Generalisasi rantai kompleks dan rantai homotopi

GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

HARIS RABBANI
109094000028

PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARI HIDAYATULLAH
JAKARTA
2015 M/1436 H

GENERALISASI RANTAI KOMPLEKS DAN RANTAI HOMOTOPI

Oleh :
Haris Rabbani
109094000028

Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Strata I

Program Studi Matematika

Fakultas Sains Dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah
Jakarta
2015 M/1436 H

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI
SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta,

Januari 2015

Haris Rabbani
NIM. 109094000028

iii

ABSTRACT

Let R a ring, a chain complex of modules and homomorphism over R is
@i+1
@
Cp+1 ! Cp !i Cp 1 !
with @n @n+1 = 0: In this paper will discuss the
chain U -complex, U -homology, Chain (U; U 0 )-map, and chain (U; U 0 )-homotopy,
which are the generalization of chain complex, homology, chain complex map,
and chain homotopy respectively, introduced by Davvaz and Shabani in [2].
@

@

@

3
2
1
A chain complexes (Cp ; @p ) is sequence

! C3 !
C2 !
C1 !
C0 for
all 0 p n 1; where Cp is a module and @p is module homomorphism that
meet @p @p+1 = 0; the generalization of a chain complex called chain U -complex,
where @p @p+1 (Cp+1 ) Up 1 and Im @p Up 1 . Chain map is a sequence f = ffn g
are linking between chain complexes, while the chain (U; U 0 )-map is a sequence
f = ffn g are linking between chain (U; U 0 )-complex. chain (U; U 0 )-homotopy is
0
generalization of the chain homotopi where @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp Gp with
0
fDp g chain homotopy, is null homotopic. While @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp Gp with
0
0
fDp g is chain (U; U )-homotopy with Dp (Up ) Up+1 :

Key words: module, module homomorphism, chain map, chain complex, Chain

(U ; U 0 )-map, chain U -complex, chain (U ; U 0 )-homotopy, and chain (U ; U 0 )equivalence.

i

ABSTRAK

Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor@i+1
@
…sma atas R adalah
Cp+1 ! Cp !i Cp 1 !
dengan @n @n+1 = 0: Dalam
skripsi ini akan dibahas mengenai rantai U -kompleks, rantai (U; U 0 )-pemetaan,
dan rantai (U; U 0 )-homotopi. Dengan suatu penggeneralisasian dari rantai kompleks, rantai homologi, rantai pemetaan, dan rantai homotopi, berdasarkan hasil
yang diperkenalkan oleh Davvaz dan Shabani di [2].
@

@

3
2

Sebuah rantai kompleks (Cp ; @p ) adalah barisan
! C3 !
C2 !
@1
C1 !
C0 untuk semua 0 p n 1; dimana Cp adalah modul dan @p adalah
homomor…sma modul yang memenuhi @p @p+1 = 0; generalisasi dari rantai kompleks disebut rantai U -kompleks, dimana @p @p+1 (Cp+1 ) Up 1 dan Im @p Up 1 .
Rantai pemetaan adalah suatu barisan f = ffn g yang mengaitkan antara rantai
kompleks, sedangkan rantai (U; U 0 )-pemetaan suatu barisan f = ffn g yang mengaitkan antara rantai (U; U 0 )-kompleks. Rantai (U; U 0 )-homotopi adalah gener0
alisasi dari rantai homotopi dimana @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp Gp dengan fDp g
0
rantai homotopi, adalah homotopik nol. Sedangkan @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp Gp
0
0
:
dengan fDp g rantai (U; U )-homotopi dengan Dp (Up ) Up+1

Kata kunci: modul, homomor…sma modul, rantai pemetaan, rantai kompleks,

rantai homotopi, rantai (U ; U 0 )-pemetaan, rantai U -kompleks, rantai (U; U 0 )homotopi, dan rantai (U,U’)-ekivalensi.

ii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk :
Orang tua saya yang selalu memberikan motivasi
Teman-teman saya yang telah membantu dalam menyelesaikan skripsi ini
Bapak dan Ibu dosen matematika yang dengan sabar mengajar saya
"Semoga Semua Kebaikan Mereka Dibalas dengan Surga Dari ALLAH SWT"
M OT T O
"Progresif, produktif, dan jangan menunda-nunda"

iii

KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karuniaNya, yang telah memberikan kemudahan kepada penulis dalam menjalani perkuliahan dan penulisan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu disampaikan
kepada Nabi Muhammad SAW, teladan dan rahmat bagi seluruh alam.
Skripsi dengan judul Genralisasi Rantai Kompleks dan Rantai homotopi ini

disusun untuk memenuhi salah satu kewajiban akhir mahasiswa untuk memperoleh gelar sarjana strata satu. Penulis mendapat banyak pelajaran, pengalaman dan pengetahuan baru selama mengkaji bahan-bahan penelitian yang tidak
didapatkan dalam bangku perkuliahan. Pelajaran yang paling penting adalah
kesabaran dan semangat pantang menyerah sampai tujuan tercapai.
Penulis menyadari tanpa bantuan, dorongan, bimbingan dan do’a dari berbagai pihak penelitian ini tidak mungkin terselesaikan dengan baik. Oleh karena
itu, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Dr. Agus Salim sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta.
2. Yanne Irene M.Si. sebagai Ketua Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Suma’inna M.Si. sebagai Sekretaris Prodi Matematika Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
4. Gustina El…yanti M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing I.
5. Yudi Mahatma M.Si. sebagai dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains
dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta sekaligus sebagai pembimbing II.
6. Para dosen di Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif
Hidayatullah Jakarta yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, tetapi
tidak mengurang rasa hormat penulis kepada mereka.
7. Orang tua yang selalu memberikan dorongan dan semangat bagi penulis.
8. Dinda dan Tyas yang banyak membantu penulis dalam memahami materi

terkait skripsi ini.
iv

9. Seluruh anggota keluarga Mathousine yang senantiasa menyemangati.
10. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah
memberikan dorongan dan bantuan sehingga skripsi ini selesai disusun.
Akhir kata, semoga Allah SWT membalas semua kebaikan mereka dan semoga
skripsi ini bermanfaat bagi pihak yang membutuhkannya.
Jakarta,

Januari 2015

Penulis

v

DAFTAR ISI

ABSTRACT

i

ABSTRAK

ii

PERSEMBAHAN

iii

KATA PENGANTAR

iv

DAFTAR ISI

vi

1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang . . .

1.2 Perumusan Masalah
1.3 Tujuan Penelitian . .
1.4 Manfaat Penelitian .

.
.
.
.

1
1
4
4
5

.
.
.
.
.

.
.

6
6
7
10
10
15
15
18

3 METODOLOGI
3.1 Mempelajari Teori Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mempelajari Artikel Terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Membuktikan Proposisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
20
20
21

4 PEMBAHASAN

22

5 KESIMPULAN
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
36
36

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 LANDASAN TEORI
2.1 Gelanggang . . . . . . . . . .
2.2 Modul . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Submodul . . . . . . .
2.2.2 Homomor…sma Modul
2.2.3 Modul Kuosien . . . .
2.3 Rantai Kompleks . . . . . . .
2.4 Relasi Ekivalen . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

vi

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

DAFTAR PUSTAKA

37

vii

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang
Alam semesta memuat bentuk-bentuk dan konsep matematika, meskipun

alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala
isinya diciptakan Allah swt dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan
perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan
yang seimbang dan rapi [1].
Semua yang ada di alam ini ada ukurannya, ada hitung-hitungannya, ada rumusnya, atau ada persamaannya. Rumus-rumus yang ada sekarang bukan diciptakaan manusia sendiri, tetapi sudah disediakan. Manusia hanya menemukan dan
menyimbolkan dalam bahasa matematika [1].
Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika. Sedangkan
cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar linier dan aljabar abstrak. Aljabar abstrak memiliki banyak materi yang dibahas dan dikembangkan.
Struktur aljabar merupakan salah satu materi dalam aljabar abstrak. Selain
pemetaan, materi yang dibahas pada struktur aljabar pada dasarnya tentang
himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen
yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya,
dan juga oleh operasi biner yang lainnya. Hal tersebut berarti pembahasanpembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol
- simbol.
Dalam al-qur’an surat al-fatihah ayat 7 disebutkan:

Artinya: "(yaitu) jalan orang-orang yang telah Engkau bri nikmat kepada mereka;
1

bukan (jalan) mereka yang dimurkai dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat."
dari ayat diatas dapat disimpulkan bahwa kehidupan manusia terdiri dari berbagai macam himpunan, yaitu (1) himpunan yang mendapatkan nikmat dari Allah
SWT, (2) himpunan yang dimurkai, dan (3) himpunan yang sesat. Dimana himpunan tersebut merupakan bagian dari himpunan manusia, karena himpunan
sendiri merupakan kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan jelas.

