitungan, seorang aktuaris menggunakan asumsi-asumsi
aktuaria untuk memprediksikan segala kemungkinan yang terjadi. Menurut
Winklevoss (1977) asumsi tersebut berkaitan dengan tingkat kematian (mortalitas),
tingkat gaji (termasuk inflasinya), dan tingkat bunga. Asumsi tingkat bunga
terbagi menjadi tingkat bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat
bunga yang dikenakan atas aset pensiun (pengembalian investasi).
Dalam rencana pendanaan, tingkat bunga pengembalian investasi ditetapkan
oleh aktuaris namun faktanya penetapan ini mungkin berbeda dengan tingkat
bunga pengembalian investasi aktual yang sebenarnya. Perbedaan ini akan
menimbulkan laba atau rugi. Agar dana yang terkumpul tetap mampu mencukupi
kewajiban program pensiun, maka laba atau rugi ini harus ditutupi dengan
supplementary contribution. Supplementary contribution merupakan kontribusi
tambahan yang timbul akibat terjadinya laba atau rugi.
Ada beberapa metode untuk menentukan besarnya nilai kontribusi tambahan,
salah satunya metode spreading gains and losses. Prinsip dasar metode ini adalah
penyebaran loss (kerugian) yang terjadi pada waktu yang didistribusikan pada
waktu t, t+1, t+2, dan seterusnya. Penentuan kontribusi tambahan ini sebanding
dengan suatu proporsi dari besarnya kerugian yang terjadi. Pemilihan proporsi ini
dipengaruhi oleh periode m (tahun) untuk menyebarkan kerugian. Pemilihan nilai
periode m adalah bebas. Namun Owadally dan Haberman (2004) menyatakan
bahwa pada kondisi ekonomi modern, pemilihan periode m yang cocok antara
2
skala 1 sampai 10 tahun. Karya ilmiah ini menjelaskan tentang penentuan periode
(m) yang optimal. Penentuan periode optimal ini didasarkan pada prinsip ragam
minimum dari kontribusi dalam jangka panjang agar stabilitas kontribusi
maksimal. Rujukan utama dari karya ilmiah ini adalah jurnal karangan Owadally
dan Haberman (1999) yang berjudul “Pension Fund Dynamics and Gains/Losses
Due to Random Rates of Investment Return”.
Tujuan Penelitian
1
2
3
4
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
menjelaskan dan memberikan ilustrasi mengenai metode spreading gains and
losses pada pendanaan pensiun manfaat-pasti dengan asumsi terjadinya
kerugian disebabkan oleh perbedaan antara tingkat bunga pengembalian
investasi aktuaria dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
menentukan periode optimal penyebaran kerugian pada metode spreading
gains and losses dengan meminimumkan ragam kontribusi dalam jangka
panjang,
menganalisis dampak pemilihan periode optimal penyebaran kerugian terhadap
laju kontribusi,
menjelaskan pengaruh ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual
terhadap besarnya periode optimal penyebaran kerugian dan besarnya ragam
kontribusi dalam jangka panjang.
TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun manfaat-pasti adalah asuransi pensiun yang penentuan
besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki usia pensiun
normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat pensiun ini akan
digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya penetapan kontribusi yang
harus dibayarkan peserta setiap periodenya. Menurut Dufresne (1988) terdapat
beberapa asumsi tingkat bunga yang digunakan pada pendanaan pensiun manfaatpasti, yaitu tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria ( ), tingkat bunga
yang dikenakan atas kewajiban pensiun ( � ), dan tingkat bunga pengembalian
investasi aktual ( ′ ).
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi ( ) merupakan asumsi yang
digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas dana (aset)
program pensiun. Besar kecilnya perkiraan tingkat pengembalian investasi ini
berbanding lurus dengan besar kecilnya hasil investasi dari dana yang akan
diperoleh. Asumsi tingkat bunga atas kewajiban pensiun ( � ) merupakan tingkat
bunga yang diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun
yang akan diterima di masa saat manfaat-pensiun diterima. Besarnya � biasanya
ditentukan dari perkiraan awal oleh aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat
bunga yang dikenakan atas aset bebas resiko, obligasi yang dikeluarkan
3
pemerintah atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu. Asumsi
tingkat bunga ketiga yang digunakan adalah ′ , yaitu tingkat bunga yang diperoleh
dari investasi dana secara aktual yang diketahui di akhir suatu periode tertentu
(Dufresne 1988).
Program pensiun manfaat-pasti menerapkan metode entry age normal, yaitu
metode yang menerapkan pendanaan dengan memandang manfaat pensiun pada
usia pensiun normal. Metode ini menentukan normal contribution (kontribusi
normal) yang akan dibayarkan setiap peserta berpedoman awal dari besarnya
manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji
peserta di masa depan, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, gaji rata-rata
dari peserta selama masa kerja, dan masa pembayaran pembayaran kontribusi
(Haberman 1995).
Ketentuan lain pada metode entry age normal pada pensiun manfaat-pasti
yaitu kontribusi normal dibayarkan dari peserta dimulai saat umur peserta mulai
bekerja, bukan saat umur peserta mulai mengikuti program pensiun serta besarnya
kontribusi normal ini tetap setiap periodenya dan ditentukan dari proses
perhitungan (Owadally dan Haberman 1999).
Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Nilai sekarang atas pembayaran manfaat pensiun masa depan disebut juga
actuarial present value of future benefit (APVFB). Besaran APVFB merupakan
sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa yang akan datang yang
ditafsirkan di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai
APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah
−
�
=
�
−
dengan:
= manfaat pensiun pada usia pensiun normal z,
= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang dibayarkan
dimulai usia pensiun z,
= peluang bahwa seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai
−
usia pensiun z,
=
1 + � −1 (tingkat diskonto), � merupakan tingkat bunga yang
�
dikenakan atas kewajiban pensiun.
Nilai Sekarang Aktuaria atas Pembayaran Kontribusi Normal
Nilai sekarang atas pembayaran kontribusi normal disebut juga dengan
actuarial present value of future normal contribution (APVFNC). Besaran
APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran kontribusi peserta yang ditafsirkan
di masa sekarang. Menurut Winklevoss (1977) secara matematis nilai APVFNC
bagi seseorang yang berumur y adalah
( �
� ) =
−1
(� )
=
dengan (� ) = kontribusi normal pada waktu t.
�
−
−
4
Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu
Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel
takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.
Menurut Stewart (1998) turunan fungsi � pada bilangan
dinyatakan
dengan � ′ ( ) adalah
� +ℎ − �( )
�′
,
= lim
ℎ→0
ℎ
jika limit ini ada.
Jika = + ℎ, maka ℎ = − dan h mendekati 0 jika dan hanya jika x
mendekati . Jika limit ini ada, maka dapat ditulis
�
− �( )
.
�′
= lim
→
−
Prinsip Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai minimum
(terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji Turunan Kedua.
Menurut Stewart (1998) andaikan � ′′ kontinu di sekitar , jika � ′
= 0 dan
′′
�
> 0, maka � mempunyai nilai minimum lokal pada .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Konsep Dasar Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti
Beberapa konsep dasar pada pendanaan pensiun manfaat-pasti antara lain:
Manfaat Pensiun (B)
Manfaat pensiun adalah jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh
perusahaan asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Besar
nilainya merupakan penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang
mengikuti asuransi pensiun pada periode tertentu. Besarnya manfaat pensiun
ditentukan di awal secara pasti dan diketahui nilainya karena akan digunakan
sebagai acuan untuk menentukan berbagai perhitungan aktuaria.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi
pensiun selama peserta mengikuti program ini dimulai dari usia awal y sampai
usia pensiun z. Nilai kontribusi normal yang dibayarkan oleh peserta pada waktu t
dilambangkan dengan (NC)t . Pada pensiun program manfaat-pasti nilai kontribusi
normal konstan setiap tahunnya. Rumus untuk menentukan kontribusi normal
sebagai berikut:
� =
�
−
−
: − |
,
(1)
5
dengan : − | merupakan anuitas hidup diskret di awal periode berjangka waktu
(z-y) tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y.
Bukti :
Berdasarkan ketentuan bahwa nilai sekarang seseorang berusia y dari
pembayaran berkala kontribusi normal besarnya harus sama dengan nilai sekarang
dari pembayaran berkala manfaat pensiun seseorang berusia y yaitu
� �
= �
−1
−
−
⇔ = �
=
�
�
−
−
−
−1
−
⇔
�
.
=
�
�
−
=
−
−
−1
−
.=
⇔ �
�
−
�
−
=
⇔
�
⇔
�
=
=
�
−1
=
�
−
�
−
−
−
−
: − |
−
.
■
Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability merupakan kewajiban aktuaria untuk menjamin suatu
kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability sering disebut juga dengan
cadangan manfaat untuk menjamin pembayaran benefit. Actuarial liability
dihitung dengan menggunakan actuarial present value of future benefit (APVFB)
saat usia x dikurangi dengan actuarial present value of future normal contribution
(APVFNC) pada saat usia x. Rumus actuarial liability saat orang berumur x adalah
sebagai berikut:
−
�� =
− �
�
−
: − |.
Bukti :
Untuk usia pensiun z (
< )
� = ( �
) −( � � )
−
=
− =−1(� ) � − −
�
−
−
=
− (� ) =−1 � − −
�
−
−
=
− �
■
�
−
: − |.
Jika secara agregrat (keseluruhan) besarnya NC, B dan � sudah diketahui
dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
�=
( −� )
(1− � )
.
(2)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun t dan manfaat pensiun
juga dibayarkan, maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban
pensiun. Kondisi ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun
karena penerimaan kontribusi normal dan pembayaran manfaat pensiun. Jika
dilihat pada waktu t berlaku
+ � � +1 − .
�∆ � =�
Karena � = � +1 = � konstan, maka ∆ � = 0 , B dan NC juga
konstan, sehingga berlaku juga
� + � �− =0
⇔
−�
� � =
6
⇔ (1 −
⇔
�)
�= −�
( −� )
�=
.
