Penentuan Periode Optimal Amortization Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang

PENENTUAN PERIODE OPTIMAL AMORTIZATION GAINS
AND LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG

FENNY SILVIASTUTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Periode
Optimal Amortization Gains and Losses dengan Meminimumkan Ragam
Kontribusi Jangka Panjang adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Fenny Silviastuti
NIM G54090016

ABSTRAK
FENNY SILVIASTUTI. Penentuan Periode Optimal Amortization Gains and
Losses dengan Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang. Dibimbing
oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI.
Metode amortization gains and losses merupakan metode penentuan
kontribusi tambahan pada pendanaan pensiun manfaat pasti. Dalam setiap
pendanaan pensiun selalu terjadi rugi atau laba. Rugi atau laba disebabkan oleh
perbedaan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi dengan tingkat bunga
pengembalian yang sebenarnya. Kerugian yang terjadi harus ditutupi agar
kewajiban atas manfaat pensiun dapat dipenuhi. Kontribusi tambahan dapat
menutupi kerugian dengan mekanisme pembayaran yang sama pada beberapa
periode. Periode yang ditentukan merupakan periode optimal yang dapat
meminimumkan ragam kontribusi jangka panjang karena diharapkan dalam
jangka panjang besarnya kontribusi yang dibebankan kepada peserta program

akan stabil pada setiap tahunnya. Periode optimal untuk metode amortization
gains and losses adalah sebesar 22 tahun dengan nilai ragam kontribusi jangka
panjang sebesar 0.000157.
Kata kunci: metode amortization gains and losses, minimum ragam kontribusi,
periode optimal, tingkat bunga

ABSTRACT
FENNY SILVIASTUTI. Determining the Optimal Period of Amortization Gains
and Losses by Minimizing the Variance of Long-term Contribution. Supervised
by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI.
Amortization gain and loss method is a method to determine supplementary
contributions for defining benefit pension funds. In any pension fund, profits or
losses are always occur. Gains or losses are caused by the difference in the interest
rate return on investment assumption and the actual rate of return. Losses must be
covered in order to meet retirement benefit. Supplementary contributions to cover
losses with the same payment mechanism at some periods, which are the optimal
period; minimizing the range of long-term contribution as expected in the longterm the contribution be applied to program participants will be stable for each
years. The optimal period of amortization gain and loss method is twenty-two
years and the variance of long-term contribution is 0.000157.
Keywords: amortization gain and loss method, interest rates, minimum variance

of contribution, optimal period

PENENTUAN PERIODE OPTIMAL AMORTIZATION GAINS
AND LOSSES DENGAN MEMINIMUMKAN RAGAM
KONTRIBUSI JANGKA PANJANG

FENNY SILVIASTUTI

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013

Judul Skripsi : Penentuan Periode Optimal Amortization Gains and Losses dengan
Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang
Nama
: Fenny Silviastuti
NIM
: G54090016

Disetujui oleh

Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA
Pembimbing I

Ir Retno Budiarti, MS
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Dra Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam karya ilmiah ini ialah pendanaan pensiun manfaat-pasti, dengan
judul Penentuan Periode Optimal Amortization Gains and Losses dengan
Meminimumkan Ragam Kontribusi Jangka Panjang.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1 Ayah Samengku Utomo (alm), ibu Eko Indah Wuryaningtyas selaku orang tua
yang sudah membesarkan, menyayangi, mendidik, dan selalu mendoakan
penulis,
2 Kakak Farid Ilham Rahadiansyah, adik Fahrul Rendra Premadi, eyang Nunuk
Muati dan seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya,
3 Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I dan ibu Ir Retno
Budiarti, MS selaku pembimbing II, bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
selaku penguji serta ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi pendidikan
yang telah banyak memberi saran,
4 seluruh dosen departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu
dan pengalamannya,

5 Aldi Martiandi yang telah banyak membantu dan memberi semangat serta
dukungan,
6 Yoyok, Nurul, Ipul, Fitria, Evy, Dedew, Randita, Nur Lasmini, dan Windiani
yang sudah menjadi sahabat yang baik dan banyak membantu dalam kegiatan
belajar,
7 seluruh teman Matematika 46 yang telah banyak membantu dalam kegiatan
belajar,
8 seluruh teman angkatan 44, 45, 47 atas kerja sama dan bantuannya selama
proses belajar serta dalam kegiatan organisasi.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juni 2013
Fenny Silviastuti

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vii

DAFTAR LAMPIRAN

vii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Asuransi Pensiun Manfaat Pasti

2

Nilai Sekarang Aktuaria

3

Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu

4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4

Model Sederhana dalam Pendanaan Program Pensiun Manfaat-Pasti

4

Metode Amortization Gains and Losses

8

Nilai Harapan Dana dan Kontribusi

10

Ragam Dana dan Kontribusi

14

Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode

16

Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
Gains and Losses

pada Metode Amortization
17

Asumsi-asumsi
Ilustrasi Pendanaan Pensiun dengan Periode Optimal
Metode Amortization Gains and Losses

17
pada
19

Perbandingan Laju Kontribusi terhadap Periode

21

Perbandingan Hasil Optimal Metode Amortization Gains and Losses
dan Metode Spreading Gains and Losses

22

SIMPULAN DAN SARAN

24

Simpulan

24

Saran

24

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

43

DAFTAR TABEL
1 Ilustrasi pendanaan program pensiun manfaat-pasti pada periode
optimal
pada metode
2 Nilai ragam kontribusi jangka panjang
amortization gains and losses dengan periode yang berbeda
pada metode
3 Nilai ragam kontribusi jangka panjang
amortization gains and losses dan metode spreading gains and losses
dengan periode yang berbeda

20
22

23

DAFTAR LAMPIRAN
1 English Life Table No. 16.1 Males
2 Pembuktian solusi persamaan beda
|∑
∑
3 Pembuktian |
1 dan
menggunakan
simulasi
∑
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅| dan ̈
4 Perhitungan
5 Perhitungan menggunakan Wolfram Mathematica 8.0 dalam
menentukan periode optimal
dengan meminimumkan ragam
kontribusi jangka panjang
6 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti pada
metode amortization gains and losses dengan
,

26
26
28
29

32

33
7 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti pada
metode amortization gains and losses dengan
,
35
8 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti pada
metode amortization gains and losses dengan
,
36
9 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti pada
metode amortization gains and losses dengan
,
37
10 Ilustrasi hasil perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti pada
metode amortization gains and losses dengan
,
39
11 Perhitungan nilai ragam kontribusi jangka panjang
pada
metode amortization gains and losses dengan periode yang berbeda
menggunakan Wolfram Mathematica 8.0
12 Perhitungan periode optimal
dan nilai ragam kontribusi jangka
panjang
pada metode spreading gains and losses dan
pembuktian rumus kontribusi jangka panjang terhadap periode