Al-qur’an surat al-faathir ayat 11:

Artinya: "Dan Allah menciptakan kamu dari tanah kemudian dari air mani, kemudian Dia menjadikan kamu berpasangan (laki-laki dan perempuan). Dan tidak
ada seorang perempuanpun mengandung dan tidak (pula) melahirkan melainkan
dengan sepengetahuan-Nya. Dan sekali-kali tidak dipanjangkan umur seorang
yang berumur panjang dan tidak pula dikurangi umurnya, melainkan (sudah ditetapkan) dalam Kitab (Lohmahfuz). Sesungguhnya yang demikian itu bagi Allah
adalah mudah".
ayat tersebut menjelaskan tentang struktur aljabar dengan satu operasi biner,
bahwa manusia adalah berpasang-pasangan yaitu laki-laki dengan perempuan
dengan cara menikah. Biasanya dalam matematika disimbolkan (G; ), dengan G
adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia flaki-laki, perempuang
dan

adalah operasi binernya yaitu pernikahan. Struktur aljabar dengan satu

operasi biner yang memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan grup.
Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat
tertentu disebut gelanggang. Telah dijelaskan dalam Al-qur’an surat an-nissa’
ayat 23:
2

Artinya: "Diharamkan kepada kamu berkahwin dengan (perempuan-perempuan
yang berikut): ibu-ibu kamu, dan anak-anak kamu, dan saudara-saudara kamu,
dan saudara-saudara bapa kamu, dan saudara-saudara ibu kamu, dan anak-anak
saudara kamu yang lelaki, dan anak-anak saudara kamu yang perempuan, dan
ibu-ibu kamu yang telah menyusukan kamu, dan saudara-saudara susuan kamu,
dan ibu-ibu isteri kamu, dan anak-anak tiri yang dalam pemeliharaan kamu dari
isteri-isteri yang kamu telah campuri tetapi kalau kamu belum campuri mereka
(isteri kamu) itu (dan kamu telahpun menceraikan mereka), maka tiadalah salah
kamu (berkahwin dengannya). Dan (haram juga kamu berkahwin dengan) bekas
isteri anak-anak kamu sendiri yang berasal dari benih kamu. Dan diharamkan
kamu menghimpunkan dua beradik sekali (untuk menjadi isteri-isteri kamu), kecuali yang telah berlaku pada masa yang lalu. Sesungguhnya Allah adalah Maha
Pengampun, lagi Maha Mengasihani".
bahwa manusia adalah berpasang-pasangan antara laki-laki dan perempuan dengan menikah. Akan tetapi cara menikah dengan pasangannya harus secara hukum
agama. Dalam matematika biasanya disimbolkan (R; ; ) dengan R adalah himpunan tak kosongnya yaitu himpunan manusia flaki - laki , perempuang, adalah
operasi pertamanya yaitu pernikahan, dan adalah operasi keduanya yaitu hukum
agamanya.
Sedangkan struktur aljabar yang dikembangkan dengan mempunyai dua him3

punan yang tidak kosong dengan dua operasi biner dan memenuhi syarat-syarat
tertentu disebut dengan modul. Selanjutnya dari modul sendiri dapat di kembangkan menjadi beberapa sub pembahasan diantaranya submodul, homomor…sma modul , isomor…sme modul, dan lain-lain. Bahasan lebih lanjut dari modul
diantaranya yaitu rantai kompleks dan rantai homotopi.
Misalkan R gelanggang, suatu rantai kompleks dari modul dan homomor…sma atas R adalah
@i+1

@

:::Cp+1 ! Cp !i Cp

1

! :::

dengan @n @n+1 = 0: Hal ini menimbulkan pertanyaan apa yang terjadi bila
kita subtitusikan submodul Up

1

dari Cp

1

dari pada submodul trivial f0g

pada de…nisi di atas? Menurut [3], Davvaz dan Parnian mengenalkan konsep
rantai U -kompleks dan jawaban dari pertanyaan di atas. Menurut [2] Davvaz
dan Shobani-Solt mengenalkan generalisasi beberapa gagasan dari aljabar homologi.

Mereka mende…nisikan konsep dari rantai U -kompleks, U -homologi,

rantai (U; U 0 )-pemetaan, rantai (U; U 0 )-homotopi, dan U -fungtor. Mereka memberikan generalisasi dari lema lambek, lema ular, hubungan homomor…sma, triangle eksak, dan menetapkan dasar baru dari U -homologi aljabar. Pada skripsi ini
akan dibahas mengenai rantai U -kompleks dan rantai (U; U 0 )-homotopi berdasarkan
hasil yang didapat pada [2] dengan bahasan dan pembuktian yang lebi rinci.

1.2

Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah

1. Bagaimanakah stuktur Rantai U -kompleks ?
2. Bagaimanakah struktur Rantai (U; U 0 )-homotopi ?

1.3

Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bukti proposisi dan kondisi mende-

tail mengenai Rantai U -kompleks dan Rantai (U; U 0 )-homotopi.
4

1.4

Manfaat Penelitian
Dari penulisan skripsi ini, penulis berharap pembahasan skripsi ini bisa berman-

faat bagi berbagai kalangan, diantaranaya:
1. Bagi Penulis
Untuk mempelajari dan lebih memperdalam pemahaman serta mengembangkan wawasan disiplin ilmu khususnya mengenai Generalisasi Rantai
Kompleks dan Rantai Homotopi.
2. Bagi Pembaca
Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang Generalisasi Rantai
Kompleks dan Rantai Homotopi.
3. Bagi Instansi
(a) Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran mata kuliah Aljabar Abstrak.
(b) Sebagai tambahan bahan kepustakaan

5

BAB 2
LANDASAN TEORI

Bab ini berisi teori-teori pendukung yang digunakan sebagai penunjang
dalam pembahasan bab berikutnya. Pada bab ini akan dijelaskan tentang gelanggang, modul, submodul, hommomor…sma modul, modul kuosien, rantai kompleks, rantai pemetaan, rantai homotopi, dan relasi ekivalen.

2.1

Gelanggang
Suatu himpunan tak kosong R dikatakan gelanggang jika pada R dide…n-

isikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan perkalian ( ) ditulis (R; +; ) ; dan
memenuhi kondisi berikut:
1. (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a; b; c 2 R.
2. Terdapat 0 2 R sedemikian sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk semua a 2 R.
3. Untuk suatu a 2 R terdapat b 2 R sedemikian sehingga a + b = b + a = 0.
4. a + b = b + a untuk semua a; b 2 R.
5. (ab)c = a(bc) untuk semua a; b; c 2 R.
6. a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc untuk semua a; b; c 2 R.[6]
Contoh 2.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan gelanggang, pehatikan :
karena sifat tertutup pada operasi penjumlahan dan perkalian maka berlaku
1. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a + b) + c = d + c = m = a + n = a + (b + c)
2. 9 0 2 Z sehingga 0 + a = a + 0 = a
3. 8 a 2 Z; 9 a

1

dimana a

1

=

a sehingga a + a

4. 8 a; b 2 Z maka berlaku a + b = b + a
6

1

=a

1

+a=0

5. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (ab)c = dc = m = an = a(bc)
6. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku a(b + c) = ab + ac
7. 8 a; b; c 2 Z maka berlaku (a + b)c = ac + bc

2.2

Modul
Suatu himpunan tak kosong M dikatakan modul kiri atas gelanggang R ,

ditulis R M , jika pada M dide…nisikan dua operasi yaitu penjumlahan (+) dan
perkalian dengan skalar, sehingga memenuhi kondisi berikut:
1. (M; +) suatu grup komutatif.
2. Untuk setiap r; s 2 R dan v; w 2 M berlaku:
(a) r (v + w) = rv + rw
(b) (r + s) v = rv + sv:
(c) (rs) v = r (sv) :
(d) 1v = v:
Untuk modul kanan yang berbeda hanya perkalian dengan skalar dilakukan
dari kanan dan ditulis MR . Modul yang merupakan modul kiri dan modul kanan
cukup disebut dengan modul [8].
Contoh 2.2 Misalkan Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g adalah grup komutatif terhadap operasi +. Maka Z6 adalah suatu modul atas himpunan semua bilangan Z:
Bukti.
1. Jelas (Z6 ; +) suatu grup komutatif.
2. Diberikan pemetaan R

