PENYELESAIAN MODEL PORTOFOLIO NONLINEAR MENGGUNAKAN METODE SEPARABLE PROGRAMMING DAN LAGRANGE MULTIPLIER.

(1)

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kehidupan perekonomian di Indonesia yang semakin berkembang merambat pada tingginya penanaman modal pada sektor industri. Cara penanaman modal baik secara langsung maupun tidak langsung yang bertujuan untuk mendapatkan keuntungan tertentu sebagai hasil penanaman modal tersebut disebut sebagai investasi (Yuliati dkk, 1996:35). Meningkatnya kesadaran masyarakat untuk melakukan kegiatan investasi adalah dalam rangka memenuhi kebutuhan dan memperoleh keuntungan sebagai jaminan di masa yang akan datang.

Portofolio adalah serangkaian kombinasi beberapa sekuritas yang diinvestasi dan dipegang oleh investor, baik perorangan maupun lembaga. Sekuritas dapat berupa saham, surat berharga, obligasi, sertifikat deposito, Sertifikat Bank Indonesia (SBI) dan lain-lain. Portofolio dapat didefinisikan sebagai suatu kombinasi atau gabungan sekumpulan aset (sumber daya dalam bentuk benda atau hak yang dimiliki perusahaan) dengan mengalokasikan dana pada aset-aset tersebut dengan tujuan memperoleh keuntungan di masa yang akan datang (Sunariyah, 2004:194). Dikarenakan portofolio merupakan kombinasi sekuritas, masalah yang dihadapi investor adalah pemilihan portofolio yang optimal. Pemilihan portofolio optimal diambil pada portofolio yang ada di portofolio efisien.

(2)

Portofolio efisien adalah memaksimalkan expected return dengan tingkat risiko tertentu, atau portofolio yang menawarkan risiko rendah dengan expected return tertentu (Eduardus, 2001:74). Investor cenderung menghindari risiko dalam pembentukan portofolio efisien yang artinya apabila portofolio tersebut dibandingkan dengan portofolio lain mempunyai expected return terbesar dengan risiko terkecil (Sunariyah, 2004:194). Pemodal yang membentuk portofolio akan memilih saham yang menawarkan pengembalian yang diharapkan maksimum untuk berbagai tingkat risiko, dan menawarkan risiko yang minimum untuk berbagai tingkat pengembalian. Sedangkan menurut Jogiyanto (2014:365) portofolio dikatakan efisien apabila portofolio tersebut ketika dibandingkan dengan portofolio lain mempunyai expected return terbesar dengan risiko terkecil. Portofolio optimal adalah portofolio efisien yang memberi manfaat maksimal bagi investor. Portofolio optimal merupakan portofolio yang dipilih investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien (Eduardus, 2001:74). Portofolio optimal menggunakan model pemrograman linear telah dikembangkan dan dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Model portofolio linear yang diperkenalkan Konno dan Yamazaki (1991) yaitu Mean Absolute Deviation (MAD) dapat diselesaikan menggunakan metode goal programming dengan jenis lexicographic, denovo, chebychev, meta, minmax, dan weight goal programming. Selain penyelesaian dengan model linear portofolio optimal MAD, terdapat pula penyelesaian lain untuk model nonlinear portofolio

(3)

optimal. Bentuk masalah nonlinear dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode, diantaranya pendekatan kondisi Karush-Kuhn-Tucker, Quadratic Programming, Separable Programming, dan Lagrange Multiplier.

Karush-Kuhn-Tucker merupakan penyelesaian masalah nonlinear secara umum dari masalah optimalisasi dengan kendala tidak negatif pada setiap variabel dan kendala berbentuk pertidaksamaan. Penelitian terdahulu menggunakan metode Karush-Kuhn-Tucker telah diterapkan pada penyelesaian pemrograman nonlinear. Supomo (2011) membahas tentang optimalisasi pemrograman cembung menggunakan syarat Kuhn-Tucker.

Quadratic Programming merupakan penyelesaian masalah optimalisasi nonlinear dengan fungsi tujuannya berbentuk kuadrat dari variabel keputusan atau perkalian dari dua variabel keputusan (Hillier, 2001:665). Quadratic Programming digunakan oleh Efria (2015), penelitian tersebut membahas tentang penyelesaian program nonlinear dengan metode kuadratik pada portofolio saham.

Separable Programming diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong atau dengan metode cutting plane, pemrograman dinamik dan lain-lain. Beberapa penelitian terdahulu menunjukkan banyak peneliti yang mengaplikasikan berbagai metode dalam penyelesaian model nonlinear khususnya metode Separable Programming dan Lagrange Multiplier. Metode Separable Programming mengacu pada penelitian yang dilakukan oleh Rini (2014) menggunakan

(4)

aplikasi metode separable programming untuk menyelesaikan model persamaan nonlinear dalam masalah investasi saham pada portofolio optimal dari saham Bank Central Asia Tbk. (BBCA) dan Bank Rakyat Indonesia Tbk. (BBRI). Model portofolio nonlinear diselesaikan menggunakan hampiran fungsi linear sepotong-sepotong formulasi lambda. Penelitian lain yang menggunakan metode Separable Programming adalah Sanjay (2012) membahas modifikasi teknik eliminasi Gaus untuk masalah nonlinear programming separable. Penelitian tersebut menyimpulkan bahwa modifikasi metode eliminasi Gaus lebih sederhana dan perhitungannya sedikit dibandingkan dengan metode simpleks.

Metode Lagrange Multiplier dalam menyelesaikan masalah optimalisasi model nonlinear memiliki prinsip kerja yang sederhana dan mudah dimengerti. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi lagrange. Penelitian tentang metode lagrange multiplier yang dilakukan oleh Mochamad (2007) membahas optimalisasi bersyarat menggunakan lagrange multiplier dan aplikasinya pada berbagai kasus dalam bidang ekonomi. Penelitian tersebut menguraikan langkah-langkah menentukan nilai ekstrem suatu fungsi tujuan dengan kendala menggunakan lagrange multiplier dan memberikan simulasi contoh penerapannya dalam menentukan keseimbangan konsumsi dan produksi. Penelitian lainnya yang membahas lagrange multiplier dan telah mengaplikasikanya dalam penyelesaian portofolio saham adalah Eti Kurniati, dkk (2014), yang membahas tentang penentuan proporsi saham portofolio dengan metode

(5)

lagrange. Penelitian tersebut membahas perhitungan dalam penentuan bobot dua jenis saham untuk satu portofolio yang menghasilkan varians minimum. Namun kedua jenis saham pembentuk portofolio adalah Astra Graphia Tbk. (ASGR) dan PT Vale Indonesia Tbk. (INCO) masih dipilih secara acak. Perhitungan proporsi saham dilakukan dengan berbagai expected return dan disimpulkan bahwa return portofolio sebesar 0,275% menghasilkan risiko terkecil, dengan bobot saham ASGR 28,5% sedangkan saham INCO 71,5%. Masalah optimalisasi nonlinear dapat diselesaikan dengan berbagai pilihan metode penyelesaian pemrograman nonlinear yang ada tetapi tergantung karakteristik dari fungsi tujuan dan kendala. Hal terpenting dari penyelesaian masalah pemrograman nonlinear adalah menentukan metode penyelesaian yang paling baik atau metode yang efisien. Efisiensi merupakan kemampuan suatu unit memperoleh hasil dan tujuan yang diharapkan dengan waktu, tenaga, dan biaya yang rendah (Supriyono, 1997:35). Dalam mengetahui efisiensi suatu metode dengan metode yang lain dapat dilihat dari berbagai segi, salah satunya adalah dengan melihat nilai hasil penyelesaian metode dan tahapan proses pengerjaan. Penyelesaian dari separable programming bersifat taksiran (approximation), namun nilainya mendekati nilai optimal yang sesungguhnya. Pada kasus tertentu separable programming mempunyai penyelesaian yang sama dengan nilai sesungguhnya. Penyelesaian menggunakan lagrange multiplier disesuaikan untuk penyelesaian model

(6)

nonlinear secara umum dengan proses penyelesaian yang cepat dan sederhana.