40

41

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Modal manusia untuk hidup dan memenuhi segala kebutuhan adalah dengan
bekerja. Saat usia produktif orang dapat menghasilkan kekayaan secara finansial
untuk memenuhi kebutuhan hidupnya. Pada saat usia tidak produktif (masa tua),
tenaga dan pikiran seseorang mulai berkurang sehingga perusahaan tempat
mereka bekerja biasanya menetapkan usia maksimum bagi karyawan untuk
bekerja. Hal ini mengakibatkan hilangnya pendapatan seorang pekerja yang
berdampak pada tidak seimbangnya antara kebutuhan hidup dan penghasilan.
Untuk mengatasi masalah tersebut terdapat suatu sistem yang dapat menjaga
keseimbangan kebutuhan dan pendapatan seseorang yaitu program dana pensiun.
Program dana pensiun merupakan program jangka panjang sebagai sarana
untuk mencapai masa pensiun yang menyenangkan secara finansial. Program
pensiun yang biasa diterapkan oleh pemberi kerja adalah program pensiun
manfaat-pasti. Program manfaat-pasti adalah program yang manfaatnya sudah
ditentukan atau tetap dari tahun ke tahun sedangkan iurannya berubah-ubah sesuai
dengan kondisi pendanaan suatu pemilik program pensiun (terjadi laba atau rugi).
Pada proses perhitungan, seorang aktuaris menentukan asumsi-asumsi aktuaria
untuk memprediksikan segala kemungkinan yang terjadi. Asumsi tersebut
diantaranya berkaitan dengan tingkat kematian (mortalitas), tingkat gaji (termasuk
inflasinya) dan tingkat bunga. Asumsi tingkat bunga terbagi menjadi tingkat
bunga yang dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat bunga yang dikenakan
atas aset pensiun (pengembalian investasi).
Jika asumsi-asumsi yang digunakan oleh seorang aktuaris tidak sesuai
dengan kondisi sebenarnya maka akan terjadi laba atau rugi, misalkan tingkat
bunga pengembalian investasi yang ditetapkan oleh aktuaris lebih besar atau lebih
kecil dengan tingkat bunga pengembalian investasi yang sebenarnya. Agar dana
yang terkumpul tetap mampu mencukupi kewajiban program pensiun, maka
kerugian ini harus ditutupi dengan dana tambahan yang dibebankan kepada
peserta program pensiun atau sebaliknya jika terjadi laba.
Laba dan rugi dari suatu pendanaan pensiun dapat diatasi dengan adanya
dana tambahan yang biasanya disebut dengan supplementary contribution. Ada
beberapa metode untuk menentukan besarnya kontribusi tambahan
(supplementary contribution), namun yang lebih sering digunakan di negaranegara berkembang yaitu metode amortization gains and losses dan metode
spreading gains and losses. Pembayaran kontribusi tambahan dilakukan secara
berkala selama periode m tahun oleh peserta program pensiun. Penentuan periode
pembayaran sebenarnya bebas, namun untuk menghindari fluktuasi yang tinggi
pada besarnya kontribusi dari tahun ke tahun, maka diperlukan penentuan periode
yang optimal. Besarnya m kali pembayaran secara optimal dapat ditentukan
dengan prinsip ragam terkecil dari kontribusi dalam jangka panjang agar stabilitas
kontribusi optimal. Langkah ini dilakukan agar pemilik program pensiun dapat
memenuhi kewajiban manfaat pensiun. Penentuan periode optimal dapat
menguntungkan pihak peserta program pensiun maupun pemilik program pensiun.
Jika dilihat dari sisi peserta, kontribusi yang dibebankan akan stabil sepanjang

2
tahun dan tidak terjadi fluktuasi yang tinggi. Begitu pula dari sisi pemilik program
pensiun, kerugian akan lebih cepat tertutupi dengan m kali pembayaran kontribusi
yang besarnya tidak memberatkan peserta program pensiun.
Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas secara mendalam tentang
metode amortization gains and losses sedangkan metode spreading gains and
losses akan digunakan sebagai pembanding hasil optimal. Rujukan utama dari
penggunaan metode ini didasarkan pada artikel ilmiah karangan Owadally dan
Haberman (1999) yang berjudul “Pension Fund Dynamics and Gains/Losses Due
to Random Rates of Investment Return”.

Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:
1 menentukan periode optimal proses penyusutan kerugian menggunakan
metode amortization gains and losses dengan meminimumkan ragam
kontribusi jangka panjang,
2 menjelaskan pendanaan program pensiun manfaat pasti dan menentukan
kontribusi tambahan menggunakan metode amortization gains and losses,
3 menganalisis terjadinya rugi atau laba suatu pendanaan pensiun yang
diakibatkan oleh perbedaan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi dan
tingkat bunga pengembalian investasi aktual,
4 menganalisis dan membandingkan laju kontribusi menggunakan variasi
periode m dan periode optimal,
5 menganalisis dan membandingkan hasil periode optimal pada metode
amortization gains and losses dan metode spreading gains and losses.

TINJAUAN PUSTAKA
Asuransi Pensiun Manfaat-Pasti
Asuransi pensiun program manfaat-pasti adalah program asuransi pensiun
yang penentuan besarnya manfaat pensiun yang akan diperoleh setelah memasuki
usia pensiun normal sudah ditentukan di awal. Penetapan besarnya manfaat
pensiun ini akan digunakan sebagai patokan untuk perhitungan besarnya
penetapan kontribusi yang harus dibayarkan peserta setiap periodenya. Asumsi
tingkat bunga yang digunakan pada pensiun program manfaat-pasti yaitu asumsi
tingkat bunga pengembalian investasi
, tingkat bunga yang dikenakan atas
kewajiban pensiun
, dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual
.
Asumsi tingkat bunga pengembalian investasi
merupakan asumsi yang
digunakan untuk menentukan besarnya imbalan pengembalian atas dana program
pensiun. Besar kecilnya perkiraan tingkat pengembalian investasi ini berbanding
lurus dengan besar kecilnya hasil investasi dari dana yang akan diperoleh. Asumsi
tingkat bunga kewajiban atas pensiun
merupakan tingkat bunga yang
diberikan atas dasar penentuan nilai sekarang dari manfaat pensiun yang akan
diterima di masa saat manfaat pensiun diterima. Besarnya biasanya ditentukan

3
dari perkiraan awal aktuaris yang didasarkan pada faktor tingkat bunga yang
dikenakan atas dana bebas risiko, seperti obligasi yang dikeluarkan pemerintah
atau sesuai peraturan pemerintah pada suatu negara tertentu (Dufresne 1988).
Asumsi tingkat bunga ketiga yang digunakan
merupakan tingkat bunga
yang diperoleh dari investasi dana secara aktual yang diketahui di akhir suatu
periode tertentu. Semua tingkat suku bunga dinyatakan dalam persentase.
Program pensiun manfaat-pasti menerapkan metode entry age normal yaitu
metode yang menerapkan pendanaan dengan pandangan manfaat pensiun pada
usia pensiun normal. Metode ini menentukan normal contribution (kontribusi
normal) yang akan dibayarkan setiap peserta yang berpedoman awal dari besarnya
manfaat pensiun. Pandangan ini didasarkan pada beberapa faktor antara lain: gaji
peserta di masa depan, gaji terakhir peserta sebelum masa pensiun, atau gaji ratarata dari peserta selama masa kerja dan masa pembayaran kontribusi (Owadally
dan Haberman 1999).
Ketentuan lain pada entry age normal yaitu kontribusi normal dibayarkan
dari peserta dimulai saat umur peserta mulai bekerja, bukan saat umur peserta
mulai mengikuti program pensiun, selain itu besarnya kontribusi normal bisa tetap
setiap periodenya atau bisa ditentukan dari persentase gaji peserta (Owadally dan
Haberman 1999).