Z6 ! Z6 yang dide…nisikan oleh
(n; m) 7 ! nm = nm mod 6

untuk suatu Ambil sebarang r; s 2 Z dan v; w 2 Z6
7

(a) Akan dibuktikan rv 2 Z6 ;
Perhatikan
rv = a + 6b = a; untuk suatu a 2 Z6 , b 2 Z
maka terbukti rv 2 Z6 :
(b) Akan dibuktikan r (v + w) = rv + rw
Perhatikan
r (v + w) = r(v + w) mod 6 = (rv + rw) mod 6 = rv + rw

Terbukti, r (v + w) = rv + rw
(c) (r + s) v = rv + sv:
Perhatikan
(r + s) v = ((r + s)v) mod 6 = (rv + sv) mod 6 = rv + sv

Terbukti, (r + s) v = rv + sv
(d) (rs) v = r (sv) :
Perhatikan
(rs)v = ((rs)v) mod 6 = (r(sv)) mod 6 = r(sv)

Terbukti, (rs) v = r (sv)
(e) 1v = v:
Jelas, 1v = v berdasarkan sifat identitas perkalian di Z6 :
Berdasarkan 1 dan 2, maka terbukti himpunan Z6 membentuk modul atas bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar.
Teorema 2.3 Jika M modul atas R, maka M + a = M + b , a

b 2 M . [7]
8

Bukti. Misalkan M modul atas R. Diketahui M + a = fm + a : m 2 M g dan
M + b = fm + b : m 2 M g.
1. ) Misalkan M +a = M +b yaitu untuk sebarang x 2 M +a maka x 2 M +b;
akan dibuktikan a

b2M

Perhatikan
Karena (M; +) grup maka terdapat 0 2 M sehingga a = 0 + a 2 M + a =
M + b.
Sehingga a 2 M + b; maka a = b + m untuk suatu m 2 M . Akibatnya
a

b = m 2 M:

Jadi a

b 2 M:

2. ( Misalkan a
a

b 2 M akan dibuktikan M + a = M + b

b 2 M maka a

b = m sehingga a = m + b dan b = a

m untuk suatu

m 2 M:
Perhatikan
(a) Akan dibuktikan M + a

M + b; yaitu untuk sebarang x 2 M + a

maka x 2 M + b:
a

b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a

b,

maka a = m + b sehingga a 2 M + b: Ambil sebarang x 2 M + a maka
x = m1 + a untuk suatu m1 2 M
Perhatikan
x = m1 +a = m1 +(m+b) = (m1 +m)+b = m2 +b untuk suatu m2 2 M:

Jadi x 2 M + b; terbukti, M + a
(b) Akan dibuktikan M + b

M + b:

M + a; yaitu untuk sebarang x 2 M + b

maka x 2 M + a:
9

a

b 2 M maka terdapat m 2 M sedemikian sehingga m = a

maka b = a

b,

m: Ambil sebarang x 2 M + b maka x = m3 + b untuk

suatu m3 2 M
Perhatikan
x = m3 +b = m3 +(a m) = (m3 m)+a = m4 +a untuk suatu m4 2 M:

Jadi x 2 M + a; terbukti M + b

M + a:

Jadi berdasarkan 2a dan 2b, M + a = M + b: Maka terbukti Jika M modul atas
R, maka M + a = M + b , a

2.2.1

b 2 M.

Submodul

De…nisi 2.4 (Submodul) Misalkan M adalah R-modul, maka submodul N dari
M , dinotasikan dengan N

M , adalah subgrup N dari M yang tertutup terhadap

perkalian skalar : rn 2 N dimana n 2 N dan r 2 R [7].
Contoh 2.5 (Submodul) Misal M adalah modul dan r 2 R, dimana R adalah
gelanggang komutatif, maka
rM = frm : m 2 M g
adalah submodul dari M .

2.2.2

Homomor…sma Modul

De…nisi 2.6 (Homomor…sma Modul) Misalkan M dan N merupakan R-modul.
Suatu pemetaan f : M ! N dikatakan homomor…sma R-modul kanan jika
f (xr + ys) = f (x) r + f (y) s untuk setiap x; y 2 M dan r; s 2 R
Dan f dikatakan homomor…sma R-modul kiri jika perkalian skalar dilakukan di
sebelah kiri. Jika f merupakan homomor…sma modul kanan sekaligus homomor10

…sma modul kiri maka f disebut homomor…sma R-modul: Pernyataan ini juga
berlaku :
1. Endomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul dari M ke M:
2. Monomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang injektif.
3. Epimor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang surjektif.
4. Isomor…sma R-modul adalah homomor…sma R-modul yang bijektif [8].
Teorema 2.7 Jika pemetaan f : M ! N adalah homomor…sma modul atas R,
maka
1. f (0M ) = 0N :
[f (x)] 8 x 2 M:

2. f ( x) =

3. ker(f ) = fx 2 M : f (x) = 0N g merupakan submodul dari M:
4. Im(f ) = ff (x) : x 2 M g merupakan submodul dari N:
5. f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0M g.
Bukti. Misalkan M dan N adalah modul atas R dan pemetaan f : M ! N
adalah homomor…sma modul atas R:
1. Akan dibuktikan f (0M ) = 0N :
Perhatikan
f (0M ) = f (0M + 0M )
= f (0M ) + f (0M ) 2 N
Jadi f (0M ) 2 N .

Karena N modul, maka terdapat

sedemikian sehingga 0N = f (0M ) + ( [f (0M )]) =

[f (0M )] 2 N

[f (0M )] + f (0M )

Sehingga,
11

f (0M )

= f (0M ) + f (0M )

[f (0M )] + f (0M ) =

[f (0M )] + f (0M ) + f (0M ))

0N

= ( [f (0M )] + f (0M )) + f (0M )

0N

= 0N + f (0M )

0N

= f (0M )

Jadi f (0M ) = 0N :
2. Ambil sebarang x 2 M , akan dibuktikan f ( x) =

[f (x)].

x2M

Karena M modul maka
Perhatikan
0N

= f (0M )
= f (x

x)

= f (x)
[f (x)] + 0N =

f (x)

[f (x)] + (f (x)

[f (x)]

= ( [f (x)] + f (x))

[f (x)]

= 0N

[f (x)]

=

Jadi f ( x) =

f (x))
f (x)

f (x)

f (x)

[f (x)] 8 x 2 M:

3. Akan dibuktikan ker(f ) = fx 2 M : f (x) = 0N g merupakan submodul dari
M:
(a) Berdasarkan 1 jelas ker(f ) 6= ;
(b) Jelas ker(f )

M

(c) Ambil sebarang x; y 2 ker(f ) dan r 2 R
x 2 ker(f ) maka x 2 M dan f (x) = 0N ; y 2 ker(f ) maka y 2 M dan
f (y) = 0N
i. Akan dibuktikan x+y 2 ker(f ); yaitu x+y 2 M dan f (x+y) = 0N
Karena x; y 2 M dan M modul maka x + y 2 M , dan
f (x + y) = f (x) + f (y) = 0N + 0N = 0N
12

Maka x + y 2 M dan f (x + y) = 0N ; maka x + y 2 ker(f ):
ii. Akan dibuktikan xr 2 ker(f )
Perhatikan
f (rx) = rf (x) = r0N = 0N
Karena xr 2 M , dan f (rx) = 0N maka xr 2 ker(f ):
Jadi ker(f ) = fx 2 M : f (x) = 0N g merupakan submodul dari M:
4. Akan dibuktikan Im(f ) = ff (x) : x 2 M g merupakan submodul dari N:
(a) Berdasarkan 1 jelas Im(f ) 6= ;:
(b) Jelas Im(f )