Berdasarkan latar belakang di atas, maka akan dikembangkan dari penelitian sebelumnya yang hanya menyelesaikan masalah optimalisasi pada portofolio optimal dengan menggunakan satu metode. Selanjutnya akan dilakukan penelitian untuk mengetahui hasil metode Separable Programming dan Lagrange Multiplier untuk penyelesaian model nonlinear pada portofolio investasi saham. Metode Separable Programming dan Lagrange Multiplier sesuai untuk digunakan dalam penyelesaiam model nonlinear pada portofolio karena memiliki kendala yang berbentuk persamaan. Penelitian ini juga membahas tentang pemilihan saham pembentuk portofolio dengan menggunakan purposive sampling dan pembentukan model nonlinear untuk portofolio optimal pada investasi saham. Teknik Purposive sampling adalah teknik pengambilan sampel sumber data dengan pertimbangan yang sesuai tujuan penelitian (Sugiyono, 2010:218). Saham yang terpilih untuk menyusun portofolio optimal adalah PT Unilever Indonesia Tbk, PT Telekomunikasi Indonesia Tbk, dan PT Waskita Karya Tbk.

Oleh karena itu, diambil penelitian dengan judul “Penyelesaian Model Portofolio Nonlinear Menggunakan Metode Separable

(7)

B. Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah dalam suatu penelitian merupakan hal yang penting untuk menghindari kesimpangsiuran terhadap objek suatu penelitian dan membantu peneliti lebih fokus dan terarah sesuai dengan judul penelitian. Penelitian ini akan membahas penyelesaian model portofolio nonlinear menggunakan metode Separable Programming dan Lagrange Multiplier dengan mengkombinasikan tiga saham yang termasuk dalam daftar 45 emiten dengan likuiditas tinggi (LQ-45) yaitu PT Unilever Indonesia Tbk (UNVR), PT Telekomunikasi Indonesia Tbk (TLKM), serta PT Waskta Karya Tbk (WSKT) pada periode 1 Desember 2014 sampai 28 Desember 2015. Membandingkan efisiensi penyelesaian pemrograman nonlinear metode Separable Programming dengan Lagrange Multiplier pada portofolio.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan, maka permasalahan yang dapat dirumuskan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana membentuk model portofolio nonlinear pada investasi saham?

2. Bagaimana menyelesaikan model portofolio nonlinear menggunakan Separable Programming?

3. Bagaimana menyelesaikan model portofolio nonlinear menggunakan Lagrange Multiplier?

(8)

D. Tujuan

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah

1. Membentuk model portofolio nonlinear pada investasi saham.

2. Menyelesaikan model portofolio nonlinear menggunakan Separable Programming.

3. Menyelesaikan model portofolio nonlinear menggunakan Lagrange Multiplier.

E. Manfaat

Manfaat penulisan penelitian ini adalah 1. Bagi Penulis

a. Menambah pengetahuan penulis mengenai model portofolio nonlinear.

b. Menambah pengetahuan penulis mengenai langkah penyelesaian model portofolio nonlinear menggunakan Separable Programming dan Lagrange Multiplier.

c. Menambah pengetahuan penulis mengenai penerapan portofolio nonlinear menggunakan Separable Programming dan Lagrange Multiplier pada investasi saham.

2. Bagi Jurusan Pendidikan Matematika

Menambah pengetahuan dan referensi untuk penyelesaian model nonlinear menggunakan Separable Programming dan Lagrange Multiplier yang diterapkan pada investasi saham.

(9)

3. Bagi Pembaca

a. Menambah pengetahuan calon investor dalam mengoptimalkan keuntungan yang diharapkan dengan tingkat risiko tertentu.

b. Memberikan metode alternatif bagi pembaca untuk melakukan pengoptimalan portofolio baik menggunakan Separable Programming maupun menggunakan Lagrange Multiplier.

(10)

BAB II KAJIAN TEORI

Kajian teori pada bab ini membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan degan pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, separable programming dan lagrange multiplier, teknik penarikan sampel, saham, teori portofolio, dan kinerja portofolio. Kajian teori dalam penelitian ini akan digunakan pada bab pembahasan selanjutnya.

A. Pemrograman Linear

Manusia selalu dihadapkan pada pilihan dan pengambilan keputusan. Pada penyelesaian masalah dan pengambilan keputusan banyak sekali yang berkaitan dengan optimalisasi. Optimalisasi dalam kehidupan manusia memiliki tujuan pada setiap usahanya yaitu memperoleh hasil yang optimum dengan modal sekecil mungkin (B Susanta, 1994:7). Riset operasi digunakan untuk mengalokasikan sumber daya maupun sumber dana yang jumlahnya terbatas sehingga lebih efektif dan efisien. Pemrograman linear merupakan salah satu teknik yang terdapat pada riset operasi dalam memecahkan permasalahan untuk mengalokasikan sumber daya yang ada menjadi seoptimal mungkin. Model permasalahan linear secara umum terdiri dari fungsi tujuan yang berupa persamaan linear atau hasil yang akan dicapai dan beberapa fungsi kendala berupa persedian sumber daya yang ada. Berikut diberikan definisi dari fungsi dan fungsi linear.

(11)

Definisi 2.1. Fungsi (Purcell, 1987:48). Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari himpunan ke dua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Ilustrasi fungsi diberikan pada Gambar 2.1 di bawah ini:

Gambar 2. 1 Fungsi : → Contoh 2.1

Jika adalah fungsi dengan aturan = + dan jika daerah asal dirinci sebagai {-1, 0, 1, 2, 3}, maka daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}.

Definisi 2.2. Fungsi Linear (Winston, 2004:52). Fungsi , , … , merupakan fungsi linear jika dan hanya jika fungsi f dapat dituliskan

, , … , = + + … + dengan , , … , merupakan

konstanta.

Masalah pemrograman linear pada dasarnya memiliki ketentuan-ketentuan berikut ini (Winston, 2004:53):

1. Masalah pemrograman linear berkaitan dengan upaya memaksimumkan (pada umumnya keuntungan) atau meminimumkan (pada umumnya biaya)

a b c

(12)

yang disebut sebagai fungsi tujuan dari pemrograman linear. Fungsi tujuan ini terdiri dari variabel-variabel keputusan.

2. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaian tujuan yang dirumuskan dalam pemrograman linear. Kendala-kendala ini dirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala yang terdiri dari variabel-variabel keputusan yang menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas.

3. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sebarang , pembatasan tanda menentukan harus non negatif . 4. Memiliki sifat linearitas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan dan

fungsi-fungsi kendala.

Pencapaian hasil yang optimal diselesaikan dengan penyelesaian persoalan secara matematis. Pemecahan persoalan secara matematis tersebut harus memenuhi kriteria sebagai berikut (Zulian, 1991:1):

1. Variabel keputusan non-negative

2. Adanya fungsi tujuan (objective function) dari variabel keputusan dan dapat digambarkan dalam satu set fungsi linear.

3. Terdapat kendala atau keterbatasan sumber daya maupun sumber dana yang dapat digambarkan dalam satu set fungsi linear.

Pemrograman linear merupakan salah satu teknik atau metode riset operasi yang digunakan untuk mendapatkan hasil yang optimal. Hasil tersebut dapat berbentuk memaksimumkan maupun meminimumkan suatu fungsi tujuan dengan kendala-kendala berupa fungsi linear.

(13)

Secara umum, masalah pemrograman linear dapat didefinisikan sebagai berikut (Susanta, 1994:6):

Mencari , , … ,

yang memaksimumkan/meminimumkan

= + + … + (2.1)

dengan kendala

+ + … + , =, (2.2a)

+ + … + , =, (2.2b)

+ + … + , =, (2.2c)

, , … , . (2.2d)

Masalah pemrograman linear (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan ulang sebagai berikut

Mencari , , … ,

yang memaksimumkan/meminimumkan

, , … , = ∑ = (2.3)

dengan kendala

(14)

, ∀ , = , , … , . (2.4b)

Fungsi pada permasalahan pemrograman linear sebagai fungsi tujuan yang akan dioptimalkan. Persamaan maupun pertidaksamaan kendala yang menjadi batasan pencapaian fungsi tujuan disebut fungsi kendala utama. Sedangkan syarat nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan nol disebut kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat berbentuk persamaan maupun pertidaksamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan (=), lebih kecil atau sama dengan ( ), lebih besar atau sama dengan ( ), atau kombinasi diantaranya (sebagian fungsi kendala bertanda dan sebagian lainnya bertanda ). Penyelesaian masalah pemrograman linear saat ini dapat diperoleh dengan beberapa metode di antaranya yaitu metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan menggunakan perangkat lunak komputer (QSB, excel, dan matlab).