Nilai Sekarang Aktuaria
Nilai Sekarang Aktuaria atas Manfaat Pensiun Masa Depan
Menurut Winklevoss (1993), nilai sekarang dari pembayaran manfaat
pensiun masa depan disebut juga actuarial present value of future benefit
(APVFB). APVFB merupakan sekumpulan pembayaran manfaat pensiun di masa
yang akan datang yang ditafsirkan di masa sekarang. Secara matematis nilai
APVFB bagi seseorang yang berumur y adalah
̈ ,
dengan:
= manfaat pensiun (benefit) usia pensiun normal z,
̈
= anuitas diskret di awal periode seumur hidup yang dibayarkan dimulai
usia pensiun z,
= probabilitas seseorang berusia y tetap bertahan hidup sampai usia
pensiun z,
tingkat diskonto dengan
merupakan tingkat bunga untuk
=
kewajiban pensiun.
Nilai Sekarang Aktuaria atas Iuran Pensiun
Menurut Winklevoss (1993), nilai sekarang dari pembayaran iuran peserta
pensiun disebut juga dengan actuarial present value of future normal contribution
(APVFNC). APVFNC merupakan sekumpulan pembayaran iuran peserta yang
ditafsirkan di masa sekarang. Secara matematis nilai APVFNC bagi seseorang
yang berumur y yaitu:

4
∑
dengan (

) = normal contribution pada waktu t.

Turunan dan Minimum Fungsi Kontinu
Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur tingkat perubahan sesaat variabel
takbebas jika terjadi perubahan unit yang sangat kecil dalam variabel bebas.
Menurut Stewart (1998), turunan fungsi
pada bilangan dinyatakan dengan
adalah

jika limit ini ada.
a
maka
- a dan
Jika
mendekati a, sehingga dapat ditulis

mendekati 0 jika dan hanya jika

Prinsip Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah satunya adalah menguji nilai maksimum
dan minimum (terkait kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan sebutan Uji
Turunan Kedua. Andaikan kontinu di sekitar , jika
dan
maka mempunyai nilai minimum lokal pada

HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Sederhana dalam Pendanaan Program Pensiun Manfaat-Pasti
Beberapa model dan faktor-faktor yang digunakan dalam konsep pendanaan
pensiun program manfaat pasti antara lain:
Benefit (B)
Benefit adalah jumlah total manfaat yang wajib dibayarkan oleh perusahaan
asuransi atau pihak penanggung untuk setiap periodenya. Nilainya merupakan
penjumlahan atas manfaat pensiun bagi semua peserta yang mengikuti asuransi
pensiun pada periode tertentu. Besarnya benefit (B) ditentukan di awal secara pasti
dan diketahui nilainya karena akan digunakan sebagai acuan untuk menentukan
berbagai perhitungan aktuaria pada program pensiun manfaat-pasti.
Kontribusi Normal (NC)
Kontribusi normal adalah iuran yang dibayarkan oleh setiap peserta asuransi
pensiun selama peserta mengikuti program tersebut mulai dari usia awal y sampai

5
usia pensiun z. ( ) menyatakan nilai kontribusi normal yang dibayarkan oleh
peserta yang saat itu berusia t. Nilai NC konstan setiap tahunnya. Rumus untuk
menentukan kontribusi normal sebagai berikut:
̈

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

(1)

merupakan anuitas hidup diskret di awal periode berjangka waktu
dengan ä ̅̅̅̅̅̅̅
tahun yang dibayarkan mulai dari usia masuk kerja y. Rumus tersebut
berasal dari aturan nilai sekarang seseorang berusia y dari pembayaran berkala
kontribusi normal besarnya harus sama dengan nilai sekarang dari pembayaran
berkala benefit seseorang berusia y, persamaannya yaitu
.
Dari persamaan tersebut, dapat dibuktikan bahwa rumus untuk kontribusi normal
sebagai berikut:
̈

∑

̈

∑
∑

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈

̈

Actuarial Liability (AL)
Actuarial liability merupakan kemampuan aktuaria (cadangan manfaat)
dalam menjamin suatu kewajiban manfaat pensiun. Actuarial liability dihitung
dengan actuarial present value of future benefit (APVFB) saat usia x dikurangi
actuarial present value of future normal contribution (APVFNC) pada saat usia x.
Rumus actuarial liability saat orang berumur x adalah sebagai berikut:

Bukti diperolehnya rumus tersebut yaitu:
Untuk usia pensiun z (
)

̈

̈

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

∑

6
̈
̈

∑

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

Jika secara agregrat (keseluruhan) besarnya NC, B dan sudah diketahui
dan konstan sepanjang waktu, maka besarnya actuarial liability juga dapat
dinyatakan dalam persamaan berikut:
(2)
Bukti:
Misalkan kontribusi normal diterima di awal tahun t dan benefit juga dibayarkan,
maka setiap tahunnya akan mendapatkan bunga atas kewajiban pensiun. Kondisi
ini menyebabkan perubahan actuarial liability dalam setahun karena penerimaan
kontribusi normal dan pembayaran benefit. Jika dilihat pada waktu t sehingga
berlaku:

Karena
konstan, sehingga berlaku juga





konstan, maka

, B dan NC juga

.

Menurut Owadally dan Haberman (2000), persamaan actuarial liability
dapat diekspresikan menjadi suatu persamaan yang biasa disebut dengan
persamaan equilibrium yaitu
.
(3)
Kontribusi (C)
Kontribusi merupakan iuran rutin yang dibayarkan dari peserta program
pensiun. Nilai kontribusi ini bisa berubah setiap periodenya. Hal ini disebabkan
nilai kontribusi pada waktu ke-t
dipengaruhi oleh kontribusi tambahan
yang nilainya berubah-ubah setiap waktu ke-t bergantung pada keadaan laba atau
rugi suatu pemilik program pensiun. Rumus kontribusi diekspresikan dalam
persamaan berikut:
.
(4)
Dana Pensiun (F)
Dana pensiun pada waktu t ( ) merupakan nilai total dana yang dimiliki
suatu program pensiun pada waktu t. Dana ini terdiri dari total pembayaran iuran
seluruh peserta, pengurangan atas pembayaran manfaat pensiun dan termasuk
hasil pengembangan investasi dari dana pensiun tersebut. Secara matematis
dirumuskan sebagai berikut:

7
Rumus untuk nilai dana atas asumsi aktuaria yaitu
,

(5)

dengan merupakan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi.
Rumus untuk nilai dana aktual yaitu
.
dengan

(6)

merupakan tingkat bunga pengembalian investasi aktual.