(1− � )
■
Kontribusi (C)
Kontribusi merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program
pensiun. Nilai kontribusi ini tidak konstan setiap periodenya. Hal ini dikarenakan
nilai kontribusi pada waktu ke-t ( ) dipengaruhi oleh kontribusi tambahan
(� ) yang nilainya bisa berubah setiap waktu ke-t bergantung pada keadaan laba
atau rugi. Kontribusi dirumuskan
=� +� .
(3)
Di dalam karya ilmiah ini perhitungan nilai kontribusi tambahan menggunakan
metode spreading gains and losses.
Dana (F)
Dana (fund) pada saat waktu t ( ) merupakan nilai total dana yang dimiliki
suatu program pensiun pada waktu t. Dana ini terdiri dari total pembayaran
kontribusi seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun, dan
termasuk hasil pengembangan investasi dari dana pensiun tersebut. Secara
matematis dirumuskan sebagai berikut:
Rumus untuk nilai dana atas asumsi aktuaria
(4)
= 1 + ( −1 + −1 − )
dan rumus untuk nilai dana aktual
= 1+ ′
.
(5)
−1 +
−1 −
Unfunded Liability (UL)
Unfunded liability pada waktu ke-t adalah selisih nilai actuarial liability
pada waktu ke-t dengan aset program pensiun secara aktual pada periode tersebut.
Unfunded liability dirumuskan
� = � − .
(6)
Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan
dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun kedepannya. Jika
nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada pendanaan
pensiun tersebut dan sebaliknya.
Kerugian (L)
Kerugian merupakan indikasi terjadi situasi laba atau rugi pada pendanaan
pensiun yang telah direncanakan. Kerugian bernilai positif artinya telah terjadi
kerugian dan sebaliknya. Nilai kerugian diperoleh dari selisih unfunded liability
yang dihitung dari asumsi aktuaria dan dari perhitungan yang sebenarnya yaitu
(7)
� = � − � ,
dihitung dengan asumsi aktuaria.
dengan � = � −
7
Metode Spreading Gains and Losses
Metode spreading gains and losses adalah metode penentuan kontribusi
tambahan (supplementary contribution) pada asuransi pensiun manfaat-pasti yang
mengikuti prinsip aggregate actuarial cost menthod. Aggregate actuarial cost
menthod adalah metode perhitungan aktuaria yang menggunakan total nilai
keseluruhan. Metode ini diterapkan di negara-negara Benua Eropa Utara terutama
di Inggris (United Kingdom) (Owadally 2003).
Prinsip yang mendasari metode ini adalah perumusan kontribusi tambahan
pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti oleh suatu
proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode selama m
tahun untuk mencicil unfunded liability seperti yang dikemukakan Dufresne
(1988) yaitu
1
� =
� ,
=
,
(8)
|
dengan penentuan
| didasarkan pada tingkat bunga investasi aktuaria ( ) .
Selanjutnya periode (m) pada metode spreading gains and losses dilambangkan
dengan ms .
Penentuan kontribusi tambahan digunakan untuk menutupi loss atau
kerugian yang terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga investasi. Dufresne
(1988) menyatakan bahwa tujuan dari metode ini agar nilai harapan dari
kontribusi tambahan konvergen menuju 0 (nol) untuk waktu t dalam jangka
panjang. Hal ini karena kestabilan kontribusi tambahan akan menentukan
kestabilan kontribusi.
Menurut Dufresne (1988) terdapat dua tujuan utama dalam jangka panjang
pada pendanaan pensiun. Pertama, untuk memaksimumkan jaminan manfaat
pensiun dapat dilakukan dengan cara meminimumkan ragam dana. Kedua, untuk
memaksimumkan stabilitas kontribusi dengan cara meminimumkan ragam dari
kontribusi.
Periode Optimal pada Metode Spreading Gains and Losses
Periode (ms ) pada metode spreading gains and losses adalah besaran tahun
untuk menentukan berapa periode kerugian akan didistribusikan. Penentuan
kontribusi tambahan dipengaruhi oleh pemilihan periode ( ) ini. Pemilihan
periode ( ) umumnya bebas, namun Owadally dan Haberman (2004)
menyatakan bahwa pada kondisi ekonomi modern di Eropa umumnya pemilihan
yang sesuai yaitu
∈ [1,10] tahun.
Ada tiga temuan penting menurut Dufresne (1988) mengenai karakteristik
dana (fund) dan kontribusi (contribution) pada metode spreading gains and
losses. Temuan ini akan digunakan sebagai dasar menentukan periode optimal
( ∗ ) . Tiga temuan itu antara lain:
1 ragam dana akan meningkat berbanding lurus dengan besarnya periode,
2 ragam kontribusi akan menurun jika besarnya periode meningkat, namun
ragam kontribusi akan meningkat setelah mencapai titik periode
= ∗.
Titik ∗ ini disebut periode optimal dengan ragam kontribusi yang minimum,
3 berdasarkan kriteria minimum ragam dana dan kontribusi, maka lebih efisien
memilih periode
∈ [1, ∗ ] tahun.