B. Pemrograman Nonlinear

Banyak kasus dalam penyelesaian masalah optimalisasi yang modelnya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk linear. Model yang berkaitan dengan bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, pada sebagian atau seluruh fungsi tersebut merupakan fungsi nonlinear. Fungsi nonlinear dapat berbentuk fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain-lain.

Pemrograman nonlinear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk menyelesaikan permasalahan optimalisasi dengan fungsi tujuan yang

(15)

berbentuk nonlinear dan fungsi kendala berbentuk nonlinear atau linear (Bazaraa, 2006:1).

Memilih variabel keputusan , , … , dari daerah layak yang diberikan untuk mengoptimasi (maksimum atau minimum) fungsi tujuan yang diberikan. Daerah layak adalah himpunan dari nilai-nilai , , … , yang memenuhi sejumlah m kendala. Permasalahan pemrograman nonlinear secara umum dapat didefinisikan sebagai berikut (Bradley, 1976) Memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan

, , , … , (2.5)

Pemrograman nonlinear bentuk memaksimumkan atau meminimumkan dapat ditulis sebagai berikut:

Memaksimumkan/Meminimumkan , , , … , (2.6) dengan kendala

, , … , , =, (2.7a)

, , … , , =, . (2.7b)

Batasan non negatif pada variabel dapat dengan menambahkan kendala non negatif sebagi berikut:

(16)

Persamaan (2.6) sampai dengan Persamaan (2.8) dapat dituliskan dalam bentuk masalah optimalisasi yang lebih sederhana sebagai berikut:

Memaksimumkan/Meminimumkan , , , … , (2.9) dengan kendala

, =, , ∀ = , , , … , (2.10a) , ∀ = , , , … , . (2.10b) Jika permasalahan tidak dapat dimodelkan dalam pemrograman linear maka permasalahan berbentuk pemrograman nonlinear. Terdapat beberapa hal yang menyebabkan sifat ketidaklinearan. Permasalahan berbentuk pemrograman nonlinear dengan fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinear pada salah satu atau keduanya. Sebagai contoh dalam suatu perusahaan besar yang kemungkinan menghadapi elastisitas harga atau banyak barang yang dijual berbanding terbalik dengan harganya. Artinya semakin sedikit produk yang dihasilkan maka semakin mahal harganya. Oleh karena itu, kurva harga permintaan akan terlihat seperti kurva dalam Gambar 2.2, dengan adalah harga yang ditetapkan agar terjual x satuan barang. Jika biaya satuan untuk memproduksi barang tersebut adalah konstan yaitu c, maka keuntungan perusahaan tersebut dalam memproduksi dan menjual satuan barang akan dinyatakan oleh fungsi nonlinear berikut (Hillier , 2001:655)

� = − . (2.11)

Gambar 2.3 terlihat misalkan setiap produk dari x jenis produknya mempunyai fungsi keuntungan yang serupa, didefinisikan � ( ) untuk

(17)

produksi dan penjualan satuan dari produk dimana = , , … , , maka secara lengkap fungsi tujuannya yaitu

= ∑ = � ( )

merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi nonlinear.

Alasan lain yang menyebabkan sifat ketidaklinearan muncul pada fungsi tujuan, disebabkan oleh kenyataan bahwa biaya tambahan (biaya marginal)

c _{Biaya Satuan}

Permintaan x

P( x )

x P( x )

Banyak Barang P(x)=x [p(x) - c]

Gambar 2. 2 Kurva Harga Permintaan

(18)

untuk memproduksi satu satuan barang tergantung pada tingkat produksi. Sebagai contoh, biaya marginal akan turun apabila tingkat produksi naik. Di lain pihak, biaya marginal dapat saja naik karena dalam ukuran tertentu, seperti fasilitas lembur atau harga barang mahal, sehingga perlu menaikkan produksi.

Sifat ketidaklinearan dapat juga muncul pada fungsi kendala dengan cara yang sama. Sebagai contoh, apabila terdapat kendala anggaran dalam biaya produksi total, maka fungsi biaya akan menjadi nonlinear jika biaya marginal berubah. Kendala akan berbentuk nonlinear apabila terdapat penggunaan yang tidak sebanding antara sumber daya dengan tingkat produksi dari masing-masing produksi.

C. Fungsi Konveks dan Konkaf

Konsep konveks merupakan hal yang penting dalam permasalahan optimalisasi (Bazaraa, 2006:39).

Definisi 2.3 (Luenberger, 1984). Misalkan , . Titik-titik dengan bentuk

+ − untuk [ , ] disebut kombinasi konveks dari dan .

Definisi 2.4 (Bazaraa, 2006:40). Himpunan S yang tidak kosong di adalah himpunan konveks jika segmen garis yang menghubungkan dua titik berada

dalam himpunan. Dengan kata lain, jika , maka + −

(19)

Definisi 2.5 Fungsi Konveks (Bazaraa, 2006:98). Diketahui : → , dengan

S adalah himpunan konveks yang tidak kosong di . Fungsi f(x) dikatakan

fungsi konveks di S jika

+ − + −

untuk setiap , dan untuk [ , ].

Definisi 2.6 Fungsi Konkaf (Luenberger, 1984:192). Fungsi f(x) dikatakan

fungsi konkaf jika untuk setiap , , dengan S adalah himpunan konveks

dan setiap [ , ] berlaku

+ − + − .

Perbedaan fungsi konveks dan konkaf tampak pada gambar di bawah ini:

D. Separable Programming

1. Pengertian Separable Programming

Separable Programming merupakan salah satu metode dalam penyelesaian pemrograman nonlinear dengan cara mengubah bentuk fungsi nonlinear menjadi linear yang hanya memuat satu variabel saja. Separable Programming memisahkan fungsi yang berbentuk nonlinear menjadi

Konkaf

Konveks

(20)

fungsi dengan variabel tunggal. Misalnya dalam kasus dua variabel fungsi , dapat dipisahkan menjadi ℎ + .

Suatu fungsi dapat dikatakan separable apabila fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang hanya memuat satu variabel, selengkapnya didefinisikan sebagai berikut (Bazaraa, 2006:684)

̂ = ( , ,… , ) = + + + = ∑= (2.12)

Selanjutnya masalah separable programming pada Persamaan (2.12) dapat ditulis sebagai Masalah P sebagai berikut:

Masalah P

Memaksimalkan/meminimalkan

= ∑ ₌ (2.13)

dengan kendala

∑ ₌ ( ) , =, , = , , … , (2.14a) ; = , , … , . (2.14b)

Fungsi pada Persamaan (2.13) sampai dengan Persamaan (2.14b) dapat diselesaikan dengan separable programming. Suatu fungsi dapat dikatakan separable jika fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang memuat satu variabel yang dapat dituliskan sebagai berikut: = + + + (2.15)

(21)

( ): + + + , =, (2.16a) + + + , =, (2.16b)

+ + + , =, (2.16c)

dan , _,… , . (2.16d) Jadi Persamaan (2.15) sampai dengan Persamaan (2.16d) adalah persamaan fungsi tujuan dan fungsi kendala yang berbentuk separable.

Contoh 2.2

Diberikan pemrograman nonlinear

Memaksimumkan = + − −

dengan kendala +

, .

Diperoleh masalah separable programming dari fungsi tujuan dan kendala dari Contoh 2.2 sebagai berikut

= −

(22)

Contoh 2.3

Memaksimumkan , = + − − − +

dengan kendala +

, .

Permasalahan pada fungsi tujuan tidak dapat berbentuk separable, karena terdapat + . Diberikan = + dan bentuk fungsi tujuan dan kendala dari Contoh 2.3 yang dapat berbentuk separable diperoleh sebagai berikut:

Memaksimumkan , , = + − − −

dengan kendala +

+ − =

, , .

Fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai = + + , dimana

= −

(23)

2. Hampiran Fungsi Linear Sepotong-sepotong

Penyelesaian dalam masalah separable programming dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode diantaranya adalah metode cutting plane, pemrograman dinamik, hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, dan lain-lain. Keakuratan dari metode hampiran linear sepotong-sepotong dipengaruhi oleh banyaknya titik kisi. Ada dua cara dalam hampiran fungsi linear sepotong-sepotong, yaitu dengan formulasi lambda dan formulasi delta (Bazaraa, 2006:685). Formulasi lambda merupakan formulasi hampiran setiap titik kisi dengan menggunakan variabel lambda sedangkan formulasi delta merupakan formulasi hampiran untuk setiap interval di antara titik kisi.

Penelitian ini membahas penyelesaian pemrograman nonlinear dengan menggunakan separable programming hampiran fungsi linear sepotong-sepotong lambda. Sebelum membahas mengenai formulasi lambda terlebih dahulu dibahas mengenai ruas garis.

Didefinisikan merupakan fungsi nonlinear yang kontinu, dengan pada interval [a,b]. Akan didefinisikan fungsi linear sepotong-sepotong ̂ yang merupakan hampiran fungsi pada interval [a,b]. Selanjutnya interval [a,b] dipartisi menjadi interval-interval yang lebih kecil, dengan titik kisi (grid pont) = , ,… , = . Pada Gambar 2.5 titik-titik kisi tidak harus mempunyai

jarak yang sama. Berikut diberikan definisi ruas garis untuk menjelaskan hubungan antara dua titik kisi.

(24)

Definisi 2.7 Ruas Garis (Bazaraa, 2006:684). Diberikan ̅ , ̅ . Himpunan

= { ̅| ̅ = ̅ + − ̅ , } disebut ruas garis yang

menghubungkan ̅ dan ̅ .

Gambar 2.5 fungsi linear sepotong-sepotong sebagai hampiran fungsi nonlinear pada interval [ , ₊ ] dengan lima titik kisi.

Gambar 2. 5 Fungsi Linear Sepotong-Sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Lima Titik Kisi

Misalkan merupakan titik kisi pada ruas garis yang menghubungkan dengan ₊ , berdasarkan Definisi 2.7 dapat dituliskan sebagai berikut

= + − + untuk [ , ]. (2.17)

Berdasarkan Persamaan (2.17), fungsi dapat dihampiri oleh interval dan ₊ dengan cara berikut

̂ ₌ ₊ ₋ ₊ _. (2.18)

Pada Gambar 2.6 untuk sembarang fungsi didefinisikan pada interval [a,b], maka selanjutnya interval dipartisi menjadi beberapa titik kisi dengan titik kisi = , _,… , = . Pada dihampiri oleh ̂ , dihampiri ̂ _, dihampiri ̂ dan seterusnya. Titik-titik kisi tidak harus mempunyai jarak yang sama.

(25)

= 1 2 +1 = k

Gambar 2. 6 Fungsi Linear Sepotong-sepotong sebagai Hampiran Fungsi Nonlinear dengan Formulasi Lambda

Secara umum hampiran linear dari fungsi f(x) untuk titik-titik kisi , ,… , didefinisikan sebagai berikut

̂ _{= ∑} ₌ _{, ∑} ₌ _{= ,} _. (2.19)

Dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan (2.17) yaitu

= ∑ = , untuk = , , , … , (2.20)

dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua , ₊ tidak nol dan berdampingan.

Secara umum, dalam setiap dua titik kisi diperoleh satu hampiran sehingga total dari semua hampiran tersebut merupakan hampiran untuk fungsi nonlinear tersebut. Masalah pengoptimuman yang menghampiri masalah P dapat dilakukan dengan mengganti fungsi dan yang nonlinear dengan fungsi linear sepotong-sepotong.

Didefinisikan

= { | ℎ = , , … , }.

Didefinisikan titik-titik kisi untuk = , , … , pada interval [ , ] dengan , untuk setiap .

( ( ( ( ̂ ( ( ̂ ( ( ̂

(26)

Berdasarkan Persamaan (2.19) dengan titik-titik kisi fungsi pada Persamaan (2.13) dan pada Persamaan (2.14a) serta Persamaan (2.14b), untuk dengan = , , … , ; , maka diperoleh hampiran-hampiran linearnya yaitu

̂( ) = ∑ = ( ) (2.21)

̂( ) = ∑ = ( ) = , , … , ; (2.22a)

Dengan ∑ ₌ = (2.22b)

= , , … , (2.22c)

dengan yang diperoleh berdasarkan pada Persamaan (2.20) yaitu

= ∑ = ( ). (2.23)

Untuk mempermudah penulisan, hampiran Masalah P ditulis dengan Masalah AP. Berdasarkan Persamaan (2.21), Masalah AP dapat didefinisikan sebagai berikut (Bazaraa, 2006:686)

Masalah AP

Memaksimumkan/meminimumkan

= ∑ � ( )+ ∑ �̂( ) (2.24)

Terhadap kendala

∑ � ( )+ ∑ �̂( ) , =, , = , , … , (2.25a)

untuk = , , … , . (2.25b) Perhatikan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala pada masalah AP adalah fungsi linear sepotong-sepotong.

(27)

Berdasarkan Persamaan (2.21) sampai dengan Persamaan (2.22c), Masalah AP pada Persamaan (2.24) sampai dengan (2.25b) dapat ditulis ulang sebagai masalah LAP sebagai berikut

Masalah LAP

Memaksimumkan/meminimumkan

= ∑ � ( )+ ∑ �∑ = ( ) (2.26)

Terhadap kendala

∑ � ( )+ ∑ �∑ = ( ) , =, , = , , … , (2.27a)

∑ ₌ = (2.27b)

= , , … , (2.27c)

dan terdapat paling sedikit satu tidak nol atau paling banyak dua , + tidak nol dan berdampingan.

Pada fungsi tujuan dan kendala dari Persamaan (2.26) sampai dengan (2.27c) disebut sebagai Masalah LAP yang berbentuk linear. Oleh karena itu, Masalah LAP dapat diselesaikan dengan metode simpleks biasa. Penelitian ini menyelesaian pemrograman linear menggunakan metode simpleks biasa dengan bantuan Excel Solver. Mendapatkan penyelesaian optimal dengan metode simpleks pada masalah maksimasi dalam bentuk separable

(28)

setiap ( ) adalah konveks, sedangkan pada masalah minimasi harus konveks dan setiap ( ) adalah konveks (Winston,2004 :714).

Pada penyelesaian separable programming berlaku sebagai berikut: Teorema 2.1 (Bazaraa, 2006:689). Jika = ∑ ₌ untuk merupakan penyelesaian layak pada Persamaan (2.26) sampai dengan

Persamaan (2.27), maka , = , , , … juga merupakan penyelesaian layak

pada Persamaan (2.13)-(2.14).

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.5, karena konveks dengan untuk setiap = , , , … dan untuk dengan , = , , , … , diperoleh

( ) = ∑ ( ) � + ∑ � ( ) = ∑ ( ) � + ∑ � ∑ = = ∑ ( ) � + ∑ � + + + + ∑ ( ) � + ∑ + + + + = ∑ ( ) � + ∑ ∑ = � .

(29)

Untuk = , , , … selanjutnya untuk dan = ∑ ₌ untuk j , karena , ; = , , , … ; . Jadi terbukti merupakan penyelesaian yang layak pada Persamaan (2.13)-(2.14). E. Lagrangre Multiplier

Sebelum membahas mengenai metode lagrangre multiplier terlebih dahulu dibahas mengenai turunan parsial dan titik kritis.

Definisi 2.8 (Purcell, 1987). Jika = , terdefinisi dalam domain D di bidang XY, sedangkan turunan pertama f terhadap x dan y di setiap titik (x,y) ada, maka

Turunan pertama di adalah �

�

=

∆ →

+∆ , − ,

∆

.

Turunan pertama di y adalah

∆ →

, + ∆ − ,

∆ .