Unfunded Liability (UL)
Unfunded liability pada waktu ke-t
adalah selisih nilai actuarial
liability pada waktu ke-t dengan dana program pensiun secara aktual pada periode
tersebut. Perumusannya dapat ditulis sebagai berikut:
.

(7)

Nilai unfunded liability juga dapat digunakan untuk menentukan kecukupan
dana pensiun yang tersedia untuk pembayaran manfaat pensiun kedepannya.
Artinya jika nilai unfunded liability bernilai positif maka terjadi kekurangan pada
pendanaan pensiun tersebut.
Initial Unfunded Liability
Initial unfunded liability merupakan unfunded liability yang terjadi pada
saat pembentukan program pensiun. Menurut Ulfah (2007), hal ini timbul karena
adanya past service liability atau adanya perubahan atas asumsi aktuaria yang
digunakan. Past service liability yaitu kewajiban yang timbul karena adanya
penghargaan atas jasa peserta program pensiun yang telah bekerja sebelum
memasuki program pensiun. Dalam metode amortisasi initial unfunded liability
didanakan secara terpisah dengan cara diamortisasi selama n tahun. Dalam karya
ilmiah ini tidak dibahas tentang past service liability dan diasumsikan nilai
. Asumsi ini berarti bahwa pada saat program pensiun diadakan, dana
yang ada pada saat itu mencukupi untuk membayar acturial liability. Dengan
demikian berdasarkan persamaan (7) berlaku
.
Kerugian (L)
Kerugian merupakan indikasi terjadi situasi laba atau rugi pada pendanaan
pensiun yang telah direncanakan. Kerugian bernilai positif artinya telah terjadi
kerugian. Nilai kerugian diperoleh dari selisih unfunded liability yang dihitung
dari asumsi aktuaria dan dari perhitungan yang sebenarnya yaitu
,

(8)

dihitung dengan asumsi aktuaria. Menggunakan
dengan
persamaan (3) dan (5) diperoleh
.

(9)

8
Dalam karya ilmiah ini, pada ilustrasi pendanaan pensiun akan digunakan
fungsi kerugian dalam bentuk lain yang diperoleh dari penjabaran persamaan (8),
persamaan (6) dan persamaan (7) sehingga diperoleh fungsi sebagai berikut:
.

(10)

Metode Amortization Gains and Losses
Metode amortization gains and losses adalah metode penentuan
supplementary contribution (kontribusi tambahan) yang mengikuti prinsip
aggregate actuarial cost menthod. Aggregate actuarial cost menthod adalah
metode perhitungan aktuaria yang menggunakan total nilai seluruh objek
perhitungan (secara keseluruhan). Metode ini diterapkan di negara Amerika dan
Kanada. Prinsip yang mendasari metode ini dalam perumusan kontribusi
tambahan pada tahun ke-t adalah dengan memperhitungkan kerugian-kerugian
yang terjadi di m tahun terakhir yang dibagi dengan nilai sekarang dari anuitas
awal dengan jangka waktu m tahun dengan tingkat bunga . Metode ini juga
memperhitungkan initial unfunded liability yang diamortisasi selama n tahun,
sehingga rumus kontribusi tambahan adalah sebagai berikut:
∑

̈ ̅̅̅̅|

(11)

dengan
untuk
dan
merupakan amortisasi dari initial unfunded
liability yang diberikan sebagai berikut:

̈ ̅̅̅̅|
Selain itu, initial unfunded liability yang belum teramortisasi pada saat t
didefinisikan sebagai berikut:

̈ ̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅̅̅̅|

Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa nilai
dan
menyebabkan nilai dari dana awal
sama dengan actuarial liability
Dengan demikian dalam perhitungan kontribusi tambahan hanya berlaku:
∑

̈ ̅̅̅̅|

(1 )

9
dengan nilai ä ̅̅̅
merupakan nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1
setiap awal tahun selama jangka waktu m tahun yang dihitung dengan tingkat
bunga .
Berdasarkan persamaan (12) bahwa kerugian yang dialami tahun ke-s
dengan
, dapat ditutupi dengan membayar m kali pembayaran yang sama
sebesar
selama m tahun setelahnya, dapat diilustrasikan sebagai berikut:
ä
̅̅̅

…

ä ̅̅̅

ä ̅̅̅

ä ̅̅̅

s

s+1

s+2

…

ä ̅̅̅

…

s+m-1

s+m

Dari ilustrasi tersebut dapat diambil sebuah contoh yaitu ketika ingin dicari
nilai kontribusi tambahan pada tahun ke-3 yang harus dibebankan pada peserta
apabila pendanaan program pensiun menggunakan metode amortization gains and
losses dengan lama periode amortisasi selama 2 tahun. Untuk dapat menghitung
nilai tersebut, dapat diuraikan sebagai berikut:
- pada tahun ke-3, kerugian-kerugian aktuaria yang mungkin dialami yaitu
kerugian pada tahun ke-1, tahun ke-2, dan tahun ke-3,
- kerugian pada tahun ke-1 dapat ditutupi dengan membayar 2 kali pembayaran
selama 2 tahun setelahnya,
yang sama sebesar
ä ̅

-

kerugian pada tahun ke-2 dapat ditutupi dengan membayar 2 kali pembayaran
yang sama sebesar ä selama 2 tahun setelahnya,

-

kerugian pada tahun ke-3 dapat ditutupi dengan membayar 2 kali pembayaran
yang sama sebesar ä selama 2 tahun setelahnya.