8
Nilai Harapan Dana dan Kontribusi dalam Jangka Panjang
Nilai harapan kontribusi jangka panjang diharapkan stabil mendekati
besarnya kontribusi normal dan nilai harapan dana diharapkan stabil mendekati
besarnya actuarial liability. Nilai harapan dana dirumuskan sebagai berikut:
=
+
0
1−
1−
,
0
(9)
1− .
dengan = 1 +
Bukti :
Pertama, dari persamaan (3) dan (6) diperoleh = �
′
+
Dari persamaan (5) diperoleh
+1 = 1 + +1
persamaan dan +1 di atas diperoleh
′
1−
+� − +
+1 = 1 + +1
= +1 (
+ ),
dengan
+1
=
1+ ′ +1
(1+ )
1−
= 1+
,
= 1+
, dan
(�
+ ( � + ).
. Dari dua
−
�
−
(10)
+
� ).
Kedua, untuk nilai harapan dana, dari persamaan (10) yang merupakan
bentuk rekursif dari dana (F) dan bergantung pada ′ ,
, akibatnya +1 dan
+ adalah peubah acak yang independen. Untuk = 1,2,3, … berlaku
( + 1) =
( + 1)
(
+ ) .
(11)
Untuk = 1 berlaku
+ 1 = 1. Kemudian diperoleh
+1 =
+ . Karena � , B , dan NC konstan, maka
� ), sehingga akan
� )= 1+ (� − +
= 1+ (� − +
diperoleh
=
0
+
1−
1−
,
■
0.
Nilai harapan dana dan kontribusi untuk waktu jangka panjang adalah
= �
(12)
∞ =
1−
dan
∞ =� .
Bukti:
akan konvergen ke
dan
∞ =
1−
, karena
= 1+
> 1+ , dari bentuk lain persamaan (2) didapatkan
� = 1+ �
= 1+ (
�−� −
atau � � =
− � ) �. Akibatnya
1−
=
1−
1−
atau
1
1+
2 +� 2
>1−
lim sup
→∞
1
1+
( )
lim sup
→∞
= , maka
lim sup
→∞
( )
→ �, sehingga
( )+
�2
.
(1 − )
�2
10
Hal yang sama diperoleh
lim inf
( )
→∞
atau
lim inf
→∞
lim inf
sehingga
lim
�2
( )
→∞
( ) = (1− ) .
→∞
( )+
�2
,
(1 − )
�2
■
Persamaan ragam kontribusi jangka panjang diberikan sebagai berikut:
lim
�2
2
→∞
( )=
(1− )
.
(15)
Bukti:
Dari persamaan (3), (6), dan (8) diperoleh
=� +�
=� +
�
=� + ( � − )
=� + ( �− )
]
=
[� +
�−
]
=
� +
[
�−
=
� + 2
�+ 2
.
Karena NC dan AL konstan, maka untuk → ∞ berlaku
sehingga
lim
→∞
( ) =
2
lim
→∞
�( ) =
2
=
�2
(1− )
2
,
■
.
Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode
Dengan asumsi penggunaan tingkat bunga dan � yang sama sebesar ,
maka kerugian hanya terjadi karena adanya perbedaan asumsi tingkat bunga
pengembalian investasi aktuaria( ) dan tingkat bunga pengembalian investasi
aktual ( ′ ) . Sehingga fungsi ragam jangka panjang dari kontribusi dapat
dinyatakan sebagai fungsi yang kontinu dari periode ( ) sebagai berikut:
lim
→∞
( )=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
−
2
(16)
dengan:
= tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria atau tingkat bunga
atas kewajiban pensiun ( = � ),
2
� = ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
= (1 + ), dan = 1 + −1 .
Bukti :
Dari persamaan (15) diperoleh
2
�2
lim
( )=
→∞
(1 − )
2 2
� �2 2
=
1 − ( 2 + �2) 1 − 2
11
1
(
|
=
=
=
lim
=
→∞
(
∗
1−(
1−
1−
1−
2
)2 � 2 �2
2
2
1
+ �2) 1 − (
)
|
2
2 2
1−(
2
2 2
2
1−
� 2 �2
+ �2
�
2
2 2
�
−(
�
2
2
�
2
2
−
1−
1−
2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
2
2
)
−
1−
2 2
2 2
−
+ �2) 1 −
2
.
2
■
Persamaan (16) di atas akan digunakan untuk menentukan periode optimal
) dengan meminimumkan nilai limit takhingga ragam kontribusi yaitu
∗
=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−
−
2
.
(17)
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
Asumsi
Ilustrasi akan diberikan untuk menentukan periode optimal ( ∗ ) dengan
cara meminimumkan ragam kontribusi jangka panjang pada kondisi yang
memenuhi asumsi-asumsi sebagai berikut:
1 tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table No.16.1 Males
(di Lampiran 1),
2 populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua
peserta program pensiun mulai bekerja pada usia y yaitu 25 tahun dan usia
pensiun normal z yaitu 56 tahun,
3 gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun
sebesar 2%,
4 manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir,
5 tidak terjadi inflasi dan tingkat bunga investasi aktual menyebar normal dengan
′
nilai harapan
= sebesar 6% dan standar deviasi tertentu (dijelaskan
pada ilustrasi perhitungan di tiga kasus dengan nilai standar deviasi yang
berbeda pada pembahasan berikutnya),
6 tingkat pengembalian investasi asumsi aktuaria (iA ) dan tingkat bunga atas
kewajiban pensiun ( � ) besarnya sama yaitu sebesar 6%,
7 perhitungan seluruh besaran dinyatakan ke dalam proporsi dari total manfaat
pensiun.