N

(c) Ambil sebarang r 2 R; dan x; y 2 Im(f ); x 2 Im(f ) maka x = f (a)
untuk suatu a 2 M dan y 2 Im(f ) maka y = f (b) untuk suatu b 2 M:
i. Akan dibuktikan x + y 2 Im(f ), yaitu x + y = f (c) untuk suatu
c2M
Perhatikan
x + y = f (a) + f (b) = f (a + b) = f (c) untuk suatu c 2 M
) x + y = f (c) untuk suatu c 2 M
Jadi x + y 2 Im(f )
ii. Akan dibuktikan rx 2 Im(f )
Perhatikan
xr = rf (a) = f (ra) = f (b) untuk suatu b 2 M
) xr = f (b) untuk suatu b 2 M
Jadi xr 2 Im(f )
Jadi Im(f ) = ff (x) : x 2 M g merupakan submodul dari N:
13

5. Akan dibuktikan f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0M g.
(=))Misalkan f injektif, akan dibuktikan ker(f ) = f0M g, yaitu ker(f )
f0M g dan f0M g
(a)

ker(f )

i. Akan dibuktikan ker(f )

f0M g

Ambil sebarang x 2 ker(f ) akan dibuktikan x 2 f0M g, yaitu
x = 0M
x 2 ker(f ) maka x 2 M dan f (x) = 0N
Karena f (x) = 0N dan f injektif, maka x = 0M .
f0M g

Jadi terbukti ker(f )
ii. Akan dibuktikan f0M g

ker(f ), yaitu 0M 2 ker(f )

Berdasarkan (1); f (0M ) = 0N , maka 0M 2 ker(f )
Jadi f0M g

ker(f )

Maka terbukti ker(f ) = f0M g
((=)Misalkan ker(f ) = f0M g, akan dibuktikan f injektif
(a) Ambil sebarang x; y 2 M dengan f (x) = f (y) akan dibuktikan x = y
Perhatikan
f (x)

= f (y)

f (x)

[f (x)]

= f (y)

[f (x)]

f (x) + f ( x) = f (y) + f ( x)
f (x

x)

= f (y

x)

f (0M )

= f (y

x)

0N

= f (y

x)

Jadi y
y
(y

x 2 ker(f ). Karena ker(f ) = f0M g, maka

x

= 0M

x) + x

y + (x

1

= 0M + x

+ x) = x

y + eM

= x

y

= x

)x=y
14

Maka terbukti f injektif
Jadi, terbukti f injektif jika dan hanya jika ker(f ) = f0M g.

2.2.3

Modul Kuosien

De…nisi 2.8 Misalkan S adalah submodul dari R-modul M . Modul kosien dari
M oleh S adalah M=S dimana
M=S = v + S = fv + s : s 2 Sg
yang memenuhi operasi
(u + S) + (v + S) = (u + v) + S

dan

r(u + S) = ru + S

untuk setiap u; v 2 M dan r 2 R [8].

2.3

Rantai Kompleks
Rantai kompleks merupakan rangkaian modul dan homomor…sma modul,

dimana komposisi homomor…sma yang berdekatan adalah nol. Berikut adalah
de…nisi formalnya berdasarkan [4].
De…nisi 2.9 (Rantai Kompleks) Rantai kompleks (C; @) dari modul atas R
adalah barisanfCn gn2Z dari modul atas R, dilengkapi dengan homomor…sma modul
atas R; @ = @n : Cn ! Cn

1

! Cn+1 ! Cn ! Cn
@n+1

@n

1

sehingga setiap komposisi @n @n+1 : Cn+1 ! Cn

! Cn

@n

1

2

!

1

adalah nol. Pemetaan @n disebut

di¤erensial dari (C; @). ker(@n ) adalah submodul dari n

cycles dari (C; @),

dinotasikan dengan Zn = Zn (C) : Pemetaan dari @n+1 : Cn+1 ! Cn adalah
15

submodul dari n

boundaries dari (C; @); dinotasikan dengan Bn = Bn (C ) :

Karena @n @n+1 = 0; maka
0

Bn

Zn

Cn untuk semua n:

Homologi modul ke n dari C adalah subkosien dari Cn ; yaitu Hn (C) = Zn =Bn
[4].
Contoh 2.10 Himpunan Cn = Z8 untuk n

0 dan Cn = 0 untuk n < 0; untuk

n > 0 misalkan @n memetakan x(mod8) ke 4x(mod8). C adalah rantai kompleks
dari Z8 -modul [4].
Bukti.
! Z8 ! Z8 ! Z8 ! Z8 !
@n+1

@n

@n

@p : Z8

! Z8

x

7 ! 4x.

1

Akan dibuktikan @n : x(mod 8) ! 4x(mod 8) adalah homomor…sma modul.
1. Akan dibuktikan @n (a + b) = @n (a) + @n (b)
Ambil sebarang a; b 2 x(mod 8); perhatikan
@n (a + b) = 4(a + b) = 4a + 4b = @n (a) + @n (b)
Terbukti @n (a + b) = @n (a) + @n (b):
2. Akan dibuktikan @n (ka) = k@n (a); untuk setiap k 2 Z
Ambil sebarang k 2 Z; perhatikan
@n (ka) = 4ka = k4a = k@n (a)
terbukti @n (ka) = k@n (a):
16

Maka terbukti @n homomor…sma modul.
Akan dibuktikan (Cn ; Z8 ) adalah rantai kompleks yaitu @n @n+1 (x) = 0, untuk
setiap x 2 Z8 :
Ambil sebarang x 2 Z8 , perhatikan
@n @n+1 (x) = @n (4x) = 16x = 0 2 Z8
Jadi C merupakan rantai kompleks atas Z8 -modul.
Suatu barisan fungsi yang mengaitkan antara rantai kompleks disebut rantai
pemetaan, de…nisi lengkapnya sebagai berikut.

De…nisi 2.11 (Rantai Pemetaan) Misalkan C = (Cp ; @p ) dan C 0 = (Cp0 ; @p0 )
adalah rantai kompleks. Sebuah rantai pemetaan
f : C ! C0
adalah barisan f = (fp : C ! C 0 ) dengan homomor…sma @ 0 f = f @ 0 [10].
Terdapat barisan D = fDp g dimana Dp : Cp ! Cp0 adalah homomor…sma
modul atas R merupakan rantai homotopi, sebagaimana dijelaskan dalam de…nisi
berikut.

De…nisi 2.12 (Rantai Homotopi) Misalkan C = (Cp ; @p ) dan C 0 = (Cp0 ; @p0 )
adalah rantai kompleks. Dua rantai pemetaan F; G : C
homotopik jika F

! C 0 adalah rantai

G adalah homotopic nol, yaitu,
0
Dp + Dp 1 @p = Fp
@p+1

Gp

Pemetaan fDp g disebut rantai homotopi dari F ke G. Selanjutnya, dikatakan
bahwa F : C ! C 0 adalah rantai homotopi ekivalensi jika terdapat pemetaan G :
C 0 ! C sehingga GF dan F G adalah rantai homotopic ke pemetaan identitas
masing-masing C dan C 0 [4].
17

2.4

Relasi Ekivalen

Teorema 2.13 (Relasi Ekivalen) Misalkan S himpunan tak kosong. Relasi #
pada S dikatakan bersifat:
1. Re‡eksif, apabila a#a untuk setiap a 2 S.
2. Simetris, apabila a#b mengakibatkan b#a untuk setiap a; b 2 S.
3. Transitif, apabila a#b dan b#c mengakibatkan a#c untuk setiap a; b; c 2 S.
Suatu relasi # pada S dikatakan relasi ekivalen apabila memenuhi sifat re‡eksif,
simetris, dan transitif [5].
Contoh 2.14 Misalkan Q = f pq : p; q 2 Z; q 6= 0g. Dide…nisikan relasi # pada Q
m
# rs
n

dengan aturan

jika dan hanya jika ms = nr. Relasi # pada Q merupakan

relasi ekivalen.
Bukti.
1. Akan dibuktikan "#" re‡ektif yaitu ambil sebarang

m
n

2 Q akan dibuktikan

m
#m
n
n

Jelas bahwa mn = nm.
)

m
#m
n
n

, sehingga terbukti "#" bersifat re‡eksif.

2. Akan dibuktikan "#" simetris yaitu ambil sebarang

m r
;
n s

2 Q dengan

m
# rs ;
n

akan dibuktikan rs # m
n
Karena

m
# rs
n

maka ms = nr.