̅

̅

Untuk mempermudah pemahaman, dapat diilustrasikan dalam bagan berikut:

0

1

2

ä ̅

ä ̅

ä ̅

3

4

ä ̅

5

ä ̅

ä ̅

maka diperoleh nilai kontribusi tambahan pada tahun ke-3 adalah:
∑

̈ ̅|

ä ̅

ä ̅

10
Penentuan kontribusi tambahan digunakan untuk menutupi kerugian yang
terjadi karena adanya perbedaan tingkat bunga investasi. Dufresne (1988)
menyatakan bahwa tujuan dari metode ini agar nilai harapan dari kontribusi
tambahan diharapkan konvergen menuju untuk waktu t dalam jangka panjang.
Hal ini karena kestabilan kontribusi tambahan akan menentukan kestabilan
kontribusi.
Dufresne (1988) juga menyatakan terdapat dua tujuan utama dalam jangka
panjang pada pendanaan pensiun. Pertama, untuk memaksimumkan jaminan
manfaat pensiun yang dapat dilakukan dengan cara meminimumkan ragam fund
(dana). Kedua, untuk memaksimumkan stabilitas kontribusi dengan cara
meminimumkan ragam dari kontribusi. Karena kontribusi normal konstan setiap
periode pada pensiun manfaat pasti, maka besaran kontribusi tambahan
diharapkan juga stabil dalam jangka panjang.
Kontribusi tambahan yang stabil dipengaruhi oleh penentuan periode m
yang tepat dalam metode amortization gains and losses. Sebenarnya penentuan
periode m adalah bebas, namun untuk menstabilkan nilai kontribusi tambahan
harus dipilih periode m yang optimal.
Nilai Harapan Dana dan Kontribusi
Pada metode amortization gains and losses setiap kerugian di tahun ke-s
akan ditutupi dengan m kali pembayaran sebesar ä yang dilakukaan pada
̅̅̅

saat
. Faktanya bahwa ä ̅̅̅ yang dihitung pada tingkat
bunga
memastikan bahwa
pada kenyataanya dibatalkan setelah m kali
pembayaran dilakukan. Hal ini berarti bahwa semua kerugian diamortisasi dengan
cara yang sama. Menurut Dufresne (1989), dalam praktiknya, keuntungan dapat
dihapuskan untuk mengurangi unfunded liability. Dengan demikian dalam
menghitung nilai harapan dana dan kontribusi pada metode amortization gains
and losses harus dilihat secara keseluruhan penyebab dari kerugian. Semua
kerugian akan diamortisasi dengan menurunkan persamaan beda yang melibatkan
unsur kerugian. Hasil dari nilai harapan fungsi kerugian tersebut digunakan untuk
menghitung nilai harapan dana dan kontribusi. Dari persamaan (3) dan (6)
dapat diekspresikan menjadi

(13)
Menggunakan persamaan (8), (9), dan (4) diperoleh
]
Persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut:
,
∑

ä ̅̅̅

]

(14)

(15)
(16)

11
Diperoleh solusi persamaan partikular dari persamaan (16) yaitu
∑
dengan dapat ditentukan dengan mensubstitusi secara langsung ke dalam
persamaan (16) dan diperoleh hasil sebagai berikut:

[

ä ̅̅̅

]

]

ä ̅̅̅̅̅̅
-

karena
,

ä ̅̅̅
ä ̅̅̅̅̅̅
-

ä ̅̅̅

[

ä ̅̅̅

]

]

,

berarti,
,

ä ̅̅̅̅̅̅
-

ä ̅̅̅

,

ä ̅

,

ä ̅̅̅

,

Persamaan homogen dari persamaan (16) adalah
,
yang mempunyai solusi
merupakan konstanta. Solusi secara lengkap
disajikan di Lampiran 2, kemudian diperoleh solusi umum dari persamaan (16)
yaitu
∑
memberikan fakta bahwa
Menurut Dufresne (1989), solusi
initial unfunded liability
tidak diperhitungkan selama ini.
Dengan mudah dapat dilihat bahwa dalam pembayaran kontribusi tambahan
terdapat pula pembayaran sebesar
ä ̅ pada saat
yang dapat
menutupi
seluruhnya. Untuk kasus yang lebih sederhana, misalkan
,
dapat didefinisikan
dan
untuk
sehingga diperoleh
(1 )

∑
Selanjutnya dari persamaan (12), (14), dan (17) diperoleh
[∑

[∑

ä ̅̅̅

]

]

(1 )

12
dengan

̈ ̅̅̅̅|

berlaku

ä ̅̅̅

̈ ̅̅̅̅| sehingga jelas bahwa ketika

̅̅̅̅̅̅̅̅|

.

Fungsi kerugian yang telah diperoleh di persamaan (18) selanjutnya dicari
nilai harapannya dan hasilnya digunakan untuk menentukan nilai harapan menuju
takhingga dari dana dan kontribusi.
]

[∑
karena

saling bebas dengan

, diperoleh
]

[∑

∑

Untuk memperoleh nilai harapan kerugian pada saat t menuju
dicari nilai limit pada kedua ruas yaitu

, maka

∑

Agar nilai limitnya ada, maka |
|
|∑
maka nilai
dengan

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

Namun, jika |
Pembuktian |

|∑
|∑

maka harus

]

∑
Karena untuk t menuju

(19)

sehingga berlaku
∑

∑

|∑
untuk

harus terpenuhi, artinya jika
akan konvergen menuju ke

∑
maka
untuk
akan divergen.
dengan simulasi disajikan di Lampiran 3

13
sedangkan pembuktian secara analitik menggunakan Preposition 1 dan
Preposition 2 disajikan di Dufresne (1989).
Hasil
akan digunakan untuk menentukan
dan
untuk
. Dari persamaan (7), (4), dan (17) diperoleh sebagai berikut:
∑

]

∑

∑

∑

∑
∑

̈ ̅̅̅̅|

∑

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|
∑

Di dalam asumsi aktuaria yang takbias untuk tingkat bunga pengembalian
investasi yaitu nilai harapan tingkat bunga pengembalian investasi aktual sama
dengan asumsi tingkat bunga pengembalian investasi (
), yang
berimplikasi pada
sehingga diharapkan tidak ada kerugian yang
terjadi. Dengan demikian berdasarkan persamaan (7), (17), dan persamaan
diperoleh fungsi dari dana sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅̅̅̅|

∑

karena

{

̈ ̅̅̅|

∑

diperoleh nilai harapan sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅|

14
dari persamaan (4), (12) dan persamaan
∑

∑

{

karena

̈ ̅̅̅̅|

diperoleh

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

diperoleh nilai harapan sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅|

Ragam Dana dan Kontribusi
Rumus ragam jangka panjang dari dana dan kontribusi oleh Dufresne
(1989) diberikan sebagai berikut:
∑
Untuk m > 1, jika
menurut Dufresne (1989) yaitu
∑
∑

̅̅̅̅̅̅̅̅|

dengan

̈ ̅̅̅̅|

∑

] dan

untuk

(

̈ ̅|

)

( 1)
̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅|
̈ ̅̅̅̅|

untuk

].