Perhitungan
Gaji diasumsikan sebesar 1 satuan yang mengalami kenaikan 2% setiap
tahun, maka besarnya gaji terakhir di usia 55 tahun yaitu
12
Gaji55 = 1 + 0.02 30 1 = 1.81136.
Asumsi penentuan manfaat pensiun ditentukan dengan proporsi 2/3 dari gaji
terakhir, sehingga diperoleh total manfaat pensiun yang dibayarkan setiap tahun
adalah
2
109
= 1.81136 2176943 = 2628820.614,
=
=56
3
dijelaskan di Lampiran 2.
perhitungan 109
=56
Selanjutnya dilakuan perhitungan kontribusi normal berdasarkan persamaan
(1),
�
� =
1.20757
=
=
=
−
−
−1
=
: − |
56 −25
�
56 −25 25
25 :56 −25 |
(1.2057 ) � 31 31 25 56
(1.2057 )
56
55
=25
(2989784)
25 :31 |
1.06 −31 (0.93217 )(12.44323 )
14.569
= 472139.409,
perhitungan 31 25 , 55
x=25 lx ,
25:31| ,
(2989784)
dan
56 dijelaskan di
472139 .409
Lampiran 2, sehingga
proporsi NC terhadap B setiap tahunnya adalah
= 0.180.
2628820 .614
Dari persamaaan (2) actuarial liability setiap tahunnya dihitung dengan
persamaan
( −� )
(2628820 .614−472139 .409)
� = 1− =
1
=
�
1−
1.06
(2156681 .205)
0.056603773
= 38101367.950,
38101367 .950
sehingga proporsi AL terhadap B setiap tahunnya sebesar
= 14.494.
2628820 .614
∗
Perhitungan periode optimal ( ) dipengaruhi oleh standar deviasi dari
tingkat bunga investasi aktual (�) . Agar hasil periode optimal ( ∗ ) yang
diperoleh dapat dibandingkan dan dapat dijelaskan hubungannya dengan standar
deviasi dari tingkat bunga investasi aktual, maka perhitungannya akan dibagi ke
dalam tiga kasus dengan nilai � yang berbeda. Tiga kasus tersebut dan
perhitungan periode optimalnya ( ∗ ) adalah sebagai berikut:
Kasus 1 Nilai � = .
�
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.0025 sehingga
∗
=
(
=
(
1−
� 2 �2 2 2
1−1.06 −
2
)
−
1−
0.0025 2 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 2 −( 2 +� 2 )
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.0025 2 )
1−1.06 −
1.06−0.06
2
).
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 12.402 atau dibulatkan ∗ = 12 . Uji turunan kedua diperoleh nilai
turunan kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 8.731 × 10−7 , sehingga
terbukti bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 3).
∗
13
Kasus 2 Nilai � = .
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.1 sehingga
∗
=
(
=
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−1.06 −
1−
−
2
)
0.12 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.12 )
1−1.06 −
1.06−0.06
.
2
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 11.232 atau dibulatkan ∗ = 11 . Uji turunan kedua diperoleh nilai
turunan kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 0.002, sehingga terbukti
bahwa ∗ adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 4).
∗
Kasus 3 Nilai � = . �
Penentuan periode optimal ( ∗ ) menggunakan persamaan (17) dengan
meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang dengan
� = 0.25 sehingga
∗
=
=
(
1−
� 2 �2 2 2
2 2 −( 2 +� 2 )
1−1.06 −
1−
−
2
)
0.25 2 14.4942 1.06 −2 0.06 2
2 1.06 2 −(1.06 2 +0.25 2 )
1−1.06 −
1.06−0.06
2
.
Dengan prinsip fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh
= 7.680 atau dibulatkan ∗ = 8. Uji turunan kedua diperoleh nilai turunan
kedua fungsi untuk ∗ bernilai positif sebesar 0.046, sehingga terbukti bahwa ∗
adalah minimum lokal (perhitungan di Lampiran 5).
∗
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Manfaat-Pasti dengan
Metode Spreading Gains and Losses
Dalam ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti di dalam karya ilmiah ini
digunakan asumsi yang sama dengan asumsi sebelumnya. Karena asumsi tingkat
′
bunga investasi aktual menyebar normal dengan
= sebesar 6% dan nilai
� yang berbeda menjadi tiga kasus, maka tingkat bunga investasi aktual besarnya
tidak konstan setiap waktu. Selanjutnya dibangkitkan data yang menyebar normal
sebanyak 50 untuk tingkat bunga investasi aktual dengan nilai harapan 6% dan
standar deviasi yang sesuai pada masing-masing kasus. Ilustrasi pendanaan ini
dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50.