Dapat dinotasikan sebagai �

� =

� ,

� = ,

�

� =

� ,

(30)

Turunan parsial fungsi variabel, diberikan fungsi variabel dari , , , … , dengan persamaan = , , _,… , , maka turunan-turunan parsialnya yaitu:

= , = , = , … , = �.

Diberikan untuk fungsi tiga variabel dari x, y, z dengan persamaan = , , , maka turunan-turunan parsialnya yaitu:

= , , , = , , , = , , .

Turunan parsial derajat dua, notasi turunan parsial derajar dua fungsi = , dinyatakan dalam simbol- simbol berikut:

�

� =

� �

�

� = = =

� �

= = = =

= ( ) = = = ( ).

Teorema 2.2 Titik Kritis (Purcell, 2010:248). Andaikan fungsi f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrem, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu dari:

a. Titik ujung dari I

b. Titik stasioner dari f, (f’(c)=0) atau

(31)

Bukti:

Dengan berupa nilai maksimum f pada I, maka untuk semua

x dalam I, yaitu − .

Jika < sehingga − < , maka

−

− (2.28)

Sedangkan jika > , maka

−

− (2.29)

Akan tetapi, ′ ada karena bukan titik singular. Akibatnya, apabila → − dalam Persamaan (2.28) dan → − dalam Persamaan (2.29), maka diperoleh

′ _dan ′ _._{Sehingga dapat disimpulkan bahwa} ′ ₌ _.

Titik kritis untuk penyelesaian program nonlinear dapat digolongkan sebagai maksimum atau minimum lokal.

Teorema 2.3 (Hillier, 2001:664). Jika adalah fungsi konkaf, maka titik kritis dari fungsi tersebut pasti merupakan maksimum global.

Bukti:

Perhatikan masalah optimalisasi berikut Maksimum

(32)

Jika adalah himpunan konveks , : → adalah fungsi konkaf dan ̅ adalah titik maksimum lokal untuk masalah optimalisasi maka ̅ adalah titik maksimum global dari pada himpunan .

Misalkan ̅ bukan titik maksimum global atau ̅ titik maksimum lokal, maka terdapat yang memenuhi > ̅ . Sebut saja = ̅ +

− yang merupakan kombinasi konveks dari ̅ dan , untuk [ , ]. Hal ini mengakibatan , untuk [ , ].

̅ adalah fungsi konkaf dan berdasarkan Definisi 2.6 maka berlaku

( ) = ̅ + −

̅ + −

> ̅ + − ̅

= ̅

untuk setiap [ , ]. Hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa ̅ adalah maksimum lokal. Dengan demikian haruslah ̅ merupakan titik maksimum global.

Fungsi lagrange merupakan metode penyelesaian masalah optimalisasi dalam penentuan harga ekstrem, dengan batasan-batasan (constrains) tertentu (Purcell, 1987:303).

1. Satu Pengali Lagrange

Prinsip dalam metode ini adalah mencari harga ekstrem (optimal) suatu fungsi objektif , dengan batasan-batasan tertentu yang harus dipenuhi, yaitu , =

(33)

Cara penyelesaian:

Membentuk fungsi Lagrange

, , = , + , . (2.30)

Dengan syarat ekstrem:

�

� = ,

�

� = ,

�

�� = . (2.31)

Parameter inilah yang disebut pengali Lagrange. Contoh 2.4

Tentukan nilai minimum dari = + + dengan batasan fungsi kendala volume = .

Penyelesaian dengan membentuk fungsi lagrange sebagai berikut:

= + + + −

Syarat ekstrem yang diperoleh,

�

� = + + = ⇔ =

− +

(2.32a)

�

� = + + = ⇔ =

− +

(2.32b)

�

� = + + = ⇔ =

− +

(2.32c)

Mencari nilai titik kritis,

Menggunakan Persamaan (2.32a) dan Persamaan (2.32b), diperoleh

− +

(34)

Selanjutnya dari Persamaan (2.32a) dan Persamaan (2.32c), diperoleh − +

= − + ⇔ + = + ⇔ = .

Hasil yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke fungsi kendala, sehingga diperoleh:

= ⇔ = ⇔ = ⟹ = dan z = .

2. Lebih dari Satu Pengali Lagrange

Jika pengali Lagrange melibatkan lebih dari satu kendala, maka penggunaan parameter yang dipilih dapat ditambahkan menjadi , atau parameter yang lain.

Misalnya untuk memperoleh nilai ekstrem , , dengan kendala , , = dan ℎ , , = .

Cara penyelesaian:

Membentuk fungsi Lagrange

, , , , = , , + , , + , , . (2.33) Dengan syarat ekstrem:

�

� = ,

�

� = ,

�

� = ,

�

�� = ,

�

��= . (2.34)

Metode ini dapat diperluas untuk variabel , , … , (2.35) dengan kendala

∅ , , … , , ∅ , , … , , … , ∅ , , … , . (2.36) Sebagai fungsi Lagrangenya adalah:

(35)

, , … , , , , … , = + ∅ + ∅ + + ∅ . (2.37) Dengan cara penyelesaiannya adalah:

�

� = ,

�

� = , … , �

� � = ,

�

� � = , … , �

� � = . (2.38)

Dengan , _,…, adalah pengali Lagrange.

Fungsi lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan fungsi yang hendak dioptimalkan terhadap hasil kali dengan fungsi kendala, hasilnya tetap sama. Penyelesaian lagrange multiplier mempunyai kondisi yang harus dipenuhi untuk mendapatkan penyelesaian optimal. Jika masalah maksimalisasi maka fungsi objektif harus dalam bentuk konkaf dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks, sedangkan jika masalah minimalisasi maka fungsi objektif harus dalam bentuk konveks dan setiap fungsi kendala berupa fungsi linear yang konveks (Winston, 2004:685).

F. Teknik Penarikan Sampel

Penggunaan metode sampling bertujuan untuk membuat penarikan sampel lebih efisien (Cochran, 1977). Teknik penarikan sampel yang paling sering digunakan adalah teknik penarikan Probability Sampling. Non-Probability Sampling adalah suatu prosedur penarikan sampel yang setiap anggota populasi tidak memiliki peluang atau kesempatan sama bagi setiap unsur (anggota populasi) untuk dipilih menjadi sampel. Sedangkan menurut Sarwoko (2007) Non-Probability Sampling adalah teknik pengambilan sampel dengan elemen-elemen dalam populasi tidak memilki probalitas-probalitas

(36)

yang melekat padanya sebagai dasar pengambilan sampel. Pengambilan sampel didasarkan pada kriteria tertentu.

Salah satu teknik penarikan sampel Non-probability Sampling yaitu dengan menggunakan purposive sampling. Purposive sampling adalah teknik pengambilan sampel sumber data dengan pertimbangan tertentu (Sugiyono, 2010:218). Sedangkan menurut Sugiarto (2003) purposive sampling yaitu penarikan sampel yang dilakukan untuk suatu tujuan tertentu (disengaja). G. Saham

Saham merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal (yaitu pihak yang memiliki kertas tersebut) untuk memperoleh bagian dari prospek atau kelayakan organisasi yang menerbitkan sekuritas tersebut dan berbagai kondisi yang memungkinkan pemodal tersebut menjalankan haknya (Suad, 2005:29).

Suatu perusahaan menjual hak kepemilikannya dalam bentuk saham (stock). Jika perusahaan hanya mengeluarkan satu kelas saham, maka saham ini disebut dengan saham biasa dan jika suatu perusahaan mengeluarkan lebih dari satu kelas saham, maka disebut saham preferen (preferred stock). Menurut Jogiyanto (2014:169), ada beberapa jenis saham yaitu:

1. Saham Biasa (common stock), saham yang dikeluarkan oleh perusahaan yang hanya mengeluarkan satu kelas saham. Pemegang saham adalah pemilik dari perusahaan yang mewakilkan kepada manajemen untuk menjalankan operasi perusahaan.

(37)

2. Saham Preferen, saham ini mempunyai sifat gabungan (hybrid) antara obligasi (bond) dan saham biasa. Dibandingkan dengan saham biasa, saham preferen mempunyai beberapa hak, yaitu hak atas dividen tetap dan hak pembayaran terlebih dahulu jika terjadi likuidasi. Saham preferen dibedakan menjadi saham preferen yang dapat dikonversikan ke saham biasa (convertible preferred stock), saham preferen yang dapat ditebus (callable preferred stock), saham preferen dengan tingkat dividen yang mengambang (floating atau adjustable-rate preferred stock).