Jelas bahwa ms = nr , rn = sm.
) rs # m
sehingga terbukti "#" bersifat simetris.
n
3. Akan dibuktikan "#" transitif yaitu ambil sebarang
m
# rs
n

dan rs # ut ; akan dibuktikan

m r t
; ;
n s u

2 Q dengan

m
# ut
n

18

Karena

m
# rs
n

dan rs # ut maka ms = nr dan ru = st sehingga,
ms = nr
(ms)(ru) = (nr)(st)
(mu)(sr) = (nt)(sr)
mu = nt

)

m
# ut
n

sehingga terbukti "#" bersifat transitif.

Jadi, terbukti bahwa relasi # pada Q merupakan relasi ekivalen.

19

BAB 3
METODOLOGI

Secara umum metodologi penelitian yang akan digunakan adalah studi literatur dengan membaca buku dan paper kemudian melakukan ekplorasi dan adaptasi dari hasil-hasil yang sudah. Dalam penelitian ini, hasil-hasil dan langkahlangkah yang telah dilakukan untuk memperoleh hasil di [2] akan diteliti. Secara
detail berikut adalah metodologi yang dilakukan:

3.1

Mempelajari Teori Dasar
Beberapa materi dasar yang diharus dikuasai untuk skripsi ini adalah: modul

atas gelanggang, homomor…sma modul, rantai kompleks, rantai pemetaan rantai
homotopi, dan relasi ekivalen. Materi hingga gelanggang sudah dipelajari pada
kelas aljabar abstrak, untuk materi selanjutnya dipelajari mandiri dan diskusi
dengan dosen pembimbing.
Penulis mempelajari teori-teori tersebut dengan cara membaca, membuktikan teorema, proposisi dan lemma serta mencari contoh yang sesuai dengan
de…nisi. Setelah memahami teori dasar, penulis akan mengkaji mengenai de…nisi
rantai U -kompleks dan rantai (U; U 0 )-homotopi beserta membuktikan proposisi
yang terkait berdasarkan [2].

3.2

Mempelajari Artikel Terkait
Tahapan berikutnya adalah mencari dan mempelajari buku dan jurnal terkait.

Jurnal utama yang akan dikaji adalah jurnal Davvaz dan Shabani-Solt [2] kemudian mempelajari jurnal lain yang terkait dengan hasil penelitian mereka untuk meningkatkan pemahaman tentang rantai U -kompleks dan rantai (U; U 0 )homotopi.
20

3.3

Membuktikan Proposisi
Setelah mempelajari teori dasar, artikel terkait, dan memahami bukti lemma

pada paper utama, penulis menganalisa bukti dengan lebih spesi…k.

21

BAB 4
PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai generalisasi rantai kompleks dan rantai
homotopi berdasarkan hasil di [2]. Menjelaskan setiap pernyataan dan memperinci pembuktian-pembuktiannya.

De…nisi 4.1 (Rantai U -kompleks, [2 De…nisi 2.1)]Diberikan dua barisan fCp g,
fUp g, dengan p 2 Z, modul atas R, dimana setiap Cp memuat Up , dan sebuah
koleksi modul homomor…sma R f@p : Cp ! Cp 1 g. Rantai fCp ; Up ; @p g disebut
rantai U -kompleks jika memenuhi kondisi berikut:
1. @p @p+1 (Cp+1 )
2. Im @p

Up 1 ,

Up 1 .

Misalkan C = fCp g, @ = f@p g, berikut adalah rantai U -kompleks :
(C; U; @) :

@p+1

@p

! Cp+1 ! Cp ! Cp

1

!

:

Akibat 4.2 Setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks. Dimana 0 adalah
barisan nol submodul.
Bukti. Misalkan
(C; @) :

@p+1

@p

! Cp+1 ! Cp ! Cp

1

!

:

rantai kompleks, maka @p @p+1 = 0
Akan dibuktikan (C; @) adalah 0-kompleks yaitu : @p @p+1 (Cp+1 )
Im @p

0p 1 .

1. Akan dibuktikan @p @p+1 (Cp+1 )

0p
22

1

0p 1 , dan

Ambil sebarang x 2 Cp+1 , karena (C; @) rantai kompleks maka
@p @p+1 (x) = 0Cp
terbukti, @p @p+1 (Cp+1 )

1

2 0 Cp

1

2 Im @p :

1

0p 1 :

2. Akan dibuktikan Im @p

Up

1

yaitu 0Cp

Karena @p adalah homomor…sma modul maka berdasarkan Teorema 2.7
Im @p submodul dari Cp 1 ; maka 0Cp

2 Im @p : Terbukti 0Cp

1

1

2 Im @p :

Jadi terbukti setiap rantai kompleks adalah rantai 0-kompleks.
Akibat 4.3 Setiap rantai fCp ; Up ; @p g dengan @p @p+1 (Cp+1 ) = Up
U -kompleks, yaitu @p @p+1 (Cp+1 )

Up 1 , dan Im @p

Up

adalah rantai

1

1

Bukti.
1. Akan dibuktikan @p @p+1 (Cp+1 )

Up

1

Karena @p @p+1 (Cp+1 ) = Up 1 , maka jelas @p @p+1 (Cp+1 )
2. Akan dibuktikan Im @p
Ambil sebarang x 2 Up
Up

1

Up
1

Up

1

1

akan dibuktikan x 2 Im @p : Karena @p @p+1 (Cp+1 ) =

maka terdapat a 2 Cp+1 sehingga
@p @p+1 (a) = x
@p (b) = x; untuk suatu b 2 Im @p+1

maka x 2 Im @p ; terbukti Im @p

Cp

Up 1 :

Jadi terbukti setiap rantai fCp ; Up ; @p g dengan @p @p+1 (Cp+1 ) = Up

1

adalah rantai

Akibat 4.4 Jika (C; U; @) adalah rantai U -kompleks, maka Im @p+1

@p 1 (Up 1 ).

Bukti. Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks, yaitu @p @p+1 (Cp+1 )

Up 1 , dan

U -kompleks.

Im @p

Up 1 : Akan dibuktikan Im @p+1

@

1

(Up 1 ): Ambil sebarang x 2 Im @p+1 =
23

@p+1 (Cp+1 ) yaitu x = @p+1 (ap+1 ) untuk suatu ap+1 2 Cp+1 : Akan dibuktikan
x 2 @p 1 (Up 1 ): Karena @p @p+1 (Cp+1 )

Up

1

maka

@p @p+1 (ap+1 ) 2 Up

1

@p (x) 2 Up

1

x 2 @p 1 (Up 1 )
Jadi terbukti Im @p+1

@

1

(Up 1 ):

De…nisi 4.5 Misalkan Zp (C; U; @) = @p 1 (Up 1 ) dan Bp (C; U; @) = Im @p+1 , modul
U -homologi ke-p dari C adalah Hp (C; U; @), dimana :
Hp (C; U; @) =

Zp (C; U; @)
, p2Z
Bp (C; U; @)

De…nisi 4.6 (Rantai (U; U 0 )-pemetaan, [2 De…nisi 2.2)]Misalkan (C; U; @) rantai
U -kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) rantai U 0 -kompleks. Barisan F = fFp : Cp

!

Cp0 g disebut rantai (U; U 0 )-pemetaan jika diagram berikut komutatif. Dengan
perkataan lain, Fp (Up )

Up0 dan Fp 1 @p = @p0 Fp :

(C; U; @)

Cp+1

@p+1

! Cp

#Fp+1
(C 0 ; U 0 ; @ 0 )

0
Cp+1

@p

! Cp

1

#F p

1

! Cp0

1

#Fp
0
@p+1

! Cp0

@p0

!

!

Proposisi 4.7 ([2 , Proposisi 2.3)]Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks sedemikian
sehingga @p @p+1 (Cp+1 ) = Up

1

dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) rantai U 0 -kompleks. Jika F = fFp g

adalah rantai pemetaan, maka F juga merupakan rantai (U; U 0 )-pemetaan.
Bukti. Misalkan (C; U; @) dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) rantai U -kompleks rantai U 0 -kompleks,
misalkan pula @p @p+1 (Cp+1 ) = Up 1 , dan F = fFp g adalah rantai pemetaan.
Akan dibuktikan F juga merupakan rantai (U; U 0 )-pemetaan yaitu Fp (Up )

Up0

dan Fp 1 @p = @p0 Fp :
1. Akan dibuktikan Fp (Up )

Up0
24

Ambil sebarang u 2 Up , maka x = Fp (u) 2 Fp (Up ). Karena u 2 Up dan
@p+1 @p+2 (Cp+2 )

Up maka terdapat c 2 Cp+2 sehingga u = @p+1 @p+2 (c).

