61
2. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Separable Programming
Metode Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong
Penyelesaian model nonlinear dengan pendekatan separable programming selanjutnya dikerjakan menggunakan metode hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong piecewise linear approximation. Adapun langkah – langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut :
a. Membentuk Masalah P
Berdasarkan Persamaan 3.6, maka diperoleh : ,
, 3.8a
, ,
3.8b ,
, 3.8c
, ,
, 3.8d Persamaan 3.6 yang telah dijabarkan dalam Persamaan 3.8 tersebut
dapat dinyatakan sebagai fungsi separable seperti persamaan 2.18 untuk , , , yaitu :
∑ 3.9
Berdasarkan fungsi kendala 3.7 dan Persamaan 2.19, maka fungsi kendala tersebut dapat diubah menjadi :
; ;
; 3.10a
; ;
; 3.10b
; ;
; 3.10c
; ;
; 3.10d
62
Pada pembentukan fungsi kendala dengan pendekatan separable programming perlu ditambahkan satu kendala lagi yaitu interval nilai untuk
, , , . Berdasarkan kendala 3.7 maka kendala baru yang ditambahkan yaitu
3.10e Batas atas dalam permasalahan ini digunakan 6300 karena yang
mendekati nilai kendala yang paling besar. Selanjutnya, untuk masalah meminimumkan harus dipenuhi bahwa
Persamaan 3.6 dan Persamaan 3.7 merupakan jumlahan dari fungsi – fungsi cembung. Fungsi cembung dapat diidentifikasi dengan menentukan
turunan keduanya. Berdasarkan Teorema 2.1., maka : ,
,
,
, Turunan kedua dari setiap fungsi
0 sehingga merupakan fungsi cembung sempurna. Dengan cara yang sama dapat diketahui pula bahwa
setiap fungsi kendala 3.7 merupakan fungsi cembung. Berdasarkan identifikasi yang telah dilakukan, maka masalah nonlinear
dengan fungsi tujuan seperti pada Persamaan 3.6 dan fungsi kendala seperti
63
pada Persamaan 3.7 dapat diselesaikan dengan menggunakan separable programming.
b. Menentukan jumlah titik kisi
Banyaknya titik kisi dapat ditentukan secara sembarang. Pada perhitungan awal untuk masalah ini ditetapkan jumlah titik kisi yang
digunakan sebanyak empat , , , . Interval setiap titik kisi pada
masalah ini dibuat sama agar memudahkan dalam perhitungan. Berdasarkan 3.10e maka nilai
untuk permasalahan ini adalah sebagai berikut : ,
, ,
3.11a ,
, ,
3.11b ,
, ,
3.11c ,
, ,
3.11d Nilai fungsi titik kisi dengan 4 titik kisi dapat dilihat pada Lampiran 3.
c. Membentuk Masalah AP
Pembentukan masalah AP diperoleh dengan cara membentuk model linear dari masalah P yang dilakukan dengan hampiran fungsi linear sepotong-
sepotong formulasi lambda. Berdasarkan Persamaan 2.24, 2.25 dan 2.26 maka diperoleh hampiran linearnya yaitu :
∑ 3.12a
∑ 3.12b
∑ 3.12c
∑ 3.12d
64
dengan kendala ∑
3.13a ∑
3.13b ∑
3.13c ∑
3.13d ∑
3.13e ∑
3.13f ∑
3.13g ∑
3.13h ∑
3.13i ∑
3.13j ∑
3.13k ∑
3.13l ∑
3.13m ∑
3.13n ∑
3.13o ∑
3.13p 3.14a
3.14b 3.14c
3.14d ,
, ,
untuk , , , … , . 3.14e
dengan yang diperoleh berdasarkan pada persamaan 2.27 yaitu :
65
3.15a 3.15b
3.15c 3.15d
Sehingga diperoleh masalah AP sebagai berikut : Meminimumkan
∑ 3.16
dengan kendala
∑ ,
, , … , 3.17
, , … , 3.18
d. Membentuk Masalah LAP
Berdasarkan Persamaan 2.30, fungsi tujuan masalah LAP dapat dituliskan sebagai berikut :
∑ . 3.19
berdasarkan persamaan 3.12a – 3.12d, persamaan 3.19 dapat dituliskan sebagai berikut
∑ 3.20
Berdasarkan persamaan 2.30, persamaan 3.20 dapat dituliskan sebagai berikut
66 .
3.21
Berdasarkan persamaan 3.8, 3.9 dan 3.10 dalam menghitung nilai dari ,
dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada lampiran 3, diperoleh hampiran fungsi tujuan linear sebagai berikut :
11
3486147
21
8030694
31
13633641
41 12
3732918
22
9141636
32
16226154
42 13
2650998
23
11652396
33
27004194
43
5593508 ,8
14
7224032 ,8
24
10353956 ,8
34
14983280 ,8
44
3.22 Berdasarkan persamaan 2.31a, fungsi kendala untuk masalah LAP dapat
dituliskan sebagai berikut ∑
3.23a ∑
3.23b ∑
3.23c ∑
3.23d Berdasarkan persamaan 3.13, persamaan 3.23 dapat dituliskan sebagai
berikut :
∑ ∑
∑ ∑
∑
3.24a
∑ ∑
∑ ∑
∑ 3.24b
∑ ∑
∑ ∑
∑ 3.24c
67 ∑
∑ ∑
∑ ∑
. 3.24d
Berdasarkan persamaan 2.31a, persamaan 3.24 dapat dituliskan sebagai berikut
3.25a
3.25b
3.25c
. 3.25d
68
Berdasarkan persamaan 3.25 dan Tabel nilai fungsi titik kisi pada Lampiran 3, substitusikan nilai dari
sehingga diperoleh hampiran fungsi kendala linear sebagai berikut
3.26a
3.26b
3.26c
3.26d
Berdasarkan Persamaan 3.22 dan 3.26 dapat diperoleh masalah pemrograman linear dengan fungsi-fungsi linear sebagai berikut :
Meminimumkan
11
3486147
21
8030694
31
13633641
41 12
3732918
22
9141636
32
16226154
42 13
2650998
23
11652396
33
27004194
43
5593508 ,8
14
7224032 ,8
24
10353956 ,8
34
14983280 ,8
44
3.27
69
dengan kendala
11
2100
21
4200
31
6300
1 12
22 32
13 23
33 43
14 24
34 44
6200 3.28a
3760 3.28b
11 21
31 41
12 22
32 42
13
2100
23
4200
33
6300
43 14
24 34
44
1180 3.28c
11 21
31 41
12 22
32 42
13 23
33 43
14
2100
24
4200
34
6300
44
2100 3.28d
11 21
31 41
1 3.28e
12 22
32 42
1 3.28f
13 23
33 43
1 3.28g
14 24
34 44
1 3.28h
1
,
2
,
3
,
4
dengan 1, 2, 3, 4
70
dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua
, tidak nol dan berdampingan.
Berdasarkan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah diperoleh, maka dapat diketahui bahwa model linear yang terbentuk memiliki 16 variabel
keputusan dengan 8 fungsi kendala. e.
Menyelesaikan model linear dengan Algoritma Genetika Proses penyelesaian model linear dengan kendala linear ini akan
menggunakan bantuan software Matlab yang akan dibahas dalam sub bab berikutnya.
3. Penyelesaian Model Linear dengan Algoritma Genetika
Kategori