3. Saham Treasuri (treasury stock), saham ini dimiliki oleh perusahaan yang sudah pernah dikeluarkan dan beredar yang kemudian dibeli kembali oleh perusahaan untuk tidak dipensiunkan tetapi disimpan sebagai treasuri. H. Teori Portofolio

1. Pengertian Portofolio

Portofolio adalah serangkaian kombinasi beberapa sekuritas yang diinvestasikan dan dipegang oleh investor, baik perorangan maupun lembaga. Sekuritas dapat berupa saham, surat berharga, obligasi, sertifikat dan lain-lain. Portofolio dapat didefinisikan sebagai suatu kombinasi atau gabungan sekumpulan aset dengan mengalokasikan dana pada aset-aset tersebut dengan tujuan memperoleh keuntungan dimasa yang akan datang (Sunariyah, 2004:194).

Investasi dapat didefinisikan sebagai penundaan konsumsi sekarang untuk dimasukkan ke saham selama periode waktu yang tertentu (Jogiyanto, 2014:5). Adanya saham, penundaan konsumsi sekarang untuk diinvestasikan ke

(38)

saham tersebut akan meningkatkan utilitas (kepuasan) total. Investasi ke dalam saham akan meningkatkan utilitas. Investor melakukan investasi untuk meningkatkan utilitasnya dalam bentuk kesejahteraan keuangan. Penundaan konsumsi yang dilakukan investor dimaksudkan untuk mendapatkan hasil atau keuntungan yang digunakan untuk konsumsi mendatang.

Tiga hal yang perlu dipertimbangkan dalam melakukan kegiatan investasi yaitu tingkat pengembalian (keuntungan) yang diharapkan (expected rate of return), tingkat risiko (rate of risk), dan ketersediaan jumlah dana yang akan diinvestasikan (Abdul, 2005:4). Tingkat risiko pada umumnya berbanding lurus dengan tingkat pengembalian yang diharapkan atau dapat dikatakan bahwa semakin tinggi risiko (risk) yang diambil maka tingkat pengembalian (return) yang diharapkan akan semakin tinggi.

Pemilihan aset-aset oleh investor tergantung pada preferensi investor terhadap risiko. Preferensi investor terhadap risiko dibedakan menjadi tiga yaitu investor yang menyukai risiko atau pencari risiko (risk seeker), investor yang netral terhadap risiko (risk neutral), dan investor yang tidak menyukai risiko atau menghindari risiko (risk averter). Investor yang tidak menyukai risiko atau penghindar risiko merupakan investor yang apabila dihadapkan pada dua pilihan investasi yang memberikan tingkat pengembalian yang sama dengan risiko yang berbeda, maka investor akan lebih suka mengambil investasi dengan risiko yang lebih rendah (Abdul, 2005:42)

(39)

2. Return

Return merupakan hasil yang diperoleh dari investasi. Adanya hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal dengan high risk- high return, yang artinya semakin besar risiko yang ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Artinya harus ada pertambahan return sebagai kompensasi dari pertambahan risiko yang akan ditanggung oleh investor (Jogiyanto, 2014:264). Return dapat berupa return realisasian yang sudah terjadi atau return ekspektasian yang belum terjadi tetapi yang diharapkan akan terjadi dimasa mendatang.

a. Return Realisasian

Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke- periode dengan harga � ₋ dan harga pada periode selanjutnya adalah � ₋ , maka

return total pada periode sampai adalah � ₋ − � ₋ /� ₋ .

Return total dapat digambarkan sebagai pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate).

Return total dapat dinyatakan sebagai berikut (Jogiyanto, 2014:264) = ��− � �−

� �− . (2.39)

Keterangan:

: return capital gain atau capital loss saham ke-i pada periode t � : harga penutupan saham ke-i pada periode ke-t

(40)

Jika harga investasi sekarang � lebih tinggi dari harga investasi periode lalu � ₋ ini berarti terjadi keuntungan modal (Capital Gain), jika sebaliknya berarti terjadi kerugian (Capital Loss).

b. Return Ekspektasian

Return ekspektasian (expected return) merupakan return yang digunakan untuk pengambilan keputusan investasi. Return ekspektasian (expected return) dapat dihitung berdasarkan beberapa cara sebagai berikut ini:

a) Berdasarkan nilai ekspektasian masa depan, b) Berdasarkan nilai-nilai return historis,

c) Berdasarkan model return ekspektasian yang ada.

Berdasarkan nilai-nilai return historis untuk menghitung nilai return ekspektasian, terdapat tiga metode yang dapat diterapkan yaitu metode rata-rata (mean method), metode trend (trend method), dan metode jalan acak (random walk method) (Jogiyanto, 2014:282). Diantara ketiga metode yang paling banyak digunakan adalah metode rata-rata (mean method). Menghitung expected return saham individual menggunakan persamaan berikut,

= ∑�= ��_. _(2.40)

Keterangan:

E R : expected return saham ke-i : return saham ke-i pada periode t

u : banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

Return realisasi portofolio (portofolio realized return) merupakan rata-rata tertimbang dari return-return relisasian masing-masing saham tunggal di

(41)

dalam portofolio tersebut. Secara matematis, return realisasian portofolio dapat ditulis sebagai berikut:

= ∑₌ . (2.41)

Keterangan:

: Return realisasian portofolio

: Proporsi dari saham i terhadap seluruh sekuritas di portofolio : Return realisasian dari saham ke-i

: Jumlah dari saham tunggal

Sedangkan return ekspektasian portofolio (portofolio expected return) merupakan rata-rata tertimbang dari return-return ekspektasian masing-masing sekuritas tunggal di dalam portofolio. Return ekspektasian portofolio dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut:

( ) = ∑= . (2.42)

Keterangan:

( ) : return ekspektasian dari portofolio

: proporsi dari saham i terhadap seluruh saham di portofolio : return ekspektasian dari saham ke-i

: jumlah dari saham tunggal 3. Risiko

Risiko didefinisikan sebagai besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (realized return) (Abdul, 2005:42). Menghitung return saja untuk suatu investasi tidaklah cukup. Risiko dari investasi juga perlu

(42)

diperhitungkan. Return dan risiko mempunyai hubungan yang positif, semakin besar risiko yang harus ditanggung, semakin besar return yang harus dikompensasikan (Jogiyanto, 2014:285).

a. Risiko Saham Individual

Menghitung risiko saham individual menggunakan persamaan berikut,

� = ∑��= ��− � _. _(2.43)

Keterangan:

� : risiko saham ke-i

: return saham ke-i pada periode t : expected return saham

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi Persamaan untuk menghitung kovarian adalah

( ) = � =∑��= {��− � }{��− (� )}_. _(2.44)

Keterangan:

( ) : kovarian return antara saham i dengan saham j : return saham ke-i pada periode t

: expected return saham

: return saham ke-j pada periode t ( ) : expected return saham j

(43)

b. Risiko Portofolio

Konsep dari risiko portofolio pertama kali diperkenalkan secara formal oleh Harry M. Markowitz di tahun 1950-an. Konsep tersebut menunjukkan bahwa secara umum risiko mungkin dapat dikurangi dengan menggabungkan beberapa sekuritas tunggal ke dalam bentuk portofolio. Risiko portofolio tidak harus sama dengan rata-rata tertimbang risiko-risiko dari seluruh sekuritas tunggal. Risiko portofolio bahkan dapat lebih kecil dari rata-rata tertimbang risiko masing-masing sekuritas tunggal (Jogiyanto, 2014:287).