0
0
Akan dibuktikan bahwa x 2 Up0 , yaitu x = @p+1
@p+2
(Fp+2 (c)); perhatikan

0
x = Fp (u) = Fp (@p+1 @p+2 (c)) = (Fp @p+1 )(@p+2 (c)) = (@p+1
Fp+1 )(@p+2 (c))
0
0
0
0
0
= @p+1
(Fp+1 @p+2 (c)) = @p+1
(@p+2
Fp+2 (c)) = @p+1
@p+2
(Fp+2 (c)):

0
Karena Fp+2 (c) 2 Cp+2
dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) adalah rantai U 0 -kompleks maka

x 2 Up0 : Jadi terbukti Fp (Up )

Up0 :

2. Akan dibuktikan Fp 1 @p = @p0 Fp :
Jelas Fp 1 @p = @p0 Fp karena F = fFp g adalah rantai pemetaan.
Maka terbukti F merupakan rantai (U; U 0 )-pemetaan.
Lema 4.8 ([2 , Lemma 2.4)]Misalkan fFp g rantai (U; U 0 )-pemetaan, Zp dan Bp
invarian, yaitu:
1. Fp (Zp (C; U; @))

Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ),

2. Fp (Bp (C; U; @))

Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).

Bukti. Misalkan fFp g rantai (U; U 0 )-pemetaan yaitu Fp (Up )

Up0 dan Fp 1 @p =

@p0 Fp :
1. Akan dibuktikan Fp (Zp (C; U; @))

Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):

Ambil sebarang x 2 Zp (C; U; @) akan dibuktikan Fp (x) 2 Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).
Perhatikan
x 2 Zp (C; U; @) = @p 1 (Up 1 )
@p (x) 2 Up

1

Fp 1 (@p (x)) 2 Up0

1

@p0 Fp (x) 2 Up0

1

Fp (x) 2 @p0 (Up0 11 ) = Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
25

) Fp (x) 2 Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):
Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):

Maka terbukti Fp (Zp (C; U; @))
2. Akan dibuktikan Fp (Bp (C; U; @))

Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).

Ambil sebarang x 2 Bp (C; U; @) akan dibuktikan Fp (x) 2 Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):
Karena x 2 Bp (C; U; @) = Im @p+1 maka terdapat y 2 Cp+1 sedemikian
sehingga x = @p+1 (y). Perhatikan
0
Fp (x) = Fp (@p+1 (y)) = (Fp @p+1 )(y) = (@p+1
Fp+1 )(y)
0
0
= @p+1
(Fp+1 (y)) 2 Im @p+1

) Fp (x) 2 Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):
Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):

Maka terbukti Fp (Bp (C; U; @))

Teorema 4.9 ([2 , Teorema 2.5)]Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
adalah rantai U 0 -kompleks. Jika F = fFp g adalah rantai (U; U 0 )-pemetaan maka
F menginduksi homomor…sma modul H(F ) = fHp (F )g = fFp g sebagai berikut :
Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

Fp : Hp (C; U; @)

!

x + Bp (C; U; @)

! Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).

Bukti. Misalkan (C; U; @) rantai U -kompleks yaitu, @p @p+1 (Cp+1 )
Im @p

Up 1 ,dan

0
0
Up 1 . Dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) adalah rantai U 0 -kompleks yaitu, @p0 @p+1
(Cp+1
)

Up0 1 ,dan Im @p0

Up0 1 . Misalkan pula F = fFp g adalah rantai (U; U 0 )-pemetaan

yaitu, Fp (Up )

Up0 dan Fp 1 @p = @p0 Fp . Untuk membuktikan Teorema diatas

akan terlebih dahulu diperiksa apakan Fp merupakan suatu pemetaan, setelah
itu akan dibuktikan apakah Fp menginduksi homomor…sma modul.
1. Akan dibuktikan Fp pemetaan
(a) Akan dibuktikan untuk setiap a 2 Hp (C; U; @), Fp (a) 2 Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):
26

Ambil sebarang a 2 Hp (C; U; @) yaitu a = x + Bp (C; U; @) untuk
suatu x 2 Zp (C; U; @); maka untuk membuktikan Fp (a) = Fp (x) +
Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) 2 Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) cukup dibuktikan bahwa Fp (x) 2 Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).
Karena x 2 Zp (C; U; @) dan Fp (Up )

Up0 maka jelas Fp (x) 2 Zp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

sehingga terbukti Fp (a) = Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) 2 Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):
(b) Akan dibuktikan untuk setiap a; b 2 Hp (C; U; @) dengan a = b, Fp (a) =
Fp (b):
Ambil sebarang a; b 2 Hp (C; U; @) yaitu a = x + Bp (C; U; @) dan b =
y + Bp (C; U; @) untuk suatu x; y 2 Zp (C; U; @). Perhatikan
a=b
x + Bp (C; U; @) = y + Bp (C; U; @)
maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat x
maka x

y 2 Bp (C; U; @) = Im @p+1

y = @p+1 (c) untuk suatu c 2 Cp+1 sehingga
Fp (x

0
y) = Fp @p+1 (c) = @p+1
Fp+1 (c) 2 Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

maka
Fp (x

y) = Fp (x)

Fp (y) 2 Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat Fp (x)+Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) = Fp (y)+
Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) sehingga Fp (b) = Fp (b):

Berdasarkan 1a dan 1b maka terbukti Fp adalah pemetaan.

2. Akan dibuktikan Fp homomor…sma modul.
Ambil sebarang a; b 2 Hp (C; U; @), yaitu a = x + Bp (C; U; @) dan b =
y + Bp (C; U; @) untuk suatu x; y 2 Zp (C; U; @).

27

(a) Akan dibuktikan Fp (a + b) = Fp (a) + Fp (b). Perhatikan
Fp (a + b) = Fp ((x + Bp (C; U; @)) + (y + Bp (C; U; @)))
= Fp ((x + y) + Bp (C; U; @))
= Fp (x + y) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
= (Fp (x) + Fp (y)) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
= (Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )) + (Fp (y) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ))
= Fp (x + Bp (C; U; @)) + Fp (y + Bp (C; U; @))
= Fp (a) + Fp (b)
(b) Ambil sebarang k 2 R akan dibuktikan Fp (ka) = kFp (a). Perhatikan
Fp (ka) = Fp (k(x + Bp (C; U; @)))
= Fp ((kx + Bp (C; U; @))
= Fp (kx) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
= kFp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
= k(Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ))
= kFp (x + Bp (C; U; @))
= kFp (a)

Maka berdasarkan 1a dan 1b, Fp adalah homomor…sma modul.

Jadi terbukti F menginduksi homomor…sma R-modul H(F ) = fHp (F )g = fFp g
Fp : Hp (C; U; @)
x + Bp (C; U; @)

! Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
7 ! Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ):

Lema 4.10 Misal G : (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) ! (C 00 ; U 00 ; @ 00 ) sebuah rantai (U 0 ; U 00 )-pemetaan,
maka diperoleh (GF )p = Gp Fp , dengan I = I, dimana I adalah pemetaan iden28

titas.
Cp+1
Fp+1

!

#

0
Cp+1
Gp+1

@p+1

Fp
0
@p+1

!

#

00
Cp+1

Cp

!

!

#

Cp0
Gp

00
@p+1

@p

1

#

Fp 1

@p0

!

#

Cp00

Cp

Cp0

1

#

Gp 1

@p00

!

Cp00

1

Bukti. Misalkan
! Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

Fp : Hp (C; U; @)
x + Bp (C; U; @)

7 ! Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

dan
Gp : Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
y + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

! Hp (C 00 ; U 00 ; @ 00 )
7 ! Gp (y) + Bp (C 00 ; U 00 ; @ 00 )

Akan dibuktikan (GF )p = Gp Fp . Ambil sebarang x + Bp (C; U; @) 2 Hp (C; U; @)
akan dibuktikan (GF )p (x + Bp (C; U; @)) = Gp Fp (x + Bp (C; U; @)), perhatikan
Gp Fp (x + Bp (C; U; @)) = Gp (Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ))
= Gp Fp (x) + Bp (C 00 ; U 00 ; @ 00 ))
= (GF )p (x + Bp (C; U; @))
Jadi terbukti (GF )p = Gp Fp :

De…nisi 4.11 Misal (C; U; @) rantai U -kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) rantai U 0 -kompleks.
Sebuah rantai (U; U 0 )-pemetaan F = fFp g disebut isomor…sma jika Fp adalah
isomor…sma modul atas R dan F

1

= fFp 1 g adalah rantai (U; U 0 )-pemetaan.

