PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN DELAY.
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN DELAY
Oleh
TANYEL SINAGA
NIM: 4123230030
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2016
ii
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN DELAY
Tanyel Sinaga
NIM: 4123230030
ABSTRAK
Skripsi ini membahas perilaku solusi persamaan diferensial logistik dengan waktu
delay. Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian
deskriptif dan kepustakaan. Dengan mengamati hasil simulasi numerik dari solusi
persamaan diferensial logistik dengan delay dan persamaan logistik tanpa delay.
Hasil pengamatan menunjukkan bahwa fungsi dan interval delay yang diberikan
berpengaruh terhadap perilaku solusi persamaan logistik. Panjang interval delay
yang relatif besar menyebabkan solusinya tidak memiliki titik kesetimbangan.
Namun untuk interval delay yang relatif kecil tetap menuju titik kesetimbangan
y = 1 dengan cara berfluktuasi.
Kata kunci: logistik, Kesetimbangan, Populasi, Delay, dan Interval.
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
kasih dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Logistik Dengan
Pemberian Delay”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika.
5. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
7. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Said Iskandar, S.Si, M.Si Susiana, S.Si., M.Si,
Arnah Ritonga, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah membimbing serta
memberikan masukan dalam pembuatan skripsi.
8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual dan berintegritas.
9. Orang tua tercinta, yaitu Ayahanda Ramli Sinaga dan Ibunda (Alm)Tiurma
Rajagukguk, yang telah memberikan support dan semangat serta doa yang
mendukung dalam menulis skripsi ini.
v
10. Kakak dan adik kandung saya.
11. Teman-teman seperjuangan Matematika Nondik-12
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksempurnaan.
Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Agustus 2016
Penulis,
Tanyel Sinaga
NIM 4123230030
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Bab 1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
3
3
Bab 2
Kajian Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Persamaan Diferensial Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Forward Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Persamaan Diferensial Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
7
Bab 3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Jenis Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Prosedur Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
10
Bab 4
Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Pengaruh Jenis Fungsi dan Panjang Delay Terhadap Solusi
Persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Solusi
Persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Pengaruh Interval Delay Terhadap Solusi
Persamaan Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Pengaruh Jenis Fungsi dan Panjang Delay Terhadap
Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Pengaruh Panjang atau Interval Delay Terhadap
Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
vii
13
13
18
27
28
29
Bab 5
Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Lampiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
33
34
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Gambar 4.6
Gambar 4.7
Gambar 4.8
Gambar 4.9
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Gambar 4.12
Solusi persamaan (2.1) untuk nilai awal y0 = 0, 1 dan
y0 = 1, 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 9 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 5 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 5 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = −t + 1, 8
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = −0, 4t + 0, 1
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + (t)
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 − t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5
ix
5
14
14
15
16
17
18
19
20
20
21
22
22
Gambar 4.13
Gambar 4.14
Gambar 4.15
Gambar 4.16
Gambar 4.17
Gambar 4.18
Gambar 4.19
Gambar 4.20
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 4 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 3 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 5 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 − 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 3 . . . . . . .
x
23
24
24
25
26
26
27
28
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1
Parameter yang dipergunakan untuk simulasi matlab pada
persamaan logistik tanpa delay dan persamaan logistik
dengan delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
xi
DAFTAR LAMBANG
LAMBANG
Keterangan
dP
dt
Persamaan Logistik
Faktor Pertumbuhan
Populasi Sekarang
Kapasitas
Nilai awal
Waktu
Interval Delay
k
P
K
y0
t
τ
Pemakaian
pertama kali
pada halaman
1
1
1
1
5
2
2
xii
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam perkembangan zaman saat ini yang terus maju, diperlukan suatu
analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap setiap fenomena yang terjadi
dalam kehidupan manusia.
Dari fenomena yang ada dapat dianalisis dengan
menggunakan berbagai macam sudut pandang, salah satunya peristiwa yang ada
dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Contoh aplikasi matematika
yang dapat diterapkan dalam kehidupan nyata adalah pemodelan dengan persamaan
diferensial khususnya model populasi kontinu. Terdapat beberapa macam model
pertumbuhan populasi yang kontinu diantarnya model populasi eksponensial dan
model populasi logistik. Kontinu dalam hal ini berarti populasi bergantung waktu
tanpa putus. Dari waktu ke waktu bentuk tiap model dimodifikasi sehingga dapat
menggambarkan dengan lebih teliti keadaan sebenarnya. Murray (2011)
Persamaan Diferensial logistik pertama kali diperkenalkan oleh Pierre
Francois Verhulst pada tahun 1838. Pierre Francois Verhulst (1804-1849) adalah
seorang guru besar Matematika di Universitas Libre de Bruxelles dan di Ecole
Royale Militaire (juga terletak di Brussels) pada tahun 1835. Model populasi
logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik berupa
ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini mengasumsikan bahwa pada
waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium).
Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian sama sehingga laju pertumbuhannya 0.
Bentuk umum persamaan diferensial logistik adalah
dP
P
= kP (1 − )
dt
K
(1.1)
Dimana P merepresentasikan populasi pada saat sekarang, k merupakan faktor
pertumbuhan dan K sebagai kapasitas dari lingkungan untuk menampung spesies
yang ada.
Delay merupakan waktu tunda yang disebabkan oleh transmisi atau perpin-
1
2
dahan dari satu titik ke titik lain yang menjadi tujuannya. Delay penting dalam
pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
pada keadaan sebelumnya. Haberman (1998), menyatakan bahwa delay penting
untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi karena laju
pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi pada waktu
sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya
atau pada waktu (t − τ ).
Model pertumbuhan logistik dengan pemberian delay sebelumnya pernah
dibahas oleh Henny. M. Timuneno,dkk dari UNDIP Semarang. Berdasarkan
pembahasan Henny. M. Timuneno,dkk model pertumbuhan logistik dengan delay
dapat disimpulkan bahwa penundaan dalam pertumbuhan populasi yang mengikuti
model pertumbuhan logistik menyebabkan terjadinya osilasi sehingga mempengaruhi kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Model pertumbuhan logisitik
dengan delay setimbang pada jumlah populasi nol dan pada jumlah populasi yang
sama dengan daya tampungnya. Timuneno (2007)
Jadi disini penulis tertarik untuk menganalisa persamaan diferensial logistik,
ketika diberikan delay dalam persamaan diferensial logistik dan diperbantukan
dengan penggunaan program MATLAB. Di dalam skripsi ini peneliti merencanakan
untuk meneliti perilaku persamaan diferensial Logitik dan solusinya. Berdasarkan
permasalahan di atas penulis mengambil judul skripsi ini dengan ”Perilaku Solusi
Persamaan Diferensial Logistik Dengan Pemberian Delay”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku persamaan Logistik dengan delay ?
2. Apakah keadaan kesetimbangan persamaan Logistik tanpa delay, sama
dengan keadaan kesetimbangan persamaan Logistik dengan delay ?
1.3 Batasan Masalah
1. Penelitian ini difokuskan pada perilaku solusi persamaan Logistik dengan
delay berhingga pada faktor logistik.
3
2. Fungsi delay yang diteliti dibatasi pada fungsi konstan dan fungsi linear
positif.
3. Perilaku solusi akan diselidiki dari hasil simulasi numerik.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Meneliti perilaku solusi persamaan logistik dengan delay.
2. Meneliti perilaku solusi pada saat t menuju tak hingga.
1.5 Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti: merupakan media belajar dalam meneliti perilaku solusi
sistem persamaan Logistik dengan delay dan memberikan sumbangan
pemikiran berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang perilaku solusi sistem
persamaan Logistik dengan delay.
Bab 5
Penutup
5.1 Kesimpulan
Penelitian yang telah dilakukan memberikan kontribusi dalam memahami pengaruh
delay yang diberikan terhadap solusi persamaan diferensial logistik. Kontribusi
utama dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Solusi persamaan logistik dengan delay bergantung pada panjang interval
delay dan fungsi delay yang diberikan.
2. Panjang interval delay yang relatif kecil berpengaruh pada solusi yakni
pada titik kesetimbangan y = 1 didekati secara berfluktuasi.
3. Panjang interval delay yang relatif besar menyebabkan solusi tidak menuju
pada titik kesetimbangan y = 1, namun berfluktuasi dengan tingkat
fluktuasi hampir sama.
5.2 Saran
Berikut ini beberapa masalah terbuka pada skripsi ini yang masih bisa dikembangkan untuk penelitian selanjutnya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari panjang interval yang diberikan, misalnya hubungan
antara panjang interval delay dengan amplitudo solusinya atau frekuensi
solusinya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari jenis fungsi delay yang diberikan, misalnya hubungan
antara jenis delay dengan amplitudo solusinya atau frekuensi solusinya.
• Menentukan panjang periode fluktuasi solusi.