Portofolio dengan Dua Saham Return portofolio ekspektasian adalah sebesar:

( ) = + . (2.45)

Keterangan:

( ) : Expected return portofolio

: Proporsi dari saham A terhadap seluruh sekuritas di portofolio : Expected return saham A

Risiko portofolio dapat diukur dengan besarnya deviasi standar atau varian dari nilai-nilai return sekuritas-sekuritas tunggal yang ada di dalamnya (Jogiyanto, 2014:289). Oleh karena itu, varian return portofolio yang merupakan risiko portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:

� ( ) = � = �� + �� + . (2.46)

Keterangan:

� ( ) = � : varians return portofolio

(44)

�� : varians return saham A

: kovarian antara return saham A dan B

Kovarian (covariance) antara return saham A dan B yang ditulis sebagai atau � , menunjukkan hubungan arah pergerakan dari nilai-nilai return sekuritas A dan B. Kovarian yang dihitung dengan menggunakan data historis dapat dilakukan dengan rumus sebagai berikut ini.

= � = ∑= [(� − � ) (� − � )]. (2.47)

Keterangan:

Cov R R : kovarian return antara saham A dan saham B R : return masa depan saham A kondisi ke- i R : return masa depan saham B kondisi ke- i E R : return ekspektasian saham A

E R : return ekspektasian saham B

: banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

Koefisien korelasi menunjukkan besarnya hubungan pergerakan antara dua variabel relatif terhadap masing-masing deviasinya. Dengan demikian, nilai koefisien korelasi antara variabel A dan B � dapat dihitung dengan membagi nilai kovarian dengan deviasi variabel-variabelnya.

� = _{� �}� � . (2.48)

Dari rumus (2.48), nilai dari kovarian return saham A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi sebagai berikut:

(45)

Menggunakan Persamaan (2.49), selanjutnya rumus varian portofolio pada Persamaan (2.46) dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien korelasi sebagai berikut:

� ( ) = � = �� + �� + � � � . (2.50)

Portofolio dengan banyak saham

Dalam hal ini portofolio terdiri dari buah sekuritas dengan proporsi masing-masing saham ke-i sebesar . Sebelumnya besar varian untuk portofolio dengan 3 sekuritas ini dapat dituliskan:

� = [ � + � + � ] + [ � + � + � ]. (2.51)

Selanjutnya untuk -saham, rumus varian dituliskan sebagai berikut:

� = [ � + � + � + + � ] + [ � +

� + � + + � + +

− � − , ]. (2.52)

Persamaan (2.52) dapat dituliskan menjadi persamaan berikut (Eduardus, 2001:66)

� = ∑= � + ∑ ∑ = � .

≠

= (2.53)

Keterangan:

� : risiko portofolio

σ : varians dari investasi pada saham ke-i

: proporsi dari saham i terhadap seluruh saham di portofolio : proporsi dari saham j terhadap seluruh saham di portofolio � : kovarian return antara saham i dan saham j

(46)

4. Uji Normalitas

Uji normalitas data dilakukan sebelum data diolah berdasarkan model-model penelitian yang dilakukan. Menurut Setyosari (2010:238) distribusi normal merupakan suatu distribusi atau persebaran yang simetris sempurna dari skor rata-rata. Uji normalitas data bertujuan untuk mendeteksi distribusi data dalam suatu variabel yang akan digunakan dalam penelitian. Sedangkan menurut Syofian (2013:153) menyatakan bahwa tujuan uji normalitas adalah mengetahui apakah populasi data berdistribusi normal atau tidak. Ada berbagai cara untuk menguji normalitas data yang telah dikembangkan oleh para ahli, salah satunya menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov yang sering digunakan. Prinsip kerja uji Kolmogorov-Smirnov adalah membandingkan frekuensi observasi (Syofian, 2013:153).

Uji normalitas dalam dunia investasi bertujuan untuk menguji return saham berdistribusi normal atau tidak. Pengujian ini digunakan untuk mengantisipasi terjadinya ketidakstabilan harga, sehingga dikhawatirkan mengalami penurunan harga saham yang signifikan dan merugikan investor. Return saham yang berdistribusi normal dapat dimasukkan sebagai saham pembentuk portofolio. Uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dapat dilakukan dengan bantuan SPSS.

Prosedur untuk pengujian menggunakan Kolmogorov-Smirnov a. Hipotesis

: data berdistribusi normal : data tidak berdistribusi normal

(47)

b. Taraf signifikansi c. Statistik uji

Kolmogorov-Smirnov = | ∗ − |

∗ _{adalah distribusi kumulatif data sampel}

adalah distribusi kumulatif yang dihipotesiskan d. Kriteria pengujian hipotesis

ditolak jika < atau − < diterima jika > atau − > e. Perhitungan

f. Kesimpulan 5. Model Portofolio

Model portofolio dapat diformulasikan dalam bentuk pemrograman nonlinear. Andaikan saham yang termasuk dalam portofolio dan misalkan variabel keputusan = , , , . . . , menyatakan banyaknya proporsi dana yang diinvestasikan pada saham . Selanjutnya expected return diterangankan sebagai R(x) dan V(x) sebagai varian atau total risiko dari saham yang masuk kedalam portofolio. Model ini memaksimalkan ekspektasi return dengan

tingkat risiko tertentu, parameter β merupakan konstanta tak negatif yang

mengukur tingkat keinginan investor terhadap hubungan antara ekspektasi

return dan risiko. Pemilihan β kecil dan mendekati 0 menyatakan bahwa risiko

diabaikan, apabila nilai β yang diambil besar atau sama dengan 1 artinya investor sangat memperhatikan risiko. Nilai untuk β yaitu 0<β≤1. Berdasarkan

(48)

Persamaan (2.42) dan (2.53) diperoleh model pemrograman nonlinear sebagai berikut (Hillier, 2001:658) :

Memaksimumkan

= − �

= ∑ ₌ ( ) − ∑ ₌ � + ∑ ∑ ₌ �

≠

= (2.54)

dengan kendala

∑ ₌ (2.55a)

dan , untuk = , , , . . . , . (2.55b) dimana B merupakan jumlah uang yang dianggarkan untuk portofolio.

Pemrograman nonlinear pada fungsi tujuan Persamaan (2.54) merupakan model mean variance Markowitz yaitu memaksimumkan expected return dengan risiko tertentu. Model mean variance Markowitz didefinisikan menggunakan fungsi lagrange dengan satu pengali lagrange yaitu untuk memperoleh penyelesaian optimal.

I. Kinerja Portofolio

Seorang investor akan menghadapi kesulitan dalam pembentukan suatu portofolio. Terdapat banyak bentuk portofolio dalam kemungkinan dari kombinasi saham-saham yang ada. Pada pemilihan portofolio, investor memilih portofolio yang optimal. Portofolio optimal berbeda untuk masing-masing investor.

(49)

Seorang investor yang rasional akan memilih potofolio efisien. Portofolio efisien (efficient portofolio) didefinisikan sebagai portofolio yang memberikan return ekspektasian terbesar dengan risiko tertentu atau memberikan risiko terkecil dengan return ekspektasian tertentu (Jogiyanto, 2014:367). Sedangkan portofolio optimal merupakan portofolio dengan kombinasi return ekspektasian dan risiko terbaik.

Investor selalu ingin memaksimalkan return yang diharapkan dengan tingkat risiko tertentu yang bersedia ditanggungnya, atau mencari portofolio yang menawarkan risiko terendah dengan tingkat return tertentu. Karakteristik portofolio seperti ini disebut sebagai portofolio yang efisien (Eduardus, 2001:74). Sedangkan portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio efisien merupakan portofolio optimal.

reward to volatility, reward to market risk, reward to diversification, Jensen’s

alpha, , dan rasio informasi (Jogiyanto, 2014:708). Dalam penelitian ini

akan digunakan reward to variability (sharpe measure). Kinerja portofolio yang dihitung menggunakan pengukuran ini dilakukan dengan membagi return lebih (excess retur) dengan variabilitas (variability) return portofolio. Reward to

(50)

variability ratio yaitu perbandingan antara tingkat pengembalian portofolio dan risiko portofolio. Portofolio yang memiliki kinerja terbaik adalah yang mempunyai indeks sharpe tertinggi. Dengan demikian diperoleh persamaan dalam pengukur indeks sharpe dapat dilihat sebagai berikut (Rahadian, 2014:5):

ℎ =��

��. (2.56)

Keterangan:

: Return portofolio

� : Risiko portofolio

J. Excel Solver

Crystal Ball, @ risk, Tree Plan, What’s best, dan lain-lain juga sudah tersedia untuk membantu pengguna untuk mengeksplorasi diri guna memecahkan berbagai masalah yang ada. Solver adalah fasilitas bawaan excel yang memungkinkan pengguna untuk menyelesaikan kasus-kasus optimalisasi bukan hanya model linear (Siswanto, 2006:197). Fasilitas Solver belum terinstal secara langsung pada excel, langkah-langkah memunculkan menu solver sebagai berikut:

(51)

a. Klik Office Button (button berbentuk logo Ms. Office), kemudian pilih excel option

b. Pilih bagian Add-ins, kemudian pilih Excel Add-in pada opsi Manage dan klik GO

c. Muncul kotak dialog Add-in dan check pada Solver Add-in dan klik OK

(52)

DAFTAR PUSTAKA

Abdul Halim. 2005. Analisis Investasi. Edisi Kedua. Jakarta: Salemba Empat. Agustina Melani. 2014. Saham Konstruksi Jadi Primadona di 2014. Diakses pada

10 januari 2016 dari http://bisnis.liputan6.com/read/2154667/saham-konstruksi-jadi-primadona-di-2014.