Jika terdapat sebuah isomor…sma dari (C; U; @) atas (C 0 ; U 0 ; @ 0 ), maka (C; U; @)
dikatakan isomor…k ke (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).

Proposisi 4.12 ([2 , Proposisi 2.6)]Jika dua rantai U -kompleks dan rantai U 0 kompleks adalah isomor…k maka Up ' Up0 untuk semua p.
29

Bukti.

Akan dibuktikan Up ' Up0 untuk semua p, untuk membuktikannya

akan dibuktikan bahwa terdapat pemetaan satu-satu dan pada, dari Up ke Up0 .
Karena rantai U -kompleks dan rantai U 0 -kompleks adalah isomor…k yaitu ter! Cp0 merupakan isomor…sma, sehingga

dapat F = fFp g sehingga Fp : Cp
1

diketahui Fp monomor…sma, F

= fFp 1 g adalah rantai (U 0 ; U )-pemetaan maka

cukup dibuktikan Fp (Up ) = Up0 : Karena F = fFp g rantai (U; U 0 )-pemetaan maka
jelas Fp (Up )

Up0 dan karena F

pemetaan maka Fp 1 (Up0 )

1

= fFp 1 g juga merupakan rantai (U; U 0 )Up0 ; maka Fp (Up ) = Up0 : Jadi

Up sehingga Fp (Up )

terbukti jika dua rantai U -kompleks dan rantai U 0 -kompleks adalah isomor…k
maka Up ' Up0 untuk semua p.
De…nisi 4.13 (Rantai (U; U 0 )-homotopi, [2 De…nisi 2.7)]Misalkan (C; U; @) rantai
U -kompleks dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) rantai U 0 -kompleks F; G : C

! C 0 dua rantai

(U; U 0 )-pemetaan. Maka F dan G adalah rantai (U; U 0 )-homotopik, dinotasikan
0
dengan F ' G, jika terdapat barisan D = fDp g, dimana Dp : Cp ! Cp+1
adalah

sebuah homomor…sma modul atas R, sedemikian sehingga untuk semua p 2 Z,
berlaku :
0
1. @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

2. Dp (Up )

Gp ,

0
Up+1
.

Barisan D = fDp g disebut rantai (U; U 0 )-homotopi.
Cp+1
Fp+1

##Gp+1

0
Cp+1

@p+1

!

Dp

.

0
@p+1

!

Cp
Fp

##Gp
Cp0

@p

!

Dp

.

@p0

!

Cp
Fp 1

1

##Gp

Cp0

1

1

Lema 4.14 ([2 , Lemma 2.8)]Relasi (U; U 0 )-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.
Bukti. Akan dibuktikan " ' " merupakan relasi ekuivalen, yaitu bersifat re‡ektif, simetris, dan transitif.
30

1. Akan dibuktikan " ' " bersifat re‡ektif, yaitu akan dibuktikan F ' F ,
0
yaitu @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

0
untuk setiap p maka @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

0 Cp

1

0
Up+1
. Misalkan Dp = 0

Fp dan Dp (Up )

Fp = 0 dan jelas Dp (Up ) =

0
Up+1
maka F ' F: Terbukti bahwa " ' " bersifat re‡ektif.

2. Akan dibuktikan " ' " bersifat simetris, yaitu jika F ' G, maka G ' F:
0
Misalkan F ' G maka terdapat barisan D = fDp : Cp ! Cp+1
g sehingga
0
@p+1
Dp +Dp 1 @p = Fp

Gp dan Dp (Up )

(U; U 0 )-homotopi dengan Dp0 =

0

0
Up+1
: Misalkan D0 = fDp g rantai

Dp , sehingga

0
@p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp
0
(@p+1
Dp + Dp 1 @p ) =

Karena Dp (Up )

Gp

(Fp

Gp )

0
( Dp ) + ( Dp 1 )@p = Gp
@p+1

Fp

0
@p+1
Dp0 + Dp0 1 @p = Gp

Fp

0
0
Up+1
dan Up+1
tertutup pada operasi penjumlahan maka

Dp (Up ) = Dp0 (Up )

0
Up+1
: Jadi G ' F; maka terbukti " ' " bersifat

simetris.

3. Akan dibuktikan " ' " bersifat transitif, yaitu jika F ' G dan G ' H,
akan dibuktikan F ' H:
Misalkan F ' G dan G ' H, maka terdapat barisan D = fDp : Cp

!

0
0
Cp+1
g dan D0 = fDp0 : Cp ! Cp+1
g

0
@p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

dan Dp (Up )
Fp

0
, Dp0 (Up )
Up+1

G p + Gp

0
Gp , @p+1
Dp0 + Dp0 1 @p = Gp

Hp

0
. Perhatikan
Up+1

0
0
Hp = @p+1
Dp + Dp 1 @p + @p+1
Dp0 + Dp0 1 @p
0
= @p+1
(Dp + Dp0 ) + (Dp

1

+ Dp0 1 )@p
31

misalkan D00 = fDp00 g rantai (U; U 0 )-homotopi dengan Dp00 = Dp + Dp0 , maka
Fp

Gp + Gp

0
Hp = @p+1
(Dp + Dp0 ) + (Dp

1

+ Dp0 1 )@p

0
= @p+1
Dp00 + Dp00 1 @p

= Fp
0
Up+1
; Dp0 (Up )

Karena Dp (Up )

Hp

0
0
tertutup
Up+1
; Dp00 = Dp + Dp0 ; dan Up+1
00

0
Up+1
. Maka F ' H; dan " ' "

pada operasi penjumlahan maka Dp (Up )
bersifat transitif.

Jadi terbukti bahwa relasi (U; U 0 )-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.
Lema 4.15 ([2 , Lemma 2.9)]Misal (C; U; @), (C 0 ; U 0 ; @ 0 ), dan (C 00 ; U 00 ; @ 00 ) masingmasing merupakan rantai U -kompleks, rantai U 0 -kompleks, dan rantai U 00 -kompleks.
Jika F ' G : C ! C 0 dan F 0 ' G0 : C 0 ! C 00 , maka
F F 0 ' G0 G : C ! C 00
Cp+1
Fp+1

!

##Gp+1

0
Cp+1
0
Fp+1

@p+1

Fp
0
@p+1

Fp0
00
@p+1

!

@p

!

##Gp
Cp0

!

##G0p+1

00
Cp+1

Cp

Fp 1

@p0

!

##G0p
Cp00

Cp

!

##Gp

Cp0
Fp0 1

@p00

1

1

##G0p

Cp00

1

1

1

Bukti. Misalkan (C; U; @), (C 0 ; U 0 ; @ 0 ), dan (C 00 ; U 00 ; @ 00 ) masing-masing merupakan rantai U -kompleks, rantai U 0 -kompleks, dan rantai U 00 -kompleks. Misalkan F ' G : C

! C 0 dan F 0 ' G0 : C 0

! C 00 , maka terdapat barisan

0
00
D = fDp : Cp ! Cp+1
g dan D0 = fDp0 : Cp0 ! Cp+1
g sedemikian sehingga

Fp

0
Gp = @p+1
Dp + Dp 1 @p ; Dp (Up )

0
Up+1

Fp0

00
G0p = @p+1
Dp0 + Dp0 1 @p0 ; Dp0 (Up0 )

00
Up+1
:

Akan dibuktikan F F 0 ' G0 G : C ! C 00 :
32

1. Akan dibuktikan Fp0 Fp
Fp0 Fp

00
G0p Gp = @p+1
Dp00 + Dp00 1 @p : Perhatikan

G0p Gp = Fp0 Fp
= Fp0 (Fp

Fp0 Gp + Fp0 Gp
Gp ) + (Fp0

G0p Gp
G0p )Gp

0
00
= Fp0 (@p+1
Dp + Dp 1 @p ) + (@p+1
Dp0 + Dp0 1 @p0 )Gp
0
00
= Fp0 @p+1
Dp + Fp0 Dp 1 @p + @p+1
Dp0 Gp + Dp0 1 @p0 Gp
00
0
00
= @p+1
Fp+1
Dp + Fp0 Dp 1 @p + @p+1
Dp0 Gp + Dp0 1 Gp 1 @p
00
0
= @p+1
(Fp+1
Dp + Dp0 Gp ) + (Fp0 Dp