Bukti:
Untuk mendapatkan momen kedua diperlukan asumsi tambahan yaitu
, sehingga dari persamaan (19) menghasilkan
.
Serupa dengan kasus penentuan nilai harapan, penentuan ragam dari dana
dan kontribusi juga berasal dari nilai ragam fungsi kerugian yaitu:
, karena
maka diperoleh,
,
menggunakan persamaan (19) diperoleh

[

[∑
karena

]

∑
] (∑

dan

]]

]

maka diperoleh

∑

15
]

[∑

[∑

untuk

(

,

(

)

(

)

]

sehingga diperoleh
]

[∑

∑

∑

(

Ragam kerugian akan stabil dalam jangka panjang jika
∑
konvergen ke suatu nilai. Agar nilai limitnya ada, maka
harus
terpenuhi dan ragam kerugian untuk
akan konvergen ke
(

∑

Kondisi

∑

harus dipenuhi juga dalam

menentukan ragam dana dan kontribusi sehingga dari persamaan (7), (4), dan (17)
dengan mudah dapat ditunjukkan ragam dana dan kontribusi dalam jangka
panjang yaitu
[

∑

(∑
(

[
( ̈ ̅̅̅̅|

(

∑

∑

]

∑
∑

̈ ̅̅̅̅| ]

∑

( ̈ ̅̅̅̅|

( ̈ ̅̅̅̅|

16
Fungsi Ragam Kontribusi Jangka Panjang terhadap Periode
Dengan asumsi penggunaan tingkat bunga dan yang sama sebesar
sehingga kerugian hanya terjadi karena adanya perbedaan asumsi tingkat bunga
pengembalian investasi
dan tingkat bunga pengembalian investasi aktual
,
maka fungsi ragam jangka panjang dari kontribusi dapat diubah hanya bergantung
pada periode m yaitu
(

(

dengan:

= tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria dan tingkat bunga
atas kewajiban pensiun
= ragam tingkat bunga pengembalian investasi aktual
.
=
, dan
Bukti :
Dari persamaan (21) terdapat unsur ∑

, dengan

maka diperoleh,

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

dan

∑

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅|

(

(

(

(

(

̅|

̅|

̈ ̅̅̅̅|

̅|

( ̈ ̅̅̅̅|

̅|

(

(

(

(

(

̈ ̅̅̅̅|

(
(

)

17
Menggunakan konsep deret geometri diperoleh sebagai berikut:
………… er a aan ( a)

∑

………… er a aan ( b)

( ̈ ̅̅̅̅|

Kemudian dari persaman (24a) dan (24b) diperoleh

(

(

(

(

Persamaan (24) akan digunakan untuk menentukan periode optimal
menggunakan minimum fungsi limit takhingga ragam kontribusi yaitu

(
Ilustrasi Penentuan Periode Optimal
Metode Amortization Gains and Losses (
Asumsi-asumsi
Sebelum melakukan ilustrasi perhitungan akan diberikan asumsi-asumsi
yang digunakan dalam karya ilmiah ini. Asumsi-asumsi yang dibangun untuk
menyederhanakan kasus dan memudahkan dalam perhitungan ditentukan
berdasarkan asumsi-asumsi aktuaria sebagai berikut:
1 tingkat mortalitas diasumsikan seperti pada English Life Table No.16.1
2000-2002 (males) yang disajikan di Lampiran 1,
2 populasi peserta pensiun diasumsikan stasioner (besarnya populasi dan
distribusi usia dalam populasi tetap konstan dari tahun ke tahun) dan semua
mulai bekerja pada usia 25 tahun dan usia pensiun normal 56 tahun,
3 gaji peserta sebesar 1 satuan dan mengalami kenaikan yang sama setiap tahun
sebesar 2%,
4 manfaat pensiun diberikan dengan proporsi 2/3 dari gaji terakhir,

18
5 tidak terjadi inflasi, dana menghasilkan tingkat investasi aktual
yang
menyebar bebas dan identik dengan nilai harapan sama dengan tingkat
pengembalian investasi
dan simpangan baku
0.0025 serta tingkat
bunga atas kewajiban pensiun
,
6 initial unfunded liability diasumsikan sama dengan nol, sehingga besarnya
dana awal
sama dengan actuarial liability
,
7 semua perhitungan merupakan proporsi terhadap benefit
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa penentuan periode
optimal
diperoleh dengan meminimumkan fungsi ragam kontribusi jangka
panjang. Dalam bagian berikut ini akan diuraikan langkah-lagkah dalam
menentukan
.
Langkah pertama adalah dihitung benefit yang akan dibayarkan setiap
tahun yang diperoleh dari gaji terakhir. Gaji terakhir diperoleh sebagai berikut:
a
1 .
1 1. 11.
Kemudian diperoleh benefit yang dibayarkan setiap tahun yaitu
1. 11 ( 1

∑

9

)

.

.

Berdasarkan persamaan (25) diperlukan nilai
dan
. Selanjutnya
dilakukan perhitungan kontribusi normal berdasarkan persamaan (1) yaitu:
∑
, ̈
, ̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|
2989784,
Semua perhitungan tersebut menggunakan rumus yang diperoleh dari Bowers
(1997), perhitungan secara lengkap disediakan di Lampiran 4.

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈

∑

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅|

̈

̈

∑

.
Proporsi NC terhadap B setiap tahunnya adalah
Dari persamaaan (2) diperoleh nilai actuarial liability setiap tahunnya yaitu

Proporsi AL terhadap B setiap tahunnya adalah

19
Dengan demikian diperoleh periode optimal
menggunakan persamaan
(25) dengan meminimumkan nilai ragam kontribusi saat t dalam jangka panjang
yaitu

Dengan prinsip turunan, fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua
diperoleh
dan dilakukan pembulatan menjadi
. Pada uji
turunan kedua diperoleh nilai fungsi ragam kontribusi jangka panjang untuk
adalah sebesar
sehingga terbukti
minimum lokal,
karena nilai pada uji turunan kedua positif. Perhitungan dalam mendapatkan solusi
tersebut disediakan di Lampiran 5.

Ilustrasi Pendanaan Pensiun Metode Amortization Gains and Losess
Ilustrasi masa pendanaan dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50.
Semua asumsi yang telah dibahas sebelumnya tetap digunakan dalam perhitungan
pendanaan pensiun metode amortization gains and losess. Tahap-tahap
perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti sebagai berikut:
1. Untuk tahun ke-0
Dana ( F ) dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi
yang mengakibatkan
sehingga
. Untuk tahuntahun selanjutnya unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (7).
Kerugian dihitung menggunakan persamaan (10), karena
untuk
sehingga
.
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (12) dengan
dan ̈ ̅̅̅̅| ̈ ̅̅̅̅̅| 12.764 maka diperoleh
∑

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅̅|

=

Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (4) yaitu
,
.
Penggunaan rumus untuk mencari
di tahun-tahun berikutnya
menggunakan persamaan yang sama dengan tahun ke-0.
2. Untuk tahun ke-1

14.492.
0.001,

∑

3. Untuk tahun ke-2

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅̅|

=

,
.