• Mencari batas panjang interval untuk menentukan, apakah solusinya
menuju kesetimbangan y = 1 atau tidak.
33
34
5.3 Lampiran
• Code program matlab Gambar 4.1
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+xdl+1.9;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.2
35
clc
close all
clear all
dl=2;%logistik menuju stabil, delay berfluktuasi dan menuju no
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+xdl+.1;%.8*heaviside(xdl+dl+.2)-.7*heaviside(xdl+dl/2
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.3
clc
close all
clear all
36
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:40000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 80 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.4
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
37
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:40000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.5
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+1.8;
38
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.6
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-.4*xdl+.1;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
39
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.7
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
40
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.8
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
41
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.9
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:200000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
42
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.10
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:200000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.11
clc
43
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.12
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
44
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.13
clc
close all
clear all
dl=1;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
45
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.14
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl; %fungsi delay
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
46
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.2
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
47
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.15
clc
close all
clear all
dl=3;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
48
end
• Code program matlab Gambar 4.16
clc
close all
clear all
dl=5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.17
clc
close all
clear all
dl=.5;
49
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4-0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.18
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
50
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.19
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
51
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.20
clc
close all
clear all
dl=3;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
52
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
DAFTAR PUSTAKA
Forde, J. E., (2005): Delay Differential Equation Models in Mathematical Biology,
Journal of Applied Mathematics, 2005(586454).
Haberman, R., (1998): Mathematical Models Mechanical Vibration Population
Dynamics, Vol. 2, Slam Texas, New York.
Murray, J., (2011): Mathematical Biology: I. An Introduction,, Vol. 17 of 3, Interdisciplinary Applied Mathematics, Springer.
Ruan, S., (2006): Delay Diferential Equation In Single Species Dynamics, Delay
Dierential Equations and Applications, 4, 7–12.
Sangadji (2008): Metode Numerik, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Teschl, G., (2011): Ordinary Diferential Equations and Dynamical Systems, Vol.
xxx, American Mathematical Society Providence Rhode Island.
Timuneno, H. M., (2007): Model Pertumbuhan Logistik Dengan Waktu Tunda, 1,
FMIPA Undip, Semarang.
Tveito, A., W. R., (1998): Introduction to Partial Diferential Equation: A Computational Approach, Vol. 45, Springer-Verlag, New York.
William, E. Boyce., R. C. D., (2008): Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, 9, Department of Mathematical Sciences
Rensselaer Polytechnic Institute, New York.
53
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN DELAY
Oleh
TANYEL SINAGA
NIM: 4123230030
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2016
ii
PERILAKU SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
LOGISTIK DENGAN PEMBERIAN DELAY
Tanyel Sinaga
NIM: 4123230030
ABSTRAK
Skripsi ini membahas perilaku solusi persamaan diferensial logistik dengan waktu
delay. Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah penelitian
deskriptif dan kepustakaan. Dengan mengamati hasil simulasi numerik dari solusi
persamaan diferensial logistik dengan delay dan persamaan logistik tanpa delay.
Hasil pengamatan menunjukkan bahwa fungsi dan interval delay yang diberikan
berpengaruh terhadap perilaku solusi persamaan logistik. Panjang interval delay
yang relatif besar menyebabkan solusinya tidak memiliki titik kesetimbangan.
Namun untuk interval delay yang relatif kecil tetap menuju titik kesetimbangan
y = 1 dengan cara berfluktuasi.
Kata kunci: logistik, Kesetimbangan, Populasi, Delay, dan Interval.
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala
kasih dan karunia-Nya yang begitu besar sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Perilaku Solusi Persamaan Diferensial Logistik Dengan
Pemberian Delay”.
Dalam skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak, oleh
karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd selaku Rektor Universitas Negeri Medan yang
telah memberikan ijin dan kesempatan untuk menyelesaikan studi Strata 1 di
Universitas Negeri Medan.
2. Dr. Asrin Lubis, M.Pd selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
3. Dr. Edy Surya, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika dan Drs. Yasifati Hia,
M.Si selaku Sekretaris Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan.
4. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku Ketua Prodi Jurusan Matematika.
5. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si selaku dosen pembimbing skripsi yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
6. Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dalam melaksanakan penelitian hingga
skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
7. Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si, Said Iskandar, S.Si, M.Si Susiana, S.Si., M.Si,
Arnah Ritonga, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah membimbing serta
memberikan masukan dalam pembuatan skripsi.
8. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang tidak bosan-bosannya
membimbing saya, mengingat saya dan terus mengajari saya agar menjadi
manusia yang lebih baik lagi dan mencirikan sikap serta sifat layaknya manusia
yang berintelektual dan berintegritas.
9. Orang tua tercinta, yaitu Ayahanda Ramli Sinaga dan Ibunda (Alm)Tiurma
Rajagukguk, yang telah memberikan support dan semangat serta doa yang
mendukung dalam menulis skripsi ini.
v
10. Kakak dan adik kandung saya.
11. Teman-teman seperjuangan Matematika Nondik-12
Penulis berharap semoga Tuhan membalas kebaikan dari semua pihak yang
telah banyak membantu dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Namun mengingat penulis masih dalam tahap belajar, penulis menyadari bahwa
isi yang disajikan dalam skripsi ini masih memiliki kekurangan dan ketidaksempurnaan.
Untuk itu, kritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat
diharapkan. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Akhir kata,
penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Agustus 2016
Penulis,
Tanyel Sinaga
NIM 4123230030
vi
DAFTAR ISI
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Bab 1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4
Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
3
3
Bab 2
Kajian Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Persamaan Diferensial Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Metode Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Forward Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Persamaan Diferensial Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
7
Bab 3
Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Jenis Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Prosedur Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
10
Bab 4
Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Pengaruh Jenis Fungsi dan Panjang Delay Terhadap Solusi
Persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Solusi
Persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Pengaruh Interval Delay Terhadap Solusi
Persamaan Logistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Pengaruh Jenis Fungsi dan Panjang Delay Terhadap
Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Pengaruh Jenis Fungsi Delay Terhadap Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Pengaruh Panjang atau Interval Delay Terhadap
Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
vii
13
13
18
27
28
29
Bab 5
Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Lampiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
33
34
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1
Gambar 4.1
Gambar 4.2
Gambar 4.3
Gambar 4.4
Gambar 4.5
Gambar 4.6
Gambar 4.7
Gambar 4.8
Gambar 4.9
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Gambar 4.12
Solusi persamaan (2.1) untuk nilai awal y0 = 0, 1 dan
y0 = 1, 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 9 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 5 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 5 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = −t + 1, 8
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = −0, 4t + 0, 1
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + (t)
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 + t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 2 . . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.5 − t dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5
ix
5
14
14
15
16
17
18
19
20
20
21
22
22
Gambar 4.13
Gambar 4.14
Gambar 4.15
Gambar 4.16
Gambar 4.17
Gambar 4.18
Gambar 4.19
Gambar 4.20
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1, 4 + 0, 2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 3 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 + 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 5 . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 1.4 − 0.2t
dengan nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 0, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 1, 5 . . . . . .
Grafik solusi persamaan logistik dan persamaan
logistik delay untuk fungsi delay δ(t) = 0, 4 dengan
nilai parameter α = 1 dan waktu delay τ = 3 . . . . . . .
x
23
24
24
25
26
26
27
28
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1
Parameter yang dipergunakan untuk simulasi matlab pada
persamaan logistik tanpa delay dan persamaan logistik
dengan delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
xi
DAFTAR LAMBANG
LAMBANG
Keterangan
dP
dt
Persamaan Logistik
Faktor Pertumbuhan
Populasi Sekarang
Kapasitas
Nilai awal
Waktu
Interval Delay
k
P
K
y0
t
τ
Pemakaian
pertama kali
pada halaman
1
1
1
1
5
2
2
xii
Bab 1
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Dalam perkembangan zaman saat ini yang terus maju, diperlukan suatu
analisis yang dapat diterima secara ilmiah terhadap setiap fenomena yang terjadi
dalam kehidupan manusia.
Dari fenomena yang ada dapat dianalisis dengan
menggunakan berbagai macam sudut pandang, salah satunya peristiwa yang ada
dapat dipandang dalam bentuk model matematika. Contoh aplikasi matematika
yang dapat diterapkan dalam kehidupan nyata adalah pemodelan dengan persamaan
diferensial khususnya model populasi kontinu. Terdapat beberapa macam model
pertumbuhan populasi yang kontinu diantarnya model populasi eksponensial dan
model populasi logistik. Kontinu dalam hal ini berarti populasi bergantung waktu
tanpa putus. Dari waktu ke waktu bentuk tiap model dimodifikasi sehingga dapat
menggambarkan dengan lebih teliti keadaan sebenarnya. Murray (2011)
Persamaan Diferensial logistik pertama kali diperkenalkan oleh Pierre
Francois Verhulst pada tahun 1838. Pierre Francois Verhulst (1804-1849) adalah
seorang guru besar Matematika di Universitas Libre de Bruxelles dan di Ecole
Royale Militaire (juga terletak di Brussels) pada tahun 1835. Model populasi
logistik adalah model pertumbuhan yang memperhitungkan faktor logistik berupa
ketersediaan makanan dan ruang hidup. Model ini mengasumsikan bahwa pada
waktu tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium).
Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian sama sehingga laju pertumbuhannya 0.
Bentuk umum persamaan diferensial logistik adalah
dP
P
= kP (1 − )
dt
K
(1.1)
Dimana P merepresentasikan populasi pada saat sekarang, k merupakan faktor
pertumbuhan dan K sebagai kapasitas dari lingkungan untuk menampung spesies
yang ada.
Delay merupakan waktu tunda yang disebabkan oleh transmisi atau perpin-
1
2
dahan dari satu titik ke titik lain yang menjadi tujuannya. Delay penting dalam
pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan informasi
pada keadaan sebelumnya. Haberman (1998), menyatakan bahwa delay penting
untuk dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi karena laju
pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi pada waktu
sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya
atau pada waktu (t − τ ).
Model pertumbuhan logistik dengan pemberian delay sebelumnya pernah
dibahas oleh Henny. M. Timuneno,dkk dari UNDIP Semarang. Berdasarkan
pembahasan Henny. M. Timuneno,dkk model pertumbuhan logistik dengan delay
dapat disimpulkan bahwa penundaan dalam pertumbuhan populasi yang mengikuti
model pertumbuhan logistik menyebabkan terjadinya osilasi sehingga mempengaruhi kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Model pertumbuhan logisitik
dengan delay setimbang pada jumlah populasi nol dan pada jumlah populasi yang
sama dengan daya tampungnya. Timuneno (2007)
Jadi disini penulis tertarik untuk menganalisa persamaan diferensial logistik,
ketika diberikan delay dalam persamaan diferensial logistik dan diperbantukan
dengan penggunaan program MATLAB. Di dalam skripsi ini peneliti merencanakan
untuk meneliti perilaku persamaan diferensial Logitik dan solusinya. Berdasarkan
permasalahan di atas penulis mengambil judul skripsi ini dengan ”Perilaku Solusi
Persamaan Diferensial Logistik Dengan Pemberian Delay”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukakan sebelumnya,
permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini antara lain:
1. Bagaimana perilaku persamaan Logistik dengan delay ?
2. Apakah keadaan kesetimbangan persamaan Logistik tanpa delay, sama
dengan keadaan kesetimbangan persamaan Logistik dengan delay ?
1.3 Batasan Masalah
1. Penelitian ini difokuskan pada perilaku solusi persamaan Logistik dengan
delay berhingga pada faktor logistik.
3
2. Fungsi delay yang diteliti dibatasi pada fungsi konstan dan fungsi linear
positif.
3. Perilaku solusi akan diselidiki dari hasil simulasi numerik.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Meneliti perilaku solusi persamaan logistik dengan delay.
2. Meneliti perilaku solusi pada saat t menuju tak hingga.
1.5 Manfaat Penelitian
Dengan diadakannya penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat
sebagai berikut :
1. Bagi peneliti: merupakan media belajar dalam meneliti perilaku solusi
sistem persamaan Logistik dengan delay dan memberikan sumbangan
pemikiran berdasarkan disiplin ilmu yang diperoleh dibangku kuliah.
2. Bagi pembaca : memberikan informasi tentang perilaku solusi sistem
persamaan Logistik dengan delay.
Bab 5
Penutup
5.1 Kesimpulan
Penelitian yang telah dilakukan memberikan kontribusi dalam memahami pengaruh
delay yang diberikan terhadap solusi persamaan diferensial logistik. Kontribusi
utama dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Solusi persamaan logistik dengan delay bergantung pada panjang interval
delay dan fungsi delay yang diberikan.
2. Panjang interval delay yang relatif kecil berpengaruh pada solusi yakni
pada titik kesetimbangan y = 1 didekati secara berfluktuasi.
3. Panjang interval delay yang relatif besar menyebabkan solusi tidak menuju
pada titik kesetimbangan y = 1, namun berfluktuasi dengan tingkat
fluktuasi hampir sama.
5.2 Saran
Berikut ini beberapa masalah terbuka pada skripsi ini yang masih bisa dikembangkan untuk penelitian selanjutnya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari panjang interval yang diberikan, misalnya hubungan
antara panjang interval delay dengan amplitudo solusinya atau frekuensi
solusinya.