1

+ Dp0 1 Gp 1 )@p

0
misalkan Dp00 = Fp+1
Dp + Dp0 Gp maka

Fp0 Fp

00
0
G0p Gp = @p+1
(Fp+1
Dp + Dp0 Gp ) + (Fp0 Dp

1

+ Dp0 1 Gp 1 )@p

00
Dp00 + Dp00 1 @p
= @p+1

maka kondisi pertama pada De…nisi 4.13 terpenuhi.
2. Akan dibuktikan bahwa Dp00 (Up )

00
Up+1
. Perhatikan

0
Dp00 = Fp+1
Dp + Dp0 Gp
0
Dp (Up ) + Dp0 Gp (Up )
Dp00 (Up ) = Fp+1

Karena G adalah rantai (U; U 0 )-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi 4.6
G(Up )

Up0 dan berdasarkan De…nisi 4.13 Dp (Up )
Dp0 Gp (Up )

Dp0 (Up0 )

0
Up+1
sehingga

00
Up+1
:

Karena F 0 juga adalah rantai (U; U 0 )-pemetaan, maka berdasarkan De…nisi
4.6 dan De…nisi 4.13
0
Fp+1
Dp (Up )

0
0
Fp+1
(Up+1
)

00
Up+1

00
00
00
sehingga karena Cp+1
adalah modul sehingga Up+1
submodul dari Cp+1
ter-

33

tutup terhadap penjumlahan maka
0
Dp00 (Up ) = Fp+1
Dp (Up ) + Dp0 Gp (Up )

Jadi Dp00 (Up )

00
Up+1
:

00
Up+1
.

Lemma 4.15 terbukti.
B. Davvaz dan H. Shabani-Solt dalam [2] memaparkan fakta penting mengenai rantai (U; U 0 )-homotopi, sebagai berikut.

Teorema 4.16 ([2 , Teorema 2.10)]Jika dua rantai (U; U 0 )-pemetaan F; G : C !
C 0 adalah (U; U 0 )-homotopi, maka Fp = Gp (Hp (F ) = Hp (G)).
Bukti.

Misalkan rantai (U; U 0 )-pemetaan F; G : C

! C 0 adalah (U; U 0 )-

homotopi, akan dibuktikan Fp = Gp , yaitu Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) = Gp (x) +
Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) untuk setiap x 2 Zp (C; U; @): Karena rantai (U; U 0 )-pemetaan F; G :
C

! C 0 adalah (U; U 0 )-homotopi maka terdapat barisan D = fDp : Cp

0
Cp+1
g sedemikian sehingga Fp

0
Gp = @p+1
Dp + Dp 1 @p dan Dp (Up )

!

0
Up+1
.

Ambil sebarang x 2 Zp (C; U; @) maka,
(Fp
Fp (x)

0
Gp )(x) = (@p+1
Dp + Dp 1 @p )(x)
0
Gp (x) = @p+1
Dp (x) + Dp 1 @p (x):

Karena @p (x) 2 Up 1 , maka berdasarkan De…nisi 2.12
Dp 1 (@p (x)) 2 Up0

0
Im @p+1
= Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

0
dan @p+1
Dp (x) 2 Up0

0
Im @p+1
= Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

0
sehingga karena Im @p+1
= Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) tertutup terhadap penjumlahan, maka

Fp (x)

0
Gp (x) = @p+1
Dp (x) + Dp 1 @p (x) 2 Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )

34

maka berdasarkan Teorema 2.3 didapat
Fp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) = Gp (x) + Bp (C 0 ; U 0 ; @ 0 )
Jadi terbukti Fp = Gp .
De…nisi 4.17 ([2 , De…nisi 2.11)]Rantai (U; U 0 )-pemetaan F : (C; U; @)

!

(C 0 ; U 0 ; @ 0 ) disebut rantai (U; U 0 )-ekivalensi jika terdapat rantai (U; U 0 )-pemetaan
G : (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) ! (C; U; @) sedemikian sehingga F G ' IC dan GF ' IC 0 . Dua
rantai U -Kompleks dan U 0 -kompleks disebut rantai (U; U 0 )-ekivalen jika terdapat
rantai (U; U 0 )-ekivalensi di antara mereka.
@p+1

!

Cp+1
Fp+1

#"Gp+1

Fp
0
@p+1

0
Cp+1

Cp

!

@p

!

#"Gp
Cp0

Cp
Fp 1

@p0

!

1

#"Gp

Cp0

1

1

Akibat 4.18 ([2 , Akibat 2.12)]Jika rantai U -kompleks (C; U; @) dan rantai U 0 kompleks (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) adalah rantai (U; U 0 )-ekivalen, maka untuk setiap p berlaku
Hp (C; U; @) = Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).
Bukti. Misalkan F adalah rantai (U; U 0 )-ekivalesi antara (C; U; @) dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ),
akan dibuktikan Hp (C; U; @) = Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) untuk setiap p
F adalah rantai (U; U 0 )-ekivalesi antara (C; U; @) dan (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) maka terdapat
rantai (U; U 0 )-pemetaan G : (C 0 ; U 0 ; @ 0 ) ! (C; U; @) sedemikian sehingga
F G ' IC 0 dan GF ' IC
Sehingga berdasarkan Teorema 4.16 (F G)p = IC 0 dan (GF )p = IC lalu berdasarkan
Lemma 4.10 didapat (GF )p = Gp Fp dan (F G)p = Fp Gp maka
(F G)p = Fp Gp = IC 0 dan (GF )p = Gp Fp = IC :
Dengan demikian Fp adalah isomor…sma, maka terbukti Hp (C; U; @) = Hp (C 0 ; U 0 ; @ 0 ).

35

BAB 5
KESIMPULAN

5.1

Kesimpulan
Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Rantai U -kompleks merupakan generalisasi dari rantai kompleks dengan
@n @n+1 = 0 dalam rantai kompleks, submodul trivial f0g diganti dengan
submodul Up

1

dari Cp

1

sehingga @p @p+1 (Cp+1 )

Up

1

dan Im @p

Up 1 .

2. Rantai pemetaan yang mengaitkan antara rantai U -kompleks adalah rantai
(U; U 0 )-kompleks dengan Fp (Up )

Up0 dan Fp 1 @p = @p0 Fp :

3. Rantai (U; U 0 )-homotopi adalah generalisasi dari rantai homotopi dengan
0
Dp +Dp 1 @p = Fp Gp dimana fDp g rantai homotopi adalah homotopik
@p+1
0
nol. Sedangkan @p+1
Dp + Dp 1 @p = Fp

homotopi dengan Dp (Up )

Gp dengan fDp g rantai (U; U 0 )-

0
Up+1
:

4. Relasi (U; U 0 )-homotopi " ' " adalah relasi ekuivalen.

5.2

Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat diteliti mengenai generalisasi kategori

kompleks yaitu kategori dengan objeknya merupakan rantai U -kompleks.

36

DAFTAR PUSTAKA

[1] Abdusysyakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Press
[2] B.Davvaz and H.Shabani-Solt, A generalization of Homological Algebra,
J.Korean Math. Soc, 39 (2002), 6, 881-898
[3] B.Davvaz dan Y.A Parnian - Gramaleky, A Note on Exact Sequence, Bull.
Malaysian Math. Soc. (2) 22 (1999) ; 53

56

[4] Charles A. Weabel, An Introduction to Homological Algebra, Departement
of Mathematic, Rutger University, Cambridge University Press, 1997.
[5] Hall F. M., An Introduction to Abstract Algebra, Head of the Mathematics
Faculty Shrewsbury School, Cambridge University Press, 1969.
[6] Howlet, Robert, An undergraduate course in, Abstract Algebra, London:
Springer Verlag, 1974:
[7] J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press,
New York-London, 1979.
[8] Roman, Steven, Graduate Text in Mathemetics, Advance Linear Algebra,
London: Springer Verlag, 1992:
[9] Steven Roman, Advanced Linier Algebra, Third Edition, Prentice Hall, New
York-London, 2003.
[10] Tu, Loring W. (1982), Di¤erential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New
York: Springer-Verlag, ISBN 978

0
37

387

90613

3