20

14.492,

0.037,
∑

̈ ̅̅̅̅|

̈ ̅̅̅̅̅|

=

=

4. Untuk
, berlaku langkah-langkah dan rumus yang sama. Dengan lembar
kerja Microsoft Excel secara rekursif diperoleh hasil yang disajikan dalam
Tabel 1. Dari Tabel 1 akan terlihat kapan suatu perusahaan mengalami laba
atau rugi. Proses pendanaan hingga tahun ke-50 secara lengkap disajikan di
Lampiran 6.
Tabel 1 Ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti pada metode amortization
gains and losses dengan periode optimal
,

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30
35
40
45
50

0
0.060
0.057
0.057
0.064
0.062
0.064
0.063
0.064
0.058
0.059
0.063
0.063
0.055
0.062
0.055
0.066
0.061
0.064

14.494
14.492
14.455
14.419
14.469
14.496
14.551
14.592
14.649
14.619
14.605
14.560
14.465
14.460
14.462
14.390
14.483
14.476
14.715

0
0.001
0.038
0.074
0.024
-0.002
-0.057
-0.098
-0.155
-0.125
-0.112
-0.067
0.029
0.034
0.032
0.104
0.011
0.018
-0.221

0
0.002
0.037
0.037
-0.048
-0.025
-0.055
-0.042
-0.058
0.027
0.011
-0.037
-0.039
0.072
-0.033
0.071
-0.086
-0.012
-0.049

0
0.000
0.003
0.006
0.002
0.000
-0.004
-0.007
-0.012
-0.010
-0.009
-0.006
0.002
-0.004
0.014
0.014
0.006
0.015
-0.003

0.180
0.180
0.183
0.186
0.182
0.180
0.176
0.173
0.168
0.170
0.171
0.174
0.182
0.176
0.194
0.194
0.186
0.195
0.177

Proses pendanaan dalam Tabel 1 menunjukkan bahwa keadaan rugi atau
laba pemilik program pensiun sangat bergantung pada besarnya tingkat bunga
pengembalian investasi yang sebenarnya. Jika tingkat bunga pengembalian
lebih besar dari asumsi tingkat bunga
investasi yang sebenarnya

21
pengembalian
yaitu
maka pemilik program pensiun akan mengalami
laba. Hal ini terlihat pada pendanaan tahun ke-4, 5, 6, 7, dan 8 dengan kerugian
yang terjadi bernilai negatif. Namun ketika memasuki tahun ke-9 kerugian yang
terjadi bernilai positif. Hal ini menandakan bahwa pemilik program pensiun
mengalami kerugian karena tingkat bunga pengembalian investasi yang
.
sebenarnya lebih kecil dari asumsi tingkat bunga pengembalian aktuaria
Untuk mengatasi kerugian yang dialami, langkah yang diambil oleh
perusahaan adalah dengan menaikkan besarnya kontribusi. Dapat dilihat dari
tahun ke-8 dan tahun ke-9 yang besarnya kontribusi meningkat dari 0.168 ke
0.170. Peningkatan besarnya kontribusi ini dipengaruhi oleh adanya kontribusi
tambahan. Kontribusi tambahan diperoleh menggunakan metode amortization
gains and losses yang mengakumulasikan semua kerugian yang terjadi di tahuntahun sebelumnya. Semakin tinggi kerugian dari tahun ke tahun maka kontribusi
tambahan akan meningkat yang menyebabkan besarnya kontribusi semakin tinggi.
Namun di sisi lain, jika pemilik program mengalami keuntungan maka
keuntungan tersebut dapat menurunkan besarnya kontribusi pada tahun tersebut.
Dengan demikian sistem yang seperti ini dapat saling menguntungkan antara
peserta dan pemilik program pensiun.
Penentuan periode optimal dapat menstabilkan fluktuasi besarnya kontribusi
dari tahun ke tahun. Dari Tabel 1 terlihat bahwa dengan periode yang optimal
dalam mengamortisasi kerugian, kontribusi yang dibebankan kepada peserta
program pensiun cenderung stabil dan fluktuasinya cukup rendah.

Perbandingan Laju Kontribusi terhadap Periode
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa pendanaan program
pensiun yang menggunakan periode optimal akan menstabilkan besarnya
kontribusi dari tahun ke tahun. Untuk mengetahui perbedaan laju kontribusi setiap
tahunnya dengan periode yang tidak optimal diilustrasikan dalam grafik berikut:

Gambar 1 Perbandingan laju kontribusi terhadap periode

22
Grafik tersebut diperoleh dengan melakukan pendanaan program pensiun
untuk periode yang berbeda selama 50 tahun. Tabel pendanaan untuk periode
yang berbeda disajikan di Lampiran 7, Lampiran 8, Lampiran 9, dan Lampiran 10.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa untuk
memiliki laju kontribusi yang
relatif stabil dibandingkan dengan periode m yang lain, karena naik turunnya nilai
kontribusi tidak terlalu jauh. Fluktuasi yang tinggi terjadi saat
, hal ini
terjadi karena kerugian yang terjadi pada saat t langsung dibayarkan pada saat t
sehingga tidak ada proses penyusutan kerugian secara berkala yang berakibat pada
besarnya kontribusi yang tinggi. Namun pada
, pergerakan laju
kontribusinya sangat lambat dan terlihat cenderung stabil. Hal ini terjadi karena
penyebaran kerugian dilakukan dalam waktu yang lama sehingga jelas bahwa laju
kontribusi dari tahun ke tahun pasti rendah. Penyusutan kerugian dalam jangka
waktu yang lama akan merugikan pemilik program pensiun karena kerugian akan
tertutupi dalam jangka waktu yang lama pula.
Dari grafik terlihat bahwa untuk
,
,
cenderung
berimpit dengan
sehingga sulit disimpulkan periode yang lebih optimal.
Karena penentuan periode optimal berasal dari minimum fungsi ragam kontribusi
jangka panjang, dari Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai ragam kontribusi jangka
panjang yang paling kecil adalah
. Dengan demikian
membuat
laju kontribusi stabil dalam jangka panjang karena memiliki ragam kontribusi
yang paling kecil yaitu 0.000157.
dengan berbagai periode

Tabel 2 Ragam kontribusi jangka panjang
yang berbeda

1
15
30
40

0.001167
0.000165
0.000157
0.000164
0.000183

Perbandingan Hasil Optimal Metode Amortization Gains and Losses dan
Metode Spreading Gains and Losses dalam Jangka Panjang
Dalam karya ilmiah ini juga dibahas tentang perbandingan hasil optimal
pada metode amortization gains and losses dan spreading gains and losses.
Sekilas tentang metode spreading gains and losses merupakan metode penentuan
supplementary contribution (kontribusi tambahan) dengan perumusan kontribusi
tambahan pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti
dengan suatu proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode
selama m (tahun) untuk menutupi unfunded liability. Dengan demikian kontribusi
tambahan dirumuskan sebagai berikut:
̈ ̅̅̅̅|

23
Perbandingan antara kedua metode tersebut dilakukan karena kedua metode
ini sering digunakan di negara-negara berkembang. Dengan asumsi-asumsi yang
sama, periode optimal secara langsung dapat dibandingkan. Unsur yang dapat
dibandingkan dari kedua metode tersebut adalah hasil periode optimal
dari
fungsi minimum ragam kontribusi jangka panjang dan besarnya minimum ragam
kontribusi jangka panjang. Diperoleh minimum fungsi ragam kontribusi jangka
panjang metode spreading gains and losses sebagai berikut:
(