• Menganalisis secara matematika perilaku solusi persamaan logistik dengan
delay dilihat dari jenis fungsi delay yang diberikan, misalnya hubungan
antara jenis delay dengan amplitudo solusinya atau frekuensi solusinya.
• Menentukan panjang periode fluktuasi solusi.
• Mencari batas panjang interval untuk menentukan, apakah solusinya
menuju kesetimbangan y = 1 atau tidak.
33
34
5.3 Lampiran
• Code program matlab Gambar 4.1
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+xdl+1.9;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.2
35
clc
close all
clear all
dl=2;%logistik menuju stabil, delay berfluktuasi dan menuju no
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+xdl+.1;%.8*heaviside(xdl+dl+.2)-.7*heaviside(xdl+dl/2
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.3
clc
close all
clear all
36
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:40000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 80 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.4
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
37
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:40000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.5
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-xdl+1.8;
38
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.6
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=-.4*xdl+.1;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
39
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 50 -0.1 3])
%axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.7
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
40
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.8
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
41
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.9
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:200000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
42
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.10
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5+xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:200000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.11
clc
43
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.5-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.12
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
44
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.13
clc
close all
clear all
dl=1;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
45
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.14
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl; %fungsi delay
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
46
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[f0,f],’-y’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
%plot([(k-1)*dt,k*dt],[h0,h],’-c’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.2
clc
close all
clear all
dl=2;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);%y’=y(t)[1-y(t-a)]
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);%h’=h(t-b)[1-h(t)]
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;%g’=g(t)[1-g(t)]
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));%f’=f(t-b)[1-f(t-a)]
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
47
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.15
clc
close all
clear all
dl=3;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
48
end
• Code program matlab Gambar 4.16
clc
close all
clear all
dl=5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4+0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.17
clc
close all
clear all
dl=.5;
49
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=1.4-0.2*xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.18
clc
close all
clear all
dl=.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
50
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.19
clc
close all
clear all
dl=1.5;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
51
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
• Code program matlab Gambar 4.20
clc
close all
clear all
dl=3;
alpa=1;
n=50;
dt=dl/n;
xdl=linspace(-dl,0,n+1);
ydl=.4+xdl-xdl;
hdl=ydl;fdl=ydl;
plot(xdl,ydl,’k’);
y0=ydl(n+1);g0=y0;h0=y0;f0=y0;
for k=1:20000;
hold on
y=y0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*y0*ydl(k);
h=h0+alpa*hdl(k)*dt*(1-h0);
g=g0*(1+alpa*dt)-alpa*dt*g0ˆ2;
f=f0+alpa*fdl(k)*dt*(1-fdl(k));
ydl(n+k+1)=y;hdl(n+k+1)=h;fdl(n+k+1)=f;
line([0
0],[-0.1 2],’Color’,’k’)
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[1,1],’-g’);
plot([(k-1)*dt,1.1*dt*k],[0,0],’-k’);
52
plot([(k-1)*dt,k*dt],[y0,y],’-k’);
plot([(k-1)*dt,k*dt],[g0,g],’-r’);
axis([-dl 1.02*dt*k+.01 -0.1 max(ydl)+.1])
pause(.001)
y0=y;g0=g;h0=h;f0=f;
end
DAFTAR PUSTAKA
Forde, J. E., (2005): Delay Differential Equation Models in Mathematical Biology,
Journal of Applied Mathematics, 2005(586454).
Haberman, R., (1998): Mathematical Models Mechanical Vibration Population
Dynamics, Vol. 2, Slam Texas, New York.
Murray, J., (2011): Mathematical Biology: I. An Introduction,, Vol. 17 of 3, Interdisciplinary Applied Mathematics, Springer.
Ruan, S., (2006): Delay Diferential Equation In Single Species Dynamics, Delay
Dierential Equations and Applications, 4, 7–12.
Sangadji (2008): Metode Numerik, 1, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Teschl, G., (2011): Ordinary Diferential Equations and Dynamical Systems, Vol.
xxx, American Mathematical Society Providence Rhode Island.
Timuneno, H. M., (2007): Model Pertumbuhan Logistik Dengan Waktu Tunda, 1,
FMIPA Undip, Semarang.
Tveito, A., W. R., (1998): Introduction to Partial Diferential Equation: A Computational Approach, Vol. 45, Springer-Verlag, New York.
William, E. Boyce., R. C. D., (2008): Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, 9, Department of Mathematical Sciences
Rensselaer Polytechnic Institute, New York.
53