Kasus 1 Nilai � = .
�
Tahap-tahap perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti
1. Untuk tahun ke-0
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi
� = 0 dan � = 0 untuk
0, yaitu
�0 = 0
⇔ �− 0 = 0
⇔ 0 = �. = 14.494.
14
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8), karena �0 = 0, maka
�0 =
�0 = 0.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
0 = � + �0 = 0.180.
2. Untuk tahun ke-1
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu
′
1
1 = 1+
0+ 0−
= 1 + 0.060274 (14.494 + 0.180 − 1)
= 14.498
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu
�1 = � − 1 = 14.494 − 14.498 = −0.004.
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (7),
yaitu �1 = �1 − �1 . Nilai �1 ditentukan terlebih dahulu, yaitu
�1 = � − 1 = � − 1 + ( 0 + 0 − )
= 14.494 − 1 + 0.06 (14.494 + 0.180 − 1)
= −0.00044,
sehingga �1 = −0.004 − 0.00044 = −0.00444.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan 12 atau
= 0.112525, maka
�1 =
�1 = 0.112525 −0.004 = −0.0004501.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
1 = � + �1 = 0.180 − 0.0004501 = 0.179549.
3. Untuk tahun ke-2
Dana pensiun dihitung menggunakan persamaan (5), yaitu
′
2
2 = 1+
1+ 1−
= 1 + 0.057338 (14.498 + 0.179549 − 1)
= 14.462.
Unfunded liability dihitung dari persamaan (6), yaitu
�2 = � − 2 = 14.494 − 14.462 = 0.032.
Kerugian dihitung dengan menggunakan persamaan (7),
yaitu �2 = �2 − �2 . Nilai �2 ditentukan terlebih dahulu, yaitu
�2 = � − 2 = � − 1 + ( 1 + 1 − )
= 14.494 − 1 + 0.06 (14.498 + 0.179549 − 1)
= −0.0042,
sehingga �2 = 0.032 − (−0.0042) = 0.036.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (8) dengan
= 11 atau = 0.112525, maka
�2 =
�2 = 0.112525 0.032 = 0.0036.
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (3), yaitu
2 = � + �2 = 0.180 + 0.0036 = 0.1836.
4. Untuk
3
Untuk
3 berlaku langkah-langkah yang serupa dengan t sebelumnya.
Dengan lembar kerja Microsoft Excel secara rekursif (perhitungan lengkap di
Lampiran 8) diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 1 berikut:
15
Tabel 1 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
′
metode spreading gains and losses saat
=
= 6% ,
*
� = 0.0025 dan ms = 12
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.060
0.057
0.061
0.061
0.059
0.060
0.060
0.060
0.063
0.059
0.063
0.062
0.061
0.060
0.061
0.057
0.063
0.061
0.063
14.494
14.498
14.462
14.476
14.486
14.480
14.478
14.476
14.476
14.513
14.493
14.531
14.562
14.568
14.558
14.566
14.517
14.555
14.559
14.601
�
0
-0.004
0.032
0.018
0.008
0.014
0.016
0.018
0.018
-0.019
0.001
-0.037
-0.068
-0.074
-0.064
-0.072
-0.023
-0.061
-0.065
-0.107
�
0
-0.004
0.036
-0.012
-0.009
0.007
0.003
0.004
0.001
-0.035
0.020
-0.038
-0.032
-0.010
0.006
-0.012
0.046
-0.039
-0.007
-0.046
0.180
0.180
0.184
0.182
0.181
0.182
0.182
0.182
0.182
0.178
0.180
0.176
0.172
0.172
0.173
0.172
0.177
0.173
0.173
0.168
�
0
-0.000
0.004
0.002
0.001
0.002
0.002
0.002
0.002
-0.002
0.000
-0.004
-0.008
-0.008
-0.007
-0.008
-0.003
-0.007
-0.007
-0.012
Dari Tabel 1 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.0025, nilai dana
bergerak naik dan turun secara fluktuatif yang sangat halus, nilai dana tidak
berselisih jauh dengan besarnya actuarial liability. Unfunded liability bernilai
negatif dan terkadang bernilai positif, artinya tidak terjadi loss yang cukup berarti.
Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa pendanaan sesuai
dengan rencana awal dan sebaliknya. Berkurang atau bertambahnya nilai
unfunded liability akan mengakibatkan perubahan kontribusi tambahan. Besarnya
kontribusi dari waktu ke waktu bergerak naik turun namun besarnya tidak jauh
signifikan dari besarnya kontribusi normal. Semua keadaan ini dikarenakan
standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (�) yang kecil
sehingga perbedaan antara iA dan ′ tidak terlalu signifikan. Bahkan tingkat bunga
investasi aktual yang menyebar acak normal sering menunjukkan bahwa nilai
′
> , artinya sering terjadi surplus atau tidak timbul kerugian yang cukup
berarti. Keadaan inilah yang diharapkan dalam suatu pendanaan program pensiun.
16
Kasus 2 Nilai � = .
Perhitungan untuk kasus 2 dengan cara yang serupa dengan kasus 1
sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′ ) =
= 6% , � = 0.1 dan m*s = 11.
Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 2 berikut: (perhitungan lengkap di
Lampiran 10)
Tabel 2 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ ) =
= 6% , � = 0.1
*
dan ms = 11
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.027
0.061
0.016
0.163
0.093
0.007
-0.030
0.192
0.243
0.025
-0.030
0.144
0.191
0.148
-0.000
0.039
0.326
0.054
0.008
14.494
14.038
14.081
13.524
14.913
15.343
14.522
13.345
15.089
17.653
16.862
15.346
16.500
18.390
19.630
18.139
17.543
21.685
21.082
19.625
�
0
0.456
0.413
0.970
-0.419
-0.849
-0.028
1.149
-0.595
-3.159
-2.368
-0.852
-2.006
-3.896
-5.136
-3.645
-3.049
-7.191
-6.588
-5.131
�
0
0.457
-0.013
0.586
-1.324
-0.457
0.765
1.176
-1.667
-2.604
0.580
1.359
-1.211
-2.023
-1.500
1.148
0.354
-4.346
0.123
1.018
0.180
0.235
0.229
0.296
0.130
0.078
0.177
0.317
0.109
-0.200
-0.100
0.078
-0.060
-0.290
-0.430
-0.260
-0.180
-0.680
-0.610
-0.430
�
0
0.055
0.049
0.116
-0.050
-0.102
-0.003
0.137
-0.071
-0.378
-0.283
-0.102
-0.240
-0.466
-0.614
-0.436
-0.365
-0.860
-0.788
-0.614
Dari Tabel 2 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.1 , nilai dana
kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan kerugian dan
unfunded liability. Besarnya dana sering menunjukkan nilai yang lebih besar dari
actuarial liability. Tanda negatif dari unfunded liability ini mengartikan bahwa
dana sesuai dengan rencana awal pendanaan dan sebaliknya. Berkurangnya dan
bertambahnya nilai unfunded liability akan mengakibatkan kontribusi tambahan
setiap tahunnya juga bertambah dan berkurang yang berbanding lurus. Besarnya
kontribusi juga bergerak fluktuatif setiap tahunnya. Semua keadaan ini
dikarenakan standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang besarnya
relatif sedang sehingga terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang cukup
signifikan. Hal ini berarti terkadang terjadi surplus dan terjadi defisit.
17
Kasus 3 Nilai � = . �
Perhitungan untuk kasus 3 dengan cara yang serupa dengan kasus 1
sebelumnya, namun dengan asumsi ( ′ ) =
= 6% , � = 0.25 dan m*s = 8.
Diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 3 berikut: (perhitungan lengkap di
Lampiran 11)
Tabel 3 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pesiun manfaat-pasti dengan
metode spreading gains and losses saat ( ′ )= iA = 6% , � = 0.25
dan m*s = 8
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
20
30
40
50
NC
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
0.180
AL
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
14.494
′
0
0.474
0.264
-0.189
-0.205
0.398
-0.183
-0.105
0.068
0.194
-0.125
-0.323
0.147
0.404
0.428
0.269
0.224
0.227
-0.150
0.037
14.494
20.160
23.352
17.180
12.679
16.964
12.882
11.019
11.455
13.250
11.044
7.276
8.660
12.249
16.811
19.840
22.288
24.880
19.110
18.236
�
0
-5.666
-8.858
-2.686
1.815
-2.470
1.612
3.475
3.039
1.244
3.450
7.218
5.834
2.245
-2.317
-5.346
-7.794
-10.390
-4.616
-3.742
�
0
-5.666
-3.764
5.278
4.230
-4.102
3.833
2.027
-0.084
-1.488
2.333
4.117
-0.654
-2.999
-4.335
-3.262
-2.988
-3.379
4.722
0.408
0.180
-0.680
-1.170
-0.230
0.456
-0.200
0.425
0.708
0.642
0.369
0.704
1.277
1.066
0.521
-0.170
-0.630
-1.000
-1.400
-0.520
-0.390
�
0
-0.861
-1.346
-0.408
0.276
-0.375
0.245
0.528
0.462
0.189
0.524
1.097
0.886
0.341
-0.352
-0.812
-1.184
-1.578
-0.701
-0.569
Dari Tabel 3 dapat dijelaskan bahwa pada kondisi � = 0.25 yang relatif
tinggi, nilai dana kadang bertambah dan kadang berkurang, begitu pula dengan
kerugian dan unfunded liability. Unfunded liability kadang bernilai positif dan
negatif. Hal ini mengartikan bahwa kadang terjadi kerugian dan tidak terjadi
kerugian, pergerakannya juga sangat fluktuatif. Nilai unfunded liability yang
bergerak secara fluktuatif akan mengakibatkan kontribusi tambahan dan
kontribusi juga bergerak secara fluktuatif. Pada pendanaan tahun ke-11 dan ke-12
terlihat bahwa nilai dana besarnya terlalu kecil jika dibandingkan dengan besarnya
actuarial liability. Pergerakan kontribusi tambahan sering memperlihatkan bahwa
besarnya melebihi besar kontribusi normal. Hal ini jelas keadaan yang tidak
diharapkan dalam rencana pendanaan pensiun. Semua keadaan ini dikarenakan
standar deviasi tingkat bunga investasi aktual (�) yang relatif tinggi sehingga
terkadang terjadi perbedaan antara dan ′ yang signifikan.