(

(

)

Hasil optimal dari metode spreading gains and losses diperoleh dari
persamaan (26) yang diseleseikan dengan cara yang sama dengan metode
amortization gains and losses. Perhitungan secara lengkap dan diperolehnya
rumus tersebut disajikan di Lampiran 12. Hasil optimal dari setiap metode
tersebut adalah
dan
Hasil ini
tidak
bisa secara langsung disimpulkan bahwa metode spreading gains and losses lebih
baik dari metode amortization gains and losses dalam hal proses penyusutan
kerugian. Namun, besarnya ragam kontribusi jangka panjang dari setiap metode
yang lebih menentukan, sehingga diperlukan nilai ragam dari masing-masing
metode dan disajikan dalam tabel berikut ini:
pada metode amortization
Tabel 3 Ragam kontribusi jangka panjang
gains and losses dan metode spreading gains and losses dengan variasi
periode

1
15
30
40

0.001167
0.000177
0.000165
0.000157
0.000164
0.000183

0.001169
0.000129
0.000131
0.000157
0.000218
0.000357

Dengan periode optimal setiap metode ternyata metode spreading gains and
losses menghasilkan ragam kontribusi jangka panjang yang lebih kecil. Selain itu
jika dilihat dari besarnya setiap periode optimal, periode pada metode spreading
gains and losses lebih kecil dibandingkan dengan metode amortization gains and
losses
. Hal ini berarti bahwa, metode spreading gains and losses lebih
cepat mentupi kerugian dengan ragam kontribusi yang kecil
. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa metode spreading gains
and losses lebih baik dibandingkan dengan metode amortization gains and losses
dalam hal penentuan periode optimal dalam proses penyusutan kerugian.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini laba dan rugi hanya ditimbulkan dari perbedaan
asumsi tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria
dan tingkat bunga
pengembalian investasi sebenarnya
. Perbedaan tingkat bunga yang
dan ketika
pemilik program
menyebabkan kerugian adalah ketika
pensiun mengalami laba (gains).
Metode amortization gains and losses merupakan metode untuk
menentukan kontribusi tambahan. Adanya kontribusi tambahan yang bernilai
positif menandakan bahwa pemilik program pensiun mengalami kerugian.
Penentuan periode optimal diperlukan dalam proses penyusutan kerugian.
Pemilihan periode proses penyusutan kerugian yang optimal pada metode
amortization gains and losses menggunakan prinsip minimum fungsi ragam
kontribusi dalam jangka panjang. Periode optimal yang diperoleh pada metode
amortization gains and losses yaitu
.
Pemilihan periode dalam proses penyusutan kerugian sangat menentukan
laju kontribusi setiap tahunnya, semakin besar pemilihan periode penyusutan
kerugian maka semakin lambat laju kontribusinya, yang berarti bahwa semakin
lama penutupan kerugian. Laju kontribusi dari periode optimal cenderung stabil
sehingga jika dilihat dari perilaku jangka panjangnya, penggunaan periode
optimal dapat meminimumkan ragam kontribusi.
Metode spreading gains and losses lebih baik dibandingkan metode
amortization gains and losses karena diperoleh
dan
Hal ini berarti metode
spreading gains and losses lebih cepat menutupi kerugian dengan ragam yang
lebih kecil.

Saran
Model pendanaan asuransi pensiun program manfaat-pasti masih perlu
dibahas lebih lanjut terutama ketika kerugian ditimbulkan bukan hanya
disebabkan oleh faktor perbedaan tingkat bunga pengembalian investasi aktuaria
dan tingkat bunga pengembalian investasi sebenarnya. Namun disebabkan oleh
perbedaan dari asumsi-asumsi aktuaria yang lain.
Penentuan periode optimal metode amortization gains and losses dalam
karya ilmiah ini menggunakan asumsi yang sederhana bahwa tingkat bunga yang
dikenakan atas kewajiban pensiun dan tingkat bunga atas pengembalian investasi
aktuaria besarnya sama. Dengan demikian perlu dibahas lebih lanjut untuk kasus
tingkat bunga yang berbeda.
Initial unfunded liability dalam penentuan kontribusi tambahan diasumsikan
sama dengan nol, pada metode amortization gains and losses perlu dibahas lagi
ketika initial unfunded liability karena akan berpengaruh terhadap besarnya
kerugian dan periode optimal.

DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, dan Nesbitt CJ. 1997. Actuarial
Mathematics Hasca III, Second Eedition. Schaumburg: The Society of
Actuaries. Schaumburg (US): The Society of Actuaries.
Dufresne D. 1988. Moment of pension contributions and fund levels when rates
are random. Journal of the Institute of Actuaries. 44:115-535.
Dufresne D. 1989. Stability of pension system when rates are random. Insurance:
Mathematics and Economics. 8:71-76.
Owadally MI dan Haberman S. 1999. Pension fund dynamics and gains/losses due
to random rates of insvestment return. North American Actuarial Journal.
3(3):105-117.
Owadally MI dan Haberman S. 2000. Asset valuation and amortization of asset
gains and losses in defined benefit pension plans. Actuarial Research Paper
No.132.
Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1 Edisi Keempat. Susila IN dan Gunawan H,
penerjemah; Mahanani N dan Hardani W, editor. Jakarta (ID): Erlangga.
Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.
Ulfah E. 2007. Analisis dampak penyimpangan asumsi tingkat pengembalian
investasi pada pendanaan program pensiun manfaat pasti [skripsi]. Depok
(ID): Universitas Indonesia.
Winklevoss HE. 1993. Pensions Mathematics with Numerical Ilustrations, 2nd ed.
Philadelphia, Pennsylvania (US): University of Pennsylvania Press.

26
Lampiran 1 English Life Table No. 16.1 Males
x
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

98517
98436
98353
98268
98181
98091
97997
97900
97798
97693
97582
97466
97344
97215
97080

x
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54

96936
96783
96619
96441
96247
96034
95799
95538
95249
94933
94587
94212
93808
93374
92906

X
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69

92395
91835
91214
90523
89754
88904
87969
86946
85834
84631
83328
81915
80379
78708
76889

x
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84

74905
72743
70391
67850
65125
62224
59162
55957
52630
49207
45701
42127
38503
34852
31204

x
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99

27594
24080
20722
17575
14683
12078
9777
7773
6055
4607
3412
2451
1705
1149
750

x
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109

474
289
168
93
49
25
12
5
2
1

Lampiran 2 Pembuktian solusi persamaan beda tak homogen
Persamaan beda tak homogen

sebagai berikut:
∑

ä ̅̅̅

Solusinya terdiri dari:
1. Solusi Persamaan Partikular
∑

Kemudian
disubstitusikan ke persamaan beda tak homogen untuk
memperoleh nilai
sebagai berikut:
∑

∑

∑
ä ̅̅̅

ä ̅̅̅

ä ̅̅̅

27
ä ̅̅̅
ä ̅̅̅

Dengan demikian p