Alteza Muniya. 2010. Diktat Manajemen Investasi. Yogyakarta: FE UNY.

Bazaraa M. S., Sherali, H. D. & Shetty, C. M. 2006. Nonlinear Programming. Hoboken, New Jersey : John Wiley & Sons Inc.

Bradley, Hax and Magnanti. 1976. Applied Mathematical Programming. Cambridge: Addison-Wesley Publishing Company.

Susanta, B. 1994. Program Linear. Yogyakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi.

Eddy Kurnia. 2010. 15 Tahun Saham TELKOM Tercatat di New York Stock Exchange. Diakses pada 10 januari 2016 dari http://www.telkom.co.id/15- tahun-saham-telkom-tercatat-di-new-york-stock-exchange.html.

Eduardus Tandelilin. 2001. Analisis Investasi dan Manajemen Portofolio. Yogyakarta : BPFE.

Efria Lemadona. 2015. Penyelesaian Program Nonlinear dengan Metode Kuadrat pada Portofolio Optimal. Skripsi : UNY.

Eti Kurniati, Gani Gunawan, & Tegar Aji S.B. 2014. Menentukan Proporsi Saham Portofolio dengan Metode Lagrange. Prosiding, Seminar Nasional Penelitian dan PKM Sains,Teknologi dan Kesehatan. Vol 4, No.1, 155-162. Hillier, F.S and Gerald, L. Lieberman. 2001. Introduction to Operation Research

7th ed. Singapore : McGraw-Hill, Inc.

Jogiyanto. 2014. Teori Portofolio dan Analisis Investasi. Edisi Kesembilan. Yogyakarta: BPFE.

Konno, Hiroshi & Yamazaki, Hiroaki. 1991. Mean Absolute Derivation Portofolio Optimazation Model and Its Applications to Tokyo Stock Market. Management Science. Vol. 37, No.5, 519-531.

Luenberger, David G & Yinyu Ye. 1984. Linear and Nonlinear Programming. Edisi Ketiga. Stanfort California: Spinger.

(53)

Mochamad Ridwan. 2007. Optimasi Bersyarat dengan Menggunakan Multiplier Lagrange dan Aplikasinya pada Berbagai Kasus dalam Bidang Ekonomi Semarang. Skripsi. Universitas Negeri Semarang.

Purcell, Edwin J. 2010. Kalkulus. Jakarta: Binarupa Aksara.

Purcell, Edwin J and Varberg, Dale. 1987. Calculus with Analytic Geometry

5thed. New York: Prentice-Hall Inc

Rahadian Dwi R, Siti Ragil H, & Maria Goretti W.E. 2014. Analisis Pemilihan Portofolio Optimal dengan Model dan Pengembangan dari Portofolio Markowitz. Jurnal Administrasi Bisnis. Vol. 14 No. 1, 1-10

Rini Nurcahyani. 2014. Penyelesaian Model Nonlinear Menggunakan Separable Programming pada Portofolio Optimal. Skripsi: UNY.

Sanjay, Jain. 2012. Modified Gauss Elimination Technique for Separable Nonlinear Programming. Jurnal Industrial Mathematics. Vol. 4 No. 3, 163 170

Sarwoko. 2007. Statistika Inferensi untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Setyosari. 2010. Metode Penelitian dan Pengembangan. Jakarta: Kencana Prenada Media Group.

Siswanto. 2006. Operations Research jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Sri Handaru Yuliati, Handoyo Prasetyo, & Fandi Tjiptono. 1996. Manajemen Portofolio dan Analisis Investasi, cetakan pertama. Yogyakarta: Penerbit Andi.

Suad Husnan. 2005. Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas. Edisi keempat. Yogyakarta: UUP AMP YKPN.

Sugiarto, Siagian, D., Sunaryanto, L.T., & Oetomo, D.S. 2003. Teknik Sampling. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Sugiyono. 2010. Metode Penelitian Kuantitatif Kualitatif dan RND. Bandung: Alfabeta.

Sunariyah. 2004. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal. Edisi Ketiga. Yogyakarta: UPP AMP YKP

Supomo. 2011. Optimasi Pemrograman Cembung Menggunakan Syarat Khun -Tucker. Skripsi: UNY.

(54)

Supriyono. 1997. Akutansi Biaya Pengumpulan Biaya dan Penentuan Harga Pokok Produksi. Yogyakarta: BPFE Universitas Gajah Mada.

Syofian Siregar. 2013. Statistika Parametrik untuk Penelitian Kuantitatif. Jakarta: Bumi Aksara

Unilever Indonesia. 2016. Tentang Uniever Indonesia. Diakses pada 15 Juni 2016 dari http://www.unilever.co.id/about/who-we-are/about-Unilever/.

Winston, L. W. 2004. Operation Research: Applications and Algorithms 4th ed. Duxbury: New York.

Zulian Yamit.1991. Linear Programming, cetakan ketiga. Yogyakarta: Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Islam Indonesia.

(1)

Return tinggi belum tentu menjadi investasi yang baik, return rendah juga dapat menghasilkan investasi yang baik jika mempunyai tingkat risiko yang rendah pula. Oleh karena itu return yang dihitung perlu menyesuaikan dengan risiko yang harus ditanggung. Beberapa model perhitungan return sesuaian-risiko (risk-adjusted return) adalah return reward to variability, reward to volatility, reward to market risk, reward to diversification, Jensen’s alpha, , dan rasio informasi (Jogiyanto, 2014:708). Dalam penelitian ini akan digunakan reward to variability (sharpe measure). Kinerja portofolio yang dihitung menggunakan pengukuran ini dilakukan dengan membagi return lebih (excess retur) dengan variabilitas (variability) return portofolio. Reward to

(2)

ℎ =��_�

�. (2.56)

Keterangan:

: Return portofolio � : Risiko portofolio

J. Excel Solver

Penelitian ini menggunakan bantuan excel dalam menyelesaikan pemrograman linear. Excel merupakan program pengolah lembar kerja Microsoft yang berada dalam satu paket dengan office. Penyempurnaan paket Office membuat excel semakin berguna untuk menyelesaikan berbagai kasus melalui fasilitas Add In, Data Analysis, Scenario. Disamping itu, beberapa program yang memanfaatkan kelebihan spread sheet di dalam Excel seperti Crystal Ball, @ risk, Tree Plan, What’s best, dan lain-lain juga sudah tersedia untuk membantu pengguna untuk mengeksplorasi diri guna memecahkan berbagai masalah yang ada. Solver adalah fasilitas bawaan excel yang memungkinkan pengguna untuk menyelesaikan kasus-kasus optimalisasi bukan hanya model linear (Siswanto, 2006:197). Fasilitas Solver belum terinstal secara langsung pada excel, langkah-langkah memunculkan menu solver sebagai berikut:

(3)

a. Klik Office Button (button berbentuk logo Ms. Office), kemudian pilih excel option

b. Pilih bagian Add-ins, kemudian pilih Excel Add-in pada opsi Manage dan klik GO

c. Muncul kotak dialog Add-in dan check pada Solver Add-in dan klik OK d. Solver muncul pada menu Data.