18
Hubungan Periode dan Standar Deviasi dari Tingkat Bunga
Pengembalian Investasi Aktual terhadap Kontribusi
Laju Kontribusi terhadap Standar Deviasi dari Tingkat Bunga
Pengembalian Investasi Aktual
Standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ ) akan
mempengaruhi periode optimal ( ∗) untuk menyebarkan kerugian, sehingga akan
mempengaruhi laju kontribusi dalam sistem pendanaannya. Laju kontribusi dari
setiap kasus dengan nilai σ yang berbeda dan bersesuaian dengan periode
optimalnya dijelaskan pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1 Grafik kontribusi saat ( ′ ) =
= 6% saat dipilih periode
optimal ( ∗ ) dengan nilai σ yang berbeda
Dari Gambar 1 dapat dijelaskan bahwa saat nilai σ yang kecil yaitu sebesar
0.0025 maka laju kontribusi akan bergerak seiring waktu t secara mulus. Artinya
perbedaan besarnya kontribusi dari waktu ke waktu tidak berbeda secara
signifikan. Untuk σ = 0.1 yang relatif sedang maka laju kontribusi akan bergerak
secara fluktuatif dan tidak semulus pada kasus nilai σ sebelumnya yang kecil.
Laju kontribusi bergerak secara fluktuatif yang relatif ekstrim terjadi saat nilai σ
yang besar yaitu saat σ = 0.25, sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin besar
nilai standar deviasi dari tingkat bunga pengembalian investasi aktual (σ) maka
laju kontribusi akan bergerak semakin tidak mulus. Hal ini serupa dengan
menyatakan bahwa jika laju kontribusi bergerak semakin fluktuatif yang tidak
mulus maka akan mengakibatkan ragam kontribusi yang semakin besar.
Laju Kontribusi terhadap Periode
Perbandingan besarnya kontribusi untuk setiap waktu t menggunakan
periode ( � ) yang berbeda-beda ditunjukkan dengan ilustrasi kasus 1 yaitu pada
∗
saat ( ′ ) =
= 6% , � = 0.0025 dan
= 12. Kasus 1 dipilih karena
memiliki ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual yang kecil.
Akibatnya kontribusi akan memiliki laju yang lebih mulus, sehingga akan lebih
mudah dibandingkan lajunya. Perbandingan laju kontribusi saat dipilih periode
19
optimal ∗ = 12 dengan periode ( � ) yang tidak optimal yang berbeda-beda
yaitu sebesar 1, 8, dan 20 dijelaskan pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2 Grafik perbandingan laju kontribusi saat � = 0.0025 dan
ms = 1 dengan nilai ms yang berbeda
Dari Gambar 2 terlihat bahwa besarnya kontribusi yang dibayarkan setiap
tahun dimulai dari tahun ke-1 sampai tahun ke-50 untuk periode terkecil ms = 1
lajunya bergerak secara fluktuatif yang tidak mulus. Hal ini karena terjadinya
kerugian langsung dibayarkan penuh di tahun setelahnya selama 1 periode,
sedangkan laju untuk periode selain ms = 1 dijelaskan di Gambar 3 berikut:
Gambar 3 Grafik laju kontribusi saat � = 0.0025 dengan variasi
nilai ms = 8, ∗ = 12, dan ms = 20
Dari Gambar 3 untuk periode (ms ) semakin besar maka laju kontribusi
semakin halus pergerakannya. Hal ini mencerminkan bahwa semakin besar
periode (ms ) yang dipilih maka semakin lambat besarnya laju kontribusi yang
dibayarkan, artinya semakin lambat pula kerugian yang terjadi ditutupi
20
(didistribusikan) setiap tahunnnya. Untuk periode optimal ∗ = 12, walaupun
kerugian ditutupi secara lambat namun semakin lama dalam jangka panjang nilai
kontribusi ini akan memiliki ragam yang minimum.
Standar Deviasi Kontribusi Jangka Panjang
Periode optimal (m*s ) akan memberikan nilai ragam yang minimum dari
kontribusi yang dibayarkan dalam jangka panjang. Hal ini serupa dengan
menyatakan bahwa periode optimal (m*s ) juga akan memberikan nilai standar
deviasi yang minimum.
Nilai standar deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode optimal
*
(ms ) dari hasil perhitungan sebelumnya akan dibandingkan dengan nilai standar
deviasi kontribusi jangka panjang saat dipilih periode yang lebih kecil dan yang
lebih besar dari periode optimal (m*s ) (perhitungan di Lampiran 12, 13, dan 14).
Perbandingan nilai standar deviasi kontribusi dalam jangka panjang tersebut
diberikan pada Tabel 4 berikut:
Tabel 4 Standar deviasi kontribusi jangka panjang dengan
berbagai periode (ms ) dan standar deviasi tingkat
bunga investasi aktual (�) yang berbeda
ms
1
4
∗
= 8
∗
=